ภาพวาดน้ำตก Escher ที่ต้องทำด้วยตัวเอง Maurits Escher - ปรมาจารย์แห่งภาพลวงตา

Maurits Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่โดดเด่นซึ่งเป็นที่รู้จักไปทั่วโลกสำหรับผลงานของเขา ที่ศูนย์ในพิพิธภัณฑ์เปิดในปี 2002 และตั้งชื่อตามเขาว่า "Escher in het Paleis" นิทรรศการถาวร 130 ผลงานโดยอาจารย์เปิดอยู่ คุณกำลังพูดว่ากราฟิกน่าเบื่อ? บางที... อาจจะพูดได้เกี่ยวกับงานของศิลปินกราฟิก แต่ไม่ใช่เกี่ยวกับ Escher ศิลปินเป็นที่รู้จักจากวิสัยทัศน์ที่ผิดปกติของเขาเกี่ยวกับโลกและเล่นกับตรรกะของอวกาศ

การแกะสลักที่น่าอัศจรรย์ของ Escher แท้จริงแล้วสามารถรับรู้ได้ว่า ภาพกราฟิกทฤษฎีสัมพัทธภาพ ผลงานที่พรรณนา ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้และการกลับชาติมาเกิดเป็นสิ่งที่น่าดึงดูดใจอย่างแท้จริง ไม่เหมือนอย่างอื่น

Maurits Escher เป็นปรมาจารย์ที่แท้จริงของปริศนา และภาพลวงตาของเขาแสดงให้เห็นสิ่งที่ไม่มีอยู่จริง ในภาพวาดของเขา ทุกสิ่งทุกอย่างเปลี่ยนแปลงไปอย่างราบรื่นจากรูปแบบหนึ่งไปอีกรูปแบบหนึ่ง บันไดไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด และน้ำก็ไหลขึ้นด้านบน ใครบางคนจะอุทาน - นี้ไม่สามารถ! ดูด้วยตัวคุณเอง
ภาพวาดที่มีชื่อเสียง "กลางวันและกลางคืน"

“ปีนขึ้นลง” ที่คนขึ้นบันไดตลอด...หรือลง?

“สัตว์เลื้อยคลาน” - ที่นี่จระเข้เปลี่ยนจากการวาดเป็นสามมิติ...

"วาดมือ" - ที่มือทั้งสองข้างวาดกัน

"การประชุม"

"มือกับลูกบอลสะท้อนแสง"

ไข่มุกหลักของพิพิธภัณฑ์คือผลงาน 7 เมตรของ Escher - "Metamorphoses" การแกะสลักนี้ทำให้คุณสัมผัสได้ถึงความเชื่อมโยงระหว่างนิรันดรกับอนันต์ ที่ซึ่งเวลาและพื้นที่มารวมกันเป็นหนึ่งเดียว

พิพิธภัณฑ์ตั้งอยู่ในอดีต พระราชวังฤดูหนาวควีนเอ็มมาคือทวดของราชินีบีทริกซ์คนปัจจุบัน เอ็มมาซื้อพระราชวังในปี พ.ศ. 2439 และอาศัยอยู่ที่นั่นจนกระทั่งเสียชีวิตในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2477 ในห้องโถงสองแห่งของพิพิธภัณฑ์ซึ่งเรียกว่า "ห้องรอยัล" เฟอร์นิเจอร์และรูปถ่ายของควีนเอ็มม่าได้รับการเก็บรักษาไว้และบนผ้าม่านมีข้อมูลเกี่ยวกับการตกแต่งภายในของพระราชวังในสมัยนั้น

ที่ชั้นบนสุดของพิพิธภัณฑ์มีนิทรรศการแบบอินเทอร์แอคทีฟ "Look Like Escher" นี่คือเรื่องจริง โลกเวทมนตร์ภาพลวงตา โลกปรากฏขึ้นและหายไปในลูกบอลวิเศษ กำแพงเคลื่อนที่และเปลี่ยนแปลง และเด็กๆ ก็ดูสูงกว่าพ่อแม่ อีกหน่อยเป็นพื้นที่ผิดปกติซึ่งตกอยู่ใต้ทุกย่างก้าว และในลูกบอลสีเงิน คุณสามารถมองเห็นตัวเองผ่านสายตาของ Escher

Maurits Cornelis Escher ศิลปินกราฟิกชาวดัตช์

Escher Maurits Cornelis(Maurits Cornelis Escher) (17 มิถุนายน พ.ศ. 2441 ลีวาร์เดิน เนเธอร์แลนด์ - 27 มีนาคม พ.ศ. 2515 ฮิลเวอร์ซัม เนเธอร์แลนด์) ศิลปินกราฟิกชาวดัตช์, ทำภาพประกอบสำหรับหนังสือ, แสตมป์และจิตรกรรมฝาผนัง ประดิษฐ์สิ่งทอ เป็นที่รู้จักในเบื้องต้นสำหรับภาพพิมพ์หินเชิงแนวคิด งานแกะสลักไม้และโลหะ ซึ่งเขาได้สำรวจแง่มุมพลาสติกของแนวคิดเรื่องอนันต์และสมมาตรอย่างเชี่ยวชาญ ตลอดจนคุณลักษณะของการรับรู้ทางจิตวิทยาของวัตถุสามมิติที่ซับซ้อน ส่วนใหญ่ ตัวแทนที่สดใสศิลปะอิมพ์ Escher เลือกอาชีพเป็นช่างแกะสลักอย่างมีสติและไม่ใช่ในฐานะจิตรกร (ในน้ำมัน) ตามที่นักวิจัยของงานของเขา Hans Locher, Escher ถูกดึงดูดโดยความเป็นไปได้ที่จะได้รับภาพพิมพ์จำนวนมากซึ่งจัดทำโดยเทคนิคกราฟิคเนื่องจากเขาเข้ามาแล้ว อายุยังน้อยสนใจในความเป็นไปได้ของการเกิดซ้ำของภาพ ลักษณะที่โดดเด่นที่สุดประการหนึ่งของงานของ Escher คือการพรรณนาถึง "การเปลี่ยนแปลง" ซึ่งปรากฏในรูปแบบต่างๆ ในงานที่หลากหลาย ศิลปินสำรวจในรายละเอียดเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงทีละน้อยจากหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตผ่านการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในโครงร่าง นอกจากนี้ Escher ยังทาสีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นกับสิ่งมีชีวิตซ้ำแล้วซ้ำอีก (นกกลายเป็นปลา ฯลฯ ) และแม้แต่วัตถุที่ไม่มีชีวิต "เคลื่อนไหว" ในระหว่างการเปลี่ยนรูปทำให้พวกเขากลายเป็นสิ่งมีชีวิต Escher ผลิตภาพพิมพ์หิน ภาพพิมพ์ และงานแกะสลักไม้ 448 ภาพ ตลอดจนภาพวาดและภาพร่างกว่า 2,000 ภาพ งานของเขายังคงสร้างความประทับใจและสร้างความประหลาดใจให้กับผู้คนนับล้านทั่วโลก ใน ปีที่แล้วสุขภาพของ Escher ล้มเหลวและในทางปฏิบัติเขาไม่ได้ผล เขาได้รับการผ่าตัดหลายครั้งและในที่สุดก็เสียชีวิตในโรงพยาบาลด้วยโรคมะเร็งลำไส้ Escher ทิ้งภาพพิมพ์หิน ภาพวาด ภาพวาด และลูกชายสามคนของเขาไว้เบื้องหลัง

วันที่หลัก

• พ.ศ. 2441 (ค.ศ. 1898) – มอริตซ์ คอร์เนลิส เอสเชอร์ เกิดเมื่อวันที่ 17 มิถุนายน ในเมืองลิเวอร์เดน (เนเธอร์แลนด์) ลูกชายคนเล็กในครอบครัววิศวกรไฮดรอลิก G.A. Escher และ Sarah Glichman
• พ.ศ. 2446 (ค.ศ. 1903) – ครอบครัวย้ายไปอาร์นเฮม
• พ.ศ. 2455-2561 - เข้าสู่โรงยิมและไม่ผ่านการสอบปลายภาค
• พ.ศ. 2462 (ค.ศ. 1919) – ตามคำร้องขอของบิดา เอสเชอร์เริ่มศึกษาสถาปัตยกรรมในฮาร์เลม แต่หลังจากนั้นไม่กี่เดือน เขาก็ย้ายไปเรียนสาขาการออกแบบกราฟิกภายใต้การบริหารของ Jeseran de Mesquite
• 2464 - เดินทางไปอิตาลีครั้งแรก ตีพิมพ์ครั้งแรกในนิตยสารงาน "Easter Flowers" (แม่พิมพ์)
• พ.ศ. 2465 (ค.ศ. 1922) – สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนศิลปะและเดินทางไปอิตาลีตอนกลาง ทำให้มีภาพสเก็ตช์มากมาย ในเดือนกันยายน เขาไปเยี่ยมชม Alhambra ในสเปน โดยพิจารณาว่าสิ่งที่น่าสนใจที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งภาพโมเสคขนาดใหญ่ของ "ความซับซ้อนมหาศาล ความหมายทางคณิตศาสตร์และศิลปะ"
• 2466 - เดินทางไปอิตาลี; พบกับเขา ภรรยาในอนาคตเจตต้า (Jetta Umiker). วาดจากชีวิต นิทรรศการครั้งแรกของเขาในเซียนา
• พ.ศ. 2467 - นิทรรศการครั้งแรกในกรุงเฮก ประเทศเนเธอร์แลนด์ 12 มิถุนายน แต่งงานกับ Yetta ใน Viareggio; ย้ายไปโรม
• 2469 - มาก นิทรรศการที่ประสบความสำเร็จในกรุงโรมในเดือนพฤษภาคม ต่อมา Escher มีนิทรรศการถาวรในฮอลแลนด์และส่วนใหญ่ ความคิดเห็นในเชิงบวก. ในวันที่ 23 มิถุนายน จอร์จ ลูกชายคนแรกของพวกเขาจะเกิดในครอบครัวเอสเชอร์ ในปีถัดมา Moritz Escher เดินทางอย่างต่อเนื่อง (เช่นไปยังตูนิเซีย) รวมถึงการเดินเท้าไปยัง Arbuzi; สร้างภาพร่างภูมิทัศน์และสถาปัตยกรรมจำนวนมาก
• 2471 - 8 ธันวาคม ลูกชายอาร์เธอร์เกิด
• 2472 - ภาพพิมพ์หินครั้งแรก "มุมมองของ Goriano Sicoli", Arbuzzi
• 2474 - การแกะสลักไม้ครั้งแรก แต่โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นเมทริกซ์ไม้สำหรับพิมพ์คำเชิญเข้าร่วมนิทรรศการในกรุงเฮก Escher กลายเป็นสมาชิกของสมาคมศิลปินกราฟิกในเวลาต่อมา - สมาชิกของสตูดิโอ Pulchi เขาได้รับความเคารพอย่างสูงในฐานะ "อดทน ใจเย็น ช่างเขียนแบบเย็น" และงานของเขาถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่า "ฉลาดเกินไป"
• พ.ศ. 2475 (ค.ศ. 1932) – ในปูม "XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden" พิมพ์ลายไม้ของเขา
• พ.ศ. 2476 (ค.ศ. 1933) - หนังสือ "การผจญภัยอันเลวร้ายของนักวิชาการ" ตีพิมพ์โดย Escher ด้วยแม่พิมพ์
• 2477- งานของเขาที่นิทรรศการภาพพิมพ์สมัยใหม่ (การพิมพ์) "ศตวรรษแห่งความก้าวหน้า" ในชิคาโกได้รับการวิจารณ์ในเชิงบวกเท่านั้น
• 2478 - นโยบายปราบปราม ฟาสซิสต์อิตาลีบังคับให้ Escher ย้ายไปสวิตเซอร์แลนด์
• พ.ศ. 2479 (ค.ศ. 1936) - การเดินทางไปสเปนซึ่งเขามีส่วนร่วมกับเครื่องประดับกระเบื้องมัวร์ (Alhambra) อีกครั้ง การวาดใหม่เป็นแรงบันดาลใจให้ Escher สร้างภาพวาดที่เขาใช้การแบ่งเครื่องบินเป็นระยะๆ ที่ถูกต้อง
• พ.ศ. 2481 - 6 มีนาคม เกิดลูกชายอีกคน ม.ค. และเอสเชอร์ก็จดจ่ออยู่กับ "ภาพวาดภายใน" และทิ้งภาพวาดของธรรมชาติไว้เกือบทั้งหมด
• พ.ศ. 2482 - พ่อเสียชีวิตเมื่ออายุ 96 ปี
• พ.ศ. 2483 (ค.ศ. 1940) – เผยแพร่ "M.C. Escher en zijn Experimenten" แม่ของเขาเสียชีวิต
• พ.ศ. 2484 (ค.ศ. 1941) – ครอบครัวเอสเชอร์เดินทางกลับภูมิลำเนาในฮอลแลนด์ ในเมืองบาร์น (B╠rn)
• 1948 Escher เริ่มบรรยายเกี่ยวกับงานของเขาพร้อมกับการสาธิต
• พ.ศ. 2497 - นิทรรศการที่ยิ่งใหญ่ของ Escher เนื่องในโอกาสการประชุมทางคณิตศาสตร์ครั้งยิ่งใหญ่ ติดตามเธอ - นิทรรศการในวอชิงตัน
• พ.ศ. 2498 - 30 เมษายน ได้รับพระราชทานรางวัลใหญ่
• 2501 - "Regelmatige vlakverdeling" (การแบ่งเครื่องบินที่ถูกต้อง) ได้รับการตีพิมพ์
• 2502 - เผยแพร่ "Grafik en Tekeningen" (งานกราฟิก)
• 1960 - นิทรรศการและการบรรยายที่ Crystallographic Congress ในเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์
• พ.ศ. 2505 - ปฏิบัติการฉุกเฉินและพักรักษาตัวในโรงพยาบาลเป็นเวลานาน
• 2507 - เดินทางไปแคนาดาเพื่อดำเนินการอื่น
• 2508 - รางวัลศิลปะฮิลเวอร์ซัม พิมพ์ "Symmetry Aspect" (ลักษณะสมมาตรของภาพวาดตามระยะเวลาของ Escher)
• พ.ศ. 2510 - รางวัลราชินีที่สอง
• พ.ศ. 2511 เป็นการหวนรำลึกถึงวันครบรอบ 70 ปีในกรุงเฮก สิ้นปีนี้ เยตตากลับสวิตเซอร์แลนด์
• 2512 - ในเดือนกรกฎาคม เอสเชอร์สร้าง "งู" แม่พิมพ์ไม้สุดท้ายของเขา
• 1970 - การผ่าตัดและการรักษาในโรงพยาบาลที่ยาวนานอีกครั้ง Escher ย้ายไปที่ Rosa-Spier-Foundation Laaren ในบ้านพักคนชราสำหรับศิลปิน
• 1971 - เผยแพร่ De werelden van M.C. Escher (โลกของ Escher)
• 1972 - MS Escher เสียชีวิตในโรงพยาบาล Hilversum Lutheran

งานนี้โดย Escher แสดงให้เห็นถึงความขัดแย้ง - น้ำที่ตกลงมาของน้ำตกจะควบคุมวงล้อที่นำน้ำไปสู่ยอดน้ำตก น้ำตกมีโครงสร้างของสามเหลี่ยมเพนโรสที่ "เป็นไปไม่ได้": ภาพพิมพ์หินถูกสร้างขึ้นจากบทความใน British Journal of Psychology

การออกแบบประกอบด้วยคานขวางสามอันที่วางทับกันเป็นมุมฉาก น้ำตกบนภาพพิมพ์หินทำงานเหมือนเครื่องเคลื่อนไหวตลอด ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหวของดวงตา ดูเหมือนว่าหอคอยทั้งสองจะเหมือนกัน และหอคอยที่อยู่ทางด้านขวาจะต่ำกว่าหอคอยด้านซ้ายหนึ่งชั้น

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "น้ำตก (การพิมพ์หิน)"

หมายเหตุ

ลิงค์

• เว็บไซต์อย่างเป็นทางการ: (ภาษาอังกฤษ)

ข้อความที่ตัดตอนมาอธิบายลักษณะของน้ำตก (พิมพ์หิน)

The Mathematical Art of Moritz Escher 28 กุมภาพันธ์ 2014

ต้นฉบับนำมาจาก imit_omsu ในศิลปะคณิตศาสตร์ของ Moritz Escher

“นักคณิตศาสตร์เปิดประตูไปสู่อีกโลกหนึ่ง แต่ไม่กล้าเข้าสู่โลกนี้ด้วยตนเอง พวกเขาสนใจเส้นทางที่ประตูตั้งอยู่มากกว่าในสวนที่อยู่ข้างหน้า
(เอ็ม.ซี. เอสเชอร์)

ภาพพิมพ์หิน "มือกับ ลูกแก้ว", ภาพเหมือนตนเอง.

Maurits Cornelius Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนรู้จัก
โครงงานของ Escher มีลักษณะเฉพาะด้วยความเข้าใจที่เฉียบแหลมของความขัดแย้งเชิงตรรกะและพลาสติก
ก่อนอื่นเขาเป็นที่รู้จักสำหรับผลงานของเขาซึ่งเขาใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ - จากขีด จำกัด และแถบMöbiusไปจนถึงเรขาคณิต Lobachevsky

แม่พิมพ์ "มดแดง"

Maurits Escher ไม่ได้รับการศึกษาพิเศษทางคณิตศาสตร์ แต่ตั้งแต่เริ่มต้น อาชีพสร้างสรรค์สนใจคุณสมบัติของอวกาศศึกษาด้านที่ไม่คาดคิด

"สายใยแห่งความสามัคคี".

บ่อยครั้ง Escher ขลุกอยู่กับโลก 2D และ 3D


ภาพพิมพ์หิน "การวาดด้วยมือ"

การพิมพ์หิน "สัตว์เลื้อยคลาน"

เทสเซลเลชั่น

การปูกระเบื้องคือการแบ่งส่วนของระนาบออกเป็นตัวเลขที่เหมือนกัน ในการศึกษาพาร์ติชั่นประเภทนี้ แนวคิดของกลุ่มสมมาตรนั้นถูกใช้ตามธรรมเนียม ลองนึกภาพเครื่องบินที่มีการปูกระเบื้อง เครื่องบินสามารถหมุนรอบแกนและเลื่อนได้ตามอำเภอใจ กะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์กะในขณะที่การหมุนถูกกำหนดโดยจุดศูนย์กลางและมุม การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการเคลื่อนไหว ว่ากันว่าการเคลื่อนไหวนี้หรือการเคลื่อนไหวนั้นสมมาตรหากหลังจากนั้นการปูกระเบื้องผ่านเข้าไปในตัวมันเอง

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาระนาบที่ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหมือนกัน ซึ่งเป็นแผ่นโน้ตบุ๊กที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทางในกรง หากระนาบดังกล่าวหมุน 90 องศา (180, 270 หรือ 360 องศา) รอบศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมใดๆ การปูกระเบื้องจะเปลี่ยนเป็นตัวเอง มันยังเข้าสู่ตัวเองเมื่อเลื่อนโดยเวกเตอร์ที่ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของเวกเตอร์จะต้องเป็นผลคูณของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ในปี 1924 geometer George Polia (ก่อนย้ายไปสหรัฐอเมริกา Gyorgy Poya) ตีพิมพ์งานเกี่ยวกับกลุ่มสมมาตรของการปูกระเบื้องซึ่งเขาได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่ง (แม้ว่าจะค้นพบในปี 1891 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Evgraf Fedorov และต่อมาถูกลืมอย่างปลอดภัย ): มีความสมมาตรเพียง 17 กลุ่มที่รวมกะอย่างน้อยสอง ทิศทางต่างๆ. ในปี พ.ศ. 2479 เอสเชอร์มีความสนใจในเครื่องประดับมัวร์ (กับ จุดเรขาคณิตดู, แบบกระเบื้อง) อ่านผลงานของโปเลีย แม้ว่าที่จริงแล้วเขาจะไม่เข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่อยู่เบื้องหลังงานด้วยการยอมรับของเขาเอง แต่ Escher ก็สามารถจับสาระสำคัญทางเรขาคณิตของมันได้ เป็นผลให้จากทั้ง 17 กลุ่ม Escher ได้สร้างผลงานมากกว่า 40 ชิ้น

โมเสก.

แม่พิมพ์ "กลางวันและกลางคืน"

"การปูกระเบื้องปกติของระนาบ IV".

แม่พิมพ์ "ท้องฟ้าและน้ำ"

เทสเซลเลชั่น กลุ่มนี้เรียบง่าย กำเนิด: ความสมมาตรแบบเลื่อนและการแปลแบบคู่ขนาน แต่กระเบื้องปูกระเบื้องนั้นยอดเยี่ยมมาก และเมื่อใช้ร่วมกับแถบ Mobius เท่านั้น


แม่พิมพ์ "ขี่ม้า"

รูปแบบอื่นในธีมของโลกแบนและ 3 มิติและการปูกระเบื้อง


ภาพพิมพ์หิน "กระจกวิเศษ"

Escher เป็นเพื่อนกับนักฟิสิกส์ Roger Penrose ในเวลาว่างจากวิชาฟิสิกส์ เพนโรสได้ไขปริศนาทางคณิตศาสตร์ อยู่มาวันหนึ่งเขาเกิดแนวคิดต่อไปนี้: หากคุณนึกภาพเทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยตัวเลขมากกว่าหนึ่งตัว กลุ่มสมมาตรของมันจะแตกต่างจากที่ Polia อธิบายหรือไม่ เมื่อมันปรากฏออกมา คำตอบสำหรับคำถามนี้อยู่ในการยืนยัน - นี่คือที่มาของกระเบื้องโมเสคของ Penrose ในช่วงปี 1980 เป็นที่ชัดเจนว่ามีความเกี่ยวข้องกับ quasicrystal ( รางวัลโนเบลในวิชาเคมี 2554)

อย่างไรก็ตาม Escher ไม่มีเวลา (หรืออาจไม่ต้องการ) ใช้ภาพโมเสคนี้ในงานของเขา (แต่มีกระเบื้องโมเสค Penrose ที่ยอดเยี่ยมอย่างแน่นอน "Penrose Hens" พวกเขาไม่ได้ทาสีโดย Escher)

เครื่องบิน Lobachevsky

ข้อที่ห้าในรายการสัจพจน์ใน "องค์ประกอบ" ของ Euclid ในการสร้างใหม่ของ Heiberg มีข้อความดังต่อไปนี้: หากเส้นที่ตัดกันสองเส้นก่อให้เกิดมุมด้านเดียวภายในน้อยกว่าสองเส้น จากนั้นขยายไปเรื่อย ๆ เส้นทั้งสองนี้จะพบกัน ด้านที่มีมุมน้อยกว่าสองเส้น ใน วรรณกรรมร่วมสมัยชอบสูตรที่เทียบเท่าและหรูหรากว่า: ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง จะมีเส้นขนานกับเส้นที่ให้มา และยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น แต่แม้ในสูตรนี้ สัจพจน์ซึ่งไม่เหมือนกับสัจพจน์อื่นๆ ของยุคลิด กลับดูยุ่งยากและสับสน ซึ่งเป็นเหตุให้นักวิทยาศาสตร์พยายามหาข้อความนี้จากสัจพจน์ที่เหลือเป็นเวลาสองพันปี นั่นคือการเปลี่ยนสมมุติฐานให้เป็นทฤษฎีบท

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ นิโคไล โลบาชอฟสกี พยายามทำสิ่งนี้ด้วยความขัดแย้ง: เขาสันนิษฐานว่าสมมุติฐานนั้นผิดและพยายามค้นหาความขัดแย้ง แต่ไม่พบ - และด้วยเหตุนี้ Lobachevsky จึงสร้างรูปทรงเรขาคณิตใหม่ ในนั้นผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นมีเส้นต่าง ๆ จำนวนอนันต์ที่ไม่ตัดกับเส้นที่กำหนด Lobachevsky ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบเรขาคณิตใหม่นี้ แต่เขาเป็นคนแรกที่กล้าประกาศต่อสาธารณะ - ซึ่งแน่นอนว่าเขาถูกเยาะเย้ย

การรับรู้ถึงมรณกรรมของงานของโลบาชอฟสกีเกิดขึ้น เหนือสิ่งอื่นใด เนื่องจากการปรากฏตัวของแบบจำลองทางเรขาคณิตของเขา - ระบบของวัตถุบนระนาบแบบยุคลิดปกติ ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ของยุคลิดทั้งหมด ยกเว้นข้อสันนิษฐานที่ห้า หนึ่งในแบบจำลองเหล่านี้เสนอโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ Henri Poincaré ในปี 1882 สำหรับความต้องการของการวิเคราะห์เชิงหน้าที่และความซับซ้อน

ให้มีวงกลมซึ่งขอบเขตที่เราเรียกว่าสัมบูรณ์ "จุด" ในแบบจำลองของเราจะเป็นจุดภายในของวงกลม บทบาทของ "เส้นตรง" นั้นเล่นโดยวงกลมหรือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับจุดสัมบูรณ์ (อย่างแม่นยำกว่านั้นคือส่วนโค้งที่อยู่ภายในวงกลม) ความจริงที่ว่าสัจพจน์ที่ห้าไม่เป็นไปตาม "เส้นตรง" ดังกล่าวนั้นชัดเจนในทางปฏิบัติ ความจริงที่ว่าส่วนที่เหลือของสัจพจน์เป็นจริงสำหรับวัตถุเหล่านี้มีความชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องจริง

ปรากฎว่าในรุ่น Poincaré สามารถกำหนดระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ได้ ในการคำนวณความยาว ต้องใช้แนวคิดของเมตริกรีมันเนียน คุณสมบัติของมันคือ: ยิ่งคู่ของจุดที่ "ตรง" กับสัมบูรณ์มากเท่าไหร่ระยะห่างระหว่างพวกเขาก็จะยิ่งมากขึ้น นอกจากนี้ ระหว่าง "เส้นตรง" ยังมีการกำหนดมุม - นี่คือมุมระหว่างแทนเจนต์ที่จุดตัดของ "เส้นตรง"

ตอนนี้ขอกลับไปที่การปูกระเบื้อง พวกเขาจะมีลักษณะอย่างไรหากแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เหมือนกัน (นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีทั้งหมด ฝ่ายที่เท่าเทียมกันและมุม) แล้วรุ่นPoincaré? ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมควรมีขนาดเล็กลงเมื่อเข้าใกล้ค่าสัมบูรณ์ แนวคิดนี้เกิดขึ้นโดย Escher ในชุดผลงาน "Circle Limit" อย่างไรก็ตาม Dutchman ไม่ได้ใช้พาร์ติชั่นที่ถูกต้อง แต่เป็นเวอร์ชั่นที่สมมาตรมากกว่า กรณีที่ความงามสำคัญกว่าความแม่นยำทางคณิตศาสตร์

แม่พิมพ์ "ขีด จำกัด - วงกลม II"

แม่พิมพ์ "ขีด จำกัด - Circle III"

แม่พิมพ์ "สวรรค์และนรก"

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ว่าภาพลวงตาพิเศษ - ดูเหมือนจะเป็นภาพของวัตถุสามมิติบนเครื่องบิน แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดจะพบความขัดแย้งทางเรขาคณิตในโครงสร้าง ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้นั้นน่าสนใจไม่เพียง แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังได้รับการศึกษาโดยนักจิตวิทยาและผู้เชี่ยวชาญด้านการออกแบบอีกด้วย

ปู่ทวดของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้คือสิ่งที่เรียกว่าลูกบาศก์เน็คเกอร์ซึ่งเป็นตัวแทนของลูกบาศก์ที่คุ้นเคยบนเครื่องบิน มันถูกเสนอโดย Louis Necker นักผลึกศาสตร์ชาวสวีเดนในปี 1832 ความพิเศษของภาพนี้คือตีความได้ ในทางที่แตกต่าง. ตัวอย่างเช่น มุมที่ระบุในรูปนี้ด้วยวงกลมสีแดงสามารถอยู่ใกล้เราที่สุดจากทุกมุมของลูกบาศก์ และในทางกลับกัน ไกลที่สุด

นักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดนอีกคนหนึ่ง Oskar Ruthersvärd ได้สร้างตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้อย่างแท้จริงเป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษที่ 1930 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาเกิดความคิดที่จะประกอบรูปสามเหลี่ยมจากลูกบาศก์ซึ่งไม่มีอยู่ในธรรมชาติ โดยเป็นอิสระจากรัทเธอร์สเวิร์ด โรเจอร์ เพนโรสที่กล่าวถึงแล้วร่วมกับไลโอเนล เพนโรสบิดาของเขา ตีพิมพ์บทความในวารสารจิตวิทยาอังกฤษชื่อ " วัตถุที่เป็นไปไม่ได้: ชนิดพิเศษ ภาพลวงตา» (1956). ในนั้น Penroses เสนอวัตถุสองชิ้นดังกล่าว - สามเหลี่ยม Penrose (รูปแบบที่เป็นของแข็งของการสร้างลูกบาศก์ของ Ruthersward) และบันได Penrose พวกเขาตั้งชื่อให้ Maurits Escher เป็นแรงบันดาลใจในการทำงาน

วัตถุทั้งสอง - ทั้งรูปสามเหลี่ยมและบันได - ปรากฏในภาพวาดของ Escher ในเวลาต่อมา

การพิมพ์หิน "สัมพัทธภาพ"

ภาพพิมพ์หิน "น้ำตก"

การพิมพ์หิน "Belvedere"

ภาพพิมพ์หิน "ขึ้นและลง"

งานอื่นๆ ที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์:

รูปหลายเหลี่ยมดาว:

แม่พิมพ์ "ดาว"

ภาพพิมพ์หิน "การแบ่งพื้นที่เป็นลูกบาศก์"

การพิมพ์หิน "พื้นผิวที่ปกคลุมไปด้วยระลอกคลื่น".

การพิมพ์หิน "สามโลก"