Əgər rəqs sinus qanununa əsasən təsvir edilərsə. Salınımlar

>>Harmonik vibrasiyalar

§ 22 HARMONİK VİBRASYONLAR

Salınan cismin sürətlənməsi və koordinatının bir-biri ilə necə əlaqəli olduğunu bilməklə, riyazi analiz əsasında koordinatın zamandan asılılığını tapmaq mümkündür.

Sürət koordinatın zamana görə ikinci törəməsidir. Bir nöqtənin ani sürəti, riyaziyyat kursundan bildiyiniz kimi, nöqtənin koordinatlarının zamana görə törəməsidir. Nöqtənin sürətlənməsi onun sürətinin zamana görə törəməsi və ya koordinatın zamana görə ikinci törəməsidir. Buna görə də (3.4) tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

harada x " - koordinatın zamana görə ikinci törəməsi. (3.11) tənliyinə əsasən, sərbəst rəqslər zamanı x koordinatı zamanla elə dəyişir ki, koordinatın zamana görə ikinci törəməsi koordinatın özünə düz mütənasib olsun və işarəsi əks olsun.

Riyaziyyat kursundan məlumdur ki, sinus və kosinusun öz arqumentlərinə görə ikinci törəmələri funksiyaların özləri ilə mütənasibdir. əks işarə. Riyazi analiz sübut edir ki, başqa heç bir funksiya bu xüsusiyyətə malik deyil. Bütün bunlar sizə imkan verir yaxşı səbəblə yerinə yetirən orqanın koordinatı olduğunu iddia edin sərbəst vibrasiya, sinus və ya pasin qanununa görə zamanla dəyişir. Şəkil 3.6-da kosinus qanununa əsasən nöqtənin koordinatının zamanla dəyişməsi göstərilir.

Fiziki kəmiyyətdə zamandan asılı olaraq sinus və ya kosinus qanununa uyğun olaraq baş verən dövri dəyişikliklərə harmonik rəqslər deyilir.

Salınımların amplitudası. Harmonik rəqslərin amplitudası cismin tarazlıq mövqeyindən ən böyük yerdəyişməsinin moduludur.

Amplituda ola bilər müxtəlif mənalar zamanın başlanğıc anında bədəni tarazlıq vəziyyətindən nə qədər sıxışdırdığımızdan və ya bədənə hansı sürətin verilməsindən asılı olaraq. Amplituda ilkin şərtlərlə, daha dəqiq desək, bədənə verilən enerji ilə müəyyən edilir. Lakin sinus modulu və kosinus modulunun maksimum dəyərləri birinə bərabərdir. Buna görə də (3.11) tənliyinin həlli sadəcə sinus və ya kosinus kimi ifadə edilə bilməz. O, salınım amplitüdünün x m sinus və ya kosinusla hasilinin formasını almalıdır.

Sərbəst vibrasiyaları təsvir edən tənliyin həlli.(3.11) tənliyinin həllini aşağıdakı formada yazaq:

və ikinci törəmə bərabər olacaq:

(3.11) tənliyini əldə etdik. Nəticə etibarilə (3.12) funksiyası (3.11) ilkin tənliyin həllidir. Bu tənliyin həlli də funksiya olacaq

(3.14)-ə uyğun olaraq bədən koordinatının zamana qarşı qrafiki kosinus dalğasıdır (bax. Şəkil 3.6).

Harmonik rəqslərin müddəti və tezliyi. Salınım zamanı bədənin hərəkətləri vaxtaşırı təkrarlanır. Sistemin tam bir rəqs dövrünü tamamladığı T müddətinə rəqslər dövrü deyilir.

Dövrü bilməklə, salınımların tezliyini, yəni vaxt vahidi başına salınmaların sayını, məsələn, saniyədə müəyyən edə bilərsiniz. Əgər T zamanında bir rəqs baş verirsə, onda saniyədə salınanların sayı

IN Beynəlxalq sistem vahidlər (SI) saniyədə bir rəqs baş verərsə, rəqs tezliyi birinə bərabərdir. Tezlik vahidi alman fiziki Q.Hertzin şərəfinə hers (qısaldılmış: Hz) adlanır.

2 s-də salınmaların sayı bərabərdir:

Kəmiyyət rəqslərin tsiklik və ya dairəvi tezliyidir. Əgər (3.14) tənliyində t vaxtı bir dövrə bərabərdirsə, onda T = 2. Beləliklə, əgər t = 0 zamanında x = x m olarsa, o zaman t = T x = x m zamanında, yəni 1-ə bərabər olan bir müddət ərzində dövr, rəqslər təkrarlanır.

Sərbəst vibrasiyaların tezliyi 1 salınım sisteminin təbii tezliyi ilə müəyyən edilir.

Sərbəst rəqslərin tezliyinin və dövrünün sistemin xassələrindən asılılığı.(3.13) tənliyinə uyğun olaraq yaya bağlanmış cismin təbii vibrasiya tezliyi aşağıdakılara bərabərdir:

Yayın sərtliyi k nə qədər böyükdürsə, bir o qədər böyükdür və bir o qədər azdır, bədən kütləsi m. Bunu başa düşmək asandır: sərt yay bədənə daha çox sürət verir və bədənin sürətini daha sürətli dəyişir. Bədən nə qədər kütləvi olsa, gücün təsiri altında sürəti bir o qədər yavaş dəyişir. Salınma müddəti bərabərdir:

Müxtəlif sərtliyə və müxtəlif kütlələrə malik cisimlərə malik yaylar dəstinə malik olmaqla (3.13) və (3.18) düsturlarının və T-nin k və m-dən asılılığının xarakterini düzgün təsvir etdiyini təcrübədən yoxlamaq asandır.

Maraqlıdır ki, cismin yayda salınması dövrü və kiçik əyilmə bucaqlarında sarkacın salınması dövrü rəqslərin amplitudasından asılı deyildir.

Sarkacın rəqslərini təsvir edən (3.10) tənliyində sürətlənmə t ilə yerdəyişmə x arasındakı mütənasiblik əmsalının modulu (3.11) tənliyində olduğu kimi, siklik tezliyin kvadratıdır. Nəticə etibarilə, ipin şaqulidən sapmasının kiçik bucaqlarında riyazi sarkacın salınmasının təbii tezliyi sarkacın uzunluğundan və cazibə qüvvəsinin sürətindən asılıdır:

Bu düstur ilk dəfə İ.Nyutonun müasiri olan holland alimi Q.Hüygens tərəfindən əldə edilmiş və sınaqdan keçirilmişdir. Yalnız ipin əyilməsinin kiçik açıları üçün etibarlıdır.

1 Tez-tez aşağıda, qısalıq üçün, biz sadəcə olaraq tezlik kimi siklik tezliyə istinad edəcəyik. Siz siklik tezliyi normal tezlikdən nota görə ayıra bilərsiniz.

Sarkacın uzunluğunun artması ilə salınma müddəti artır. Sarkacın kütləsindən asılı deyil. Bu, müxtəlif sarkaçlarla eksperimental olaraq asanlıqla yoxlanıla bilər. Salınma dövrünün cazibə qüvvəsinin sürətlənməsindən asılılığını da aşkar etmək olar. g nə qədər kiçik olsa, sarkacın salınma müddəti bir o qədər uzun olar və buna görə də sarkaç saatı bir o qədər yavaş işləyir. Beləliklə, çubuqda çəki şəklində sarkaçlı saat Moskva Universitetinin zirzəmisindən yuxarı mərtəbəsinə qaldırıldıqda (hündürlüyü 200 m) gündə təxminən 3 saniyə geri düşəcək. Və bu, yalnız hündürlüklə sərbəst düşmə sürətinin azalması ilə əlaqədardır.

Sarkacın salınma dövrünün g qiymətindən asılılığından praktikada istifadə olunur. Salınma müddətini ölçməklə g çox dəqiq müəyyən edilə bilər. Cazibə qüvvəsinin sürətlənməsi ilə dəyişir coğrafi enlik. Ancaq hətta müəyyən bir enlikdə belə hər yerdə eyni deyil. Axı yer qabığının sıxlığı hər yerdə eyni deyil. Sıx süxurların meydana gəldiyi ərazilərdə g sürəti bir qədər böyükdür. Bu, faydalı qazıntıların axtarışı zamanı nəzərə alınır.

Beləliklə, dəmir filizi adi süxurlarla müqayisədə daha yüksək sıxlığa malikdir. Akademik A. A. Mixaylovun rəhbərliyi altında aparılan Kursk yaxınlığında cazibə qüvvəsinin sürətləndirilməsinin ölçülməsi dəmir filizinin yerini aydınlaşdırmağa imkan verdi. Onlar ilk dəfə maqnit ölçmələri ilə aşkar edilmişdir.

Mexanik vibrasiyaların xüsusiyyətləri əksər elektron tərəzilərin cihazlarında istifadə olunur. Çəkiləcək gövdə, altında sərt yay quraşdırılmış platformaya yerləşdirilir. Nəticədə, var mexaniki vibrasiya, tezliyi müvafiq sensor tərəfindən ölçülür. Bu sensorla əlaqəli mikroprosessor salınma tezliyini çəkilən bədənin kütləsinə çevirir, çünki bu tezlik kütlədən asılıdır.

Salınma dövrü üçün alınan düsturlar (3.18) və (3.20) harmonik rəqslərin dövrünün sistemin parametrlərindən (yay sərtliyi, ip uzunluğu və s.)

Myakişev G. Ya., Fizika. 11-ci sinif: təhsil. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələr / Q. Ya. Myakişev, B. V. Buxovtsev, V. M. Çaruqin; tərəfindən redaktə edilmiş V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17-ci nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Təhsil, 2008. - 399 s.: xəstə.

Siniflərə görə mövzuların tam siyahısı, təqvim planı görə məktəb kurikulumu fizikadan online, fizikadan video material 11 sinif üçün yüklə

Maksimum sürət və sürətlənmə dəyərləri

V(t) və a(t) asılılıq tənliklərini təhlil edərək, triqonometrik amil 1 və ya -1-ə bərabər olduqda sürət və sürətlənmənin maksimum dəyərlər aldığını təxmin edə bilərik. Düsturla müəyyən edilir

v(t) və a(t) asılılıqlarını necə əldə etmək olar

7. Sərbəst vibrasiya. Salınan hərəkətin sürəti, sürətlənməsi və enerjisi. Vibrasiyaların əlavə edilməsi

Pulsuz vibrasiya(və ya təbii vibrasiya) xarici təsirlər olmadıqda yalnız ilkin verilən enerji (potensial və ya kinetik) hesabına baş verən salınım sisteminin rəqsləridir.

Potensial və ya kinetik enerji, məsələn, mexaniki sistemlərdə ilkin yerdəyişmə və ya başlanğıc sürət vasitəsilə verilə bilər.

Sərbəst salınan cisimlər həmişə digər cisimlərlə qarşılıqlı əlaqədə olur və onlarla birlikdə adlanan cisimlər sistemini əmələ gətirir salınım sistemi.

Məsələn, yay, top və yayın yuxarı ucunun bağlandığı şaquli dirək (aşağıdakı şəklə bax) salınım sisteminə daxildir. Burada top sim boyunca sərbəst sürüşür (sürtünmə qüvvələri əhəmiyyətsizdir). Topu sağa aparıb öz başına buraxsanız, o, tarazlıq mövqeyi ətrafında sərbəst fırlanacaq (nöqtə HAQQINDA) tarazlıq vəziyyətinə doğru yönəlmiş yayın elastik qüvvəsinin təsirinə görə.

Başqalarına klassik nümunə Mexanik salınım sistemi riyazi sarkaçdır (aşağıdakı şəklə bax). Bu halda top iki qüvvənin təsiri altında sərbəst salınımlar həyata keçirir: cazibə qüvvəsi və ipin elastik qüvvəsi (Yer də salınım sisteminə daxildir). Onların nəticəsi tarazlıq mövqeyinə yönəldilir.

Salınım sisteminin cisimləri arasında hərəkət edən qüvvələrə deyilir daxili qüvvələr. Xarici qüvvələr tərəfindən sistemə onun xaricindəki cisimlərdən təsir edən qüvvələr adlanır. Bu nöqteyi-nəzərdən sərbəst vibrasiyaları təsir altında olan sistemdəki titrəyişlər kimi təyin etmək olar daxili qüvvələr sistem tarazlıqdan çıxarıldıqdan sonra.

Sərbəst salınımların baş verməsi üçün şərtlər:

1) sistem bu vəziyyətdən çıxarıldıqdan sonra onu sabit tarazlıq vəziyyətinə qaytaran bir qüvvənin onlarda meydana gəlməsi;

2) sistemdə sürtünmənin olmaması.

Sərbəst vibrasiyaların dinamikası.

Elastik qüvvələrin təsiri altında bədən titrəmələri. Elastik qüvvənin təsiri altında cismin salınımlı hərəkətinin tənliyi F(şəklə bax) Nyutonun ikinci qanununu nəzərə alaraq əldə edilə bilər ( F = ma) və Huk qanunu ( F nəzarət= -kx), Harada m topun kütləsidir və elastik qüvvənin təsiri altında topun əldə etdiyi sürətlənmədir, k- yayın sərtlik əmsalı, X- bədənin tarazlıq mövqeyindən yerdəyişməsi (hər iki tənlik üfüqi oxa proyeksiyada yazılır. Oh). Bu tənliklərin sağ tərəflərini bərabərləşdirmək və sürətlənməni nəzərə almaq A koordinatın ikinci törəməsidir X(yer dəyişdirmə), alırıq:

.

Bu, elastik qüvvənin təsiri altında salınan cismin hərəkətinin diferensial tənliyidir: koordinatın zamana görə ikinci törəməsi (bədənin sürətlənməsi) onun koordinatı ilə düz mütənasibdir, əks işarə ilə alınır.

Riyazi sarkacın salınımları. Riyazi sarkacın (şəkil) salınım tənliyini əldə etmək üçün cazibə qüvvəsini genişləndirmək lazımdır. F T= mq normala Fn(iplik boyunca yönəldilmiş) və tangensial F τ(topun trayektoriyasına toxunan - dairə) komponentləri. Cazibə qüvvəsinin normal komponenti Fn və ipin elastik qüvvəsi FynpÜmumilikdə sarkaç sürətin böyüklüyünə təsir etməyən, yalnız onun istiqamətini və tangensial komponentini dəyişdirən mərkəzə sürüşmə sürətini verir. F τ topu tarazlıq vəziyyətinə qaytaran və onun salınımlı hərəkətlər etməsinə səbəb olan qüvvədir. Əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, tangensial sürətlənmə üçün Nyuton qanunundan istifadə ma τ = F τ və bunu nəzərə alaraq F τ= -mg sinα, alırıq:

a τ= -g sinα,

Mənfi işarə qüvvə və tarazlıq mövqeyindən yayınma bucağı olduğu üçün ortaya çıxdı α əks əlamətlərə malikdir. Kiçik əyilmə açıları üçün günah α ≈ α. Öz növbəsində, α = s/l, Harada s- qövs O.A., I- ip uzunluğu. Bunu nəzərə alaraq və τ= s", nəhayət əldə edirik:

Tənliyin forması tənliyə bənzəyir . Yalnız burada sistemin parametrləri yayın sərtliyi və topun kütləsi deyil, ipin uzunluğu və sərbəst düşmənin sürətlənməsidir; koordinatın rolunu qövsün uzunluğu oynayır (yəni birinci halda olduğu kimi qət olunmuş məsafə).

Beləliklə, sərbəst vibrasiyalar, bu titrəmələrə səbəb olan qüvvələrin fiziki təbiətindən asılı olmayaraq, eyni tipli (eyni qanunlara tabe olan) tənliklərlə təsvir olunur.

Tənliklərin həlli və formanın funksiyasıdır:

x = xmcos ω 0t(və ya x = xmgünah ω 0t).

Yəni sərbəst rəqslər edən cismin koordinatı zamanla kosinus və ya sinus qanununa uyğun olaraq dəyişir və buna görə də bu rəqslər harmonik olur:

Eq. x = xmcos ω 0t(və ya x = xmgünah ω 0t), x m- vibrasiya amplitudası, ω 0 - rəqslərin öz tsiklik (dairəvi) tezliyi.

Sərbəst harmonik rəqslərin tsiklik tezliyi və müddəti sistemin xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir. Beləliklə, yaya bağlanmış cismin vibrasiyası üçün aşağıdakı əlaqələr etibarlıdır:

.

Yayın sərtliyi nə qədər böyükdürsə və ya yükün kütləsi nə qədər kiçik olsa, təcrübə ilə tam təsdiqlənən təbii tezlik də bir o qədər böyükdür.

Riyazi sarkaç üçün aşağıdakı bərabərliklər təmin edilir:

.

Bu düstur ilk dəfə Hollandiyalı alim Huygens (Nyutonun müasiri) tərəfindən əldə edilmiş və sınaqdan keçirilmişdir.

Salınma müddəti sarkacın uzunluğunun artması ilə artır və onun kütləsindən asılı deyil.

Harmonik salınımların ciddi şəkildə dövri olmasına (onlar sinus və ya kosinus qanununa tabe olduqlarına görə) və hətta real (fiziki) sarkacın ideallaşdırılması olan riyazi sarkaç üçün yalnız kiçik salınımlarda mümkün olduğuna xüsusi diqqət yetirilməlidir. bucaqlar. Əgər əyilmə bucaqları böyükdürsə, yükün yerdəyişməsi əyilmə bucağına (bucağın sinusuna) mütənasib olmayacaq və sürətlənmə yerdəyişmə ilə mütənasib olmayacaq.

Sərbəst salınan cismin sürəti və sürəti də harmonik rəqslərə məruz qalacaq. Funksiyanın zaman törəməsinin götürülməsi ( x = xmcos ω 0t(və ya x = xmgünah ω 0t)), sürət üçün ifadə alırıq:

v = -v mgünah ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Harada v m= ω 0 x m- sürət amplitudası.

Sürətlənmə üçün oxşar ifadə A fərqləndirməklə əldə edirik ( v = -v mgünah ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Harada a m= ω 2 0x m- sürətlənmənin amplitudası. Beləliklə, harmonik rəqslərin sürətinin amplitudası tezliyə, sürətlənmənin amplitudası isə rəqs tezliyinin kvadratına mütənasibdir.

HARMONİK VİBRASYONLAR
Fiziki kəmiyyətlərin dəyişməsinin kosinus və ya sinus (harmonik qanun) qanununa uyğun olaraq baş verdiyi rəqslərə deyilir. harmonik vibrasiya. Məsələn, mexaniki harmonik vibrasiya halında:. Bu düsturlarda ω rəqsin tezliyi, x m rəqsin amplitudası, φ 0 və φ 0 ' rəqsin ilkin fazalarıdır. Yuxarıdakı düsturlar ilkin mərhələnin tərifində fərqlənir və φ 0 ’ = φ 0 +π/2-də tamamilə üst-üstə düşür.
Bu ən sadə forma dövri salınımlar. Funksiyanın xüsusi forması (sinus və ya kosinus) sistemin tarazlıq vəziyyətindən çıxarılması üsulundan asılıdır. Çıxarma təkanla baş verirsə (kinetik enerji ötürülür), onda t = 0-da yerdəyişmə x = 0, buna görə də istifadə etmək daha rahatdır. funksiya günah, φ 0 ’=0 qoymaq; t = 0-da tarazlıq mövqeyindən (potensial enerji məlumat verilir) kənara çıxdıqda, yerdəyişmə x = x m, buna görə də cos funksiyasından və φ 0 = 0-dan istifadə etmək daha rahatdır.
Cos və ya sin işarəsi altında olan ifadə deyilir. salınım mərhələsi:. Salınma fazası radyanla ölçülür və yerdəyişmənin (salınan kəmiyyətin) qiymətini müəyyən edir. Bu an vaxt.
Salınmanın amplitudası yalnız ilkin sapmadan (salınma sisteminə verilən ilkin enerjidən) asılıdır.
Harmonik rəqslər zamanı sürət və təcil.
Sürətin tərifinə görə, sürət bir mövqenin zamana görə törəməsidir
Beləliklə, harmonik salınım hərəkəti zamanı sürətin də harmonik qanuna uyğun olaraq dəyişdiyini görürük, lakin sürət rəqsləri faza yerdəyişmə rəqslərini π/2 qabaqlayır.
Dəyər - maksimum sürət salınım hərəkəti (sürət dalğalanmalarının amplitudası).
Beləliklə, harmonik salınım zamanı sürət üçün biz var: , və sıfır başlanğıc mərhələsi üçün (qrafikə bax).
Sürətlənmənin tərifinə görə, sürətlənmə sürətin zamana görə törəməsidir: koordinatın zamana görə ikinci törəməsidir. Sonra: . Harmonik salınım hərəkəti zamanı sürətlənmə də harmonik qanuna uyğun olaraq dəyişir, lakin sürətlənmə rəqsləri sürət rəqslərini π/2, yerdəyişmə rəqslərini isə π qabaqlayır (rəqsmələrin baş verdiyi deyilir) antifazada).
Dəyər - maksimum sürətlənmə (sürətlənmə dalğalanmalarının amplitüdü). Beləliklə, sürətləndirmək üçün bizdə var: , və sıfır ilkin mərhələ üçün: (diaqrama bax).
Salınan hərəkət prosesinin təhlilindən, qrafiklər və müvafiq riyazi ifadələr aydındır ki, salınan cisim tarazlıq mövqeyindən keçdikdə (yerdəyişmə sıfırdır), sürətlənmə sıfır, cismin sürəti isə maksimum olur (cisim tarazlıq mövqeyindən ətalətlə keçir), yerdəyişmənin amplituda qiyməti isə çatdıqda, sürət sıfırdır və sürətlənmə mütləq dəyərdə maksimumdur (bədən öz hərəkət istiqamətini dəyişir).
Harmonik vibrasiya zamanı yerdəyişmə və sürətlənmə ifadələrini müqayisə edək: və .
Yaza bilərsiniz: - yəni. yerdəyişmənin ikinci törəməsi yerdəyişmə ilə düz mütənasibdir (əks işarə ilə). Bu tənlik adlanır tənlik harmonik vibrasiya. Bu asılılıq təbiətindən asılı olmayaraq hər hansı harmonik rəqsə aiddir. Müəyyən bir salınım sisteminin parametrlərindən heç vaxt istifadə etmədiyimiz üçün onlardan yalnız siklik tezlik asılı ola bilər.
Çox vaxt vibrasiya tənliklərini aşağıdakı formada yazmaq rahatdır: , burada T salınım dövrüdür. Sonra, zaman dövrün kəsrləri ilə ifadə edilərsə, hesablamalar sadələşdiriləcəkdir. Məsələn, dövrün 1/8 hissəsindən sonra yerdəyişməni tapmaq lazımdırsa, alarıq: . Sürət və sürətlənmə üçün də eynidir.

Çox vaxt sistemin bir-birindən asılı olmayan iki və ya bir neçə rəqsdə eyni vaxtda iştirak etdiyi hallar olur. Bu hallarda bir-birinə rəqslərin üst-üstə düşməsi (əlavə edilməsi) ilə yaranan mürəkkəb rəqs hərəkəti əmələ gəlir. Aydındır ki, salınımların əlavə edilməsi halları çox müxtəlif ola bilər. Onlar təkcə əlavə edilmiş rəqslərin sayından deyil, həm də salınımların parametrlərindən, onların tezliklərindən, fazalarından, amplitudalarından və istiqamətlərindən asılıdır. Salınımların əlavə edilməsi hallarının bütün mümkün müxtəlifliyini nəzərdən keçirmək mümkün deyil, buna görə də biz yalnız fərdi nümunələri nəzərdən keçirməklə məhdudlaşacağıq.
1. Bir istiqamətli rəqslərin əlavə edilməsi. Eyni tezlikli, lakin fazaları və amplitudaları müxtəlif olan iki rəqsi əlavə edək.

(4.40)
Salınımlar bir-birinin üstünə qoyulduqda


Tənliklərə uyğun olaraq yeni A və j parametrlərini təqdim edək:

(4.42)
(4.42) tənliklər sistemini həll etmək asandır.

(4.43)

(4.44)
Beləliklə, x üçün nəhayət tənliyi əldə edirik

(4.45)
Beləliklə, eyni tezlikli biristiqamətli rəqslərin əlavə edilməsi nəticəsində amplitudası və fazası (4.43) və (4.44) düsturları ilə təyin olunan harmonik (sinusoidal) rəqs alırıq.
Əlavə edilmiş iki rəqsin fazaları arasındakı əlaqənin fərqli olduğu xüsusi halları nəzərdən keçirək:


(4.46)
İndi eyni amplitudalı, eyni fazalı, lakin müxtəlif tezlikli biristiqamətli salınımları toplayaq.


(4.47)
Tezliklərin bir-birinə yaxın olması halını nəzərdən keçirək, yəni w1~w2=w
Sonra (w1+w2)/2= w və (w2-w1)/2-nin kiçik bir dəyər olduğunu təqribən qəbul edəcəyik. Nəticədə salınan tənlik belə görünəcək:

(4.48)
Onun qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 4.5 Bu rəqsə döyülmə deyilir. Bu, w tezliyi ilə baş verir, lakin onun amplitudası böyük bir dövrlə salınır.

2. Qarşılıqlı perpendikulyar iki rəqsin toplanması. Fərz edək ki, bir rəqs x oxu boyunca, digəri isə y oxu boyunca baş verir. Nəticədə hərəkət açıq şəkildə xy müstəvisində yerləşir.
1. Fərz edək ki, rəqslərin tezlikləri və fazaları eynidir, lakin amplitudaları fərqlidir.

(4.49)
Yaranan hərəkətin trayektoriyasını tapmaq üçün (4.49) tənliklərdən vaxtı aradan qaldırmaq lazımdır. Bunun üçün bir tənliyin müddətini digərinə bölmək kifayətdir ki, bunun nəticəsində əldə edirik

(4.50)
(4.50) tənliyi göstərir ki, bu halda salınımların əlavə edilməsi mailliyi amplitudaların nisbəti ilə təyin olunan düz xətt üzrə rəqsə gətirib çıxarır.
2. Əlavə edilmiş rəqslərin fazaları bir-birindən /2 ilə fərqlənsin və tənliklər aşağıdakı formada olsun:

(4.51)
Yaranan hərəkətin trayektoriyasını tapmaq üçün vaxt istisna olmaqla, tənlikləri (4.51) kvadratlaşdırmaq lazımdır, əvvəlcə onları müvafiq olaraq A1 və A2-yə bölmək və sonra onları əlavə etmək lazımdır. Trayektoriya tənliyi aşağıdakı formanı alacaq:

(4.52)
Bu ellipsin tənliyidir. Sübut edilə bilər ki, hər hansı bir ilkin fazalar və eyni tezlikli iki qarşılıqlı perpendikulyar salınmanın əlavə edilmiş hər hansı amplitudaları üçün nəticədə salınan bir ellips boyunca baş verəcəkdir. Onun istiqaməti əlavə edilən salınımların fazalarından və amplitüdlərindən asılı olacaq.
Əlavə edilmiş salınımlar müxtəlif tezliklərə malikdirsə, nəticədə yaranan hərəkətlərin traektoriyaları çox müxtəlif olur. Yalnız x və y-də salınma tezlikləri bir-birinin çoxluğu olduqda qapalı trayektoriyalar alınır. Bu cür hərəkətləri dövri olaraq təsnif etmək olar. Bu vəziyyətdə hərəkətlərin trayektoriyalarına Lissajous fiqurları deyilir. Hərəkətin başlanğıcında eyni amplituda və fazalara malik, tezlik nisbətləri 1:2 olan rəqslərin əlavə edilməsi ilə əldə edilən Lissaju fiqurlarından birini nəzərdən keçirək.

(4.53)
Y oxu boyunca rəqslər x oxuna nisbətən iki dəfə daha çox baş verir. Belə salınımların əlavə edilməsi səkkiz rəqəmi şəklində hərəkət trayektoriyasına gətirib çıxaracaq (Şəkil 4.7).

8. Söndürülmüş rəqslər və onların parametrləri: azalma və rəqs əmsalı, relaksasiya vaxtı

)Söndürülmüş salınımlar dövrü:

T = (58)

At δ << ω o titrəmələr harmoniklərdən fərqlənmir: T = 2π/ ω o.

2) Söndürülmüş salınımların amplitudası(119) düsturu ilə ifadə edilir.

3) Zəifləmənin azalması, iki ardıcıl vibrasiya amplitüdünün nisbətinə bərabərdir A(t) Və A(t+T), bir müddət ərzində amplituda azalma sürətini xarakterizə edir:

= e d T (59)

4) Loqarifmik sönüm azalması- dövrlə fərqlənən zaman anlarına uyğun gələn iki ardıcıl rəqsin amplitüdlərinin nisbətinin natural loqarifmi

q = ln = ln e d Т =dT(60)

Loqarifmik sönüm azalma müəyyən bir salınım sistemi üçün sabit qiymətdir.

5) İstirahət vaxtı zaman dövrü adlandırmaq adətdir ( t) bu müddət ərzində sönümlü salınımların amplitudası e dəfə azalır:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

(60) və (61) ifadələrinin müqayisəsindən əldə edirik:

q= = , (62)

Harada N e - istirahət zamanı həyata keçirilən salınımların sayı.

Əgər müddət ərzində t sistem öhdəlik götürür Ν sonra tərəddüd t = Ν . Τ və sönümlü salınımların tənliyi aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Salınım sisteminin keyfiyyət amili(Q) adətən rəqs dövründə sistemdə enerji itkisini xarakterizə edən kəmiyyət adlanır:

Q = 2səh , (63)

Harada W- sistemin ümumi enerjisi, ΔW- bir müddət ərzində yayılan enerji. Enerji nə qədər az yayılsa, sistemin keyfiyyət faktoru bir o qədər yüksək olar. Hesablamalar bunu göstərir

Q = = pN e = =. (64)

Bununla belə, keyfiyyət amili loqarifmik zəifləmə azalması ilə tərs mütənasibdir. (64) düsturundan belə nəticə çıxır ki, keyfiyyət əmsalı rəqslərin sayına mütənasibdir N e istirahət zamanı sistem tərəfindən həyata keçirilir.

7) Potensial enerji t zamanındakı sistem, potensial enerji ilə ifadə edilə bilər W 0 ən böyük sapma:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Adətən şərti olaraq, enerjisi 100 dəfə azaldıqda (amplituda 10 dəfə azalıb) rəqslərin praktiki olaraq dayandığı hesab olunur. Buradan sistemin yerinə yetirdiyi salınımların sayını hesablamaq üçün ifadə əldə edə bilərik:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Məcburi vibrasiyalar. Rezonans. Aperiodik salınımlar. Öz-özünə salınımlar.

Sistemin sönümsüz rəqslər həyata keçirməsi üçün kənardan sürtünmə nəticəsində salınma enerjisinin itkisini kompensasiya etmək lazımdır. Sistemin salınım enerjisinin azalmamasını təmin etmək üçün adətən sistemə vaxtaşırı təsir edən bir qüvvə tətbiq edilir (biz belə bir qüvvə adlandıracağıq) məcbur etmək, və salınımlar məcburidir).

TƏRİF: məcbur Bunlar xarici dövri dəyişən qüvvənin təsiri altında salınan sistemdə baş verən rəqslərdir.

Bu qüvvə adətən ikili rol oynayır:

birincisi, sistemi silkələyir və onu müəyyən miqdarda enerji ilə təmin edir;

ikincisi, müqavimət və sürtünmə qüvvələrini aradan qaldırmaq üçün enerji itkilərini (enerji sərfiyyatını) vaxtaşırı doldurur.

Qanuna uyğun olaraq hərəkətverici qüvvə zamanla dəyişsin:

.

Belə bir qüvvənin təsiri altında salınan sistem üçün hərəkət tənliyini tərtib edək. Güman edirik ki, sistem eyni zamanda kvazi-elastik qüvvə və mühitin müqavimət qüvvəsindən təsirlənir (kiçik salınımlar fərziyyəsində bu doğrudur). Onda sistemin hərəkət tənliyi belə görünəcək:

Və ya .

, , – sistemin rəqslərinin təbii tezliyini əvəz etdikdən sonra qeyri-homogen xətti diferensial tənliyi 2 alırıq. ci sifariş:

Diferensial tənliklər nəzəriyyəsindən məlum olur ki, qeyri-bircins tənliyin ümumi həlli bircins tənliyin ümumi həlli ilə qeyri-homogen tənliyin xüsusi həllinin cəminə bərabərdir.

Homojen tənliyin ümumi həlli məlumdur:

,

Harada ; a 0 və a– ixtiyari const.

.

Bir vektor diaqramından istifadə edərək, bu fərziyyənin doğru olduğunu yoxlaya və həmçinin "" dəyərlərini təyin edə bilərsiniz. a"Və" j”.

Salınımların amplitudası aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:

.

Məna " j”, məcburi rəqsin faza geriləməsinin böyüklüyüdür onu təyin edən hərəkətverici qüvvədən də vektor diaqramından müəyyən edilir və aşağıdakılara bərabər olur:

.

Nəhayət, qeyri-homogen tənliyin xüsusi həlli aşağıdakı formanı alacaq:

(8.18)

Bu funksiya ilə birlikdə

(8.19)

məcburi rəqslər altında sistemin davranışını təsvir edən qeyri-bərabər diferensial tənliyin ümumi həllini verir. (8.19) termini prosesin ilkin mərhələsində, salınımların yaradılması deyilən zaman mühüm rol oynayır (Şəkil 8.10). Zaman keçdikcə eksponensial faktora görə ikinci terminin (8.19) rolu getdikcə daha çox azalır və kifayət qədər vaxt keçdikdən sonra həlldə yalnız (8.18) termini saxlanılmaqla ona əhəmiyyət verilə bilər.

Beləliklə, (8.18) funksiya sabit vəziyyətdə olan məcburi rəqsləri təsvir edir. Onlar hərəkətverici qüvvənin tezliyinə bərabər tezlikli harmonik salınımları təmsil edirlər. Məcburi rəqslərin amplitudası hərəkətverici qüvvənin amplitudasına mütənasibdir. Verilmiş salınım sistemi üçün (w 0 və b ilə müəyyən edilir) amplituda hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılıdır. Məcburi rəqslər fazada hərəkətverici qüvvədən geri qalır və “j” geriləməsinin böyüklüyü də hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılıdır.

Məcburi rəqslərin amplitudasının hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılılığı ona gətirib çıxarır ki, verilmiş sistem üçün müəyyən edilmiş müəyyən tezlikdə salınımların amplitudası maksimum qiymətə çatır. Salınım sistemi bu tezlikdə hərəkətverici qüvvənin hərəkətinə xüsusilə həssasdır. Bu fenomen deyilir rezonans, və müvafiq tezlikdir rezonans tezliyi.

TƏRİF: məcburi salınımların amplitudasının kəskin artmasının müşahidə olunduğu hadisəyə deyilir. rezonans.

Rezonans tezliyi məcburi salınımların amplitudasının maksimum şərtindən müəyyən edilir:

. (8.20)

Sonra, bu dəyəri amplituda ifadəsinə əvəz edərək, alırıq:

. (8.21)

Orta müqavimət olmadıqda, rezonansda salınımların amplitudası sonsuzluğa çevriləcək; eyni şəraitdə rezonans tezliyi (b=0) rəqslərin təbii tezliyi ilə üst-üstə düşür.

Məcburi rəqslərin amplitudasının hərəkətverici qüvvənin tezliyindən (və ya eynidir, rəqs tezliyindən) asılılığını qrafik şəkildə göstərmək olar (şək. 8.11). Fərdi əyrilər "b" nin müxtəlif qiymətlərinə uyğundur. “b” nə qədər kiçik olsa, bu əyrinin maksimumu bir o qədər yüksək və sağda yerləşir (w res ifadəsinə baxın). Çox yüksək amortizasiya ilə rezonans müşahidə edilmir - artan tezlik ilə məcburi salınımların amplitudası monoton şəkildə azalır (şəkil 8.11-də aşağı əyri).

b-nin müxtəlif qiymətlərinə uyğun gələn qrafiklər toplusu adlanır rezonans əyriləri.

Qeydlər rezonans əyriləri ilə bağlı:

w®0 meyli kimi, bütün əyrilər eyni sıfırdan fərqli dəyərə bərabər olur. Bu dəyər sistemin sabit qüvvənin təsiri altında aldığı tarazlıq mövqeyindən yerdəyişməsini əks etdirir. F 0 .

w®¥ bütün əyrilər asimptotik olaraq sıfıra meyllidir, çünki yüksək tezliklərdə qüvvə öz istiqamətini o qədər tez dəyişir ki, sistemin tarazlıq mövqeyindən nəzərəçarpacaq dərəcədə dəyişməyə vaxtı olmur.

b nə qədər kiçik olsa, rezonansa yaxın amplituda tezliklə nə qədər çox dəyişirsə, maksimum “kəskin” olur.

Rezonans fenomeni çox vaxt faydalı olur, xüsusən akustika və radiotexnikada.

Öz-özünə salınımlar- sabit enerji ilə dəstəklənən qeyri-xətti əks əlaqə ilə dissipativ dinamik sistemdə sönümsüz rəqslər, yəni qeyri-dövri xarici təsir.

Öz-özünə salınımlar fərqlidir məcburi salınımlarçünki sonuncular səbəb olur dövri xarici təsir və bu təsirin tezliyi ilə baş verir, öz-özünə salınmaların baş verməsi və onların tezliyi özünü salınan sistemin daxili xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir.

Müddət öz-özünə salınımlar 1928-ci ildə A. A. Andronov tərəfindən rus terminologiyasına daxil edilmişdir.

Nümunələr[

Öz-özünə salınma nümunələrinə aşağıdakılar daxildir:

· sarım çəkisinin cazibə qüvvəsinin daimi təsiri nəticəsində saat sarkacının sönümsüz salınımları;

bərabər hərəkət edən yayın təsiri altında skripka siminin titrəməsi

· multivibrator sxemlərində və digər elektron generatorlarda daimi təchizatı gərginliyində dəyişən cərəyanın baş verməsi;

· orqanın borusunda hava sütununun salınması, ona vahid hava tədarükü. (həmçinin bax Daimi dalğa)

· maqnitdən asılmış və burulmuş polad oxu olan mis saat mexanizminin fırlanma vibrasiyaları (Qamazkov təcrübəsi) (təkərin kinetik enerjisi birqütblü generatorda olduğu kimi, elektrik sahəsinin potensial enerjisinə, potensial enerjiyə çevrilir. elektrik sahəsi, birqütblü mühərrikdə olduğu kimi, təkərin kinetik enerjisinə çevrilir və s.)

Maklakovun çəkici

Elektrik dövrəsindəki cərəyanın tezliyindən dəfələrlə aşağı tezlikdə dəyişən cərəyan enerjisindən istifadə edərək vuran çəkic.

Salınan dövrənin L bobini masanın (və ya vurulması lazım olan digər obyektin) üstündə yerləşdirilir. Aşağıdan bir dəmir boru daxil olur, onun aşağı ucu çəkicin vuran hissəsidir. Borunun Foucault cərəyanlarını azaltmaq üçün şaquli bir yuvası var. Salınım dövrəsinin parametrləri elədir ki, onun rəqslərinin təbii tezliyi dövrədəki cərəyanın tezliyi ilə üst-üstə düşür (məsələn, dəyişən şəhər cərəyanı, 50 herts).

Cərəyanı açdıqdan və salınımlar qurduqdan sonra dövrənin və xarici dövrənin cərəyanlarının rezonansı müşahidə olunur və dəmir boru bobinə çəkilir. Bobinin endüktansı artır, salınım dövrəsi rezonansdan çıxır və bobindəki cərəyan salınımlarının amplitudası azalır. Buna görə də, boru cazibə qüvvəsinin təsiri altında orijinal vəziyyətinə - rulondan kənarda qayıdır. Sonra dövrə daxilində cari salınımlar artmağa başlayır və yenidən rezonans yaranır: boru yenidən bobinə çəkilir.

Boru düzəldir öz-özünə salınımlar, yəni yuxarı və aşağı dövri hərəkətlər və eyni zamanda çəkic kimi yüksək səslə stolu döyür. Bu mexaniki öz-özünə salınmaların müddəti onları dəstəkləyən alternativ cərəyanın dövründən onlarla dəfə uzundur.

Çəkic Moskva Fizika-Texnika İnstitutunun mühazirə assistenti M.İ.Maklakovun adını daşıyır, o, öz-özünə salınımları nümayiş etdirmək üçün belə bir təcrübə təklif etmiş və həyata keçirmişdir.

Öz-özünə salınma mexanizmi

Şəkil 1.Öz-özünə salınma mexanizmi

Öz-özünə salınımlar fərqli bir təbiətə malik ola bilər: mexaniki, istilik, elektromaqnit, kimyəvi. Müxtəlif sistemlərdə öz-özünə salınmaların baş verməsi və saxlanması mexanizmi müxtəlif fizika və ya kimya qanunlarına əsaslana bilər. Müxtəlif sistemlərin öz-özünə salınımlarının dəqiq kəmiyyət təsviri üçün müxtəlif riyazi aparatlar tələb oluna bilər. Buna baxmayaraq, bu mexanizmi keyfiyyətcə təsvir edən bütün öz-özünə salınan sistemlər üçün ümumi olan bir diaqramı təsəvvür etmək mümkündür (şək. 1).

Diaqramda: S- daimi (qeyri-dövri) təsir mənbəyi; R- sabit effekti dəyişənə (məsələn, zamanla aralıq effektə) çevirən qeyri-xətti nəzarətçi, “yelləncək” osilator V- sistemin salınan element(lər)i və əks əlaqə vasitəsilə osilatorun rəqsləri B tənzimləyicinin işinə nəzarət etmək R, soruşmaq faza Və tezlik onun hərəkətləri. Öz-özünə salınan sistemdə sönmə (enerji itkisi) ona daimi təsir mənbəyindən enerji axını ilə kompensasiya edilir, bunun sayəsində öz-özünə salınımlar sönmür.

düyü. 2 Sarkaçlı saatın tıxac mexanizminin diaqramı

Sistemin salınan elementi özünə qadirdirsə sönümlü salınımlar(sözdə harmonik dissipativ osilator), öz-özünə salınımlar (dövr ərzində sistemə bərabər dağıdıcı və enerji daxil olmaqla) yaxın tezlikdə qurulur. rezonanslı bu osilator üçün onların forması harmonikə yaxın olur və müəyyən dəyərlər diapazonunda amplituda daimi xarici təsirin miqyası bir o qədər böyük olur.

Bu cür sistemin nümunəsi, diaqramı Şəkil 1-də göstərilən sarkaçlı saatın cırcır mexanizmidir. 2. Təkər çarxının oxunda A(bu sistemdə qeyri-xətti tənzimləyici funksiyasını yerinə yetirir) sabit qüvvə anı var M, dişli qatar vasitəsilə əsas yaydan və ya çəkidən ötürülür. Təkər fırlananda A dişləri sarkata qısamüddətli güc impulsları verir P(osilator), bunun sayəsində onun salınımları sönmür. Mexanizmin kinematikası sistemdə əks əlaqə rolunu oynayır, çarxın fırlanmasını sarkacın salınımları ilə elə sinxronlaşdırır ki, tam salınım dövründə təkər bir dişə uyğun bucaqla fırlanır.

Harmonik osilatorları olmayan öz-özünə salınan sistemlər adlanır istirahət. Onlardakı titrəmələr harmoniklərdən çox fərqli ola bilər və düzbucaqlı, üçbucaqlı və ya trapezoidal bir forma malikdir. Öz-özünə salınmaların relaksasiyasının amplitudası və müddəti sabit təsirin miqyasının nisbəti və sistemin ətalət və dissipasiya xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir.

düyü. 3 Elektrik zəngi

Öz-özünə salınmaların ən sadə nümunəsi Şəkildə göstərilən elektrik zənginin işləməsidir. 3. Burada daimi (qeyri-dövri) məruz qalma mənbəyi elektrik batareyasıdır U; Qeyri-xətti tənzimləyicinin rolunu doğrayıcı yerinə yetirir T, elektrik dövrəsinin bağlanması və açılması, bunun nəticəsində onda aralıq cərəyan görünür; salınan elementlər elektromaqnitin nüvəsində vaxtaşırı induksiya olunan maqnit sahəsidir E, və lövbər A, dəyişən maqnit sahəsinin təsiri altında hərəkət edir. Armaturun salınımları əks əlaqə yaradan açarı aktivləşdirir.

Bu sistemin ətaləti iki müxtəlif fiziki kəmiyyətlə müəyyən edilir: armaturun ətalət momenti A və elektromaqnit sarımının endüktansı E. Bu parametrlərdən hər hansı birinin artması öz-özünə salınma dövrünün artmasına səbəb olur.

Sistemdə bir-birindən asılı olmayaraq salınan və eyni zamanda qeyri-xətti tənzimləyiciyə və ya tənzimləyiciyə təsir edən bir neçə element varsa (bunlardan bir neçəsi də ola bilər), öz-özünə salınımlar daha mürəkkəb xarakter ala bilər, məsələn: aperiodik, və ya dinamik xaos.

Təbiətdə və texnologiyada

Öz-özünə salınımlar bir çox təbiət hadisələrinin əsasını təşkil edir:

· vahid hava axınının təsiri altında bitki yarpaqlarının titrəməsi;

· çayların riftlərində və şaplarında turbulent axınların əmələ gəlməsi;

· müntəzəm geyzerlərin hərəkəti və s.

Çox sayda müxtəlif texniki cihaz və cihazların iş prinsipi öz-özünə salınımlara əsaslanır, o cümlədən:

· bütün növ saatların həm mexaniki, həm də elektriklə işləməsi;

· bütün nəfəsli və simli musiqi alətlərinin səsi;

©2015-2019 saytı
Bütün hüquqlar onların müəlliflərinə məxsusdur. Bu sayt müəllifliyi iddia etmir, lakin pulsuz istifadəni təmin edir.
Səhifənin yaranma tarixi: 04-04-2017

Salınım hərəkəti- koordinatı, sürəti və sürəti bərabər zaman intervallarında təxminən eyni qiymətlər alan cismin dövri və ya demək olar ki, dövri hərəkəti.

Mexanik titrəmələr, bədən tarazlıq vəziyyətindən çıxarıldıqda, bədəni geri qaytarmağa meylli bir qüvvə meydana gəldikdə baş verir.

X yerdəyişməsi bədənin tarazlıq vəziyyətindən kənara çıxmasıdır.

A amplitudası bədənin maksimum yerdəyişməsinin moduludur.

Salınma dövrü T - bir rəqsin vaxtı:

Salınım tezliyi

Bir cismin vaxt vahidi üçün etdiyi rəqslərin sayı: Salınımlar zamanı sürət və sürətlənmə dövri olaraq dəyişir. Tarazlıq vəziyyətində sürət maksimum, sürətlənmə isə sıfırdır. Maksimum yerdəyişmə nöqtələrində sürətlənmə maksimuma çatır və sürət sıfır olur.

HARMONİK VİBRASYON CƏDVƏLİ

Harmonik sinus və ya kosinus qanununa görə baş verən titrəyişlərə deyilir:

burada x(t) sistemin t vaxtında yerdəyişməsi, A amplitudası, ω rəqslərin siklik tezliyidir.

Bədənin şaquli ox boyunca tarazlıq mövqeyindən sapmasını və üfüqi ox boyunca vaxtı tərtib etsəniz, x = x (t) salınım qrafikini alacaqsınız - bədənin yerdəyişməsinin zamandan asılılığı. Sərbəst harmonik salınımlar üçün bu, sinus dalğası və ya kosinus dalğasıdır. Şəkildə x yerdəyişməsinin, V x sürətinin və a x sürətinin zamandan asılılığının qrafikləri göstərilir.

Qrafiklərdən göründüyü kimi maksimum yerdəyişmə x zamanı salınan cismin V sürəti sıfıra bərabərdir, sürəti a və buna görə də cismə təsir edən qüvvə maksimumdur və yerdəyişmənin əksinə yönəlmişdir. Tarazlıq vəziyyətində yerdəyişmə və sürətlənmə sıfır olur və sürət maksimumdur. Sürətlənmə proyeksiyası həmişə yerdəyişmənin əks işarəsinə malikdir.

VİBRASYON HƏRƏKƏTİNİN ENERJİSİ

Salınan cismin ümumi mexaniki enerjisi onun kinetik və potensial enerjilərinin cəminə bərabərdir və sürtünmə olmadıqda sabit qalır:

Yerdəyişmə maksimum x = A-a çatdıqda sürət və onunla birlikdə kinetik enerji sıfıra enir.

Bu halda ümumi enerji potensial enerjiyə bərabərdir:

Salınan cismin ümumi mexaniki enerjisi onun salınımlarının amplitudasının kvadratına mütənasibdir.

Sistem tarazlıq mövqeyini keçdikdə yerdəyişmə və potensial enerji sıfırdır: x = 0, E p = 0. Buna görə də ümumi enerji kinetik enerjiyə bərabərdir:

Salınan cismin ümumi mexaniki enerjisi onun tarazlıq vəziyyətindəki sürətinin kvadratına mütənasibdir. Beləliklə:

RİYASİ SALKAÇ

1. Riyaziyyat sarkaççəkisiz uzanmayan sap üzərində asılmış maddi nöqtədir.

Tarazlıq vəziyyətində cazibə qüvvəsi ipin gərginliyi ilə kompensasiya edilir. Sarkac əyilirsə və sərbəst buraxılarsa, qüvvələr bir-birini kompensasiya etməyi dayandıracaq və nəticədə tarazlıq mövqeyinə yönəlmiş bir qüvvə meydana gələcək. Nyutonun ikinci qanunu:

Kiçik rəqslər üçün x yerdəyişməsi l-dən çox az olduqda, maddi nöqtə demək olar ki, üfüqi x oxu boyunca hərəkət edəcəkdir. Sonra MAB üçbucağından alırıq:

Çünki sin a = x/l, onda yaranan R qüvvəsinin x oxuna proyeksiyası bərabərdir

Mənfi işarə onu göstərir ki, R qüvvəsi həmişə x yerdəyişməsinin əksinə yönəldilmişdir.

2. Deməli, riyazi sarkacın rəqsləri zamanı, eləcə də yay sarkacının rəqsləri zamanı bərpaedici qüvvə yerdəyişmə ilə mütənasibdir və əks istiqamətə yönəlir.

Riyazi və yay sarkaçlarının bərpaedici qüvvəsi üçün ifadələri müqayisə edək:

Görünür ki, mg/l k-nin analoqudur. Yay sarkacının dövrü üçün düsturda k-nin mq/l ilə əvəz edilməsi

riyazi sarkaç dövrünün düsturunu alırıq:

Riyazi sarkacın kiçik salınımlarının müddəti amplitudadan asılı deyil.

Riyazi sarkaç vaxtı ölçmək və yer səthinin müəyyən bir yerində cazibə sürətini təyin etmək üçün istifadə olunur.

Kiçik əyilmə bucaqlarında riyazi sarkacın sərbəst salınımları harmonikdir. Onlar nəticədə yaranan cazibə qüvvəsi və ipin gərginlik qüvvəsi, həmçinin yükün ətaləti səbəbindən baş verir. Bu qüvvələrin nəticəsi bərpaedici qüvvədir.

Misal. Uzunluğu 6,25 m olan sarkacın 3,14 s sərbəst salınım dövrünün olduğu planetdə cazibə qüvvəsi ilə sürətlənməni təyin edin.

Riyazi sarkacın salınma müddəti ipin uzunluğundan və cazibə qüvvəsinin sürətindən asılıdır:

Bərabərliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıraraq, əldə edirik:

Cavab: cazibə qüvvəsinin sürətlənməsi 25 m/s 2-dir.

“Mövzu 4. “Mexanika” mövzusunda məsələlər və testlər. Salınımlar və dalğalar”.

• Eninə və uzununa dalğalar. Dalğa uzunluğu

  Dərslər: 3 Tapşırıqlar: 9 Testlər: 1

• Səs dalğaları. Səs sürəti - Mexanik vibrasiya və dalğalar. Səs 9 sinif

Fiziki cəhətdən tamamilə fərqli bir neçə sistemi araşdırdıq və hərəkət tənliklərinin eyni formaya endirildiyinə əmin olduq.

Fiziki sistemlər arasındakı fərqlər yalnız kəmiyyətin müxtəlif təriflərində görünür və dəyişənin müxtəlif fiziki mənalarında x: bu koordinat, bucaq, yük, cərəyan və s. ola bilər. Qeyd edək ki, bu halda (1.18) tənliyinin strukturundan aşağıdakı kimi, kəmiyyət həmişə tərs zaman ölçüsünə malikdir.

Tənlik (1.18) sözdə təsvir edir harmonik vibrasiya.

Harmonik vibrasiya tənliyi (1.18) ikinci dərəcəli xətti diferensial tənlikdir (çünki o, dəyişənin ikinci törəməsini ehtiva edir) x). Tənliyin xətti olması o deməkdir ki

bir funksiya varsa x(t) bu tənliyin həlli, sonra funksiyadır Cx(t) həm də onun həlli olacaq ( C– ixtiyari sabit);

funksiyaları varsa x 1 (t) Və x 2(t) bu tənliyin həlli, sonra onların cəmidir x 1 (t) + x 2 (t) həm də eyni tənliyin həlli olacaqdır.

İkinci dərəcəli tənliyin iki müstəqil həlli olan riyazi bir teorem də sübut edilmişdir. Xəttiliyin xassələrinə görə bütün digər həllər onların xətti birləşmələri kimi alına bilər. Müstəqil funksiyaları yerinə yetirdiyini və (1.18) tənliyini təmin etdiyini birbaşa diferensiasiya yolu ilə yoxlamaq asandır. Bu o deməkdir ki, bu tənliyin ümumi həlli formaya malikdir:

Harada C 1,C 2- ixtiyari sabitlər. Bu həll başqa formada təqdim edilə bilər. Dəyəri daxil edək

və əlaqələrlə bucağı təyin edin:

Sonra ümumi həll (1.19) kimi yazılır

Triqonometriya düsturlarına görə mötərizədəki ifadə bərabərdir

Nəhayət gəldik harmonik vibrasiya tənliyinin ümumi həlli kimi:

Mənfi olmayan dəyər Açağırdı vibrasiya amplitudası, - salınmanın ilkin mərhələsi. Bütün kosinus arqumenti - birləşmə adlanır salınım mərhələsi.

(1.19) və (1.23) ifadələri tamamilə ekvivalentdir, ona görə də sadəlik mülahizələrinə əsaslanaraq onlardan hər hansı birini istifadə edə bilərik. Hər iki həll zamanın dövri funksiyalarıdır. Həqiqətən, sinus və kosinus bir dövrlə dövridir . Buna görə də, harmonik rəqsləri yerinə yetirən sistemin müxtəlif vəziyyətləri müəyyən müddətdən sonra təkrarlanır t*, bu müddət ərzində salınma fazası çoxluğu olan artım alır :

Bundan belə çıxır

Bu vaxtların ən azı

çağırdı salınım dövrü (Şəkil 1.8), və - onun dairəvi (dövri) tezlik.

düyü. 1.8.

Onlar da istifadə edirlər tezlik dalğalanmalar

Müvafiq olaraq, dairəvi tezlik başına salınanların sayına bərabərdir saniyə

Beləliklə, əgər sistem zamanında t dəyişənin dəyəri ilə xarakterizə olunur x(t), onda dəyişən müəyyən müddətdən sonra eyni qiymətə malik olacaq (şək. 1.9), yəni

Eyni məna təbii olaraq zamanla təkrarlanacaqdır 2T, ZT və s.

düyü. 1.9. Salınma dövrü

Ümumi həll iki ixtiyari sabitdən ibarətdir ( C 1, C 2 və ya A, a), dəyərləri iki ilə müəyyən edilməlidir ilkin şərtlər. Adətən (mütləq olmasa da) onların rolunu dəyişənin ilkin dəyərləri oynayır x(0) və onun törəməsi.

Bir misal verək. Harmonik rəqslər tənliyinin (1.19) həlli yay sarkacının hərəkətini təsvir etsin. İxtiyari sabitlərin dəyərləri sarkacını tarazlıqdan çıxardığımız yoldan asılıdır. Məsələn, yayı uzaqlara çəkdik və topu ilkin sürət olmadan buraxdı. Bu halda

Əvəz edən t = 0(1.19) bəndində sabitin qiymətini tapırıq C 2

Beləliklə, həll belə görünür:

Yükün sürətini zamana görə diferensiallaşdırmaqla tapırıq

Burada əvəz t = 0, sabiti tapın C 1:

Nəhayət

(1.23) ilə müqayisə etsək, bunu tapırıq rəqslərin amplitudasıdır və onun ilkin fazası sıfırdır: .

İndi sarkacın tarazlığını başqa bir şəkildə ləğv edək. Yükü elə vuraq ki, o, ilkin sürət əldə etsin, lakin təsir zamanı praktiki olaraq hərəkət etməsin. Sonra başqa ilkin şərtlərimiz var:

həllimizə bənzəyir

Yükün sürəti qanuna uyğun olaraq dəyişəcək:

Gəlin burada əvəz edək:

Dövri olaraq təkrarlanan hər hansı hərəkət salınım adlanır. Buna görə də, rəqslər zamanı cismin koordinatlarının və sürətinin zamandan asılılığı zamanın dövri funksiyaları ilə təsvir olunur. Məktəb fizikası kursunda bədənin asılılıqları və sürətlərinin triqonometrik funksiyalar olduğu titrəmələr nəzərə alınır. , və ya onların birləşməsi, müəyyən bir rəqəm haradadır. Belə rəqslərə harmonik deyilir (funksiyalar Və tez-tez harmonik funksiyalar adlanır). Fizikadan vahid dövlət imtahanı proqramına daxil edilmiş salınımlarla bağlı məsələləri həll etmək üçün salınım hərəkətinin əsas xüsusiyyətlərinin təriflərini bilmək lazımdır: amplituda, dövr, tezlik, dairəvi (və ya dövri) tezlik və rəqslərin fazası. Gəlin bu tərifləri verək və sadalanan kəmiyyətləri cisim koordinatlarının zamandan asılılığının parametrləri ilə əlaqələndirək, harmonik rəqslər zamanı həmişə formada təmsil oluna bilər.

harada və bəzi rəqəmlərdir.

Salınmaların amplitudası, salınan cismin tarazlıq vəziyyətindən maksimum kənarlaşmasıdır. (11.1)-dəki kosinusun maksimum və minimum qiymətləri ±1-ə bərabər olduğundan, salınan cismin salınımlarının amplitudası (11.1) bərabərdir. Salınma dövrü cismin hərəkətinin təkrarlandığı minimum vaxtdır. Asılılıq üçün (11.1) müddət aşağıdakı mülahizələrdən müəyyən edilə bilər. Kosinus dövri olan dövri funksiyadır. Buna görə hərəkət elə bir dəyər vasitəsilə tamamilə təkrarlanır ki, . Buradan alırıq

Salınmaların dairəvi (və ya dövri) tezliyi zaman vahidi üçün yerinə yetirilən rəqslərin sayıdır. (11.3) düsturundan belə nəticəyə gəlirik ki, dairəvi tezlik (11.1) düsturundan alınan kəmiyyətdir.

Salınma mərhələsi koordinatın zamandan asılılığını təsvir edən triqonometrik funksiyanın arqumentidir. (11.1) düsturundan görürük ki, hərəkəti (11.1) asılılıq ilə təsvir olunan bədənin rəqsləri fazası bərabərdir. . Salınma fazasının = 0 zamanındakı qiyməti ilkin faza adlanır. Asılılıq üçün (11.1) rəqslərin başlanğıc mərhələsi bərabərdir. Aydındır ki, rəqslərin ilkin mərhələsi həmişə şərti olan zaman istinad nöqtəsinin (moment = 0) seçilməsindən asılıdır. Zamanın mənşəyini dəyişdirərək, rəqslərin ilkin mərhələsini həmişə sıfıra bərabər "edə" və (11.1) düsturdakı sinus kosinusa və ya əksinə "çevrilə" bilər.

Vahid dövlət imtahanının proqramına həmçinin yayın və riyazi sarkaçların salınımlarının tezliyi üçün düsturlar haqqında biliklər daxildir. Yay sarkacı adətən yayın təsiri altında hamar üfüqi səthdə salına bilən, ikinci ucu sabit olan cisim adlanır (soldakı rəqəm). Riyazi sarkaç, ölçüləri laqeyd edilə bilən, uzun, çəkisiz və uzanmayan bir ipdə (sağ rəqəm) salınan kütləvi bir cisimdir. Bu sistemin “riyazi sarkaç” adı mücərrəd bir sistemi təmsil etməsi ilə əlaqədardır. riyazi real model ( fiziki) sarkaç. Yaz və riyazi sarkaçların salınımlarının dövrü (və ya tezliyi) üçün düsturları xatırlamaq lazımdır. Bir yay sarkacı üçün

ipin uzunluğu haradadır, cazibə qüvvəsinin sürətlənməsidir. Problemin həlli nümunəsindən istifadə edərək bu təriflərin və qanunların tətbiqini nəzərdən keçirək.

Yükün salınımlarının siklik tezliyini tapmaq üçün tapşırıq 11.1.1Əvvəlcə rəqs dövrünü tapaq, sonra (11.2) düsturundan istifadə edək. 10 m 28 s 628 s olduğundan və bu müddət ərzində yük 100 dəfə rəqs edir, yükün salınma müddəti 6,28 s-dir. Beləliklə, rəqslərin tsiklik tezliyi 1 s -1 (cavab 2 ). IN problem 11.1.2 yük 600 s-də 60 salınım etdi, ona görə də rəqs tezliyi 0,1 s -1 (cavab) 1 ).

Yükün 2,5 müddətdə nə qədər məsafə qət edəcəyini anlamaq üçün ( problem 11.1.3), onun hərəkətini izləyək. Bir müddətdən sonra yük tam salınmanı tamamlayaraq maksimum əyilmə nöqtəsinə qayıdacaq. Buna görə də, bu müddət ərzində yük dörd amplituda bərabər məsafə qət edəcək: tarazlıq vəziyyətinə - bir amplituda, tarazlıq vəziyyətindən digər istiqamətdə maksimum sapma nöqtəsinə qədər - ikinci, tarazlıq vəziyyətinə - geri. üçüncü, tarazlıq mövqeyindən başlanğıc nöqtəsinə qədər - dördüncü. İkinci dövrdə yük yenidən dörd amplitüddən, dövrün qalan yarısında isə iki amplitudadan keçəcək. Beləliklə, qət edilən məsafə on amplituda bərabərdir (cavab 4 ).

Bədənin hərəkət miqdarı başlanğıc nöqtədən bitmə nöqtəsinə qədər olan məsafədir. 2,5 dövr ərzində tapşırıq 11.1.4 bədənin iki tam və yarım tam salınımını tamamlamaq üçün vaxtı olacaq, yəni. maksimum sapmada olacaq, lakin tarazlıq vəziyyətinin digər tərəfində. Buna görə yerdəyişmənin böyüklüyü iki amplituda bərabərdir (cavab 3 ).

Tərifinə görə, rəqs mərhələsi, salınan cismin koordinatlarının zamandan asılılığını təsvir edən triqonometrik funksiyanın arqumentidir. Ona görə də düzgün cavabdır problem 11.1.5 - 3 .

Dövr tam salınma vaxtıdır. Bu o deməkdir ki, cismin hərəkət etməyə başladığı eyni nöqtəyə qayıtması bir müddət keçdiyi anlamına gəlmir: bədən eyni sürətlə eyni nöqtəyə qayıtmalıdır. Məsələn, tarazlıq vəziyyətindən salınmağa başlayan bir cismin bir istiqamətdə maksimum miqdar sapması, geri qayıtması, digər istiqamətdə maksimum sapması və yenidən geri qayıtması üçün vaxt olacaq. Buna görə də, dövr ərzində bədənin maksimum miqdarda tarazlıq mövqeyindən iki dəfə yayınmağa və geri qayıtmağa vaxtı olacaq. Nəticədə, tarazlıq mövqeyindən maksimum sapma nöqtəsinə keçid ( problem 11.1.6) orqanizm dövrün dörddə birini keçirir (cavab 3 ).

Harmonik rəqslər, salınan cismin koordinatlarının zamandan asılılığının zamanın triqonometrik (sinus və ya kosinus) funksiyası ilə təsvir olunduğu rəqslərdir. IN tapşırıq 11.1.7 bunlar funksiyalardır və onlara daxil olan parametrlərin 2 və 2 kimi təyin olunmasına baxmayaraq. Funksiya zaman kvadratının triqonometrik funksiyasıdır. Buna görə də, yalnız kəmiyyətlərin titrəmələri harmonikdir (cavab 4 ).

Harmonik titrəyişlər zamanı bədənin sürəti qanuna uyğun olaraq dəyişir , burada sürət salınımlarının amplitudası (vaxt istinad nöqtəsi elə seçilir ki, rəqslərin ilkin fazası sıfıra bərabər olsun). Buradan bədənin kinetik enerjisinin zamandan asılılığını tapırıq
(problem 11.1.8). Daha sonra məşhur triqonometrik düsturdan istifadə edərək əldə edirik

Bu düsturdan belə çıxır ki, cismin kinetik enerjisi harmonik rəqslər zamanı da harmonik qanuna uyğun olaraq dəyişir, lakin ikiqat tezliklə (cavab 2 ).

Yükün kinetik enerjisi ilə yayın potensial enerjisi arasındakı əlaqənin arxasında ( problem 11.1.9) aşağıdakı mülahizələrdən istifadə etmək asandır. Bədən tarazlıq vəziyyətindən maksimum miqdar əyildikdə, bədənin sürəti sıfıra bərabərdir və buna görə də yayın potensial enerjisi yükün kinetik enerjisindən böyükdür. Əksinə, cisim tarazlıq vəziyyətindən keçəndə yayın potensial enerjisi sıfıra bərabər olur və buna görə də kinetik enerji potensial enerjidən böyük olur. Buna görə də, tarazlıq vəziyyətinin keçməsi ilə maksimum əyilmə arasında kinetik və potensial enerji bir dəfə müqayisə edilir. Və bir müddət ərzində cisim tarazlıq vəziyyətindən dörd dəfə maksimum əyilməyə və ya geriyə keçdiyindən, bu müddət ərzində yükün kinetik enerjisi və yayın potensial enerjisi dörd dəfə bir-biri ilə müqayisə edilir (cavab 2 ).

Sürət dalğalanmalarının amplitüdü ( tapşırıq 11.1.10) enerjinin saxlanması qanunundan istifadə edərək tapmaq ən asandır. Maksimum əyilmə nöqtəsində salınım sisteminin enerjisi yayın potensial enerjisinə bərabərdir. , yayın sərtlik əmsalı haradadır, vibrasiya amplitüdüdür. Tarazlıq vəziyyətindən keçərkən bədənin enerjisi kinetik enerjiyə bərabərdir , cismin kütləsi haradadır, bədənin tarazlıq mövqeyindən keçərkən sürətidir, bu, rəqs prosesi zamanı bədənin maksimum sürətidir və buna görə də sürət salınımlarının amplitüdünü təmsil edir. Bu enerjiləri bərabərləşdirərək tapırıq

(cavab 4 ).

(11.5) düsturundan nəticə çıxarırıq ( problem 11.2.2), onun dövrünün riyazi sarkacın kütləsindən asılı olmadığını və uzunluğu 4 dəfə artdıqca, salınımların müddəti 2 dəfə artır (cavab). 1 ).

Saat, zaman intervallarını ölçmək üçün istifadə edilən salınım prosesidir ( problem 11.2.3). “Saat tələsir” sözləri bu prosesin müddətinin olması lazım olduğundan az olduğunu bildirir. Ona görə də bu saatların gedişatını aydınlaşdırmaq üçün prosesin müddətini artırmaq lazımdır. (11.5) düsturuna əsasən, riyazi sarkacın salınma müddətini artırmaq üçün onun uzunluğunu artırmaq lazımdır (cavab). 3 ).

İçindəki salınımların amplitüdünü tapmaq üçün problem 11.2.4, cisim koordinatlarının zamandan asılılığını vahid triqonometrik funksiya şəklində təqdim etmək lazımdır. Şərtdə verilmiş funksiya üçün bu, əlavə bucaq daxil etməklə edilə bilər. Bu funksiyanı vurmaq və bölmək və triqonometrik funksiyaları əlavə etmək üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik

bucaq haradadır belə . Bu düsturdan belə çıxır ki, bədən salınımlarının amplitudası belədir (cavab 4 ).