Joukossa erilaisia ​​ilmaisuja, joita tarkastellaan algebrassa, monomiaalien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7v^2 + 6x + 5v - 2\)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin termeiksi. Monomit luokitellaan myös polynomeiksi, koska monomi on yhdestä jäsenestä koostuva polynomi.

Esimerkiksi polynomi
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Esitetään kaikki termit monomiaalien muodossa vakionäkymä:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Esitetään vastaavat termit tuloksena olevassa polynomissa:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki termit ovat vakiomuotoisia monomeja, ja niiden joukossa ei ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.

Takana polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten korkeimmat valtuudet. Siten binomiaalilla \(12a^2b - 7b\) on kolmas aste ja trinomilla \(2b^2 -7b + 6\) toinen aste.

Tyypillisesti vakiomuotoisten polynomien, jotka sisältävät yhden muuttujan, termit järjestetään eksponentien laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin termit on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä on suluissa. Koska sulkeiden sulkeminen on avaussulkujen käänteinen muunnos, se on helppo muotoilla sulujen avaamisen säännöt:

Jos "+"-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos "-"-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voit muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulon polynomiksi. Esimerkiksi:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.

Jos haluat kertoa monomin polynomilla, sinun on kerrottava tämä monomi jokaisella polynomin ehdolla.

Olemme jo käyttäneet tätä sääntöä useita kertoja summalla.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.

Yleensä käytetään seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Neliöiden summa, erot ja neliöiden erotus

Joitakin lausekkeita on käsiteltävä algebrallisissa muunnoksissa useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), eli summan neliö, summan neliö neliöiden ero ja ero. Huomasit, että näiden lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, esimerkiksi \((a + b)^2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan a:n ja b:n summan neliö . A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan esiinny kovin usein, se sisältää yleensä kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus varsin monimutkaisia ​​lausekkeita.

Lausekkeet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) voidaan helposti muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi; itse asiassa olet jo kohdannut tämän tehtävän kertoessasi polynomeja:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Tuloksena saadut identiteetit on hyödyllistä muistaa ja käyttää niitä ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summan neliö yhtä suuri kuin summa neliöitä ja tuplaa tuote.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erotuksen neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa ilman kaksinkertaista tuloa.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - neliöiden erotus on yhtä suuri kuin erotuksen ja summan tulo.

Nämä kolme identiteettiä mahdollistavat sen vasemmanpuoleisten osien korvaamisen oikeanpuoleisilla muunnoksissa ja päinvastoin - oikeanpuoleiset osat vasemmanpuoleisilla. Vaikeinta on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, kuinka muuttujat a ja b korvataan niissä. Katsotaanpa useita esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.

Kun lasket algebrallisia polynomeja, käytä laskelmien yksinkertaistamiseksi lyhennetyt kertolaskukaavat . Tällaisia ​​kaavoja on yhteensä seitsemän. Sinun on tiedettävä ne kaikki ulkoa.

On myös muistettava, että a:n ja b:n sijasta kaavoissa voi olla joko lukuja tai mitä tahansa muita algebrallisia polynomeja.

Neliöiden ero

Kahden luvun neliöiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden summan eron tulo.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Summan neliö

Kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen luvun ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Huomaa, että tällä lyhennetyllä kertolaskulla se on helppoa etsi neliöitä suuret numerot ilman laskinta tai pitkää kertolaskua. Selitetäänpä esimerkillä:

Etsi 112 2.

Jaetaan 112 lukujen summaksi, joiden neliöt muistamme hyvin.2
112 = 100 + 1

Kirjoita suluissa olevien lukujen summa ja sijoita neliö sulujen yläpuolelle.
112 2 = (100 + 12) 2

Käytetään summan neliön kaavaa:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Muista, että neliösummakaava pätee myös kaikille algebrallisille polynomeille.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Varoitus!!!

(a + b) 2 ei ole yhtä suuri kuin a 2 + b 2

Neliöllinen ero

Kahden luvun erotuksen neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen tulo plus toisen luvun neliö.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

On myös syytä muistaa erittäin hyödyllinen muunnos:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Yllä oleva kaava voidaan todistaa yksinkertaisesti avaamalla sulut:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Summan kuutio

Kahden luvun summan kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio plus kolminkertainen ensimmäisen luvun neliön tulo ja toisen plus kolminkertainen ensimmäisen luvun tulo toisen neliöllä plus toisen kuution .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Tämä "pelottavan" näköinen kaava on melko helppo muistaa.

Opi, että 3 tulee alussa.

Kahden keskellä olevan polynomin kertoimet ovat 3.

SISÄÄNmuista, että mikä tahansa luku nollan potenssiin on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). On helppo huomata, että kaavassa on a-asteen lasku ja asteen b nousu. Voit varmistaa tämän:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Varoitus!!!

(a + b) 3 ei ole yhtä suuri kuin a 3 + b 3

Erokuutio

Kahden luvun erotuksen kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen luvun neliön tulo ja toisen plus kolme kertaa ensimmäisen luvun ja toisen luvun neliön tulo miinus kuutio toisesta.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Tämä kaava muistetaan kuten edellinen, mutta vain ottaen huomioon "+"- ja "-"-merkkien vuorottelu. Ensimmäistä termiä a 3 edeltää "+" (matematiikan sääntöjen mukaan emme kirjoita sitä). Tämä tarkoittaa, että seuraavaa termiä edeltää "-", sitten taas "+" jne.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kuutioiden summa ( Ei pidä sekoittaa summakuutioon!)

Kuutioiden summa on yhtä suuri kuin kahden luvun summan ja erotuksen osittaisen neliön tulo.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Kuutioiden summa on kahden hakasulkeen tulo.

Ensimmäinen hakasulke on kahden luvun summa.

Toinen hakasulke on lukujen välisen eron epätäydellinen neliö. Eron epätäydellinen neliö on lauseke:

A 2 - ab + b 2
Tämä neliö on epätäydellinen, koska keskellä on kaksoistulon sijaan tavallinen lukujen tulo.

Kuutioiden ero (ei pidä sekoittaa erokuutioon!!!)

Kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin kahden luvun eron ja summan osittaisen neliön tulo.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Ole varovainen kirjoittaessasi merkkejä.On muistettava, että kaikkia yllä annettuja kaavoja käytetään myös oikealta vasemmalle.

Helppo tapa muistaa lyhennetyt kertolaskukaavat tai... Pascalin kolmio.

Onko sinulla vaikeuksia lyhennettyjen kertolaskujen muistamisessa? Syy on helppo auttaa. Sinun tarvitsee vain muistaa, miten tämä on kuvattu yksinkertainen asia, kuten Pascalin kolmio. Sitten muistat nämä kaavat aina ja kaikkialla, tai pikemminkin et muista, vaan palautat.

Mikä on Pascalin kolmio? Tämä kolmio koostuu kertoimista, jotka osallistuvat muodon binomiaalin minkä tahansa asteen laajenemiseen polynomiksi.

Laajennetaan vaikkapa:

Tässä merkinnässä on helppo muistaa, että ensimmäisen luvun kuutio on alussa ja toisen numeron kuutio lopussa. Mutta mitä keskellä on, on vaikea muistaa. Ja jopa se tosiasia, että jokaisella seuraavalla termillä yhden tekijän aste pienenee koko ajan ja toinen kasvaa - sitä ei ole vaikea huomata ja muistaa; tilanne on vaikeampi kertoimien ja etumerkkien muistamisen kanssa (onko plus vai miinus ?).

Joten ensin kertoimet. Ei niitä tarvitse muistaa! Piirrämme nopeasti Pascalin kolmion muistikirjan reunoihin, ja tässä ne ovat - kertoimet, jo edessämme. Aloitamme piirtämisen kolmella yksiköllä, yksi päällä, kaksi alla, oikealle ja vasemmalle - kyllä, se on jo kolmio:

Ensimmäinen rivi, jossa yksi 1, on nolla. Sitten tulee ensimmäinen, toinen, kolmas ja niin edelleen. Saadaksesi toisen rivin, sinun on jälleen määritettävä yksi reunoihin ja kirjoitettava keskelle numero, joka on saatu lisäämällä kaksi numeroa sen yläpuolelle:

Kirjoitamme kolmannen rivin: jälleen yksikön reunoja pitkin ja jälleen saadaksesi seuraavan numeron uudelle riville lisäämme numerot sen yläpuolelle edelliseen:

Kuten olet ehkä arvannut, saamme jokaiselle riville kertoimet binomilaajennuksesta polynomiksi:

No, on vielä helpompi muistaa merkit: ensimmäinen on sama kuin laajennetussa binomiaalissa (laajennamme summaa - se tarkoittaa plus, ero - se tarkoittaa miinusta), ja sitten merkit vuorottelevat!

Tämä on niin hyödyllinen asia - Pascalin kolmio. Käytä sitä!

Yksi ensimmäisistä algebrakurssilla opiskelevista aiheista on lyhennetyt kertolaskukaavat. Luokalla 7 niitä käytetään yksinkertaisimmissa tilanteissa, joissa täytyy tunnistaa jokin lausekkeen kaavoista ja kertoa polynomi tai päinvastoin nopeasti neliöimään tai kuutioimaan summa tai erotus. Tulevaisuudessa FSU:ta käytetään nopeaan epäyhtälöiden ja yhtälöiden ratkaisemiseen ja jopa joidenkin numeeristen lausekkeiden laskemiseen ilman laskinta.

Miltä kaavojen luettelo näyttää?

On 7 peruskaavaa, joiden avulla voit nopeasti kertoa polynomit suluissa.

Joskus tämä luettelo sisältää myös neljännen asteen laajennuksen, joka seuraa esitetyistä identiteeteistä ja on muotoa:

a4 - b4 = (a - b) (a + b) (a² + b2).

Kaikilla yhtälöillä on pari (summa - erotus), paitsi neliöiden erotus. Neliöiden summan kaavaa ei ole annettu.

Loput tasa-arvot on helppo muistaa:

On muistettava, että FSU:t toimivat joka tapauksessa ja kaikille arvoille a Ja b: nämä voivat olla joko mielivaltaisia ​​lukuja tai kokonaislukulausekkeita.

Tilanteessa, jossa et yhtäkkiä muista, mikä merkki on tietyn termin edessä kaavassa, voit avata sulut ja saada saman tuloksen kuin kaavan käytön jälkeen. Jos esimerkiksi erokuutiota FSU käytettäessä ilmenee ongelma, sinun on kirjoitettava muistiin alkuperäinen lauseke ja suorita kertolasku yksitellen:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Tuloksena kaikkien samanlaisten termien tuomisen jälkeen saatiin sama polynomi kuin taulukossa. Samat käsittelyt voidaan suorittaa kaikkien muiden FSU:iden kanssa.

FSU:n soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen

Sinun on esimerkiksi ratkaistava yhtälö, joka sisältää asteen 3 polynomi:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

SISÄÄN koulun opetussuunnitelma universaaleja tekniikoita kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi ei oteta huomioon, ja tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​useimmiten useammilla yksinkertaisia ​​menetelmiä(esimerkiksi tekijöiden mukaan). Jos huomaamme, että identiteetin vasen puoli muistuttaa summan kuutiota, yhtälö voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa:

(x + 1)³ = 0.

Tällaisen yhtälön juuri lasketaan suullisesti: x = -1.

Eriarvoisuudet ratkaistaan ​​samalla tavalla. Voit esimerkiksi ratkaista eriarvoisuuden x³ – 6x² + 9x > 0.

Ensinnäkin sinun on otettava huomioon lauseke. Ensin sinun täytyy kiinnittää x. Huomaa tämän jälkeen, että suluissa oleva lauseke voidaan muuntaa erotuksen neliöiksi.

Sitten sinun on löydettävä pisteet, joissa lauseke saa nolla-arvoa, ja merkitä ne numeroviivalle. SISÄÄN erityinen tapaus nämä ovat 0 ja 3. Määritä sitten intervallimenetelmällä, millä aikaväleillä x täyttää epäyhtälöehdon.

FSU:t voivat olla hyödyllisiä suoritettaessa joitakin laskelmia ilman laskimen apua:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Lisäksi laskemalla lausekkeita voit helposti pienentää murtolukuja ja yksinkertaistaa erilaisia ​​algebrallisia lausekkeita.

Esimerkkejä tehtävistä luokille 7-8

Lopuksi analysoimme ja ratkaisemme kaksi tehtävää lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä algebrassa.

Tehtävä 1. Yksinkertaista lauseke:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Ratkaisu. Tehtävän ehto edellyttää lausekkeen yksinkertaistamista eli sulkeiden avaamista, kerto- ja eksponentiooperaatioiden suorittamista sekä kaikkien vastaavien termien tuomista. Jaetaan lauseke ehdollisesti kolmeen osaan (termien lukumäärän mukaan) ja avataan sulut yksitellen käyttämällä FSU:ta mahdollisuuksien mukaan.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(summaneliö);
• (3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(neliöiden erotus);
• Viimeisellä termillä sinun on kerrottava: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Korvataan saadut tulokset alkuperäiseen lausekkeeseen:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Ottaen huomioon merkit, avaamme sulut ja esittelemme vastaavat ehdot:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö, joka sisältää tuntemattoman k:n viidenteen potenssiin:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Ratkaisu. Tässä tapauksessa on käytettävä FSU:ta ja ryhmittelymenetelmää. Viimeinen ja toiseksi viimeinen termi on siirrettävä identiteetin oikealle puolelle.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Yhteinen tekijä on johdettu oikealta ja vasemmalta puolelta (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Kaikki siirretään yhtälön vasemmalle puolelle niin, että 0 jää oikealle:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Jälleen on tarpeen ottaa pois yhteinen tekijä:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Ensimmäisestä saadusta tekijästä voimme johtaa k. Lyhyen kertolaskukaavan mukaan toinen kerroin on identtinen (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Käyttämällä neliöiden erotuskaavaa:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Koska tulo on yhtä suuri kuin 0, jos ainakin yksi sen tekijöistä on nolla, yhtälön kaikkien juurien löytäminen ei ole vaikeaa:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Havainnollistavien esimerkkien perusteella ymmärrät kuinka muistaa kaavat, niiden erot ja ratkaista useita käytännön ongelmia FSU:n avulla. Tehtävät ovat yksinkertaisia ​​ja niiden suorittamisessa ei pitäisi olla vaikeuksia.

>>Math: Lyhennetyt kertolaskut

Lyhennetyt kertolaskukaavat

On useita tapauksia, joissa polynomin kertominen toisella tuottaa kompaktin, helposti muistettavan tuloksen. Näissä tapauksissa on parempi olla kertomatta yhdellä joka kerta polynomi toisaalta ja käytä lopputulosta. Mietitäänpä näitä tapauksia.

1. Neliösumma ja neliöero:

Esimerkki 1. Laajenna lausekkeen sulkeet:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Käytetään kaavaa (1), ottaen huomioon, että a:n rooli on 3x ja b:n rooli on numero 2.
Saamme:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Käytetään kaavaa (2), ottaen huomioon sen roolissa A seisoo 5a 2, ja roolissa b seisoo 4b 3. Saamme:

(5a 2 - 4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2 - 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Kun käytät neliösumma- tai neliöerokaavoja, muista tämä
(- a - b) 2 = (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2.

Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että (- a) 2 = a 2.

Huomaa, että kaavat (1) ja (2) perustuvat joihinkin matemaattisiin temppuihin, joiden avulla voit suorittaa mentaalisia laskelmia.

Voit esimerkiksi lähes sanallisesti neliöidä numeroita, jotka päättyvät 1:een ja 9:ään. Todellakin

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Joskus voit nopeasti neliöidä 2 tai 8 päättyvän luvun. Esimerkiksi

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Mutta tyylikkäin temppu on viiteen päättyvien numeroiden neliöinti.
Tehdään vastaava päättely 85 2 :lle.

Meillä on:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Huomaa, että 85 2:n laskemiseen riitti kertoa 8 9:llä ja lisätä tulokseen oikealle 25. Voit tehdä samoin muissa tapauksissa. Esimerkiksi 35 2 = 1225 (3 4 = 12 ja 25 lisättiin tuloksena olevaan oikeaan numeroon);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 ja 25 lisättiin tuloksena olevaan numeroon oikealla).

Koska puhumme erilaisista omituisista olosuhteista, jotka liittyvät tylsiin (ensi silmäyksellä) kaavoihin (1) ja (2), täydennämme tätä keskustelua seuraavalla geometrisella päättelyllä. Olkoon a ja b positiivisia lukuja. Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on a + b, ja leikkaa sen kahdesta kulmasta neliöt, joiden sivut ovat vastaavasti a ja b (kuva 4).

Neliön, jonka sivu on a + b, pinta-ala on yhtä suuri kuin (a + b) 2. Mutta leikkaamme tämän neliön neljään osaan: neliö, jonka sivu on a (sen pinta-ala on a 2), neliö, jonka sivu on b (sen pinta-ala on b 2), kaksi suorakulmiota, joiden sivut ovat a ja b (pinta-ala jokainen tällainen suorakulmio on yhtä suuri kuin ab). Tämä tarkoittaa (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, eli saamme kaavan (1).

Kerro binomiaali a + b binomilla a - b. Saamme:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Niin

Mitä tahansa tasa-arvoa matematiikassa käytetään vasemmalta oikealle (eli tasa-arvon vasen puoli korvataan sen kanssa oikea puoli) ja oikealta vasemmalle (eli tasa-arvon oikea puoli korvataan sen vasemmalla puolella). Jos kaavaa C) käytetään vasemmalta oikealle, sen avulla voit korvata tuotteen (a + b) (a - b) lopullisella tuloksella a 2 - b 2. Samaa kaavaa voidaan käyttää oikealta vasemmalle, jolloin voit korvata neliöiden eron a 2 - b 2 tulolla (a + b) (a - b). Matematiikan kaavalle (3) on annettu erityinen nimi - neliöiden erotus.

Kommentti. Älä sekoita termejä "neliöiden ero" ja "neliöero". Neliöiden ero on a 2 - b 2, mikä tarkoittaa me puhumme noin kaavasta (3); erotuksen neliö on (a- b) 2, mikä tarkoittaa, että puhumme kaavasta (2). Tavallisella kielellä kaava (3) luetaan "oikealta vasemmalle" seuraavasti:

kahden luvun (lausekkeen) neliöiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lukujen (lausekkeiden) ja niiden eron summa,

Esimerkki 2. Suorita kertolasku

(3x-2v)(3x+2v)
Ratkaisu. Meillä on:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Esimerkki 3. Ilmaise binomiaali 16x 4 - 9 binomien tulona.

Ratkaisu. Meillä on: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, mikä tarkoittaa, että annettu binomi on neliöiden erotus, ts. kaavaa (3) voidaan soveltaa siihen, lue oikealta vasemmalle. Sitten saamme:

16 x 4 - 9 = (4 x 2) 2 - 3 2 = (4 x 2 + 3) (4 x 2 - 3)

Kaavaa (3), kuten kaavoja (1) ja (2), käytetään matemaattisiin temppuihin. Katso:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = P0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Lopetetaan keskustelu neliöiden eron kaavasta mielenkiintoisella geometrisella perustelulla. Olkoot a ja b positiivisia lukuja ja a > b. Tarkastellaan suorakulmiota, jonka sivut ovat a + b ja a - b (kuva 5). Sen pinta-ala on (a + b) (a - b). Leikataan suorakulmio, jonka sivut ovat b ja a - b, ja liimataan se jäljellä olevaan osaan kuvan 6 mukaisesti. On selvää, että tuloksena olevalla kuviolla on sama pinta-ala, eli (a + b) (a - b). Mutta tämä luku voi olla
rakenna näin: leikkaa neliöstä, jonka sivu on a, neliö, jonka sivu on b (tämä näkyy selvästi kuvassa 6). Alue siis uusi hahmo yhtä suuri kuin a 2 - b 2. Joten (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, eli saimme kaavan (3).

3. Kuutioiden ero ja kuutioiden summa

Kerro binomiaali a - b trinomilla a 2 + ab + b 2 .
Saamme:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b3 = a3-b3.

Samoin

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(tarkista itse). Niin,

Kaavaa (4) kutsutaan yleensä kuutioiden ero, kaava (5) - kuutioiden summa. Yritetään kääntää kaavat (4) ja (5) tavalliselle kielelle. Ennen kuin teet tämän, huomaa, että lauseke a 2 + ab + b 2 on samanlainen kuin lauseke a 2 + 2ab + b 2, joka esiintyi kaavassa (1) ja antoi (a + b) 2; lauseke a 2 - ab + b 2 on samanlainen kuin lauseke a 2 - 2ab + b 2, joka esiintyi kaavassa (2) ja antoi (a - b) 2.

Näiden lausekeparien erottamiseksi toisistaan ​​(kielellisesti) kutakin lauseketta a 2 + 2ab + b 2 ja a 2 - 2ab + b 2 kutsutaan täydelliseksi neliöksi (summa tai erotus), ja jokaista lauseketta kutsutaan 2 + ab + b 2 ja a 2 - ab + b 2 kutsutaan epätäydelliseksi neliöksi (summa tai erotus). Sitten saamme seuraavan käännöksen kaavoista (4) ja (5) (lue "oikealta vasemmalle") tavalliselle kielelle:

kahden luvun (lausekkeen) kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lukujen (lausekkeiden) eron tulo niiden summan epätäydellisellä neliöllä; kahden luvun (lausekkeen) kuutioiden summa on yhtä suuri kuin näiden lukujen (lausekkeiden) summan ja niiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo.

Kommentti. Kaikkia tässä kappaleessa saatuja kaavoja (1)-(5) käytetään sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle, vain ensimmäisessä tapauksessa (vasemmalta oikealle) sanotaan, että (1)-(5) on lyhennetty kertolasku kaavoja, ja toisessa tapauksessa (oikealta vasemmalle) he sanovat, että (1)-(5) ovat faktorointikaavoja.

Esimerkki 4. Suorita kertolasku (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

Ratkaisu. Koska ensimmäinen tekijä on monomien 2x ja 1 välinen ero ja toinen tekijä on niiden summan epätäydellinen neliö, voidaan käyttää kaavaa (4). Saamme:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Esimerkki 5. Esitä binomi 27a 6 + 8b 3 polynomien tulona.

Ratkaisu. Meillä on: 27a 6 = (2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Tämä tarkoittaa, että annettu binomi on kuutioiden summa, eli siihen voidaan soveltaa kaavaa 95 luettuna oikealta vasemmalle. Sitten saamme:

27a 6 + 8b 3 = (2:lle) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b) ((2:lle) 2 - 2:lle 2b + (2b) 2) = (2 + 2b:lle) (9a 4 - 6a 2b + 4b 2).

Apua koululaisille verkossa, Matematiikka 7. luokalle lataus, kalenteri ja teemasuunnittelu

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja for koulutusinstituutiot

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa lain mukaisesti oikeudellista menettelyä, oikeuskäsittelyssä ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion virastojen pyyntöjen perusteella - henkilötietojesi paljastamiseen. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.