संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए आप कौन से तरीके जानते हैं। एक यादृच्छिक चर के रूप में आजीवन

वास्तविकता में या हमारी कल्पना में होने वाली घटनाओं को 3 समूहों में विभाजित किया जा सकता है। ये विश्वसनीय घटनाएं हैं जो निश्चित रूप से घटित होंगी, असंभव घटनाएं और यादृच्छिक घटनाएं। संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है, अर्थात। ऐसी घटनाएं जो हो भी सकती हैं और नहीं भी। इस लेख में प्रस्तुत किया जाएगा संक्षिप्त रूप संभाव्यता सिद्धांत सूत्र और संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के उदाहरण, जो गणित में परीक्षा के 4 वें कार्य (प्रोफ़ाइल स्तर) में होंगे।

संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है

ऐतिहासिक रूप से, इन समस्याओं का अध्ययन करने की आवश्यकता 17 वीं शताब्दी में जुआ के विकास और व्यवसायीकरण और केसिनो के उद्भव के संबंध में उत्पन्न हुई। यह एक वास्तविक घटना थी जिसके अध्ययन और अनुसंधान की आवश्यकता थी।

कार्ड बजाना, क्रेप्स, रूलेट ने ऐसी परिस्थितियां पैदा कीं, जब कोई भी समान घटनाओं की एक समान संख्या हो सकती थी। एक विशेष घटना होने की संभावना के संख्यात्मक अनुमान देने के लिए आवश्यकता उत्पन्न हुई।

XX सदी में, यह स्पष्ट हो गया कि सूक्ष्म प्रतीत होने वाले मूलभूत प्रक्रियाओं को समझने में यह प्रतीत होता है कि तुच्छ विज्ञान महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बनाया गया था आधुनिक सिद्धांत संभावनाएं।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा

संभाव्यता के सिद्धांत के अध्ययन का उद्देश्य घटनाओं और उनकी संभावनाएं हैं। यदि घटना जटिल है, तो इसे सरल घटकों में विभाजित किया जा सकता है, जिसकी संभावनाएं ढूंढना आसान है।

घटनाओं ए और बी के योग को ईवेंट सी कहा जाता है, जिसमें इस तथ्य को समाहित किया जाता है कि या तो घटना ए, या घटना बी, या ए और बी की घटनाएं एक साथ हुई हैं।

घटनाओं ए और बी के उत्पाद को घटना सी कहा जाता है, जिसमें इस तथ्य में शामिल है कि घटना ए और घटना बी दोनों हुई है।

इवेंट A और B को असंगत कहा जाता है यदि वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं।

यदि यह नहीं हो सकता है तो घटना A को असंभव कहा जाता है। इस तरह की घटना एक प्रतीक द्वारा इंगित की जाती है।

इवेंट ए को विश्वसनीय कहा जाता है यदि यह आवश्यक रूप से होगा। इस तरह की घटना एक प्रतीक द्वारा इंगित की जाती है।

प्रत्येक घटना A को P (A) संख्या से संबद्ध होने दें। यदि इस पत्राचार के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाता है, तो इस संख्या P (A) को घटना A की संभावना कहा जाता है।

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति वह स्थिति होती है जब वहाँ परिवर्तनीय प्राथमिक परिणाम होते हैं, और इन परिणामों के मनमाने रूप से घटनाएँ होती हैं। इस मामले में, सूत्र का उपयोग करके संभावना दर्ज की जा सकती है। इस तरह पेश की गई संभावना को शास्त्रीय संभावना कहा जाता है। यह साबित हो सकता है कि इस मामले में 1-4 गुण संतुष्ट हैं।

गणित में परीक्षा पर आने वाले प्रायिकता सिद्धांत में समस्याएं मुख्य रूप से शास्त्रीय संभाव्यता से संबंधित हैं। ऐसे कार्य बहुत सरल हो सकते हैं। संभावना सिद्धांत में समस्याएं विशेष रूप से सरल हैं प्रदर्शन विकल्प... अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करना आसान है, सभी परिणामों की संख्या स्थिति में सही लिखी गई है।

इसका उत्तर हमें सूत्र से मिलता है।

संभावना निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से एक समस्या का एक उदाहरण

मेज पर 20 पाई हैं - गोभी के साथ 5, सेब के साथ 7 और चावल के साथ 8। मरीना एक पाई लेना चाहती है। क्या संभावना है कि वह चावल पाई ले जाएगा?

फेसला।

कुल में 20 परिवर्तनीय प्राथमिक परिणाम हैं, अर्थात्, मरीना 20 में से किसी को भी ले जा सकती है। लेकिन हमें इस संभावना का अनुमान लगाने की आवश्यकता है कि मरीना चावल के साथ पाई लेगी, यानी ए, चावल के साथ पाई का विकल्प है। इसलिए हमारे पास अनुकूल परिणामों की संख्या है (चावल के साथ पिस के विकल्प) केवल 8. तब संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी:

स्वतंत्र, विपरीत और मनमाना घटनाएँ

हालाँकि, में बैंक खोलें कार्यों को पूरा करने और अधिक जटिल कार्य करने लगे। इसलिए, हम संभावना के सिद्धांत में अध्ययन किए गए अन्य मुद्दों पर पाठक का ध्यान आकर्षित करते हैं।

ईवेंट्स ए और बी को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कोई अन्य घटना हुई है या नहीं।

इवेंट B का अर्थ है कि घटना A नहीं हुई, अर्थात ईवेंट बी, घटना ए के विपरीत है। विपरीत घटना की संभावना प्रत्यक्ष घटना की संभावना से एक शून्य के बराबर है, अर्थात ...

संभावनाओं, सूत्रों के लिए जोड़ और गुणा प्रमेय

ए और बी की मनमानी घटनाओं के लिए, इन घटनाओं की राशि की संभावना उनकी संयुक्त घटना की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है, अर्थात। ...

स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, इन घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, अर्थात। इस मामले में ।

अंतिम 2 कथनों को जोड़ और संभावनाओं का गुणन कहा जाता है।

परिणामों की संख्या की गणना करना हमेशा इतना आसान नहीं होता है। कुछ मामलों में, कॉम्बिनेटरियल फ़ार्मुलों का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि कुछ शर्तों को पूरा करने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करना। कभी-कभी इस तरह की गणना स्वतंत्र कार्य बन सकती है।

6 खाली सीटों पर 6 छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 सीटों में से कोई भी ले जाएगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र की जगह लेने के लिए 5 तरीकों से मेल खाता है। तीसरे छात्र के लिए 4 मुक्त स्थान हैं, चौथे के लिए - 3, पांचवें के लिए - 2, छठा एकमात्र शेष स्थान लेगा। सभी विकल्पों की संख्या जानने के लिए, आपको उत्पाद खोजने की आवश्यकता है, जो कि प्रतीक 6 द्वारा इंगित किया गया है! और यह "छह तथ्य" पढ़ता है।

सामान्य मामले में, इस प्रश्न का उत्तर हमारे तत्वों में n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र द्वारा दिया गया है।

अब हमारे छात्रों के साथ एक और मामले पर विचार करें। 6 खाली सीटों के लिए 2 छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है? पहला छात्र 6 सीटों में से कोई भी ले जाएगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र की जगह लेने के लिए 5 तरीकों से मेल खाता है। सभी विकल्पों की संख्या जानने के लिए, आपको उत्पाद खोजने की आवश्यकता है।

सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर सूत्र तत्वों के लिए n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के लिए सूत्र द्वारा दिया गया है

हमारे मामले में ।

तथा आखिरी मामला इस श्रृंखला से। 6 में से तीन छात्रों के कितने तरीके हैं? पहले छात्र को 6 तरीकों से चुना जा सकता है, 5 में दूसरा, चार में तीसरा। लेकिन इन विकल्पों में से, समान तीन छात्रों का 6 बार सामना किया जाता है। सभी विकल्पों की संख्या जानने के लिए, आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है: सामान्य स्थिति में, इस प्रश्न का उत्तर तत्वों द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या के लिए सूत्र द्वारा दिया गया है:

हमारे मामले में ।

संभावना निर्धारित करने के लिए गणित में परीक्षा से समस्याओं को हल करने के उदाहरण

समस्या 1. संग्रह से, एड। यशचेंको।

प्लेट पर 30 पाई हैं: मांस के साथ 3, गोभी के साथ 18 और चेरी के साथ 9। साशा यादृच्छिक रूप से एक पाई चुनती है। संभावना है कि वह एक चेरी के साथ समाप्त होता है ढूँढें।

.

उत्तर: 0.3।

समस्या 2. संग्रह से, एड। यशचेंको।

1000 बल्ब के प्रत्येक बैच में औसतन 20 दोषपूर्ण बल्ब होते हैं। इस संभावना को खोजें कि बैच से यादृच्छिक रूप से खींचा गया बल्ब काम करेगा।

समाधान: सर्विस करने योग्य बल्बों की संख्या 1000-20 \u003d 980 है। तब संभावना है कि बैच से यादृच्छिक पर लिया गया एक प्रकाश बल्ब सेवा योग्य होगा:

उत्तर: 0.98

छात्र U. गणित परीक्षण पर 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करेगा इसकी संभावना 0.67 है। U. 8 की समस्याओं को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.73 है। इस संभावना को ढूंढें कि यू ठीक से 9 समस्याओं को हल करेगा।

यदि हम एक संख्या रेखा की कल्पना करते हैं और उस पर अंक 8 और 9 को चिह्नित करते हैं, तो हम देखेंगे कि स्थिति “Y” है। सही ढंग से 9 समस्याओं को हल करेगा "हालत में शामिल है" यू। सही ढंग से 8 से अधिक समस्याओं को हल करेगा ", लेकिन शर्त पर लागू नहीं होता है" डब्ल्यू। 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करेगा ”।

हालाँकि, हालत “डब्ल्यू। सही ढंग से 9 से अधिक समस्याओं को हल करेगा "स्थिति में निहित है" डब्ल्यू। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करेगा ”। इस प्रकार, अगर हम घटनाओं को नामित करते हैं: “डब्ल्यू। सही ढंग से 9 समस्याओं को हल करेगा "- ए के माध्यम से," वाई। सही ढंग से 8 से अधिक समस्याओं को हल करेगा "- बी के माध्यम से," यू। सही ढंग से 9 से अधिक समस्याओं को हल करेगा "सी के माध्यम से। वह समाधान इस तरह दिखाई देगा:

उत्तर: 0.06

ज्यामिति परीक्षा में, छात्र परीक्षा प्रश्नों की सूची में से एक प्रश्न का उत्तर देता है। संभावना है कि यह एक त्रिकोणमिति प्रश्न 0.2 है। संभावना है कि यह एक बाहरी कोण प्रश्न है 0.15। ऐसे कोई सवाल नहीं हैं जो एक साथ इन दो विषयों से संबंधित हैं। इस संभावना को ढूंढें कि एक छात्र को परीक्षा में इन दो विषयों में से एक पर एक प्रश्न मिलेगा।

आइए विचार करें कि हमारे पास किस तरह की घटनाएं हैं। हमें दो असंगत घटनाएँ दी गई हैं। यही है, या तो प्रश्न "त्रिकोणमिति" विषय से संबंधित होगा, या "बाहरी कोण" विषय पर। प्रायिकता प्रमेय के अनुसार, असंगत घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है, हमें इन घटनाओं की संभावनाओं का योग ज्ञात करना चाहिए:

उत्तर: 0.35

कमरे को तीन लैंप के साथ एक लालटेन द्वारा रोशन किया गया है। एक वर्ष में एक दीपक जलने की संभावना 0.29 है। इस संभावना को खोजें कि एक वर्ष के भीतर कम से कम एक दीपक नहीं जलाएगा।

आइए संभावित घटनाओं पर विचार करें। हमारे पास तीन बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक किसी अन्य बल्ब से स्वतंत्र रूप से जल सकता है या नहीं। ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

फिर हम ऐसे आयोजनों के विकल्पों का संकेत देंगे। हम निम्नलिखित संकेतन लेते हैं: - प्रकाश चालू है, - प्रकाश बाहर जला हुआ है। और इसके ठीक बगल में हम घटना की संभावना की गणना करेंगे। उदाहरण के लिए, एक घटना की संभावना जिसमें तीन स्वतंत्र घटनाएं "प्रकाश बल्ब बाहर जलाया गया", "प्रकाश बल्ब चालू है", "प्रकाश बल्ब चालू है" हुआ: जहां घटना की संभावना "प्रकाश बल्ब" चालू है "घटना के विपरीत घटना की संभावना के रूप में गणना की जाती है" प्रकाश बल्ब बंद है ", अर्थात्: ...

ध्यान दें कि हमारे लिए केवल 7 असंगत घटनाएं हैं। ऐसी घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:।

उत्तर: 0.975608।

आप तस्वीर में एक और समस्या देख सकते हैं:

इस प्रकार, आप और मैं समझ गए थे कि समस्या के समाधान के सूत्र और उदाहरण के संभावित सिद्धांत जिस पर आप परीक्षा के संस्करण में मिल सकते हैं।

यह संभावना नहीं है कि बहुत से लोग इस बारे में सोचते हैं कि क्या उन घटनाओं की गणना करना संभव है जो कम या ज्यादा यादृच्छिक हैं। व्यक्त सरल शब्दों में, क्या यह जानना वास्तविक है कि अगली बार कौन सा पक्ष मर जाएगा। यह वह सवाल था जो दो महान वैज्ञानिकों द्वारा पूछा गया था, जिन्होंने संभावना के सिद्धांत के रूप में इस तरह के विज्ञान की नींव रखी, जिसमें किसी घटना की संभावना का काफी व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है।

आरंभ

यदि आप इस तरह की अवधारणा को संभाव्यता के सिद्धांत के रूप में परिभाषित करने का प्रयास करते हैं, तो आपको निम्नलिखित मिलते हैं: यह गणित की उन शाखाओं में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं के निरंतरता के अध्ययन से संबंधित है। बेशक, यह अवधारणा वास्तव में पूरे बिंदु को प्रकट नहीं करता है, इसलिए इसे और अधिक विस्तार से विचार करना आवश्यक है।

मैं सिद्धांत के रचनाकारों के साथ शुरुआत करना चाहूंगा। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, उनमें से दो थे, यह और यह वे थे जो किसी घटना के परिणाम की गणना करने के लिए सूत्र और गणितीय गणनाओं का उपयोग करने वाले पहले प्रयास में थे। सामान्य तौर पर, इस विज्ञान की असभ्यता मध्य युग में प्रकट हुई थी। उस समय, विभिन्न विचारकों और विद्वानों ने विश्लेषण करने की कोशिश की जुआ, जैसे टेप माप, पासा, और इसी तरह, जिससे किसी विशेष संख्या की घटना का पैटर्न और प्रतिशत स्थापित होता है। उपर्युक्त वैज्ञानिकों द्वारा सत्रहवीं शताब्दी में नींव रखी गई थी।

सबसे पहले, उनके कार्यों को इस क्षेत्र में महान उपलब्धियों के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता था, क्योंकि उन्होंने जो कुछ भी किया था वह केवल अनुभवजन्य तथ्य थे, और सूत्रों के उपयोग के बिना, प्रयोगों को नेत्रहीन स्थापित किया गया था। समय के साथ, महान परिणाम प्राप्त किए गए, जो हड्डियों को फेंकने के अवलोकन के परिणामस्वरूप दिखाई दिए। यह वह उपकरण था जिसने पहले समझदार सूत्रों को प्राप्त करने में मदद की।

एक जैसी सोच वाले लोग

एक व्यक्ति ऐसे व्यक्ति का उल्लेख करने में विफल नहीं हो सकता है, जैसा कि "संभावना सिद्धांत" (इस घटना की संभावना इस विज्ञान में शामिल है) नामक विषय का अध्ययन करने की प्रक्रिया में ईसाई Huygens। यह व्यक्ति बहुत दिलचस्प है। उन्होंने, ऊपर प्रस्तुत वैज्ञानिकों की तरह, गणितीय सूत्रों के रूप में यादृच्छिक घटनाओं की नियमितता को कम करने की कोशिश की। यह उल्लेखनीय है कि उन्होंने पास्कल और फ़र्मेट के साथ ऐसा नहीं किया था, अर्थात, उनके सभी काम किसी भी तरह से इन दिमागों के साथ नहीं थे। Huygens लाया

एक दिलचस्प तथ्य यह है कि उनका काम खोजकर्ताओं के कार्यों के परिणामों से काफी पहले या बीस साल पहले आया था। निर्दिष्ट अवधारणाओं में, सबसे प्रसिद्ध हैं:

• संभावना की अवधारणा एक अवसर के परिमाण के रूप में;
• असतत मामलों के लिए गणितीय अपेक्षा;
• संभावनाओं के लिए गुणा और जोड़ प्रमेय।

यह याद रखना भी असंभव नहीं है कि किसने समस्या के अध्ययन में महत्वपूर्ण योगदान दिया। अपने स्वयं के स्वतंत्र परीक्षणों को अंजाम देते हुए, वह कानून का सबूत देने में सक्षम था बड़ी संख्या... बदले में, वैज्ञानिक पोइसन और लाप्लास, जिन्होंने उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में काम किया था, मूल प्रमेयों को साबित करने में सक्षम थे। यह इस क्षण से था कि टिप्पणियों के दौरान त्रुटियों का विश्लेषण करने के लिए संभाव्यता के सिद्धांत का उपयोग किया जाना शुरू हुआ। रूसी वैज्ञानिक, या बल्कि मार्कोव, चेबीशेव और डायपुनोव, इस विज्ञान को भी नहीं दरकिनार कर सकते थे। वे, महान प्रतिभाओं द्वारा किए गए काम के आधार पर, इस विषय को गणित की एक शाखा के रूप में समेकित करते हैं। ये आंकड़े उन्नीसवीं सदी के अंत में पहले से ही काम कर रहे थे, और उनके योगदान के लिए धन्यवाद, इस तरह की घटनाएं साबित हुईं:

• बड़ी संख्या का कानून;
• मार्कोव श्रृंखला का सिद्धांत;
• केंद्रीय सीमा प्रमेय।

तो, विज्ञान की उत्पत्ति के इतिहास के साथ और इसे प्रभावित करने वाले मुख्य व्यक्तियों के साथ, सब कुछ कम या ज्यादा स्पष्ट है। अब सभी तथ्यों को समेटने का समय है।

मूल अवधारणा

कानूनों और प्रमेयों को छूने से पहले, यह संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं का अध्ययन करने के लायक है। घटना इसमें प्रमुख भूमिका निभाती है। इस विषय काफी बड़ा है, लेकिन इसके बिना हर चीज को समझना संभव नहीं होगा।

प्रायिकता सिद्धांत में एक घटना किसी प्रयोग के परिणामों का सेट है। इस घटना की इतनी कम अवधारणाएँ नहीं हैं। तो, इस क्षेत्र में काम करने वाले वैज्ञानिक लोटमैन ने कहा कि इस मामले में यह आता है के बारे में "क्या हुआ, हालांकि यह नहीं हुआ हो सकता है।"

यादृच्छिक घटनाओं (संभावना सिद्धांत उन्हें देता है विशेष ध्यान) एक अवधारणा है जो बिल्कुल किसी भी घटना का अर्थ है जो होने की क्षमता है। या, इसके विपरीत, कई स्थितियों के पूरा होने पर यह परिदृश्य नहीं हो सकता है। यह भी जानने योग्य है कि यह यादृच्छिक घटनाएं हैं जो घटित हुई घटनाओं की पूरी मात्रा को पकड़ती हैं। संभाव्यता सिद्धांत इंगित करता है कि सभी स्थितियों को हर समय दोहराया जा सकता है। यह उनका आचरण है जिसे "प्रयोग" या "परीक्षण" नाम मिला है।

एक विश्वसनीय घटना वह है जो किसी दिए गए परीक्षण में एक सौ प्रतिशत होगी। तदनुसार, एक असंभव घटना वह है जो नहीं होगी।

एक जोड़ी क्रियाओं का संयोजन (सशर्त रूप से ए और केस बी) एक घटना है जो एक साथ होती है। उन्हें एबी कहा जाता है।

घटनाओं ए और बी के जोड़े का योग सी है, दूसरे शब्दों में, यदि उनमें से कम से कम एक (ए या बी) होता है, तो यह सी निकल जाएगा। वर्णित घटना के लिए सूत्र निम्नानुसार लिखा गया है: सी \u003d ए + बी

प्रायिकता सिद्धांत में असंगत घटनाओं का अर्थ है कि दो घटनाएं परस्पर अनन्य हैं। वे एक ही समय में कभी नहीं हो सकते। संभावना सिद्धांत में संयुक्त घटनाएं उनके एंटीपोड हैं। तात्पर्य यह है कि यदि A हुआ, तो वह B के साथ हस्तक्षेप नहीं करता है।

विपरीत घटनाओं (संभावना के सिद्धांत उन्हें महान विस्तार से मानते हैं) को समझना आसान है। तुलना करने का सबसे अच्छा तरीका उनकी तुलना है। वे प्रायिकता सिद्धांत में असंगत घटनाओं के समान हैं। लेकिन उनका अंतर इस तथ्य में निहित है कि किसी भी मामले में कई घटनाओं में से एक होना चाहिए।

समान रूप से संभव घटनाएं उन क्रियाएं हैं, जिनमें से पुनरावृत्ति की संभावना बराबर है। इसे स्पष्ट करने के लिए, आप एक सिक्का टॉस की कल्पना कर सकते हैं: इसके एक किनारे से गिरने पर समान रूप से दूसरे के बाहर गिरने की संभावना है।

एक शुभ घटना को एक उदाहरण के साथ देखना आसान है। मान लीजिए कि एपिसोड बी और एपिसोड ए हैं। पहला एक विषम संख्या की उपस्थिति के साथ पासा का रोल है, और दूसरा मरने पर नंबर पांच की उपस्थिति है। तब यह पता चला कि ए एहसान बी।

प्रायिकता के सिद्धांत में स्वतंत्र घटनाओं को केवल दो या दो से अधिक मामलों में अनुमानित किया जाता है और दूसरे से किसी कार्रवाई की स्वतंत्रता का अनुमान लगाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का फेंकने पर ए पूंछ है, और बी डेक से जैक प्राप्त कर रहा है। वे संभाव्यता के सिद्धांत में स्वतंत्र घटना हैं। इस क्षण के साथ यह स्पष्ट हो गया।

प्रायिकता के सिद्धांत में आश्रित घटनाएं भी केवल उनके सेट के लिए स्वीकार्य हैं। वे दूसरे पर एक की निर्भरता का अर्थ करते हैं, अर्थात् घटना बी केवल तभी हो सकती है जब ए पहले से ही हुआ है या इसके विपरीत, ऐसा नहीं हुआ, जब बी के लिए यह मुख्य स्थिति है।

एक घटक के साथ एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम प्रारंभिक घटनाएं हैं। संभाव्यता का सिद्धांत बताता है कि यह एक ऐसी घटना है जो केवल एक बार हुई है।

मूल सूत्र

तो, "घटना", "संभावना के सिद्धांत" की अवधारणाओं को ऊपर माना गया था, इस विज्ञान की मूल शर्तों की परिभाषा भी दी गई थी। अब महत्वपूर्ण सूत्रों से सीधे परिचित होने का समय है। ये अभिव्यक्तियाँ ऐसे जटिल विषय में सभी मुख्य अवधारणाओं की गणितीय रूप से संभाव्यता के सिद्धांत की पुष्टि करती हैं। किसी घटना की संभावना यहां भी बहुत बड़ी भूमिका निभाती है।

मुख्य लोगों के साथ शुरू करने के लिए बेहतर है और उनके साथ आगे बढ़ने से पहले, यह विचार करने योग्य है कि वे क्या हैं।

संयोजक मुख्य रूप से गणित की एक शाखा है, यह बड़ी संख्या में पूर्णांकों के अध्ययन के साथ-साथ स्वयं और उनके तत्वों के विभिन्न क्रमों, विभिन्न डेटा, इत्यादि से संबंधित है, जिससे कई संयोजनों की उपस्थिति होती है। संभाव्यता सिद्धांत के अलावा, यह उद्योग सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण है।

तो, अब आप स्वयं और उनकी परिभाषा के सूत्रों की प्रस्तुति के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

उनमें से पहला क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए अभिव्यक्ति होगी, ऐसा दिखता है:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) n (n - 2) ... 3 ⋅ 2 \u003d 1 \u003d n!

समीकरण केवल तभी लागू होता है जब तत्व केवल व्यवस्था के क्रम में भिन्न होते हैं।

अब हम प्लेसमेंट फॉर्मूला पर विचार करेंगे, यह इस तरह दिखता है:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) n (n-2) ^ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

यह अभिव्यक्ति न केवल उस क्रम पर लागू होती है जिसमें तत्व को रखा गया है, बल्कि इसकी संरचना के लिए भी।

कॉम्बिनेटरिक्स से तीसरा समीकरण, और यह आखिरी भी है, संयोजन की संख्या के लिए सूत्र कहा जाता है:

C_n ^ m \u003d n! : (n (m - m))! : म!

एक संयोजन को चयन कहा जाता है जो क्रमशः आदेश नहीं दिया जाता है, और यह नियम उन पर लागू होता है।

कॉम्बिनेटरिक्स के सूत्रों का पता लगाना आसान हो गया है, अब आप संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा पर जा सकते हैं। यह अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

इस सूत्र में, मी, ए की स्थिति के अनुकूल स्थितियों की संख्या है, और एन बिल्कुल समान रूप से संभव और प्राथमिक परिणामों की संख्या है।

मौजूद भारी संख्या मे अभिव्यक्ति, लेख सभी पर विचार नहीं करेगा, लेकिन उनमें से सबसे महत्वपूर्ण को स्पर्श किया जाएगा, जैसे, उदाहरण के लिए, घटनाओं के योग की संभावना:

पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - यह प्रमेय केवल असंगत घटनाओं को जोड़ने के लिए है;

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - और यह केवल संगत को जोड़ने के लिए है।

घटनाओं की घटना की संभावना:

पी (ए (बी) \u003d पी (ए) B पी (बी) - यह प्रमेय स्वतंत्र घटनाओं के लिए है;

(P (A) B) \u003d P (A) ∣ P (B )A); P (A (B) \u003d P (A) (P (A∣B)) - और यह आश्रित के लिए है।

घटना सूत्र सूची को समाप्त कर देगा। संभावना हमें बेयस के प्रमेय के बारे में बताती है, जो इस तरह दिखता है:

P (H_m (A) \u003d (P (H_m) P (A_H_m)): (\u003d_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ... ... एन

इस सूत्र में, एच 1, एच 2, ..., एच एन है पूरा समूह परिकल्पना।

के उदाहरण

यदि आप गणित के किसी भी क्षेत्र का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं, तो यह अभ्यास और नमूना समाधान के बिना पूरा नहीं होता है। तो संभावना का सिद्धांत है: घटनाएं, उदाहरण यहां एक अभिन्न घटक हैं जो वैज्ञानिक गणनाओं की पुष्टि करते हैं।

क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र

मान लीजिए कि कार्ड के एक डेक में तीस कार्ड हैं, जो एक के अंकित मूल्य से शुरू होता है। अगला प्रश्न। डेक को मोड़ने के कितने तरीके हैं ताकि मूल्यवर्ग एक और दो वाले कार्ड साथ-साथ न हों?

कार्य निर्धारित है, अब इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। पहले आपको तीस तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम ऊपर प्रस्तुत सूत्र लेते हैं, यह P_30 / 30/30 निकलता है!

इस नियम के आधार पर, हमें पता चलता है कि डेक को अलग-अलग तरीकों से मोड़ने के लिए कितने विकल्प हैं, लेकिन हमें उन लोगों से घटाना होगा जिनमें पहले और दूसरे कार्ड एक-दूसरे के बगल में हैं। ऐसा करने के लिए, चलो विकल्प के साथ शुरू करते हैं जब पहला दूसरे से ऊपर होता है। यह पता चला है कि पहला कार्ड उनतीस स्थानों को ले सकता है - पहले से बीस-नौवें तक, और दूसरे कार्ड को दूसरे से तीस तक, यह केवल एक जोड़ी कार्ड के लिए उनतीस स्थानों को बदल देता है। बदले में, बाकी अट्ठाईस सीटें ले सकते हैं, और कोई विशेष क्रम में नहीं। अर्थात् अट्ठाईस कार्डों के क्रमपरिवर्तन के लिए अट्ठाईस विकल्प P_28 \u003d २ perm हैं!

नतीजतन, यह पता चला है कि अगर हम समाधान पर विचार करते हैं जब पहला कार्ड दूसरे से ऊपर है, तो 29! 28 अतिरिक्त अवसर होंगे! \u003d २ ९!

उसी पद्धति का उपयोग करते हुए, आपको उस मामले के लिए अनावश्यक विकल्पों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता होती है जब पहला कार्ड दूसरे के नीचे होता है। यह भी पता चला 29 ⋅ 28! \u003d २ ९!

यह इस प्रकार है कि 2 extra 29 अतिरिक्त विकल्प हैं!, जबकि डेक बनाने के लिए 30 आवश्यक तरीके हैं! - 2! 29। यह केवल गिनती के लिए ही रहता है।

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

अब आपको एक दूसरे से सभी संख्याओं को एक से लेकर उनतीस तक गुणा करना होगा, और फिर अंत में सब कुछ 28 से गुणा करना होगा। उत्तर 2.4757335 ⋅〗 10 32 ^ 32 है

उदाहरण समाधान। प्लेसमेंट नंबर के लिए फॉर्मूला

इस कार्य में, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि एक शेल्फ पर पंद्रह मात्राएँ डालने के कितने तरीके हैं, लेकिन इस शर्त पर कि कुल तीस खंड हैं।

इस समस्या में, समाधान पिछले एक की तुलना में थोड़ा सरल है। पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करते हुए, पंद्रह के तीस संस्करणों से कुल स्थानों की गणना करना आवश्यक है।

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... 30 (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... \u003d 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

जवाब, क्रमशः, 202 843 204 931 727 360 000 के बराबर होगा।

अब चलिए कार्य को थोड़ा कठिन बनाते हैं। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि दो बुकशेल्व पर तीस पुस्तकों की व्यवस्था करने के कितने तरीके हैं, बशर्ते कि केवल पंद्रह खंड एक शेल्फ पर हो सकते हैं।

समाधान शुरू करने से पहले, मैं स्पष्ट करना चाहूंगा कि कुछ समस्याओं को कई तरीकों से हल किया जाता है, और इसमें दो तरीके हैं, लेकिन दोनों में एक ही सूत्र लागू होता है।

इस समस्या में, आप पिछले एक से उत्तर ले सकते हैं, क्योंकि वहां हमने गणना की कि आप पंद्रह पुस्तकों के लिए अलग-अलग तरीकों से कितनी बार एक शेल्फ भर सकते हैं। यह A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... 30 (30 - 15 + 1) \u003d 30 \u003d 29 30 28 ⋅ ...। 16 निकला।

हम क्रमांकन सूत्र का उपयोग करके दूसरे शेल्फ की गणना करेंगे, क्योंकि पंद्रह पुस्तकें इसमें रखी जा सकती हैं, जबकि कुल पंद्रह हैं। हम सूत्र P_15 \u003d 15 का उपयोग करते हैं!

यह पता चला है कि कुल A_30 ^ 15 15 P_15 तरीके होंगे, लेकिन, इसके अलावा, तीस से सोलह तक की सभी संख्याओं के उत्पाद को एक से पंद्रह तक संख्याओं के उत्पाद से गुणा करना होगा, परिणामस्वरूप, उत्पाद एक से तीस तक की सभी संख्याएँ प्राप्त की जाएंगी, अर्थात उत्तर 30 के बराबर होगा!

लेकिन इस समस्या को एक अलग तरीके से हल किया जा सकता है - आसान। ऐसा करने के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं कि तीस पुस्तकों के लिए एक शेल्फ है। उन सभी को इस विमान पर रखा गया है, लेकिन चूँकि इस स्थिति के लिए यह आवश्यक है कि दो अलमारियाँ हों, इसलिए हमने आधे में एक लंबा देखा, यह दो से पंद्रह निकला। इससे यह पता चला कि प्लेसमेंट विकल्प P_30 \u003d 30 हो सकते हैं।

उदाहरण समाधान। संयोजन संख्या के लिए सूत्र

अब हम कॉम्बिनेटरिक्स से तीसरी समस्या के एक संस्करण पर विचार करेंगे। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि पंद्रह पुस्तकों की व्यवस्था के लिए कितने तरीके हैं, बशर्ते कि आपको तीस बिल्कुल उसी से चुनने की आवश्यकता हो।

समाधान के लिए, निश्चित रूप से, संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र लागू किया जाएगा। स्थिति से यह स्पष्ट हो जाता है कि समान पंद्रह पुस्तकों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, शुरू में आपको पंद्रह की तीस पुस्तकों के संयोजन की कुल संख्या का पता लगाने की आवश्यकता है।

C_30 ^ 15 \u003d 30! : (30-15))! : १५! \u003d 155 117 520

बस इतना ही। इस सूत्र का उपयोग, में सबसे कम समय इस तरह की समस्या को हल करने में कामयाब रहे, जवाब, क्रमशः 155 117 520 है।

उदाहरण समाधान। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, आप एक सरल समस्या में उत्तर पा सकते हैं। लेकिन यह कार्रवाई के पाठ्यक्रम को देखने और पता लगाने में मदद करेगा।

समस्या में यह दिया गया है कि कलश में दस बिल्कुल समान गेंदें हैं। इनमें से चार पीले और छह नीले हैं। एक गेंद कलश से ली जाती है। आपको नीला होने की संभावना का पता लगाने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, डिलीवरी को इंगित करना आवश्यक है नीली गेंद घटना ए। इस अनुभव के दस परिणाम हो सकते हैं, जो बदले में, प्राथमिक और समान रूप से संभव हैं। उसी समय, दस में से छह घटना ए के लिए अनुकूल हैं। हम सूत्र द्वारा तय करते हैं:

पी (ए) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हमने सीखा कि नीली गेंद तक पहुँचने की क्षमता 0.6 है।

उदाहरण समाधान। घटनाओं के योग की संभावना

अब एक संस्करण प्रस्तुत किया जाएगा, जो घटनाओं के योग की संभावना के लिए सूत्र का उपयोग करके हल किया गया है। तो, इस स्थिति में यह दिया जाता है कि दो बक्से हैं, पहले में एक ग्रे और पांच सफेद गेंद हैं, और दूसरे में आठ ग्रे और चार सफेद गेंद हैं। नतीजतन, उनमें से एक को पहले और दूसरे बक्से से लिया गया था। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि आपके द्वारा प्राप्त की जाने वाली गेंदें ग्रे और सफ़ेद क्या होंगी।

इस समस्या को हल करने के लिए, घटनाओं को नामित करना आवश्यक है।

• तो, ए - पहले बॉक्स से ग्रे बॉल ली: पी (ए) \u003d 1/6।
• ए '- उन्होंने पहले बॉक्स से एक सफेद गेंद भी ली: पी (ए ") \u003d 5/6।
• बी - ग्रे बॉल को दूसरे बॉक्स से हटा दिया गया था: पी (बी) \u003d 2/3।
• बी '- दूसरे बॉक्स से एक ग्रे बॉल ली: पी (बी ") \u003d 1/3।

समस्या की स्थिति के अनुसार, किसी एक घटना के लिए यह आवश्यक है: एबी 'या एबी। सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: पी (एबी ") \u003d 1/18, पी (ए" बी) \u003d 10/18।

प्रायिकता को गुणा करने के सूत्र का अब उपयोग किया गया है। इसके अलावा, उत्तर का पता लगाने के लिए, आपको उनके जोड़ के समीकरण को लागू करने की आवश्यकता है:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18।

यह है, एक सूत्र का उपयोग करके, आप इसी तरह की समस्याओं को हल कर सकते हैं।

परिणाम

लेख "संभाव्यता सिद्धांत" विषय पर जानकारी प्रदान करता है, एक घटना की संभावना जिसमें खेलता है महत्वपूर्ण भूमिका... बेशक, सब कुछ ध्यान में नहीं लिया गया था, लेकिन, प्रस्तुत पाठ के आधार पर, आप सैद्धांतिक रूप से गणित के इस खंड के साथ खुद को परिचित कर सकते हैं। प्रश्न में विज्ञान न केवल व्यावसायिक व्यवसाय में उपयोगी हो सकता है, बल्कि अंदर भी हो सकता है दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी... इसकी मदद से, आप किसी भी घटना की किसी भी संभावना की गणना कर सकते हैं।

पाठ भी स्पर्श किया महत्वपूर्ण तिथियां एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के गठन के इतिहास में, और उन लोगों के नाम हैं जिनके कार्यों में निवेश किया गया था। इस तरह मानवीय जिज्ञासा इस तथ्य को जन्म देती है कि लोगों ने यादृच्छिक घटनाओं की गणना करना सीख लिया है। एक बार जब वे बस इसमें रुचि रखते थे, लेकिन आज हर कोई इसके बारे में पहले से ही जानता है। और कोई यह नहीं कहेगा कि भविष्य में हमें क्या इंतजार है, विचार के तहत सिद्धांत से जुड़े अन्य शानदार खोजों को क्या बनाया जाएगा। लेकिन एक बात सुनिश्चित है - अनुसंधान अभी भी खड़ा नहीं है!

कई, "संभावना सिद्धांत" की अवधारणा के साथ सामना किया, यह सोचकर डर जाते हैं कि यह कुछ भारी है, बहुत मुश्किल है। लेकिन वास्तव में सब कुछ इतना दुखद नहीं है। आज हम मूल अवधारणा पर विचार करेंगे और सीखेंगे कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

विज्ञान

"संभावना सिद्धांत" अध्ययन के रूप में गणित की ऐसी कौन सी शाखा है? वह पैटर्न और मात्रा नोट करती है। पहली बार, वैज्ञानिक इस मुद्दे पर अठारहवीं शताब्दी में वापस दिलचस्पी लेने लगे, जब उन्होंने जुए का अध्ययन किया। संभाव्यता के सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई भी तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन द्वारा पता लगाया जाता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता के सिद्धांत की एक और मूल अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों का यह सेट संयोग से नहीं, बल्कि एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाया गया था। अवलोकन के लिए, यहां शोधकर्ता स्वयं प्रयोग में भाग नहीं लेता है, लेकिन बस इन घटनाओं को देखता है, वह किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करता है कि क्या हो रहा है।

आयोजन

हमने सीखा कि संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन हमने वर्गीकरण पर विचार नहीं किया। वे सभी निम्न श्रेणियों में आते हैं:

• विश्वसनीय है।
• असंभव।
• यादृच्छिक।

भले ही प्रयोग के दौरान किस तरह की घटनाओं का अवलोकन किया जाता है या बनाया जाता है, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम आपको प्रत्येक प्रकार के अलग-अलग परिचित होने के लिए आमंत्रित करते हैं।

विश्वसनीय घटना

यह एक ऐसी परिस्थिति है, जिसके सामने आवश्यक जटिल उपाय किए गए हैं। सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कुछ उदाहरण देना बेहतर है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता सिद्धांत में निम्नलिखित शामिल हैं महत्वपूर्ण अवधारणाएक विश्वसनीय घटना के रूप में। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

• हम मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
• हमने परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण की, प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, इसके लिए हमें प्रवेश के रूप में पुरस्कार मिलता है शैक्षिक संस्था.
• हमने बैंक में पैसा लगाया है, यदि आवश्यक हो, तो हम इसे वापस प्राप्त करेंगे।

इस तरह के आयोजन विश्वसनीय हैं। यदि हमने सभी आवश्यक शर्तों को पूरा किया है, तो हमें निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम मिलेगा।

असंभव घटनाएँ

अब हम संभावना के सिद्धांत के तत्वों को देख रहे हैं। हम अगले प्रकार की घटना के स्पष्टीकरण पर आगे बढ़ने का प्रस्ताव देते हैं, अर्थात्, असंभव। शुरू करने के लिए, हम सबसे अधिक वजीफा देंगे महत्वपूर्ण नियम - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।

समस्याओं को हल करते समय कोई इस सूत्रीकरण से विचलित नहीं हो सकता है। स्पष्टीकरण के लिए, यहाँ इस तरह के आयोजनों के उदाहरण दिए गए हैं:

• प्लस दस के तापमान पर पानी जम जाता है (यह असंभव है)।
• बिजली की कमी किसी भी तरह से उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (जैसा कि पिछले उदाहरण में असंभव है)।

यह अधिक उदाहरण देने के लायक नहीं है, क्योंकि ऊपर वर्णित लोग इस श्रेणी के सार को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। एक असंभव घटना किसी भी परिस्थिति में एक अनुभव के दौरान कभी नहीं होगी।

यादृच्छिक घटनाओं

संभाव्यता के सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करते हुए, इस विशेष प्रकार की घटना पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। यह वह है कि वह पढ़ाई करता है विज्ञान दिया... अनुभव के परिणामस्वरूप, कुछ हो सकता है या नहीं। इसके अलावा, परीक्षण को कई बार असीमित संख्या में किया जा सकता है। हड़ताली उदाहरण सेवा कर सकता:

• एक सिक्के का टॉस एक अनुभव है, या एक परीक्षण है; सिर का गिरना एक घटना है।
• नेत्रहीन बैग से गेंद को खींचना एक परीक्षण है, एक लाल गेंद को पकड़ा जाता है - यह एक घटना है, और इसी तरह।

ऐसे उदाहरणों की एक असीमित संख्या हो सकती है, लेकिन, सामान्य तौर पर, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं के बारे में प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित करने के लिए, एक तालिका दी गई है। संभाव्यता सिद्धांत केवल प्रस्तुत सभी की अंतिम प्रजातियों का अध्ययन करता है।

कानून

प्रायिकता सिद्धांत एक विज्ञान है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह, इसके कुछ नियम हैं। मौजूद निम्नलिखित कानूनों सिद्धांत संभावना:

• यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का रूपांतरण।
• बड़ी संख्या का कानून।

एक जटिल की संभावना की गणना करते समय, आप एक सरल और तेज़ तरीके से परिणाम प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक सेट का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत के नियम कुछ प्रमेयों का उपयोग करके आसानी से साबित हो जाते हैं। हमारा सुझाव है कि आप पहले पहले कानून से परिचित हों।

यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का रूपांतरण

ध्यान दें कि कई प्रकार के अभिसरण हैं:

• यादृच्छिक चर का एक क्रम संभाव्यता में परिवर्तित होता है।
• लगभग असंभव।
• जड़-माध्य-वर्ग अभिसरण।
• वितरण अभिसरण।

तो, मक्खी पर, सार को पकड़ना बहुत मुश्किल है। यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं जो आपको इस विषय को समझने में मदद करेंगी। शुरुआत के लिए, पहला दृश्य। अनुक्रम कहा जाता है संभावना में परिवर्तित करना, यदि निम्न स्थिति पूरी हो जाती है: n, अनंत को जाता है, जिस क्रम से क्रम झुकता है वह शून्य से अधिक है और एक के करीब है।

आगे बढ़ जाना निम्नलिखित प्रकार, लगभग निश्चित रूप से... अनुक्रम को अभिसरण कहा जाता है लगभग निश्चित रूप से एक यादृच्छिक चर के रूप में n अनंत को जाता है, और P एकता के करीब एक मूल्य के लिए जाता है।

अगला प्रकार है आरएमएस अभिसरण... एसके-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वित स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम हो जाता है।

अंतिम प्रकार बना हुआ है, चलो समस्याओं को सुलझाने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए इसका संक्षिप्त विश्लेषण करें। वितरण में अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", नीचे हम बताएंगे कि क्यों। कमजोर अभिसरण सीमित वितरण समारोह की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण कार्यों का अभिसरण है।

हम निश्चित रूप से अपना वादा रखेंगे: कमजोर अभिसरण उपरोक्त सभी से अलग है कि यादृच्छिक चर संभावना स्थान में परिभाषित नहीं है। यह संभव है क्योंकि यह स्थिति विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग करके बनाई गई है।

बड़ी संख्या का कानून

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत, जैसे:

• चेबीशेव की असमानता।
• चेबीशेव की प्रमेय।
• सामान्यीकृत चेबीशेव की प्रमेय।
• मार्कोव प्रमेय।

यदि हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करते हैं, तो यह प्रश्न कई दसियों पृष्ठों तक खींच सकता है। हमारा मुख्य कार्य व्यवहार में संभाव्यता के सिद्धांत को लागू करना है। हमारा सुझाव है कि आप इसे अभी करें और करें। लेकिन इससे पहले, संभावना सिद्धांत के स्वयंसिद्धों पर विचार करें, वे समस्याओं को हल करने में मुख्य सहायक होंगे।

अभिगृहीत

जब हम एक असंभव घटना के बारे में बात करते हैं तो हम पहले से ही मिलते थे। आइए याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। हमने एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार उदाहरण दिया: यह तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर बर्फबारी हुई।

दूसरा इस प्रकार है: एक विश्वसनीय घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब हम दिखाएंगे कि गणितीय भाषा का उपयोग करके इसे कैसे लिखना है: P (B) \u003d 1।

तीसरा: एक यादृच्छिक घटना हो सकती है या नहीं हो सकती है, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक तक भिन्न होती है। से करीब अर्थ एक से, अधिक संभावना है; यदि मान शून्य के करीब आता है, तो संभावना बहुत कम है। इसे गणितीय भाषा में लिखें: 0<Р(С)<1.

अंतिम, चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, जो इस तरह से लगता है: दो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है। हम गणितीय भाषा में लिखते हैं: P (A + B) \u003d P (A) + P (B)।

संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना मुश्किल नहीं होगा। आइए पहले से अर्जित ज्ञान के आधार पर, कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।

लॉटरी टिकट

चलो सबसे सरल उदाहरण को देखकर शुरू करते हैं - एक लॉटरी। आप सौभाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा कल्पना कीजिए। क्या संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे? कुल में, एक हजार टिकट ड्रॉ में भाग लेते हैं, जिनमें से एक में पांच सौ रूबल का पुरस्कार होता है, एक सौ रूबल के लिए दस, बीस रूबल के लिए पचास और पांच के लिए एक सौ। संभावना समस्याएं भाग्य का अवसर खोजने पर आधारित हैं। अब एक साथ हम उपरोक्त प्रस्तुत कार्य के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

यदि हम पत्र ए द्वारा पांच सौ रूबल की जीत को निरूपित करते हैं, तो ए प्राप्त करने की संभावना 0.001 होगी। हमें यह कैसे मिला? आपको बस "भाग्यशाली" टिकटों की संख्या को उनकी कुल संख्या से विभाजित करना होगा (इस मामले में: 1/1000)।

बी एक सौ रूबल की जीत है, संभावना 0.01 होगी। अब हमने पिछली कार्रवाई के समान सिद्धांत पर काम किया (10/1000)

सी - जीत बीस रूबल के बराबर हैं। हम संभावना पाते हैं, यह 0.05 के बराबर है।

बाकी टिकट हमारे हित में नहीं हैं, क्योंकि उनकी पुरस्कार राशि शर्त में निर्दिष्ट एक से कम है। चौथा स्वयंसिद्ध लागू करते हैं: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना है पी (ए) + पी (बी) + पी (सी)। पत्र पी इस घटना की घटना की संभावना को दर्शाता है, हमने उन्हें पहले से ही पिछले कार्यों में पाया है। यह केवल आवश्यक डेटा जोड़ने के लिए रहता है, उत्तर में हमें 0.061 मिलता है। यह संख्या कार्य प्रश्न का उत्तर होगी।

ताश की गड्डी

संभाव्यता सिद्धांत समस्याएं भी अधिक जटिल हैं, उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित कार्य करें। यहाँ छत्तीस कार्ड का एक डेक है। आपका काम ढेर को मिलाए बिना एक पंक्ति में दो कार्ड खींचना है, पहला और दूसरा कार्ड इक्के होना चाहिए, सूट कोई फर्क नहीं पड़ता।

पहले, आइए इस संभावना को ढूंढें कि पहला कार्ड एक इक्का होगा, इसके लिए हम छत्तीस से चार को विभाजित करते हैं। उन्होंने इसे एक तरफ रख दिया। हम दूसरा कार्ड निकालते हैं, यह एक इक्का होगा जिसमें तीन पैंतीसवीं संभावना होती है। एक दूसरी घटना की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि हम पहले कौन सा कार्ड बनाते हैं, हमें आश्चर्य होता है कि यह इक्का था या नहीं। यह इस प्रकार है कि ईवेंट ए पर ईवेंट बी निर्भर करता है।

अगला कदम एक साथ होने की संभावना को खोजना है, अर्थात्, हम ए और बी को गुणा करते हैं। उनका उत्पाद निम्नानुसार पाया जाता है: एक घटना की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना से गुणा होती है, जिसे हम गणना करते हैं, यह मानते हुए कि पहला। ईवेंट हुआ, यानी हमने पहले कार्ड के साथ इक्का फेंक दिया।

सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, हम घटनाओं के रूप में इस तरह के एक तत्व को एक पदनाम देंगे। यह गणना की जाती है कि ए घटना घटित हुई है। गणना इस प्रकार है: P (B / A)।

आइए हमारी समस्या को हल करना जारी रखें: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) या P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B)। संभावना (4/36) * ((3/35) / (4/36) है। गणना करें, निकटतम सौवें के लिए गोलाई। हमारे पास: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 संभावना है। हम एक पंक्ति में दो इक्के खींचेंगे जो नौ सौवें हिस्से के बराबर है। मूल्य बहुत छोटा है, जिसका अर्थ है कि घटना के घटने की संभावना बेहद कम है।

भूल गए नंबर

हम उन कार्यों के लिए कई और विकल्पों का विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं जो संभाव्यता अध्ययन का सिद्धांत है। आपने इस लेख में उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण पहले ही देखे हैं, आइए निम्न समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर के अंतिम अंक को भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण था, इसलिए उसने बदले में सब कुछ डायल करना शुरू कर दिया। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि वह तीन बार से अधिक नहीं बुलाएगा। समस्या का समाधान सबसे सरल है यदि संभावना सिद्धांत के नियमों, कानूनों और स्वयंसिद्ध शब्दों को जाना जाता है।

समाधान को देखने से पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, अर्थात्, केवल दस मान हैं। आवश्यक एक प्राप्त करने की संभावना 1/10 है।

अगला, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़के ने सही अनुमान लगाया और तुरंत वांछित को टाइप किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पहला कॉल मिस है, और दूसरा लक्ष्य पर है। आइए ऐसी घटना की संभावना की गणना करें: 9/10 को 1/9 से गुणा करें, अंत में हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल गलत पते पर थी, केवल तीसरे लड़के से वह मिला जहाँ वह चाहता था। हम इस तरह की घटना की संभावना की गणना करते हैं: 9/10 को 8/9 से गुणा करें और 1/8 से, हमें परिणामस्वरूप 1/10 प्राप्त होता है। हम समस्या की स्थिति के अनुसार अन्य विकल्पों में रुचि नहीं रखते हैं, इसलिए यह हमारे लिए प्राप्त परिणामों को जोड़ने के लिए बना हुआ है, अंत में हमारे पास 3/10 है। उत्तर: संभावना है कि एक लड़का तीन बार से अधिक कॉल नहीं करेगा 0.3।

नंबर कार्ड

आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक से नौ तक की संख्या है, संख्याओं को दोहराया नहीं गया है। उन्हें एक बॉक्स में डाला गया और अच्छी तरह मिलाया गया। आपको उस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है जो

• एक समान संख्या में गिरा दिया जाएगा;
• दो अंकों का।

समाधान के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए हम निर्धारित करें कि मी सफल मामलों की संख्या है, और n कुल विकल्पों की संख्या है। आइए इस संभावना को ढूंढें कि संख्या कितनी होगी। यह गणना करना मुश्किल नहीं होगा कि चार समान संख्याएं हैं, यह हमारा एम होगा, कुल मिलाकर नौ विकल्प हैं, अर्थात् एम \u003d 9। तब संभावना 0.44 या 4/9 है।

दूसरे मामले पर विचार करें: विकल्पों की संख्या नौ है, लेकिन कोई भी सफल परिणाम नहीं हो सकता है, अर्थात् एम शून्य के बराबर है। संभावना है कि तैयार कार्ड में दो अंकों की संख्या होगी, वह भी शून्य है।

मूल रूप से सिर्फ पासा के खेल की जानकारी और अनुभवजन्य टिप्पणियों का एक संग्रह है, संभाव्यता का सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बन गया है। इसे गणितीय ढांचा देने वाले पहले फ़र्मेट और पास्कल थे।

अनन्त के बारे में सोचने से लेकर संभाव्यता सिद्धांत तक

दो व्यक्ति जिनके लिए प्रायिकता सिद्धांत अपने मौलिक सूत्र, ब्लाइज़ पास्कल और थॉमस बेयस के कई कारण हैं, को गहराई से धार्मिक लोगों के लिए जाना जाता है। जाहिर है, एक निश्चित फॉर्च्यून के बारे में राय की गिरावट को साबित करने के लिए इन दो वैज्ञानिकों की इच्छा, अपने पालतू जानवरों पर शुभकामनाएं देते हुए, इस क्षेत्र में अनुसंधान को प्रोत्साहन दिया। वास्तव में, वास्तव में, अपनी जीत और हार के साथ कोई भी जुआ खेल गणितीय सिद्धांतों का एक सिम्फनी है।

कैवेलियर डी मेर के उत्साह के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक खिलाड़ी था और एक व्यक्ति जो विज्ञान के प्रति उदासीन नहीं था, पास्कल को संभावना की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर किया गया था। डी मेर को निम्नलिखित प्रश्न में दिलचस्पी थी: "12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक होने के लिए आपको कितनी बार जोड़े में दो पासा फेंकने की आवश्यकता है?" दूसरा प्रश्न, जो सज्जन के लिए बहुत रुचि का था: "अधूरा खेल में प्रतिभागियों के बीच की शर्त को कैसे विभाजित किया जाए?" बेशक, पास्कल ने सफलतापूर्वक दोनों सवालों के जवाब दिए, जो संभावना के सिद्धांत के विकास के अनजाने अग्रणी बन गए। दिलचस्प बात यह है कि, इस क्षेत्र में व्यक्तित्व डी Mere प्रसिद्ध रहे, न कि साहित्य में।

पहले, किसी भी गणितज्ञ ने कभी घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया था, क्योंकि यह माना जाता था कि यह केवल एक अनुमान लगाने वाला समाधान था। ब्लैस पास्कल ने किसी घटना की संभावना की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय रूप से प्रमाणित किया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत आँकड़ों का आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में व्यापक रूप से इसका उपयोग किया जाता है।

क्या यादृच्छिकता है

यदि हम एक ऐसे परीक्षण पर विचार करते हैं जिसे कई बार दोहराया जा सकता है, तो हम एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव निरंतर परिस्थितियों में ठोस कार्यों का कार्यान्वयन है।

प्रयोग के परिणामों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर ए, बी, सी, डी, ई ... द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

संभावना के गणितीय भाग को शुरू करने में सक्षम होने के लिए, इसके सभी घटकों को परिभाषा देना आवश्यक है।

किसी घटना की संभावना अनुभव के परिणामस्वरूप होने वाली घटना (ए या बी) की संभावना का एक संख्यात्मक माप है। संभाव्यता को P (A) या P (B) के रूप में दर्शाया जाता है।

संभाव्यता के सिद्धांत में, निम्नलिखित प्रतिष्ठित हैं:

• विश्वसनीय घटना का उपयोग P (1) \u003d 1 के परिणामस्वरूप होने की गारंटी है;
• असंभव घटना कभी नहीं हो सकती है Р (Ø) \u003d 0;
• आकस्मिक एक घटना निश्चित और असंभव के बीच होती है, अर्थात इसकी घटना की संभावना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है (यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0≤P (ए)) 1) की सीमा के भीतर होती है।

घटनाओं के बीच संबंध

एक ए और बी दोनों घटनाओं के योग पर विचार करें, जब कम से कम एक घटक, ए या बी, या ए और बी दोनों होता है, तो घटना को गिना जाता है।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएं हो सकती हैं:

• उतना ही संभव है।
• संगत।
• असंगत।
• विपरीत (परस्पर अनन्य)।
• लत लग।

यदि दो घटनाएं समान संभावना के साथ हो सकती हैं, तो वे समान रूप से संभव है.

यदि घटना A की घटना शून्य होने की घटना B की संभावना को शून्य नहीं करती है, तो वे संगत।

यदि ए और बी की घटनाएं एक ही अनुभव में एक साथ कभी नहीं होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है असंगत... सिक्का उछालना एक अच्छा उदाहरण है: पूंछ स्वचालित रूप से सिर नहीं हैं।

ऐसी असंगत घटनाओं के योग की संभावना में प्रत्येक घटना की संभावनाएँ शामिल हैं:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

यदि एक घटना की शुरुआत दूसरे की शुरुआत को असंभव बनाती है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया गया है, और दूसरा - read ("ए नहीं" के रूप में पढ़ा जाता है)। घटना A की घटना का अर्थ है कि A नहीं हुआ। ये दो घटनाएं 1 के बराबर संभावनाओं के योग के साथ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाओं का एक दूसरे पर प्रभाव पड़ने, घटने या बढ़ने की संभावना होती है।

घटनाओं के बीच संबंध। के उदाहरण

उदाहरणों का उपयोग करते हुए, घटनाओं के संभाव्यता और संयोजन के सिद्धांत को समझना बहुत आसान है।

किए जाने वाले प्रयोग में गेंदों को बॉक्स से बाहर निकालना शामिल है, और प्रत्येक प्रयोग का परिणाम एक प्रारंभिक परिणाम है।

एक घटना एक प्रयोग के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, गेंद नंबर छह, आदि।

टेस्ट नंबर 1। 6 गेंदें भाग लेती हैं, जिनमें से तीन विषम संख्याओं के साथ नीले रंग की हैं, और तीन अन्य संख्याओं के साथ लाल हैं।

टेस्ट नंबर 2 एक से छह तक की संख्या के साथ नीले रंग की 6 गेंदें भाग ले रही हैं।

इस उदाहरण के आधार पर, आप संयोजनों को नाम दे सकते हैं:

• एक विश्वसनीय घटना। Isp में। नंबर 2, घटना "नीली गेंद पाने के लिए" विश्वसनीय है, क्योंकि इसकी घटना की संभावना 1 है, क्योंकि सभी गेंदें नीली हैं और कोई भी चूक नहीं हो सकती है। जबकि "नंबर 1 के साथ गेंद प्राप्त करने के लिए" घटना यादृच्छिक है।
• असंभव घटना। Isp में। नीली और लाल गेंदों के साथ №1, घटना "बैंगनी गेंद पाने के लिए" असंभव है, क्योंकि इसकी घटना की संभावना 0 के बराबर है।
• समान रूप से संभव घटनाओं। Isp में। घटनाओं में से 1 नंबर "गेंद को नंबर 2 के साथ मिलाएं" और "नंबर 3 के साथ गेंद प्राप्त करें" समान रूप से संभव है, और घटनाओं को "एक समान संख्या के साथ गेंद मिलती है" और "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" “अलग-अलग संभावनाएं हैं।
• संगत घटनाएँ। एक पंक्ति में दो बार एक पंक्ति में एक छक्के प्राप्त करना संगत घटनाएं हैं।
• असंगत घटनाएँ। उसी में .p नंबर 1, घटनाओं को "एक लाल गेंद मिलती है" और "एक विषम संख्या के साथ एक गेंद मिलती है" को एक ही प्रयोग में नहीं जोड़ा जा सकता है।
• विपरीत घटनाओं। इसका सबसे स्पष्ट उदाहरण एक सिक्का टॉस है जहां ड्राइंग हेड्स, टेल्स न आकर्षित करने के लिए टेंटामाउंट है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) है।
• आश्रित घटनाएँ... तो, isp में। # 1, आप एक पंक्ति में दो बार लाल गेंद निकालने के लिए एक लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। यह पहली बार प्राप्त किया गया है या नहीं लिया गया है, इसे दूसरी बार प्राप्त करने की संभावना को प्रभावित करता है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरे (40% और 60%) की संभावना को काफी प्रभावित करती है।

घटना संभावना सूत्र

विषय को गणितीय विमान में तब्दील करने से सटीक डेटा के बारे में भाग्य-बताने वाले विचारों से संक्रमण होता है। यही है, "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" जैसे यादृच्छिक घटना के बारे में निर्णय विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में अनुवादित किए जा सकते हैं। ऐसी सामग्री पहले से ही अधिक जटिल गणनाओं का मूल्यांकन, तुलना और प्रवेश करने के लिए अनुमत है।

गणना की दृष्टि से, किसी घटना की संभावना की परिभाषा किसी विशेष घटना के संबंध में अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या के लिए प्रारंभिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। P (A) के माध्यम से प्रायिकता को दर्शाया जाता है, जहाँ P का अर्थ "प्रोबेबिलिट" है, जिसका फ्रेंच से "संभावना" के रूप में अनुवाद किया जाता है।

तो, एक घटना की संभावना के लिए सूत्र:

जहाँ m, A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, n इस अनुभव के लिए सभी परिणामों का योग है। इस स्थिति में, किसी घटना की संभावना हमेशा 0 और 1 के बीच रहती है:

० 0 पी (ए) A १।

किसी घटना की संभावना की गणना। उदाहरण

चलो स्पेनिश लेते हैं। बॉल # 1 जैसा कि पहले बताया गया है: 3 नीली गेंदों को 1/3/5 और 3 लाल गेंदों के साथ संख्या 2/4/6।

इस परीक्षण के आधार पर कई विभिन्न कार्यों पर विचार किया जा सकता है:

• ए - लाल गेंद बाहर गिर रहा है। 3 लाल गेंदें हैं, और कुल 6 वेरिएंट हैं। यह सबसे सरल उदाहरण है, जिसमें किसी घटना की संभावना P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5 है।
• बी - एक भी संख्या बाहर गिरा दिया। कुल संख्या में 3 (2,4,6) सम संख्याएँ हैं, और संभावित संख्यात्मक विकल्पों की कुल संख्या 6. है इस घटना की संभावना P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5 है।
• C - 2 से अधिक संख्या से गिरना। संभावित परिणामों की कुल संख्या में से 4 ऐसे विकल्प (3,4,5,6) हैं 6. घटना C की संभावना P (C) \u003d 4/6 \u003d है 0.67।

जैसा कि गणना से देखा जा सकता है, घटना सी में एक उच्च संभावना है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या ए और बी की तुलना में अधिक है।

असंगत घटनाएँ

इस तरह की घटनाएं एक ही अनुभव में एक साथ दिखाई नहीं दे सकती हैं। जैसा कि आई.एस.पी. नंबर 1 पर एक ही समय में नीली और लाल गेंद तक पहुंचना असंभव है। यही है, आप या तो एक नीली या एक लाल गेंद प्राप्त कर सकते हैं। इसी तरह, एक भी और एक विषम संख्या एक ही समय में मरने पर दिखाई नहीं दे सकते हैं।

दो घटनाओं की संभावना को उनके योग या उत्पाद की संभावना के रूप में माना जाता है। ऐसी घटनाओं के योग A + B को एक घटना माना जाता है जिसमें एक घटना A या B की उपस्थिति होती है, और उनका उत्पाद AB दोनों की उपस्थिति में होता है। उदाहरण के लिए, एक रोल में दो पासा के किनारों पर एक साथ दो छक्के की उपस्थिति।

कई घटनाओं का योग एक घटना है जो उनमें से कम से कम एक घटना को निर्धारित करता है। कई घटनाओं का उत्पादन उन सभी की संयुक्त उपस्थिति है।

संभाव्यता के सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संघ का उपयोग "और" का अर्थ है योग, संघ "या" - गुणा। उदाहरण के साथ सूत्र आपको संभावना सिद्धांत में जोड़ और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

असंगत घटनाओं के योग की संभावना

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के अतिरिक्त के बराबर होती है:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

उदाहरण के लिए: आइएसपी में संभावना की गणना करते हैं। नीले और लाल रंग की गेंदों के साथ नंबर 1 1 और 4 के बीच एक संख्या छोड़ देगा। चलो एक कार्रवाई में नहीं, बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं का योग है। तो, इस तरह के अनुभव में केवल 6 गेंदें या सभी संभावित परिणामों में से 6 हैं। स्थिति को संतुष्ट करने वाले नंबर 2 हैं और 3. नंबर 2 प्राप्त करने की संभावना 1/6 है, संख्या 3 की संभावना भी 1/6 है। संभावना है कि एक नंबर 1 और 4 के बीच गिरा दिया जाएगा:

पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं के योग की संभावना 1 है।

तो, अगर, एक घन के साथ प्रयोग में, सभी नंबरों से बाहर गिरने की संभावनाओं को जोड़ दें, तो परिणाम एक होगा।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सच है, उदाहरण के लिए, एक सिक्के के साथ अनुभव में, जहां इसका एक पक्ष घटना ए है, और दूसरा विपरीत घटना is है, जैसा कि आप जानते हैं,

P (A) + P (Ā) \u003d 1

असंगत घटनाओं के उत्पादन की संभावना

एक अवलोकन में दो या अधिक असंगत घटनाओं की उपस्थिति पर विचार करते समय संभाव्यता गुणा का उपयोग किया जाता है। ए और बी की घटनाओं की एक साथ दिखाई देने वाली संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, या:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

उदाहरण के लिए, संभावना है कि ईएसपी में। ,1 दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार, इसके बराबर दिखाई देगी

यही है, जब गेंदों के निष्कर्षण के साथ दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, केवल नीले रंग की गेंदों को निकाला जाएगा, तब होने वाली घटना की संभावना 25% के बराबर होती है। इस कार्य के साथ व्यावहारिक प्रयोग करना बहुत आसान है और देखें कि क्या वास्तव में ऐसा है।

संयुक्त आयोजन

घटनाओं को संयुक्त माना जाता है जब उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति के साथ मेल खा सकती है। हालांकि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासा फेंकने पर एक परिणाम मिल सकता है जब दोनों को 6 नंबर मिलता है। हालांकि, घटनाएँ एक साथ दिखाई देती हैं और एक साथ दिखाई देती हैं, वे एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं - केवल एक छक्का बाहर गिर सकता है, दूसरे पासा का उस पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

संयुक्त घटनाओं की संभावना को उनकी राशि की संभावना के रूप में माना जाता है।

संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना। उदाहरण

घटनाओं ए और बी के योग की संभावना, जो एक दूसरे के संबंध में संयुक्त हैं, घटना के संभावित योगों के योग के बराबर है उनके उत्पाद की संभावना (यानी, उनके संयुक्त कार्यान्वयन):

संयुक्त (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)

मान लीजिए कि एक शॉट के साथ एक लक्ष्य को मारने की संभावना 0.4 है। तब घटना ए - पहले प्रयास में लक्ष्य को मारना, दूसरे में बी -। ये घटनाएं संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि पहले और दूसरे दोनों शॉट्स के साथ लक्ष्य को हिट करना संभव है। लेकिन घटनाएं निर्भर नहीं हैं। दो शॉट (कम से कम एक) के साथ लक्ष्य मारने की घटना की संभावना क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

सवाल का जवाब है: "दो शॉट्स के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 64% है।"

किसी घटना की संभावना के लिए यह सूत्र असंगत घटनाओं पर भी लागू किया जा सकता है, जहां किसी घटना P (AB) \u003d 0. की संयुक्त घटना की संभावना है। इसका मतलब है कि असंगत घटनाओं के योग की संभावना को एक विशेष मामला माना जा सकता है प्रस्तावित सूत्र का।

स्पष्टता के लिए संभाव्यता की ज्यामिति

दिलचस्प है, संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो एक-दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। जैसा कि आप तस्वीर से देख सकते हैं, उनके संघ का क्षेत्र कुल क्षेत्रफल के बराबर है जो उनके चौराहे का क्षेत्रफल है। ये ज्यामितीय स्पष्टीकरण पहली नज़र में सूत्र को स्पष्ट करते हैं, स्पष्ट। ध्यान दें कि संभावना सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

संयुक्त घटनाओं के एक सेट (दो से अधिक) की राशि की संभावना का निर्धारण करना बल्कि बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन मामलों के लिए प्रदान किए जाने वाले सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आश्रित घटनाएँ

आश्रित घटनाओं को कहा जाता है यदि उनमें से एक (ए) की घटना दूसरे (बी) की घटना की संभावना को प्रभावित करती है। इसके अलावा, घटना ए की उपस्थिति और इसके गैर-उपस्थिति दोनों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। हालाँकि, घटनाओं को परिभाषा के आधार पर निर्भर किया जाता है, उनमें से केवल एक निर्भर (बी) है। सामान्य संभावना को P (B) या स्वतंत्र घटनाओं की संभावना के रूप में दर्शाया गया था। आश्रित के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की गई है - सशर्त संभाव्यता P A (B), जो कि घटना A (परिकल्पना) की स्थिति के तहत आश्रित घटना B की संभावना है, जिस पर वह निर्भर करता है।

लेकिन घटना ए भी यादृच्छिक है, इसलिए इसमें एक संभावना भी है जिसे गणना में ध्यान में रखा जाना चाहिए और लिया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण आपको दिखाएगा कि कैसे निर्भर घटनाओं और परिकल्पना के साथ काम करना है।

निर्भर घटनाओं की संभावना की गणना का एक उदाहरण

निर्भर घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्ड का एक मानक डेक है।

उदाहरण के रूप में 36 कार्ड के डेक का उपयोग करना, आश्रित घटनाओं पर विचार करें। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड हीरे का होगा, यदि पहला कार्ड तैयार किया गया हो:

1. हीरे।
2. एक और सूट।

स्पष्ट रूप से, दूसरी घटना B की संभावना पहले A. पर निर्भर करती है, यदि पहला विकल्प सत्य है, कि डेक में 1 कार्ड (35) और 1 tambourine (8) कम है, तो घटना B की संभावना:

पी ए (बी) \u003d 8/35 \u003d 0.23

यदि दूसरा विकल्प वैध है, तो डेक में 35 कार्ड हैं, और टैम्बॉरीन की पूरी संख्या (9) अभी भी संरक्षित है, तो निम्नलिखित घटना की संभावना बी:

पी ए (बी) \u003d 9/35 \u003d 0.26।

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना ए से सहमति है कि पहला कार्ड एक टैम्बोरिन है, तो ईवेंट बी की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं का गुणन

पिछले अध्याय द्वारा निर्देशित, हम पहली घटना (ए) को तथ्य के रूप में लेते हैं, लेकिन संक्षेप में, यह यादृच्छिक है। इस घटना की संभावना, अर्थात् कार्ड के डेक से टैम्बोरिन का निष्कर्षण, इसके बराबर है:

पी (ए) \u003d 9/36 \u003d 1/4

चूंकि सिद्धांत स्वयं मौजूद नहीं है, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए सेवा करने का इरादा है, यह कहना उचित है कि आश्रित घटनाओं के उत्पादन की संभावना सबसे अधिक बार होती है।

निर्भर घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से निर्भर घटनाओं ए और बी की घटना की संभावना एक घटना ए की संभावना के बराबर है, घटना बी की सशर्त संभावना (ए पर निर्भर) से गुणा की जाती है:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

फिर, एक डेक के साथ उदाहरण में, एक टैम्बोरिन सूट के साथ दो कार्ड खींचने की संभावना है:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, या 5.7%

और पहले टैम्बूरिन नहीं निकालने की संभावना, और फिर टैम्बॉरीन, इसके बराबर है:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, या 19%

यह देखा जा सकता है कि ईवेंट बी की घटना की संभावना अधिक है, बशर्ते कि टैम्बोरिन के अलावा अन्य सूट का कार्ड पहले खींचा गया हो। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

घटना की पूरी संभावना

जब सशर्त संभावनाओं की समस्या बहुविध हो जाती है, तो पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसकी गणना नहीं की जा सकती है। जब दो से अधिक परिकल्पनाएँ होती हैं, अर्थात् A1, A2, ..., और n, .. स्थिति के तहत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ≠ A j \u003d j, i j j।
• Σ के ए के \u003d \u003d।

तो, यादृच्छिक घटनाओं A1, A2, ..., और n के पूर्ण समूह के साथ इवेंट B के लिए कुल संभावना के लिए सूत्र निम्न है:

भविष्य पर एक नजर

विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक यादृच्छिक घटना की संभावना अत्यंत आवश्यक है: अर्थमिति, सांख्यिकी, भौतिकी, आदि। चूंकि कुछ प्रक्रियाओं को निर्धारक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके पास स्वयं एक संभाव्य प्रकृति है, काम के विशेष तरीकों की आवश्यकता है। त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के लिए किसी भी तकनीकी क्षेत्र में संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है।

हम कह सकते हैं कि, संभाव्यता को पहचानते हुए, हम किसी तरह से भविष्य में एक सैद्धांतिक कदम बनाते हैं, इसे सूत्रों के चश्मे से देखते हैं।

• संभाव्यता एक निश्चित घटना घटने की संभावना की डिग्री (सापेक्ष माप, मात्रात्मक मूल्यांकन) है। जब कुछ संभावित घटना के कारण वास्तव में विपरीत कारणों से आगे निकल जाते हैं, तो घटना को संभावित कहा जाता है, अन्यथा संभावना नहीं या अनुचित। नकारात्मक लोगों पर सकारात्मक आधारों का प्रभाव, और इसके विपरीत, अलग-अलग डिग्री में हो सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप संभावना (और अनुचितता) कम या ज्यादा होती है। इसलिए, प्रायिकता का मूल्यांकन गुणात्मक स्तर पर किया जाता है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहाँ अधिक या कम सटीक मात्रात्मक मूल्यांकन असंभव या अत्यंत कठिन होता है। संभाव्यता "स्तरों" के विभिन्न उन्नयन संभव हैं।

  गणितीय दृष्टिकोण से संभाव्यता का अध्ययन एक विशेष अनुशासन है - संभाव्यता का सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में, संभाव्यता की अवधारणा को एक घटना की संख्यात्मक विशेषता के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है - एक संभाव्य माप (या इसके मूल्य) - घटनाओं के एक सेट पर (प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के उपसमुच्चय), मान ले रहा है से

  (# दृश्य 0)

  (# दृश्य 1)

  मूल्य

  (# दृश्य 1)

  एक वैध घटना के अनुरूप है। एक असंभव घटना में 0 की संभावना है (आम तौर पर यह वाक्य हमेशा सच नहीं होता है)। यदि किसी घटना के घटने की संभावना है

  ((दृश्यशास्त्र पी)

  फिर इसके न होने की संभावना है

  ((1-पी)

  विशेष रूप से, संभावना

  (# दृश्य १/२)

  घटना की घटना और गैर-घटना की समान संभावना का मतलब है।

  संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा परिणामों की समान संभावना की धारणा पर आधारित है। संभाव्यता किसी दिए गए घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात है जो समान रूप से संभव परिणामों की कुल संख्या के लिए है। उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक सिक्का टॉस द्वारा "सिर" या "पूंछ" प्राप्त करने की संभावना 1/2 है यदि यह माना जाता है कि केवल ये दो संभावनाएं मौजूद हैं और वे समान रूप से संभव हैं। संभाव्यता की इस शास्त्रीय "परिभाषा" को संभावित मूल्यों की अनंत संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि कुछ घटना किसी सीमित क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर समान संभावना के साथ हो सकती है (अंकों की संख्या अनंत है) अंतरिक्ष (समतल), फिर इस स्वीकार्य क्षेत्र के कुछ हिस्से में होने वाली संभावना इस भाग के आयतन (क्षेत्रफल) के अनुपात के बराबर है जो सभी संभावित क्षेत्र के आयतन (क्षेत्रफल) के बराबर है। अंक।

  संभाव्यता की आनुभविक "परिभाषा" इस आधार पर किसी घटना की आवृत्ति के साथ जुड़ी होती है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, आवृत्ति को इस घटना की संभावना के उद्देश्य डिग्री तक ले जाना चाहिए। संभाव्यता के सिद्धांत की आधुनिक प्रस्तुति में, संभाव्यता को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया गया है, एक सेट के माप के सार सिद्धांत के एक विशेष मामले के रूप में। फिर भी, अमूर्त उपाय और संभाव्यता के बीच की कड़ी, जो किसी घटना की संभावना की डिग्री को व्यक्त करती है, ठीक इसके अवलोकन की आवृत्ति है।

  कुछ घटनाओं के संभाव्य विवरण आधुनिक विज्ञान में व्यापक रूप से व्यापक हो गए हैं, विशेष रूप से अर्थमिति में, मैक्रोस्कोपिक (थर्मोडायनामिक) प्रणालियों के सांख्यिकीय भौतिकी, जहां कण गति के शास्त्रीय निर्धारक विवरण के मामले में भी, कणों की संपूर्ण प्रणाली का निर्धारणात्मक विवरण व्यावहारिक रूप से संभव और समीचीन नहीं है। क्वांटम भौतिकी में, वर्णित प्रक्रियाएं स्वयं एक संभाव्य प्रकृति की होती हैं।