अक्षर भावों को गुणा करना। शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ

यह ज्ञात है कि गणित में अभिव्यक्तियों को सरल किए बिना कोई रास्ता नहीं है। यह विभिन्न प्रकार की समस्याओं के साथ-साथ विभिन्न प्रकार के समीकरणों को सही ढंग से और शीघ्रता से हल करने के लिए आवश्यक है। यहां चर्चा किए गए सरलीकरण से तात्पर्य किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए आवश्यक कार्यों की संख्या में कमी से है। परिणामस्वरूप, गणनाएँ काफ़ी सरल हो जाती हैं और समय की काफ़ी बचत होती है। लेकिन अभिव्यक्ति को सरल कैसे बनाया जाए? इसके लिए, स्थापित गणितीय संबंधों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें अक्सर सूत्र या कानून कहा जाता है, जो अभिव्यक्तियों को बहुत छोटा करने की अनुमति देता है, जिससे गणना सरल हो जाती है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि आज ऑनलाइन अभिव्यक्ति को सरल बनाना कठिन नहीं है। यहां कुछ सर्वाधिक लोकप्रिय लिंक दिए गए हैं:

हालाँकि, यह हर अभिव्यक्ति के साथ संभव नहीं है। इसलिए, आइए अधिक पारंपरिक तरीकों पर करीब से नज़र डालें।

उभयनिष्ठ भाजक को बाहर निकालना

ऐसे मामले में जब एक व्यंजक में ऐसे एकपदी होते हैं जिनके गुणनखंड समान होते हैं, तो आप उनके गुणांकों का योग ज्ञात कर सकते हैं और फिर उनके लिए सामान्य गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं। इस ऑपरेशन को "सामान्य भाजक को हटाना" भी कहा जाता है। लगातार प्रयोग कर रहे हैं यह विधि, कभी-कभी आप अभिव्यक्ति को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं। आख़िरकार, समग्र रूप से बीजगणित, कारकों और विभाजकों को समूहीकृत करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर बनाया गया है।

संक्षिप्त गुणन के लिए सबसे सरल सूत्र

पहले वर्णित विधि के परिणामों में से एक संक्षिप्त गुणन सूत्र है। इनका अधिक प्रयोग करके भावों को सरल कैसे बनाया जाए उतना ही साफ़, जिसने इन सूत्रों को कंठस्थ भी नहीं किया है, लेकिन जानता है कि वे कैसे प्राप्त होते हैं, अर्थात वे कहाँ से आते हैं, और, तदनुसार, उनकी गणितीय प्रकृति। सिद्धांत रूप में, पिछला कथन पहली कक्षा से लेकर यांत्रिक और गणितीय संकायों के उच्च पाठ्यक्रमों तक, सभी आधुनिक गणित में मान्य है। वर्गों का अंतर, अंतर और योग का वर्ग, घनों का योग और अंतर - इन सभी सूत्रों का प्राथमिक और उच्च गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां समस्याओं को हल करने के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक होता है। ऐसे परिवर्तनों के उदाहरण आसानी से किसी में भी पाए जा सकते हैं स्कूल की पाठ्यपुस्तकबीजगणित में, या, और भी सरल रूप से, वर्ल्ड वाइड वेब की विशालता पर।

डिग्री जड़ें

प्रारंभिक गणित, यदि आप इसे समग्र रूप से देखें, तो किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के कई तरीके नहीं हैं। एक नियम के रूप में, अधिकांश छात्रों के लिए डिग्री और उनके साथ संचालन अपेक्षाकृत आसान होता है। लेकिन कई आधुनिक स्कूली बच्चों और छात्रों को तब काफी कठिनाइयाँ होती हैं जब किसी अभिव्यक्ति को जड़ों से सरल बनाना आवश्यक होता है। और ये पूरी तरह से निराधार है. क्योंकि जड़ों की गणितीय प्रकृति समान डिग्री की प्रकृति से भिन्न नहीं होती है, जिसके साथ, एक नियम के रूप में, बहुत कम कठिनाइयाँ होती हैं। ह ज्ञात है कि वर्गमूलकिसी संख्या, चर या अभिव्यक्ति का घात एक-आधे की समान संख्या, चर या अभिव्यक्ति से अधिक कुछ नहीं है, घनमूल एक-तिहाई की घात के समान है, और इसी तरह पत्राचार के अनुसार।

भिन्नों के साथ व्यंजकों को सरल बनाना

आइए भिन्नों के साथ किसी व्यंजक को सरल बनाने का एक सामान्य उदाहरण भी देखें। ऐसे मामलों में जहां अभिव्यक्तियाँ हैं प्राकृतिक अंश, आपको हर और अंश से उभयनिष्ठ गुणनखंड को अलग करना चाहिए, और फिर उससे भिन्न को कम करना चाहिए। जब एकपदी में घातों तक बढ़ाए गए समान गुणनखंड होते हैं, तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक होता है कि उनका योग करते समय घातें समान हों।

बुनियादी त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना

कुछ लोगों के लिए जो बात सबसे खास है वह है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने के तरीके के बारे में बातचीत। त्रिकोणमिति की सबसे व्यापक शाखा शायद पहला चरण है जिस पर गणित के छात्रों को कुछ अमूर्त अवधारणाओं, समस्याओं और उन्हें हल करने के तरीकों का सामना करना पड़ेगा। यहां संगत सूत्र हैं, जिनमें से पहला मूल त्रिकोणमितीय पहचान है। पर्याप्त गणितीय दिमाग होने पर, आप सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानों और सूत्रों की इस पहचान से व्यवस्थित व्युत्पत्ति का पता लगा सकते हैं, जिसमें अंतर सूत्र और तर्कों का योग, डबल, ट्रिपल तर्क, कटौती सूत्र और कई अन्य शामिल हैं। निःसंदेह, किसी को यहां सबसे पहली विधियों को नहीं भूलना चाहिए, जैसे कि एक सामान्य कारक जोड़ना, जो नई विधियों और सूत्रों के साथ पूरी तरह से उपयोग किया जाता है।

संक्षेप में, हम पाठक को कुछ सामान्य सलाह प्रदान करेंगे:

• बहुपदों को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात, उन्हें एक निश्चित संख्या में कारकों - एकपदी और बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। यदि ऐसी संभावना मौजूद है, तो सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना आवश्यक है।
• बिना किसी अपवाद के सभी संक्षिप्त गुणन सूत्रों को याद रखना बेहतर है। उनमें से बहुत सारे नहीं हैं, लेकिन वे गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने का आधार हैं। हमें त्रिपदों में पूर्ण वर्गों को अलग करने की विधि के बारे में भी नहीं भूलना चाहिए, जो संक्षिप्त गुणन सूत्रों में से एक की विपरीत क्रिया है।
• अभिव्यक्ति में मौजूद सभी भिन्नों को जितनी बार संभव हो कम किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह मत भूलिए कि केवल गुणक ही कम होते हैं। जब बीजगणितीय भिन्नों के हर और अंश को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, जो शून्य से भिन्न होती है, तो भिन्नों के अर्थ नहीं बदलते हैं।
• सामान्य तौर पर, सभी अभिव्यक्तियों को क्रियाओं द्वारा, या एक श्रृंखला में रूपांतरित किया जा सकता है। पहली विधि अधिक बेहतर है, क्योंकि मध्यवर्ती क्रियाओं के परिणामों को सत्यापित करना आसान होता है।
• अक्सर गणितीय व्यंजकों में हमें मूल निकालने पड़ते हैं। यह याद रखना चाहिए कि सम घातों की जड़ें केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या या अभिव्यक्ति से निकाली जा सकती हैं, और विषम घातों की जड़ें बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति या संख्या से निकाली जा सकती हैं।

हमें उम्मीद है कि हमारा लेख आपको भविष्य में गणितीय सूत्रों को समझने और उन्हें व्यवहार में लागू करने का तरीका सिखाने में मदद करेगा।

नोट 1

एक बूलियन फ़ंक्शन को बूलियन अभिव्यक्ति का उपयोग करके लिखा जा सकता है और फिर इसे लॉजिक सर्किट में ले जाया जा सकता है। यथासंभव सरलतम (और इसलिए सस्ता) तार्किक सर्किट प्राप्त करने के लिए तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है। वास्तव में, एक तार्किक कार्य, एक तार्किक अभिव्यक्ति और एक तार्किक सर्किट तीन अलग-अलग भाषाएँ हैं जो एक इकाई के बारे में बात करती हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग करें बीजगणित तर्क के नियम.

कुछ परिवर्तन शास्त्रीय बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तनों के समान हैं (सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना, क्रमविनिमेय और संयोजन कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो शास्त्रीय बीजगणित के संचालन में नहीं होते हैं (वितरणात्मक का उपयोग करके) संयोजन के लिए नियम, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन के नियम, आदि)।

तर्क के बीजगणित के नियम बुनियादी के लिए तैयार किए गए हैं तार्किक संचालन- "नहीं" - व्युत्क्रम (नकारात्मक), "और" - संयोजन (तार्किक गुणन) और "या" - विच्छेदन (तार्किक जोड़)।

दोहरे निषेध के नियम का अर्थ है कि ऑपरेशन "नहीं" प्रतिवर्ती है: यदि आप इसे दो बार लागू करते हैं, तो अंत में बूलियन मानबदलेगा नहीं।

बहिष्कृत मध्य का नियम कहता है कि कोई भी तार्किक अभिव्यक्ति या तो सत्य है या गलत ("कोई तीसरा नहीं है")। इसलिए, यदि $A=1$, तो $\bar(A)=0$ (और इसके विपरीत), जिसका अर्थ है कि इन मात्राओं का संयोजन हमेशा शून्य के बराबर होता है, और विच्छेदन हमेशा एक के बराबर होता है।

$((ए + बी) → सी) \cdot (बी → सी \cdot D) \cdot C.$

आइए इस सूत्र को सरल बनाएं:

चित्र तीन।

इसका मतलब यह है कि $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$।

उत्तर:छात्र $B$, $C$ और $D$ शतरंज खेलते हैं, लेकिन छात्र $A$ नहीं खेलते हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:

1. व्युत्क्रम, संयोजन और विच्छेदन के मूल संचालन के माध्यम से सभी "गैर-बुनियादी" संचालन (समतुल्यता, निहितार्थ, अनन्य या, आदि) को उनकी अभिव्यक्तियों से बदलें।
2. डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार जटिल अभिव्यक्तियों के व्युत्क्रमों का विस्तार इस प्रकार करें कि निषेधात्मक संक्रियाएँ केवल व्यक्तिगत चरों के लिए ही रहें।
3. फिर खुले कोष्ठकों का उपयोग करके, सामान्य कारकों को कोष्ठकों के बाहर रखकर और तार्किक बीजगणित के अन्य नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उदाहरण 2

यहाँ, डी मॉर्गन का नियम, वितरणात्मक नियम, बहिष्कृत मध्य का नियम, क्रमविनिमेय नियम, पुनरावृत्ति का नियम, पुनः क्रमविनिमेय नियम और अवशोषण के नियम का क्रमिक रूप से उपयोग किया जाता है।

अक्सर कार्यों के लिए सरलीकृत उत्तर की आवश्यकता होती है। हालाँकि सरलीकृत और सरलीकृत दोनों उत्तर सही हैं, यदि आप अपना उत्तर सरल नहीं बनाते हैं तो आपका प्रशिक्षक आपका ग्रेड कम कर सकता है। इसके अलावा, सरलीकृत गणितीय अभिव्यक्ति के साथ काम करना बहुत आसान है। इसलिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना सीखना बहुत जरूरी है।

कदम

गणितीय संक्रियाओं का सही क्रम

1. गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने का सही क्रम याद रखें।सरलीकरण करते समय गणितीय अभिव्यक्तिसंक्रियाओं के एक निश्चित क्रम का पालन करना आवश्यक है, क्योंकि कुछ गणितीय संक्रियाओं को दूसरों पर प्राथमिकता दी जाती है और उन्हें पहले किया जाना चाहिए (वास्तव में, संक्रियाओं के सही क्रम का पालन न करने से आपको गलत परिणाम मिलेगा)। गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम को याद रखें: कोष्ठक में अभिव्यक्ति, घातांक, गुणा, भाग, जोड़, घटाव।

   • ध्यान दें कि संक्रियाओं का सही क्रम जानने से आप अधिकांश सरल अभिव्यक्तियों को सरल बना सकेंगे, लेकिन एक बहुपद (एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति) को सरल बनाने के लिए आपको विशेष तरकीबें जानने की आवश्यकता होगी (अगला भाग देखें)।

2. कोष्ठक में व्यंजक को हल करके प्रारंभ करें।गणित में, कोष्ठक इंगित करते हैं कि उनके भीतर की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन पहले किया जाना चाहिए। इसलिए, किसी भी गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय, कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति को हल करके प्रारंभ करें (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपको कोष्ठक के अंदर कौन से ऑपरेशन करने की आवश्यकता है)। लेकिन याद रखें कि कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति के साथ काम करते समय, आपको संचालन के क्रम का पालन करना चाहिए, अर्थात, कोष्ठक में शब्दों को पहले गुणा, विभाजित, जोड़ा, घटाया जाता है, और इसी तरह।

   • उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). यहां हम कोष्ठक में दिए गए भावों से शुरू करते हैं: 5 + 2 = 7 और 3 + 4/2 = 3 + 2 =5।
     • कोष्ठकों की दूसरी जोड़ी में अभिव्यक्ति 5 तक सरल हो जाती है क्योंकि 4/2 को पहले विभाजित किया जाना चाहिए (संचालन के सही क्रम के अनुसार)। यदि आप इस आदेश का पालन नहीं करते हैं, तो आपको गलत उत्तर मिलेगा: 3 + 4 = 7 और 7 ÷ 2 = 7/2।
   • यदि कोष्ठकों में कोष्ठकों का एक और जोड़ा है, तो आंतरिक कोष्ठकों में अभिव्यक्ति को हल करके सरल बनाना शुरू करें और फिर बाहरी कोष्ठकों में अभिव्यक्ति को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

3. घातांक।कोष्ठक में भावों को हल करने के बाद, घातांक की ओर बढ़ें (याद रखें कि एक घात का एक घातांक और एक आधार होता है)। संबंधित अभिव्यक्ति (या संख्या) को एक घात तक बढ़ाएं और परिणाम को आपको दिए गए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें।

   • हमारे उदाहरण में, घात का एकमात्र व्यंजक (संख्या) 3 2: 3 2 = 9 है। आपको दिए गए व्यंजक में, 3 2 को 9 से बदलें और आपको मिलेगा: 2x + 4(7) + 9 - 5।

4. गुणा करें.याद रखें कि गुणन संक्रिया को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "x", "∙" या "*"। लेकिन यदि संख्या और चर (उदाहरण के लिए, 2x) या संख्या और कोष्ठक में संख्या (उदाहरण के लिए, 4(7)) के बीच कोई प्रतीक नहीं हैं, तो यह भी एक गुणन संक्रिया है।

   • हमारे उदाहरण में, दो गुणन संक्रियाएं हैं: 2x (दो को चर "x" से गुणा किया गया) और 4(7) (चार को सात से गुणा किया गया)। हम x का मान नहीं जानते हैं, इसलिए हम व्यंजक 2x को वैसे ही छोड़ देंगे। 4(7) = 4 x 7 = 28. अब आप दिए गए व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: 2x + 28 + 9 - 5.

5. विभाजित करना।याद रखें कि विभाजन संक्रिया को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "/", "÷" या "-" (आप इस अंतिम वर्ण को भिन्नों में देख सकते हैं)। उदाहरण के लिए, 3/4 तीन को चार से विभाजित करता है।

   • हमारे उदाहरण में, अब कोई विभाजन संक्रिया नहीं है, क्योंकि कोष्ठक में व्यंजक को हल करते समय आप पहले ही 4 को 2 (4/2) से विभाजित कर चुके हैं। तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं। याद रखें कि अधिकांश अभिव्यक्तियों में सभी गणितीय संक्रियाएँ शामिल नहीं होती हैं (उनमें से केवल कुछ ही)।

6. तह करना।किसी अभिव्यक्ति में पद जोड़ते समय, आप सबसे दूर के पद (बाईं ओर) से शुरू कर सकते हैं, या आप उन शब्दों को जोड़ सकते हैं जो पहले आसानी से जुड़ जाते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 49 + 29 + 51 +71 में, पहले 49 + 51 = 100, फिर 29 + 71 = 100 और अंत में 100 + 100 = 200 जोड़ना आसान है। इसे इस तरह जोड़ना अधिक कठिन है: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • हमारे उदाहरण 2x + 28 + 9 + 5 में दो जोड़ संक्रियाएँ हैं। आइए सबसे बाहरी (बाएं) पद से शुरू करें: 2x + 28; आप 2x और 28 नहीं जोड़ सकते क्योंकि आप वेरिएबल "x" का मान नहीं जानते हैं। इसलिए, 28 + 9 = 37 जोड़ें। अब अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 2x + 37 - 5।

7. घटाना.गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के सही क्रम में यह अंतिम संक्रिया है। इस स्तर पर आप भी जोड़ सकते हैं नकारात्मक संख्याएँया इसे सदस्यों को जोड़ने के चरण में करें - इससे अंतिम परिणाम पर किसी भी तरह का प्रभाव नहीं पड़ेगा।

   • हमारे उदाहरण 2x + 37 - 5 में केवल एक घटाव संक्रिया है: 37 - 5 = 32।

8. इस स्तर पर, सभी गणितीय संक्रियाएँ करने के बाद, आपको एक सरलीकृत अभिव्यक्ति मिलनी चाहिए।लेकिन यदि आपको दिए गए व्यंजक में एक या अधिक चर हैं, तो याद रखें कि चर वाला पद वैसा ही रहेगा जैसा वह है। किसी चर के साथ किसी अभिव्यक्ति को हल करने (सरल बनाने में नहीं) में उस चर का मान ज्ञात करना शामिल है। कभी-कभी परिवर्तनीय अभिव्यक्तियों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है विशेष विधियाँ(अगला भाग देखें)।

   • हमारे उदाहरण में, अंतिम उत्तर 2x + 32 है। आप दो शब्दों को तब तक नहीं जोड़ सकते जब तक आपको चर "x" का मान न पता हो। एक बार जब आप चर का मान जान लेते हैं, तो आप इस द्विपद को आसानी से सरल बना सकते हैं।

   जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाना

   1. समान शब्दों का योग.याद रखें कि आप केवल समान पदों को घटा और जोड़ सकते हैं, यानी समान चर और समान घातांक वाले पद। उदाहरण के लिए, आप 7x और 5x जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 7x और 5x 2 नहीं जोड़ सकते (क्योंकि घातांक अलग-अलग हैं)।

      • यह नियम एकाधिक चर वाले सदस्यों पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, आप 2xy 2 और -3xy 2 जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 2xy 2 और -3x 2 y या 2xy 2 और -3y 2 नहीं जोड़ सकते।
      • आइए एक उदाहरण देखें: x 2 + 3x + 6 - 8x। यहां समान पद 3x और 8x हैं, इसलिए उन्हें एक साथ जोड़ा जा सकता है। एक सरलीकृत अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x 2 - 5x + 6.

   2. संख्या भिन्न को सरल कीजिये.ऐसे भिन्न में, अंश और हर दोनों में संख्याएँ होती हैं (बिना चर के)। एक संख्या अंश को कई तरीकों से सरल बनाया जा सकता है। सबसे पहले, बस हर को अंश से विभाजित करें। दूसरा, अंश और हर का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें (क्योंकि किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर आपको 1 मिलेगा)। दूसरे शब्दों में, यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड समान है, तो आप इसे छोड़ सकते हैं और एक सरलीकृत भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, भिन्न 36/60 पर विचार करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, 0.6 प्राप्त करने के लिए 36 को 60 से विभाजित करें। लेकिन आप अंश और हर का गुणनखंड करके इस भिन्न को दूसरे तरीके से सरल बना सकते हैं: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10)। चूँकि 6/6 = 1, सरलीकृत भिन्न है: 1 x 6/10 = 6/10। लेकिन इस भिन्न को सरल भी बनाया जा सकता है: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. यदि किसी अंश में एक चर है, तो आप चर के साथ समान कारकों को रद्द कर सकते हैं।अंश और हर दोनों का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें, भले ही उनमें चर हो (याद रखें कि यहां समान गुणनखंडों में चर हो भी सकता है और नहीं भी)।

      • आइए एक उदाहरण देखें: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x)। इस अभिव्यक्ति को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x)। चूँकि 3x पद अंश और हर दोनों में है, आप एक सरल अभिव्यक्ति देने के लिए इसे रद्द कर सकते हैं: (x + 1)/(5 - x)। आइए एक और उदाहरण देखें: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • कृपया ध्यान दें कि आप किसी भी पद को रद्द नहीं कर सकते - केवल अंश और हर दोनों में मौजूद समान कारक रद्द किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (x(x + 2))/x में, चर (कारक) "x" अंश और हर दोनों में है, इसलिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए "x" को कम किया जा सकता है: (x + 2)/1 = x + 2। हालाँकि, अभिव्यक्ति (x + 2)/x में, चर "x" को कम नहीं किया जा सकता है (क्योंकि "x" अंश में एक कारक नहीं है)।

   4. कोष्ठक खोलें.ऐसा करने के लिए, कोष्ठक के बाहर के पद को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। कभी-कभी यह सरल बनाने में मदद करता है जटिल अभिव्यक्ति. यह उन दोनों सदस्यों पर लागू होता है जो हैं प्रमुख संख्या, और उन सदस्यों के लिए जिनमें वेरिएबल शामिल है।

      • उदाहरण के लिए, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, और 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x।
      • कृपया ध्यान दें कि इसमें भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँयदि अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मौजूद है तो कोष्ठक खोलने की कोई आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (3(x 2 + 8))/3x में कोष्ठक का विस्तार करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यहां आप 3 के कारक को रद्द कर सकते हैं और सरलीकृत अभिव्यक्ति (x 2 + 8)/x प्राप्त कर सकते हैं। इस अभिव्यक्ति के साथ काम करना आसान है; यदि आप कोष्ठक खोलते हैं, तो आपको निम्नलिखित जटिल अभिव्यक्ति मिलेगी: (3x 3 + 24x)/3x।

   5. गुणनखंड बहुपद.इस पद्धति का उपयोग करके, आप कुछ व्यंजकों और बहुपदों को सरल बना सकते हैं। फैक्टरिंग कोष्ठक खोलने की विपरीत क्रिया है, अर्थात, एक अभिव्यक्ति को दो अभिव्यक्तियों के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, जिनमें से प्रत्येक कोष्ठक में संलग्न है। कुछ मामलों में, फ़ैक्टरिंग आपको उसी अभिव्यक्ति को कम करने की अनुमति देता है। विशेष मामलों में (आमतौर पर साथ द्विघातीय समीकरण) फैक्टरिंग आपको समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।

      • अभिव्यक्ति x 2 - 5x + 6 पर विचार करें। यह गुणनखंडित है: (x - 3)(x - 2)। इस प्रकार, यदि, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), तो आप इसे (x - 3)(x - 2)/(2(x) के रूप में फिर से लिख सकते हैं - 2)), व्यंजक (x - 2) को कम करें और एक सरलीकृत व्यंजक (x - 3)/2 प्राप्त करें।
      • गुणनखंडन बहुपद का उपयोग समीकरणों को हल करने (मूल खोजने) के लिए किया जाता है (एक समीकरण 0 के बराबर एक बहुपद है)। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 - 5x + 6 = 0 पर विचार करें। इसका गुणनखंड करने पर, आपको (x - 3)(x - 2) = 0 मिलता है। चूँकि किसी भी अभिव्यक्ति को 0 से गुणा करने पर 0 के बराबर होता है, हम इसे इस तरह लिख सकते हैं यह: x - 3 = 0 और x - 2 = 0. इस प्रकार, x = 3 और x = 2, यानी, आपको दिए गए समीकरण के दो मूल मिल गए हैं।

कोई भी भाषा समान जानकारी व्यक्त कर सकती है अलग-अलग शब्दों मेंऔर क्रांतियाँ. गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है. लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को समान रूप से अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल होती है। इस पाठ में हम भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग संवाद करते हैं विभिन्न भाषाएं. हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" जोड़ी है। एक ही जानकारी विभिन्न भाषाओं में संप्रेषित की जा सकती है। लेकिन इसके अलावा इसे एक ही भाषा में अलग-अलग तरह से उच्चारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पेट्या वास्या की दोस्त है", "वास्या पेट्या की दोस्त है", "पेट्या और वास्या दोस्त हैं"। अलग-अलग कहा, लेकिन बात एक ही है। इनमें से किसी भी वाक्यांश से हम समझ जाएंगे कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि हमारा क्या मतलब है हम बात कर रहे हैं. हालाँकि, हमें इस वाक्यांश की ध्वनि पसंद नहीं है। क्या हम इसे सरल नहीं बना सकते, वही बात नहीं कह सकते, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के"... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियाँ नहीं हैं? हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "मित्र" शब्द को "मित्र" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या मित्र हैं।" परिणामस्वरूप, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समकक्ष कथन से बदल दिया गया जो कहने में आसान और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बना दिया है. सरलीकरण का अर्थ है किसी बात को अधिक सरलता से कहना, लेकिन अर्थ को खोना या बिगाड़ना नहीं।

गणितीय भाषा में कहें तो लगभग यही बात होती है. एक ही बात को अलग-अलग तरीके से कहा, लिखा जा सकता है। किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समकक्ष अभिव्यक्तियाँ हैं, यानी जिनका मतलब एक ही है। और इस सारी विविधता में से, हमारी राय में, हमें सबसे सरल या हमारे भविष्य के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना होगा।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा.

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपनी अभिव्यक्तियों को सरल बना लिया है और सबसे छोटी समकक्ष अभिव्यक्ति ढूंढ ली है।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए, आपको हमेशा सब कुछ करने और एकल संख्या के रूप में समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता होती है।

आइए शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण देखें . जाहिर है, यह आसान होगा.

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय सभी संभव क्रियाएं करना आवश्यक है।

क्या किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी हमारे लिए समतुल्य लेकिन लंबी प्रविष्टि रखना अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: आपको एक संख्या में से एक संख्या घटानी होगी।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है:, तो गणना तात्कालिक होगी:।

यानी आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, अक्सर हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो बस "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये: .

समाधान

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें:।

2) आइए उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का रूप प्रारंभिक की तुलना में सरल है। हमने इसे सरल बनाया है.

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे समकक्ष (बराबर) से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

आपको आवश्यक समतुल्य अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ का क्रमविनिमेय गुण: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

2. जोड़ का संयुक्त गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणा और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. संयोजन गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी उत्पाद को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरणात्मक गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको इसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

समाधान

1) आइए कल्पना करें कैसे

2) आइए पहले कारक को बिट पदों के योग के रूप में कल्पना करें और गुणन करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे किया जाता है:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरणात्मक कानून का भी उपयोग किया जा सकता है विपरीत पक्ष: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

समाधान

1) सुविधा के लिए, आप वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं, इसे केवल विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें

रसोई और दालान के लिए लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - , दालान - . लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। प्रत्येक की लागत कितनी होगी? तीन प्रकारलिनोलियम? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या कथन के लिए चित्रण

समाधान

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई के लिए लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में रख दें और परिणामी उत्पादों को जोड़ दें।

एक बीजीय व्यंजक जिसमें जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ अक्षर व्यंजकों में विभाजन का भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजक कहलाता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

हम एक बीजगणितीय अंश को एक बीजीय अभिव्यक्ति कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

भावों का तीसरा भाग)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनों का उद्देश्य अधिकतर उन्हें बीजगणितीय भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होता है। उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन का उपयोग किया जाता है - उनके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए पदों का। बीजगणितीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: उन मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिन पर कारक जिसके द्वारा कमी की जाती है वह शून्य हो जाता है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समान परिवर्तनों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिह्न और उसके सामने के चिह्न को बदलना सुविधाजनक है):

हमारी अभिव्यक्ति इन मानों को छोड़कर सभी मानों के लिए एक के बराबर है; यह अपरिभाषित है और अंश को कम करना अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजगणितीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

समाधान। अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. निर्दिष्ट पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के मान ज्ञात करें:

2. गुणनखंड करना।