प्रथम स्तर

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

हम अक्सर यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर हम कुछ इस तरह के राक्षस देखते हैं:

हम कहते हैं, "यह बहुत आसान है," लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक साधारण संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक) तक सरल बना देंगे।

लेकिन इस पाठ को शुरू करने से पहले, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना होगा। इसलिए, सबसे पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

क्या आपने इसे पढ़ा है? अगर हां, तो अब आप तैयार हैं.

बुनियादी सरलीकरण संचालन

आइए अब उन बुनियादी तकनीकों पर नजर डालें जिनका उपयोग अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

सबसे सरल है

1. समान लाना

क्या समान हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में लिया था, जब गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर पहली बार सामने आए थे। समान अक्षर वाले भाग वाले पद (एकपदी) भी इसी प्रकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

तुम्हे याद है?

समान लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक-दूसरे में जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करें कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक पत्र एक कुर्सी है। तो फिर अभिव्यक्ति किसके बराबर है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होंगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति को आज़माएँ: .

भ्रम से बचने के लिए, अलग-अलग अक्षरों को अलग-अलग वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने दें। उदाहरण के लिए, - (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - एक मेज है। तब:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेजें कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेजें

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और इसमें बराबर है.

तो, समान लाने का नियम यह है:

उदाहरण:

समान दो:

उत्तर:

2. (और समान, क्योंकि, इसलिए, इन शब्दों का अक्षर भाग एक ही है)।

2. गुणनखंडीकरण

अभिव्यक्ति को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है, अर्थात, उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: भिन्न को कम करने में सक्षम होने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में विस्तार से गुणनखंडन अभिव्यक्तियों के तरीकों के बारे में जाना, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा। ऐसा करने के लिए, कुछ निर्णय लें उदाहरण(गुणनखंडित करने की आवश्यकता है):

समाधान:

3. भिन्न को कम करना।

खैर, अंश और हर के कुछ हिस्सों को काटकर उन्हें अपने जीवन से बाहर फेंकने से ज्यादा सुखद क्या हो सकता है?

आकार घटाने की यही खूबसूरती है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें कम किया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

अर्थात् कटौती संक्रिया का सार यही है हम भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही अभिव्यक्ति से) से विभाजित करते हैं।

किसी अंश को कम करने के लिए आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें पार किया जा सकता है।

मुझे लगता है, सिद्धांत स्पष्ट है?

मैं आपका ध्यान एक बात की ओर आकर्षित करना चाहूँगा सामान्य गलतीअनुबंध करते समय. हालाँकि यह विषय सरल है, बहुत से लोग इसे न समझकर हर काम गलत करते हैं कम करना- इसका मतलब यह है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या हैं।

यदि अंश या हर एक योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं।

उदाहरण के लिए: हमें सरलीकरण करने की आवश्यकता है।

कुछ लोग ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है.

दूसरा उदाहरण: कम करें.

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गड़बड़ है? ऐसा प्रतीत होगा:- यह एक गुणक है, जिसका अर्थ है कि इसे कम किया जा सकता है।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन संपूर्ण अंश स्वयं गुणनखंडित नहीं है।

यहाँ एक और उदाहरण है: .

यह अभिव्यक्ति गुणनखंडित है, जिसका अर्थ है कि आप इसे कम कर सकते हैं, यानी अंश और हर को इससे विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप इसे तुरंत इसमें विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह कैसे निर्धारित करें कि कोई अभिव्यक्ति गुणनखंडित है:

किसी अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय जो अंकगणितीय ऑपरेशन सबसे अंत में किया जाता है वह "मास्टर" ऑपरेशन होता है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं और अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक उत्पाद है (अभिव्यक्ति गुणनखंडित है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए इसे कम नहीं किया जा सकता है)।

समेकित करने के लिए, कुछ को स्वयं हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने में जल्दबाजी नहीं करेंगे और? इस तरह की इकाइयों को "कम" करना अभी भी पर्याप्त नहीं था:

पहला कदम गुणनखंडन होना चाहिए:

4. भिन्नों को जोड़ना और घटाना। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना।

साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना एक परिचित ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का LCM उनके उत्पाद के बराबर है। यह सामान्य भाजक होगा:

2. यहाँ सामान्य विभाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर सामान्य योजना के अनुसार:

यदि भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल अलग बात है, उदाहरण के लिए:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

a) हर में अक्षर नहीं होते

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक भिन्नों जैसा ही है: हम सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हो, दे सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

खुद कोशिश करना:

बी) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य हर खोजने के सिद्धांत को याद रखें:

· सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

· फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखते हैं;

· और उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं:

आइए हम सामान्य कारकों पर जोर दें:

आइए अब सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखें और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारकों को जोड़ें:

यह सामान्य विभाजक है.

चलिए पत्रों पर वापस आते हैं। हर बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:

· हरों का गुणनखंड करें;

· सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें;

· सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें;

· उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें.

तो, क्रम में:

1) हरों का गुणनखंड करें:

2) सामान्य (समान) कारक निर्धारित करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (गैर-रेखांकित) कारकों से गुणा करें:

तो यहाँ एक सामान्य विभाजक है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरे को - से:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान गुणनखंड देखते हैं, केवल सभी के साथ विभिन्न संकेतक. सामान्य विभाजक होगा:

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक।

आइए कार्य को जटिल बनाएं:

भिन्नों का हर समान कैसे बनाएं?

आइए भिन्न के मूल गुण को याद करें:

यह कहीं नहीं कहता कि भिन्न के अंश और हर में से समान संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

स्वयं देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए,। आपने क्या सीखा?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन क्या पाने के लिए आपको गुणा करने की आवश्यकता है?

तो गुणा करें. और इससे गुणा करें:

जिन अभिव्यक्तियों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें हम "प्राथमिक कारक" कहेंगे। उदाहरणार्थ, - यह एक प्राथमिक कारक है । - वही। लेकिन नहीं: इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही विषय "" में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ अभिव्यक्ति का विस्तार करते हैं वे एक एनालॉग हैं प्रधान कारण, जिसमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनसे वैसे ही निपटेंगे.

हम देखते हैं कि दोनों हरों में गुणक होता है। यह सामान्य भाजक से डिग्री तक जाएगा (याद रखें क्यों?)।

कारक प्राथमिक है, और उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

इससे पहले कि आप इन हरों को घबराहट में गुणा करें, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे गुणनखंडित किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

महान! तब:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, आइए हरों का गुणनखंड करें। पहले हर में हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप बारीकी से देखें, तो वे समान हैं... और यह सच है:

तो चलिए लिखते हैं:

अर्थात्, यह इस प्रकार निकला: कोष्ठक के अंदर हमने पदों की अदला-बदली की, और उसी समय भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल गया। ध्यान रखें, ऐसा आपको अक्सर करना होगा।

आइए अब इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

समझ गया? आइए अब इसकी जाँच करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी होगी - घनों का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे अंश के हर में "योग का वर्ग" सूत्र शामिल नहीं है! योग का वर्ग इस प्रकार दिखेगा:।

A योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोहरा गुणनफल। योग का आंशिक वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

यदि पहले से ही तीन भिन्न हों तो क्या करें?

हाँ, वही बात! सबसे पहले, आइए यह सुनिश्चित करें अधिकतम राशिहर में गुणनखंड समान थे:

कृपया ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न फिर से विपरीत दिशा में बदल जाता है। परिणामस्वरूप, यह (अंश के सामने का चिह्न) नहीं बदला है।

हम पूरे पहले हर को सामान्य हर में लिखते हैं, और फिर इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक भिन्न हैं)। अर्थात्, यह इस प्रकार निकलता है:

हम्म... यह स्पष्ट है कि भिन्नों के साथ क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह सरल है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, हमें दो को भिन्न बनाना होगा! आइए याद रखें: भिन्न एक विभाजन संक्रिया है (यदि आप भूल गए हैं तो अंश को हर से विभाजित किया जाता है)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस स्थिति में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, बल्कि भिन्न में बदल जाएगी:

बिल्कुल वही जो आवश्यक है!

5. भिन्नों का गुणन और विभाजन।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी है:

प्रक्रिया

संख्यात्मक अभिव्यक्ति की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? इस अभिव्यक्ति के अर्थ की गणना करके याद रखें:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिला दूं।

पहला कदम डिग्री की गणना करना है।

दूसरा है गुणा और भाग. यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हों तो उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर, किसी भी क्रम में.

लेकिन: कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन बारी-बारी से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

यदि कोष्ठक के अंदर अधिक कोष्ठक हों तो क्या होगा? खैर, आइए सोचें: कोष्ठक के अंदर कुछ अभिव्यक्ति लिखी हुई है। किसी व्यंजक की गणना करते समय, आपको सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सभी चीज़ों की।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति की प्रक्रिया इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात, वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूं):

ठीक है, यह सब सरल है.

लेकिन यह अक्षरों वाली अभिव्यक्ति के समान नहीं है?

नहीं, यह वैसा ही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय, आपको बीजगणितीय संक्रियाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात, पिछले अनुभाग में वर्णित क्रियाएँ: समान ला रहा हूँ, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को कम करना, इत्यादि। एकमात्र अंतर बहुपदों के गुणनखंडन की क्रिया में होगा (हम अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं)। अक्सर, गुणनखंड करने के लिए, आपको I का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या बस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना पड़ता है।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले, हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाना असंभव है; यहां सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी याद है कि इसका क्या अर्थ है?)।

2) हमें मिलता है:

भिन्नों को गुणा करना: इससे अधिक सरल क्या हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान पर विचार करें।

सबसे पहले, आइए कार्यों का क्रम निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, ताकि दो भिन्नों के बजाय हमें एक भिन्न प्राप्त हो। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, आइए परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ें। मैं चरणों को योजनाबद्ध तरीके से क्रमांकित करूँगा:

अब मैं आपको वर्तमान क्रिया को लाल रंग में रंगते हुए प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी सुझाव दूंगा:

1. यदि समान हों तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे देश में जब भी ऐसी कोई बात सामने आती है, तो उन्हें तुरंत सामने लाने की सलाह दी जाती है।

2. यही बात भिन्नों को कम करने पर भी लागू होती है: जैसे ही कम करने का अवसर मिले, इसका लाभ उठाना चाहिए। अपवाद उन भिन्नों के लिए है जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि अब उनके हर समान हैं, तो कमी को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:

और शुरुआत में ही क्या वादा किया गया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना कर लिया है, तो आपने विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने पर!

भावों को परिवर्तित करना। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान शब्दों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, उसे लागू करना, आदि।
• एक अंश कम करना: भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हों, तो उन्हें काटा जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है!

• भिन्नों को जोड़ना और घटाना:
  ;
• भिन्नों को गुणा और विभाजित करना:
  ;

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
संख्यात्मक भिन्नों के साथ एक व्यंजक का मूल्यांकन करें।
विभिन्न हर वाले भिन्नों को गुणा करना, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर से आप यह कर सकते हैं विभिन्न हर वाले भिन्नों को गुणा करना, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

कार्यक्रम नियमित, अनुचित और मिश्रित संख्या भिन्नों के साथ काम करता है।

यह प्रोग्राम (ऑनलाइन कैलकुलेटर) यह कर सकता है:
- विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का योग करना
- विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का घटाव करें
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से विभाजित करें
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से गुणा करें
- भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें
- भिन्नों को कम करें

आप भिन्नों वाला कोई व्यंजक नहीं, बल्कि एक एकल भिन्न भी दर्ज कर सकते हैं।
इस स्थिति में, अंश कम हो जाएगा और पूरा भाग परिणाम से अलग हो जाएगा।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना के लिए एक ऑनलाइन कैलकुलेटर न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता भी है विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ, यानी समाधान खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियम

केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट: -2/3 + 7/5
परिणाम: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: -1&2/3 * 5&8/3
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

भिन्नों का विभाजन बृहदान्त्र चिह्न द्वारा प्रस्तुत किया जाता है: :
इनपुट:-9&37/12:-3&5/14
परिणाम: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं।
इनपुट: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
हो सकता है कि आपके पास AdBlock सक्षम हो.
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि समस्या का समाधान करने के इच्छुक बहुत से लोग हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध हो गया है।
कुछ ही सेकंड में समाधान नीचे दिखाई देगा.
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में एक त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

साधारण भिन्न. शेषफल सहित विभाजन

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय हम देखेंगे कि 497, 4 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में कहा जाता है कि यह पूरा हो गया है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. जब शेषफल से विभाजित किया जाता है तो विभाजन का परिणाम कहलाता है अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. ऐसे मामलों में जहां कोई शेष नहीं बचता, एक संख्या को दूसरे से विभाजित कहा जाता है बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग को गुणा द्वारा जांचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n)\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सत्य हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n)\) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

पूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको पूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

इसके भाग से पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मुख्य गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं एक अंश को कम करना.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो इस क्रिया को कहा जाता है भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना.

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4)\) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में, भिन्नों का उपयोग संपूर्ण के कुछ हिस्सों को दर्शाने के लिए किया गया था। व्यावहारिक बुद्धिसुझाव है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन फिर भिन्नों के बारे में क्या, उदाहरण के लिए, \(\frac(5)(5)\) या \(\frac(8)(5)\)? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए वे भिन्न कहलाते हैं जिनका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनका अंश हर से छोटा होता है, कहलाती हैं सही भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, कोई भी सामान्य अंश, सही और गलत दोनों को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो ऐसा भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है, और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) से विभाज्य है प्राकृतिक संख्या n, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके अंश को इस संख्या से विभाजित करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b)\) प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम भी तब सत्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों को जोड़ना.

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस. आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना आसान है। आइए, उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7)\) और \(\frac(3)(7)\) का योग ज्ञात करें। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आपको भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो पहले उन्हें एक सामान्य हर में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों को जोड़ना

\(2\frac(2)(3)\) जैसे नोटेशन कहलाते हैं मिश्रित अंश. इस स्थिति में, संख्या 2 को कहा जाता है संपूर्ण भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3)\) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3)\) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई।"

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: \(\frac(8)(3)\) और \(2\frac(2)(3)\). वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3)\) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3)\) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि अनुचित भिन्न से पूरे भाग पर प्रकाश डाला.

भिन्नों को घटाना (आंशिक संख्याएँ)

भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरी में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूँकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों को गुणा करना

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार नियम का उपयोग करके, आप किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा कर सकते हैं मिश्रित अंश, और मिश्रित भिन्नों को भी गुणा करें। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में, एक मिश्रित भिन्न को - एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, गुणन के क्रमविनिमेय और संयोजन गुण, साथ ही जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति मान्य हैं।

भिन्नों का विभाजन

आइए भिन्न \(\frac(2)(3)\) लें और अंश और हर की अदला-बदली करते हुए इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2)\) मिलता है। इस अंश को कहा जाता है रिवर्सभिन्न \(\frac(2)(3)\).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2)\) को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3)\) प्राप्त होगा। इसलिए, \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7)\).

अक्षरों का उपयोग करके, व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 के बराबर होता है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, आप भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम कर सकते हैं।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम है:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

लेख में हम दिखाएंगे भिन्नों को कैसे हल करेंसरल, समझने योग्य उदाहरणों का उपयोग करना। आइए जानें कि भिन्न क्या है और विचार करें भिन्नों को हल करना!

अवधारणा अंशोंइसे माध्यमिक विद्यालय की छठी कक्षा से शुरू होने वाले गणित पाठ्यक्रमों में शामिल किया गया है।

भिन्नों का रूप होता है: ±X/Y, जहां Y हर है, यह बताता है कि संपूर्ण को कितने भागों में विभाजित किया गया था, और X अंश है, यह बताता है कि ऐसे कितने भाग लिए गए थे। स्पष्टता के लिए, आइए एक केक का उदाहरण लें:

पहले मामले में, केक समान रूप से काटा गया और आधा लिया गया, यानी। 1/2. दूसरे मामले में, केक को 7 भागों में काटा गया, जिसमें से 4 भाग निकाले गए, यानी। 4/7.

यदि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने वाला भाग पूर्ण संख्या नहीं है, तो इसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 4:2 = 2 एक पूर्णांक देता है, लेकिन 4:7 पूर्णांक से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस व्यंजक को भिन्न 4/7 के रूप में लिखा जाता है।

दूसरे शब्दों में अंशएक अभिव्यक्ति है जो दो संख्याओं या अभिव्यक्तियों के विभाजन को दर्शाती है, और जो भिन्नात्मक स्लैश का उपयोग करके लिखी जाती है।

यदि अंश हर से कम है, तो भिन्न उचित है; यदि इसके विपरीत, तो यह अनुचित भिन्न है। एक भिन्न में एक पूर्ण संख्या हो सकती है।

उदाहरण के लिए, 5 पूर्ण 3/4.

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि पूर्ण 6 प्राप्त करने के लिए, चार में से एक भाग गायब है।

यदि आप याद रखना चाहते हैं, छठी कक्षा के लिए भिन्नों को कैसे हल करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है भिन्नों को हल करना, मूलतः, कुछ सरल चीज़ों को समझने पर निर्भर करता है।

• भिन्न मूलतः भिन्न की अभिव्यक्ति है। अर्थात् कौन सा भाग है इसकी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति दिया गया मूल्यएक पूरे से. उदाहरण के लिए, अंश 3/5 यह व्यक्त करता है कि यदि हम किसी पूर्ण वस्तु को 5 भागों में विभाजित करते हैं और इस पूर्ण के अंशों या भागों की संख्या तीन है।
• अंश 1 से कम हो सकता है, उदाहरण के लिए 1/2 (या अनिवार्य रूप से आधा), तो यह सही है। यदि भिन्न 1 से बड़ा है, उदाहरण के लिए 3/2 (तीन आधे या डेढ़), तो यह गलत है और समाधान को सरल बनाने के लिए, हमारे लिए पूर्ण भाग का चयन करना बेहतर है 3/2 = 1 पूर्ण 1 /2.
• भिन्न 1, 3, 10 और यहाँ तक कि 100 के समान संख्याएँ हैं, केवल संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं बल्कि भिन्न हैं। आप उनके साथ संख्याओं की तरह ही सभी कार्य कर सकते हैं। भिन्नों को गिनना अब और कठिन नहीं है, और आगे भी विशिष्ट उदाहरणहम इसे दिखाएंगे.

भिन्नों को कैसे हल करें. उदाहरण।

विभिन्न प्रकार की अंकगणितीय संक्रियाएँ भिन्नों पर लागू होती हैं।

एक भिन्न को एक सामान्य हर में घटाना

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 3/4 और 4/5 की तुलना करने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सबसे कम सामान्य विभाजक ढूंढते हैं, यानी। वह सबसे छोटी संख्या जो भिन्नों के प्रत्येक हर से बिना कोई शेष बचे विभाज्य हो

लघुत्तम समापवर्त्य (4.5) = 20

फिर दोनों भिन्नों के हर को न्यूनतम सामान्य हर तक घटा दिया जाता है

उत्तर: 15/20

भिन्नों को जोड़ना और घटाना

यदि दो भिन्नों के योग की गणना करना आवश्यक हो, तो उन्हें पहले एक सामान्य हर में लाया जाता है, फिर अंश जोड़े जाते हैं, जबकि हर अपरिवर्तित रहता है। भिन्नों के बीच अंतर की गणना उसी तरह की जाती है, अंतर केवल इतना है कि अंश घटा दिए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 1/2 और 1/3 का योग ज्ञात करना होगा

आइए अब भिन्न 1/2 और 1/4 के बीच अंतर ज्ञात करें

भिन्नों को गुणा करना और विभाजित करना

यहाँ भिन्नों को हल करना कठिन नहीं है, यहाँ सब कुछ काफी सरल है:

• गुणन - भिन्नों के अंश और हर को एक साथ गुणा किया जाता है;
• विभाजन - पहले हमें दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त होता है, अर्थात्। हम इसके अंश और हर की अदला-बदली करते हैं, जिसके बाद हम परिणामी भिन्नों को गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए:

यह इसके बारे में भिन्नों को कैसे हल करें, सभी। यदि आपके पास अभी भी कोई प्रश्न है भिन्नों को हल करना, यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में लिखें और हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

यदि आप शिक्षक हैं तो प्रेजेंटेशन डाउनलोड करना संभव है प्राथमिक स्कूल(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) आपके काम आएगा।

"अंश" शब्द कई लोगों के रोंगटे खड़े कर देता है। क्योंकि मुझे स्कूल और गणित में हल किए गए कार्य याद हैं। यह एक कर्तव्य था जिसे पूरा करना ही था। यदि आप उचित और अनुचित भिन्नों से जुड़ी समस्याओं को एक पहेली की तरह समझें तो क्या होगा? आख़िरकार, कई वयस्क डिजिटल और निर्णय लेते हैं जापानी वर्ग पहेली. हमने नियमों का पता लगा लिया और बस इतना ही। यहाँ भी वैसा ही है. किसी को केवल सिद्धांत में गहराई से उतरना है - और सब कुछ ठीक हो जाएगा। और उदाहरण आपके मस्तिष्क को प्रशिक्षित करने का एक तरीका बन जाएंगे।

भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?

आइए इससे शुरू करें कि यह क्या है। भिन्न वह संख्या है जिसमें एक का कुछ भाग होता है। इसे दो रूपों में लिखा जा सकता है। पहले वाले को साधारण कहा जाता है। अर्थात् वह जिसमें क्षैतिज या तिरछी रेखा हो। यह विभाजन चिह्न के समतुल्य है.

इस अंकन में, रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और उसके नीचे की संख्या को हर कहा जाता है।

साधारण भिन्नों में उचित और अनुचित भिन्नों को प्रतिष्ठित किया जाता है। पहले के लिए, अंश का निरपेक्ष मान हमेशा हर से कम होता है। गलत लोगों को ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि उनके पास सब कुछ उल्टा होता है। उचित भिन्न का मान सदैव एक से कम होता है। जबकि गलत हमेशा इस संख्या से बड़ा होता है।

मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, अर्थात् जिनमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

रिकॉर्डिंग का दूसरा प्रकार है दशमलव. उनके बारे में अलग से बातचीत होती है.

अनुचित भिन्न मिश्रित संख्याओं से किस प्रकार भिन्न हैं?

संक्षेप में, कुछ भी नहीं. ये बस एक ही नंबर की अलग-अलग रिकॉर्डिंग हैं। सरल चरणों के बाद अनुचित भिन्न आसानी से मिश्रित संख्या बन जाते हैं। और इसके विपरीत।

यह सब विशिष्ट स्थिति पर निर्भर करता है। कभी-कभी कार्यों में इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है अनुचित अंश. और कभी-कभी इसे मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक होता है और फिर उदाहरण बहुत आसानी से हल हो जाएगा। इसलिए, क्या उपयोग करना है: अनुचित भिन्न, मिश्रित संख्या, समस्या को हल करने वाले व्यक्ति के अवलोकन कौशल पर निर्भर करता है।

मिश्रित संख्या की तुलना पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग के योग से भी की जाती है। इसके अलावा, दूसरा हमेशा एक से कम होता है।

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे निरूपित करें?

यदि आपको लिखे गए कई नंबरों के साथ कोई कार्य करने की आवश्यकता है अलग - अलग प्रकार, तो आपको उन्हें वैसा ही बनाने की जरूरत है। एक विधि संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करना है।

इस प्रयोजन के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम निष्पादित करने की आवश्यकता होगी:

• हर को पूरे भाग से गुणा करें;
• परिणाम में अंश का मान जोड़ें;
• उत्तर पंक्ति के ऊपर लिखें;
• हर को वही छोड़ें.

यहां मिश्रित संख्याओं से अनुचित भिन्न लिखने के उदाहरण दिए गए हैं:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में कैसे लिखें?

अगली तकनीक ऊपर चर्चा की गई तकनीक के विपरीत है। अर्थात्, जब सभी मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

• शेषफल प्राप्त करने के लिए अंश को हर से विभाजित करें;
• मिश्रित के संपूर्ण भाग के स्थान पर भागफल लिखें;
• शेष को रेखा के ऊपर रखा जाना चाहिए;
• भाजक हर होगा.

ऐसे परिवर्तन के उदाहरण:

76/14; 76:14 = 5 शेषफल 6 के साथ; उत्तर 5 पूर्ण और 6/14 होगा; इस उदाहरण में भिन्नात्मक भाग को 2 से कम करने की आवश्यकता है, जिसके परिणामस्वरूप 3/7 होगा; अंतिम उत्तर 5 अंक 3/7 है।

108/54; विभाजन के बाद, 2 का भागफल बिना किसी शेषफल के प्राप्त होता है; इसका मतलब यह है कि सभी अनुचित भिन्नों को मिश्रित संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है; उत्तर पूर्णांक होगा - 2.

किसी पूर्ण संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें?

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब ऐसी कार्रवाई आवश्यक होती है। किसी ज्ञात हर के साथ अनुचित भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित एल्गोरिथम निष्पादित करने की आवश्यकता होगी:

• किसी पूर्णांक को वांछित हर से गुणा करें;
• इस मान को पंक्ति के ऊपर लिखें;
• इसके नीचे हर रखें।

सबसे सरल विकल्प वह है जब हर एक के बराबर हो। फिर आपको कुछ भी गुणा करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण में दिए गए पूर्णांक को लिखना और पंक्ति के नीचे एक रखना पर्याप्त है।

उदाहरण: 3 के हर के साथ 5 को एक अनुचित भिन्न बनाएं। 5 को 3 से गुणा करने पर 15 प्राप्त होता है। यह संख्या हर होगी। कार्य का उत्तर एक अंश है: 15/3.

विभिन्न संख्याओं वाली समस्याओं को हल करने के दो दृष्टिकोण

उदाहरण के लिए योग और अंतर, साथ ही दो संख्याओं के उत्पाद और भागफल की गणना करने की आवश्यकता है: 2 पूर्णांक 3/5 और 14/11।

पहले दृष्टिकोण मेंमिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऊपर वर्णित चरणों को करने के बाद, आपको निम्नलिखित मान प्राप्त होगा: 13/5।

योग ज्ञात करने के लिए, आपको भिन्नों को कम करना होगा एक ही भाजक. 13/5 को 11 से गुणा करने पर 143/55 हो जाता है। और 14/11 को 5 से गुणा करने पर ऐसा दिखेगा: 70/55. योग की गणना करने के लिए, आपको केवल अंश जोड़ना होगा: 143 और 70, और फिर एक हर के साथ उत्तर लिखें। 213/55 - यह अनुचित भिन्न समस्या का उत्तर है।

अंतर ज्ञात करते समय, समान संख्याएँ घटा दी जाती हैं: 143 - 70 = 73। उत्तर एक भिन्न होगा: 73/55।

13/5 और 14/11 को गुणा करते समय, आपको उन्हें एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। यह अंश और हर को जोड़े में गुणा करने के लिए पर्याप्त है। उत्तर होगा: 182/55.

विभाजन के लिए भी यही बात लागू होती है. के लिए सही निर्णयआपको भाग को गुणन से बदलना होगा और भाजक को उल्टा करना होगा: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70।

दूसरे दृष्टिकोण मेंएक अनुचित भिन्न एक मिश्रित संख्या बन जाती है।

एल्गोरिथम की क्रियाओं को निष्पादित करने के बाद, 14/11 एक मिश्रित संख्या में बदल जाएगा जिसमें 1 का पूर्णांक भाग और 3/11 का एक भिन्नात्मक भाग होगा।

योग की गणना करते समय, आपको पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ना होगा। 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55। अंतिम उत्तर 3 अंक 48/55 है। पहले दृष्टिकोण में अंश 213/55 था। आप इसे मिश्रित संख्या में परिवर्तित करके इसकी सत्यता की जांच कर सकते हैं। 213 को 55 से विभाजित करने पर भागफल 3 और शेषफल 48 है। यह देखना आसान है कि उत्तर सही है।

घटाते समय, "+" चिह्न को "-" से बदल दिया जाता है। 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55। जाँच करने के लिए, पिछले दृष्टिकोण के उत्तर को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करने की आवश्यकता है: 73 को 55 से विभाजित किया जाता है और भागफल 1 होता है और शेष 18 होता है।

गुणनफल और भागफल ज्ञात करने के लिए मिश्रित संख्याओं का उपयोग करना असुविधाजनक है। यहां हमेशा अनुचित भिन्नों की ओर बढ़ने की अनुशंसा की जाती है।

ओह वे अंश! हाई स्कूल के गणित पाठों में, यह भिन्नों और समस्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ हैं जहाँ अंश और हर वाली संख्याएँ ऐसी स्थितियों में चमकती हैं जो एक बाधा बन जाती हैं जिससे कई स्कूली बच्चों को पार पाने में कठिनाई होती है। याद रखना और प्रयोग ही काफी है सरल नियम, जो भिन्नों के साथ संचालन को नियंत्रित करता है, कुछ छात्रों के लिए गणित में अच्छे ग्रेड के लिए एक दुर्गम बाधा बन जाता है। तो आप भिन्नों से जुड़ी समस्याओं को कैसे हल करते हैं? यह तभी संभव है जब आप ठीक से समझ लें कि भिन्न क्या है।

स्पष्ट उदाहरण के लिए, आइए एक साधारण केक लें। आप छुट्टियों के लिए सात मेहमानों की उम्मीद कर रहे हैं। आपके पास केवल एक केक है. इसका मतलब है कि इसे आठ (मेहमानों और जन्मदिन वाले व्यक्ति) में विभाजित किया जाना चाहिए। आप केक को बराबर भागों में काट लें. इनमें से प्रत्येक भाग पूरे पाई का केवल 1/8 है। परिणाम एक साधारण प्राकृतिक भिन्न है, जहां 1 अंश है और 8 हर है। मेहमानों में से एक ने पाई से इनकार कर दिया, और आपने अपने लिए एक और टुकड़ा लेने का फैसला किया। अब पाई के आठ भागों के 2 टुकड़े हैं, या 2/8।

क्या होगा यदि आपके सभी मेहमान डाइट पर हैं, वजन कम कर रहे हैं और केक नहीं खाना चाहते हैं? तब आपको आठ में से आठ भाग (8/8) मिलते हैं, यानी एक पूरा केक!

वे भिन्न जहां अंश हर से कम होता है, उचित कहलाते हैं। और जिनका अंश बड़ा है वे ग़लत हैं।

प्राकृतिक भिन्नों के साथ समस्याएँ
वे कार्य जिनमें शामिल हैं प्राकृतिक अंश, अक्सर उनके साथ कार्रवाई शामिल होती है। इस समस्या का सबसे आसान संस्करण किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना है जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है। आपको 6 किलोग्राम सेब दिए गए। आपको उनमें से 2/3 को पाई भरने की तैयारी के लिए छोड़ देना चाहिए। हम 6 को 2 से गुणा करते हैं, फिर 3 से विभाजित करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास भरने के लिए 4 किलो की आवश्यकता होती है।

यदि किसी संख्या को उसके भाग से ज्ञात करना कठिन कार्य है, तो अंश और हर की अदला-बदली करके संख्या के भाग को भिन्न से गुणा करें। यहां 6 किलोग्राम सेब हैं. यह 3/5 है कुल गणनाआपके सेब के पेड़ से सेब एकत्र किये गये। इसका मतलब है कि हम जल्दी से 6 को 5 से गुणा करते हैं और 3 से भाग देते हैं। यह 10 किलोग्राम आता है।

भिन्नों को कैसे विभाजित और गुणा किया जाता है? यहां के नियम सरल हैं. जब हम किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करते हैं, तो हम अंश और हर के साथ संक्रिया करते हैं। मान लीजिए कि आपको 2/3 को 5/6 से गुणा करना है। हम संख्या 2 को 5 से गुणा करते हैं, और 3 को 6 से गुणा करते हैं। परिणाम: 10/18। यदि आपको किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, तो बस संख्या और भिन्न के अंश को गुणा करें। तो 3*4/7=12/7. भिन्न को सही में बदलें: 12/7=1 और 5/7।

हम भिन्नों के विभाजन को गुणन से आसानी से बदल सकते हैं। 5/6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है? इसका मतलब यह है कि हम पहले अंश 5/6 को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे में हम अंश और हर की अदला-बदली करते हैं। 5/6:2/3=5/6*3/2=15/12. किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करने के लिए भी इसी तरह के नियम मौजूद हैं। 2:4/7= 2*7/4=14/4. यदि हम किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं, तो हम हर और संख्या को ही गुणा कर देते हैं। 4/7:2=4/14.

जहां हर भिन्न हों, वहां भिन्नों के साथ घटाव और जोड़ करना अधिक कठिन होता है। यदि आपको भिन्न को 2/8 से 3/8 में जोड़ने की आवश्यकता है, तो यह आसान है। हर को अपरिवर्तित छोड़ते हुए, अंशों को जोड़ें। यह 5/8 निकलता है. घटाव के साथ, सब कुछ समान है, जहां छोटे अंश को बड़े अंश से घटाया जाता है।

भिन्नों की समस्याएँ कैसे, कहाँ हल करें विभिन्न भाजक? बेशक, पहले उन्हें एक में ले आओ। उदाहरण के लिए, आपको 5/8 और 2/3 जोड़ना होगा। चयन विधि का उपयोग करते हुए, हम एक ऐसी संख्या की तलाश कर रहे हैं जो 8 और 3 दोनों से विभाज्य हो। यह संख्या 24 है। 24 के हर के साथ 5/8 से भिन्न बनाने के लिए, 24 को 8 से विभाजित करें। हमें जो संख्या प्राप्त होती है वह 3 है . अंश को 3 से गुणा करें. परिणामस्वरूप, 5/8 15/24 के बराबर है। हम 2/3 के साथ भी ऐसा ही करते हैं और 16/24 प्राप्त करते हैं। फिर आप हरों को जोड़ और घटा सकते हैं।

हमें ग़लत अंश 31/24 प्राप्त हुआ। 24/24 एक पूर्ण संख्या है. अंश में से हर को घटाएँ। यह 1 पूर्ण और 7/24 निकला।

जब आपको किसी पूर्ण संख्या में से कोई भाग घटाने की आवश्यकता हो तो क्या करें? आपके पास तीन केक हैं जिन्हें आपको प्रत्येक के पांच टुकड़ों में काटना है और 2/5 भाग अपने किसी जानने वाले को देना है। 3 को पाँच से विभाजित करने पर 15 प्राप्त होता है। तो आपके पास 15/5 केक है। 15 में से 2 घटाने पर पता चलता है कि आपके पास केक का 13/5, या 2 पूरा और 3/5 बचा है।

इस प्रकार आप भिन्नों से संबंधित समस्याओं को हल कर सकते हैं। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आप बड़े अंश को छोटे अंश से नहीं घटा सकते हैं!