भिन्नों के साथ जटिल अभिव्यक्तियाँ। प्रक्रिया

किसी भाग को पूर्ण के एक अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको उस भाग को पूर्ण में विभाजित करना होगा।

कार्य 1।कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं, चार अनुपस्थित हैं। कितने प्रतिशत छात्र अनुपस्थित हैं?

समाधान:

उत्तर:कक्षा में कोई छात्र नहीं है.

किसी संख्या से भिन्न ज्ञात करना

उन समस्याओं को हल करने के लिए जिनमें आपको संपूर्ण का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

यदि किसी पूर्ण के एक भाग को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो इस भाग को खोजने के लिए, आप पूर्ण को भिन्न के हर से विभाजित कर सकते हैं और परिणाम को उसके अंश से गुणा कर सकते हैं।

कार्य 1। 600 रूबल थे, इतनी रकम खर्च हो गई. आपने कितना पैसा खर्च किया?

समाधान: 600 रूबल या अधिक खोजने के लिए, हमें इस राशि को 4 भागों में विभाजित करना होगा, जिससे हमें पता चलेगा कि एक चौथाई भाग कितना पैसा है:

600: 4 = 150 (आर.)

उत्तर: 150 रूबल खर्च किए।

कार्य 2. 1000 रूबल थे, इतनी रकम खर्च हो गई. कितना पैसा खर्च हुआ?

समाधान:समस्या कथन से हम जानते हैं कि 1000 रूबल में पाँच बराबर भाग होते हैं। सबसे पहले, आइए जानें कि 1000 का पांचवां हिस्सा कितने रूबल हैं, और फिर हम पता लगाएंगे कि दो-पांचवां हिस्सा कितने रूबल हैं:

1) 1000: 5 = 200 (आर.) - एक पांचवां।

2) 200 · 2 = 400 (आर.) - दो पाँचवाँ।

इन दोनों क्रियाओं को जोड़ा जा सकता है: 1000: 5 · 2 = 400 (आर.)।

उत्तर: 400 रूबल खर्च किये गये।

संपूर्ण का एक भाग खोजने का दूसरा तरीका:

किसी पूर्ण का एक भाग ज्ञात करने के लिए, आप पूर्ण के उस भाग को व्यक्त करने वाले भिन्न से पूर्ण को गुणा कर सकते हैं।

कार्य 3.सहकारी के चार्टर के अनुसार, रिपोर्टिंग बैठक के वैध होने के लिए, संगठन के कम से कम सदस्यों को उपस्थित होना चाहिए। सहकारी समिति में 120 सदस्य हैं। एक रिपोर्टिंग मीटिंग किस संरचना में हो सकती है?

समाधान:

उत्तर:यदि संगठन में 80 सदस्य हों तो रिपोर्टिंग बैठक हो सकती है।

किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करना

उन समस्याओं को हल करने के लिए जिनमें आपको उसके भाग से संपूर्ण खोजने की आवश्यकता होती है, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

यदि वांछित पूर्णांक के भाग को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो इस पूर्णांक को खोजने के लिए, आप इस भाग को भिन्न के अंश से विभाजित कर सकते हैं और परिणाम को इसके हर से गुणा कर सकते हैं।

कार्य 1।हमने 50 रूबल खर्च किए, जो मूल राशि से कम था। धनराशि की मूल राशि ज्ञात कीजिए।

समाधान:समस्या के विवरण से हम देखते हैं कि 50 रूबल मूल राशि से 6 गुना कम है, यानी मूल राशि 50 रूबल से 6 गुना अधिक है। इस राशि को खोजने के लिए, आपको 50 को 6 से गुणा करना होगा:

50 · 6 = 300 (आर.)

उत्तर:प्रारंभिक राशि 300 रूबल है।

कार्य 2.हमने 600 रूबल खर्च किए, जो मूल राशि से कम थी। मूल राशि ज्ञात कीजिये.

समाधान:हम मान लेंगे कि अभीष्ट संख्या तीन तिहाई है। शर्त के अनुसार, संख्या का दो-तिहाई हिस्सा 600 रूबल के बराबर होता है। सबसे पहले, आइए मूल राशि का एक तिहाई ज्ञात करें, और फिर तीन तिहाई (मूल राशि) कितने रूबल हैं:

1) 600: 2 3 = 900 (आर.)

उत्तर:प्रारंभिक राशि 900 रूबल है।

उसके भाग से पूर्ण खोजने का दूसरा तरीका:

किसी पूर्ण को उसके भाग को व्यक्त करने वाले मान से खोजने के लिए, आप इस मान को इस भाग को व्यक्त करने वाले भिन्न से विभाजित कर सकते हैं।

कार्य 3.रेखा खंड अब, 42 सेमी के बराबर, खंड की लंबाई है सीडी. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए सीडी.

समाधान:

उत्तर:खंड की लंबाई सीडी 70 सेमी.

कार्य 4.तरबूज़ों को दुकान में लाया गया। दोपहर के भोजन से पहले, दुकान ने अपने लाए हुए तरबूज़ बेच दिए, और दोपहर के भोजन के बाद, बेचने के लिए 80 तरबूज़ बचे थे। आप स्टोर में कितने तरबूज़ लाए?

समाधान:सबसे पहले, आइए जानें कि लाए गए तरबूजों का कौन सा हिस्सा संख्या 80 है। ऐसा करने के लिए, आइए लाए गए तरबूजों की कुल संख्या को एक लें और इसमें से बेचे गए तरबूजों की संख्या घटा दें:

और इस तरह, हमें पता चला कि 80 तरबूज़ कहाँ से हैं कुल गणनातरबूज लाया. अब हम यह पता लगाते हैं कि कुल मात्रा से कितने तरबूज़ बनते हैं, और फिर कितने तरबूज़ बनते हैं (लाए गए तरबूज़ों की संख्या):

2) 80: 4 15 = 300 (तरबूज)

उत्तर:कुल मिलाकर, 300 तरबूज़ स्टोर में लाए गए।

5वीं कक्षा में विद्यार्थियों को भिन्नों से परिचित कराया जाता है। पहले, जो लोग भिन्नों के साथ संचालन करना जानते थे, उन्हें बहुत चतुर माना जाता था। पहले अंश 1/2 था, यानी आधा, फिर 1/3 आया, आदि। कई शताब्दियों तक उदाहरणों को बहुत जटिल माना जाता था। अब विकसित विस्तृत नियमभिन्नों को परिवर्तित करने, जोड़ने, गुणा करने और अन्य संक्रियाओं पर। सामग्री को थोड़ा समझ लेना ही काफी है और समाधान आसान हो जाएगा।

एक साधारण भिन्न, जिसे साधारण भिन्न कहा जाता है, को दो संख्याओं के विभाजन के रूप में लिखा जाता है: m और n।

M लाभांश है, अर्थात भिन्न का अंश है, और भाजक n को हर कहा जाता है।

उचित भिन्नों की पहचान करें (एम< n) а также неправильные (m >एन)।

एक उचित भिन्न एक से कम होती है (उदाहरण के लिए, 5/6 - इसका मतलब है कि एक से 5 भाग लिए गए हैं; 2/8 - एक से 2 भाग लिए गए हैं)। एक अनुचित भिन्न 1 के बराबर या उससे अधिक है (8/7 - इकाई 7/7 है और एक और भाग को प्लस के रूप में लिया जाता है)।

तो, एक तब होता है जब अंश और हर संपाती होते हैं (3/3, 12/12, 100/100 और अन्य)।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ, ग्रेड 6

आप साधारण भिन्नों के साथ निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं:

• एक अंश का विस्तार करें. यदि आप भिन्न के ऊपरी और निचले भाग को किसी समान संख्या से गुणा करते हैं (सिर्फ शून्य से नहीं), तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा (3/5 = 6/10 (केवल 2 से गुणा)।
• भिन्नों को कम करना विस्तार के समान है, लेकिन यहां वे एक संख्या से विभाजित होते हैं।
• तुलना करना। यदि दो भिन्नों के अंश समान हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होगी। यदि हर समान हैं, तो सबसे बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होगी।
• जोड़ और घटाव करें. समान हरों के साथ, यह करना आसान है (हम ऊपरी हिस्सों का योग करते हैं, लेकिन निचला हिस्सा नहीं बदलता है)। यदि वे भिन्न हैं, तो आपको एक सामान्य हर और अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढ़ने होंगे।
• भिन्नों को गुणा और भाग करें.

आइए नीचे भिन्नों वाली संक्रियाओं के उदाहरण देखें।

घटे हुए अंश ग्रेड 6

घटाने का अर्थ है किसी भिन्न के ऊपर और नीचे को किसी समान संख्या से विभाजित करना।

यह आंकड़ा कमी के सरल उदाहरण दिखाता है। पहले विकल्प में, आप तुरंत अनुमान लगा सकते हैं कि अंश और हर 2 से विभाज्य हैं।

एक नोट पर! यदि संख्या सम है, तो वह वैसे भी 2 से विभाज्य है। सम संख्या- यह 2, 4, 6...32 है 8 (एक सम संख्या के साथ समाप्त होता है), आदि।

दूसरे मामले में, 6 को 18 से विभाजित करने पर, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं। विभाजित करने पर, हमें 3/9 प्राप्त होता है। इस भिन्न को आगे 3 से विभाजित किया जाता है। तो उत्तर 1/3 है। यदि आप दोनों भाजक: 2 को 3 से गुणा करते हैं, तो आपको 6 मिलता है। यह पता चलता है कि भिन्न को छह से विभाजित किया गया था। यह क्रमिक विभाजन कहलाता है सामान्य भाजक द्वारा भिन्नों की क्रमिक कमी।

कुछ लोग तुरंत 6 से भाग देंगे, अन्य को भागों से विभाजित करने की आवश्यकता होगी। मुख्य बात यह है कि अंत में एक अंश शेष रह जाता है जिसे किसी भी प्रकार कम नहीं किया जा सकता।

ध्यान दें कि यदि किसी संख्या में अंक हैं, जिनके योग से 3 से विभाज्य संख्या बनती है, तो मूल संख्या को 3 से भी कम किया जा सकता है। उदाहरण: संख्या 341। संख्याओं को जोड़ें: 3 + 4 + 1 = 8 (8) 3 से विभाज्य नहीं है, इसका मतलब यह है कि संख्या 341 को शेषफल के बिना 3 से कम नहीं किया जा सकता है)। दूसरा उदाहरण: 264. जोड़ें: 2 + 6 + 4 = 12 (3 से विभाज्य)। हमें मिलता है: 264: 3 = 88। इससे बड़ी संख्याओं को कम करना आसान हो जाएगा।

सामान्य भाजक द्वारा भिन्नों को क्रमिक रूप से कम करने की विधि के अलावा, अन्य विधियाँ भी हैं।

GCD किसी संख्या का सबसे बड़ा भाजक है। हर और अंश के लिए जीसीडी ढूंढने के बाद, आप तुरंत भिन्न को कम कर सकते हैं सही संख्या. प्रत्येक संख्या को धीरे-धीरे विभाजित करके खोज की जाती है। इसके बाद, वे देखते हैं कि कौन से भाजक मेल खाते हैं; यदि उनमें से कई हैं (जैसा कि नीचे दी गई तस्वीर में है), तो आपको गुणा करने की आवश्यकता है।

मिश्रित भिन्न ग्रेड 6

सभी अनुचित भिन्नों को उनके पूरे भाग से अलग करके मिश्रित भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। बायीं ओर पूरा नंबर लिखा है.

अक्सर से आता है अनुचित अंशएक मिश्रित संख्या बनाओ. रूपांतरण प्रक्रिया नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाई गई है: 22/4 = 22 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 5 पूर्णांक मिलते हैं (5 * 4 = 20)। 22 - 20 = 2. हमें 5 पूर्णांक और 2/4 (हर नहीं बदलता) मिलता है। चूँकि भिन्न को कम किया जा सकता है, हम ऊपरी और निचले भागों को 2 से विभाजित करते हैं।

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना आसान है (अंशों को विभाजित और गुणा करते समय यह आवश्यक है)। ऐसा करने के लिए: पूर्णांक को भिन्न के निचले भाग से गुणा करें और उसमें अंश जोड़ें। तैयार। हर नहीं बदलता.

छठी कक्षा के भिन्नों के साथ गणना

मिश्रित संख्याएँ जोड़ी जा सकती हैं. यदि हर समान हैं, तो यह करना आसान है: पूर्णांक भागों और अंशों को जोड़ें, हर जगह पर बना रहता है।

विभिन्न हर वाली संख्याओं को जोड़ने पर प्रक्रिया अधिक जटिल हो जाती है। सबसे पहले, हम संख्याओं को एक सबसे छोटे हर (एलएसडी) तक घटाते हैं।

नीचे दिए गए उदाहरण में, संख्या 9 और 6 के लिए, हर 18 होगा। इसके बाद, अतिरिक्त कारकों की आवश्यकता है। उन्हें खोजने के लिए, आपको 18 को 9 से विभाजित करना चाहिए, इस प्रकार आप पाते हैं अतिरिक्त संख्या- 2. भिन्न 8/18 प्राप्त करने के लिए हम इसे अंश 4 से गुणा करते हैं)। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम पहले से ही परिवर्तित भिन्नों को जोड़ते हैं (पूर्णांक और अंश अलग-अलग, हम हर को नहीं बदलते हैं)। उदाहरण में, उत्तर को उचित भिन्न में परिवर्तित करना था (प्रारंभ में अंश, हर से बड़ा निकला)।

कृपया ध्यान दें कि जब भिन्न भिन्न होते हैं, तो क्रियाओं का एल्गोरिथ्म समान होता है।

भिन्नों को गुणा करते समय, दोनों को एक ही पंक्ति के नीचे रखना महत्वपूर्ण है। यदि संख्या मिश्रित है, तो हम इसे बदल देते हैं साधारण अंश. इसके बाद, ऊपरी और निचले हिस्सों को गुणा करें और उत्तर लिखें। यदि यह स्पष्ट है कि भिन्नों को कम किया जा सकता है, तो हम उन्हें तुरंत कम कर देते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, आपको कुछ भी काटने की ज़रूरत नहीं है, आपने बस उत्तर लिखा है और पूरे भाग को हाइलाइट किया है।

इस उदाहरण में, हमें संख्याओं को एक पंक्ति के नीचे कम करना था। हालाँकि आप तैयार उत्तर को छोटा कर सकते हैं।

विभाजित करते समय, एल्गोरिथ्म लगभग समान होता है। पहले हम रूपांतरित होते हैं मिश्रित अंशग़लत को, फिर विभाजन को गुणन से प्रतिस्थापित करते हुए, संख्याओं को एक पंक्ति के नीचे लिखें। दूसरे भिन्न के ऊपरी और निचले हिस्सों को बदलना न भूलें (यह भिन्नों को विभाजित करने का नियम है)।

यदि आवश्यक हो, तो हम संख्याएँ कम कर देते हैं (नीचे दिए गए उदाहरण में हमने उन्हें पाँच और दो से कम कर दिया है)। हम पूरे भाग को हाइलाइट करके अनुचित भिन्न को परिवर्तित करते हैं।

बुनियादी भिन्न समस्याएँ छठी कक्षा

वीडियो में कुछ और कार्य दिखाए गए हैं। स्पष्टता के लिए उपयोग किया जाता है ग्राफिक छवियांऐसे समाधान जो आपको भिन्नों की कल्पना करने में मदद करेंगे।

स्पष्टीकरण के साथ भिन्न ग्रेड 6 को गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों का गुणन एक पंक्ति के नीचे लिखा जाता है। फिर उन्हें समान संख्याओं से विभाजित करके कम किया जाता है (उदाहरण के लिए, हर में 15 और अंश में 5 को पांच से विभाजित किया जा सकता है)।

अंशों की तुलना ग्रेड 6

भिन्नों की तुलना करने के लिए आपको दो सरल नियम याद रखने होंगे।

नियम 1. यदि हर भिन्न हैं

नियम 2. जब हर समान हों

उदाहरण के लिए, भिन्नों 7/12 और 2/3 की तुलना करें।

1. हम हरों को देखते हैं, वे मेल नहीं खाते। तो आपको एक सामान्य खोजने की जरूरत है।
2. भिन्नों के लिए, उभयनिष्ठ हर 12 है।
3. हम पहले 12 को पहले भिन्न के निचले भाग से विभाजित करते हैं: 12: 12 = 1 (यह पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड है)।
4. अब हम 12 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 4 मिलता है - अतिरिक्त। दूसरे अंश का गुणनखंड.
5. भिन्नों को परिवर्तित करने के लिए हम परिणामी संख्याओं को अंशों से गुणा करते हैं: 1 x 7 = 7 (पहला भिन्न: 7/12); 4 x 2 = 8 (दूसरा अंश: 8/12)।
6. अब हम तुलना कर सकते हैं: 7/12 और 8/12। यह निकला: 7/12< 8/12.

भिन्नों को बेहतर ढंग से दर्शाने के लिए, आप स्पष्टता के लिए चित्रों का उपयोग कर सकते हैं जहां किसी वस्तु को भागों में विभाजित किया गया है (उदाहरण के लिए, एक केक)। यदि आप 4/7 और 2/3 की तुलना करना चाहते हैं, तो पहले मामले में केक को 7 भागों में विभाजित किया गया है और उनमें से 4 का चयन किया गया है। दूसरे में, वे 3 भागों में विभाजित होते हैं और 2 लेते हैं। नग्न आंखों से यह स्पष्ट होगा कि 2/3 4/7 से बड़ा होगा।

प्रशिक्षण के लिए भिन्न ग्रेड 6 के उदाहरण

आप निम्नलिखित कार्यों को अभ्यास के रूप में पूरा कर सकते हैं।

• भिन्नों की तुलना करें

• गुणा करना

युक्ति: यदि भिन्नों के लिए न्यूनतम सामान्य हर ढूंढना मुश्किल है (विशेषकर यदि उनके मान छोटे हैं), तो आप पहले और दूसरे भिन्नों के हर को गुणा कर सकते हैं। उदाहरण: 2/8 और 5/9. उनका हर ज्ञात करना सरल है: 8 को 9 से गुणा करें, आपको 72 प्राप्त होता है।

छठी कक्षा के भिन्न वाले समीकरणों को हल करना

समीकरणों को हल करने के लिए भिन्नों के साथ संक्रियाओं को याद रखने की आवश्यकता होती है: गुणा, भाग, घटाव और जोड़। यदि कारकों में से एक अज्ञात है, तो उत्पाद (कुल) को ज्ञात कारक से विभाजित किया जाता है, अर्थात, अंशों को गुणा किया जाता है (दूसरा पलट दिया जाता है)।

यदि लाभांश अज्ञात है, तो हर को भाजक से गुणा किया जाता है, और भाजक को खोजने के लिए आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।

आइए कल्पना करें सरल उदाहरणसमीकरणों के समाधान:

यहां आपको केवल भिन्नों का अंतर उत्पन्न करने की आवश्यकता है, बिना किसी सामान्य हर की ओर ले जाए।

उत्तर अनुचित भिन्न के रूप में सामने आया। इसे 1 पूर्ण और 3/5 में बदला जा सकता है।

दूसरी विधि में, हर को पलटने के बजाय निचले हिस्से को रद्द करने के लिए अंश और हर को 4 से गुणा किया गया था।

यह आलेख भिन्नों पर संक्रियाओं की जाँच करता है। A B के रूप के भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग या घातांक के नियम बनाए जाएंगे और उन्हें उचित ठहराया जाएगा, जहां A और B संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हो सकते हैं। अंत में, विस्तृत विवरण वाले समाधानों के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने के नियम

संख्यात्मक भिन्न सामान्य रूप से देखेंजिसमें अंश और हर होते हैं पूर्णांकोंया संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. यदि हम भिन्नों पर विचार करें जैसे 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 एलएन 3, तो यह स्पष्ट है कि अंश और हर में न केवल संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के भाव भी हो सकते हैं।

परिभाषा 1

ऐसे नियम हैं जिनके द्वारा साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं। यह सामान्य भिन्नों के लिए भी उपयुक्त है:

• समान हर वाली भिन्नों को घटाने पर, केवल अंश जोड़े जाते हैं, और हर वही रहता है, अर्थात्: a d ± c d = a ± c d, मान a, c और d ≠ 0 कुछ संख्याएँ या संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं।
• विभिन्न हर वाले भिन्न को जोड़ते या घटाते समय, इसे एक सामान्य हर में घटाना आवश्यक है, और फिर समान घातांक वाले परिणामी भिन्न को जोड़ना या घटाना आवश्यक है। वस्तुतः यह इस तरह दिखता है: a b ± c d = a · p ± c · r s, जहां मान a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 वास्तविक संख्याएं हैं, और बी · पी = डी · आर = एस। जब पी = डी और आर = बी, तो ए बी ± सी डी = ए · डी ± सी · डी बी · डी।
• भिन्नों को गुणा करते समय, क्रिया अंशों के साथ की जाती है, उसके बाद हर के साथ, तब हमें a b · c d = a · c b · d प्राप्त होता है, जहाँ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 वास्तविक संख्याओं के रूप में कार्य करते हैं।
• किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करते समय, हम पहले को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, अर्थात, हम अंश और हर की अदला-बदली करते हैं: a b: c d = a b · d c।

नियमों का औचित्य

निम्नलिखित गणितीय बिंदु हैं जिन पर आपको गणना करते समय भरोसा करना चाहिए:

• स्लैश का अर्थ है विभाजन चिह्न;
• किसी संख्या से विभाजन को उसके पारस्परिक मान से गुणा माना जाता है;
• वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं की संपत्ति का अनुप्रयोग;
• भिन्नों और संख्यात्मक असमानताओं की मूल संपत्ति का अनुप्रयोग।

उनकी सहायता से, आप प्रपत्र में परिवर्तन कर सकते हैं:

ए डी ± सी डी = ए · डी - 1 ± सी · डी - 1 = ए ± सी · डी - 1 = ए ± सी डी ; ए बी ± सी डी = ए · पी बी · पी ± सी · आर डी · आर = ए · पी एस ± सी · ई एस = ए · पी ± सी · आर एस; ए बी · सीडी = ए · डी बी · डी · बी · सी बी · डी = ए · डी · ए · डी - 1 · बी · सी · बी · डी - 1 = = ए · डी · बी · सी · बी · डी - 1 · बी · डी - 1 = ए · डी · बी · सी बी · डी · बी · डी - 1 = = (ए · सी) · (बी · डी) - 1 = ए · सी बी · डी

उदाहरण

पिछले पैराग्राफ में भिन्नों के साथ संक्रियाओं के बारे में कहा गया था। इसके बाद भिन्न को सरल बनाने की आवश्यकता है। भिन्नों को परिवर्तित करने के अनुच्छेद में इस विषय पर विस्तार से चर्चा की गई थी।

सबसे पहले, आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

भिन्न 8 2, 7 और 1 2, 7 दिए जाने पर नियम के अनुसार अंश को जोड़ना और हर को फिर से लिखना आवश्यक है।

समाधान

तब हमें 8 + 1 2, 7 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। योग करने के बाद, हमें 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। तो, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3।

उत्तर: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

एक और उपाय है. आरंभ करने के लिए, हम एक साधारण भिन्न के रूप पर स्विच करते हैं, जिसके बाद हम सरलीकरण करते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण 2

आइए 1 - 2 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 से 2 3 3 · लघुगणक 2 3 · लघुगणक 2 5 + 1 का अंश घटाएँ।

चूँकि समान हर दिए गए हैं, इसका मतलब है कि हम समान हर वाले भिन्न की गणना कर रहे हैं। हमें वह मिल गया

1 - 2 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की गणना के उदाहरण हैं। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक सामान्य विभाजक को कम करना है। इसके बिना हम कार्य नहीं कर पाएंगे आगे की कार्रवाईभिन्नों के साथ.

यह प्रक्रिया अस्पष्ट रूप से एक सामान्य भाजक में कमी की याद दिलाती है। अर्थात्, हर में सबसे कम सामान्य भाजक की खोज की जाती है, जिसके बाद लुप्त कारकों को भिन्नों में जोड़ा जाता है।

यदि जोड़े जा रहे भिन्नों में उभयनिष्ठ गुणनखंड न हों तो उनका गुणनफल एक हो सकता है।

उदाहरण 3

आइए भिन्नों 2 3 5 + 1 और 1 2 को जोड़ने का उदाहरण देखें।

समाधान

इस मामले में, उभयनिष्ठ हर हरों का गुणनफल है। तब हमें वह 2 · 3 5 + 1 प्राप्त होता है। फिर, अतिरिक्त गुणनखंड निर्धारित करते समय, हमारे पास यह है कि पहले अंश के लिए यह 2 के बराबर है, और दूसरे के लिए यह 3 5 + 1 है। गुणन के बाद, भिन्नों को 4 2 · 3 5 + 1 के रूप में घटाया जाता है। 1 2 की सामान्य कमी 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 होगी। प्राप्त भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँइसे जोड़ें और हमें वह मिल जाएगा

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

उत्तर: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

जब हम सामान्य भिन्नों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हम आम तौर पर सबसे कम सामान्य विभाजक के बारे में बात नहीं करते हैं। अंशों के गुणनफल को हर के रूप में लेना लाभहीन है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि क्या कोई ऐसी संख्या है जिसका मूल्य उनके उत्पाद से कम है।

उदाहरण 4

आइए 1 6 · 2 1 5 और 1 4 · 2 3 5 के उदाहरण पर विचार करें, जब उनका गुणनफल 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 के बराबर है। फिर हम 12 · 2 3 5 को उभयनिष्ठ हर के रूप में लेते हैं।

आइए सामान्य भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण देखें।

उदाहरण 5

ऐसा करने के लिए, आपको 2 + 1 6 और 2 · 5 3 · 2 + 1 को गुणा करना होगा।

समाधान

नियम का पालन करते हुए अंशों के गुणनफल को हर के रूप में पुनः लिखना और लिखना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. एक बार भिन्न को गुणा करने के बाद, आप इसे सरल बनाने के लिए कटौती कर सकते हैं। फिर 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10।

व्युत्क्रम भिन्न द्वारा विभाजन से गुणन में संक्रमण के नियम का उपयोग करते हुए, हमें एक भिन्न प्राप्त होता है जो दिए गए अंश का व्युत्क्रम होता है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर की अदला-बदली की जाती है। आइए एक उदाहरण देखें:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

फिर उन्हें परिणामी भिन्न को गुणा और सरल करना होगा। यदि आवश्यक हो, तो हर में अतार्किकता से छुटकारा पाएं। हमें वह मिल गया

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

उत्तर: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

यह अनुच्छेद तब लागू होता है जब किसी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को 1 के बराबर हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ऐसे भिन्न के साथ संक्रिया को एक अलग अनुच्छेद माना जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 1 6 · 7 4 - 1 · 3 दर्शाता है कि 3 के मूल को किसी अन्य 3 1 व्यंजक से बदला जा सकता है। तब यह प्रविष्टि 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 के रूप के दो भिन्नों को गुणा करने जैसी दिखेगी।

चर वाले भिन्नों पर संक्रियाएँ निष्पादित करना

पहले लेख में चर्चा किए गए नियम चर वाले भिन्नों वाले संचालन पर लागू होते हैं। जब हर समान हों तो घटाव नियम पर विचार करें।

यह साबित करना आवश्यक है कि ए, सी और डी (डी शून्य के बराबर नहीं) कोई भी अभिव्यक्ति हो सकता है, और समानता ए डी ± सी डी = ए ± सी डी इसके अनुमेय मूल्यों की सीमा के बराबर है।

ODZ वेरिएबल्स का एक सेट लेना आवश्यक है। फिर A, C, D को संबंधित मान a 0 , c 0 और लेना होगा डी 0. फॉर्म A D ± C D के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप फॉर्म a 0 d 0 ± c 0 d 0 का अंतर आ जाता है, जहां, जोड़ नियम का उपयोग करते हुए, हमें फॉर्म a 0 ± c 0 d 0 का एक सूत्र प्राप्त होता है। यदि हम व्यंजक A ± C D को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें a 0 ± c 0 d 0 के रूप का वही भिन्न प्राप्त होता है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चयनित मान जो ODZ, A ± C D और A D ± C D को संतुष्ट करता है, बराबर माना जाता है।

चरों के किसी भी मान के लिए ये व्यंजक समान होंगे, अर्थात इन्हें सर्वसम समान कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि इस अभिव्यक्ति को A D ± C D = A ± C D के रूप की एक सिद्ध समानता माना जाता है।

चरों के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरण

जब आपके पास समान हर हों, तो आपको केवल अंशों को जोड़ने या घटाने की आवश्यकता होती है। इस अंश को सरल बनाया जा सकता है. कभी-कभी आपको उन भिन्नों के साथ काम करना पड़ता है जो समान रूप से समान होते हैं, लेकिन पहली नज़र में यह ध्यान देने योग्य नहीं है, क्योंकि कुछ परिवर्तन किए जाने चाहिए। उदाहरण के लिए, x 2 3 x 1 3 + 1 और x 1 3 + 1 2 या 1 2 पाप 2 α और पाप ए कॉस ए। अक्सर, समान हर को देखने के लिए मूल अभिव्यक्ति के सरलीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 6

गणना करें: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2), x - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 .

समाधान

1. गणना करने के लिए, आपको उन भिन्नों को घटाना होगा जिनका हर समान हो। तब हम पाते हैं कि x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2। जिसके बाद आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं और समान शब्द जोड़ सकते हैं। हम पाते हैं कि x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. चूँकि हर समान हैं, इसलिए हर को छोड़कर अंशों को जोड़ना बाकी है: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x +2)
   जोड़ने का काम पूरा हो चुका है. यह देखा जा सकता है कि अंश को कम करना संभव है। इसके अंश को योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है, तो हमें (l g x + 2) 2 मिलता है संक्षिप्त गुणन सूत्रों से. तब हमें वह मिलता है
   एल जी 2 एक्स + 4 + 2 एल जी एक्स एक्स (एल जी एक्स + 2) = (एल जी एक्स + 2) 2 एक्स (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स
3. विभिन्न हरों के साथ x - 1 x - 1 + x x + 1 के रूप में भिन्न दिए गए हैं। परिवर्तन के बाद, आप जोड़ पर आगे बढ़ सकते हैं।

आइए दोहरे समाधान पर विचार करें।

पहली विधि यह है कि पहले अंश के हर को वर्गों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जाता है, इसके बाद इसकी कमी की जाती है। हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है

एक्स - 1 एक्स - 1 = एक्स - 1 (एक्स - 1) एक्स + 1 = 1 एक्स + 1

तो x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1।

इस मामले में, हर में अतार्किकता से छुटकारा पाना आवश्यक है।

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दूसरी विधि दूसरे अंश के अंश और हर को अभिव्यक्ति x - 1 से गुणा करना है। इस प्रकार, हम अतार्किकता से छुटकारा पा लेते हैं और समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने की ओर आगे बढ़ते हैं। तब

एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स - 1 = = एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स - एक्स एक्स - 1 = एक्स - 1 + एक्स · एक्स - एक्स एक्स - 1

उत्तर: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (एल जी एक्स + 2) = एल जी एक्स + 2 एक्स, 3) एक्स - 1 एक्स - 1 + एक्स एक्स + 1 = एक्स - 1 + एक्स · एक्स - एक्स एक्स - 1।

पिछले उदाहरण में हमने पाया कि एक सामान्य हर में कमी अपरिहार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को सरल बनाना होगा। जोड़ते या घटाते समय, आपको हमेशा एक सामान्य हर की तलाश करनी होगी, जो अंशों में जोड़े गए अतिरिक्त कारकों के साथ हर के उत्पाद जैसा दिखता है।

उदाहरण 7

भिन्नों के मानों की गणना करें: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - पाप x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

समाधान

1. हर को किसी भी जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको 3 x 7 + 2 · 2 के रूप में उनके उत्पाद को चुनने की आवश्यकता है, फिर अतिरिक्त कारक के रूप में पहले अंश के लिए x 7 + 2 · 2 चुनें, और दूसरे के लिए 3 चुनें। गुणा करने पर, हमें x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = = x x 7 + 2 2 + 3 3 के रूप का एक अंश प्राप्त होता है। x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. यह देखा जा सकता है कि हर को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अतिरिक्त परिवर्तन अनावश्यक हैं। सामान्य हर को x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 के रूप का गुणनफल माना जाएगा। अत: x 4 पहले भिन्न का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, और ln(x + 1) दूसरे को. फिर हम घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - पाप x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - पाप x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - पाप x · ln (x + 1 ) x 5 · एलएन 2 (एक्स + 1) · (2 ​​एक्स - 4) = एक्स · एक्स 4 + एक्स 4 - सिन एक्स · एलएन (एक्स + 1) एक्स 5 · एलएन 2 (एक्स + 1) · ( 2x - 4 )
3. भिन्न हर के साथ काम करते समय यह उदाहरण समझ में आता है। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के लिए सूत्रों को लागू करना आवश्यक है, क्योंकि वे फॉर्म 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) की अभिव्यक्ति पर आगे बढ़ना संभव बना देंगे एक्स) 2. यह देखा जा सकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है। हम पाते हैं कि cos x - x · cos x + x 2।

तब हमें वह मिलता है

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = = कॉस x + x + कॉस x - x कॉस x - x कॉस x + x 2 = 2 कॉस x कॉस

उत्तर:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - पाप x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - पाप x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2।

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है। फिर आप कमी संपत्ति लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 8

भिन्नों को x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 और 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 syn 2 · x - x से गुणा करें।

समाधान

गुणा-भाग करना होगा. हमें वह मिल गया

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 एलएन एक्स + 1 पाप (2 एक्स - एक्स)

गणना की सुविधा के लिए संख्या 3 को पहले स्थान पर ले जाया जाता है, और आप अंश को x 2 से कम कर सकते हैं, फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 x - x)

उत्तर: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · पाप (2 · एक्स - एक्स) .

विभाजन

भिन्नों का विभाजन गुणन के समान है, क्योंकि पहले भिन्न को दूसरे व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। यदि हम उदाहरण के लिए भिन्न x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 लेते हैं और 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 syn 2 x - x से विभाजित करते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 पाप (2 · x - x), फिर x + 2 · x x के रूप के गुणनफल से बदलें 2 · एलएन एक्स 2 एलएन एक्स + 1 3 एक्स 2 1 3 एक्स + 1 - 2 पाप (2 एक्स - एक्स)

घातांक

आइए घातांक के साथ सामान्य भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। यदि प्राकृतिक घातांक के साथ कोई घात हो तो क्रिया को समान भिन्नों का गुणन माना जाता है। लेकिन इसका उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है सामान्य पहूंच, डिग्री के गुणों के आधार पर। कोई भी अभिव्यक्ति ए और सी, जहां सी बिल्कुल शून्य के बराबर नहीं है, और फॉर्म ए सी आर की अभिव्यक्ति के लिए ओडीजेड पर कोई भी वास्तविक आर समानता ए सी आर = ए आर सी आर मान्य है। परिणाम एक घात तक बढ़ा हुआ अंश है। उदाहरण के लिए, विचार करें:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

भिन्नों के साथ संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया

भिन्नों पर संक्रियाएँ कुछ नियमों के अनुसार की जाती हैं। व्यवहार में, हम देखते हैं कि एक अभिव्यक्ति में कई भिन्न या भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं। फिर इसमें सभी क्रियाएं करना आवश्यक है सख्त क्रम में: एक घात तक बढ़ाएं, गुणा करें, भाग दें, फिर जोड़ें और घटाएं। यदि कोष्ठक हैं, तो पहली क्रिया उनमें की जाती है।

उदाहरण 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x की गणना करें।

समाधान

चूंकि हमारे पास है एक ही भाजक, फिर 1 - x cos x और 1 c o s x , लेकिन नियम के अनुसार घटाव नहीं किया जा सकता है; पहले, कोष्ठक में संक्रियाएं की जाती हैं, फिर गुणा किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। फिर गणना करने पर हमें वह प्राप्त होता है

1 + 1 एक्स = 1 1 + 1 एक्स = एक्स एक्स + 1 एक्स = एक्स + 1 एक्स

व्यंजक को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x। भिन्नों को गुणा करने पर हमें मिलता है: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x। सभी प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें 1 - x cos x - x + 1 cos x · x प्राप्त होता है। अब आपको भिन्नों के साथ काम करने की आवश्यकता है विभिन्न भाजक. हम पाते हैं:

एक्स · 1 - एक्स कॉस एक्स · एक्स - एक्स + 1 कॉस एक्स · एक्स = एक्स · 1 - एक्स - 1 + एक्स कॉस एक्स · एक्स = = एक्स - एक्स - एक्स - 1 कॉस एक्स · एक्स = - एक्स + 1 कॉस एक्स एक्स

उत्तर: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x।

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निर्देश

एक सामान्य भाजक में कमी.

मान लीजिए भिन्न a/b और c/d दिए गए हैं।

पहले भिन्न के अंश और हर को LCM/b से गुणा किया जाता है

दूसरे भिन्न के अंश और हर को LCM/d से गुणा किया जाता है

एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है.

भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक सामान्य हर में जोड़ना होगा, फिर अंशों की तुलना करनी होगी। उदाहरण के लिए, 3/4< 4/5, см. .

भिन्नों को जोड़ना और घटाना.

दो का योग ज्ञात करना साधारण अंशउन्हें एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता है, फिर अंश जोड़े जाते हैं, हर अपरिवर्तित रहता है। भिन्न 1/2 और 1/3 को जोड़ने का एक उदाहरण चित्र में दिखाया गया है।

इसी प्रकार भिन्नों का अंतर ज्ञात किया जाता है, उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के बाद भिन्नों के अंशों को घटा दिया जाता है, चित्र देखें।

साधारण भिन्नों को गुणा करते समय अंश और हर को एक साथ गुणा किया जाता है।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, दूसरे भिन्न का एक अंश आवश्यक है, अर्थात। इसके अंश और हर को बदलें, और फिर परिणामी भिन्नों को गुणा करें।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• एक उदाहरण का उपयोग करके अंश ग्रेड 5
• मूल भिन्न समस्याएँ

मापांकअभिव्यक्ति के निरपेक्ष मान का प्रतिनिधित्व करता है। किसी मॉड्यूल को दर्शाने के लिए सीधे ब्रैकेट का उपयोग किया जाता है। उनमें निहित मूल्यों को मॉड्यूलो माना जाता है। मॉड्यूल को हल करने में कुछ नियमों के अनुसार कोष्ठक खोलना और अभिव्यक्ति मूल्यों का सेट ढूंढना शामिल है। ज्यादातर मामलों में, मॉड्यूल को इस तरह से विस्तारित किया जाता है कि सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति को शून्य मान सहित कई सकारात्मक और नकारात्मक मान प्राप्त होते हैं। मॉड्यूल के इन गुणों के आधार पर, मूल अभिव्यक्ति के आगे के समीकरणों और असमानताओं को संकलित और हल किया जाता है।

निर्देश

के साथ मूल समीकरण लिखें। ऐसा करने के लिए, मॉड्यूल खोलें. प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति पर विचार करें। निर्धारित करें कि इसमें शामिल अज्ञात मात्राओं के किस मान पर मॉड्यूलर कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है।

ऐसा करने के लिए, सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण खोजें। जो मान आप पाते हैं उन्हें लिख लें। इसी प्रकार, दिए गए समीकरण में प्रत्येक मॉड्यूल के लिए अज्ञात चर के मान निर्धारित करें।

एक संख्या रेखा खींचें और परिणामी मानों को उस पर अंकित करें। शून्य मॉड्यूल में चर के मान मॉड्यूलर समीकरण को हल करते समय बाधाओं के रूप में काम करेंगे।

मूल समीकरण में, आपको चिह्न को बदलते हुए, मॉड्यूलर का विस्तार करने की आवश्यकता है ताकि चर के मान संख्या रेखा पर प्रदर्शित मानों के अनुरूप हों। परिणामी समीकरण को हल करें. मॉड्यूल द्वारा निर्दिष्ट बाधा के विरुद्ध चर के पाए गए मान की जाँच करें। यदि समाधान शर्त को पूरा करता है, तो यह सत्य है। जो जड़ें प्रतिबंधों को पूरा नहीं करतीं उन्हें त्याग देना चाहिए।

इसी प्रकार, चिह्न को ध्यान में रखते हुए मूल अभिव्यक्ति के मॉड्यूल का विस्तार करें और परिणामी समीकरण की जड़ों की गणना करें। उन सभी परिणामी मूलों को लिखिए जो बाधा असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

भिन्नात्मक संख्याओं को विभिन्न तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है सही मूल्यमात्राएँ. आप भिन्नों के साथ वही गणित कार्य कर सकते हैं जो आप पूर्ण संख्याओं के साथ कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेना सीखना अंशों, हमें उनकी कुछ विशेषताएं याद रखनी चाहिए। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य हर। कुछ अंकगणितीय आपरेशनसनिष्पादन के बाद उन्हें परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

निर्देश

संख्याओं को ध्यान से देखें. यदि भिन्नों के बीच दशमलव और अनियमित अंश हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ संक्रिया करना और फिर उन्हें अनियमित रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारंभ में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक विभाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। जिन भिन्नों का पूरा भाग पृथक है उन्हें हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए। मूल्य दिया गयानया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभिक रूप से गलत भाग में से एक संपूर्ण भाग का चयन करना अंशों, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाएगा अंशोंयह नहीं बदलता. पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, अलग-अलग क्रियाएं करना संभव है, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 ¾ के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को ग़लत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- पदों के अलग-अलग पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

पंक्ति के नीचे मानों के लिए, उभयनिष्ठ हर खोजें। उदाहरण के लिए, 5/9 और 7/12 के लिए उभयनिष्ठ हर 36 होगा। इसके लिए पहले का अंश और हर अंशोंआपको 4 से गुणा करना होगा (आपको 28/36 मिलेगा), और दूसरे को 3 से गुणा करना होगा (आपको 15/36 मिलेगा)। अब आप गणना कर सकते हैं.

यदि आप भिन्नों के योग या अंतर की गणना करने जा रहे हैं, तो पहले पाए गए सामान्य हर को पंक्ति के नीचे लिखें। अंशों के बीच आवश्यक क्रियाएं करें, और परिणाम को नई पंक्ति के ऊपर लिखें अंशों. इस प्रकार, नया अंश मूल भिन्नों के अंशों का अंतर या योग होगा।

भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, भिन्नों के अंशों को गुणा करें और अंतिम के अंश के स्थान पर परिणाम लिखें अंशों. हरों के लिए भी ऐसा ही करें. एक को बाँटते समय अंशोंएक भिन्न को दूसरे भिन्न पर लिखें, और फिर उसके अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। इस मामले में, पहले का हर अंशोंतदनुसार दूसरे अंश से गुणा किया जाता है। ऐसे में एक तरह की क्रांति घटित होती है अंशों(विभाजक). अंतिम भिन्न दोनों भिन्नों के अंश और हर को गुणा करने का परिणाम होगा। इसे सीखना कठिन नहीं है अंशों, "चार मंजिला" के रूप में शर्त में लिखा अंशों. यदि यह दो को अलग करता है अंशों, ":" विभाजक का उपयोग करके उन्हें फिर से लिखें और सामान्य विभाजन के साथ जारी रखें।

पाने के लिए अंतिम परिणामअंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक होने चाहिए।

टिप्पणी

उन भिन्नों के साथ अंकगणित न करें जिनके हर भिन्न हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब आप प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा करें, तो परिणाम यह हो कि दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय लाभांश रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न के अंश के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। भिन्न का भाजक, या हर, रेखा के नीचे लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 ½ किलोग्राम चावल। यदि भिन्न का हर 10 है, तो भिन्न को दशमलव कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है, अल्पविराम से अलग किया जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना में आसानी के लिए, ऐसे अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्णांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं। में इस उदाहरण में 2 से विभाजित किया जा सकता है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि जिन संख्याओं के साथ आप अंकगणित करने जा रहे हैं वे उसी रूप में प्रस्तुत किए गए हैं।

निर्देश

"सम्मिलित करें" मेनू आइटम पर एक बार क्लिक करें, फिर "प्रतीक" चुनें। यह सर्वाधिक में से एक है सरल तरीकेआवेषण अंशोंपाठ में. इसमें निम्नलिखित शामिल हैं. तैयार प्रतीकों के सेट में शामिल हैं अंशों. उनकी संख्या, एक नियम के रूप में, छोटी है, लेकिन यदि आपको पाठ में 1/2 के बजाय ½ लिखने की आवश्यकता है, तो यह विकल्प आपके लिए सबसे इष्टतम होगा। इसके अलावा, अंश वर्णों की संख्या फ़ॉन्ट पर निर्भर हो सकती है। उदाहरण के लिए, टाइम्स न्यू रोमन फ़ॉन्ट के लिए समान एरियल की तुलना में थोड़े कम अंश हैं। जब बात सबसे अच्छे विकल्प की हो तो उसे खोजने के लिए फ़ॉन्ट में बदलाव करें सरल भाव.

"इन्सर्ट" मेनू आइटम पर क्लिक करें और "ऑब्जेक्ट" उप-आइटम चुनें। सम्मिलित करने के लिए संभावित वस्तुओं की सूची के साथ आपके सामने एक विंडो दिखाई देगी। उनमें से Microsoft समीकरण 3.0 चुनें। यह ऐप आपको टाइप करने में मदद करेगा अंशों. और न केवल अंशों, लेकिन जटिल भी गणितीय अभिव्यक्तियाँ, जिसमें विभिन्न शामिल हैं त्रिकोणमितीय कार्यऔर अन्य तत्व. बाईं माउस बटन से इस ऑब्जेक्ट पर डबल-क्लिक करें। आपके सामने एक विंडो खुलेगी जिसमें कई सिंबल होंगे।

भिन्न को मुद्रित करने के लिए, खाली अंश और हर के साथ भिन्न का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक का चयन करें। बाईं माउस बटन से एक बार उस पर क्लिक करें। एक अतिरिक्त मेनू दिखाई देगा, जो योजना को स्पष्ट करेगा। अंशों. कई विकल्प हो सकते हैं. जो आपको सबसे अच्छा लगे उसे चुनें और बाईं माउस बटन से उस पर एक बार क्लिक करें।

भिन्नों को गुणा करना और विभाजित करना।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. एक अनुस्मारक के रूप में, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! उसकी यहां कोई जरूरत नहीं...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको उलटा करना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

उदाहरण के लिए:

यदि आपको पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग मिलता है, तो यह ठीक है। जोड़ की तरह, हम हर में एक लेकर पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और आगे बढ़ते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

मैं इस अंश को सभ्य कैसे बना सकता हूँ? हाँ, बहुत सरल! दो-बिंदु विभाजन का उपयोग करें:

लेकिन विभाजन के क्रम के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। उदाहरण के लिए कृपया ध्यान दें:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आपको फर्क महसूस होता है? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या तो कोष्ठक के साथ, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज रेखाओं की लंबाई के साथ। अपनी आँख विकसित करें. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर विभाजित करें और गुणा करें क्रम से, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण तकनीक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके बहुत काम आएगा! आइए एक को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और ऐसा हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ संचालन के लिए बस इतना ही। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन यह पर्याप्त से अधिक त्रुटियां देती है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और उनमें (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह अत्यंत आवश्यक है! एकीकृत राज्य परीक्षा में सभी गणनाएँ एक पूर्ण, केंद्रित और स्पष्ट कार्य के रूप में करें। मानसिक गणना करते समय गड़बड़ करने से बेहतर है कि आप अपने ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखें।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक वे बंद न हो जाएं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से पूरा करना होगा। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सुझावों का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें...

याद रखें - सही उत्तर है दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त समय की गिनती नहीं होती!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह पहले से ही एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी है। हम उदाहरण हल करते हैं, जाँचते हैं, अगला हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

गणना करें:

क्या आपने निर्णय लिया है?

हम ऐसे उत्तर ढूंढ रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने जानबूझकर, प्रलोभन से दूर, उन्हें अव्यवस्थित तरीके से लिखा, ऐसा कहा जा सकता है... यहां वे उत्तर हैं, जो अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

अब हम निष्कर्ष निकालते हैं. यदि सब कुछ ठीक रहा, तो मुझे आपके लिए खुशी होगी! भिन्नों के साथ बुनियादी गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं...

तो आपके पास दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।