ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക വലിയ സംഖ്യ- എളുപ്പമുള്ള കാര്യമല്ല.നാലോ അഞ്ചോ അക്ക സംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ മിക്കവർക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ട്. പ്രക്രിയ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, രണ്ട് നിരകൾക്ക് മുകളിൽ നമ്പർ എഴുതുക.

• 6552 എന്ന സംഖ്യയെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം.

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
ഒരു ദ്വിപദത്തെ വർഗ്ഗീകരിച്ച് അതിനെ ഘടകമാക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം.

ആ. \(p, q\) കൂടാതെ \(n, m\) എന്നീ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾ ചുരുങ്ങുന്നു.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം മാത്രമല്ല, പരിഹാര പ്രക്രിയയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് പരിശോധനകൾകൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരങ്ങളുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താൻ കഴിയും, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

ഏത് ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്തിനും ഒരു വേരിയബിളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണത്തിന്: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) മുതലായവ.

സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണമായോ ഭിന്നസംഖ്യയായോ നൽകാം.
മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു ദശാംശത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ മാത്രമല്ല, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലും നൽകാം.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരു കാലയളവ് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് പ്രവേശിക്കാം ദശാംശങ്ങൾഇതുപോലെ: 2.5x - 3.5x^2

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
മുഴുവൻ ഭാഗവും ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആമ്പർസാൻഡ് ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ഫലം: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസ് ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗം ആദ്യം ലളിതമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ഉദാഹരണം വിശദമായ പരിഹാരം

ഒരു ദ്വിപദത്തിൻ്റെ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \വലത്)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ഇടത് (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\ഇടത്(x+\frac(1)(2) \വലത്)^2-\frac(9)(2) $$ ഉത്തരം:$$2x^2+2x-4 = 2\ഇടത്(x+\frac(1)(2) \വലത്)^2-\frac(9)(2) $$ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\ഇടത്(x^2+x-2 \വലത്) = $$
$$ 2 \ഇടത്(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \ഇടത്(x \ഇടത്(x +2 \വലത്) -1 \ഇടത്(x +2 \വലത്) ) \വലത്) = $$ $$ 2 \ഇടത്(x -1 \വലത്) \ഇടത്(x +2 \വലത്) $$ ഉത്തരം:$$2x^2+2x-4 = 2 \ഇടത്(x -1 \വലത്) \ഇടത്(x +2 \വലത്) $$

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും, പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറുള്ള ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കൻ്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്ന് ഒരു ദ്വിപദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ ax 2 +bx+c എന്നത് a(x+p) 2 +q ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, p, q എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ പറയുന്നത് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ, ബൈനോമിയലിൻ്റെ ചതുരം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

2x 2 +12x+14 എന്ന ട്രൈനോമിയലിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ബൈനോമിയലിൻ്റെ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 6x എന്നത് 2*3*x ൻ്റെ ഉൽപ്പന്നമായി സങ്കൽപ്പിക്കുക, തുടർന്ന് 3 2 ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

അത്. ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദത്തിൽ നിന്ന് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ദ്വിപദം വേർതിരിച്ചെടുക്കുക, അത് കാണിച്ചു:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്

സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ ax 2 +bx+c, a(x+n)(x+m) എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, n, m എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം നടത്തിയതായി പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഘടകവൽക്കരണം.

ഈ പരിവർത്തനം എങ്ങനെയാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ കാണിക്കാം.

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ 2x 2 +4x-6 ഫാക്ടർ ചെയ്യാം.

നമുക്ക് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുക്കാം, അതായത്. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 2x വ്യത്യാസം 3x-1x ആയും -3 എന്നത് -1*3 ആയും സങ്കൽപ്പിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

അത്. ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഘടകം, അത് കാണിച്ചു:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് സാധ്യമാകുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഈ ത്രിപദത്തിന് അനുസൃതമായി വേരുകളുണ്ട്.
ആ. നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ, 2x 2 +4x-6 =0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ട്രിനോമിയൽ 2x 2 +4x-6 ഫാക്ടർ ചെയ്യാം. ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ പ്രക്രിയയിൽ, 2x 2 + 4x-6 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് 1, -3 എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചു, കാരണം ഈ മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം, 2(x-1)(x+3)=0 എന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമത്വമായി മാറുന്നു.

ഫാക്ടറിംഗ് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഘടകം എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഒരു നമ്പർ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

സംഖ്യ 8 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

8 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് 4 ൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

8 നെ 2 * 4 ൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ എന്നാണ്.

ഇത് 8 ൻ്റെ ഒരേയൊരു ഘടകം അല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

എല്ലാത്തിനുമുപരി, 4 ഇതുപോലെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് 8 പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

നമ്മുടെ ഉത്തരം പരിശോധിക്കാം. ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ഇതിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ നമ്പർ ലഭിച്ചു, ഉത്തരം ശരിയാണ്.

24 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക

24 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ഒരു സംഖ്യയെ ഒന്നായി മാത്രം ഹരിച്ചാൽ അതിനെ പ്രൈം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

8-നെ 3-ൻ്റെ ഗുണനമായി 8-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഇവിടെ 24 എന്ന സംഖ്യ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അസൈൻമെൻ്റ് പറയുന്നത് "24 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക", അതായത്. അത് ആവശ്യമായ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാണ്. ഞങ്ങളുടെ വികാസത്തിൽ, 3 ഒരു പ്രധാന ഘടകമാണ്, 8 ഒരു പ്രധാന ഘടകമല്ല.

ഈ ലേഖനം ഒരു ഷീറ്റിൽ ഒരു സംഖ്യയെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം പൊതു ആശയംഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം വിഘടിപ്പിക്കലിനെക്കുറിച്ച്. വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപവും അതിൻ്റെ അൽഗോരിതവും നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം. എല്ലാ ഇതര രീതികളും ഡിവിസിബിലിറ്റി ചിഹ്നങ്ങളും ഗുണന പട്ടികകളും ഉപയോഗിച്ച് പരിഗണിക്കും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ആശയം നോക്കാം. എല്ലാ പ്രധാന ഘടകവും ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണെന്ന് അറിയാം. 2 · 7 · 7 · 23 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നമുക്ക് 2, 7, 7, 23 ഫോമിൽ 4 പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.

പ്രൈമുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ അതിൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യം ഫാക്ടറൈസേഷനിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് 30 എന്ന സംഖ്യ വിഘടിപ്പിക്കണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് 2, 3, 5 ലഭിക്കും. എൻട്രി 30 = 2 · 3 · 5 എന്ന ഫോം എടുക്കും. ഗുണിതങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. 144 പോലെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയ്ക്ക് 144 = 2 2 2 2 3 3 ഉണ്ട്.

എല്ലാ സംഖ്യകളും ക്ഷയിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല. 1-ൽ കൂടുതലുള്ളതും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുള്ളതുമായ സംഖ്യകൾ ഫാക്ടർ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. പ്രധാന സംഖ്യകൾ, ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ, 1 കൊണ്ടും അവ കൊണ്ടും മാത്രമേ ഹരിക്കാനാകൂ, അതിനാൽ ഈ സംഖ്യകളെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

z എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, അത് a, b എന്നിവയുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ z-നെ a, b എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് സംയോജിത സംഖ്യകൾ ഘടകം ചെയ്യുന്നത്. സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ p 1, p 2, ..., p n a = p 1, p 2, ..., p n എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു . വിഘടനം ഒരൊറ്റ വേരിയൻ്റിലാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി ഒരു സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ ഫാക്ടറൈസേഷൻ

വിപുലീകരണ സമയത്ത്, ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒതുക്കത്തോടെയാണ് അവ എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. a എന്ന സംഖ്യയെ വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് p 1 എന്ന ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് s 1 തവണയും p n – s n തവണയും സംഭവിക്കുന്നു. അങ്ങനെ വിപുലീകരണത്തിന് രൂപം നൽകും a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. ഈ എൻട്രിയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ ഫാക്ടറൈസേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

609840 എന്ന സംഖ്യ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 ലഭിക്കും, അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 ആയിരിക്കും. കാനോനിക്കൽ എക്സ്പാൻഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും അവയുടെ സംഖ്യയും കണ്ടെത്താനാകും.

ശരിയായി ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുന്നതിന്, പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ധാരണ ഉണ്ടായിരിക്കണം. p 1, p 2, ..., p n എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഡിവൈസറുകളുടെ തുടർച്ചയായ എണ്ണം നേടുക എന്നതാണ് പോയിൻ്റ് സംഖ്യകൾ a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, ഇത് ലഭിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു a = p 1 a 1, എവിടെ a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , എവിടെ a 2 = a 1: p 2 , ... , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , എവിടെ a n = a n - 1: p n. രസീത് മേൽ a n = 1, പിന്നെ സമത്വം a = p 1 · p 2 · … · p nപ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് a എന്ന സംഖ്യയുടെ ആവശ്യമായ വിഘടനം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. z എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്. പ്രധാന സംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 11 മുതലായവ എടുക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യകൾ z കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ. z ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയല്ലാത്തതിനാൽ, ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ z-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കില്ല എന്നത് കണക്കിലെടുക്കണം. z ൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെന്ന് കാണാൻ കഴിയും, അപ്പോൾ z ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

87 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഉദാഹരണം നോക്കാം. അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 87: 2 = 43 1 ൻ്റെ ശേഷിക്കുന്നു. 2 ഒരു വിഭജനമാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു; വിഭജനം പൂർണ്ണമായും ചെയ്യണം. 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 87: 3 = 29 ലഭിക്കും. അതിനാൽ 87 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ 3 ആണെന്നാണ് നിഗമനം.

പ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കണം, അവിടെ a. 95 ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഏകദേശം 10 പ്രൈമുകളും 846653 ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുമ്പോൾ ഏകദേശം 1000 ഉം ഉപയോഗിക്കണം.

വിഘടിപ്പിക്കൽ അൽഗോരിതം പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

• ഒരു സംഖ്യയുടെ p 1 എന്ന ഡിവൈസർ ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നു എ a 1 = a: p 1 എന്ന ഫോർമുല പ്രകാരം, a 1 = 1, പിന്നെ a ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയും ഘടകവൽക്കരണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, 1 ന് തുല്യമല്ലാത്തപ്പോൾ, a = p 1 · a 1 താഴെയുള്ള പോയിൻ്റിലേക്ക് പിന്തുടരുക;
• a 1 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 2 കണ്ടെത്തുന്നു ഒരു 2 = a 1: p 2 ഉപയോഗിച്ച് പ്രൈം നമ്പറുകൾ തുടർച്ചയായി എണ്ണുന്നതിലൂടെ , എ 2 = 1 ആകുമ്പോൾ , അപ്പോൾ വികാസം a = p 1 p 2 എന്ന രൂപമെടുക്കും , a 2 = 1 ആകുമ്പോൾ, a = p 1 p 2 a 2 , ഞങ്ങൾ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു;
• അഭാജ്യ സംഖ്യകളിലൂടെ തിരയുകയും ഒരു പ്രധാന ഹരണം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു പി 3സംഖ്യകൾ ഒരു 2 a 3 = a 2: p 3 എന്ന ഫോർമുല പ്രകാരം a 3 = 1 , അപ്പോൾ നമുക്ക് a = p 1 p 2 p 3 ലഭിക്കും , 1 ന് തുല്യമല്ലാത്തപ്പോൾ, a = p 1 p 2 p 3 a 3 അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക;
• പ്രധാന വിഭജനം കണ്ടെത്തി പി എൻസംഖ്യകൾ a n - 1ഉപയോഗിച്ച് അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കി pn - 1, ഒപ്പം a n = a n - 1: p n, ഇവിടെ a n = 1, ഘട്ടം അന്തിമമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് a = p 1 · p 2 · ... · p n ലഭിക്കുന്നു .

ഒരു നിരയിൽ ക്രമാനുഗതമായി ലംബ ബാർ ഉപയോഗിച്ച് വിഘടിപ്പിച്ച ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഫലം എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

അക്കങ്ങളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അൽഗോരിതം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്റ്റർ ചെയ്യുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാന അൽഗോരിതം പിന്തുടരേണ്ടതാണ്.

ഉദാഹരണം 2

78 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.

പരിഹാരം

ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ 78-ലെ എല്ലാ പ്രൈം നമ്പറുകളിലൂടെയും പോകേണ്ടതുണ്ട്. അതായത് 78: 2 = 39. ബാക്കിയില്ലാത്ത വിഭജനം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇതാണ് ആദ്യത്തെ ലളിതമായ വിഭജനം, ഇത് ഞങ്ങൾ p 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 എന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. a = p 1 · a 1 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയിൽ ഞങ്ങൾ എത്തി , ഇവിടെ 78 = 2 39. അപ്പോൾ a 1 = 39, അതായത്, നമ്മൾ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകണം.

പ്രധാന വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നമുക്ക് ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം p2സംഖ്യകൾ a 1 = 39. നിങ്ങൾ പ്രധാന സംഖ്യകളിലൂടെ പോകണം, അതായത്, 39: 2 = 19 (ബാക്കി 1). ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം കൊണ്ട് വിഭജിച്ചതിനാൽ, 2 ഒരു ഹരമല്ല. നമ്പർ 3 തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 39: ​​3 = 13 ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം p 2 = 3 എന്നത് 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 കൊണ്ട് 39 ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ ആണ്. ഫോമിൻ്റെ തുല്യത നമുക്ക് ലഭിക്കും a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 എന്ന രൂപത്തിൽ. ഒരു 2 = 13 എന്നത് 1 ന് തുല്യമല്ല, തുടർന്ന് നമ്മൾ മുന്നോട്ട് പോകണം.

a 2 = 13 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ 3-ൽ തുടങ്ങി സംഖ്യകളിലൂടെ തിരഞ്ഞാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. നമുക്ക് 13: 3 = 4 (ബാക്കി 1) ലഭിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 13 നെ 5, 7, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകില്ല, കാരണം 13: 5 = 2 (വിശ്രമം. 3), 13: 7 = 1 (വിശ്രമം. 6), 13: 11 = 1 (വിശ്രമം 2) . 13 ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് കാണാം. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. ഒരു 3 = 1 എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അതായത് അൽഗോരിതം പൂർത്തീകരണം. ഇപ്പോൾ ഘടകങ്ങൾ 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: 78 = 2 3 13.

ഉദാഹരണം 3

83,006 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.

പരിഹാരം

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ഉൾപ്പെടുന്നു p 1 = 2ഒപ്പം a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ഇവിടെ 83,006 = 2 · 41,503.

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം അനുമാനിക്കുന്നത് a 1 = 41,503 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് 2, 3, 5 എന്നിവ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളല്ല, എന്നാൽ 7 ഒരു പ്രൈം ഡിവൈസർ ആണ്, കാരണം 41,503: 7 = 5,929. p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929 എന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. വ്യക്തമായും, 83,006 = 2 7 5 929.

a 3 = 847 എന്ന സംഖ്യയിലേക്കുള്ള p 4 ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്തുന്നത് 7 ആണ്. a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, അതിനാൽ 83 006 = 2 7 7 7 121 എന്ന് കാണാം.

a 4 = 121 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ 11 എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, p 5 = 11. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, കൂടാതെ 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

നമ്പറിനായി a 5 = 11നമ്പർ പി 6 = 11ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ ആണ്. അതിനാൽ a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. അപ്പോൾ a 6 = 1. ഇത് അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പൂർത്തീകരണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഘടകങ്ങൾ 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 ആയി എഴുതപ്പെടും.

ഉത്തരത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 എന്ന ഫോം എടുക്കും.

ഉത്തരം: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

ഉദാഹരണം 4

897,924,289 എന്ന സംഖ്യ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം

ആദ്യത്തെ അഭാജ്യ ഘടകം കണ്ടെത്താൻ, 2 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന പ്രധാന സംഖ്യകളിലൂടെ തിരയുക. തിരച്ചിലിൻ്റെ അവസാനം 937 എന്ന നമ്പറിൽ സംഭവിക്കുന്നു. അപ്പോൾ p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297, 897 924 289 = 937 958 297.

അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടം ചെറിയ പ്രൈം നമ്പറുകളിൽ ആവർത്തിക്കുക എന്നതാണ്. അതായത്, നമ്മൾ 937 എന്ന നമ്പറിൽ തുടങ്ങുന്നു. 1 = 958,297 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഡിവൈസർ ആയതിനാൽ 967 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ആയി കണക്കാക്കാം. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് p 2 = 967, തുടർന്ന് a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991, 897 924 289 = 937 967 991 എന്നിവ ലഭിക്കും.

991-ൽ കവിയാത്ത ഒരു പ്രധാന ഘടകം ഇല്ലാത്തതിനാൽ 991 ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം പറയുന്നു. സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം 991 ആണ്< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . ഇത് p 3 = 991 ഉം a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 ഉം കാണിക്കുന്നു. 897 924 289 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് 897 924 289 = 937 967 991 ആയി ലഭിച്ചതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഉത്തരം: 897 924 289 = 937 967 991.

പ്രൈം ഫാക്‌ടറൈസേഷനായി ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ, നിങ്ങൾ ഒരു അൽഗോരിതം പിന്തുടരേണ്ടതുണ്ട്. ചെറിയ സംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ, ഗുണനപ്പട്ടികയും വിഭജന ചിഹ്നങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നത് അനുവദനീയമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹിതം ഇത് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 5

10 ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, പട്ടിക കാണിക്കുന്നു: 2 · 5 = 10. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ 2 ഉം 5 ഉം പ്രധാന സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ അവ 10 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാണ്.

ഉദാഹരണം 6

നമ്പർ 48 വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, പട്ടിക കാണിക്കുന്നു: 48 = 6 8. എന്നാൽ 6, 8 എന്നിവ പ്രധാന ഘടകങ്ങളല്ല, കാരണം അവയെ 6 = 2 3, 8 = 2 4 എന്നിങ്ങനെയും വികസിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ ഇവിടെ നിന്നുള്ള പൂർണ്ണമായ വികാസം 48 = 6 8 = 2 3 2 4 ആയി ലഭിക്കും. കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ 48 = 2 4 · 3 ഫോം എടുക്കും.

ഉദാഹരണം 7

3400 എന്ന സംഖ്യ വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 10 ഉം 100 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ പ്രസക്തമാണ്. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് 3,400 = 34 · 100 ലഭിക്കുന്നു, അവിടെ 100 നെ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത് 100 = 10 · 10 എന്ന് എഴുതാം, അതായത് 3,400 = 34 · 10 · 10. ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പ്രധാനമാണ്. കാനോനിക്കൽ വിപുലീകരണം രൂപമെടുക്കുന്നു 3 400 = 2 3 5 2 17.

പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നമ്മൾ ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റുകളും ഗുണന പട്ടികകളും ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി നിങ്ങൾ 75 എന്ന സംഖ്യയെ സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നിങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് 75 = 5 15 ഉം 15 = 3 5 ഉം ലഭിക്കും. അതായത്, ആവശ്യമുള്ള വികാസം 75 = 5 · 3 · 5 എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഈ ലേഖനത്തിൽ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ ആവശ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം. ഒന്നാമതായി, ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പൊതു ആശയം നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വിഘടനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം താഴെ കാണിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം നൽകുകയും ഈ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റുകളും ഗുണന പട്ടികകളും ഉപയോഗിച്ച് ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വേഗത്തിൽ ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഇതര രീതികളും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

ആദ്യം, പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ എന്താണെന്ന് നോക്കാം.

ഈ പദസമുച്ചയത്തിൽ "ഘടകങ്ങൾ" എന്ന വാക്ക് ഉള്ളതിനാൽ, ചില സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഗുണനമുണ്ട്, കൂടാതെ "ലളിതമായ" എന്ന യോഗ്യതാ പദത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഓരോ ഘടകവും ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്നാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2·7·7·23 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നാല് പ്രധാന ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 2, 7, 7, 23.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

ഇതിനർത്ഥം ഈ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം, ഈ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ മൂല്യം യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കണം. ഒരു ഉദാഹരണമായി, 2, 3, 5 എന്നീ മൂന്ന് അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം പരിഗണിക്കുക, അത് 30 ന് തുല്യമാണ്, അങ്ങനെ 30 എന്ന സംഖ്യയെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് 2·3·5 ആണ്. സാധാരണയായി ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് ഒരു തുല്യതയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു; ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെയായിരിക്കും: 30=2·3·5. വികാസത്തിലെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറയുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം ഇത് വ്യക്തമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു: 144=2·2·2·2·3·3. എന്നാൽ 45=3·15 എന്ന ഫോമിൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യം പ്രൈം ഫാക്ടറുകളിലേക്കുള്ള വിഘടനമല്ല, കാരണം സംഖ്യ 15 ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണ്.

ഉദിക്കുന്നു അടുത്ത ചോദ്യം: "ഏതെല്ലാം സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം?"

അതിനുള്ള ഉത്തരം തേടി, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ന്യായവാദം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. പ്രൈം നമ്പറുകൾ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ളവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ വസ്‌തുത കണക്കിലെടുത്ത്, പല പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ഗുണനം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെന്ന് വാദിക്കാം. പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, ഒന്നിലധികം. അതിനാൽ, 1-ൽ കൂടുതലുള്ള പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഘടകവൽക്കരണം സംഭവിക്കൂ.

എന്നാൽ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാനാകുമോ?

ലളിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് സാധ്യമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. കാരണം, അഭാജ്യ സംഖ്യകൾക്ക് രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ - ഒന്ന് തന്നെ, അതിനാൽ അവയെ രണ്ടോ അതിലധികമോ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. പൂർണ്ണസംഖ്യ z-നെ a, b എന്നീ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, z എന്ന സംഖ്യയുടെ ലാളിത്യം കാരണം z എന്നത് a, b എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ ഡിവിസിബിലിറ്റി എന്ന ആശയം നമ്മെ അനുവദിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഏതൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യയും ഒരു വിഘടനമാണെന്ന് അവർ വിശ്വസിക്കുന്നു.

സംയോജിത സംഖ്യകളുടെ കാര്യമോ? സംയുക്ത സംഖ്യകൾ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടോ, എല്ലാ സംയുക്ത സംഖ്യകളും അത്തരം വിഘടനത്തിന് വിധേയമാണോ? ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്ഥിരീകരണ ഉത്തരം നൽകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, 1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും p 1, p 2, ..., p n എന്നിവയുടെ പ്രൈം ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാം, കൂടാതെ വിഘടനത്തിന് a = p 1 · p 2 · രൂപമുണ്ട്. ...

പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി ഒരു സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ ഫാക്ടറൈസേഷൻ

ഒരു സംഖ്യയുടെ വികാസത്തിൽ, പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ എഴുതാം. ഒരു സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിൽ പ്രൈം ഫാക്ടർ p 1 s 1 തവണയും, പ്രൈം ഫാക്ടർ p 2 - s 2 തവണയും, p n - s n തവണയും ഉണ്ടാകട്ടെ. അപ്പോൾ a എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഫാക്ടറൈസേഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതാം a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. റെക്കോർഡിംഗിൻ്റെ ഈ രൂപമാണ് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി ഒരു സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ ഫാക്ടറൈസേഷൻ.

ഒരു സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ വിഘടനത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. വിഘടനം നമുക്ക് അറിയിക്കാം 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷന് രൂപമുണ്ട് 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത്, സംഖ്യയുടെ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും സംഖ്യയുടെ വിഭജനങ്ങളുടെ എണ്ണവും കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്ന ജോലിയെ വിജയകരമായി നേരിടാൻ, ലേഖനത്തിലെ പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളിലെ വിവരങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നല്ല അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം.

സംഖ്യാശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിൽ നിന്ന് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ സംഖ്യയെ വിഘടിപ്പിക്കുന്ന പ്രക്രിയയുടെ സാരാംശം വ്യക്തമാണ്. തുല്യതകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നേടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന a, a 1, a 2, ..., a n-1 സംഖ്യകളുടെ p 1, p 2, ..., p n എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസറുകൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് പോയിൻ്റ്. a=p 1 ·a 1, ഇവിടെ a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, ഇവിടെ a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, ഇവിടെ a n =a n-1:p n . അത് ഒരു n =1 ആയി മാറുമ്പോൾ, a=p 1 ·p 2 ·...·p n എന്ന തുല്യത നമുക്ക് a യുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിഘടനം നൽകും. എന്നതും ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഫാക്ടറുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം നമുക്കുണ്ടാകും. പ്രൈം സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. z എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ ലഭിക്കാൻ ഇത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ (2, 3, 5, 7, 11, എന്നിങ്ങനെയുള്ളവ) പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രൈം നമ്പറുകൾ തുടർച്ചയായി എടുത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യ z കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. z തുല്യമായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്ന ആദ്യത്തെ അഭാജ്യ സംഖ്യ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ ആയിരിക്കും. സംഖ്യ z പ്രൈം ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും. z ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയല്ലെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ, z-ൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യയെ കവിയുന്നില്ല എന്നത് ഇവിടെ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, പ്രൈം സംഖ്യകളിൽ കവിയാത്ത സംഖ്യകളിൽ z എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഹരണം പോലും ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, z ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം (ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ തിയറി വിഭാഗത്തിൽ ഈ സംഖ്യ പ്രൈം അല്ലെങ്കിൽ സംയുക്തമാണ്. ).

ഒരു ഉദാഹരണമായി, 87 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. നമുക്ക് നമ്പർ 2 എടുക്കാം. 87 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 87:2=43 ലഭിക്കും (ബാക്കി 1) (ആവശ്യമെങ്കിൽ ലേഖനം കാണുക). അതായത്, 87 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ബാക്കിയുള്ളത് 1 ആണ്, അതിനാൽ 2 എന്നത് 87 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഹരമല്ല. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അടുത്ത പ്രൈം നമ്പർ എടുക്കുന്നു, ഇതാണ് നമ്പർ 3. 87 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 87:3=29 ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, 87 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, സംഖ്യ 3 ആണ് 87 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ, നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യയിൽ കുറയാത്ത അംശം വരെയുള്ള പ്രൈം സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക ആവശ്യമാണ്. ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ഞങ്ങൾ ഈ ടേബിൾ റഫർ ചെയ്യേണ്ടിവരും, അതിനാൽ അത് കൈയിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, 95 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, നമുക്ക് 10 വരെയുള്ള പ്രൈം സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ (10 എന്നത് എന്നതിനേക്കാൾ വലുതായതിനാൽ). 846,653 എന്ന സംഖ്യയെ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം തന്നെ 1,000 വരെയുള്ള അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക ആവശ്യമാണ് (1,000 എന്നതിനേക്കാൾ വലുതായതിനാൽ).

എഴുതാൻ ആവശ്യമായ വിവരങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട് ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. a സംഖ്യ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമാണ്:

• പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ക്രമാനുഗതമായി അക്കങ്ങളിലൂടെ അടുക്കുമ്പോൾ, a സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 1 കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ 1 =a:p 1 കണക്കാക്കുന്നു. a 1 =1 ആണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യ പ്രൈം ആണ്, അത് തന്നെ അതിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് a=p 1 ·a 1 ഉണ്ട്, അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
• a 1 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 2 ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, p 1 ൽ തുടങ്ങി പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ക്രമാനുഗതമായി സംഖ്യകളിലൂടെ അടുക്കുക, തുടർന്ന് ഒരു 2 =a 1:p 2 കണക്കാക്കുക. a 2 =1 ആണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന് a=p 1 ·p 2 എന്ന രൂപമുണ്ട്. ഒരു 2 1 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് a=p 1 ·p 2 ·a 2 ഉണ്ട്, അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക.
• അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന്, p 2 ൽ തുടങ്ങി, a 2 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 3 കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ ഒരു 3 =a 2:p 3 കണക്കാക്കുന്നു. a 3 =1 ആണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന് a=p 1 ·p 2 ·p 3 എന്ന രൂപമുണ്ട്. ഒരു 3 എന്നത് 1 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 ഉണ്ട്, അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക.
• p n-1, അതുപോലെ a n =a n-1:p n എന്നിവയിൽ ആരംഭിക്കുന്ന പ്രൈം നമ്പറുകളിലൂടെ അടുക്കുന്നതിലൂടെ a n-1 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p n, n എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്. ഈ ഘട്ടം അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അവസാന ഘട്ടമാണ്; ഇവിടെ നമുക്ക് a എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ആവശ്യമായ വിഘടനം ലഭിക്കുന്നു: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ലഭിച്ച എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതിൽ a, a 1, a 2, ..., a n എന്ന സംഖ്യകൾ തുടർച്ചയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ലംബ രേഖയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഒരു നിരയിൽ, വരിയുടെ വലതുവശത്ത് - അനുബന്ധമായ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസറുകൾ p 1, p 2, ..., p n.

സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അൽഗോരിതം പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.

പ്രധാന ഘടകവൽക്കരണത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി നോക്കും സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ. വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. ലളിതമായ കേസുകളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം, സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന എല്ലാ സൂക്ഷ്മതകളും നേരിടുന്നതിന് ക്രമേണ അവയെ സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ഉദാഹരണം.

78 എന്ന സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം.

a=78 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യത്തെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 1 നായി ഞങ്ങൾ തിരച്ചിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് പ്രൈം നമ്പറുകളിലൂടെ ക്രമാനുഗതമായി അടുക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. നമ്മൾ നമ്പർ 2 എടുത്ത് 78 നെ ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 78:2=39 ലഭിക്കും. 78 എന്ന സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ p 1 =2 ആണ് 78 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യത്തെ പ്രൈം ഡിവൈസർ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, a 1 =a:p 1 =78:2=39. അങ്ങനെ നമ്മൾ 78=2·39 എന്ന ഫോം ഉള്ള a=p 1 ·a 1 എന്ന സമത്വത്തിലേക്ക് വരുന്നു. വ്യക്തമായും, 1 =39 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ a 1 =39 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 2 തിരയുകയാണ്. പി 1 =2 ൽ തുടങ്ങുന്ന പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സംഖ്യകൾ എണ്ണാൻ തുടങ്ങുന്നു. 39 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 39:2=19 ലഭിക്കും (ബാക്കി 1). 39 നെ 2 കൊണ്ട് തുല്യമായി ഹരിക്കാത്തതിനാൽ, 2 അതിൻ്റെ ഹരിക്കുന്നതല്ല. അപ്പോൾ നമ്മൾ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ (സംഖ്യ 3) പട്ടികയിൽ നിന്ന് അടുത്ത സംഖ്യ എടുത്ത് അത് കൊണ്ട് 39 ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 39: ​​3=13 ലഭിക്കും. അതിനാൽ, p 2 =3 ആണ് 39 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ, അതേസമയം a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. നമുക്ക് 78=2·3·13 എന്ന രൂപത്തിൽ a=p 1 ·p 2 ·a 2 എന്ന സമത്വം ഉണ്ട്. ഒരു 2 =13 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഇവിടെ നമ്മൾ a 2 =13 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. സംഖ്യ 13-ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 3-ൻ്റെ തിരയലിൽ, p 2 =3-ൽ തുടങ്ങുന്ന പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ക്രമാനുഗതമായി അക്കങ്ങളിലൂടെ അടുക്കും. 13 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 13:3=4 (ബാക്കി. 1), കൂടാതെ 13 നെ 5, 7, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 13:5=2 (വിശ്രമം. 3), 13:7=1 (വിശ്രമം. 6) കൂടാതെ 13:11=1 (വിശ്രമം. 2). അടുത്ത അഭാജ്യ സംഖ്യ 13 ആണ്, 13 എന്നത് ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാനാകും, അതിനാൽ, 13 ൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 3 സംഖ്യ 13 ആണ്, കൂടാതെ a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. ഒരു 3 =1 ആയതിനാൽ, അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഈ ഘട്ടം അവസാനത്തേതാണ്, കൂടാതെ 78 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിന് 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) എന്ന രൂപമുണ്ട്.

ഉത്തരം:

78=2·3·13.

ഉദാഹരണം.

പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി 83,006 എന്ന സംഖ്യ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, p 1 =2, a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിൽ നിന്ന് 83,006=2·41,503.

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, 2, 3, 5 എന്നിവ a 1 =41,503 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളല്ല, എന്നാൽ 7 എന്നത് 41,503:7=5,929 മുതൽ. നമുക്ക് p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. അങ്ങനെ, 83,006=2 7 5 929.

5 929:7 = 847 മുതൽ a 2 =5 929 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ 7 ആണ്. അങ്ങനെ, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, അതിൽ നിന്ന് 83 006 = 2·7·7·847.

അടുത്തതായി, a 3 =847 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 4 7 ന് തുല്യമാണെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു. അപ്പോൾ a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, അങ്ങനെ 83 006=2·7·7·7·121.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ a 4 =121 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ കണ്ടെത്തുന്നു, അത് p 5 =11 എന്ന സംഖ്യയാണ് (121 എന്നത് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതും 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്തതും ആയതിനാൽ). അപ്പോൾ a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, കൂടാതെ 83 006=2·7·7·7·11·11.

അവസാനമായി, a 5 =11 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ p 6 =11 എന്ന സംഖ്യയാണ്. അപ്പോൾ a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. ഒരു 6 =1 മുതൽ, ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഈ ഘട്ടം അവസാനത്തേതാണ്, ആവശ്യമുള്ള വിഘടനത്തിന് 83 006 = 2·7·7·7·11·11 എന്ന രൂപമുണ്ട്.

ലഭിച്ച ഫലം 83 006 = 2·7 3 ·11 2 എന്ന പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ വിഘടനം എന്ന് എഴുതാം.

ഉത്തരം:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്. തീർച്ചയായും, അതിൽ കവിയാത്ത ഒരൊറ്റ പ്രൈം ഡിവൈസർ ഇല്ല (ഏകദേശം കണക്കാക്കാം, കാരണം 991 ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

ഉത്തരം:

897 924 289 = 937 967 991 .

പ്രൈം ഫാക്‌ടറൈസേഷനായി ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് വിഘടിപ്പിക്കൽ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. സംഖ്യകൾ വലുതല്ലെങ്കിൽ, അവയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ പലപ്പോഴും വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും. വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ 10 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. ഗുണനപ്പട്ടികയിൽ നിന്ന് 2·5=10, 2, 5 എന്നീ സംഖ്യകൾ വ്യക്തമായും പ്രൈം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ 10-ൻ്റെ പ്രൈം ഫാക്ടറൈസേഷൻ 10=2·5 പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം. ഗുണന പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ 48 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റും. ആറ് എട്ട് - നാല്പത്തി എട്ട്, അതായത് 48 = 6 · 8 ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, 6-ഉം 8-ഉം പ്രധാന സംഖ്യകളല്ല. എന്നാൽ നമുക്ക് അറിയാം രണ്ടുതവണ മൂന്ന് ആറ്, രണ്ട് തവണ നാല് എട്ട്, അതായത് 6=2·3, 8=2·4. അപ്പോൾ 48=6·8=2·3·2·4. രണ്ട് തവണ രണ്ട് നാല് ആണെന്ന് ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിഘടനം പ്രധാന ഘടകങ്ങളായ 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2 ആയി ലഭിക്കും. നമുക്ക് ഈ വിപുലീകരണം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ എഴുതാം: 48=2 4 ·3.

എന്നാൽ 3,400 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിക്കാം. 10, 100 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ, 3,400 എന്നത് 100 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും, 3,400=34·100 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും, 100 എന്നത് 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും, 100=10·10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും, അതിനാൽ, 3,400=34·10·10. 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, 34, 10, 10 എന്നീ ഘടകങ്ങളിൽ ഓരോന്നും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വികാസത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ലളിതമാണ്, അതിനാൽ ഈ വികാസം ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണ്. ഘടകങ്ങൾ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ പോകുന്ന തരത്തിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുക മാത്രമാണ് ശേഷിക്കുന്നത്: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. ഈ സംഖ്യയുടെ കാനോനിക്കൽ വിഘടനത്തെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി നമുക്ക് എഴുതാം: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളായി വിഘടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഹരിക്കലിൻ്റെയും ഗുണനപ്പട്ടികയുടെയും രണ്ട് അടയാളങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാം. പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി നമുക്ക് 75 എന്ന സംഖ്യ സങ്കൽപ്പിക്കാം. 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന 75 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, കൂടാതെ നമുക്ക് 75 = 5·15 ലഭിക്കും. ഗുണനപ്പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 15=3·5, അതിനാൽ, 75=5·3·5 എന്ന് അറിയാം. 75 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഇത്.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. ഗണിതശാസ്ത്രം. ആറാം ക്ലാസ്: പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• വിനോഗ്രഡോവ് I.M. സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ.
• മിഖെലോവിച്ച് ഷ്.എച്ച്. സംഖ്യ സിദ്ധാന്തം.
• കുലിക്കോവ് എൽ.യാ. ബീജഗണിതത്തിലെയും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിലെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം: ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ഗണിതത്തിലും പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം. പെഡഗോഗിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടുകളുടെ പ്രത്യേകതകൾ.