Escher धबधबा तो स्वत: रेखाचित्रे करू. मॉरिट्स एशर - ऑप्टिकल भ्रमांचा मास्टर

मॉरिट्स एशर हा एक उत्कृष्ट डच ग्राफिक कलाकार आहे जो त्याच्या कामांसाठी जगभरात ओळखला जातो. मध्यभागी, संग्रहालयात, 2002 मध्ये उघडले गेले आणि त्याच्या नावावर "एशर इन हेट पॅलेस" असे नाव देण्यात आले, मास्टरच्या 130 कामांचे कायमस्वरूपी प्रदर्शन खुले आहे. तुम्ही म्हणाल की ग्राफिक्स कंटाळवाणे आहेत? कदाचित... कदाचित हे ग्राफिक कलाकारांच्या कामांबद्दल म्हणता येईल, परंतु एशरबद्दल नाही. कलाकार जगाच्या त्याच्या असामान्य दृष्टीसाठी आणि जागेच्या तर्काने खेळण्यासाठी ओळखला जातो.

Escher च्या विलक्षण कोरीव काम, शब्दशः, म्हणून समजले जाऊ शकते ग्राफिक प्रतिमासापेक्षतेचा सिद्धांत. चित्रण करणारी कामे अशक्य आकडेआणि परिवर्तन अक्षरशः मंत्रमुग्ध करणारे आहेत, ते इतर कोणत्याही गोष्टीपेक्षा वेगळे आहेत.

मॉरिट्स एशर हे कोडी उलगडण्यात खरे मास्टर होते आणि त्याचे ऑप्टिकल भ्रम प्रत्यक्षात अस्तित्वात नसलेल्या गोष्टी दाखवतात. त्याच्या चित्रांमध्ये सर्व काही बदलते, सहजतेने एका रूपातून दुसर्‍या रूपात वाहते, पायऱ्यांना सुरुवात किंवा शेवट नसतो आणि पाणी वरच्या दिशेने वाहते. कोणीतरी उद्गारेल - हे असू शकत नाही! तुम्हीच बघा.
प्रसिद्ध पेंटिंग "दिवस आणि रात्र"

"चढणे आणि उतरणे", जिथे लोक नेहमी पायऱ्या चढत असतात... की खाली?

"सरपटणारे प्राणी" - येथे मगर काढलेल्यांमधून त्रिमितीय बनतात...

"हात काढणे" - ज्यामध्ये दोन हात एकमेकांना काढतात.

"बैठक"

"प्रतिबिंबित बॉलसह हात"

संग्रहालयाचा मुख्य मोती एशरचे 7-मीटर-उंच काम "मेटामॉर्फोसेस" आहे. हे खोदकाम तुम्हाला अनंतकाळ आणि अनंतता यांच्यातील संबंध अनुभवण्याची अनुमती देते, जिथे वेळ आणि जागा एकत्र येतात.

संग्रहालय पूर्वी स्थित आहे हिवाळी पॅलेसराणी एम्मा - सध्याच्या राज्यकर्त्या राणी बीट्रिक्सची आजी. एम्माने 1896 मध्ये हा राजवाडा विकत घेतला आणि मे 1934 मध्ये तिचा मृत्यू होईपर्यंत त्यात वास्तव्य केले. संग्रहालयाच्या दोन हॉलमध्ये, ज्यांना "रॉयल रूम" म्हटले जाते, फर्निचर आणि राणी एम्माची छायाचित्रे जतन केली गेली आहेत आणि पडद्यांवर त्या काळातील राजवाड्याच्या आतील भागाबद्दल माहिती आहे.

संग्रहालयाच्या वरच्या मजल्यावर एक संवादात्मक प्रदर्शन आहे “लूक लाइक एशर”. हे खरं आहे जादूचे जगभ्रम जादूच्या बॉलमध्ये, जग दिसतात आणि अदृश्य होतात, भिंती हलतात आणि बदलतात आणि मुले त्यांच्या पालकांपेक्षा उंच दिसतात. थोडे पुढे एक असामान्य मजला आहे जो प्रत्येक पायरीखाली ऑप्टिकलपणे कोसळतो आणि चांदीच्या बॉलमध्ये आपण एशरच्या डोळ्यांमधून स्वतःला पाहू शकता.

मॉरिट्स कॉर्नेलिस एशर, डच ग्राफिक कलाकार

Escher Maurits Cornelis(मॉरिट्स कॉर्नेलिस एशर) (17 जून, 1898, लीवार्डन, नेदरलँड्स - 27 मार्च, 1972, हिल्व्हरसम, नेदरलँड) डच ग्राफिक कलाकार, पुस्तकांसाठी चित्रे बनवली, स्टॅम्पआणि फ्रेस्को, डिझाइन केलेले टेपेस्ट्री. प्रामुख्याने त्याच्या वैचारिक लिथोग्राफ, लाकूड आणि धातूच्या कोरीव कामांसाठी ओळखले जाते, ज्यामध्ये त्याने अनंत आणि सममितीच्या संकल्पनांचे प्लास्टिक पैलू तसेच जटिल त्रि-आयामी वस्तूंच्या मनोवैज्ञानिक आकलनाच्या वैशिष्ट्यांचा कुशलतेने शोध घेतला. तेजस्वी प्रतिनिधी imp-कला. एशरने मुद्दाम तैलचित्रकार म्हणून नक्षीकाम करणारा म्हणून करिअर निवडले. त्याच्या कामाचे संशोधक हान्स लोचर यांच्या मते, एशरला अनेक प्रिंट्स मिळण्याच्या शक्यतेने आकर्षित केले होते, जे ग्राफिक तंत्राद्वारे प्रदान केले गेले होते, कारण तो आधीपासूनच होता. लहान वयमला प्रतिमा पुनरावृत्ती करण्याच्या शक्यतेमध्ये रस होता. एशरच्या कार्यातील सर्वात उल्लेखनीय पैलूंपैकी एक म्हणजे त्याचे "मेटामॉर्फोसिस" चे चित्रण, विविध कामांमध्ये विविध स्वरूपात दिसून येते. कलाकार एकातून हळूहळू होणारे संक्रमण तपशीलवार शोधतो भौमितिक आकृतीदुसर्‍याकडे, बाह्यरेखा मध्ये किंचित बदल करून. याव्यतिरिक्त, एशरने सजीव प्राण्यांसोबत होणारे मेटामॉर्फोसेस (पक्षी मासे इ. मध्ये बदलतात) आणि मेटामॉर्फोसेस दरम्यान "अ‍ॅनिमेटेड" निर्जीव वस्तू देखील रंगवले आणि त्यांना जिवंत प्राण्यांमध्ये रूपांतरित केले. एशरने 448 लिथोग्राफ, खोदकाम आणि वुडकट्स आणि 2,000 पेक्षा जास्त रेखाचित्रे आणि स्केचेस तयार केले. त्याचे कार्य जगभरातील लाखो लोकांना प्रभावित आणि आश्चर्यचकित करत आहे. IN गेल्या वर्षेएशरची तब्येत बिघडली आणि तो व्यावहारिकरित्या काम करत नाही. त्याच्यावर अनेक ऑपरेशन्स होतात आणि शेवटी आतड्याच्या कर्करोगाने हॉस्पिटलमध्ये त्याचा मृत्यू होतो. एशरने आपले अप्रतिम लिथोग्राफ, चित्रे, रेखाचित्रे आणि तीन मुले मागे सोडली.

प्रमुख तारखा

• 1898 - मॉरिट्झ कॉर्नेलिस एशरचा जन्म 17 जून रोजी लिव्हरडेन (नेदरलँड) येथे झाला. धाकटा मुलगाहायड्रॉलिक अभियंता जीए एशर आणि सारा ग्लिचमन यांच्या कुटुंबात.
• 1903 - कुटुंब अर्न्हेमला गेले.
• 1912-18 - व्यायामशाळेत प्रवेश केला आणि अंतिम परीक्षेत नापास झाला.
• 1919 - त्याच्या वडिलांच्या विनंतीनुसार, एशरने हार्लेममध्ये आर्किटेक्चरचा अभ्यास करण्यास सुरुवात केली, परंतु काही महिन्यांनंतर तो जेसेरन डी मेस्क्वाइटच्या मार्गदर्शनाखाली ग्राफिक डिझाइनच्या वर्गात बदली झाला.
• 1921 - इटलीची पहिली सहल. "इस्टर फ्लॉवर्स" (वुडकट) या कामाच्या मासिकातील पहिले प्रकाशन
• 1922 - आर्ट स्कूल पूर्ण करून मध्य इटलीमध्ये फिरायला गेला; खूप स्केचेस बनवतो. सप्टेंबरमध्ये तो स्पेनमधील अल्हंब्राला भेट देतो, ते सर्वात मनोरंजक लक्षात घेऊन, विशेषत: "मोठा जटिलता आणि गणिती आणि कलात्मक अर्थ" असलेले त्याचे विशाल मोज़ेक.
• 1923 - इटलीचा प्रवास; त्याला भेटतो भावी पत्नीयत्तू (जेट्टा उमिकर). तो जीवनातून काढतो. त्याचे पहिले प्रदर्शन सिएना येथे आहे.
• 1924 - हेग, नेदरलँड्स येथे पहिले प्रदर्शन. 12 जून रोजी त्याचे लग्न विएरेगिओमध्ये येट्टाने केले आहे; रोमला हलतो.
• 1926 - खूप यशस्वी प्रदर्शनमे मध्ये रोम मध्ये. नंतर, एशरचे हॉलंडमध्ये आणि मुख्यतः कायमस्वरूपी प्रदर्शन होते सकारात्मक पुनरावलोकने. 23 जून रोजी, त्यांचा पहिला मुलगा, जॉर्ज, एशर कुटुंबात जन्माला येईल. त्यानंतरच्या वर्षांमध्ये, मॉरिट्झ एशर सतत प्रवास करतात (उदाहरणार्थ, ट्युनिशियाला), अर्बुझीला पायी जाण्यासह; भरपूर लँडस्केप आणि आर्किटेक्चरल स्केचेस बनवते.
• 1928 - 8 डिसेंबर, मुलगा आर्थरचा जन्म झाला.
• 1929 - पहिला लिथोग्राफ "गोरियानो सिकोलीचे दृश्य", अर्बुझी
• 1931 - पहिले लाकडी खोदकाम, परंतु मूलत: हे हेगमधील प्रदर्शनासाठी आमंत्रणे छापण्यासाठी लाकडी मॅट्रिक्स होते. एशर ग्राफिक आर्टिस्ट असोसिएशनचा सदस्य बनला आणि थोड्या वेळाने - पुलची स्टुडिओचा सदस्य. "रुग्ण, शांत, मस्त ड्राफ्ट्समन" म्हणून त्यांचा खूप आदर केला जातो आणि त्यांच्या कामावर "खूप बौद्धिक" असल्याची टीका केली जाते.
• 1932 - त्याचे वुडकट "XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden" या पंचांगात प्रकाशित झाले.
• 1933 - एशरचे लाकूड कोरीव काम असलेले "द टेरिबल अॅडव्हेंचर्स ऑफ स्कॉलॅस्टिकिझम" हे पुस्तक प्रकाशित झाले.
• 1934 - शिकागो येथे आधुनिक कोरीव काम (मुद्रण) "प्रगतीचे शतक" च्या प्रदर्शनात त्यांच्या कामांना फक्त सकारात्मक पुनरावलोकने मिळाली.
• 1935 - दडपशाही धोरणे फॅसिस्ट इटलीएशरला स्वित्झर्लंडला जाण्यास भाग पाडते.
• 1936 - स्पेनची सहल, जिथे त्याने पुन्हा सक्रियपणे मूरिश टाइल पॅटर्न (अल्हंब्रा) वर काम केले. त्यांना पुन्हा रेखाटणे एशरला चित्रे तयार करण्यास प्रेरित करते ज्यामध्ये तो विमानांचे योग्य नियतकालिक विभागणी वापरतो.
• 1938 - दुसरा मुलगा जानचा जन्म 6 मार्च रोजी झाला. परंतु एशर "अंतर्गत चित्रांवर" लक्ष केंद्रित करतात आणि निसर्गातील रेखाचित्रे जवळजवळ पूर्णपणे सोडून देतात.
• १९३९ - वयाच्या ९६ व्या वर्षी वडिलांचे निधन.
• 1940 - "M.C.Escher en zijn experimenten" प्रकाशित झाले. त्याची आई मरते.
• 1941 - एशर कुटुंब हॉलंडमधील त्यांच्या मायदेशी, बार्न (B╠rn) येथे परतले.
• 1948 एशरने त्याच्या कामावर प्रात्यक्षिकांसह व्याख्याने देणे सुरू केले.
• 1954 - ग्रेट मॅथेमॅटिकल काँग्रेसच्या निमित्ताने ग्रेट एशर प्रदर्शन. त्यानंतर वॉशिंग्टनमध्ये एक प्रदर्शन आहे.
• 1955 - 30 एप्रिलला मोठा शाही पुरस्कार मिळाला.
• 1958 - "Regelmatige vlakverdeling" (विमानांचे अचूक विभाजन) प्रकाशित झाले.
• 1959 - “Grafik en Tekeningen” (ग्राफिक वर्क्स) प्रकाशित झाले
• 1960 - केंब्रिज, मॅसॅच्युसेट्समधील क्रिस्टलोग्राफिक काँग्रेसमध्ये प्रदर्शन आणि व्याख्यान
• 1962 - आपत्कालीन शस्त्रक्रिया आणि रुग्णालयात दीर्घ मुक्काम.
• 1964 - दुसर्‍या ऑपरेशनसाठी कॅनडाला रवाना.
• 1965 - हिल्व्हरसम कला पुरस्कार. "सममिती पैलू" प्रकाशित झाले आहे.
• 1967 - दुसरा राणी पुरस्कार.
• 1968 - हेगमध्ये प्रचंड 70 वा वर्धापनदिन पूर्वलक्षी. वर्षाच्या शेवटी, येट्टा स्वित्झर्लंडला परतला.
• 1969 - जुलैमध्ये, एशरने त्याचा शेवटचा वुडकट "साप" तयार केला.
• 1970 - शस्त्रक्रिया आणि पुन्हा दीर्घ रुग्णालयात दाखल. एशर वृद्ध कलाकारांसाठी असलेल्या रोझा-स्पायर-फाऊंडेशन लॅरेनमध्ये गेले.
• 1971 - डी वेल्डेन व्हॅन एम.सी.एशर (एशरचे जग) प्रकाशित झाले.
• 1972 - एम.एस. एशर यांचे हिल्व्हरसम येथील लुथेरन हॉस्पिटलमध्ये निधन झाले.

एशरचे हे काम एक विरोधाभास दर्शवते - धबधब्याचे पडणारे पाणी एक चाक चालवते जे पाण्याला धबधब्याच्या वरच्या दिशेने नेते. धबधब्यात "अशक्य" पेनरोज त्रिकोणाची रचना आहे: ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकॉलॉजीमधील लेखावर आधारित लिथोग्राफ तयार केला गेला आहे.

रचना एकमेकांच्या वर काटकोनात रचलेल्या तीन क्रॉसबारने बनलेली आहे. लिथोग्राफमधला धबधबा कायम गतिमान यंत्राप्रमाणे काम करतो. डोळ्याच्या हालचालीवर अवलंबून, दोन्ही टॉवर एकसारखे आहेत आणि उजवीकडील टॉवर डाव्या टॉवरपेक्षा एक मजला कमी आहे असे वैकल्पिकरित्या दिसून येते.

"धबधबा (लिथोग्राफी)" या लेखाबद्दल पुनरावलोकन लिहा

नोट्स

दुवे

• अधिकृत वेबसाइट: (इंग्रजी)

धबधब्याचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा (लिथोग्राफ)

28 फेब्रुवारी 2014 रोजी मॉरिट्झ एशरची गणितीय कला

मूळ पासून घेतले imit_omsu मॉरिट्झ एशरच्या गणितीय कला मध्ये

“गणितज्ञांनी दुसर्‍या जगाकडे नेण्याचे दार उघडले, परंतु त्यांनी स्वतः या जगात प्रवेश करण्याचे धाडस केले नाही. त्यांच्या मागे असलेल्या बागेपेक्षा दरवाजा ज्या मार्गावर उभा आहे त्यात त्यांना जास्त रस आहे.”
(M.C. Escher)

लिथोग्राफ "हात सह मिरर गोल", स्वत: पोर्ट्रेट.

मॉरिट्स कॉर्नेलियस एशर हा डच ग्राफिक कलाकार आहे जो प्रत्येक गणितज्ञांना ओळखला जातो.
एशरच्या कामांचे कथानक तार्किक आणि प्लास्टिक विरोधाभासांच्या विनोदी समजाने वैशिष्ट्यीकृत आहेत.
तो प्रामुख्याने त्याच्या कामांसाठी ओळखला जातो ज्यामध्ये त्याने विविध गणिती संकल्पना वापरल्या - मर्यादा आणि मोबियस पट्टीपासून लोबाचेव्हस्की भूमितीपर्यंत.

वुडकट "लाल मुंग्या".

मॉरिट्स एशर यांना कोणतेही विशेष गणिताचे शिक्षण मिळाले नाही. पण अगदी सुरुवातीपासूनच सर्जनशील कारकीर्दस्पेसच्या गुणधर्मांमध्ये रस होता, त्याच्या अनपेक्षित बाजूंचा अभ्यास केला.

"एकतेचे बंध"

Escher अनेकदा द्विमितीय आणि 3-आयामी जगाच्या संयोजनाने तयार होते.


लिथोग्राफ "हात काढणे".

लिथोग्राफ "सरपटणारे प्राणी".

टेसेलेशन्स.

टेसेलेशन म्हणजे विमानाचे समान आकृत्यांमध्ये विभाजन करणे. या प्रकारच्या विभाजनाचा अभ्यास करण्यासाठी, सममिती गटाची संकल्पना पारंपारिकपणे वापरली जाते. चला एका विमानाची कल्पना करूया ज्यावर काही टेसेलेशन काढले आहे. विमान एका अनियंत्रित अक्षाभोवती फिरवले जाऊ शकते आणि स्थलांतरित केले जाऊ शकते. शिफ्ट व्हेक्टरद्वारे शिफ्ट निश्चित केली जाते आणि रोटेशन केंद्र आणि कोनाद्वारे निर्धारित केले जाते. अशा परिवर्तनांना हालचाली म्हणतात. ते म्हणतात की ही किंवा ती हालचाल सममिती आहे जर नंतर टाइलिंग स्वतःमध्ये बदलते.

उदाहरणार्थ, समान चौरसांमध्ये विभागलेले विमान - सर्व दिशांना चेकर्ड नोटबुकची अनंत शीटचा विचार करूया. जर असे विमान कोणत्याही चौरसाच्या मध्यभागी 90 अंश (180, 270 किंवा 360 अंश) फिरवले तर टाइलिंग स्वतःमध्ये बदलेल. चौकोनाच्या एका बाजूस समांतर वेक्टरने स्थलांतरित केल्यावर ते स्वतःमध्ये रूपांतरित होते. वेक्टरची लांबी स्क्वेअरच्या बाजूच्या एक गुणाकार असणे आवश्यक आहे.

1924 मध्ये, भूमापक जॉर्ज पोल्या (यूएसएला जाण्यापूर्वी, György Pólya) यांनी टेसेलेशन सममिती गटांवर एक पेपर प्रकाशित केला, ज्यामध्ये त्याने एक उल्लेखनीय तथ्य सिद्ध केले (जरी रशियन गणितज्ञ एव्हग्राफ फेडोरोव्ह यांनी 1891 मध्ये आधीच शोधले होते): फक्त 17 गट सममिती आहेत ज्यात किमान दोन मध्ये शिफ्ट समाविष्ट आहेत भिन्न दिशानिर्देश. 1936 मध्ये, एशरला मूरिश दागिन्यांमध्ये रस निर्माण झाला (सह भौमितिक बिंदूपहा, टेसेलेशन पर्याय), पोल्याचे कार्य वाचा. त्याच्या स्वत: च्या प्रवेशाने, त्याला कामामागील सर्व गणिते समजत नसली तरीही, एशर त्याचे भौमितिक सार कॅप्चर करण्यास सक्षम होते. परिणामी, सर्व 17 गटांवर आधारित, एशरने 40 पेक्षा जास्त कामे तयार केली.

मोझॅक.

वुडकट "दिवस आणि रात्र".

"विमान IV चे नियमित टाइलिंग".

वुडकट "स्काय अँड वॉटर".

टेसेलेशन्स. गट साधा आहे, व्युत्पन्न करतो: स्लाइडिंग सममिती आणि समांतर हस्तांतरण. पण फरसबंदीच्या फरशा अप्रतिम आहेत. आणि मोबियस स्ट्रिपसह एकत्रित, तेच आहे.


वुडकट "हॉर्समन".

फ्लॅट आणि व्हॉल्यूमेट्रिक जग आणि टेसेलेशनच्या थीमवर आणखी एक फरक.


लिथोग्राफ "मॅजिक मिरर".

एशरची भौतिकशास्त्रज्ञ रॉजर पेनरोजशी मैत्री होती. भौतिकशास्त्रातील मोकळ्या वेळेत पेनरोजने गणितातील कोडी सोडवण्यात वेळ घालवला. एके दिवशी त्याला पुढील कल्पना सुचली: जर आपण एकापेक्षा जास्त आकृत्यांचा समावेश असलेल्या टेसेलेशनची कल्पना केली तर त्याचा सममितीचा समूह पोल्याने वर्णन केलेल्या सममितीपेक्षा वेगळा असेल का? जसे हे दिसून आले की, या प्रश्नाचे उत्तर होकारार्थी आहे - अशा प्रकारे पेनरोज मोज़ेकचा जन्म झाला. 1980 मध्ये असे दिसून आले की ते क्वासिक्रिस्टल्सशी संबंधित आहे ( नोबेल पारितोषिकरसायनशास्त्र 2011 मध्ये).

तथापि, एशरकडे हे मोज़ेक त्याच्या कामात वापरण्यासाठी वेळ नव्हता (किंवा कदाचित नको होता). (परंतु पेनरोजचे एक अप्रतिम मोज़ेक आहे, “पेनरोजची कोंबडी”, ते एशरने रंगवलेले नाहीत.)

लोबाचेव्हस्की विमान.

हायबर्गच्या पुनर्रचनेतील युक्लिडच्या घटकांमधील स्वयंसिद्धांच्या यादीतील पाचवे विधान खालीलप्रमाणे आहे: जर दोन सरळ रेषांना छेदणारी सरळ रेषा दोन काटकोनांपेक्षा कमी आतील एकतर्फी कोन बनवते, तर, अनिश्चित काळासाठी विस्तारित केल्यास, या दोन सरळ रेषा एकमेकांवर एकत्र येतील. ज्या बाजूचे कोन दोन काटकोनांपेक्षा कमी आहेत. IN आधुनिक साहित्यसमतुल्य आणि अधिक शोभिवंत फॉर्म्युलेशनला प्राधान्य द्या: रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या बिंदूला समांतर एक रेषा जाते आणि त्याशिवाय, फक्त एक. परंतु या फॉर्म्युलेशनमध्येही, स्वयंसिद्ध, युक्लिडच्या बाकीच्या विधानांप्रमाणेच, अवघड आणि गोंधळात टाकणारा दिसतो - म्हणूनच दोन हजार वर्षांपासून शास्त्रज्ञ हे विधान इतर स्वयंसिद्धांमधून काढण्याचा प्रयत्न करत आहेत. म्हणजे, खरं तर, पोस्टुलेटला प्रमेयात बदला.

19 व्या शतकात, गणितज्ञ निकोलाई लोबाचेव्हस्की यांनी विरोधाभासाने हे करण्याचा प्रयत्न केला: त्यांनी असे गृहीत धरले की विधान चुकीचे आहे आणि विरोधाभास शोधण्याचा प्रयत्न केला. परंतु ते सापडले नाही - आणि परिणामी, लोबाचेव्हस्कीने एक नवीन भूमिती तयार केली. त्यामध्ये, एका रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या एका बिंदूला छेदत नसलेल्या निरनिराळ्या वेगवेगळ्या रेषा जातात. ही नवीन भूमिती शोधणारे लोबाचेव्हस्की हे पहिले नव्हते. पण तो पहिला होता ज्याने हे जाहीरपणे घोषित करण्याचा निर्णय घेतला - ज्यासाठी, अर्थातच, त्याची खिल्ली उडवली गेली.

लोबाचेव्हस्कीच्या कार्याची मरणोत्तर मान्यता, इतर गोष्टींबरोबरच, त्याच्या भूमितीच्या मॉडेल्सच्या देखाव्याबद्दल धन्यवाद - सामान्य युक्लिडियन विमानावरील ऑब्जेक्ट्सची प्रणाली ज्याने पाचव्या पोस्टुलेटचा अपवाद वगळता युक्लिडच्या सर्व स्वयंसिद्धतेचे समाधान केले. यापैकी एक मॉडेल 1882 मध्ये गणितज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ हेन्री पॉइनकारे यांनी प्रस्तावित केले होते - कार्यात्मक आणि जटिल विश्लेषणाच्या गरजांसाठी.

एक वर्तुळ असू द्या, ज्याची सीमा आपण निरपेक्ष म्हणतो. आमच्या मॉडेलमधील “बिंदू” हे वर्तुळाचे आतील बिंदू असतील. "सरळ रेषा" ची भूमिका वर्तुळ किंवा निरपेक्ष लंब असलेल्या सरळ रेषांद्वारे खेळली जाते (अधिक तंतोतंत, त्यांचे आर्क वर्तुळात पडतात). अशा "प्रत्यक्ष" ओळींसाठी पाचव्या पोस्ट्युलेटला धरून नाही हे जवळजवळ स्पष्ट आहे. या वस्तूंसाठी उर्वरित पोस्टुलेट्स पूर्ण केले जातात ही वस्तुस्थिती थोडी कमी स्पष्ट आहे, तथापि, हे तसे आहे.

असे दिसून आले की पॉइनकारे मॉडेलमध्ये आपण बिंदूंमधील अंतर निर्धारित करू शकता. लांबीची गणना करण्यासाठी, रिमेनियन मेट्रिकची संकल्पना आवश्यक आहे. त्याचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत: “सरळ रेषा” बिंदूंची जोडी निरपेक्षतेच्या जितकी जवळ असेल तितके त्यांच्यातील अंतर जास्त असेल. "सरळ रेषा" मधील कोन देखील परिभाषित केले जातात - हे "सरळ रेषा" च्या छेदनबिंदूच्या स्पर्शिका दरम्यानचे कोन आहेत.

आता टाइलिंगकडे परत जाऊया. समान नियमित बहुभुज (म्हणजे सर्वांसह बहुभुज) मध्ये विभागल्यास ते कसे दिसतील समान बाजूआणि कोन) हे आधीच पॉइनकारे मॉडेल आहे? उदाहरणार्थ, बहुभुज निरपेक्षतेच्या जितके जवळ असतील तितके लहान व्हायला हवे. ही कल्पना एशरने "द लिमिट सर्कल" या कामांच्या मालिकेत साकारली. तथापि, डचमनने नियमित विभाजने वापरली नाहीत, परंतु त्यांच्या अधिक सममितीय आवृत्त्या. गणिताच्या अचूकतेपेक्षा सौंदर्य अधिक महत्त्वाचे ठरले.

वुडकट "मर्यादा - मंडळ II".

वुडकट "मर्यादा - मंडळ III".

वुडकट "स्वर्ग आणि नरक".

अशक्य आकडे.

अशक्य आकृत्यांना सामान्यतः स्पेशल ऑप्टिकल इल्यूजन्स म्हणतात - ते एखाद्या विमानातील काही त्रिमितीय वस्तूची प्रतिमा असल्याचे दिसते. परंतु जवळून परीक्षण केल्यावर, त्यांच्या संरचनेत भौमितीय विरोधाभास प्रकट होतात. अशक्य आकडे केवळ गणितज्ञांनाच आवडत नाहीत; मानसशास्त्रज्ञ आणि डिझाइन विशेषज्ञ देखील त्यांचा अभ्यास करतात.

अशक्य आकृत्यांचे पणजोबा तथाकथित नेकर क्यूब आहे, विमानावरील घनाची एक परिचित प्रतिमा. हे स्वीडिश क्रिस्टलोग्राफर लुई नेकर यांनी 1832 मध्ये प्रस्तावित केले होते. या प्रतिमेची गोष्ट अशी आहे की त्याचा अर्थ लावला जाऊ शकतो वेगवेगळ्या पद्धतींनी. उदाहरणार्थ, लाल वर्तुळाद्वारे या आकृतीमध्ये दर्शविलेला कोपरा एकतर घनाच्या सर्व कोपऱ्यांपैकी आपल्या सर्वात जवळचा किंवा त्याउलट, सर्वात दूरचा असू शकतो.

1930 च्या दशकात स्वीडिश शास्त्रज्ञ ऑस्कर रुटर्सवार्ड यांनी अशा पहिल्या अशक्य आकृत्या तयार केल्या होत्या. विशेषतः, निसर्गात अस्तित्वात नसलेल्या चौकोनी तुकड्यांमधून त्रिकोण एकत्र करण्याची कल्पना त्याला आली. रुथर्सवर्डपासून स्वतंत्रपणे, आधीच नमूद केलेले रॉजर पेनरोज, त्यांचे वडील लिओनेल पेनरोज यांनी, ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकॉलॉजीमध्ये "" असे शीर्षक असलेले एक पेपर प्रकाशित केले. अशक्य वस्तू: विशेष प्रकार ऑप्टिकल भ्रम"(1956). त्यामध्ये, पेनरोसेसने अशा दोन वस्तू प्रस्तावित केल्या - पेनरोज त्रिकोण (रथर्सवर्डच्या क्यूब्सच्या डिझाइनची घन आवृत्ती) आणि पेनरोज पायर्या. त्यांनी त्यांच्या कार्याची प्रेरणा म्हणून मॉरिट्स एशरचे नाव दिले.

दोन्ही वस्तू - त्रिकोण आणि जिना - नंतर एशरच्या पेंटिंगमध्ये दिसू लागले.

लिथोग्राफ "सापेक्षता".

लिथोग्राफ "धबधबा".

लिथोग्राफ "Belvedere".

लिथोग्राफ "असेंट आणि डिसेंट".

गणितीय अर्थासह इतर कामे:

तारा बहुभुज:

वुडकट "तारे".

लिथोग्राफ "स्पेसचा घन विभाग".

लिथोग्राफ "तरंगांनी झाकलेली पृष्ठभाग."

लिथोग्राफ "तीन जग"