एका बिंदूवर फंक्शनचे 1 व्युत्पन्न. फंक्शनचे व्युत्पन्न

व्याख्या.फंक्शन \(y = f(x)\) बिंदू \(x_0\) असलेल्या ठराविक अंतराने परिभाषित करू द्या. चला वितर्क वाढवू या \(\Delta x \) जेणेकरून तो हा मध्यांतर सोडणार नाही. चला \(\Delta y \) (बिंदू \(x_0 \) वरून \(x_0 + \Delta x \) बिंदूकडे जाताना) फंक्शनची संबंधित वाढ शोधू आणि संबंध \(\frac(\Delta) तयार करू. y)(\Delta x) \). जर या गुणोत्तराची मर्यादा \(\Delta x \rightarrow 0\) असेल, तर निर्दिष्ट मर्यादा म्हणतात फंक्शनचे व्युत्पन्न\(y=f(x) \) बिंदूवर \(x_0 \) आणि \(f"(x_0) \) दर्शवा.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

व्युत्पन्न दर्शविण्यासाठी y हे चिन्ह अनेकदा वापरले जाते. लक्षात घ्या की y" = f(x) हे नवीन फंक्शन आहे, परंतु नैसर्गिकरित्या फंक्शन y = f(x) शी संबंधित आहे, ज्यावर वरील मर्यादा अस्तित्वात आहे अशा सर्व बिंदू x वर परिभाषित केले आहे. या फंक्शनला असे म्हणतात: फंक्शनचे व्युत्पन्न y = f(x).

भौमितिक अर्थव्युत्पन्नखालील प्रमाणे. फंक्शनच्या y = f(x) च्या आलेखावर abscissa x=a सह स्पर्शिका काढणे शक्य असल्यास, जो y-अक्षाशी समांतर नाही, तर f(a) स्पर्शिकेचा उतार व्यक्त करतो :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \, नंतर समानता \(f"(a) = tan(a) \) सत्य आहे.

आता अंदाजे समानतेच्या दृष्टिकोनातून व्युत्पन्नाची व्याख्या करू. फंक्शन \(y = f(x)\) ला विशिष्ट बिंदूवर डेरिव्हेटिव्ह असू द्या \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
याचा अर्थ x बिंदूजवळ अंदाजे समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), म्हणजे \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x\). परिणामी अंदाजे समानतेचा अर्थपूर्ण अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: फंक्शनची वाढ वितर्क वाढीच्या "जवळजवळ प्रमाणात" आहे आणि समानुपातिकतेचे गुणांक हे व्युत्पन्नाचे मूल्य आहे दिलेला मुद्दाएक्स. उदाहरणार्थ, फंक्शन \(y = x^2\) साठी अंदाजे समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) वैध आहे. जर आपण व्युत्पन्नाच्या व्याख्येचे काळजीपूर्वक विश्लेषण केले तर आपल्याला आढळेल की त्यात ते शोधण्यासाठी अल्गोरिदम आहे.

चला ते सूत्रबद्ध करूया.

फंक्शन y = f(x) चे व्युत्पन्न कसे शोधायचे?

1. \(x\) चे मूल्य निश्चित करा, \(f(x)\) शोधा
2. युक्तिवाद \(x\) एक वाढ द्या \(\Delta x\), वर जा नवीन मुद्दा\(x+ \Delta x \), शोधा \(f(x+ \Delta x) \)
3. फंक्शनची वाढ शोधा: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
४. संबंध तयार करा \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
५. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ मोजा
ही मर्यादा बिंदू x वरील फंक्शनचे व्युत्पन्न आहे.

फंक्शन y = f(x) मध्ये x बिंदूवर व्युत्पन्न असल्यास, त्याला x बिंदूवर भिन्नता असे म्हणतात. y = f(x) फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात भिन्नताफंक्शन्स y = f(x).

आपण खालील प्रश्नावर चर्चा करूया: एका बिंदूवर फंक्शनची सातत्य आणि भिन्नता एकमेकांशी कशी संबंधित आहे?

y = f(x) फंक्शन x बिंदूवर भिन्न असू द्या. नंतर बिंदू M(x; f(x)) वरील फंक्शनच्या आलेखावर स्पर्शिका काढता येते, आणि आठवते, स्पर्शिकेचा कोनीय गुणांक f "(x) च्या बरोबरीचा असतो. असा आलेख "ब्रेक" करू शकत नाही. बिंदू M वर, म्हणजे फंक्शन बिंदू x वर सतत असणे आवश्यक आहे.

हे "हातावर" युक्तिवाद होते. चला अधिक कठोर तर्क देऊया. y = f(x) हे फंक्शन x बिंदूवर भिन्न असल्यास, अंदाजे समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) धरते. जर या समानतेमध्ये \(\Delta x) \) शून्याकडे झुकते, नंतर \(\Delta y \) शून्याकडे झुकते, आणि ही एका बिंदूवर फंक्शनच्या निरंतरतेची स्थिती आहे.

तर, जर फंक्शन x बिंदूवर भिन्न असेल तर ते त्या बिंदूवर सतत असते.

उलट विधान खरे नाही. उदाहरणार्थ: फंक्शन y = |x| सर्वत्र सतत असते, विशेषतः x = 0 बिंदूवर, परंतु "जंक्शन पॉइंट" (0; 0) वरील फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका अस्तित्वात नाही. एखाद्या वेळी एखाद्या फंक्शनच्या आलेखावर स्पर्शिका काढता येत नसेल, तर त्या बिंदूवर व्युत्पन्न अस्तित्वात नसते.

अजून एक उदाहरण. फंक्शन \(y=\sqrt(x)\) x = 0 बिंदूसह संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत असते. आणि फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका x = 0 बिंदूसह कोणत्याही बिंदूवर अस्तित्वात असते. पण या बिंदूवर स्पर्शिका y-अक्षाशी एकरूप होते, म्हणजेच ते abscissa अक्षावर लंब असते, त्याच्या समीकरणाचे रूप x = 0 असते. अशा सरळ रेषेला कोन गुणांक नसतो, याचा अर्थ \(f "(0)\) अस्तित्वात नाही.

तर, आम्ही फंक्शनच्या नवीन गुणधर्माशी परिचित झालो - भिन्नता. फंक्शनच्या आलेखावरून ते वेगळे करण्यायोग्य आहे असा निष्कर्ष कसा काढता येईल?

उत्तर प्रत्यक्षात वर दिले आहे. जर एखाद्या बिंदूवर abscissa अक्षाला लंब नसलेल्या फंक्शनच्या आलेखावर स्पर्शिका काढणे शक्य असेल, तर या टप्प्यावर फंक्शन वेगळे करण्यायोग्य आहे. जर एखाद्या बिंदूवर फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका अस्तित्वात नसेल किंवा ती ऍब्सिसा अक्षावर लंब असेल, तर या टप्प्यावर फंक्शन वेगळे करता येणार नाही.

भिन्नतेचे नियम

व्युत्पन्न शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतात भिन्नता. हे ऑपरेशन करत असताना, तुम्हाला बर्‍याचदा भागांक, बेरीज, फंक्शन्सची उत्पादने, तसेच "फंक्शन्स ऑफ फंक्शन्स" म्हणजेच जटिल फंक्शन्ससह कार्य करावे लागते. डेरिव्हेटिव्हच्या व्याख्येच्या आधारे, आम्ही भिन्नता नियम मिळवू शकतो ज्यामुळे हे कार्य सोपे होईल. जर C ही स्थिर संख्या असेल आणि f=f(x), g=g(x) ही काही भिन्न कार्ये असतील तर खालील सत्य आहेत भिन्नता नियम:

काही कार्यांचे व्युत्पन्न सारणी

भूमिती, यांत्रिकी, भौतिकशास्त्र आणि ज्ञानाच्या इतर शाखांच्या विविध समस्या सोडवताना, या कार्यातून समान विश्लेषणात्मक प्रक्रिया वापरण्याची गरज निर्माण झाली. y=f(x)नावाचे नवीन फंक्शन मिळवा व्युत्पन्न कार्य(किंवा फक्त व्युत्पन्न) दिलेल्या फंक्शनचे f(x)आणि चिन्हाद्वारे नियुक्त केले आहे

दिलेल्या फंक्शनमधून जी प्रक्रिया f(x)नवीन वैशिष्ट्य मिळवा f" (x), म्हणतात भिन्नताआणि त्यात खालील तीन पायऱ्या आहेत: 1) युक्तिवाद द्या xवाढ  xआणि फंक्शनची संबंधित वाढ निश्चित करा  y = f(x+ x) -f(x); २) नातं तयार करा

3) मोजणी xस्थिर आणि  x0, आम्ही शोधतो
, जे आम्ही द्वारे सूचित करतो f" (x), जसे की परिणामी कार्य केवळ मूल्यावर अवलंबून आहे यावर जोर देत आहे x, ज्यावर आपण मर्यादेपर्यंत जातो. व्याख्या: व्युत्पन्न y " =f " (x) दिलेले फंक्शन y=f(x) दिलेल्या x साठीफंक्शनच्या वाढीच्या गुणोत्तराच्या वितर्काच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा म्हणतात, जर वितर्काची वाढ शून्याकडे झुकत असेल, जर, अर्थातच, ही मर्यादा अस्तित्वात असेल, म्हणजे. मर्यादित अशा प्रकारे,
, किंवा

लक्षात ठेवा की काही मूल्यासाठी असल्यास x, उदाहरणार्थ जेव्हा x=a, वृत्ती
येथे  x0 मर्यादित मर्यादेकडे झुकत नाही, तर या प्रकरणात ते कार्य म्हणतात f(x)येथे x=a(किंवा बिंदूवर x=a) मध्ये कोणतेही व्युत्पन्न नाही किंवा बिंदूवर भिन्नता नाही x=a.

2. व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ.

y = f (x) फंक्शनचा आलेख विचारात घ्या, बिंदू x 0 च्या परिसरातील भिन्नता

f(x)

फंक्शनच्या आलेखावरील एका बिंदूतून जाणारी अनियंत्रित सरळ रेषा - बिंदू A(x 0, f (x 0)) आणि आलेखाला काही बिंदू B(x;f(x)) मध्ये छेदणारी एक अनियंत्रित सरळ रेषा विचारात घेऊ. अशा रेषेला (AB) सेकंट म्हणतात. ∆ABC वरून: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

एसी पासून || बैल, नंतर ALO = BAC = β (समांतर साठी अनुरूप). परंतु ALO हा ऑक्स अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे सीकंट AB च्या झुकण्याचा कोन आहे. याचा अर्थ tanβ = k हा सरळ रेषेचा AB चा उतार आहे.

आता आपण ∆x कमी करू, म्हणजे. ∆х→ 0. या स्थितीत, आलेखानुसार बिंदू B बिंदू A च्या जवळ जाईल, आणि secant AB फिरेल. ∆x→ 0 वरील सीकंट AB ची मर्यादित स्थिती ही सरळ रेषा (a) असेल, ज्याला बिंदू A वरील फंक्शन y = f (x) च्या आलेखाला स्पर्शिका म्हणतात.

समानता tgβ =∆y/∆x मध्ये ∆x → 0 या मर्यादेवर गेल्यास, आपल्याला मिळेल
ortg =f "(x 0), पासून
- ऑक्स अक्षाच्या सकारात्मक दिशेकडे स्पर्शिकेच्या कलतेचा कोन
, व्युत्पन्न च्या व्याख्येनुसार. पण tg = k हा स्पर्शिकेचा कोनीय गुणांक आहे, ज्याचा अर्थ k = tg = f "(x 0).

तर, व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ खालीलप्रमाणे आहे:

x बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न 0 च्या समान उतार abscissa x सह बिंदूवर काढलेल्या फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिका 0 .

3. व्युत्पन्नाचा भौतिक अर्थ.

एका सरळ रेषेत बिंदूच्या हालचालीचा विचार करा. कोणत्याही वेळी बिंदूचा समन्वय x(t) देऊ द्या. हे ज्ञात आहे (भौतिकशास्त्राच्या अभ्यासक्रमावरून) की एका कालावधीत सरासरी वेग हा या कालावधीत प्रवास केलेल्या अंतराच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचा असतो, म्हणजे.

वाव = ∆x/∆t. शेवटच्या समानतेमध्ये ∆t → 0 या मर्यादेकडे जाऊ.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 वेळी तात्काळ वेग.

आणि lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (व्युत्पन्नाच्या व्याख्येनुसार).

तर, (t) =x"(t).

व्युत्पन्नाचा भौतिक अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: कार्याचे व्युत्पन्नy = f(x) बिंदूवरx 0 फंक्शनच्या बदलाचा दर आहेf(x) बिंदूवरx 0

व्युत्पन्न भौतिकशास्त्रामध्ये समन्वय विरुद्ध वेळ, वेग विरुद्ध वेळ यांच्या ज्ञात कार्यातून प्रवेग शोधण्यासाठी वापरला जातो.

(t) = x"(t) - गती,

a(f) = "(t) - प्रवेग, किंवा

जर वर्तुळातील भौतिक बिंदूच्या गतीचा नियम ज्ञात असेल, तर कोणीही घूर्णन गती दरम्यान कोनीय वेग आणि कोणीय प्रवेग शोधू शकतो:

φ = φ(t) - कालांतराने कोनात बदल,

ω = φ"(t) - कोनीय वेग,

ε = φ"(t) - कोणीय प्रवेग, किंवा ε = φ"(t).

एकसमान रॉडच्या वस्तुमान वितरणाचा नियम ज्ञात असल्यास, एकसमान रॉडची रेखीय घनता आढळू शकते:

m = m(x) - वस्तुमान,

x  , l - रॉडची लांबी,

p = m"(x) - रेखीय घनता.

व्युत्पन्न वापरून, लवचिकता आणि हार्मोनिक कंपनांच्या सिद्धांतातील समस्या सोडवल्या जातात. तर, हुकच्या कायद्यानुसार

F = -kx, x – व्हेरिएबल कोऑर्डिनेट, k – स्प्रिंग लवचिकता गुणांक. ω 2 =k/m ठेवल्यास, आपल्याला स्प्रिंग पेंडुलम x"(t) + ω 2 x(t) = 0 चे विभेदक समीकरण मिळते,

जेथे ω = √k/√m दोलन वारंवारता (l/c), k - स्प्रिंग कडकपणा (H/m).

y" + ω 2 y = 0 या स्वरूपाच्या समीकरणाला हार्मोनिक दोलनांचे समीकरण म्हणतात (यांत्रिक, विद्युतीय, विद्युत चुंबकीय). अशा समीकरणांचे समाधान म्हणजे कार्य

y = Asin(ωt + φ 0) किंवा y = Acos(ωt + φ 0), कुठे

A - दोलनांचे मोठेपणा, ω - चक्रीय वारंवारता,

φ 0 - प्रारंभिक टप्पा.

गणितातील भौतिक समस्या किंवा उदाहरणे सोडवणे व्युत्पन्न आणि त्याची गणना करण्याच्या पद्धतींच्या ज्ञानाशिवाय पूर्णपणे अशक्य आहे. व्युत्पन्न एक आहे सर्वात महत्वाच्या संकल्पनागणितीय विश्लेषण. या मूलभूत विषयआम्ही आजचा लेख समर्पित करण्याचा निर्णय घेतला. डेरिव्हेटिव्ह म्हणजे काय, त्याचा भौतिक आणि भौमितिक अर्थ काय आहे, फंक्शनचे व्युत्पन्न कसे काढायचे? हे सर्व प्रश्न एकामध्ये एकत्र केले जाऊ शकतात: व्युत्पन्न कसे समजून घ्यावे?

व्युत्पन्नाचा भौमितीय आणि भौतिक अर्थ

तेथे एक कार्य होऊ द्या f(x) , ठराविक अंतराने निर्दिष्ट (a, b) . गुण x आणि x0 या मध्यांतराचे आहेत. जेव्हा x बदलतो तेव्हा फंक्शन स्वतःच बदलते. युक्तिवाद बदलणे - त्याच्या मूल्यांमधील फरक x-x0 . हा फरक म्हणून लिहिला आहे डेल्टा x आणि त्याला वितर्क वाढ म्हणतात. फंक्शनमधील बदल किंवा वाढ म्हणजे दोन बिंदूंवरील फंक्शनच्या मूल्यांमधील फरक. व्युत्पन्नाची व्याख्या:

एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे दिलेल्या बिंदूवर फंक्शनच्या वाढीच्या गुणोत्तराची मर्यादा जेव्हा नंतरचे शून्य होते तेव्हा युक्तिवादाच्या वाढीपर्यंत असते.

अन्यथा ते असे लिहिले जाऊ शकते:

अशी मर्यादा शोधण्यात काय अर्थ आहे? आणि ते काय आहे ते येथे आहे:

एका बिंदूवरील फंक्शनचे व्युत्पन्न OX अक्ष आणि दिलेल्या बिंदूवरील फंक्शनच्या आलेखाच्या स्पर्शिकेतील कोनाच्या स्पर्शिकेइतके असते.

भौतिक अर्थव्युत्पन्न: वेळेच्या संदर्भात मार्गाचे व्युत्पन्न रेक्टलाइनर गतीच्या गतीइतके आहे.

खरंच, शाळेच्या दिवसांपासून प्रत्येकाला माहित आहे की वेग हा एक विशिष्ट मार्ग आहे x=f(t) आणि वेळ ट . सरासरी वेगठराविक कालावधीसाठी:

एका क्षणी हालचालीचा वेग शोधण्यासाठी t0 आपल्याला मर्यादा मोजण्याची आवश्यकता आहे:

नियम एक: स्थिरांक सेट करा

व्युत्पन्न चिन्हातून स्थिरांक काढता येतो. शिवाय, हे केले पाहिजे. गणितातील उदाहरणे सोडवताना ते नियमानुसार घ्या - जर तुम्ही एखादी अभिव्यक्ती सोपी करू शकत असाल, तर ते सोपे करा .

उदाहरण. चला व्युत्पन्नाची गणना करूया:

नियम दोन: फंक्शन्सच्या बेरीजचे व्युत्पन्न

दोन फंक्शन्सच्या बेरीजचे व्युत्पन्न या फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्हच्या बेरजेइतके असते. फंक्शन्सच्या फरकाच्या व्युत्पन्नासाठीही हेच खरे आहे.

आम्ही या प्रमेयाचा पुरावा देणार नाही, तर एक व्यावहारिक उदाहरण पाहू.

फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

नियम तीन: फंक्शन्सच्या उत्पादनाचे व्युत्पन्न

दोन भिन्न कार्यांच्या उत्पादनाचे व्युत्पन्न सूत्रानुसार मोजले जाते:

उदाहरण: फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा:

उपाय:

येथे जटिल फंक्शन्सच्या डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करण्याबद्दल बोलणे महत्त्वाचे आहे. कॉम्प्लेक्स फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह हे इंटरमीडिएट आर्ग्युमेंटच्या संदर्भात या फंक्शनच्या डेरिव्हेटिव्हच्या गुणाकाराच्या आणि स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या संदर्भात इंटरमीडिएट आर्ग्युमेंटच्या डेरिव्हेटिव्हच्या बरोबरीचे असते.

वरील उदाहरणामध्ये आपल्याला अभिव्यक्ती आढळते:

या प्रकरणात, मध्यवर्ती युक्तिवाद 8x ते पाचव्या घात आहे. अशा अभिव्यक्तीच्या व्युत्पन्नाची गणना करण्यासाठी, आम्ही प्रथम इंटरमीडिएट आर्ग्युमेंटच्या संदर्भात बाह्य फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करतो आणि नंतर स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या संदर्भात इंटरमीडिएट आर्ग्युमेंटच्या व्युत्पन्नाने गुणाकार करतो.

नियम चार: दोन फंक्शन्सच्या भागाचे व्युत्पन्न

दोन फंक्शन्सच्या भागफलाचे व्युत्पन्न निश्चित करण्यासाठी सूत्र:

आम्ही सुरवातीपासून डमीसाठी डेरिव्हेटिव्हबद्दल बोलण्याचा प्रयत्न केला. हा विषय वाटतो तितका सोपा नाही, म्हणून सावधगिरी बाळगा: उदाहरणांमध्ये अनेकदा त्रुटी असतात, त्यामुळे डेरिव्हेटिव्ह्जची गणना करताना काळजी घ्या.

या आणि इतर विषयांवर कोणतेही प्रश्न असल्यास, तुम्ही विद्यार्थी सेवेशी संपर्क साधू शकता. मागे अल्पकालीनतुम्ही याआधी कधीही व्युत्पन्न गणना केली नसली तरीही आम्ही तुम्हाला सर्वात कठीण चाचण्या सोडवण्यात आणि समस्या सोडवण्यात मदत करू.

जेव्हा एखाद्या व्यक्तीने गणितीय विश्लेषणाचा अभ्यास करण्यासाठी पहिली स्वतंत्र पावले उचलली आणि अस्वस्थ प्रश्न विचारण्यास सुरुवात केली, तेव्हा "कोबीमध्ये विभेदक कॅल्क्युलस आढळले" या वाक्यांशापासून दूर जाणे आता इतके सोपे नाही. त्यामुळे जन्माचे रहस्य उलगडून दाखवण्याची वेळ आली आहे व्युत्पन्न आणि भिन्नता नियमांची सारणी. लेखात सुरुवात केली व्युत्पन्न च्या अर्थाबद्दल, ज्याचा मी अभ्यास करण्याची अत्यंत शिफारस करतो, कारण तेथे आम्ही फक्त व्युत्पन्न संकल्पना पाहिली आणि विषयावरील समस्यांवर क्लिक करणे सुरू केले. या समान धड्यात स्पष्ट व्यावहारिक अभिमुखता आहे, शिवाय,

खाली चर्चा केलेली उदाहरणे, तत्त्वतः, पूर्णपणे औपचारिकपणे प्रभुत्व मिळवू शकतात (उदाहरणार्थ, जेव्हा व्युत्पन्नाचे सार जाणून घेण्याची वेळ/इच्छा नसते). "सामान्य" पद्धत वापरून डेरिव्हेटिव्ह शोधण्यात सक्षम असणे देखील अत्यंत इष्ट आहे (परंतु पुन्हा आवश्यक नाही) - किमान दोन मूलभूत धड्यांच्या पातळीवर:व्युत्पन्न कसे शोधायचे? आणि जटिल कार्याचे व्युत्पन्न.

पण एक गोष्ट आहे ज्याशिवाय आपण आता नक्कीच करू शकत नाही, ती आहे कार्य मर्यादा. मर्यादा म्हणजे काय हे तुम्ही समजून घेतले पाहिजे आणि ते किमान मध्यवर्ती स्तरावर सोडवता आले पाहिजे. आणि सर्व कारण व्युत्पन्न

एका बिंदूवरील कार्य सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

मी तुम्हाला पदनाम आणि अटींची आठवण करून देतो: ते कॉल करतात युक्तिवाद वाढ;

- कार्य वाढ;

- ही एकल चिन्हे आहेत (“डेल्टा” “X” किंवा “Y” वरून “फाटून” जाऊ शकत नाही).

अर्थात, "डायनॅमिक" व्हेरिएबल काय आहे ते स्थिर आहे आणि मर्यादा मोजण्याचा परिणाम आहे - संख्या (कधी कधी - "प्लस" किंवा "मायनस" अनंत).

एक मुद्दा म्हणून, आपण संबंधित कोणत्याही मूल्याचा विचार करू शकता व्याख्या डोमेनकार्य ज्यामध्ये व्युत्पन्न अस्तित्वात आहे.

टीप: "ज्यामध्ये व्युत्पन्न अस्तित्वात आहे" हे कलम आहे सर्वसाधारणपणे ते लक्षणीय आहे! म्हणून, उदाहरणार्थ, फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनमध्ये बिंदू समाविष्ट केला असला तरी, त्याचे व्युत्पन्न

तेथे अस्तित्वात नाही. म्हणून सूत्र

बिंदूवर लागू नाही

आणि आरक्षणाशिवाय एक संक्षिप्त सूत्रीकरण चुकीचे असेल. तत्सम तथ्य आलेखामधील "ब्रेक" असलेल्या इतर फंक्शन्ससाठी खरे आहेत, विशेषतः, आर्क्साइन आणि आर्कोसिनसाठी.

अशा प्रकारे, बदलल्यानंतर, आम्हाला दुसरे कार्यरत सूत्र मिळते:

टीपॉटला गोंधळात टाकणार्‍या कपटी परिस्थितीकडे लक्ष द्या: या मर्यादेत, “x”, स्वतः एक स्वतंत्र व्हेरिएबल असल्याने, आकडेवारीची भूमिका बजावते आणि “गतिशीलता” पुन्हा वाढीद्वारे सेट केली जाते. मर्यादा मोजण्याचा परिणाम

व्युत्पन्न कार्य आहे.

वरील आधारावर, आम्ही दोन विशिष्ट समस्यांच्या परिस्थिती तयार करतो:

- शोधणे एका बिंदूवर व्युत्पन्न, व्युत्पन्न ची व्याख्या वापरून.

- शोधणे व्युत्पन्न कार्य, व्युत्पन्न ची व्याख्या वापरून. ही आवृत्ती, माझ्या निरीक्षणांनुसार, अधिक सामान्य आहे आणि मुख्य लक्ष दिले जाईल.

कार्यांमधील मूलभूत फरक हा आहे की पहिल्या प्रकरणात आपल्याला संख्या शोधण्याची आवश्यकता आहे (पर्यायी, अनंत), आणि दुसऱ्या मध्ये -

कार्य याव्यतिरिक्त, व्युत्पन्न अजिबात अस्तित्वात नाही.

कसे ?

गुणोत्तर तयार करा आणि मर्यादा मोजा.

ते कुठून आले?डेरिव्हेटिव्ह्ज आणि भिन्नता नियमांची सारणी ? फक्त मर्यादा धन्यवाद

हे जादूसारखे दिसते, परंतु

प्रत्यक्षात - हाताची चाप आणि फसवणूक नाही. धडा येथे व्युत्पन्न म्हणजे काय?मी बघू लागलो विशिष्ट उदाहरणे, जेथे, व्याख्या वापरून, मला रेखीय आणि चतुर्भुज कार्याचे व्युत्पन्न सापडले. संज्ञानात्मक वार्म-अपच्या उद्देशाने, आम्ही त्रास देत राहू व्युत्पन्न सारणी, अल्गोरिदम आणि तांत्रिक उपायांचा आदर करणे:

मूलत:, आपल्याला पॉवर फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची एक विशेष केस सिद्ध करणे आवश्यक आहे, जे सहसा टेबलमध्ये दिसते: .

समाधान तांत्रिकदृष्ट्या दोन प्रकारे औपचारिक केले जाते. चला पहिल्या, आधीच परिचित दृष्टिकोनाने सुरुवात करूया: शिडी फळीपासून सुरू होते आणि व्युत्पन्न कार्य एका बिंदूवर व्युत्पन्नाने सुरू होते.

संबंधित काही (विशिष्ट) बिंदू विचारात घ्या व्याख्या डोमेनफंक्शन ज्यामध्ये डेरिव्हेटिव्ह आहे. या टप्प्यावर आपण वाढ सेट करू (अर्थात, कार्यक्षेत्रात o/o -ya) आणि फंक्शनची संबंधित वाढ तयार करा:

चला मर्यादा मोजूया:

0:0 ही अनिश्चितता एका प्रमाणित तंत्राद्वारे दूर केली जाते, जी पहिल्या शतकात BC मध्ये मानली जाते. चला गुणाकार करूया

संयुग्मित अभिव्यक्तीसाठी अंश आणि भाजक :

अशा मर्यादा सोडवण्याच्या तंत्राची येथे तपशीलवार चर्चा केली आहे परिचयात्मक धडा फंक्शन्सच्या मर्यादांबद्दल.

तुम्ही मध्यांतराचा कोणताही बिंदू म्हणून निवडू शकता

मग, बदली केल्यावर, आम्हाला मिळते:

चला पुन्हा एकदा लॉगरिदमचा आनंद घेऊया:

डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या वापरून फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा

ऊत्तराची: समान कार्याला चालना देण्यासाठी वेगळ्या पद्धतीचा विचार करूया. हे अगदी सारखेच आहे, परंतु डिझाइनच्या बाबतीत अधिक तर्कसंगत आहे. कल्पनेतून सुटका करून घ्यायची आहे

सबस्क्रिप्ट करा आणि अक्षराऐवजी अक्षर वापरा.

संबंधित एका अनियंत्रित बिंदूचा विचार करा व्याख्या डोमेनफंक्शन (मध्यांतर), आणि त्यात वाढ सेट करा. परंतु येथे, तसे, बहुतेक प्रकरणांप्रमाणे, आपण कोणत्याही आरक्षणाशिवाय करू शकता, पासून लॉगरिदमिक कार्यपरिभाषेच्या क्षेत्रात कोणत्याही टप्प्यावर भिन्नता.

मग फंक्शनची संबंधित वाढ आहे:

चला व्युत्पन्न शोधूया:

डिझाइनची साधेपणा संभ्रमामुळे संतुलित आहे

नवशिक्यांमध्ये आढळतात (आणि केवळ नाही). शेवटी, "X" अक्षर मर्यादेत बदलते याची आपल्याला सवय आहे! परंतु येथे सर्व काही वेगळे आहे: - एक प्राचीन पुतळा आणि - एक जिवंत पाहुणा, संग्रहालयाच्या कॉरिडॉरच्या बाजूने वेगाने चालत आहे. म्हणजेच, "x" हे "स्थिर सारखे" आहे.

मी टप्प्याटप्प्याने अनिश्चितता दूर करण्यावर टिप्पणी देईन:

(1) लॉगरिदम गुणधर्म वापरणे.

(2) कंसात, अंशाला पदानुसार भाजक पदाने भागा.

(3) भाजकामध्ये, आपण कृत्रिमरित्या "x" ने गुणाकार आणि भागाकार करतो

अद्भुत मर्यादेचा लाभ घ्या , असे असताना अमर्यादकायदे.

उत्तर: व्युत्पन्नाच्या व्याख्येनुसार:

किंवा थोडक्यात:

मी स्वतः आणखी दोन सारणी सूत्र तयार करण्याचा प्रस्ताव देतो:

व्याख्येनुसार व्युत्पन्न शोधा

या प्रकरणात, संकलित वाढ ताबडतोब एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे सोयीचे आहे. धड्याच्या शेवटी असाइनमेंटचा अंदाजे नमुना (पहिली पद्धत).

व्याख्येनुसार व्युत्पन्न शोधा

आणि येथे सर्वकाही एक उल्लेखनीय मर्यादेपर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे. समाधान दुसऱ्या प्रकारे औपचारिक केले जाते.

इतर अनेक सारणी व्युत्पन्न. पूर्ण यादीमध्ये आढळू शकते शालेय पाठ्यपुस्तक, किंवा, उदाहरणार्थ, Fichtenholtz चा पहिला खंड. मला पुस्तकांमधून भिन्नता नियमांचे पुरावे कॉपी करण्यात फारसा फायदा दिसत नाही - ते देखील व्युत्पन्न केले जातात

सुत्र

चला प्रत्यक्षात समोर आलेल्या कार्यांकडे वळूया: उदाहरण 5

फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा , व्युत्पन्न ची व्याख्या वापरून

उपाय: प्रथम डिझाइन शैली वापरा. चला काही मुद्द्यांचा विचार करूया आणि त्यावर युक्तिवादाची वाढ सेट करूया. मग फंक्शनची संबंधित वाढ आहे:

कदाचित काही वाचकांना अद्याप हे तत्त्व पूर्णपणे समजले नसेल की ज्याद्वारे वाढ करणे आवश्यक आहे. एक बिंदू (संख्या) घ्या आणि त्यातील फंक्शनचे मूल्य शोधा: , म्हणजे फंक्शनमध्ये

"X" ऐवजी तुम्ही बदलले पाहिजे. आता ते घेऊ

संकलित कार्य वाढ ताबडतोब सोपे करणे फायदेशीर ठरू शकते. कशासाठी? पुढील मर्यादेपर्यंत समाधान सुलभ करा आणि लहान करा.

आम्ही सूत्रे वापरतो, कंस उघडतो आणि कमी करता येणारी प्रत्येक गोष्ट कमी करतो:

टर्की गळून गेली आहे, भाजण्यात कोणतीही अडचण नाही:

अखेरीस:

आपण मूल्य म्हणून कोणतीही वास्तविक संख्या निवडू शकत असल्याने, आम्ही बदली करतो आणि मिळवतो .

उत्तर: a-priory.

पडताळणीच्या हेतूंसाठी, नियम वापरून व्युत्पन्न शोधू या

भिन्नता आणि सारण्या:

योग्य उत्तर अगोदरच जाणून घेणे केव्हाही उपयुक्त आणि आनंददायी असते, त्यामुळे सोल्यूशनच्या अगदी सुरुवातीलाच, मानसिकदृष्ट्या किंवा मसुद्यात, "त्वरित" मार्गाने प्रस्तावित कार्य वेगळे करणे चांगले आहे.

डेरिव्हेटिव्हच्या व्याख्येनुसार फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. परिणाम स्पष्ट आहे:

चला शैली #2 वर परत जाऊ: उदाहरण 7

काय घडले पाहिजे ते त्वरित शोधूया. द्वारे जटिल कार्यांच्या भिन्नतेचा नियम:

उपाय: संबंधित एका अनियंत्रित बिंदूचा विचार करा, त्यावर युक्तिवादाची वाढ सेट करा आणि वाढ करा

चला व्युत्पन्न शोधूया:

(१) आपण त्रिकोणमितीय सूत्र वापरतो

(2) साइन अंतर्गत आपण कंस उघडतो, कोसाइन अंतर्गत आपण समान संज्ञा सादर करतो.

(3) साइन अंतर्गत आपण संज्ञा रद्द करतो, कोसाइन अंतर्गत आपण अंशाला पदानुसार भाजक पदाने विभाजित करतो.

(4) साइनच्या विषमतेमुळे, आम्ही "वजा" काढतो. कोसाइन अंतर्गत

आम्ही हे शब्द सूचित करतो.

(5) आम्ही वापरण्यासाठी भाजकामध्ये कृत्रिम गुणाकार करतो पहिली अद्भुत मर्यादा. अशा प्रकारे, अनिश्चितता दूर झाली आहे, चला निकाल व्यवस्थित करूया.

उत्तरः व्याख्येनुसार तुम्ही बघू शकता, विचाराधीन समस्येची मुख्य अडचण यावर अवलंबून आहे

अत्यंत मर्यादेची जटिलता + पॅकेजिंगची थोडी मौलिकता. सराव मध्ये, डिझाइनच्या दोन्ही पद्धती आढळतात, म्हणून मी दोन्ही दृष्टिकोन शक्य तितक्या तपशीलवार वर्णन करतो. ते समतुल्य आहेत, परंतु तरीही, माझ्या व्यक्तिनिष्ठ छापानुसार, डमींना “X-शून्य” सह पर्याय 1 ला चिकटून राहणे अधिक उचित आहे.

व्याख्या वापरून, फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवायचे काम आहे. नमुना मागील उदाहरणाप्रमाणेच डिझाइन केला आहे.

चला समस्येची दुर्मिळ आवृत्ती पाहू:

डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या वापरून एका बिंदूवर फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा.

प्रथम, तळ ओळ काय असावी? संख्या मानक पद्धतीने उत्तराची गणना करूया:

ऊत्तराची: स्पष्टतेच्या दृष्टिकोनातून, हे कार्य बरेच सोपे आहे, कारण सूत्रामध्ये, त्याऐवजी

विशिष्ट मूल्य मानले जाते.

बिंदूवर वाढ सेट करू आणि फंक्शनची संबंधित वाढ तयार करू:

चला एका बिंदूवर व्युत्पन्नाची गणना करू:

आम्ही एक अत्यंत दुर्मिळ स्पर्शिक फरक सूत्र वापरतो आणि पुन्हा एकदा आम्ही पहिले समाधान कमी करतो

उल्लेखनीय मर्यादा:

उत्तर: एका बिंदूवर व्युत्पन्नाच्या व्याख्येनुसार.

समस्या सोडवणे इतके अवघड नाही आणि “इन सामान्य दृश्य"- नखे बदलणे पुरेसे आहे किंवा फक्त डिझाइन पद्धतीवर अवलंबून आहे. या प्रकरणात, हे स्पष्ट आहे की परिणाम संख्या नसून व्युत्पन्न कार्य असेल.

उदाहरण 10 व्याख्या वापरून, फंक्शनचे व्युत्पन्न शोधा बिंदूवर

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे.

अंतिम बोनस कार्य प्रामुख्याने गणितीय विश्लेषणाचा सखोल अभ्यास असलेल्या विद्यार्थ्यांसाठी आहे, परंतु ते इतर कोणालाही त्रास देणार नाही:

फंक्शन वेगळे करता येईल का? टप्प्यावर?

ऊत्तराची: हे उघड आहे की तुकड्यानुसार दिलेले कार्य एका बिंदूवर सतत असते, परंतु ते तेथे भिन्न असेल का?

सोल्यूशन अल्गोरिदम, आणि केवळ पीसवाइज फंक्शन्ससाठीच नाही, खालीलप्रमाणे आहे:

1) दिलेल्या बिंदूवर डावीकडील व्युत्पन्न शोधा: .

2) दिलेल्या बिंदूवर उजव्या हाताने व्युत्पन्न शोधा: .

3) जर एकतर्फी व्युत्पन्न मर्यादित असतील आणि एकरूप असतील:

, नंतर फंक्शन बिंदूवर भिन्न आहे

भौमितिकदृष्ट्या, येथे एक सामान्य स्पर्शिका आहे (धड्याचा सैद्धांतिक भाग पहा डेरिव्हेटिव्हची व्याख्या आणि अर्थ).

दोन प्राप्त झाल्यास भिन्न अर्थ: (त्यापैकी एक असीम असू शकते), तर फंक्शन बिंदूवर भिन्न नाही.

जर दोन्ही एकतर्फी व्युत्पन्न अनंताच्या समान असतील

(जरी त्यांच्याकडे भिन्न चिन्हे असली तरीही), नंतर कार्य नाही

बिंदूवर भिन्नता आहे, परंतु आलेखाला अनंत व्युत्पन्न आणि सामान्य अनुलंब स्पर्शिका आहे (उदाहरण धडा 5 पहासामान्य समीकरण) .

या धड्यात आपण भेदभावाचे सूत्र आणि नियम लागू करायला शिकू.

उदाहरणे. फंक्शन्सचे डेरिव्हेटिव्ह शोधा.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. नियम लागू करणे आय, सूत्रे ४, २ आणि १. आम्हाला मिळते:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. आम्ही समान सूत्रे आणि सूत्र वापरून त्याच प्रकारे निराकरण करतो 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

नियम लागू करणे आय, सूत्रे 3, 5 आणि 6 आणि 1.

नियम लागू करणे IV, सूत्रे 5 आणि 1 .

पाचव्या उदाहरणात, नियमानुसार आयबेरीजचे व्युत्पन्न व्युत्पन्नाच्या बेरजेइतके असते आणि आम्हाला फक्त पहिल्या पदाचे व्युत्पन्न आढळले (उदाहरणार्थ 4 ), म्हणून, आम्ही डेरिव्हेटिव्ह्ज शोधू 2राआणि 3राअटी आणि 1 ला summand आपण लगेच निकाल लिहू शकतो.

चला वेगळे करूया 2राआणि 3रासूत्रानुसार अटी 4 . हे करण्यासाठी, आम्ही भाजकांमधील तिसऱ्या आणि चौथ्या शक्तींच्या मुळे नकारात्मक घातांक असलेल्या शक्तींमध्ये रुपांतरित करतो आणि नंतर, त्यानुसार 4 सूत्र, आम्हाला शक्तीचे व्युत्पन्न सापडतात.

च्या कडे पहा हे उदाहरणआणि परिणाम प्राप्त झाला. तुम्ही नमुना पकडला का? ठीक आहे. याचा अर्थ आमच्याकडे एक नवीन सूत्र आहे आणि ते आमच्या डेरिव्हेटिव्ह टेबलमध्ये जोडू शकतो.

सहावे उदाहरण सोडवू आणि दुसरे सूत्र काढू.

चला नियम वापरुया IVआणि सूत्र 4 . परिणामी अपूर्णांक कमी करू.

बघूया हे कार्यआणि त्याचे व्युत्पन्न. आपण, अर्थातच, नमुना समजून घ्या आणि सूत्राचे नाव देण्यास तयार आहात:

नवीन सूत्र शिकत आहे!

उदाहरणे.

1. युक्तिवादाची वाढ आणि फंक्शन y= ची वाढ शोधा x २, जर वितर्काचे प्रारंभिक मूल्य समान असेल 4 , आणि नवीन - 4,01 .

उपाय.

नवीन युक्तिवाद मूल्य x=x 0 +Δx. चला डेटा बदलू: 4.01=4+Δх, त्यामुळे युक्तिवादाची वाढ Δх=४.०१-४=०.०१. फंक्शनची वाढ, व्याख्येनुसार, फंक्शनच्या नवीन आणि मागील मूल्यांमधील फरकाच्या समान आहे, म्हणजे. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). आमच्याकडे एक कार्य असल्याने y=x2, ते Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

उत्तर: युक्तिवाद वाढ Δх=0.01; कार्य वाढ Δу=0,0801.

फंक्शन वाढ वेगळ्या प्रकारे आढळू शकते: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. फंक्शनच्या आलेखाला स्पर्शिकेच्या कलतेचा कोन शोधा y=f(x)बिंदूवर x ०, तर f "(x 0) = 1.

उपाय.

स्पर्शिकेच्या बिंदूवर व्युत्पन्नाचे मूल्य x ०आणि हे स्पर्शकोनाच्या स्पर्शिकेचे मूल्य आहे (व्युत्पन्नाचा भौमितीय अर्थ). आमच्याकडे आहे: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,कारण tg45°=1.

उत्तर: या फंक्शनच्या आलेखाची स्पर्शिका ऑक्स अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने एक कोन बनवते ४५°.

3. फंक्शनच्या व्युत्पन्नासाठी सूत्र काढा y=x n.

भेदफंक्शनचे व्युत्पन्न शोधण्याची क्रिया आहे.

व्युत्पन्न शोधताना, डेरिव्हेटिव्हच्या व्याख्येवर आधारित सूत्रे वापरा, जसे आपण व्युत्पन्न पदवीचे सूत्र काढले आहे: (x n)" = nx n-1.

ही सूत्रे आहेत.

व्युत्पन्न सारणीशाब्दिक फॉर्म्युलेशन उच्चारून लक्षात ठेवणे सोपे होईल:

1. स्थिर प्रमाणाचे व्युत्पन्न शून्य आहे.

2. X अविभाज्य एक समान आहे.

3. व्युत्पन्नाच्या चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो.

4. पदवीचे व्युत्पन्न समान पाया असलेल्या अंशाने या अंशाच्या घातांकाच्या गुणाकाराच्या समान असते, परंतु घातांक एक कमी असतो.

5. मूळचे व्युत्पन्न दोन समान मुळांनी भागिले एक समान असते.

6. एक भागिले x चे व्युत्पन्न व्युत्पन्न एक भागिले x वर्गाच्या समान असते.

7. साइनचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या बरोबरीचे आहे.

8. कोसाइनचे व्युत्पन्न वजा साइन सारखे आहे.

9. स्पर्शिकेचे व्युत्पन्न कोसाइनच्या वर्गाने भागलेल्या एका बरोबरीचे असते.

10. कोटॅंजेंटचे व्युत्पन्न साइनच्या वर्गाने भागले जाणारे वजा एक इतके असते.

आम्ही शिकवतो भिन्नता नियम.

1. बीजगणितीय बेरीजचे व्युत्पन्न हे पदांच्या व्युत्पन्नांच्या बीजगणितीय बेरजेइतके असते.

2. उत्पादनाचे व्युत्पन्न हे पहिल्या घटकाच्या व्युत्पन्नाच्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे असते आणि दुसर्‍याचे अधिक पहिल्या घटकाचे व्युत्पन्न आणि दुसऱ्याचे व्युत्पन्न असते.

3. “y” चे व्युत्पन्न भाग “ve” ने भागलेल्‍या अपूर्णांकाच्‍या बरोबरीचे आहे ज्यामध्‍ये अंश "y अविभाज्य गुणाकार "ve" वजा "y अविभाज्य गुणाकार ve अविभाज्य" आहे, आणि भाजक "ve वर्ग" आहे.

4. विशेष प्रकरणसूत्रे 3.

चला एकत्र शिकूया!

पृष्ठ 1 पैकी 1 1