මෙහිදී ඔබට පිරමිඩ සහ ඒ ආශ්‍රිත සූත්‍ර සහ සංකල්ප පිළිබඳ මූලික තොරතුරු සොයා ගත හැක. ඔවුන් සියල්ලන්ම ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට සූදානම් වීමේදී ගණිත උපදේශකයෙකු සමඟ ඉගෙන ගනු ලැබේ.

ගුවන් යානයක්, බහුඅස්රයක් සලකා බලන්න , එහි බොරු සහ ලක්ෂ්යයක් S, එය තුළ බොරු නොවේ. බහුඅස්‍රයේ සියලුම සිරස් වලට S සම්බන්ධ කරමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන බහුඅවයව පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වේ. කොටස් පැති ඉළ ඇට ලෙස හැඳින්වේ. බහුඅස්රය පදනම ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, S ලක්ෂය පිරමීඩයේ මුදුනයි. n අංකයට අනුව පිරමීඩය ත්‍රිකෝණාකාර (n=3), හතරැස් (n=4), පංචෙන්ද්‍රිය (n=5) යනාදී ලෙස හැඳින්වේ. විකල්ප මාතෘකාවත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය - tetrahedron. පිරමීඩයක උස යනු එහි මුදුනේ සිට පාදමේ තලය දක්වා ලම්බකව බැසීමයි.

පිරමීඩයක් සාමාන්‍ය නම් ලෙස හැඳින්වේ නිත්‍ය බහුඅස්‍රයක් වන අතර පිරමීඩයේ උන්නතාංශයේ පාදම (ලම්බක පාදය) එහි කේන්ද්‍රය වේ.

ගුරුවරයාගේ අදහස:
"සාමාන්‍ය පිරමීඩය" සහ "සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රන්" යන සංකල්ප ව්‍යාකූල නොකරන්න. දකුණු පිරමීඩයේ පාර්ශ්වික ඉළ ඇටපාදයේ දාරවලට අනිවාර්යයෙන්ම සමාන නොවේ, නමුත් සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රොනයක දාරවල දාර 6ම සමාන වේ. මෙය ඔහුගේ නිර්වචනයයි. බහුඅස්‍රයේ P කේන්ද්‍රය සමපාත වන බව සමානාත්මතාවයෙන් ඇඟවෙන බව ඔප්පු කිරීම පහසුය පාදක උසකින් යුක්ත වන බැවින් සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනය සාමාන්‍ය පිරමීඩයකි.

apothem යනු කුමක්ද?
පිරමීඩයක අපොතම් යනු එහි පැති මුහුණේ උසයි. පිරමීඩය නිත්‍ය නම්, එහි සියලුම අපොතම් සමාන වේ. ප්රතිලෝම සත්ය නොවේ.

ඔහුගේ පාරිභාෂිතය ගැන ගණිත උපදේශකයෙක්: පිරමිඩ සමඟ වැඩ 80% ත්රිකෝණ වර්ග දෙකක් හරහා ගොඩනගා ඇත:
1) apothem SK සහ උස SP අඩංගු වීම
2) පාර්ශ්වීය කෙළවර SA සහ එහි ප්රක්ෂේපණය PA අඩංගු වේ

මෙම ත්‍රිකෝණ සඳහා යොමු කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, ගණිත උපදේශකයෙකුට ඒවායින් පළමුවැන්න ඇමතීම වඩාත් පහසු වේ. අපොතමල්, සහ දෙවන වියදම් සහිත. අවාසනාවකට, ඔබට මෙම පාරිභාෂිතය කිසිදු පෙළපොතක සොයාගත නොහැකි අතර, ගුරුවරයා එය ඒකපාර්ශ්විකව හඳුන්වා දිය යුතුය.

පිරමීඩයක පරිමාව සඳහා සූත්රය:
1) , පිරමීඩයේ පාදයේ ප්රදේශය කොතැනද, සහ පිරමීඩයේ උස වේ
2) , ශිලාලේඛනගත ගෝලයේ අරය කොහිද සහ පිරමීඩයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය වේ.
3) , MN යනු ඕනෑම හරස් දාර දෙකක් අතර දුර වන අතර, ඉතිරි දාර හතරේ මැද ලක්ෂ්‍ය මගින් සාදනු ලබන සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය වේ.

පිරමීඩයක උස පාදයේ දේපල:

P ලක්ෂ්‍යය (රූපය බලන්න) පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් පිරමීඩයේ පාදයේ ඇති ශිලාලේඛන රවුමේ කේන්ද්‍රය සමග සමපාත වේ:
1) සියලුම apothems සමාන වේ
2) සියල්ල පැති මුහුණුපදනමට සමානව නැඹුරු
3) සියලුම අපෝටම් පිරමීඩයේ උසට සමානව නැඹුරු වේ
4) පිරමීඩයේ උස සියලු පැති මුහුණු වලට සමානව නැඹුරු වේ

ගණිත ගුරුවරයාගේ අදහස: සියලුම කරුණු වලට පොදු එක දෙයක් ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න පොදු දේපල: එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින්, පාර්ශ්වීය මුහුණු සෑම තැනකම සම්බන්ධ වේ (apothems ඔවුන්ගේ මූලද්රව්ය වේ). එමනිසා, ගුරුවරයාට අඩු නිවැරදි, නමුත් ඉගෙනීම සඳහා වඩාත් පහසු, සූත්‍රගත කිරීම සඳහා ඉදිරිපත් කළ හැකිය: P ලක්ෂ්‍යය එහි පාර්ශ්වීය මුහුණු පිළිබඳ සමාන තොරතුරු තිබේ නම්, පිරමීඩයේ පාදම වන ශිලාලේඛන කවයේ කේන්ද්‍රය සමඟ සමපාත වේ. එය ඔප්පු කිරීම සඳහා, සියලු apothem ත්රිකෝණ සමාන බව පෙන්වීම ප්රමාණවත්ය.

කොන්දේසි තුනෙන් එකක් සත්‍ය නම්, P ලක්ෂ්‍යය පිරමීඩයේ පාදය ආසන්නයේ ඇති කවයක කේන්ද්‍රය සමඟ සමපාත වේ:
1) සියලුම පැති දාර සමාන වේ
2) සියලුම පැති ඉළ ඇට පාදයට සමානව නැඹුරු වේ
3) සියලුම පැති ඉළ ඇට උසට සමානව නැඹුරු වේ

පිරමීඩය. කප්පාදු පිරමීඩය

පිරමීඩයබහුඅස්‍රයකි, එහි එක් මුහුණක් බහුඅස්‍රයකි ( පදනම ), සහ අනෙකුත් සියලුම මුහුණු පොදු ශීර්ෂයක් සහිත ත්‍රිකෝණ වේ ( පැති මුහුණු ) (රූපය 15). පිරමීඩය ලෙස හැඳින්වේ නිවැරදි , එහි පාදය නිත්‍ය බහුඅස්‍රයක් නම් සහ පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කර තිබේ නම් (රූපය 16). සියලුම දාර සමාන වන ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වේ tetrahedron .

පාර්ශ්වික ඉළ ඇටයපිරමීඩයක යනු පාදයට අයත් නොවන පැති මුහුණේ පැත්තයි උස පිරමීඩය යනු එහි මුදුනේ සිට පාදමේ තලයට ඇති දුරයි. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක සියලුම පාර්ශ්වීය දාර එකිනෙකට සමාන වේ, සියලුම පාර්ශ්වීය මුහුණු සමාන වේ සමද්වීපාද ත්රිකෝණ. නිත්‍ය පිරමීඩයක ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද පැත්තේ මුහුණතෙහි උස ලෙස හැඳින්වේ apothem . විකර්ණ අංශය එකම මුහුණට අයත් නොවන පාර්ශ්වීය දාර දෙකක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයකින් පිරමීඩයේ කොටසක් ලෙස හැඳින්වේ.

පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශයපිරමීඩය යනු සියලුම පාර්ශ්වීය මුහුණුවල ප්‍රදේශ වල එකතුවයි. මුළු මතුපිට ප්රදේශය සියලුම පැති මුහුණු සහ පාදයේ ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස හැඳින්වේ.

න්‍යායන්

1. පිරමීඩයක සියලුම පාර්ශ්වීය දාර පාදමේ තලයට සමානව නැඹුරු වී තිබේ නම්, පිරමීඩයේ මුදුන පාදම ආසන්නයේ රවුම් කර ඇති රවුමේ මැදට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

2. පිරමීඩයක සියලුම පැති දාර සමාන දිගක් තිබේ නම්, පිරමීඩයේ මුදුන පාදම ආසන්නයේ රවුම් කර ඇති රවුමක මැදට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

3. පිරමීඩයක ඇති සියලුම මුහුණු පාදයේ තලයට සමානව නැඹුරු නම්, පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ කොටා ඇති රවුමක මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

අත්තනෝමතික පිරමීඩයක පරිමාව ගණනය කිරීම සඳහා නිවැරදි සූත්‍රය වන්නේ:

කොහෙද වී- පරිමාව;

එස් පදනම- මූලික ප්රදේශය;

එච්- පිරමීඩයේ උස.

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් සඳහා, පහත සූත්‍ර නිවැරදි වේ:

කොහෙද පි- මූලික පරිමිතිය;

h a- apothem;

එච්- උස;

S පිරී ඇත

එස් පැත්ත

එස් පදනම- මූලික ප්රදේශය;

වී- සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පරිමාව.

කප්පාදු පිරමීඩයපිරමීඩයේ පාදයට සමාන්තරව පාදම සහ කැපුම් තලයක් අතර වසා ඇති පිරමීඩයේ කොටස ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 17). නිතිපතා කපා දැමූ පිරමීඩය පාදම සහ පිරමීඩයේ පාදයට සමාන්තරව කැපුම් තලයක් අතර වසා ඇති නිත්‍ය පිරමීඩයක කොටසකි.

පිට්ටනිකපන ලද පිරමීඩය - සමාන බහුඅස්ර. පැති මුහුණු - trapezoids. උස කපා හරින ලද පිරමීඩයක පාදම අතර දුර වේ. විකර්ණ කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක් යනු එකම මුහුණේ පිහිටා නැති එහි සිරස් සම්බන්ධ කරන කොටසකි. විකර්ණ අංශය යනු එකම මුහුණට අයත් නොවන පාර්ශ්වීය දාර දෙකක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයකින් කපා දැමූ පිරමීඩයක කොටසකි.

කපා දැමූ පිරමීඩයක් සඳහා පහත සූත්‍ර වලංගු වේ:

(4)

කොහෙද එස් 1 , එස් 2 - ඉහළ සහ පහළ පාදවල ප්රදේශ;

S පිරී ඇත- සම්පූර්ණ මතුපිට ප්රදේශය;

එස් පැත්ත- පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය;

එච්- උස;

වී- කැපූ පිරමීඩයක පරිමාව.

සාමාන්‍ය කප්පාදු පිරමීඩයක් සඳහා සූත්‍රය නිවැරදි වේ:

කොහෙද පි 1 , පි 2 - කඳවුරුවල පරිමිතිය;

h a- නිත්‍ය කප්පාදු කරන ලද පිරමීඩයක ඇපොතම්.

උදාහරණ 1.නිත්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක, පාදයේ ඇති ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණය 60º වේ. පාදයේ තලයට පැති දාරයේ ආනතියේ කෝණයේ ස්පර්ශකය සොයා ගන්න.

විසඳුම.අපි චිත්රයක් සාදා ගනිමු (රූපය 18).

පිරමීඩය නිත්‍ය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ පාදයේ සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක් ඇති අතර පැති මුහුණු සියල්ලම සමාන සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණ වේ. පාදයේ ඇති ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණය යනු පිරමීඩයේ පැති මුහුණත පාදයේ තලයට නැඹුරුවන කෝණයයි. රේඛීය කෝණය යනු කෝණයයි aලම්බක දෙකක් අතර: ආදිය. පිරමීඩයේ මුදුන ත්‍රිකෝණයේ මධ්‍යයේ ප්‍රක්ෂේපණය කර ඇත (ත්‍රිකෝණයේ වට රවුමේ කේන්ද්‍රය සහ ලියා ඇති කවය ABC) පැති දාරයේ ආනතියේ කෝණය (උදාහරණයක් ලෙස එස්.බී.) යනු දාරය සහ පාදමේ තලය මත එහි ප්රක්ෂේපණය අතර කෝණයයි. ඉළ ඇටය සඳහා එස්.බී.මෙම කෝණය කෝණය වනු ඇත එස්.බී.ඩී. ස්පර්ශකය සොයා ගැනීමට ඔබ කකුල් දැන සිටිය යුතුය SOසහ O.B.. කොටසේ දිග ඉඩ දෙන්න BD 3 ට සමාන වේ ඒ. තිත් ගැනකොටස BDකොටස් වලට බෙදා ඇත: සහ අපි සොයා ගනිමු SO: අපි සොයා ගන්නේ:

පිළිතුර:

උදාහරණ 2.නිත්‍ය කප්පාදු කරන ලද හතරැස් පිරමීඩයක පරිමාව සොයන්න, එහි පාදවල විකර්ණ cm සහ cm ට සමාන වන අතර එහි උස 4 cm වේ.

විසඳුම.කපන ලද පිරමීඩයක පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා, අපි සූත්රය (4) භාවිතා කරමු. පාදවල ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට, ඒවායේ විකර්ණ දැනගෙන පාදක කොටු වල පැති සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. පාදවල පැති පිළිවෙලින් 2 cm සහ 8 cm ට සමාන වේ, මෙයින් අදහස් කරන්නේ පාදවල ප්‍රදේශ සහ සියලු දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කිරීම, අපි කපා දැමූ පිරමීඩයේ පරිමාව ගණනය කරමු:

පිළිතුර: 112 cm 3.

උදාහරණය 3.සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර කැපූ පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මුහුණතෙහි ප්‍රදේශය සොයා ගන්න, එහි පාදවල පැති 10 cm සහ 4 cm වන අතර පිරමීඩයේ උස සෙන්ටිමීටර 2 කි.

විසඳුම.අපි චිත්රයක් සාදා ගනිමු (රූපය 19).

මෙම පිරමීඩයේ පැති මුහුණ සමද්වීපක trapezoid වේ. trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ පදනම සහ උස දැන සිටිය යුතුය. කොන්දේසිය අනුව පදනම ලබා දී ඇත, උස පමණක් නොදනී. අපි ඇයව කොහෙන්ද සොයා ගනිමු ඒ 1 ඊලක්ෂ්‍යයක සිට ලම්බකව ඒ 1 පහළ පාදයේ තලය මත, ඒ 1 ඩී- සිට ලම්බකව ඒ 1 බැගින් AC. ඒ 1 ඊ= 2 සෙ.මී., මෙය පිරමීඩයේ උස වන බැවින්. සොයා ගැනීමට DEඉහළ දර්ශනය පෙන්වන අතිරේක ඇඳීමක් කරමු (රූපය 20). තිත් ගැන- ඉහළ සහ පහළ පාදවල මධ්යස්ථානවල ප්රක්ෂේපණය. සිට (රූපය 20 බලන්න) සහ අනෙක් අතට හරි- රවුමේ කොටා ඇති අරය සහ OM- අරය රවුමක කොටා ඇත:

MK = DE.

සිට පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව

පැති මුහුණත ප්රදේශය:

පිළිතුර:

උදාහරණය 4.පිරමීඩයේ පාමුල සමද්වීපක trapezoid පිහිටා ඇති අතර එහි පාදම වේ ඒසහ ආ (a> ආ) එක් එක් පැත්තේ මුහුණත පිරමීඩයේ පාදයේ තලයට සමාන කෝණයක් සාදයි j. පිරමීඩයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨය සොයා ගන්න.

විසඳුම.අපි චිත්රයක් සාදා ගනිමු (රූපය 21). පිරමීඩයේ මුළු මතුපිට ප්රමාණය SABCDප්‍රදේශ වල එකතුවට සහ trapezoid ප්‍රදේශයට සමාන වේ ABCD.

පිරමීඩයේ සියලුම මුහුණු පාදයේ තලයට සමානව නැඹුරු නම්, එම සිරස් පාදයේ කොටා ඇති රවුමේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ යන ප්‍රකාශය අපි භාවිතා කරමු. තිත් ගැන- vertex ප්රක්ෂේපණය එස්පිරමීඩයේ පාමුල. ත්රිකෝණය SODත්රිකෝණයේ විකලාංග ප්රක්ෂේපණය වේ CSDපදනමේ තලයට. තල රූපයක විකලාංග ප්‍රක්ෂේපණයේ ප්‍රදේශය පිළිබඳ ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

ඒ හා සමානව එහි තේරුම මේ අනුව, ගැටළුව trapezoid ප්රදේශය සොයා ගැනීම දක්වා අඩු විය ABCD. අපි trapezoid එකක් අඳිමු ABCDවෙන වෙනම (රූපය 22). තිත් ගැන- trapezoid එකක කොටා ඇති රවුමක කේන්ද්‍රය.

කවයක් trapezoid එකක සටහන් කළ හැකි බැවින්, එසේත් නැතිනම් පයිතගරස් ප්‍රමේයය වෙතින්

ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයට ඇතුළත් කර ඇති කාර්යයන් අපි දිගටම සලකා බලමු. කොන්දේසිය ලබා දී ඇති ගැටළු අපි දැනටමත් අධ්‍යයනය කර ඇති අතර ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හෝ කෝණයක් අතර දුර සෙවීමට අවශ්‍ය වේ.

පිරමීඩයක් යනු බහුඅස්‍රයකි, එහි පාදය බහුඅස්‍රයකි, ඉතිරි මුහුණු ත්‍රිකෝණ වේ, ඒවාට පොදු ශීර්ෂයක් ඇත.

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් යනු පිරමීඩයක් වන අතර එහි පාදයේ සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක් පිහිටා ඇති අතර එහි සිරස් පාදයේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය වේ.

නිත්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක් - පාදම චතුරස්‍රයකි, පාදයේ විකර්ණවල ඡේදනය වන ස්ථානයේ ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

ML - apothem
∠MLO - පිරමීඩයේ පාදයේ ඇති ද්වීධක කෝණය
∠MCO - පිරමීඩයේ පාදයේ පාර්ශ්වීය දාරය සහ තලය අතර කෝණය

මෙම ලිපියෙන් අපි නිතිපතා පිරමීඩයක් විසඳීමට ඇති ගැටළු දෙස බලමු. ඔබ යම් මූලද්රව්යයක්, පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය, පරිමාව, උස සොයා ගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ පයිතගරස් ප්රමේයය, පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය සඳහා සූත්රය සහ පිරමීඩයේ පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය දැන සිටිය යුතුය.

ලිපියේ ස්ටීරියෝමිතියේ ගැටළු විසඳීමට අවශ්‍ය සූත්‍ර "" ඉදිරිපත් කරයි. ඉතින්, කාර්යයන්:

SABCDතිත ඕ- පාදයේ මැද,එස්ශීර්ෂය, SO = 51, ඒ.සී.= 136. පැති දාරය සොයන්නඑස්.සී..

මෙම අවස්ථාවේ දී, පදනම චතුරස්රයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ විකර්ණ AC සහ BD සමාන වන අතර, ඒවා ඡේදනය වන අතර ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් බෙදනු ලැබේ. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක එහි මුදුනේ සිට පහළට වැටෙන උස පිරමීඩයේ පාදම මැදින් ගමන් කරන බව සලකන්න. එබැවින් SO යනු උස සහ ත්රිකෝණයයිSOCසෘජුකෝණාස්රාකාර. එවිට පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව:

සිට මූල උපුටා ගන්නේ කෙසේද විශාල සංඛ්යාවක්.

පිළිතුර: 85

ඔබම තීරණය කරන්න:

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක SABCDතිත ඕ- පාදයේ මැද, එස්ශීර්ෂය, SO = 4, ඒ.සී.= 6. පැති දාරය සොයන්න එස්.සී..

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක SABCDතිත ඕ- පාදයේ මැද, එස්ශීර්ෂය, එස්.සී. = 5, ඒ.සී.= 6. කොටසේ දිග සොයන්න SO.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක SABCDතිත ඕ- පාදයේ මැද, එස්ශීර්ෂය, SO = 4, එස්.සී.= 5. කොටසේ දිග සොයන්න ඒ.සී..

SABC ආර්- ඉළ ඇටයේ මැද ක්රි.පූ., එස්- ඉහළ. බව දන්නා කරුණකි AB= 7, a එස්.ආර්.= 16. පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය සොයා ගන්න.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය පාදයේ සහ ඇපොතම්හි පරිමිතියෙහි නිෂ්පාදනයෙන් අඩකට සමාන වේ (ඇපොතම් යනු එහි සිරස් වලින් අඳින ලද සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මුහුණේ උස):

නැතහොත් අපට මෙය පැවසිය හැකිය: පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය පාර්ශ්වීය මුහුණු තුනේ ප්රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ. සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය මුහුණු සමාන ප්‍රදේශයක ත්‍රිකෝණ වේ. මේ අවස්ථාවේ දී:

පිළිතුර: 168

ඔබම තීරණය කරන්න:

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABC ආර්- ඉළ ඇටයේ මැද ක්රි.පූ., එස්- ඉහළ. බව දන්නා කරුණකි AB= 1, a එස්.ආර්.= 2. පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය සොයා ගන්න.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABC ආර්- ඉළ ඇටයේ මැද ක්රි.පූ., එස්- ඉහළ. බව දන්නා කරුණකි AB= 1, සහ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය 3. කොටසෙහි දිග සොයන්න එස්.ආර්..

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABC එල්- ඉළ ඇටයේ මැද ක්රි.පූ., එස්- ඉහළ. බව දන්නා කරුණකි එස්.එල්= 2, සහ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය 3. කොටසෙහි දිග සොයන්න AB.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABC එම්. ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ABC 25 වේ, පිරමීඩයේ පරිමාව 100. කොටසේ දිග සොයන්න මෙනෙවිය.

පිරමීඩයේ පාදය සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයකි. ඒක තමයි එම්පදනමේ කේන්ද්රය වේ, සහමෙනෙවිය- සාමාන්‍ය පිරමීඩයක උසSABC. පිරමීඩයේ පරිමාව SABCසමාන: විසඳුම බලන්න

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABCපාදයේ මධ්‍යස්ථාන ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ එම්. ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ABC 3 ට සමාන වේ, මෙනෙවිය= 1. පිරමීඩයේ පරිමාව සොයන්න.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක SABCපාදයේ මධ්‍යස්ථාන ලක්ෂ්‍යයෙන් ඡේදනය වේ එම්. පිරමීඩයේ පරිමාව 1, මෙනෙවිය= 1. ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න ABC.

අපි මෙතනින් ඉවර කරමු. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ගැටළු එක් පියවරකින් හෝ දෙකකින් විසඳනු ලැබේ. අනාගතයේදී, විප්ලවයේ සිරුරු ලබා දෙන මෙම කොටසෙන් අපි වෙනත් ගැටළු සලකා බලමු, එය අතපසු නොකරන්න!

ඔබට සුභ ගමන්!

අවංකවම, ඇලෙක්සැන්ඩර් Krutitskikh.

P.S: ඔබ සමාජ ජාල වල වෙබ් අඩවිය ගැන මට පැවසුවහොත් මම කෘතඥ වෙනවා.

මෙම වීඩියෝ නිබන්ධනය පරිශීලකයින්ට පිරමිඩ තේමාව පිළිබඳ අදහසක් ලබා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත. නිවැරදි පිරමීඩය. මෙම පාඩමේදී අපි පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්පය දැන හඳුනා ගෙන එයට අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙමු. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් යනු කුමක්ද සහ එහි ඇති ගුණාංග මොනවාදැයි සලකා බලමු. ඉන්පසුව අපි සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වික පෘෂ්ඨය පිළිබඳ ප්‍රමේයය ඔප්පු කරමු.

මෙම පාඩමේදී අපි පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්පය දැන හඳුනා ගෙන එයට අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙමු.

බහුඅස්‍රයක් සලකා බලන්න A 1 A 2...ඒ එන්, α තලයේ පිහිටා ඇති අතර, ලක්ෂ්යය පී, α තලයේ නොපවතින (රූපය 1). අපි තිත් සම්බන්ධ කරමු පීමුදුන් සහිත A 1, A 2, A 3, … ඒ එන්. අපිට ලැබෙනවා nත්රිකෝණ: ඒ 1 ඒ 2 ආර්, ඒ 2 ඒ 3 ආර්සහ යනාදි.

අර්ථ දැක්වීම. බහුඅවයව RA 1 A 2 ...A n, සෑදී ඇත n- හතරැස් A 1 A 2...ඒ එන්සහ nත්රිකෝණ RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ලෙස හැඳින්වේ n- ගල් අඟුරු පිරමීඩය. සහල්. 1.

සහල්. 1

හතරැස් පිරමීඩයක් සලකා බලන්න PABCD(රූපය 2).

ආර්- පිරමීඩයේ මුදුන.

ABCD- පිරමීඩයේ පදනම.

ආර්.ඒ- පැති ඉළ ඇටය.

AB- මූලික ඉළ ඇටය.

ලක්ෂ්යයෙන් ආර්අපි ලම්බකව අතහරිමු RNමූලික තලයට ABCD. ලම්බකව ඇද ඇත්තේ පිරමීඩයේ උසයි.

සහල්. 2

පිරමීඩයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨය සමන්විත වන්නේ පාර්ශ්වීය මතුපිටින්, එනම්, සියලු පාර්ශ්වීය මුහුණුවල ප්රදේශය සහ පාදයේ ප්රදේශය:

S සම්පූර්ණ = S පැත්ත + S ප්රධාන

පිරමීඩයක් නිවැරදි ලෙස හැඳින්වේ නම්:

• එහි පාදය නිත්‍ය බහුඅස්‍රයකි;
• පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ කේන්ද්‍රය සමඟ සම්බන්ධ කරන කොටස එහි උස වේ.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක උදාහරණය භාවිතා කරමින් පැහැදිලි කිරීම

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක් සලකා බලන්න PABCD(රූපය 3).

ආර්- පිරමීඩයේ මුදුන. පිරමීඩයේ පදනම ABCD- නිත්‍ය චතුරස්‍රයක්, එනම් චතුරස්‍රයක්. තිත් ගැන, විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය, චතුරස්රයේ කේන්ද්රය වේ. අදහස්, ROපිරමීඩයේ උස වේ.

සහල්. 3

පැහැදිලි කිරීම: නිවැරදිව nත්‍රිකෝණයක, සටහන් කර ඇති කවයේ කේන්ද්‍රය සහ වට රවුමේ කේන්ද්‍රය සමපාත වේ. මෙම මධ්‍යස්ථානය බහුඅස්‍රයේ කේන්ද්‍රය ලෙස හැඳින්වේ. සමහර විට ඔවුන් පවසන්නේ සිරස් කේන්ද්‍රයට ප්‍රක්ෂේපණය කර ඇති බවයි.

නිත්‍ය පිරමීඩයක ශීර්ෂයෙන් අඳින ලද පාර්ශ්වීය මුහුණෙහි උස ලෙස හැඳින්වේ apothemසහ නම් කර ඇත h a.

1. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක සියලුම පාර්ශ්වීය දාර සමාන වේ;

2. පැති මුහුණු සමාන සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණ වේ.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක උදාහරණය භාවිතා කරමින් අපි මෙම ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂියක් ලබා දෙන්නෙමු.

ලබා දී ඇත: PABCD- නිත්‍ය හතරැස් පිරමීඩය,

ABCD- හතරැස්,

RO- පිරමීඩයේ උස.

ඔප්පු කරන්න:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP රූපය බලන්න. 4.

සහල්. 4

සාධනය.

RO- පිරමීඩයේ උස. එනම්, කෙළින්ම ROගුවන් යානයට ලම්බකව ABC, සහ ඒ නිසා සෘජු JSC, VO, SOසහ කරන්නඑහි වැතිර සිටී. ඉතින් ත්රිකෝණ ROA, ROV, ROS, ROD- සෘජුකෝණාස්රාකාර.

චතුරස්රයක් සලකා බලන්න ABCD. චතුරස්රයක ගුණාංග වලින් එය පහත දැක්වේ AO = VO = CO = කරන්න.

එවිට නිවැරදි ත්රිකෝණ ROA, ROV, ROS, RODකකුල RO- සාමාන්ය සහ කකුල් JSC, VO, SOසහ කරන්නසමාන වේ, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම ත්රිකෝණ දෙපැත්තකින් සමාන වන බවයි. ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් කොටස්වල සමානාත්මතාවය අනුගමනය කරයි, RA = PB = RS = PD. 1 වන කරුණ ඔප්පු කර ඇත.

කොටස් ABසහ හිරුඒවා එකම චතුරස්‍රයේ පැති නිසා සමාන වේ, RA = PB = RS. ඉතින් ත්රිකෝණ AVRසහ VSR -සමද්වීපක සහ පැති තුනකින් සමාන වේ.

ඒ හා සමාන ආකාරයකින් අපි එම ත්රිකෝණ සොයා ගනිමු ABP, VCP, CDP, DAP 2 ඡේදයේ ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය පරිදි සමද්වීප සහ සමාන වේ.

නිත්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය පාදයේ පරිමිතියේ සහ ඇපොතේමයේ නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ:

මෙය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි නිතිපතා ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩයක් තෝරා ගනිමු.

ලබා දී ඇත: RAVS- නිවැරදි ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය.

AB = BC = AC.

RO- උස.

ඔප්පු කරන්න: . රූපය බලන්න. 5.

සහල්. 5

සාක්ෂි.

RAVS- සාමාන්ය ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය. එනම් AB= AC = BC. ඉඩ දෙන්න ගැන- ත්රිකෝණයේ කේන්ද්රය ABC, එහෙනම් ROපිරමීඩයේ උස වේ. පිරමීඩයේ පාමුල සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක් ඇත ABC. එය සටහන් කර ගන්න .

ත්රිකෝණ RAV, RVS, RSA- සමාන සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණ (දේපල අනුව). ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක පැති මුහුණු තුනක් ඇත: RAV, RVS, RSA. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය:

S පැත්ත = 3S RAW

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක පාදයේ කොටා ඇති රවුමක අරය මීටර් 3 ක් වන අතර පිරමීඩයේ උස මීටර් 4 කි.

ලබා දී ඇත: නිත්‍ය හතරැස් පිරමීඩය ABCD,

ABCD- හතරැස්,

ආර්= 3 m,

RO- පිරමීඩයේ උස,

RO= 4 m.

සොයන්න: S පැත්ත. රූපය බලන්න. 6.

සහල්. 6

විසඳුම.

ඔප්පු කරන ලද ප්රමේයය අනුව, .

අපි මුලින්ම පදනමේ පැත්ත සොයා ගනිමු AB. සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක පාදයේ කොටා ඇති වෘත්තයක අරය මීටර් 3ක් බව අපි දනිමු.

එවිට, එම්.

චතුරස්රයේ පරිමිතිය සොයන්න ABCDමීටර් 6 ක පැත්තක් සහිතව:

ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න BCD. ඉඩ දෙන්න එම්- පැත්තේ මැද ඩීසී. මොකද ගැන- මැද BD, ඒ (මීටර්).

ත්රිකෝණය DPC- සමස්ථානික. එම්- මැද ඩීසී. එනම්, ආර්එම්- මධ්යන්ය, එබැවින් ත්රිකෝණයේ උස DPC. එතකොට ආර්එම්- පිරමිඩයේ apothem.

RO- පිරමීඩයේ උස. එවිට, කෙළින්ම ROගුවන් යානයට ලම්බකව ABC, සහ ඒ නිසා සෘජු OM, එහි වැතිර සිටීම. අපි apothem එක හොයාගමු ආර්එම්සිට සෘජු ත්රිකෝණය ROM.

දැන් අපිට හොයාගන්න පුළුවන් පාර්ශ්වික මතුපිටපිරමිඩ:

උත්තර දෙන්න: 60 m2.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක පාදය වටා ඇති රවුමේ අරය පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ වර්ගඵලය 18 m 2 වේ. apothem හි දිග සොයන්න.

ලබා දී ඇත: ABCP- සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩය,

AB = BC = SA,

ආර්= m,

S පැත්ත = 18 m2.

සොයන්න: . රූපය බලන්න. 7.

සහල්. 7

විසඳුම.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ABCවටකුරු රවුමේ අරය ලබා දී ඇත. අපි පැත්තක් සොයා ගනිමු ABමෙම ත්‍රිකෝණය සයිනස් ප්‍රමේයය භාවිතා කරයි.

පැත්ත දැනගෙන නිත්ය ත්රිකෝණය(m), අපි එහි පරිමිතිය සොයා ගනිමු.

නිත්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වික පෘෂ්ඨ ප්‍රදේශයේ ප්‍රමේයය අනුව, එහිදී h a- පිරමීඩයේ apothem. එවිට:

උත්තර දෙන්න: මීටර් 4

ඉතින්, අපි පිරමීඩයක් යනු කුමක්ද, සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් යනු කුමක්දැයි සොයා බලා සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය පිළිබඳ ප්‍රමේයය අපි ඔප්පු කළෙමු. මීළඟ පාඩමෙන් අපි කපා දැමූ පිරමීඩය ගැන දැන හඳුනා ගනිමු.

යොමු කිරීම්

1. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණි: සිසුන් සඳහා පෙළපොත් අධ්යාපන ආයතන(මූලික සහ පැතිකඩ මට්ටම්) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 වන සංස්කරණය, rev. සහ අතිරේක - එම්.: Mnemosyne, 2008. - 288 පි.: අසනීප.
2. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්රේණිය: සාමාන්ය අධ්යාපනය සඳහා පෙළපොත් අධ්යාපන ආයතන/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. ජ්යාමිතිය. 10 ශ්‍රේණිය: ගණිතය පිළිබඳ ගැඹුරු සහ විශේෂිත අධ්‍යයනයක් සහිත සාමාන්‍ය අධ්‍යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6 වන සංස්කරණය, ඒකාකෘති. - එම්.: බස්ටර්ඩ්, 008. - 233 පි.: අසනීප.

1. අන්තර්ජාල ද්වාරය "යක්ලාස්" ()
2. අන්තර්ජාල ද්වාරය "අධ්‍යාපනික අදහස් උළෙල "සැප්තැම්බර් පළමු" ()
3. අන්තර්ජාල ද්වාරය "Slideshare.net" ()

ගෙදර වැඩ

1. සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක් අක්‍රමවත් පිරමීඩයක පදනම විය හැකිද?
2. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක විසංයෝජන දාර ලම්බක බව ඔප්පු කරන්න.
3. නිත්‍ය චතුරස්‍ර පිරමීඩයක පාදම පැත්තේ ඇති ද්‍යෝන්‍ය කෝණයේ අගය සොයන්න, පිරමීඩයේ ඇපොතම් එහි පාදයේ පැත්තට සමාන නම්.
4. RAVS- සාමාන්ය ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය. පිරමීඩයේ පාදයේ ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණයේ රේඛීය කෝණය ගොඩනඟන්න.