ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩයක ගුණ. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක මූලික ගුණාංග

මෙම වීඩියෝ නිබන්ධනය පරිශීලකයින්ට පිරමිඩ තේමාව පිළිබඳ අදහසක් ලබා ගැනීමට උපකාරී වේ. නිවැරදි පිරමීඩය. මෙම පාඩමේදී අපි පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්පය දැන හඳුනා ගෙන එයට අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙමු. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් යනු කුමක්ද සහ එහි ඇති ගුණාංග මොනවාදැයි සලකා බලමු. එවිට අපි පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රමේයය ඔප්පු කරමු සාමාන්ය පිරමීඩය.

මෙම පාඩමේදී අපි පිරමීඩයක් පිළිබඳ සංකල්පය දැන හඳුනා ගෙන එයට අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙමු.

බහුඅස්‍රයක් සලකා බලන්න A 1 A 2...ඒ එන්, α තලයේ පිහිටා ඇති අතර, ලක්ෂ්යය පී, α තලයේ නොපවතින (රූපය 1). අපි තිත් සම්බන්ධ කරමු පීමුදුන් සහිත A 1, A 2, A 3, … ඒ එන්. අපිට ලැබෙනවා nත්රිකෝණ: ඒ 1 ඒ 2 ආර්, ඒ 2 ඒ 3 ආර්සහ යනාදි.

අර්ථ දැක්වීම. බහුඅවයව RA 1 A 2 ...A n, සෑදී ඇත n- හතරැස් A 1 A 2...ඒ එන්සහ nත්රිකෝණ RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ලෙස හැඳින්වේ n- ගල් අඟුරු පිරමීඩය. සහල්. 1.

සහල්. 1

හතරැස් පිරමීඩයක් සලකා බලන්න PABCD(රූපය 2).

ආර්- පිරමීඩයේ මුදුන.

ඒ බී සී ඩී- පිරමීඩයේ පදනම.

ආර්.ඒ- පැති ඉළ ඇටය.

AB- මූලික ඉළ ඇටය.

ලක්ෂ්යයෙන් ආර්අපි ලම්බකව අතහරිමු RNමූලික තලයට ඒ බී සී ඩී. ලම්බකව ඇද ඇත්තේ පිරමීඩයේ උසයි.

සහල්. 2

පිරමීඩයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨය සමන්විත වන්නේ පාර්ශ්වීය මතුපිටින්, එනම්, සියලු පාර්ශ්වීය මුහුණුවල ප්රදේශය සහ පාදයේ ප්රදේශය:

S සම්පූර්ණ = S පැත්ත + S ප්රධාන

පිරමීඩයක් නිවැරදි ලෙස හැඳින්වේ නම්:

• එහි පාදය නිත්‍ය බහුඅස්‍රයකි;
• පිරමීඩයේ මුදුන පාදයේ මැදට සම්බන්ධ කරන කොටස එහි උස වේ.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක උදාහරණය භාවිතා කරමින් පැහැදිලි කිරීම

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක් සලකා බලන්න PABCD(රූපය 3).

ආර්- පිරමීඩයේ මුදුන. පිරමීඩයේ පදනම ඒ බී සී ඩී- නිත්‍ය චතුරස්‍රයක්, එනම් චතුරස්‍රයක්. තිත් ගැන, විකර්ණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය, චතුරස්රයේ කේන්ද්රය වේ. අදහස්, ROපිරමීඩයේ උස වේ.

සහල්. 3

පැහැදිලි කිරීම: නිවැරදිව nත්‍රිකෝණයක, සටහන් කර ඇති කවයේ කේන්ද්‍රය සහ වට රවුමේ කේන්ද්‍රය සමපාත වේ. මෙම මධ්‍යස්ථානය බහුඅස්‍රයේ කේන්ද්‍රය ලෙස හැඳින්වේ. සමහර විට ඔවුන් පවසන්නේ සිරස් කේන්ද්‍රයට ප්‍රක්ෂේපණය කර ඇති බවයි.

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක ශිර්ෂයෙන් අඳින ලද පාර්ශ්වීය මුහුණෙහි උස ලෙස හැඳින්වේ apothemසහ නම් කර ඇත h a.

1. සියල්ල පාර්ශ්වික ඉළ ඇටසාමාන්‍ය පිරමීඩයක සමාන වේ;

2. පැති මුහුණුසමපාත සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ වේ.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක උදාහරණය භාවිතා කරමින් අපි මෙම ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂියක් ලබා දෙන්නෙමු.

ලබා දී ඇත: PABCD- නිත්‍ය හතරැස් පිරමීඩය,

ඒ බී සී ඩී- හතරැස්,

RO- පිරමීඩයේ උස.

ඔප්පු කරන්න:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP රූපය බලන්න. 4.

සහල්. 4

සාක්ෂි.

RO- පිරමීඩයේ උස. එනම්, කෙළින්ම ROගුවන් යානයට ලම්බකව ABC, සහ ඒ නිසා සෘජු JSC, VO, SOසහ කරන්නඑහි වැතිර සිටී. ඉතින් ත්රිකෝණ ROA, ROV, ROS, ROD- සෘජුකෝණාස්රාකාර.

චතුරස්රයක් සලකා බලන්න ඒ බී සී ඩී. චතුරස්රයක ගුණාංග වලින් එය පහත දැක්වේ AO = VO = CO = කරන්න.

එවිට නිවැරදි ත්රිකෝණ ROA, ROV, ROS, RODකකුල RO- සාමාන්ය සහ කකුල් JSC, VO, SOසහ කරන්නසමාන වේ, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම ත්රිකෝණ දෙපැත්තකින් සමාන වන බවයි. ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් කොටස්වල සමානාත්මතාවය අනුගමනය කරයි, RA = PB = RS = PD. 1 වන කරුණ ඔප්පු කර ඇත.

කොටස් ABසහ හිරුඒවා එකම චතුරස්‍රයේ පැති නිසා සමාන වේ, RA = PB = RS. ඉතින් ත්රිකෝණ AVRසහ VSR -සමද්වීපක සහ පැති තුනකින් සමාන වේ.

ඒ හා සමාන ආකාරයකින් අපි එම ත්රිකෝණ සොයා ගනිමු ABP, VCP, CDP, DAP 2 ඡේදයේ ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය පරිදි සමද්වීප සහ සමාන වේ.

නිත්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය පාදයේ පරිමිතියේ සහ ඇපොතේමයේ නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ:

මෙය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි නිතිපතා ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩයක් තෝරා ගනිමු.

ලබා දී ඇත: RAVS- සාමාන්ය ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය.

AB = BC = AC.

RO- උස.

ඔප්පු කරන්න: . රූපය බලන්න. 5.

සහල්. 5

සාක්ෂි.

RAVS- සාමාන්ය ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය. එනම් AB= AC = BC. ඉඩ ගැන- ත්රිකෝණයේ කේන්ද්රය ABC, ඉන්පසු ROපිරමීඩයේ උස වේ. පිරමීඩයේ පාමුල සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක් ඇත ABC. දැනුම් දෙන්න, ඒක .

ත්රිකෝණ RAV, RVS, RSA- සමාන සමද්වීපාද ත්රිකෝණ(දේපල අනුව). යූ ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩයපැති තුනක්: RAV, RVS, RSA. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය:

S පැත්ත = 3S RAW

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක පාදයේ කොටා ඇති රවුමක අරය මීටර් 3 ක් වන අතර පිරමීඩයේ උස මීටර් 4 කි.

ලබා දී ඇත: නිත්‍ය හතරැස් පිරමීඩය ඒ බී සී ඩී,

ඒ බී සී ඩී- හතරැස්,

ආර්= 3 m,

RO- පිරමීඩයේ උස,

RO= 4 m.

සොයන්න: S පැත්ත. රූපය බලන්න. 6.

සහල්. 6

විසඳුමක්.

ඔප්පු කරන ලද ප්රමේයය අනුව, .

අපි මුලින්ම පදනමේ පැත්ත සොයා ගනිමු AB. සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමීඩයක පාදයේ කොටා ඇති වෘත්තයක අරය මීටර් 3ක් බව අපි දනිමු.

එවිට, එම්.

චතුරස්රයේ පරිමිතිය සොයන්න ඒ බී සී ඩීමීටර් 6 ක පැත්තක් සහිතව:

ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න BCD. ඉඩ එම්- පැත්තේ මැද ඩීසී. නිසා ගැන- මැද BD, එම (එම්).

ත්රිකෝණය DPC- සමස්ථානික. එම්- මැද ඩීසී. එනම්, ආර්එම්- මධ්යන්ය, එබැවින් ත්රිකෝණයේ උස DPC. ඉන්පසු ආර්එම්- පිරමීඩයේ apothem.

RO- පිරමීඩයේ උස. එවිට, කෙළින්ම ROගුවන් යානයට ලම්බකව ABC, සහ ඒ නිසා සෘජු OM, එහි වැතිර සිටීම. අපි apothem එක හොයාගමු ආර්එම්සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකින් ROM.

දැන් අපිට හොයාගන්න පුළුවන් පාර්ශ්වික මතුපිටපිරමිඩ:

පිළිතුර: 60 m2.

සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩයක පාදය වටා ඇති රවුමේ අරය පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය 18 m ට සමාන වේ. apothem හි දිග සොයන්න.

ලබා දී ඇත: ABCP- සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණාකාර පිරමීඩය,

AB = BC = SA,

ආර්= m,

S පැත්ත = 18 m2.

සොයන්න: . රූපය බලන්න. 7.

සහල්. 7

විසඳුමක්.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ABCවටකුරු රවුමේ අරය ලබා දී ඇත. අපි පැත්තක් සොයා ගනිමු ABමෙම ත්‍රිකෝණය සයිනස් නියමය භාවිතා කරයි.

නිත්‍ය ත්‍රිකෝණයක (m) පැත්ත දැන ගැනීමෙන් අපි එහි පරිමිතිය සොයා ගනිමු.

නිත්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වික පෘෂ්ඨ ප්‍රදේශයේ ප්‍රමේයය අනුව, එහිදී h a- පිරමිඩයේ apothem. ඉන්පසු:

පිළිතුර: මීටර් 4

ඉතින්, අපි පිරමීඩයක් යනු කුමක්ද, සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් යනු කුමක්දැයි සොයා බලා සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය පිළිබඳ ප්‍රමේයය අපි ඔප්පු කළෙමු. මීළඟ පාඩමෙන් අපි කපා දැමූ පිරමීඩය ගැන දැන හඳුනා ගනිමු.

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය

1. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණි: සිසුන් සඳහා පෙළපොත් අධ්යාපන ආයතන(මූලික සහ පැතිකඩ මට්ටම්) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 වන සංස්කරණය, rev. සහ අතිරේක - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: අසනීප.
2. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණිය: සාමාන්‍ය අධ්‍යාපනය සඳහා පෙළපොත් අධ්යාපන ආයතන/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. ජ්යාමිතිය. 10 ශ්‍රේණිය: ගණිතය පිළිබඳ ගැඹුරු සහ විශේෂිත අධ්‍යයනයක් සහිත සාමාන්‍ය අධ්‍යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6 වන සංස්කරණය, ඒකාකෘති. - එම්.: බස්ටර්ඩ්, 008. - 233 පි.: අසනීප.

1. අන්තර්ජාල ද්වාරය "යක්ලාස්" ()
2. අන්තර්ජාල ද්වාරය "අධ්‍යාපනික අදහස් උළෙල "සැප්තැම්බර් පළමු" ()
3. අන්තර්ජාල ද්වාරය "Slideshare.net" ()

ගෙදර වැඩ

1. සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක් අක්‍රමවත් පිරමීඩයක පදනම විය හැකිද?
2. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක විසංයෝජන දාර ලම්බක බව ඔප්පු කරන්න.
3. නිත්‍ය චතුරස්‍ර පිරමීඩයක පාදම පැත්තේ ඇති ද්‍යෝන්‍ය කෝණයේ අගය සොයන්න, පිරමීඩයේ ඇපොතම් එහි පාදයේ පැත්තට සමාන නම්.
4. RAVS- සාමාන්ය ත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය. පිරමීඩයේ පාදයේ ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණයේ රේඛීය කෝණය ගොඩනඟන්න.

හැදින්වීම

අපි ස්ටීරියෝමිතික සංඛ්යා අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගත් විට, අපි "පිරමිඩය" යන මාතෘකාව ස්පර්ශ කළෙමු. අපි මෙම මාතෘකාවට කැමති වූයේ පිරමීඩය බොහෝ විට ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පයේ භාවිතා වන බැවිනි. සහ අපේ සිට අනාගත වෘත්තියගෘහ නිර්මාණ ශිල්පියා, මෙම රූපයෙන් දේවානුභාවයෙන්, ඇයට අපව විශාල ව්‍යාපෘති කරා තල්ලු කළ හැකි යැයි අපි සිතමු.

වාස්තුවිද්යාත්මක ව්යුහයන්ගේ ශක්තිය ඔවුන්ගේ වැදගත්ම ගුණාංගයයි. ශක්තිය සම්බන්ධ කිරීම, පළමුව, ඒවා නිර්මාණය කර ඇති ද්‍රව්‍ය සමඟ සහ, දෙවනුව, සැලසුම් විසඳුම්වල ලක්ෂණ සමඟ, ව්‍යුහයක ශක්තිය එයට මූලික වන ජ්‍යාමිතික හැඩයට කෙලින්ම සම්බන්ධ වන බව පෙනේ.

වෙනත් විදිහකින්, අපි කතා කරන්නේඅනුරූප වාස්තුවිද්යාත්මක ආකෘතියේ ආකෘතියක් ලෙස සැලකිය හැකි එම ජ්යාමිතික රූපය ගැන. ජ්යාමිතික හැඩය ද වාස්තුවිද්යාත්මක ව්යුහයක ශක්තිය තීරණය කරන බව පෙනී යයි.

පුරාණ කාලයේ සිටම ඊජිප්තු පිරමිඩ වඩාත් කල් පවතින වාස්තුවිද්යාත්මක ව්යුහයන් ලෙස සැලකේ. ඔබ දන්නා පරිදි, ඒවා සාමාන්‍ය හතරැස් පිරමිඩවල හැඩය ඇත.

නිසා විශාලතම ස්ථාවරත්වය ලබා දෙන්නේ මෙම ජ්යාමිතික හැඩයයි විශාල ප්රදේශයක්භූමිය. අනෙක් අතට, පිරමීඩයේ හැඩය බිමට ඉහලින් උස වැඩි වන විට ස්කන්ධය අඩු වන බව සහතික කරයි. පිරමීඩය ස්ථායී වන අතර එම නිසා ගුරුත්වාකර්ෂණ තත්වයන් යටතේ ශක්තිමත් වන්නේ මෙම ගුණාංග දෙකයි.

ව්යාපෘතියේ අරමුණ: පිරමිඩ ගැන අලුත් දෙයක් ඉගෙන ගන්න, ඔබේ දැනුම ගැඹුරු කරන්න සහ ප්‍රායෝගික යෙදුම සොයා ගන්න.

මෙම ඉලක්කය සපුරා ගැනීම සඳහා, පහත සඳහන් කාර්යයන් විසඳීමට අවශ්ය විය:

· පිරමීඩය පිළිබඳ ඓතිහාසික තොරතුරු ඉගෙන ගන්න

· පිරමීඩය ජ්‍යාමිතික රූපයක් ලෙස සලකන්න

· ජීවිතය සහ ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පය තුළ යෙදුම සොයන්න

· පිහිටා ඇති පිරමිඩ අතර සමානකම් සහ වෙනස්කම් සොයන්න විවිධ කොටස්ස්වේටා

න්යායික කොටස

ඓතිහාසික තොරතුරු

පිරමීඩයේ ජ්යාමිතිය ආරම්භය පුරාණ ඊජිප්තුවේ සහ බැබිලෝනියේ තැන්පත් කරන ලද නමුත් එය සක්රියව වර්ධනය විය. පුරාණ ග්රීසිය. පිරමීඩයේ පරිමාව මුලින්ම ස්ථාපිත කළේ ඩිමොක්‍රිටස් වන අතර සිනිඩස්හි යුඩොක්සස් එය ඔප්පු කළේය. පුරාණ ග්‍රීක ගණිතඥයෙකු වූ යුක්ලිඩ් ඔහුගේ "මූලද්‍රව්‍ය" හි XII වෙළුමේ පිරමීඩය පිළිබඳ දැනුම ක්‍රමානුකූල කළ අතර පිරමීඩයක පළමු නිර්වචනය ද ව්‍යුත්පන්න කර ඇත: එක් තලයක සිට එක් ලක්ෂයකට අභිසාරී වන තලවලින් සීමා වූ ඝන රූපයකි.

ඊජිප්තු පාරාවෝවරුන්ගේ සොහොන්. ඒවායින් විශාලතම - එල් ගීසා හි Cheops, Khafre සහ Mikerin පිරමිඩ - පුරාණ කාලයේ ලෝකයේ පුදුම හතෙන් එකක් ලෙස සැලකේ. ඊජිප්තුවේ මුළු ජනතාවම අර්ථ විරහිත ඉදිකිරීමකට විනාශ කළ රජවරුන්ගේ පෙර නොවූ විරූ අභිමානය සහ කුරිරුකම පිළිබඳ ස්මාරකයක් ග්‍රීකවරුන් සහ රෝමවරුන් දැනටමත් දැක ඇති පිරමීඩය ඉදිකිරීම වැදගත්ම සංස්කෘතික ක්‍රියාව වූ අතර එය ප්‍රකාශ කිරීමට නියමිතව තිබුණි. රටේ සහ එහි පාලකයාගේ අද්භූත අනන්‍යතාවය. රටේ ජනගහනය කෘෂිකාර්මික කටයුතුවලින් නිදහස්ව වසරක කාලය තුළ සොහොන් ගෙය ඉදිකිරීම සඳහා කටයුතු කළේය. රජවරුන් විසින්ම (පසුකාලීනව වුවද) ඔවුන්ගේ සොහොන් ගෙය ඉදිකිරීමට සහ එය ගොඩනඟන්නන් කෙරෙහි දැක්වූ අවධානය සහ සැලකිල්ල ගැන පාඨ ගණනාවක් සාක්ෂි දරයි. පිරමීඩයටම ලැබුණු විශේෂ වන්දනා ගෞරව ගැන ද දන්නා කරුණකි.

මූලික සංකල්ප

පිරමීඩයබහුඅස්‍රය වන බහුඅස්‍රය වන අතර ඉතිරි මුහුණු පොදු ශීර්ෂයක් ඇති ත්‍රිකෝණ වේ.

Apothem- නිත්‍ය පිරමීඩයක පැති මුහුණෙහි උස, එහි සිරස්තලයෙන් ඇද ඇත;

පැති මුහුණු- ත්රිකෝණ මුදුනේ රැස්වීම;

පැති ඉළ ඇට- පැති මුහුණු වල පොදු පැති;

පිරමීඩයේ මුදුන- පැති ඉළ ඇට සම්බන්ධ කරන ලක්ෂ්‍යයක් සහ පාදමේ තලයේ වැතිර නොසිටින්න;

උස- පිරමීඩයේ මුදුන හරහා එහි පාදයේ තලයට ඇද ගන්නා ලද ලම්බක ඛණ්ඩයක් (මෙම කොටසේ කෙළවර පිරමීඩයේ මුදුන සහ ලම්බක පාදය වේ);

පිරමීඩයක විකර්ණ කොටස- පාදයේ ඉහළ සහ විකර්ණය හරහා ගමන් කරන පිරමීඩයේ කොටස;

පදනම- පිරමීඩයේ ශීර්ෂයට අයත් නොවන බහුඅස්‍රයකි.

සාමාන්‍ය පිරමීඩයක මූලික ගුණාංග

පාර්ශ්වීය දාර, පාර්ශ්වීය මුහුණු සහ අපොතම් පිළිවෙලින් සමාන වේ.

පාදයේ ඩයිහෙඩ්රල් කෝණ සමාන වේ.

පාර්ශ්වීය දාරවල ඩයිහෙඩ්රල් කෝණ සමාන වේ.

සෑම උස ලක්ෂයක්ම පාදයේ සියලුම සිරස් වලින් සමාන දුරස්ථ වේ.

සෑම උස ලක්ෂයක්ම සියලුම පැති මුහුණු වලින් සමාන දුරින් පිහිටා ඇත.

මූලික පිරමිඩ සූත්‍ර

පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය සහ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය.

පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය (සම්පූර්ණ සහ කප්පාදු කරන ලද) යනු එහි සියලුම පාර්ශ්වීය මුහුණු වල ප්‍රදේශ වල එකතුව වේ, සම්පූර්ණ මතුපිට ප්‍රමාණය එහි සියලුම මුහුණු වල ප්‍රදේශ වල එකතුවයි.

ප්‍රමේයය: නිත්‍ය පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය පිරමීඩයේ පාදයේ පරිමිතිය සහ ඇපොතම් වල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ.

පි- මූලික පරිමිතිය;

h- apothem.

කපා හරින ලද පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය සහ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයන් ප්රදේශය.

පි 1, පි 2 - පාදක පරිමිතිය;

h- apothem.

ආර්- නිත්‍ය කපා දැමූ පිරමීඩයක මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය;

එස් පැත්ත- නිත්‍ය කපා දැමූ පිරමීඩයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය;

S 1 + S 2- මූලික ප්රදේශය

පිරමීඩයේ පරිමාව

පෝරමය පරිමාව ula ඕනෑම ආකාරයක පිරමිඩ සඳහා භාවිතා වේ.

එච්- පිරමීඩයේ උස.

පිරමිඩ කොන්

පිරමීඩයේ පැති මුහුණත සහ පාදම මගින් සාදන ලද කෝණ පිරමීඩයේ පාදයේ ඇති ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණ ලෙස හැඳින්වේ.

ඩයිහෙඩ්රල් කෝණයක් ලම්බක දෙකකින් සෑදී ඇත.

මෙම කෝණය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ බොහෝ විට ලම්බක ප්රමේයය තුන භාවිතා කළ යුතුය.

පාදයේ තලය මත පාර්ශ්වීය දාරය සහ එහි ප්රක්ෂේපණය මගින් පිහිටුවන ලද කෝණ ලෙස හැඳින්වේ පැති දාරය සහ පාදයේ තලය අතර කෝණ.

පාර්ශ්වීය දාර දෙකකින් සාදන ලද කෝණය හැඳින්වේ පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය කෙළවරේ ද්විහේතුක කෝණය.

පිරමීඩයේ එක් මුහුණක පාර්ශ්වීය දාර දෙකකින් සාදන ලද කෝණය හැඳින්වේ පිරමීඩයේ මුදුනේ කෝණය.

පිරමිඩ කොටස්

පිරමීඩයක මතුපිට බහු අවයවයක මතුපිට වේ. එහි සෑම මුහුණුවරක්ම තලයකි, එබැවින් කැපුම් තලයකින් අර්ථ දක්වා ඇති පිරමීඩයේ කොටස තනි සරල රේඛා වලින් සමන්විත කැඩුණු රේඛාවකි.

විකර්ණ අංශය

පිරමීඩයක එකම මුහුණේ නොගැලපෙන පාර්ශ්වීය දාර දෙකක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක කොටස හැඳින්වේ. විකර්ණ කොටසපිරමිඩ.

සමාන්තර කොටස්

ප්රමේයය:

පිරමීඩය පාදයට සමාන්තරව තලයකින් ඡේදනය වී ඇත්නම්, පිරමීඩයේ පාර්ශ්වීය දාර සහ උස මෙම තලය මගින් සමානුපාතික කොටස් වලට බෙදා ඇත;

මෙම තලයේ කොටස පදනමට සමාන බහුඅස්රයකි;

කොටසේ සහ පාදයේ ප්‍රදේශ සිරස් සිට ඒවායේ දුරවල වර්ග ලෙස එකිනෙකට සම්බන්ධ වේ.

පිරමිඩ වර්ග

නිවැරදි පිරමීඩය- පිරමීඩයක් සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක් වන අතර පිරමීඩයේ මුදුන පාදමේ මධ්‍යයට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

සාමාන්‍ය පිරමිඩයක් සඳහා:

1. පැති ඉළ ඇට සමාන වේ

2. පැති මුහුණු සමාන වේ

3. apothems සමාන වේ

4. පාදයේ ඩයිහෙඩ්රල් කෝණ සමාන වේ

5. පාර්ශ්වීය දාරවල ඩයිහෙඩ්රල් කෝණ සමාන වේ

6. සෑම උස ලක්ෂයක්ම පාදයේ සියලුම සිරස් වලින් සමාන දුරස්ථ වේ

7. එක් එක් උස ලක්ෂ්‍යය සියලු පැති දාරවලින් සමාන දුරින් පිහිටා ඇත

කප්පාදු පිරමීඩය- පිරමීඩයේ කොටසක් එහි පාදම සහ පාදයට සමාන්තරව කැපුම් තලයක් අතර වසා ඇත.

කපා හරින ලද පිරමීඩයක පාදම සහ අනුරූප කොටස හැඳින්වේ කපා දැමූ පිරමීඩයක පාද.

එක් පාදයක ඕනෑම ස්ථානයක සිට තවත් තලයකට ඇද ගන්නා ලම්බකයක් ලෙස හැඳින්වේ කපා දැමූ පිරමීඩයක උස.

කාර්යයන්

අංක 1. දකුණේ හතරැස් පිරමීඩය O ලක්ෂ්යය පාදයේ කේන්ද්රය, SO=8 cm, BD=30 cm SA පැත්තේ දාරය සොයන්න.

ගැටළු විසඳීම

අංක 1. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක, සියලුම මුහුණු සහ දාර සමාන වේ.

OSB සලකා බලන්න: OSB යනු සෘජුකෝණාස්රාකාර සෘජුකෝණාස්රයක් වන බැවිනි.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පයේ පිරමිඩය

පිරමීඩයක් යනු සාමාන්‍ය සාමාන්‍ය ජ්‍යාමිතික පිරමීඩයක ස්වරූපයෙන් ස්මාරක ව්‍යුහයක් වන අතර එහි පැති එක් ස්ථානයක අභිසාරී වේ. ඔවුන්ගේ ක්‍රියාකාරී අරමුණට අනුව, පුරාණ කාලයේ පිරමිඩ සුසාන භූමියක් හෝ ආගමික නමස්කාරයක් විය. පිරමීඩයක පාදය ත්‍රිකෝණාකාර, හතරැස් හෝ බහුඅස්‍ර හැඩයෙන් අත්තනෝමතික සිරස් සංඛ්‍යාවක් සහිත විය හැකි නමුත් වඩාත් සුලභ අනුවාදය වන්නේ හතරැස් පාදයයි.

විවිධ සංස්කෘතීන් විසින් ගොඩනගා ඇති පිරමිඩ සැලකිය යුතු සංඛ්යාවක් තිබේ. පුරාණ ලෝකයප්රධාන වශයෙන් විහාරස්ථාන හෝ ස්මාරක ලෙස. විශාල පිරමිඩවලට ඊජිප්තු පිරමිඩ ඇතුළත් වේ.

පෘථිවිය පුරා ඔබට පිරමිඩ ආකාරයෙන් වාස්තුවිද්යාත්මක ව්යුහයන් දැකිය හැකිය. පිරමීඩ ගොඩනැගිලි පුරාණ කාලය සිහිපත් කරන අතර ඉතා අලංකාර ලෙස පෙනේ.

ඊජිප්තු පිරමිඩශ්රේෂ්ඨතම වාස්තුවිද්යාත්මක ස්මාරක පුරාණ ඊජිප්තුව, "ලෝකයේ පුදුම හතෙන්" එකක් වන්නේ Cheops පිරමිඩයයි. පාදයේ සිට ඉහළට එය මීටර් 137.3 දක්වා ළඟා වන අතර, මුදුන අහිමි වීමට පෙර එහි උස මීටර් 146.7 ක් විය.

ප්‍රතිලෝම පිරමීඩයකට සමාන ස්ලෝවැකියාවේ අගනුවර ගුවන්විදුලි මධ්‍යස්ථාන ගොඩනැගිල්ල ඉදිකරන ලද්දේ 1983 දී ය. කාර්යාල සහ සේවා පරිශ්‍රයට අමතරව, පරිමාව ඇතුළත තරමක් ඉඩකඩ ඇත. ප්රසංග ශාලාව, ස්ලෝවැකියාවේ විශාලතම ඉන්ද්‍රියයන්ගෙන් එකකි.

“පිරමීඩයක් මෙන් නිශ්ශබ්ද හා තේජාන්විත” වන ලුවර්, බවට පත්වීමට පෙර සියවස් ගණනාවක් පුරා බොහෝ වෙනස්කම් වලට භාජනය වී ඇත. විශාලතම කෞතුකාගාරයසාම. එය 1190 දී පිලිප් ඔගස්ටස් විසින් ඉදිකරන ලද බලකොටුවක් ලෙස උපත ලැබූ අතර එය ඉක්මනින් රාජකීය නිවසක් බවට පත්විය. 1793 දී මාලිගාව කෞතුකාගාරයක් බවට පත් විය. කැමැත්තෙන් හෝ මිලදී ගැනීම් හරහා එකතු කිරීම් පොහොසත් වේ.

අර්ථ දැක්වීම. පැති දාරය- මෙය පිරමීඩයේ මුදුනේ එක් කෝණයක් පිහිටා ඇති ත්‍රිකෝණයක් වන අතර ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත පාදමේ (බහුඅස්ර) පැත්තට සමපාත වේ.

අර්ථ දැක්වීම. පැති ඉළ ඇට- මේවා පැති මුහුණු වල පොදු පැති වේ. පිරමීඩයක බහුඅස්‍රයක කෝණ තරම් දාර ඇත.

අර්ථ දැක්වීම. පිරමිඩ උස- මෙය පිරමීඩයේ මුදුනේ සිට පාදය දක්වා ලම්බකව පහත් කර ඇත.

අර්ථ දැක්වීම. Apothem- මෙය පිරමීඩයේ පැති මුහුණට ලම්බකව, පිරමීඩයේ මුදුනේ සිට පාදමේ පැත්තට පහත් කර ඇත.

අර්ථ දැක්වීම. විකර්ණ අංශය- මෙය පිරමීඩයේ ඉහළ කොටස සහ පාදයේ විකර්ණය හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයකින් පිරමීඩයේ කොටසකි.

අර්ථ දැක්වීම. නිවැරදි පිරමීඩයපාදය නිත්‍ය බහුඅස්‍රයක් වන පිරමීඩයක් වන අතර උස පාදයේ මධ්‍යයට බැස යයි.

පිරමීඩයේ පරිමාව සහ මතුපිට ප්රදේශය

සූත්රය. පිරමීඩයේ පරිමාවමූලික ප්රදේශය සහ උස හරහා:

පිරමීඩයේ ගුණාංග

සියලුම පැති දාර සමාන නම්, පිරමීඩයේ පාදය වටා රවුමක් ඇද ගත හැකි අතර, පාදයේ කේන්ද්රය රවුමේ කේන්ද්රය සමග සමපාත වේ. එසේම, මුදුනේ සිට පහත වැටී ඇති ලම්බකයක් පාදයේ (රවුමේ) මැද හරහා ගමන් කරයි.

සියලුම පැති දාර සමාන නම්, ඒවා එකම කෝණවල පාදයේ තලයට නැඹුරු වේ.

පාදයේ තලය සමඟ සාදන විට පාර්ශ්වීය ඉළ ඇට සමාන වේ සමාන කෝණහෝ පිරමීඩයේ පාදය වටා කවයක් විස්තර කළ හැකි නම්.

පැති මුහුණු එකම කෝණයකින් පාදයේ තලයට නැඹුරු නම්, පිරමීඩයේ පාදයට කවයක් සටහන් කළ හැකි අතර පිරමීඩයේ මුදුන එහි මධ්‍යයේ ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ.

පැති මුහුණු එකම කෝණයකින් පාදමේ තලයට නැඹුරු වී ඇත්නම්, පැති මුහුණුවල අපොතම් සමාන වේ.

සාමාන්‍ය පිරමිඩයක ගුණ

1. පිරමීඩයේ මුදුන පාදමේ සියලුම කොන් වලින් සමාන දුරින් පිහිටා ඇත.

2. සියලුම පැති දාර සමාන වේ.

3. සියලුම පැති ඉළ ඇට පාදයට සමාන කෝණයකින් නැඹුරු වේ.

4. සියලුම පාර්ශ්වීය මුහුණුවල අපොතම් සමාන වේ.

5. සියලුම පැති මුහුණු වල ප්රදේශ සමාන වේ.

6. සියලුම මුහුණු එකම ඩයිහෙඩ්‍රල් (පැතලි) කෝණ ඇත.

7. පිරමීඩය වටා ගෝලයක් විස්තර කළ හැක. වටකුරු ගෝලයේ කේන්ද්‍රය දාර මැදින් ගමන් කරන ලම්බක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වනු ඇත.

8. ඔබට පිරමීඩයකට ගෝලයක් සවි කළ හැකිය. ශිලාලේඛන ගෝලයේ කේන්ද්‍රය දාරය සහ පාදය අතර කෝණයෙන් විහිදෙන ද්විභාණ්ඩවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වනු ඇත.

9. ශිලාලේඛනගත ගෝලයේ කේන්ද්‍රය වටකුරු ගෝලයේ කේන්ද්‍රය සමග සමපාත වන්නේ නම්, ශීර්ෂයේ ඇති තල කෝණවල එකතුව π හෝ අනෙක් අතට සමාන වේ, එක් කෝණයක් π/n ට සමාන වේ, එහිදී n යනු අංකය වේ. පිරමීඩයේ පාදයේ කෝණ වලින්.

පිරමීඩය සහ ගෝලය අතර සම්බන්ධය

පිරමීඩයේ පාමුල බහුඅවයවයක් ඇති විට එය වටා ගෝලයක් විස්තර කළ හැකි අතර එය වටා කවයක් විස්තර කළ හැකිය (අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියකි). ගෝලයේ කේන්ද්‍රය පිරමීඩයේ පැති දාරවල මැද ලක්ෂ්‍ය හරහා ලම්බකව ගමන් කරන ගුවන් යානාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වනු ඇත.

ඕනෑම ත්‍රිකෝණාකාර හෝ සාමාන්‍ය පිරමීඩයක් වටා ගෝලයක් විස්තර කිරීමට සැමවිටම හැකිය.

පිරමීඩයේ අභ්‍යන්තර ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණවල ද්විභාණ්ඩ තලයන් එක් ස්ථානයක ඡේදනය වන්නේ නම් (අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියක්) පිරමීඩයක ගෝලයක් සටහන් කළ හැක. මෙම ලක්ෂ්යය ගෝලයේ කේන්ද්රය වනු ඇත.

කේතුවක් සහිත පිරමීඩයක් සම්බන්ධ කිරීම

කේතුවක් පිරමීඩයේ ශීර්ෂ සමපාත වන්නේ නම් සහ කේතුවේ පාදය පිරමීඩයේ පාදයේ කොටා ඇත්නම් එහි ලියා ඇති බව කියනු ලැබේ.

පිරමීඩයේ අපොතම් එකිනෙක සමාන නම් පිරමීඩයක කේතුවක් සටහන් කළ හැක.

කේතුවක් පිරමීඩයේ සිරස් සමපාත වන්නේ නම් සහ කේතුවේ පාදය පිරමීඩයේ පාදය වටා වටවී ඇත්නම් එය වටා වටවී ඇති බව කියනු ලැබේ.

පිරමීඩයේ සියලුම පාර්ශ්වීය දාර එකිනෙකට සමාන නම් පිරමීඩයක් වටා කේතුවක් විස්තර කළ හැකිය.

පිරමීඩයක් සහ සිලින්ඩරයක් අතර සම්බන්ධතාවය

පිරමීඩයේ මුදුන සිලින්ඩරයේ එක් පාදයක් මත පිහිටා තිබේ නම් සහ පිරමීඩයේ පාදය සිලින්ඩරයේ තවත් පාදයක ලියා තිබේ නම් පිරමීඩයක් සිලින්ඩරයක සටහන් කර ඇත.

පිරමීඩයේ පාදය වටා කවයක් විස්තර කළ හැකි නම් පිරමීඩයක් වටා සිලින්ඩරයක් විස්තර කළ හැකිය.

tetrahedron එකකට මුහුණු හතරක් සහ සිරස් හතරක් සහ දාර හයක් ඇත, එහිදී ඕනෑම දාර දෙකකට පොදු සිරස් නොමැති නමුත් ස්පර්ශ නොවේ.

සෑම ශීර්ෂයක්ම මුහුණු සහ දාර තුනකින් සමන්විත වේ ත්රිකෝණාකාර කෝණය.

ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනයක ශීර්ෂය ප්‍රතිවිරුද්ධ මුහුණතේ කේන්ද්‍රය සමඟ සම්බන්ධ කරන කොටස හැඳින්වේ tetrahedron හි මධ්යන්ය(GM).

Bimedianස්පර්ශ නොකරන (KL) ප්‍රතිවිරුද්ධ දාරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස ලෙස හැඳින්වේ.

tetrahedron එකක සියලුම bimedians සහ medians එක ලක්ෂයක (S) ඡේදනය වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, bimedians අඩකින් බෙදී ඇති අතර, මධ්යන්ය 3: 1 අනුපාතයකින් ඉහළ සිට ආරම්භ වේ.

අර්ථ දැක්වීම. උග්ර කෝණික පිරමීඩය- පාදයේ පැත්තේ දිගෙන් අඩකට වඩා වැඩි ප්‍රමාණයේ පිරමීඩයක්.

අර්ථ දැක්වීම. අඳුරු පිරමීඩය- පාදයේ පැත්තේ දිගෙන් අඩකට වඩා අඩු ප්‍රමාණයේ පිරමීඩයක්.

අර්ථ දැක්වීම. නිතිපතා tetrahedron- මුහුණු හතරම සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක් වන tetrahedron. එය නිත්‍ය බහුඅස්‍ර පහෙන් එකකි. නිත්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රනයක, සියලුම ඩයිහෙඩ්‍රල් කෝණ (මුහුණු අතර) සහ ත්‍රිකෝණ කෝණ (ශීර්ෂයේ) සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම. සෘජුකෝණාස්රාකාර tetrahedronඑය tetrahedron ලෙස හැඳින්වේ, එහි මුදුනේ දාර තුනක් අතර සෘජු කෝණයක් ඇත (දාර ලම්බක වේ). මුහුණු තුනක් සාදයි සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණාකාර කෝණයසහ දාර වේ සෘජු ත්රිකෝණ, සහ පාදය අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයකි. ඕනෑම මුහුණක ඇපොතම් එක පතිත වන පාදයේ අඩකට සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම. Isohedral tetrahedronපැති මුහුණු එකිනෙකට සමාන වන අතර පාදය සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක් වන tetrahedron ලෙස හැඳින්වේ. එවැනි tetrahedron සමද්වීපක ත්‍රිකෝණයක් වන මුහුණු ඇත.

අර්ථ දැක්වීම. Orthocentric tetrahedronඑය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනයක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි ඉහළ සිට ප්‍රතිවිරුද්ධ මුහුණට පහත් කර ඇති සියලුම උස (ලම්බක) එක් ස්ථානයක ඡේදනය වේ.

අර්ථ දැක්වීම. තරු පිරමීඩයතාරකාවක් වන බහුඅවයවයක් ලෙස හැඳින්වේ.

මෙහිදී ඔබට පිරමිඩ සහ අදාළ සූත්‍ර සහ සංකල්ප පිළිබඳ මූලික තොරතුරු සොයා ගත හැක. ඔවුන් සියල්ලන්ම ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට සූදානම් වීමේදී ගණිත උපදේශකයෙකු සමඟ ඉගෙන ගනු ලැබේ.

ගුවන් යානයක්, බහුඅස්රයක් සලකා බලන්න , එහි බොරු සහ ලක්ෂ්යයක් S, එය තුළ බොරු නොවේ. බහුඅස්‍රයේ සියලුම සිරස් වලට S සම්බන්ධ කරමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන බහුඅවයව පිරමීඩයක් ලෙස හැඳින්වේ. කොටස් පැති ඉළ ඇට ලෙස හැඳින්වේ. බහුඅස්රය පාදය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර S ලක්ෂය පිරමීඩයේ මුදුනයි. n අංකයට අනුව පිරමීඩය ත්‍රිකෝණාකාර (n=3), හතරැස් (n=4), පංචස්කන්ධ (n=5) යනාදී ලෙස හැඳින්වේ. විකල්ප මාතෘකාවත්රිකෝණාකාර පිරමීඩය - tetrahedron. පිරමීඩයක උස යනු එහි මුදුනේ සිට පාදමේ තලය දක්වා ලම්බකව බැසීමයි.

පිරමීඩයක් සාමාන්‍ය නම් ලෙස හැඳින්වේ නිත්‍ය බහුඅස්‍රයක් වන අතර පිරමීඩයේ උන්නතාංශයේ පාදම (ලම්බක පාදය) එහි කේන්ද්‍රය වේ.

ගුරුවරයාගේ අදහස:
"සාමාන්‍ය පිරමීඩය" සහ "සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රන්" යන සංකල්ප ව්‍යාකූල නොකරන්න. සාමාන්‍ය පිරමීඩයක පැති දාර අනිවාර්යයෙන්ම පාදයේ දාරවලට සමාන නොවේ, නමුත් සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනයක දාර 6ම සමාන වේ. මෙය ඔහුගේ නිර්වචනයයි. බහුඅස්‍රයේ P කේන්ද්‍රය සමපාත වන බව සමානාත්මතාවයෙන් ඇඟවෙන බව ඔප්පු කිරීම පහසුය පාදක උසකින් යුක්ත වන බැවින් සාමාන්‍ය ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනය සාමාන්‍ය පිරමීඩයකි.

apothem යනු කුමක්ද?
පිරමීඩයක අපොතම් යනු එහි පැති මුහුණේ උසයි. පිරමීඩය නිත්‍ය නම්, එහි සියලුම අපොතම් සමාන වේ. ප්රතිලෝම සත්ය නොවේ.

ඔහුගේ පාරිභාෂිතය ගැන ගණිත උපදේශකයෙක්: පිරමිඩ සමඟ වැඩ 80% ත්රිකෝණ වර්ග දෙකක් හරහා ගොඩනගා ඇත:
1) apothem SK සහ උස SP අඩංගු වීම
2) පාර්ශ්වීය කෙළවර SA සහ එහි ප්රක්ෂේපණය PA අඩංගු වේ

මෙම ත්‍රිකෝණ සඳහා යොමු කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, ගණිත උපදේශකයෙකුට ඒවායින් පළමුවැන්න ඇමතීම වඩාත් පහසු වේ. අපොතමල්, සහ දෙවන වියදම් සහිත. අවාසනාවකට, ඔබට මෙම පාරිභාෂිතය කිසිදු පෙළපොතක සොයාගත නොහැකි අතර, ගුරුවරයා එය ඒකපාර්ශ්විකව හඳුන්වා දිය යුතුය.

පිරමීඩයක පරිමාව සඳහා සූත්රය:
1) , පිරමීඩයේ පාදයේ ප්රදේශය කොතැනද, සහ පිරමීඩයේ උස වේ
2) , ශිලාලේඛනගත ගෝලයේ අරය කොහිද සහ පිරමීඩයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය වේ.
3) , MN යනු ඕනෑම හරස් දාර දෙකක් අතර දුර වන අතර, ඉතිරි දාර හතරේ මැද ලක්ෂ්‍ය මගින් සාදනු ලබන සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය වේ.

පිරමීඩයක උස පාදයේ දේපල:

P ලක්ෂ්‍යය (රූපය බලන්න) පහත සඳහන් කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම් පිරමීඩයේ පාදයේ ඇති ශිලාලේඛන කවයේ කේන්ද්‍රය සමග සමපාත වේ:
1) සියලුම apothems සමාන වේ
2) සියලුම පැති මුහුණු පාදයට සමානව නැඹුරු වේ
3) සියලුම අපෝටම් පිරමීඩයේ උසට සමානව නැඹුරු වේ
4) පිරමීඩයේ උස සියලු පැති මුහුණු වලට සමානව නැඹුරු වේ

ගණිත ගුරුවරයාගේ අදහස: සියලුම කරුණු වලට පොදු එක දෙයක් ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න පොදු දේපල: එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින්, පාර්ශ්වීය මුහුණු සෑම තැනකම සම්බන්ධ වේ (apothems ඔවුන්ගේ මූලද්රව්ය වේ). එමනිසා, ගුරුවරයාට අඩු නිවැරදි, නමුත් ඉගෙනීම සඳහා වඩාත් පහසු, සූත්‍රගත කිරීම සඳහා ඉදිරිපත් කළ හැකිය: P ලක්ෂ්‍යය එහි පාර්ශ්වීය මුහුණු පිළිබඳ සමාන තොරතුරු තිබේ නම්, පිරමීඩයේ පාදම වන ශිලාලේඛන කවයේ කේන්ද්‍රය සමඟ සමපාත වේ. එය ඔප්පු කිරීම සඳහා, සියලු apothem ත්රිකෝණ සමාන බව පෙන්වීම ප්රමාණවත්ය.

කොන්දේසි තුනෙන් එකක් සත්‍ය නම්, P ලක්ෂ්‍යය පිරමීඩයේ පාදය ආසන්නයේ වට වූ කවයක කේන්ද්‍රය සමඟ සමපාත වේ:
1) සියලුම පැති දාර සමාන වේ
2) සියලුම පැති ඉළ ඇට පාදයට සමානව නැඹුරු වේ
3) සියලුම පැති ඉළ ඇට උසට සමානව නැඹුරු වේ