ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය. ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය
අර්ථ දැක්වීම.\(y = f(x)\) ශ්රිතය \(x_0\) ලක්ෂ්යය අඩංගු නිශ්චිත කාල පරතරයක් තුළ අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. මෙම විරාමයෙන් ඉවත් නොවන පරිදි \(\Delta x \) තර්කයට වර්ධකයක් ලබා දෙමු. අපි \(\Delta y \) ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය සොයා ගනිමු (ලක්ෂ්යයේ \(x_0 \) ලක්ෂ්යයේ සිට \(x_0 + \Delta x \))) සහ \(\frac(\Delta) සම්බන්ධතාවය සම්පාදනය කරමු. y)(\Delta x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) හි මෙම අනුපාතයට සීමාවක් තිබේ නම්, නිශ්චිත සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය\(y=f(x) \) ලක්ෂ්යයේ \(x_0 \) සහ \(f"(x_0) \) දක්වන්න.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
ව්යුත්පන්නය දැක්වීමට y සංකේතය බොහෝ විට භාවිතා වේ. y" = f(x) යනු නව ශ්රිතයක් බව සලකන්න, නමුත් ඉහත සීමාව පවතින සියලුම ලක්ෂ්‍ය x හි අර්ථ දක්වා ඇති y = f(x) ශ්‍රිතයට ස්වභාවිකව සම්බන්ධ වේ. මෙම කාර්යය පහත පරිදි හැඳින්වේ: y = f(x) ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය.
ජ්යාමිතික අර්ථයව්යුත්පන්නපහත පරිදි වේ. y-අක්ෂයට සමාන්තර නොවන abscissa x=a සමඟ ලක්ෂ්යයේ y = f(x) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් ඇඳීමට හැකි නම්, f(a) ස්පර්ශකයේ බෑවුම ප්‍රකාශ කරයි. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \), එවිට සමානාත්මතාවය \(f"(a) = tan(a) \) සත්‍ය වේ.
දැන් අපි ආසන්න සමානාත්මතාවයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අර්ථකථනය කරමු. \(y = f(x)\) ශ්‍රිතයට නිශ්චිත ලක්ෂ්යයක ව්‍යුත්පන්නයක් තිබිය යුතුය \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
මෙයින් අදහස් කරන්නේ x ලක්ෂ්‍යයට ආසන්නව ආසන්න සමානාත්මතාවය \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), එනම් \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ඩෙල්ටා x\). ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ආසන්න සමානාත්මතාවයේ අර්ථවත් අර්ථය පහත පරිදි වේ: ශ්රිතයේ වර්ධකය තර්කයේ වර්ධකයට “පාහේ සමානුපාතික” වන අතර සමානුපාතිකත්වයේ සංගුණකය යනු ව්යුත්පන්නයේ අගයයි. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය X. උදාහරණයක් ලෙස, \(y = x^2\) ශ්රිතය සඳහා ආසන්න සමානාත්මතාවය \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) වලංගු වේ. අපි ව්‍යුත්පන්නයක නිර්වචනය හොඳින් විශ්ලේෂණය කරන්නේ නම්, එය සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයක් එහි අඩංගු බව අපට පෙනී යනු ඇත.
අපි එය සකස් කරමු.
y = f(x) ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
1. \(x\) අගය සවි කරන්න, සොයන්න \(f(x)\)
2. තර්කයට \(x\) වර්ධකයක් දෙන්න \(\Delta x\), වෙත යන්න නව කරුණක්\(x+ \Delta x \), සොයන්න \(f(x+ \Delta x) \)
3. ශ්රිතයේ වර්ධකය සොයන්න: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. සම්බන්ධතාවය සාදන්න \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ගණනය කරන්න
මෙම සීමාව x ලක්ෂයේ ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය වේ.
y = f(x) ශ්‍රිතයකට x ලක්ෂ්යයක ව්‍යුත්පන්නයක් තිබේ නම්, එය x ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ. y = f(x) ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සෙවීමේ ක්‍රියා පටිපාටිය හැඳින්වේ අවකලනයශ්‍රිත y = f(x).
අපි පහත ප්‍රශ්නය සාකච්ඡා කරමු: ශ්රිතයක අඛන්ඩතාවය සහ අවකලනය එකිනෙකට සම්බන්ධ ලක්ෂ්‍යයක් වන්නේ කෙසේද?
x ලක්ෂ්‍යයේදී y = f(x) ශ්රිතය අවකලනය වීමට ඉඩ හරින්න. එවිට M(x; f(x)) ලක්ෂ්යයේ ඇති ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් ඇද ගත හැකි අතර, මතක තබා ගන්න, ස්පර්ශකයේ කෝණික සංගුණකය f "(x) ට සමාන වේ. එවැනි ප්‍රස්ථාරයක් "බිඳීමට" නොහැක. M ලක්ෂ්යයේ, එනම් ශ්රිතය x ලක්ෂයේ අඛණ්ඩ විය යුතුය.
මේවා "අත්වැල්" තර්ක විය. අපි වඩාත් දැඩි තර්කයක් ලබා දෙමු. x ලක්ෂ්‍යයේදී y = f(x) ශ්රිතය අවකලනය කළ හැකි නම්, එවිට ආසන්න සමානාත්මතාවය \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) පවතී. මෙම සමානාත්මතාවයේ නම් \(\Delta x \) ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, එවිට \(\Delta y \) ශුන්‍යයට නැඹුරු වනු ඇත, සහ ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයේ අඛණ්ඩතාව සඳහා කොන්දේසිය මෙයයි.
ඒ නිසා, x ලක්ෂ්යයේ දී ශ්රිතයක් අවකලනය කළ හැකි නම්, එම ලක්ෂ්යයේ දී එය අඛණ්ඩ වේ.
ප්‍රතිලෝම ප්‍රකාශය සත්‍ය නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස: ශ්රිතය y = |x| සෑම තැනකම අඛණ්ඩව පවතී, විශේෂයෙන් x = 0 ලක්ෂ්යයේ, නමුත් "හන්දි ලක්ෂ්යයේ" (0; 0) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය නොපවතී. යම් අවස්ථාවක දී ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් ඇද ගත නොහැකි නම්, එම ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නය නොපවතී.
තවත් එක් උදාහරණයක්. \(y=\sqrt(x)\) ශ්රිතය x = 0 ලක්ෂ්යය ඇතුළුව සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාවේ අඛණ්ඩව පවතී. තවද ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය x = 0 ලක්ෂ්යය ඇතුළුව ඕනෑම ලක්ෂ්යයක පවතී. නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී ස්පර්ශකය y-අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ, එනම්, එය abscissa අක්ෂයට ලම්බක වේ, එහි සමීකරණයට x = 0 ස්වරූපය ඇත. එවැනි සරල රේඛාවකට කෝණ සංගුණකයක් නොමැත, එනම් \(f "(0)\) නොපවතී.
ඉතින්, අපි ශ්රිතයක නව දේපලක් සමඟ දැන හඳුනා ගත්තෙමු - අවකලනය. ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයෙන් එය අවකලනය කළ හැකි බව කෙනෙකුට නිගමනය කළ හැක්කේ කෙසේද?
පිළිතුර ඇත්ත වශයෙන්ම ඉහත දක්වා ඇත. යම් අවස්ථාවක දී abscissa අක්ෂයට ලම්බක නොවන ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් ඇඳීමට හැකි නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතය අවකලනය වේ. යම් අවස්ථාවක දී ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයක් නොපවතී නම් හෝ එය abscissa අක්ෂයට ලම්බක නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතය අවකලනය කළ නොහැක.
අවකලනය කිරීමේ නීති
ව්යුත්පන්නය සෙවීමේ ක්‍රියාවලිය හැඳින්වේ අවකලනය. මෙම මෙහෙයුම සිදු කරන විට, ඔබට බොහෝ විට කොටස්, එකතු කිරීම්, ශ්‍රිතවල නිෂ්පාදන මෙන්ම "කාර්යවල කාර්යයන්", එනම් සංකීර්ණ ශ්‍රිත සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවේ. ව්යුත්පන්නයේ නිර්වචනය මත පදනම්ව, අපට මෙම කාර්යය පහසු කරන අවකලනය කිරීමේ නීති ව්යුත්පන්න කළ හැක. C යනු නියත සංඛ්‍යාවක් නම් සහ f=f(x), g=g(x) යනු යම් යම් අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිත නම්, පහත ඒවා සත්‍ය වේ. අවකලනය කිරීමේ නීති:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
සමහර ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න වගුව
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ වර්ග(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ජ්‍යාමිතිය, යාන්ත්‍ර විද්‍යාව, භෞතික විද්‍යාව සහ අනෙකුත් දැනුමේ ශාඛා වල විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී, මෙම ශ්‍රිතයෙන් එකම විශ්ලේෂණ ක්‍රියාවලියක් භාවිතා කරමින් අවශ්‍යතාවය මතු විය. y=f(x)නමින් නව කාර්යයක් ලබා ගන්න ව්යුත්පන්න ශ්රිතය(හෝ සරලව දී ඇති ශ්රිතයක ව්යුත්පන්න f(x)සහ සංකේතය මගින් නම් කර ඇත
දී ඇති ශ්‍රිතයකින් සිදුවන ක්‍රියාවලිය f(x)නව විශේෂාංගයක් ලබා ගන්න f" (x), නමින් අවකලනයසහ එය පහත පියවර තුනකින් සමන්විත වේ: 1) තර්කය දෙන්න xවැඩි කිරීම
xසහ ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය තීරණය කරන්න
y = f(x+
x) -f(x); 2) සම්බන්ධතාවයක් ඇති කර ගන්න 
3) ගණන් කිරීම xනියත සහ
x0, අපි සොයා ගනිමු 
, අපි දක්වන්නේ f" (x), ප්රතිඵලයක් ලෙස ශ්රිතය අගය මත පමණක් රඳා පවතින බව අවධාරණය කරන්නාක් මෙනි x, අපි සීමාවට යනවා. අර්ථ දැක්වීම:
ව්යුත්පන්න y " =f " (x)
ලබා දී ඇති ශ්රිතය y=f(x)
දී ඇති x සඳහාතර්කයේ වර්ධකයට ශ්රිතයක වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ, තර්කයේ වර්ධක ශුන්‍යයට නැඹුරු වන්නේ නම්, ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සීමාව පවතී නම්, i.e. සීමිතයි. මේ අනුව, 
, හෝ 
යම් වටිනාකමක් සඳහා නම් බව සලකන්න x, උදාහරණයක් ලෙස විට x=a, ආකල්පය 
හිදී
x0 පරිමිත සීමාවට නැඹුරු නොවේ, එවිට මෙම අවස්ථාවෙහිදී ඔවුන් පවසන්නේ ශ්රිතය බවයි f(x)හිදී x=a(හෝ ස්ථානයේ x=a) ව්‍යුත්පන්නයක් නොමැති හෝ ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය නොවේ x=a.
2. ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය.
y = f (x) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සලකා බලන්න, x 0 ලක්ෂ්‍ය ආසන්නයේ අවකලනය කළ හැක.
f(x)
ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයේ ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන අත්තනෝමතික සරල රේඛාවක් සලකා බලමු - ලක්ෂ්යය A(x 0, f (x 0)) සහ ප්‍රස්ථාරය යම් ස්ථානයක B(x;f(x)) ඡේදනය කිරීම. එවැනි රේඛාවක් (AB) secant ලෙස හැඳින්වේ. ∆ABC වෙතින්: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
AC සිට || Ox, පසුව ALO = BAC = β (සමාන්තරයට අනුරූප වන පරිදි). නමුත් ALO යනු AB තත්පරයේ Ox අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට නැඹුරුවීමේ කෝණයයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ tanβ = k යනු AB සරල රේඛාවේ බෑවුම බවයි.
දැන් අපි ∆х අඩු කරන්නෙමු, i.e. ∆х→ 0. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, B ලක්ෂ්යය ප්‍රස්ථාරයට අනුව A ලක්ෂ්‍යයට ළඟා වන අතර, දෙවන AB භ්‍රමණය වේ. ∆x→ 0 හි තත්පර AB හි සීමාකාරී පිහිටීම සරල රේඛාවක් (a) වනු ඇත, A ලක්ෂ්යයේ y = f (x) ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය ලෙස හැඳින්වේ.
අපි tgβ =∆y/∆x සමානාත්මතාවයේ ∆x → 0 ලෙස සීමාවට ගියහොත්, අපට ලැබෙන්නේ 
ortg =f "(x 0), සිට 
-ඔක්ස් අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට ස්පර්ශකයේ ආනතියේ කෝණය 
, ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව. නමුත් tg = k යනු ස්පර්ශකයේ කෝණික සංගුණකය, එනම් k = tg = f "(x 0).
එබැවින්, ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය පහත පරිදි වේ:
x ලක්ෂයේ ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය 0 සමානයි බෑවුම abscissa x සමඟ ලක්ෂ්යයේ අඳින ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය 0 .
3. ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය.
සරල රේඛාවක් ඔස්සේ ලක්ෂ්යයක චලනය සලකා බලන්න. ඕනෑම අවස්ථාවක ලක්ෂ්යයක ඛණ්ඩාංකය x(t) ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න. එය දන්නා පරිදි (භෞතික විද්‍යා පාඨමාලාවකින්) යම් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ සාමාන්ය වේගය මෙම කාල සීමාව තුළ ගමන් කළ දුර ප්‍රමාණයේ අනුපාතයට සමාන වේ, i.e.
Vav = ∆x/∆t. අපි ∆t → 0 ලෙස අවසාන සමානාත්මතාවයේ සීමාවට යමු.
lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 අවස්ථාවේ ක්ෂණික වේගය.
සහ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව).
ඉතින්, (t) =x"(t).
ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය පහත පරිදි වේ: ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයවයි = f(x) ස්ථානයේx 0 ශ්රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගය වේf(x) ලක්ෂ්යයේx 0
භෞතික විද්‍යාවේදී ව්යුත්පන්නය භාවිතා කරනුයේ කාලයට එදිරිව ඛණ්ඩාංකවල දන්නා ශ්‍රිතයකින් ප්‍රවේගය සෙවීමට, ප්‍රවේගයේ හා වේලාවේ දන්නා ශ්‍රිතයකින් ත්වරණය වීමයි.
(t) = x"(t) - වේගය,
a(f) = "(t) - ත්වරණය, හෝ
රවුමක ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්යයක චලිත නියමය දන්නේ නම්, කෙනෙකුට භ්‍රමණ චලිතයේදී කෝණික ප්‍රවේගය සහ කෝණික ත්වරණය සොයාගත හැකිය:
φ = φ(t) - කාලයත් සමඟ කෝණය වෙනස් වීම,
ω = φ"(t) - කෝණික ප්‍රවේගය,
ε = φ"(t) - කෝණික ත්වරණය, හෝ ε = φ"(t).
සමජාතීය සැරයටියක ස්කන්ධ ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ නීතිය දන්නේ නම්, සමජාතීය දණ්ඩේ රේඛීය ඝනත්වය සොයාගත හැකිය:
m = m(x) - ස්කන්ධය,
x , l - සැරයටියේ දිග,
p = m"(x) - රේඛීය ඝනත්වය.
ව්යුත්පන්නය භාවිතා කරමින්, ප්රත්යාස්ථතා න්‍යායේ සහ සුසංයෝගී කම්පනවල ගැටළු විසඳනු ලැබේ. ඉතින්, හූක්ගේ නීතියට අනුව
F = -kx, x - විචල්ය ඛණ්ඩාංකය, k - වසන්ත ප්රත්යාස්ථතා සංගුණකය. ω 2 =k/m දැමීමෙන්, අපි වසන්ත පෙන්ඩුලම් x"(t) + ω 2 x(t) = 0 හි අවකල සමීකරණය ලබා ගනිමු.
එහිදී ω = √k/√m දෝලන සංඛ්යාතය (l/c), k - වසන්ත තද බව (H/m).
y" + ω 2 y = 0 ආකාරයේ සමීකරණයක් හර්මොනික් දෝලනය (යාන්ත්‍රික, විද්‍යුත්, විද්‍යුත් චුම්භක) සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. එවැනි සමීකරණවලට විසඳුම ශ්‍රිතයයි.
y = Asin(ωt + φ 0) හෝ y = Acos(ωt + φ 0), එහිදී
A - දෝලනවල විස්තාරය, ω - චක්රීය සංඛ්යාතය,
φ 0 - ආරම්භක අදියර.
භෞතික ගැටළු හෝ ගණිතයේ උදාහරණ විසඳීම ව්යුත්පන්නය සහ එය ගණනය කිරීමේ ක්රම පිළිබඳ දැනුමකින් තොරව සම්පූර්ණයෙන්ම කළ නොහැක්කකි. ව්යුත්පන්න ඉන් එකකි වඩාත්ම වැදගත් සංකල්පගණිතමය විශ්ලේෂණය. මෙය මූලික මාතෘකාවඅපි අද ලිපිය කැප කිරීමට තීරණය කළා. ව්‍යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද, එහි භෞතික හා ජ්යාමිතික අර්ථය කුමක්ද, ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? මෙම සියලු ප්‍රශ්න එකකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය: ව්යුත්පන්නය තේරුම් ගන්නේ කෙසේද?
ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික සහ භෞතික අර්ථය
කාර්යයක් වේවා f(x) , යම් කාල පරතරයක් තුළ නිශ්චිතව දක්වා ඇත (අ, ආ) . x සහ x0 ලක්ෂ්‍ය මෙම අන්තරයට අයත් වේ. x වෙනස් වූ විට ශ්‍රිතයම වෙනස් වේ. තර්කය වෙනස් කිරීම - එහි අගයන්හි වෙනස x-x0 . මෙම වෙනස ලෙස ලියා ඇත ඩෙල්ටා x සහ තර්ක වර්ධක ලෙස හැඳින්වේ. ශ්රිතයක වෙනසක් හෝ වැඩිවීමක් යනු ලක්ෂ්‍ය දෙකක ශ්රිතයක අගයන් අතර වෙනසයි. ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම:
ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය යනු දී ඇති ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයේ වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ශුන්‍යයට නැඹුරු වන විට තර්කයේ වර්ධන අනුපාතයයි.
එසේ නොමැතිනම් එය මෙසේ ලිවිය හැක.
එවැනි සීමාවක් සොයා ගැනීමේ තේරුම කුමක්ද? සහ මෙන්න එය කුමක්ද:
ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය OX අක්ෂය සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශක අතර කෝණයේ ස්පර්ශයට සමාන වේ.
භෞතික අර්ථයව්යුත්පන්න: කාලය සම්බන්ධයෙන් මාර්ගයේ ව්යුත්පන්නය සෘජුකෝණාස්‍ර චලිතයේ වේගයට සමාන වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, පාසල් කාලයේ සිටම වේගය යනු විශේෂිත මාර්ගයක් බව කවුරුත් දනිති x=f(t) හා වේලාව ටී . සාමාන්ය වේගයනිශ්චිත කාලයක් සඳහා:
මොහොතකට චලනය වන වේගය සොයා ගැනීමට t0 ඔබ සීමාව ගණනය කළ යුතුය:
පළමු රීතිය: නියතයක් සකසන්න
නියතය ව්යුත්පන්න ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැක. එපමණක්ද නොව, මෙය කළ යුතුය. ගණිතයේ උදාහරණ විසඳන විට, එය රීතියක් ලෙස ගන්න - ඔබට ප්‍රකාශනයක් සරල කළ හැකි නම්, එය සරල කිරීමට වග බලා ගන්න .
උදාහරණයක්. ව්යුත්පන්න ගණනය කරමු:
දෙවන රීතිය: ශ්‍රිතවල එකතුවේ ව්යුත්පන්නය
ශ්‍රිත දෙකක එකතුවේ ව්යුත්පන්නය මෙම ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වේ. ශ්‍රිතවල වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය සඳහා ද එයම වේ.
අපි මෙම ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂියක් ලබා නොදෙනු ඇත, නමුත් ප්‍රායෝගික උදාහරණයක් සලකා බලමු.
ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
තුන්වන රීතිය: ශ්‍රිතවල නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය
වෙනස් කළ හැකි ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
උදාහරණය: ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
විසඳුමක්: 
මෙහිදී සංකීර්ණ ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්නයන් ගණනය කිරීම ගැන කතා කිරීම වැදගත් වේ. සංකීර්ණ ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය අතරමැදි තර්කයට හා ස්වාධීන විචල්‍යයට අදාළව අතරමැදි තර්කයේ ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව මෙම ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ ගුණිතයට සමාන වේ.
ඉහත උදාහරණයේ දී අපට ප්‍රකාශනය හමු වේ:
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අතරමැදි තර්කය පස්වන බලයට 8x වේ. එවැනි ප්‍රකාශනයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි පළමුව අතරමැදි තර්කයට අදාළව බාහිර ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කරමු, පසුව ස්වාධීන විචල්‍යයට අදාළව අතරමැදි තර්කයේ ව්යුත්පන්නයෙන් ගුණ කරමු.
හතරවන රීතිය: ශ්‍රිත දෙකක ප්‍රමාණයේ ව්යුත්පන්නය
ශ්‍රිත දෙකක ප්‍රමාණයේ ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කිරීමේ සූත්රය:
අපි මුල සිටම ඩමි සඳහා ව්යුත්පන්නයන් ගැන කතා කිරීමට උත්සාහ කළෙමු. මෙම මාතෘකාව පෙනෙන තරම් සරල නැත, එබැවින් අවවාද කරන්න: උදාහරණ වල බොහෝ විට අන්තරායන් ඇත, එබැවින් ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේදී ප්රවේශම් වන්න.
මෙම සහ වෙනත් මාතෘකා පිළිබඳ ඕනෑම ප්‍රශ්නයක් සමඟ, ඔබට ශිෂ්‍ය සේවය හා සම්බන්ධ විය හැකිය. පිටුපස කෙටි කාලීනඔබ මීට පෙර කිසි දිනක ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම් සිදු කර නොමැති වුවද, වඩාත් දුෂ්කර පරීක්ෂණ විසඳීමට සහ ගැටළු විසඳීමට අපි ඔබට උදව් කරන්නෙමු.
පුද්ගලයෙකු ගණිතමය විශ්ලේෂණයක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී පළමු ස්වාධීන පියවර ගෙන අපහසුතාවයට පත් ප්‍රශ්න ඇසීමට පටන් ගත් විට, “ගෝවා වල අවකලනය සොයා ගන්නා ලදී” යන වාක්‍ය ඛණ්ඩයෙන් මිදීම තවදුරටත් පහසු නොවේ. එමනිසා, උපතේ රහස තීරණය කිරීමට සහ හෙළි කිරීමට කාලය පැමිණ තිබේ ව්යුත්පන්න වගු සහ අවකලනය කිරීමේ නීති. ලිපියෙන් ආරම්භ විය ව්යුත්පන්න අර්ථය ගැන, එය අධ්‍යයනය කිරීමට මම බෙහෙවින් නිර්දේශ කරමි, මන්ද එහිදී අපි ව්‍යුත්පන්නයක් පිළිබඳ සංකල්පය දෙස බලා මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු ක්ලික් කිරීමට පටන් ගත් බැවිනි. මෙම පාඩමෙහිම උච්චාරණ ප්‍රායෝගික දිශානතියක් ඇත, එපමනක් නොව,
පහත සාකච්ඡා කර ඇති උදාහරණ, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, සම්පූර්ණයෙන්ම විධිමත් ලෙස ප්‍රගුණ කළ හැක (උදාහරණයක් ලෙස, ව්යුත්පන්නයේ සාරය සොයා බැලීමට කාලය/ආශාවක් නොමැති විට). “සාමාන්ය” ක්රමය භාවිතා කරමින් ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමට හැකිවීම ද ඉතා යෝග්‍ය වේ (නමුත් නැවත අවශ්ය නොවේ) - අවම වශයෙන් මූලික පාඩම් දෙකක මට්ටමින්:සංකීර්ණ ශ්රිතයක ව්යුත්පන්න සහ ව්යුත්පන්න සොයා ගන්නේ කෙසේද?
නමුත් අපට දැන් නැතුවම බැරි එක දෙයක් තියෙනවා, ඒක කාර්යය සීමාවන්. සීමාවක් යනු කුමක්දැයි ඔබ තේරුම් ගත යුතු අතර අවම වශයෙන් අතරමැදි මට්ටමකින් ඒවා විසඳීමට හැකි විය යුතුය. සහ සියල්ල ව්යුත්පන්නය නිසා
ලක්ෂ්යයක ක්‍රියාකාරිත්වය තීරණය වන්නේ සූත්රය මගිනි:
තනතුරු සහ නියමයන් ගැන මම ඔබට මතක් කිරීමට ඉඩ දෙන්න: ඔවුන් අමතන්න තර්ක වැඩිවීම;
- කාර්යය වැඩිවීම;
- මේවා තනි සංකේත ("ඩෙල්ටා" "X" හෝ "Y" වෙතින් "ඉරා දැමිය නොහැක).
පැහැදිලිවම, “ගතික” විචල්‍යයක් යනු නියතයක් වන අතර සීමාව ගණනය කිරීමේ ප්‍රතිඵලයකි. 
- අංකය (සමහර විට - "ප්ලස්" හෝ "අඩු" අනන්තය).
කරුණක් ලෙස, ඔබට අයත් ඕනෑම අගයක් සලකා බැලිය හැක අර්ථ දැක්වීමේ වසමව්යුත්පන්නයක් පවතින ශ්රිතය.
සටහන: "ව්යුත්පන්නය පවතින" වගන්තිය - පොදුවේ එය සැලකිය යුතු ය! උදාහරණයක් ලෙස, ශ්රිතයක් අර්ථ දැක්වීමේ වසමෙහි ලක්ෂ්‍යයක් ඇතුළත් වුවද, එහි ව්යුත්පන්නය
එහි නොපවතියි. එබැවින් සූත්රය
ලක්ෂ්යයේ දී අදාළ නොවේ
සහ වෙන් කිරීමක් නොමැතිව කෙටි සූත්‍රගත කිරීමක් වැරදි වනු ඇත. ප්‍රස්ථාරයේ "බිඳීම්" සහිත අනෙකුත් ශ්‍රිත සඳහා, විශේෂයෙන්, ආර්ක්සීන් සහ ආර්කෝසීන් සඳහා සමාන කරුණු සත්‍ය වේ.
මේ අනුව, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පසු, අපට දෙවන ක්‍රියාකාරී සූත්රය ලැබේ:
තේ පෝච්චිය ව්‍යාකූල කළ හැකි ද්‍රෝහී තත්වයක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න: මෙම සීමාව තුළ, “x”, ස්වාධීන විචල්‍යයක් වීම, සංඛ්‍යාලේඛනයක කාර්යභාරය ඉටු කරයි, සහ “ගතිකත්වය” නැවත වර්ධකයෙන් සකසා ඇත. සීමාව ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලය
ව්යුත්පන්න ශ්රිතය වේ.
ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, අපි සාමාන්ය ගැටළු දෙකක කොන්දේසි සකස් කරමු:
- සොයන්න ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්න, ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කිරීම.
- සොයන්න ව්යුත්පන්න ශ්රිතය, ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කිරීම. මෙම අනුවාදය, මගේ නිරීක්ෂණ අනුව, වඩාත් පොදු වන අතර ප්රධාන අවධානය යොමු කරනු ඇත.
කාර්යයන් අතර මූලික වෙනස වන්නේ පළමු අවස්ථාවේ දී ඔබ අංකය සොයා ගැනීමට අවශ්ය බවයි (විකල්ප ලෙස, අනන්තය), සහ දෙවනුව -
කාර්යය ඊට අමතරව, ව්යුත්පන්නය කිසිසේත්ම නොපවතියි.
කෙසේද ?
අනුපාතයක් සාදා සීමාව ගණනය කරන්න.
එය පැමිණියේ කොහෙන්ද?ව්යුත්පන්න සහ අවකලනය කිරීමේ නීති වගුව ? එකම සීමාවට ස්තූතියි
එය මායාවක් මෙන් පෙනේ, නමුත්
යථාර්ථයේ දී - අතේ මායාවක් සහ වංචාවක් නැත. පාඩමේදී ව්‍යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද?මම බලන්න පටන් ගත්තා නිශ්චිත උදාහරණ, එහිදී, නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, මම රේඛීය සහ හතරැස් ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගත්තෙමි. සංජානන උණුසුම් කිරීමේ අරමුණ සඳහා, අපි දිගටම බාධා කරන්නෙමු ව්යුත්පන්න වගුව, ඇල්ගොරිතම සහ තාක්ෂණික විසඳුම් ගරු කිරීම:
අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම, ඔබ සාමාන්‍යයෙන් වගුවේ දිස්වන බල ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නයේ විශේෂ අවස්ථාවක් ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ: .
විසඳුම ක්රම දෙකකින් තාක්ෂණික වශයෙන් විධිමත් කර ඇත. පළමු, දැනටමත් හුරුපුරුදු ප්රවේශය සමඟ ආරම්භ කරමු: ඉණිමඟ ලෑල්ලකින් ආරම්භ වන අතර, ව්යුත්පන්න ශ්රිතය ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්නයෙන් ආරම්භ වේ.
අයත් (විශේෂිත) කරුණු කිහිපයක් සලකා බලන්න අර්ථ දැක්වීමේ වසමව්යුත්පන්නයක් ඇති ශ්රිතය. මෙම අවස්ථාවේදී අපි වර්ධකය සකස් කරමු (ඇත්ත වශයෙන්ම, විෂය පථය තුළ o/o -ya) සහ ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය සම්පාදනය කරන්න:
අපි සීමාව ගණනය කරමු:
0:0 අවිනිශ්චිතතාවය ක්‍රි.පූ පළමු සියවසේදී සලකා බැලූ සම්මත තාක්‍ෂණයකින් ඉවත් කරනු ලැබේ. අපි ගුණ කරමු
සංයුජ ප්‍රකාශනය සඳහා සංඛ්‍යා සහ හරය 
:
එවැනි සීමාවක් විසඳීමේ තාක්ෂණය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ හඳුන්වාදීමේ පාඩම කාර්යයන් වල සීමාවන් ගැන.
ඔබට අන්තරයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා ගත හැකි බැවින්
එවිට, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පසු, අපට ලැබෙන්නේ:
නැවත වරක් අපි ලඝුගණක ගැන සතුටු වෙමු:
ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමින් ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න
විසඳුම: එකම කාර්යය ප්රවර්ධනය කිරීම සඳහා වෙනස් ප්රවේශයක් සලකා බලමු. එය හරියටම සමාන වේ, නමුත් නිර්මාණය අනුව වඩාත් තාර්කික ය. එයින් මිදීමයි අදහස
subscript සහ අකුරක් වෙනුවට අකුරක් භාවිතා කරන්න.
අයත් වන අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සලකා බලන්න අර්ථ දැක්වීමේ වසමශ්රිතය (විරාමය), සහ එහි වර්ධකය සකසන්න. නමුත් මෙන්න, මාර්ගය වන විට, බොහෝ අවස්ථාවලදී මෙන්, ඔබට කිසිදු වෙන් කිරීමකින් තොරව කළ හැකිය ලඝුගණක ශ්රිතයඅර්ථ දැක්වීමේ වසමේ ඕනෑම අවස්ථාවක වෙනස් කළ හැකිය.
එවිට ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය වනුයේ:
ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
නිර්මාණයේ සරල බව විය හැකි ව්යාකූලත්වය සමතුලිත වේ
ආරම්භකයින් අතර සිදු වේ (සහ පමණක් නොවේ). සියල්ලට පසු, "X" අක්ෂරය සීමාව තුළ වෙනස් වන බව අපි පුරුදු වී සිටිමු! නමුත් මෙහි සෑම දෙයක්ම වෙනස් ය: - පෞරාණික පිළිමයක්, සහ - ජීවමාන අමුත්තෙක්, කෞතුකාගාරයේ කොරිඩෝව දිගේ වේගයෙන් ඇවිදිනවා. එනම්, "x" යනු "නියතයක් වැනිය."
අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම පිළිබඳව පියවරෙන් පියවර මම අදහස් දක්වන්නෙමි:
(1)
ලඝුගණක ගුණය භාවිතා කිරීම
.
(2) වරහන් තුළ, වාරණ පදයෙන් පදයෙන් අංකනය බෙදන්න.
(3) හරය තුළ, අපි කෘතිමව ගුණ කිරීම සහ "x" මගින් බෙදන්නෙමු
පුදුම සීමාවෙන් ප්රයෝජන ගන්න 
, ලෙස සිටියදී අනන්තයක්රියා කරයි.
පිළිතුර: ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව:
හෝ කෙටියෙන්:
තවත් වගු සූත්ර දෙකක් ඔබම සෑදීමට මම යෝජනා කරමි:
නිර්වචනය අනුව ව්යුත්පන්න සොයන්න
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සම්පාදනය කරන ලද වර්ධකය වහාම පොදු හරයකට අඩු කිරීම පහසුය. පාඩම අවසානයේ පැවරුමේ ආසන්න නියැදියක් (පළමු ක්රමය).
නිර්වචනය අනුව ව්යුත්පන්න සොයන්න
තවද මෙහිදී සෑම දෙයක්ම කැපී පෙනෙන සීමාවකට අඩු කළ යුතුය. විසඳුම දෙවන ආකාරයෙන් විධිමත් කර ඇත.
තවත් ගණනාවක් වගු ව්යුත්පන්න. සම්පූර්ණ ලැයිස්තුවතුළ සොයා ගත හැක පාසල් පෙළ පොත, හෝ, උදාහරණයක් ලෙස, Fichtenholtz හි 1 වන වෙළුම. පොත් වලින් අවකලනය කිරීමේ නීතිවල සාක්ෂි පිටපත් කිරීමේ වැඩි තේරුමක් මට නොපෙනේ - ඒවා ද ජනනය වේ
සූත්රය
අපි ඇත්තටම මුහුණ දුන් කාර්යයන් වෙත යමු: උදාහරණ 5
ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න 
, ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කිරීම
විසඳුම: පළමු නිර්මාණ විලාසය භාවිතා කරන්න. අයිති යම් කරුණක් සලකා බලා එහි තර්කයේ වැඩිවීමක් සකසමු. එවිට ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය වනුයේ:
සමහර පාඨකයන්ට වර්ධක කළ යුතු මූලධර්මය තවමත් සම්පූර්ණයෙන් වටහාගෙන නොමැත. ලක්ෂ්‍යයක් (අංකයක්) ගෙන එහි ඇති ශ්රිතයේ අගය සොයන්න: 
, එනම් ශ්‍රිතයට
"X" වෙනුවට ඔබ ආදේශ කළ යුතුය. දැන් අපි එය ගනිමු
සම්පාදනය කරන ලද කාර්යය වර්ධකය එය වහාම සරල කිරීම ප්රයෝජනවත් විය හැකිය. කුමක් සඳහා ද? විසඳුම තවත් සීමාවකට පහසු කිරීම සහ කෙටි කිරීම.
අපි සූත්ර භාවිතා කරමු, වරහන් විවෘත කර අඩු කළ හැකි සියල්ල අඩු කරමු:
කළුකුම් ගෙඩිය කපා ඇත, රෝස් කිරීම සම්බන්ධයෙන් කිසිදු ගැටළුවක් නොමැත:
අවසානයේ: 
අපට ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් අගයක් ලෙස තෝරා ගත හැකි බැවින්, අපි ප්‍රතිස්ථාපනය කර ලබා ගනිමු 
.
පිළිතුර : 
a-priory.
සත්‍යාපන අරමුණු සඳහා, නීති භාවිතයෙන් ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු
අවකලනය සහ වගු:
නිවැරදි පිළිතුර කල්තියා දැන ගැනීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් සහ ප්‍රසන්න වේ, එබැවින් විසඳුමේ ආරම්භයේදීම යෝජිත කාර්යය “ඉක්මන්” ආකාරයෙන් මානසිකව හෝ කෙටුම්පතකින් වෙන්කර හඳුනා ගැනීම වඩා හොඳය.
ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න
මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. ප්රතිඵලය පැහැදිලිය:
අපි නැවත විලාසය #2 වෙත යමු: උදාහරණ 7
සිදු විය යුතු දේ වහාම සොයා බලමු. විසින් සංකීර්ණ කාර්යයන් වෙනස් කිරීමේ රීතිය:
විසඳුම: අයත් වන අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සලකා, තර්කයේ වර්ධක එහි සකසන්න සහ වර්ධකය සාදන්න
ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
(1) අපි ත්‍රිකෝණමිතික සූත්රය භාවිතා කරමු
(2) සයින් යටතේ අපි වරහන් විවෘත කරමු, කොසයින් යටතේ අපි සමාන පද ඉදිරිපත් කරමු.
(3) සයින් යටතේ අපි නියමයන් අවලංගු කරන්නෙමු, කොසයින් යටතේ අපි වාරිකය පදයෙන් පදයෙන් බෙදන්නෙමු.
(4) සයින් වල අපූර්වත්වය නිසා අපි "අඩුම" ඉවත් කරමු. කොසයින් යටතේ
එම පදය බව අපි පෙන්වා දෙමු.
(5) භාවිතා කිරීම සඳහා අපි හරය තුළ කෘතිම ගුණ කිරීම සිදු කරන්නෙමු පළමු පුදුම සීමාව. මේ අනුව, අවිනිශ්චිතතාවය ඉවත් කරනු ලැබේ, ප්රතිඵලය පිළිවෙලට කරමු.
පිළිතුර: නිර්වචනය අනුව, ඔබට පෙනෙන පරිදි, සලකා බලනු ලබන ගැටලුවේ ප්රධාන දුෂ්කරතාවය රඳා පවතී
ඉතා සීමාවේ සංකීර්ණත්වය + ඇසුරුම්කරණයේ සුළු සම්භවය. ප්රායෝගිකව, සැලසුම් කිරීමේ ක්රම දෙකම සිදු වේ, එබැවින් මම ප්රවේශයන් දෙකම හැකි තරම් විස්තරාත්මකව විස්තර කරමි. ඒවා සමාන වේ, නමුත් තවමත්, මගේ ආත්මීය හැඟීම අනුව, "X-zero" සමඟ විකල්ප 1 වෙත ඇලී සිටීම වඩා සුදුසුය.
නිර්වචනය භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න
මෙය ඔබ විසින්ම විසඳා ගත යුතු කාර්යයකි. නියැදිය සැලසුම් කර ඇත්තේ පෙර උදාහරණයට සමාන ආත්මයෙනි.
ගැටලුවේ දුර්ලභ අනුවාදයක් දෙස බලමු:
ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමින් ලක්ෂ්යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
පළමුව, පහළ රේඛාව කුමක් විය යුතුද? අංකය සම්මත ආකාරයෙන් පිළිතුර ගණනය කරමු:
විසඳුම: පැහැදිලි දෘෂ්ටි කෝණයකින්, මෙම කාර්යය වඩාත් සරල ය, මන්ද සූත්‍රයේ වෙනුවට
නිශ්චිත අගයක් සලකනු ලැබේ.
අපි ලක්ෂ්යයේ වර්ධකය සකසා ශ්රිතයේ අනුරූප වර්ධකය රචනා කරමු:
ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්න ගණනය කරමු:
අපි ඉතා දුර්ලභ ස්පර්ශක වෙනස සූත්‍රයක් භාවිතා කරමු 
නැවත වරක් අපි විසඳුම පළමු එකට අඩු කරමු
කැපී පෙනෙන සීමාව:
පිළිතුර: ලක්ෂ්යයක ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම අනුව.
ගැටලුව විසඳීමට එතරම් අපහසු නොවන අතර “ඇතුළත පොදු දැක්ම“- එය නියපොතුව ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම ප්‍රමාණවත් හෝ සැලසුම් ක්රමය මත රඳා පවතී. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්රතිඵලය අංකයක් නොව ව්යුත්පන්න ශ්රිතයක් වනු ඇති බව පැහැදිලිය.
උදාහරණ 10 අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගන්න 
ලක්ෂ්යයේ
මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි.
අවසාන ප්‍රසාද කර්තව්‍යය මූලික වශයෙන් ගණිතමය විශ්ලේෂණය පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්‍යයනයක් ඇති සිසුන් සඳහා අදහස් කෙරේ, නමුත් එය වෙනත් කිසිවෙකුට හානියක් නොවනු ඇත:
කාර්යය වෙනස් කළ හැකිද? 
ස්ථානයේ?
විසඳුම: කොටස් වශයෙන් ලබා දී ඇති ශ්රිතයක් එක් ලක්ෂ්යයක අඛණ්ඩව පවතින බව පැහැදිලිය, නමුත් එහිදී එය වෙනස් කළ හැකිද?
විසඳුම් ඇල්ගොරිතම, කෑලි වශයෙන් කාර්යයන් සඳහා පමණක් නොව, පහත පරිදි වේ:
1) දී ඇති ලක්ෂ්යයක වම් ව්යුත්පන්නය සොයන්න: .
2) දී ඇති ලක්ෂ්යයක දකුණු පස ව්යුත්පන්නය සොයන්න: .
3) ඒකපාර්ශ්වික ව්යුත්පන්නයන් සීමිත නම් සහ සමපාත වේ නම්:
, එවිට ශ්රිතය ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය වේ
ජ්යාමිතික වශයෙන්, මෙහි පොදු ස්පර්ශකයක් ඇත (පාඩමේ න්‍යායාත්මක කොටස බලන්න ව්යුත්පන්නයේ අර්ථ දැක්වීම සහ අර්ථය).
දෙකක් ලැබුණොත් විවිධ අර්ථ: 
(එයින් එකක් අනන්ත විය හැක), එවිට ශ්රිතය ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය නොවේ.
ඒකපාර්ශ්වික ව්යුත්පන්න දෙකම අනන්තයට සමාන නම්
(ඒවායේ විවිධ සංඥා ඇති වුවද), එවිට කාර්යය නොවේ
ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකි නමුත්, ප්‍රස්ථාරයට අනන්ත ව්‍යුත්පන්නයක් සහ පොදු සිරස් ස්පර්ශකයක් ඇත (උදාහරණ 5 පාඩම බලන්නසාමාන්ය සමීකරණය) .
මෙම පාඩමේදී අපි අවකලනය කිරීමේ සූත්ර සහ රීති යෙදීමට ඉගෙන ගනිමු.
උදාහරණ. ශ්‍රිතවල ව්යුත්පන්න සොයන්න.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. රීතිය යෙදීම මම, සූත්ර 4, 2 සහ 1. අපට ලැබෙන්නේ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. අපි එකම සූත්ර සහ සූත්ර භාවිතා කරමින් ඒ හා සමානව විසඳමු 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
රීතිය යෙදීම මම, සූත්ර 3, 5
සහ 6
සහ 1.
රීතිය යෙදීම IV, සූත්ර 5
සහ 1
.
පස්වන උදාහරණයේ, රීතියට අනුව මමඑකතුවේ ව්යුත්පන්නය ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වන අතර, අපි දැන් 1 වන පදයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගත්තෙමු (උදාහරණය 4 ), එබැවින්, අපි ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු 2 වැනිසහ 3 වැනිකොන්දේසි, සහ 1 සඳහාසාරාංශය අපට වහාම ප්රතිඵලය ලිවිය හැකිය.
අපි වෙන්කර හඳුනා ගනිමු 2 වැනිසහ 3 වැනිසූත්රය අනුව නියමයන් 4
. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි හරය තුළ ඇති තුන්වන සහ හතරවන බලවල මූලයන් සෘණ ඝාතක සහිත බලවලට පරිවර්තනය කරමු, පසුව, අනුව 4
සූත්රය, අපි බලවල ව්යුත්පන්න සොයා ගනිමු.
බලන්න මෙම උදාහරණයසහ ලබාගත් ප්රතිඵලය. ඔබ රටාව අල්ලා ගත්තාද? හොඳයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපට නව සූත්‍රයක් ඇති අතර එය අපගේ ව්යුත්පන්න වගුවට එක් කළ හැකි බවයි.
හයවන උදාහරණය විසඳා තවත් සූත්‍රයක් ලබා ගනිමු.
අපි රීතිය භාවිතා කරමු IVසහ සූත්රය 4
. ලැබෙන භාග අඩු කරමු.
අපි බලමු මෙම කාර්යයසහ එහි ව්යුත්පන්නය. ඔබ, ඇත්ත වශයෙන්ම, රටාව තේරුම් ගෙන සූත්රය නම් කිරීමට සූදානම්:
නව සූත්ර ඉගෙන ගැනීම!
උදාහරණ.
1. තර්කයේ වර්ධක සහ y= ශ්රිතයේ වර්ධක සොයන්න x 2, තර්කයේ ආරම්භක අගය සමාන නම් 4 , සහ නව - 4,01 .
විසඳුමක්.
නව තර්ක අගය x=x 0 +Δx. අපි දත්ත ආදේශ කරමු: 4.01=4+Δх, එබැවින් තර්කයේ වැඩි වීම Δх=4.01-4=0.01. ශ්රිතයක වැඩිවීම, අර්ථ දැක්වීම අනුව, ශ්රිතයේ නව සහ පෙර අගයන් අතර වෙනසට සමාන වේ, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). අපට කාර්යයක් ඇති බැවින් y=x2, එම Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
පිළිතුර: තර්ක වැඩිවීම Δх=0.01; කාර්යය වැඩිවීම Δу=0,0801.
කාර්යය වර්ධකය වෙනස් ලෙස සොයාගත හැකිය: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකයේ ආනතියේ කෝණය සොයන්න y=f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0, නම් f "(x 0) = 1.
විසඳුමක්.
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ව්යුත්පන්නයේ අගය x 0සහ ස්පර්ශක කෝණයෙහි ස්පර්ශකයේ අගය (ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය) වේ. අපිට තියෙනවා: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,නිසා tg45°=1.
පිළිතුර: මෙම ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය Ox අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට සමාන කෝණයක් සාදයි 45°.
3. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සඳහා සූත්රය ව්යුත්පන්න කරන්න y=x n.
අවකලනයශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය සෙවීමේ ක්‍රියාවයි.
ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමේදී, ව්යුත්පන්න උපාධිය සඳහා සූත්රය ව්යුත්පන්න කළ ආකාරයටම, ව්‍යුත්පන්නයක නිර්වචනය මත පදනම්ව ව්යුත්පන්න වූ සූත්ර භාවිතා කරන්න: (x n)" = nx n-1.
මේ සූත්ර යි.
ව්යුත්පන්න වගුවවාචික සූත්ර උච්චාරණය කිරීමෙන් කටපාඩම් කිරීම පහසු වනු ඇත:
1. නියත ප්‍රමාණයක ව්යුත්පන්නය ශුන්‍ය වේ.
2. X ප්‍රයිම් එකකට සමාන වේ.
3. නියත සාධකය ව්යුත්පන්නයේ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැකිය.
4. උපාධියක ව්යුත්පන්නය මෙම උපාධියේ ඝාතීය ගුණිතයට සමාන පාදයක් සහිත අංශකයකින් සමාන වේ, නමුත් ඝාතකය එක අඩුය.
5. මූලයක ව්යුත්පන්නය සමාන මූල දෙකකින් බෙදූ එකකට සමාන වේ.
6. x වලින් බෙදූ එකක ව්යුත්පන්නය x වර්ගයෙන් බෙදූ සෘණ එකට සමාන වේ.
7. සයින් හි ව්යුත්පන්නය කොසයිනයට සමාන වේ.
8. කොසයිනයේ ව්යුත්පන්නය සයින් අඩු කිරීමට සමාන වේ.
9. ස්පර්ශකයේ ව්යුත්පන්නය කොසයිනයේ වර්ගයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ.
10. කෝටැන්ජන්ට් හි ව්යුත්පන්නය සයින් චතුරස්‍රයෙන් බෙදූ සෘණ එකකට සමාන වේ.
අපි උගන්වනවා අවකලනය කිරීමේ නීති.
1.
වීජීය එකතුවක ව්යුත්පන්නය පදවල ව්‍යුත්පන්නවල වීජීය එකතුවට සමාන වේ.
2. නිෂ්පාදනයක ව්යුත්පන්නය පළමු සාධකයේ ව්යුත්පන්නයේ ගුණිතයට සමාන වන අතර දෙවැන්න ප්ලස් පළමු සාධකයේ සහ දෙවැන්නේ ව්යුත්පන්නයේ ගුණිතයට සමාන වේ.
3. “y” හි ව්යුත්පන්නය “ve” මගින් බෙදීම, සංඛ්‍යාව “y ප්‍රථමිකය “ve” අඩුවෙන් “y ගුණ කිරීම ve ප්‍රථමයෙන්” වන අතර, හරය “ve වර්ගීකරණය” වන කොටසකට සමාන වේ.
4. විශේෂ අවස්ථාවක්සූත්ර 3.
අපි එකට ඉගෙන ගනිමු!
11 න් 1 පිටුව
