Factorize idadi kubwa- sio kazi rahisi. Watu wengi wana shida kuhesabu nambari nne au tano za nambari. Ili kurahisisha mchakato, andika nambari juu ya safu mbili.

• Wacha tuweke nambari 6552.

Kikokotoo cha mtandaoni.
Kupiga binomial na kuifanya quadratic trinomial.

Wale. shida huongezeka hadi kupata nambari \(p, q\) na \(n, m\)

Programu haitoi tu jibu la shida, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho.

Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au aljebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kutatua matatizo kikiongezeka.

Ikiwa hujui sheria za kuingia trinomial ya quadratic, tunapendekeza ujitambulishe nao.

Sheria za kuingia polynomial ya quadratic

Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), nk.

Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya decimal, lakini pia katika mfumo wa sehemu ya kawaida.

Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Katika sehemu za desimali, sehemu ya sehemu inaweza kutengwa kutoka kwa sehemu nzima kwa kipindi au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingia desimali kama hii: 2.5x - 3.5x^2

Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ishara ya ampersand: &
Ingizo: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Matokeo: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Wakati wa kuingiza usemi unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, wakati wa kutatua, usemi ulioletwa hurahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Mfano ufumbuzi wa kina

Kutenga mraba wa binomial.$$ ax^2+bx+c \mshale wa kulia a(x+p)^2+q $$$2x^2+2x-4 = $$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kulia)\cdot x+2 \cdot \kushoto(\frac(1)(2) \kulia)^2-\frac(9)(2) = $$$$2\left (x^2 + 2 \cdoti\kushoto(\frac(1)(2) \kulia)\cdot x + \kushoto(\frac(1)(2) \kulia)^2 \kulia)-\frac(9 )(2) = $$$2\left(x+\frac(1)(2) \kulia)^2-\frac(9)(2) $$ Jibu:$2x^2+2x-4 = 2\kushoto(x+\frac(1)(2) \kulia)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \mshale wa kulia a(x+n)(x+m) $$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kushoto(x^2+x-2 \kulia) = $$
$$ 2 \kushoto(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \kulia) = $$$$ 2 \kushoto(x \kushoto(x +2 \kulia) -1 \kushoto(x +2 \kulia) ) \kulia) = $$$$ 2 \kushoto(x -1 \kulia) \kushoto(x +2 \kulia) $$ Jibu:$2x^2+2x-4 = 2 \kushoto(x -1 \kulia) \kushoto(x +2 \kulia) $$

Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Kutenga mraba wa binomial kutoka kwa trinomial ya mraba

Ikiwa shoka ya utatu mraba 2 +bx+c inawakilishwa kama a(x+p) 2 +q, ambapo p na q ni nambari halisi, basi tunasema kwamba kutoka. mraba trinomial, mraba wa binomial ni yalionyesha.

Kutoka kwa trinomial 2x 2 +12x+14 tunatoa mraba wa binomial.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Ili kufanya hivyo, fikiria 6x kama bidhaa ya 2*3*x, kisha ongeza na uondoe 3 2. Tunapata:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Hiyo. Sisi toa binomial ya mraba kutoka kwa utatu wa mraba, na ilionyesha kuwa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kuanzisha trinomial ya quadratic

Ikiwa shoka ya utatu mraba 2 +bx+c inawakilishwa katika umbo a(x+n)(x+m), ambapo n na m ni nambari halisi, basi operesheni inasemekana imefanywa. factorization ya quadratic trinomial.

Wacha tuonyeshe kwa mfano jinsi mabadiliko haya yanafanywa.

Hebu tuchambue utatu wa quadratic 2x 2 +4x-6.

Hebu tuchukue mgawo kutoka kwa mabano, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Wacha tubadilishe usemi kwenye mabano.
Ili kufanya hivyo, fikiria 2x kama tofauti 3x-1x, na -3 kama -1*3. Tunapata:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Hiyo. Sisi ilizingatia utatu wa quadratic, na ilionyesha kuwa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Kumbuka kuwa utatuzi wa quadratic unawezekana tu wakati, mlinganyo wa quadratic, sambamba na trinomial hii ina mizizi.
Wale. kwa upande wetu, inawezekana kuangazia trinomial 2x 2 +4x-6 ikiwa equation ya quadratic 2x 2 +4x-6 =0 ina mizizi. Katika mchakato wa uainishaji, tuligundua kuwa equation 2x 2 + 4x-6 = 0 ina mizizi miwili 1 na -3, kwa sababu. na maadili haya, equation 2(x-1)(x+3)=0 inageuka kuwa usawa wa kweli.

Factoring ina maana gani? Hii inamaanisha kupata nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na nambari asili.

Ili kuelewa maana ya kuainisha, wacha tuangalie mfano.

Mfano wa kuhesabu nambari

Fanya nambari 8.

Nambari 8 inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya 2 kwa 4:

Kuwakilisha 8 kama bidhaa ya 2 * 4 ina maana ya factorization.

Kumbuka kuwa hii sio sababu pekee ya 8.

Baada ya yote, 4 imeundwa kama hii:

Kutoka hapa 8 inaweza kuwakilishwa:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Hebu tuangalie jibu letu. Wacha tupate uainishaji ni sawa na:

Hiyo ni, tulipata nambari ya asili, jibu ni sahihi.

Fanya nambari 24 kuwa sababu kuu

Jinsi ya kuhesabu nambari 24 kuwa sababu kuu?

Nambari inaitwa mkuu ikiwa inaweza kugawanywa na moja tu na yenyewe.

Nambari 8 inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya 3 na 8:

Hapa nambari 24 imedhamiriwa. Lakini mgawo unasema "sababu nambari 24 kuwa sababu kuu," i.e. Ni sababu kuu zinazohitajika. Na katika upanuzi wetu, 3 ni sababu kuu, na 8 sio sababu kuu.

Nakala hii inatoa majibu kwa swali la kuweka nambari kwenye karatasi. Hebu tuzingatie wazo la jumla kuhusu mtengano na mifano. Hebu tuchambue fomu ya kisheria ya upanuzi na algorithm yake. Mbinu zote mbadala zitazingatiwa kwa kutumia ishara za mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Wacha tuangalie dhana ya sababu kuu. Inajulikana kuwa kila sababu kuu ni nambari kuu. Katika bidhaa ya fomu 2 · 7 · 7 · 23 tunayo mambo 4 kuu katika fomu 2, 7, 7, 23.

Factorization inahusisha uwakilishi wake kwa namna ya bidhaa za primes. Ikiwa tunahitaji kuoza nambari 30, basi tunapata 2, 3, 5. Kiingilio kitachukua fomu 30 = 2 · 3 · 5. Inawezekana kwamba vizidishi vinaweza kurudiwa. Nambari kama 144 ina 144 = 2 2 2 2 3 3.

Sio nambari zote zinazoelekea kuoza. Nambari ambazo ni kubwa kuliko 1 na ni nambari kamili zinaweza kuhesabiwa. Nambari kuu, zinapowekwa alama, zinaweza kugawanywa tu na 1 na zenyewe, kwa hivyo haiwezekani kuwakilisha nambari hizi kama bidhaa.

Wakati z inarejelea nambari kamili, inawakilishwa kama bidhaa ya a na b, ambapo z imegawanywa na a na b. Nambari za mchanganyiko huwekwa kwa kutumia nadharia ya msingi ya hesabu. Ikiwa nambari ni kubwa kuliko 1, basi factorization yake p 1, p 2, ..., p n inachukua umbo a = p 1 , p 2 , … , p n . Mtengano unadhaniwa kuwa katika lahaja moja.

Uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu

Wakati wa upanuzi, mambo yanaweza kurudiwa. Zimeandikwa kwa kompakt kwa kutumia digrii. Ikiwa, wakati wa kuoza nambari a, tuna sababu p 1, ambayo hutokea s mara 1 na kadhalika p n - s n mara. Hivyo upanuzi utachukua fomu a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Ingizo hili linaitwa uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu.

Wakati wa kupanua nambari 609840, tunapata kwamba 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, fomu yake ya kisheria itakuwa 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Kwa kutumia upanuzi wa kanuni, unaweza kupata vigawanyiko vyote vya nambari na nambari yao.

Ili kuunda kwa usahihi, unahitaji kuwa na ufahamu wa nambari kuu na za mchanganyiko. Jambo ni kupata nambari ya mlolongo wa vigawanyiko vya fomu p 1, p 2, ..., p n. nambari a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, hii inafanya uwezekano wa kupata a = p 1 a 1, ambapo a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , ambapo a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , wapi a n = a n - 1: p n. Baada ya kupokea n = 1, kisha usawa a = p 1 p 2 … p n tunapata mtengano unaohitajika wa nambari A kuwa sababu kuu. taarifa, hiyo p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Ili kupata sababu zisizo za kawaida, unahitaji kutumia jedwali la nambari kuu. Hii inafanywa kwa kutumia mfano wa kutafuta kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari z. Wakati wa kuchukua nambari kuu 2, 3, 5, 11 na kadhalika, na kugawa nambari z nao. Kwa kuwa z sio nambari kuu, inapaswa kuzingatiwa kuwa kigawanyiko kikuu kidogo hakitakuwa kikubwa kuliko z. Inaweza kuonekana kuwa hakuna vigawanyiko vya z, basi ni wazi kuwa z ni nambari kuu.

Mfano 1

Wacha tuangalie mfano wa nambari 87. Inapogawanywa na 2, tunayo 87: 2 = 43 na salio la 1. Inafuata kwamba 2 haiwezi kuwa mgawanyiko lazima ufanyike kabisa. Inapogawanywa na 3, tunapata hiyo 87: 3 = 29. Kwa hivyo hitimisho ni kwamba 3 ndio kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 87.

Wakati wa kuzingatia mambo makuu, lazima utumie jedwali la nambari kuu, ambapo a. Wakati wa kuweka alama 95, unapaswa kutumia kama primes 10, na unapoweka 846653, karibu 1000.

Wacha tuchunguze algorithm ya mtengano kuwa sababu kuu:

• kutafuta kipengele kidogo zaidi cha kigawanyaji p 1 cha nambari a kwa fomula a 1 = a: p 1, wakati 1 = 1, basi a ni nambari kuu na imejumuishwa katika factorization, wakati si sawa na 1, basi a = p 1 · a 1 na kufuata kwa uhakika hapa chini;
• kutafuta kigawanyiko kikuu p 2 cha nambari a 1 kwa kuorodhesha nambari kuu kwa kufuatana kwa kutumia 2 = a 1: p 2 , wakati 2 = 1 , basi upanuzi utachukua fomu a = p 1 p 2 , wakati 2 = 1, basi a = p 1 p 2 a 2 , na tunaendelea kwa hatua inayofuata;
• kuhesabu nambari kuu na kupata kigawanyaji kikuu uk 3 nambari a 2 kulingana na formula 3 = a 2: p 3 wakati 3 = 1 , basi tunapata kwamba a = p 1 p 2 p 3 , wakati si sawa na 1, basi a = p 1 p 2 p 3 a 3 na kuendelea na hatua inayofuata;
• mgawanyiko mkuu unapatikana p n nambari n-1 kwa kuorodhesha nambari kuu na pn - 1, na a n = a n - 1: p n, ambapo n = 1, hatua ni ya mwisho, matokeo yake tunapata kwamba a = p 1 · p 2 · … · p n .

Matokeo ya algorithm imeandikwa kwa namna ya jedwali na mambo yaliyoharibika na upau wa wima mfululizo katika safu. Fikiria takwimu hapa chini.

Algorithm inayosababisha inaweza kutumika kwa kutenganisha nambari kuwa sababu kuu.

Wakati wa kuzingatia mambo makuu, algorithm ya msingi inapaswa kufuatiwa.

Mfano 2

Fanya nambari 78 kuwa sababu kuu.

Suluhisho

Ili kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi, unahitaji kupitia nambari zote kuu katika 78. Hiyo ni 78: 2 = 39. Mgawanyiko bila salio inamaanisha hiki ndicho kigawanyo cha kwanza rahisi, ambacho tunaashiria kama uk 1. Tunapata kwamba 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Tulifikia usawa wa fomu a = p 1 · a 1 , ambapo 78 = 2 39. Kisha 1 = 39, yaani, tunapaswa kuendelea na hatua inayofuata.

Wacha tuzingatie kutafuta mgawanyiko mkuu p2 nambari 1 = 39. Unapaswa kupitia nambari kuu, ambayo ni, 39: 2 = 19 (iliyobaki 1). Kwa kuwa mgawanyiko na salio, 2 sio kigawanyiko. Wakati wa kuchagua nambari 3, tunapata hiyo 39: 3 = 13. Hii ina maana kwamba p 2 = 3 ni kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha 39 kwa 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Tunapata usawa wa fomu a = p 1 p 2 a 2 katika fomu 78 = 2 3 13. Tuna kwamba 2 = 13 si sawa na 1, basi tunapaswa kuendelea.

Kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 = 13 kinapatikana kwa kutafuta kupitia nambari, kuanzia 3. Tunapata hiyo 13: 3 = 4 (iliyobaki 1). Kutokana na hili tunaweza kuona kwamba 13 haiwezi kugawanywa na 5, 7, 11, kwa sababu 13: 5 = 2 (pumziko. 3), 13: 7 = 1 (pumziko. 6) na 13: 11 = 1 (pumziko. 2) . Inaweza kuonekana kuwa 13 ni nambari kuu. Kulingana na fomula inaonekana kama hii: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Tuligundua kuwa 3 = 1, ambayo ina maana ya kukamilika kwa algorithm. Sasa mambo yameandikwa kama 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Jibu: 78 = 2 3 13.

Mfano 3

Fanya nambari 83,006 kuwa sababu kuu.

Suluhisho

Hatua ya kwanza inahusisha factoring p 1 = 2 Na a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ambapo 83,006 = 2 · 41,503.

Hatua ya pili inadhania kuwa 2, 3 na 5 sio vigawanyiko wakuu kwa nambari 1 = 41,503, lakini 7 ni kigawanyiko kikuu, kwa sababu 41,503: 7 = 5,929. Tunapata kwamba p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Ni wazi, 83,006 = 2 7 5 929.

Kupata kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha p 4 hadi nambari a 3 = 847 ni 7. Inaweza kuonekana kuwa 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, hivyo 83 006 = 2 7 7 7 121.

Ili kupata mgawanyiko mkuu wa nambari 4 = 121, tunatumia nambari 11, ambayo ni, p 5 = 11. Kisha tunapata usemi wa fomu a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, na 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

Kwa nambari 5 = 11 nambari ukurasa wa 6 = 11 ndiye mgawanyiko mkuu mdogo zaidi. Kwa hivyo 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Kisha 6 = 1. Hii inaonyesha kukamilika kwa algorithm. Vipengele vitaandikwa kama 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Nukuu ya kisheria ya jibu itachukua fomu 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Jibu: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Mfano 4

Fanya nambari 897,924,289.

Suluhisho

Ili kupata kipengele kikuu cha kwanza, tafuta kupitia nambari kuu, kuanzia 2. Mwisho wa utaftaji hutokea kwa nambari 937. Kisha p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 na 897 924 289 = 937 958 297.

Hatua ya pili ya algorithm ni kurudia juu ya nambari kuu ndogo. Hiyo ni, tunaanza na nambari 937. Nambari 967 inaweza kuchukuliwa kuwa kuu kwa sababu ni mgawanyiko mkuu wa nambari 1 = 958,297. Kutoka hapa tunapata kwamba p 2 = 967, kisha 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 na 897 924 289 = 937 967 991.

Hatua ya tatu inasema kwamba 991 ni nambari kuu, kwani haina sababu kuu moja ambayo haizidi 991. Thamani inayokadiriwa ya usemi mkali ni 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Hii inaonyesha kwamba p 3 = 991 na 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Tunapata kwamba mtengano wa nambari 897 924 289 katika mambo makuu unapatikana kama 897 924 289 = 937 967 991.

Jibu: 897 924 289 = 937 967 991.

Kutumia vipimo vya mgawanyiko kwa sababu kuu

Ili kujumuisha nambari katika mambo kuu, unahitaji kufuata algorithm. Wakati kuna nambari ndogo, inaruhusiwa kutumia jedwali la kuzidisha na ishara za mgawanyiko. Hebu tuangalie hili kwa mifano.

Mfano 5

Ikiwa ni muhimu kuweka 10, basi jedwali linaonyesha: 2 · 5 = 10. Nambari zinazotokana 2 na 5 ni nambari kuu, kwa hivyo ni sababu kuu za nambari 10.

Mfano 6

Ikiwa ni muhimu kutenganisha nambari 48, basi meza inaonyesha: 48 = 6 8. Lakini 6 na 8 sio sababu kuu, kwani zinaweza pia kupanuliwa kama 6 = 2 3 na 8 = 2 4. Kisha upanuzi kamili kutoka hapa unapatikana kama 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Nukuu ya kisheria itachukua fomu 48 = 2 4 · 3.

Mfano 7

Wakati wa kuoza nambari 3400, unaweza kutumia ishara za mgawanyiko. Katika kesi hii, ishara za mgawanyiko na 10 na 100 zinafaa. Kuanzia hapa tunapata hiyo 3,400 = 34 · 100, ambapo 100 inaweza kugawanywa na 10, yaani, imeandikwa kama 100 = 10 · 10, ambayo ina maana kwamba 3,400 = 34 · 10 · 10. Kulingana na jaribio la mgawanyiko, tunapata kwamba 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Sababu zote ni kuu. Upanuzi wa kanuni huchukua fomu 3 400 = 2 3 5 2 17.

Tunapopata vipengele muhimu, tunahitaji kutumia majaribio ya mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha. Ikiwa unafikiria nambari 75 kama bidhaa ya sababu, basi unahitaji kuzingatia sheria ya mgawanyiko na 5. Tunapata hiyo 75 = 5 15, na 15 = 3 5. Hiyo ni, upanuzi unaohitajika ni mfano wa fomu ya bidhaa 75 = 5 · 3 · 5.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Katika nakala hii utapata habari zote muhimu kujibu swali, jinsi ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Kwanza, wazo la jumla la mtengano wa nambari kuwa sababu kuu hupewa, na mifano ya mtengano hutolewa. Ifuatayo inaonyesha aina ya kisheria ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu. Baada ya hayo, algorithm inatolewa kwa ajili ya kutenganisha nambari za kiholela katika mambo makuu na mifano ya nambari zinazoharibika kwa kutumia algorithm hii inatolewa. Mbinu mbadala pia zinazingatiwa ambazo hukuruhusu kuangazia nambari kamili ndogo katika vipengele muhimu kwa kutumia majaribio ya mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha.

Urambazaji wa ukurasa.

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Kwanza, hebu tuangalie ni nini sababu kuu.

Ni wazi kwamba kwa kuwa neno "sababu" lipo katika kifungu hiki, basi kuna bidhaa ya nambari fulani, na neno la kustahili "rahisi" linamaanisha kwamba kila sababu ni nambari kuu. Kwa mfano, katika bidhaa ya fomu 2 · 7 · 7 · 23 kuna mambo manne kuu: 2, 7, 7 na 23.

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Hii ina maana kwamba nambari hii lazima iwakilishwe kama bidhaa ya vipengele muhimu, na thamani ya bidhaa hii lazima iwe sawa na nambari asili. Kwa mfano, fikiria bidhaa ya nambari kuu tatu 2, 3 na 5, ni sawa na 30, kwa hivyo mtengano wa nambari 30 kuwa sababu kuu ni 2 · 3 · 5. Kawaida mtengano wa nambari kuwa sababu kuu huandikwa kama usawa; kwa mfano wetu itakuwa hivi: 30=2 · 3 · 5. Tunasisitiza kando kwamba mambo makuu katika upanuzi yanaweza kurudiwa. Hii inaonyeshwa wazi na mfano ufuatao: 144=2 · 2 · 2 · 3 · 3. Lakini uwakilishi wa fomu 45=3 · 15 sio mtengano katika mambo makuu, kwani nambari 15 ni nambari ya mchanganyiko.

Inatokea swali linalofuata: "Ni nambari gani zinaweza kujumuishwa kuwa sababu kuu?"

Katika kutafuta jibu lake, tunatoa hoja ifuatayo. Nambari kuu, kwa ufafanuzi, ni kati ya hizo kubwa zaidi ya moja. Kwa kuzingatia ukweli huu na , inaweza kuwa alisema kuwa bidhaa ya mambo kadhaa ya msingi ni integer nambari chanya, inazidi moja. Kwa hivyo, uainishaji hufanyika kwa nambari kamili chanya ambazo ni kubwa kuliko 1.

Lakini je, nambari zote kubwa zaidi ya moja zinaweza kujumuishwa katika mambo makuu?

Ni wazi kuwa haiwezekani kujumuisha nambari rahisi katika mambo kuu. Hii ni kwa sababu nambari kuu zina vipengele viwili tu - moja na yenyewe, kwa hivyo haziwezi kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu mbili au zaidi. Ikiwa nambari kamili z inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu a na b, basi dhana ya mgawanyiko itaturuhusu kuhitimisha kuwa z inaweza kugawanywa na a na b, jambo ambalo haliwezekani kwa sababu ya usahili wa nambari z. Walakini, wanaamini kuwa nambari yoyote kuu yenyewe ni mtengano.

Vipi kuhusu nambari za mchanganyiko? Je, nambari za mchanganyiko hutenganishwa kuwa sababu kuu, na je, nambari zote za utunzi ziko chini ya mtengano huo? Nadharia ya msingi ya hesabu inatoa jibu la uthibitisho kwa idadi ya maswali haya. Nadharia ya msingi ya hesabu inasema kwamba nambari yoyote a ambayo ni kubwa kuliko 1 inaweza kugawanywa kuwa bidhaa ya sababu kuu p 1, p 2, ..., p n, na mtengano una umbo a = p 1 · p 2 · … · p n, na upanuzi huu ni wa kipekee, ikiwa hutazingatia mpangilio wa mambo

Uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu

Katika upanuzi wa nambari, sababu kuu zinaweza kurudiwa. Vipengele kuu vinavyorudiwa vinaweza kuandikwa kwa ushikamano zaidi kwa kutumia . Hebu katika mtengano wa nambari kipengele kikuu p 1 hutokea s mara 1, kipengele kikuu p 2 - s mara 2, na kadhalika, p n - s n mara. Kisha uainishaji mkuu wa nambari a unaweza kuandikwa kama a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Njia hii ya kurekodi ndiyo inayoitwa uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu.

Wacha tutoe mfano wa mtengano wa kisheria wa nambari kuwa sababu kuu. Hebu tujue mtengano 609 840=2 2 2 3 3 5 7 11 11, nukuu yake ya kisheria ina umbo 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Uainishaji wa kanuni za nambari kuwa sababu kuu hukuruhusu kupata vigawanyiko vyote vya nambari na idadi ya vigawanyaji vya nambari.

Algorithm ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu

Ili kufanikiwa kukabiliana na kazi ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri sana wa habari katika nambari kuu na nambari za maandishi.

Kiini cha mchakato wa kuoza nambari kamili ya nambari A inayozidi moja ni wazi kutoka kwa uthibitisho wa nadharia ya kimsingi ya hesabu. Hoja ni kupata mfuatano wagawanyiko wakuu wadogo p 1, p 2, ..., p n ya nambari a, a 1, a 2, ..., n-1, ambayo inaruhusu sisi kupata safu ya usawa. a=p 1 ·a 1, ambapo a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , ambapo a 2 =a 1:p 2 , ..., a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , ambapo n =a n-1:p n . Inapotokea n =1, basi usawa a=p 1 ·p 2 ·…·p n itatupa mtengano unaotaka wa nambari a kuwa sababu kuu. Ikumbukwe pia hapa kwamba p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Inabakia kujua jinsi ya kupata sababu ndogo zaidi katika kila hatua, na tutakuwa na algorithm ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu. Jedwali la nambari kuu litatusaidia kupata sababu kuu. Wacha tuonyeshe jinsi ya kuitumia kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari z.

Tunachukua nambari kuu kutoka kwa jedwali la nambari kuu (2, 3, 5, 7, 11, na kadhalika) na kugawanya nambari iliyopewa z nao. Nambari kuu ya kwanza ambayo z imegawanywa sawasawa itakuwa kigawanyaji chake kikuu kidogo zaidi. Ikiwa nambari z ni kuu, basi kigawanyaji chake kikuu kidogo kitakuwa nambari z yenyewe. Ikumbukwe hapa kwamba ikiwa z sio nambari kuu, basi mgawanyiko wake mdogo zaidi hauzidi nambari , ambapo ni kutoka z. Kwa hivyo, ikiwa kati ya nambari kuu zisizozidi, hakukuwa na kigawanyiko kimoja cha nambari z, basi tunaweza kuhitimisha kuwa z ni nambari kuu (zaidi juu ya hii imeandikwa katika sehemu ya nadharia chini ya kichwa Nambari hii ni ya msingi au ya mchanganyiko. )

Kama mfano, tutaonyesha jinsi ya kupata mgawanyiko mdogo kabisa wa nambari 87. Wacha tuchukue nambari 2. Gawanya 87 kwa 2, tunapata 87: 2=43 (iliyobaki 1) (ikiwa ni lazima, angalia makala). Hiyo ni, wakati wa kugawanya 87 kwa 2, iliyobaki ni 1, kwa hivyo 2 sio kigawanyaji cha nambari 87. Tunachukua nambari kuu inayofuata kutoka kwa jedwali la nambari kuu, hii ndio nambari 3. Gawanya 87 kwa 3, tunapata 87:3=29. Kwa hivyo, 87 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo, nambari 3 ndio mgawanyiko mkuu wa nambari 87.

Kumbuka kuwa katika hali ya jumla, ili kuainisha nambari katika vipengele vikuu, tunahitaji jedwali la nambari kuu hadi nambari isiyopungua . Tutalazimika kurejelea jedwali hili kwa kila hatua, kwa hivyo tunahitaji kuwa nayo karibu. Kwa mfano, ili kuweka nambari 95 kuwa sababu kuu, tutahitaji tu jedwali la nambari kuu hadi 10 (kwani 10 ni kubwa kuliko ). Na kuoza nambari 846,653, tayari utahitaji jedwali la nambari kuu hadi 1,000 (kwani 1,000 ni kubwa kuliko ).

Sasa tuna taarifa za kutosha za kuandika algorithm ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Algorithm ya kutenganisha nambari a ni kama ifuatavyo.

• Tukipanga nambari kwa mpangilio kutoka kwa jedwali la nambari kuu, tunapata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi p 1 cha nambari a, baada ya hapo tunakokotoa 1 =a:p 1. Ikiwa 1 = 1, basi nambari a ni kuu, na yenyewe ni mtengano wake kuwa sababu kuu. Ikiwa 1 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·a 1 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Tunapata kigawanyiko kikuu kidogo p 2 cha nambari a 1 , ili kufanya hivyo tunapanga nambari kwa mpangilio kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia p 1 , na kisha kuhesabu 2 =a 1:p 2 . Iwapo 2 =1, basi mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa vipengele kuu una fomu a=p 1 ·p 2. Ikiwa 2 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·p 2 ·a 2 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Kupitia nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia p 2, tunapata kigawanyiko kikuu kidogo p 3 cha nambari a 2, baada ya hapo tunahesabu 3 =a 2:p 3. Iwapo 3 =1, basi mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa vipengele kuu una umbo a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ikiwa 3 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Tunapata kigawanyo kikuu kidogo zaidi p n cha nambari n-1 kwa kupanga nambari kuu, kuanzia p n-1, na n =a n-1:p n, na n ni sawa na 1. Hatua hii ni hatua ya mwisho ya algorithm hapa tunapata mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa sababu kuu: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Kwa uwazi, matokeo yote yaliyopatikana katika kila hatua ya algorithm ya kuoza nambari katika mambo kuu yanawasilishwa kwa namna ya jedwali lifuatalo, ambalo nambari a, 1, 2, ..., n zimeandikwa kwa mlolongo. katika safu upande wa kushoto wa mstari wa wima, na kwa haki ya mstari - wagawanyiko wakuu wadogo wanaofanana p 1, p 2, ..., p n.

Kinachobaki ni kuzingatia mifano michache ya utumiaji wa algorithm inayotokana ya kuoza nambari kuwa sababu kuu.

Mifano ya msingi factorization

Sasa tutaangalia kwa undani mifano ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Wakati wa kuoza, tutatumia algorithm kutoka kwa aya iliyotangulia. Wacha tuanze na kesi rahisi, na polepole kuzichanganya ili kukutana na nuances zote zinazowezekana zinazotokea wakati wa kuoza nambari kuwa sababu kuu.

Mfano.

Eleza nambari 78 katika mambo yake makuu.

Suluhisho.

Tunaanza utafutaji wa kigawanyaji kikuu cha kwanza kidogo zaidi p 1 cha nambari a=78. Ili kufanya hivyo, tunaanza kupanga kwa mpangilio kupitia nambari kuu kutoka kwa jedwali la nambari kuu. Tunachukua nambari 2 na kugawanya 78 nayo, tunapata 78:2=39. Nambari 78 imegawanywa na 2 bila salio, kwa hivyo p 1 = 2 ndiye mgawanyiko mkuu wa kwanza wa nambari 78. Katika kesi hii, 1 =a:p 1 =78:2=39. Kwa hivyo tunafikia usawa a=p 1 ·a 1 kuwa na fomu 78=2·39. Kwa wazi, 1 = 39 ni tofauti na 1, kwa hiyo tunaendelea hadi hatua ya pili ya algorithm.

Sasa tunatafuta kigawanyiko kikuu kidogo zaidi p 2 cha nambari a 1 =39. Tunaanza kuhesabu nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia na p 1 = 2. Gawanya 39 kwa 2, tunapata 39:2=19 (iliyobaki 1). Kwa kuwa 39 haijagawanywa sawasawa na 2, basi 2 sio mgawanyiko. Kisha tunachukua nambari inayofuata kutoka kwa jedwali la nambari kuu (nambari 3) na kugawanya 39 nayo, tunapata 39: 3 = 13. Kwa hiyo, p 2 =3 ni kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha nambari 39, wakati 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Tuna usawa a=p 1 ·p 2 ·a 2 katika mfumo 78=2·3·13. Kwa kuwa 2 = 13 ni tofauti na 1, tunaendelea kwenye hatua inayofuata ya algorithm.

Hapa tunahitaji kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 =13. Katika kutafuta kigawanyiko kikuu kidogo zaidi p 3 cha nambari 13, tutachambua kwa mpangilio nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, tukianza na p 2 =3. Nambari 13 haiwezi kugawanywa na 3, kwani 13:3=4 (pumziko. 1), pia 13 haigawanyiki na 5, 7 na 11, kwani 13:5=2 (pumziko. 3), 13:7=1. (pumziko. 6) na 13:11=1 (pumziko. 2). Nambari kuu inayofuata ni 13, na 13 inaweza kugawanywa nayo bila salio, kwa hivyo, kigawanyiko kikuu kidogo p 3 ya 13 ni nambari 13 yenyewe, na 3 = a 2:p 3 =13:13=1. Kwa kuwa 3 =1, hatua hii ya algorithm ni ya mwisho, na mtengano unaohitajika wa nambari 78 katika mambo kuu ina fomu 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3).

Jibu:

78=2·3·13.

Mfano.

Eleza nambari 83,006 kama bidhaa ya sababu kuu.

Suluhisho.

Katika hatua ya kwanza ya algorithm ya kuoza nambari kuwa sababu kuu, tunapata p 1 = 2 na 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ambayo 83,006 = 2 · 41,503.

Katika hatua ya pili, tunagundua kuwa 2, 3 na 5 sio vigawanyiko wakuu wa nambari 1 = 41,503, lakini nambari 7 ni, kwani 41,503:7 = 5,929. Tuna p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Hivyo, 83,006=2 7 5 929.

Kigawanyiko kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 = 5 929 ni nambari 7, kwani 5 929: 7 = 847. Hivyo, p 3 =7, a 3 = a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ambayo 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Kisha tunapata kwamba kigawanyaji kikuu kidogo zaidi p 4 cha nambari a 3 =847 ni sawa na 7. Kisha 4 =a 3:p 4 =847:7=121, hivyo 83 006=2 · 7 · 7 · 7 · 121.

Sasa tunapata kigawanyiko kikuu kidogo zaidi cha nambari 4 = 121, ni nambari p 5 = 11 (kwani 121 inaweza kugawanywa na 11 na haiwezi kugawanywa na 7). Kisha 5 =a 4:p 5 =121:11=11, na 83 006=2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Hatimaye, kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 5 =11 ni nambari p 6 =11. Kisha 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Kwa kuwa 6 = 1, hatua hii ya algorithm ya kutenganisha nambari katika mambo kuu ni ya mwisho, na mtengano unaohitajika una fomu 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Matokeo yaliyopatikana yanaweza kuandikwa kama mtengano wa kisheria wa nambari kuwa sababu kuu 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Jibu:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ni nambari kuu. Hakika, haina kigawanyo kikuu kimoja kisichozidi ( kinaweza kukadiriwa kama , kwani ni dhahiri kwamba 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Jibu:

897 924 289=937 · 967 · 991.

Kutumia vipimo vya mgawanyiko kwa sababu kuu

Katika hali rahisi, unaweza kutenganisha nambari kuwa sababu kuu bila kutumia algoriti ya mtengano kutoka kwa aya ya kwanza ya kifungu hiki. Ikiwa nambari sio kubwa, basi kuzitenganisha kwa sababu kuu mara nyingi inatosha kujua ishara za mgawanyiko. Hebu toa mifano kwa ufafanuzi.

Kwa mfano, tunahitaji kuhesabu nambari 10 kuwa sababu kuu. Kutoka kwa jedwali la kuzidisha tunajua kuwa 2 · 5 = 10, na nambari 2 na 5 ni dhahiri, kwa hivyo uainishaji mkuu wa nambari 10 inaonekana kama 10=2 · 5.

Mfano mwingine. Kwa kutumia jedwali la kuzidisha, tutaweka nambari 48 kuwa sababu kuu. Tunajua kuwa sita ni nane - arobaini na nane, ambayo ni, 48 = 6 · 8. Walakini, sio 6 au 8 ndio nambari kuu. Lakini tunajua kwamba mara mbili tatu ni sita, na mara mbili nne ni nane, yaani, 6 = 2 · 3 na 8 = 2 · 4. Kisha 48=6·8=2·3·2·4. Inabakia kukumbuka kuwa mara mbili mbili ni nne, basi tunapata mtengano unaohitajika katika mambo makuu 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Hebu tuandike upanuzi huu katika mfumo wa kisheria: 48=2 4 ·3.

Lakini unapoweka nambari 3,400 kuwa sababu kuu, unaweza kutumia vigezo vya mgawanyiko. Ishara za mgawanyiko na 10, 100 zinatuwezesha kusema kwamba 3400 inaweza kugawanywa na 100, na 3400 = 34 · 100, na 100 inaweza kugawanywa na 10, na 100 = 10 · 10, kwa hiyo, 3400 = 34 · 10 · 10. Na kwa msingi wa jaribio la mgawanyiko na 2, tunaweza kusema kwamba kila moja ya sababu 34, 10 na 10 inaweza kugawanywa na 2, tunapata. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Sababu zote katika upanuzi unaosababishwa ni rahisi, kwa hiyo upanuzi huu ndio unaohitajika. Kilichobaki ni kupanga upya vipengele ili viende kwa mpangilio wa kupanda: 3 400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. Wacha pia tuandike mtengano wa kisheria wa nambari hii kuwa sababu kuu: 3 400 = 2 3 · 5 2 ·17.

Wakati wa kutenganisha nambari uliyopewa kuwa sababu kuu, unaweza kutumia kwa zamu ishara zote za mgawanyiko na jedwali la kuzidisha. Wacha tufikirie nambari 75 kama bidhaa ya sababu kuu. Jaribio la mgawanyiko kwa 5 huturuhusu kusema kuwa 75 inaweza kugawanywa na 5, na tunapata hiyo 75 = 5 · 15. Na kutoka kwa meza ya kuzidisha tunajua kwamba 15 = 3 · 5, kwa hiyo, 75 = 5 · 3 · 5. Huu ndio mtengano unaohitajika wa nambari 75 kuwa sababu kuu.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. na wengine. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla.
• Vinogradov I.M. Misingi ya nadharia ya nambari.
• Mikhelovich Sh.H. Nadharia ya nambari.
• Kulikov L.Ya. na mengineyo Mkusanyiko wa matatizo katika nadharia ya aljebra na nambari: Kitabu cha kiada kwa wanafunzi wa fizikia na hisabati. utaalam wa taasisi za ufundishaji.