Pag-factor ng isang polynomial. Bahagi 1

Factorization ay isang unibersal na pamamaraan na tumutulong sa paglutas ng mga kumplikadong equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang unang pag-iisip na dapat pumasok sa isip kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay kung saan mayroong zero sa kanang bahagi ay subukang i-factor ang kaliwang bahagi.

Ilista natin ang pangunahing mga paraan upang i-factor ang isang polynomial:

• paglalagay ng karaniwang salik sa labas ng mga bracket
• gamit ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami
• ayon sa pormula ng factorization quadratic trinomial
• paraan ng pagpapangkat
• paghahati ng isang polynomial sa isang binomial
• paraan ng hindi tiyak na coefficients

Sa artikulong ito ay tatalakayin natin nang detalyado ang unang tatlong pamamaraan; isasaalang-alang natin ang natitira sa mga susunod na artikulo.

1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Upang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, kailangan mo munang hanapin ito. Karaniwang multiplier factor katumbas ng pinakamalaking karaniwang divisor ng lahat ng coefficient.

Bahagi ng liham ang karaniwang salik ay katumbas ng produkto ng mga expression na kasama sa bawat termino na may pinakamaliit na exponent.

Ang scheme para sa pagtatalaga ng isang karaniwang multiplier ay ganito ang hitsura:

Pansin!
Ang bilang ng mga termino sa mga bracket ay katumbas ng bilang ng mga termino sa orihinal na expression. Kung ang isa sa mga termino ay tumutugma sa karaniwang kadahilanan, kung gayon kapag hinahati ito sa karaniwang kadahilanan, makakakuha tayo ng isa.

Halimbawa 1.

Salik ang polynomial:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket. Upang gawin ito, hahanapin muna natin ito.

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng lahat ng coefficient ng polynomial, i.e. mga numero 20, 35 at 15. Ito ay katumbas ng 5.

2. Itinakda namin na ang variable ay nakapaloob sa lahat ng mga termino, at ang pinakamaliit sa mga exponents nito ay katumbas ng 2. Ang variable ay nakapaloob sa lahat ng mga termino, at ang pinakamaliit sa mga exponents nito ay 3.

Ang variable ay nakapaloob lamang sa pangalawang termino, kaya hindi ito bahagi ng karaniwang kadahilanan.

Kaya ang kabuuang kadahilanan ay

3. Inalis namin ang multiplier sa mga bracket gamit ang diagram na ibinigay sa itaas:

Halimbawa 2. Lutasin ang equation:

Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation. Alisin natin ang kadahilanan sa mga bracket:

Kaya nakuha namin ang equation

I-equate natin ang bawat factor sa zero:

Nakukuha namin - ang ugat ng unang equation.

Mga ugat:

Sagot: -1, 2, 4

2. Factorization gamit ang pinaikling multiplication formula.

Kung ang bilang ng mga termino sa polynomial na aming isasaliksik ay mas mababa sa o katumbas ng tatlo, pagkatapos ay susubukan naming ilapat ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

1. Kung ang polynomial aypagkakaiba ng dalawang termino, pagkatapos ay sinubukan naming mag-apply square difference formula:

o pagkakaiba ng cubes formula:

Narito ang mga titik at nagsasaad ng numero o algebraic expression.

2. Kung ang isang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon marahil ay maaari itong i-factor gamit kabuuan ng mga formula ng cube:

3. Kung ang isang polynomial ay binubuo ng tatlong termino, susubukan naming mag-apply square sum formula:

o squared difference formula:

O sinusubukan naming i-factorize sa pamamagitan ng formula para sa factoring ng isang quadratic trinomial:

Narito at ang mga ugat ng quadratic equation

Halimbawa 3.Salik ang expression:

Solusyon. Nasa harap natin ang kabuuan ng dalawang termino. Subukan nating ilapat ang formula para sa kabuuan ng mga cube. Upang gawin ito, kailangan mo munang katawanin ang bawat termino bilang isang cube ng ilang expression, at pagkatapos ay ilapat ang formula para sa kabuuan ng mga cube:

Halimbawa 4. Salik ang expression:

Desisyon. Narito mayroon kaming pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression. Unang expression: , pangalawang expression:

Ilapat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat:

Buksan natin ang mga bracket at magdagdag ng mga katulad na termino, makukuha natin:

Online na calculator.
Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial at pag-factor ng isang parisukat na trinomial.

Yung. ang mga problema ay kumukulo sa paghahanap ng mga numero \(p, q\) at \(n, m\)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic trinomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.

Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi ay maaaring ihiwalay mula sa buong bahagi sa pamamagitan ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal ganito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Halimbawa detalyadong solusyon

Isolating ang parisukat ng isang binomial.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial mula sa isang parisukat na trinomial

Kung ang parisukat na trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+p) 2 +q, kung saan ang p at q ay mga tunay na numero, pagkatapos ay sinasabi natin na mula sa square trinomial, naka-highlight ang square ng binomial.

Mula sa trinomial 2x 2 +12x+14 kinuha namin ang parisukat ng binomial.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Upang gawin ito, isipin ang 6x bilang isang produkto ng 2*3*x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2. Nakukuha namin:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

yun. Kami kunin ang square binomial mula sa square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan sa anyong a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isinagawa. factorization ng isang quadratic trinomial.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.

I-factor natin ang quadratic trinomial 2x 2 +4x-6.

Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, isipin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

yun. Kami isinasali ang quadratic trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tandaan na ang pag-factor ng isang quadratic trinomial ay posible lamang kapag, quadratic equation, na naaayon sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, posibleng i-factor ang trinomial 2x 2 +4x-6 kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factorization, itinatag namin na ang equation na 2x 2 + 4x-6 = 0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang factoring polynomials ay isang pagbabagong-anyo ng pagkakakilanlan, bilang isang resulta kung saan ang isang polynomial ay binago sa produkto ng ilang mga kadahilanan - polynomial o monomials.

Mayroong ilang mga paraan upang i-factor ang mga polynomial.

Paraan 1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive law ng multiplikasyon: ac + bc = c(a + b). Ang kakanyahan ng pagbabagong-anyo ay upang ihiwalay ang karaniwang salik sa dalawang sangkap na isinasaalang-alang at "alisin" ito sa mga bracket.

I-factor natin ang polynomial 28x 3 – 35x 4.

Solusyon.

1. Maghanap ng karaniwang divisor para sa mga elementong 28x3 at 35x4. Para sa 28 at 35 ito ay magiging 7; para sa x 3 at x 4 – x 3. Sa madaling salita, ang aming karaniwang kadahilanan ay 7x 3.

2. Kinakatawan namin ang bawat isa sa mga elemento bilang isang produkto ng mga kadahilanan, kung saan ang isa
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Inalis namin ang karaniwang salik sa mga bracket
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Paraan 2. Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Ang "karunungan" ng paggamit ng paraang ito ay upang mapansin ang isa sa mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa expression.

I-factor natin ang polynomial x 6 – 1.

Solusyon.

1. Maaari naming ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula sa expression na ito. Upang gawin ito, isipin ang x 6 bilang (x 3) 2, at 1 bilang 1 2, i.e. 1. Ang expression ay kukuha ng anyo:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Maaari nating ilapat ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube sa resultang expression:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kaya,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Paraan 3. Pagpapangkat. Ang paraan ng pagpapangkat ay upang pagsamahin ang mga bahagi ng isang polynomial sa paraang madaling gawin ang mga operasyon sa kanila (pagdaragdag, pagbabawas, pagbabawas ng isang karaniwang kadahilanan).

I-factor natin ang polynomial x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Solusyon.

1. Pangkatin natin ang mga bahagi sa ganitong paraan: 1st na may 2nd, at 3rd na may 4th
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Sa resultang expression, inaalis namin ang mga karaniwang salik sa mga bracket: x 2 sa unang kaso at 5 sa pangalawa.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kinukuha namin ang karaniwang salik na x – 3 sa mga bracket at makuha ang:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Kaya,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

I-secure natin ang materyal.

I-factor ang polynomial a 2 – 7ab + 12b 2 .

Solusyon.

1. Katawanin natin ang monomial 7ab bilang kabuuan na 3ab + 4ab. Ang expression ay kukuha ng anyo:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Buksan natin ang mga bracket at kunin:
isang 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pangkatin natin ang mga bahagi ng polynomial sa ganitong paraan: 1st na may 2nd at 3rd na may 4th. Nakukuha namin:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Alisin natin ang mga karaniwang salik sa mga bracket:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Alisin natin ang karaniwang salik (a – 3b) sa mga bracket:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Kaya,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Ang mga konsepto ng "polynomial" at "factorization ng isang polynomial" sa algebra ay madalas na nakatagpo, dahil kailangan mong malaman ang mga ito upang madaling magsagawa ng mga kalkulasyon na may malaking multi-digit na mga numero. Ang artikulong ito ay maglalarawan ng ilang mga paraan ng agnas. Ang lahat ng mga ito ay medyo simpleng gamitin; kailangan mo lamang piliin ang tama para sa bawat partikular na kaso.

Ang konsepto ng isang polynomial

Ang polynomial ay isang kabuuan ng monomials, iyon ay, mga expression na naglalaman lamang ng operasyon ng multiplikasyon.

Halimbawa, ang 2 * x * y ay isang monomial, ngunit ang 2 * x * y + 25 ay isang polynomial na binubuo ng 2 monomials: 2 * x * y at 25. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag na binomials.

Minsan, para sa kaginhawahan ng paglutas ng mga halimbawa sa multi-valued na kahulugan ang expression ay dapat na mabago, halimbawa, decomposed sa isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, iyon ay, mga numero o mga expression sa pagitan ng kung saan ang multiplikasyon aksyon ay ginanap. Mayroong ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa kanila, simula sa pinaka primitive, na ginagamit sa elementarya.

Pagpapangkat (record sa pangkalahatang anyo)

Formula para sa pag-factor ng isang polynomial gamit ang paraan ng pagpapangkat pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Kinakailangang pangkatin ang mga monomial upang ang bawat pangkat ay may iisang salik. Sa unang bracket ito ang salik c, at sa pangalawa - d. Ito ay dapat gawin upang pagkatapos ay ilipat ito sa labas ng bracket, sa gayon ay pinapasimple ang mga kalkulasyon.

Decomposition algorithm gamit ang isang partikular na halimbawa

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-factor ng isang polynomial gamit ang paraan ng pagpapangkat ay ibinigay sa ibaba:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Sa unang bracket kailangan mong kunin ang mga tuntunin na may kadahilanan a, na magiging karaniwan, at sa pangalawa - kasama ang kadahilanan b. Bigyang-pansin ang + at - sign sa tapos na expression. Inilagay namin sa harap ng monomial ang sign na nasa unang expression. Iyon ay, kailangan mong magtrabaho hindi sa expression 25a, ngunit sa expression -25. Ang minus sign ay tila "nakadikit" sa expression sa likod nito at palaging isinasaalang-alang kapag nagkalkula.

Sa susunod na hakbang, kailangan mong kunin ang multiplier, na karaniwan, sa labas ng mga bracket. Ito mismo ang para sa pagpapangkat. Ang paglalagay sa labas ng bracket ay nangangahulugang isulat bago ang bracket (inaalis ang multiplication sign) lahat ng mga salik na eksaktong inuulit sa lahat ng mga termino na nasa bracket. Kung walang 2, ngunit 3 o higit pang mga termino sa isang bracket, ang karaniwang kadahilanan ay dapat na nakapaloob sa bawat isa sa kanila, kung hindi, hindi ito maaaring alisin sa bracket.

Sa aming kaso, mayroon lamang 2 termino sa mga bracket. Ang pangkalahatang multiplier ay makikita kaagad. Sa unang bracket ito ay a, sa pangalawa ay b. Dito kailangan mong bigyang-pansin ang mga digital coefficient. Sa unang bracket, ang parehong coefficients (10 at 25) ay multiple ng 5. Nangangahulugan ito na hindi lamang a, kundi pati na rin ang 5a ay maaaring alisin sa bracket. Bago ang bracket, isulat ang 5a, at pagkatapos ay hatiin ang bawat isa sa mga termino sa mga bracket sa pamamagitan ng karaniwang kadahilanan na kinuha, at isulat din ang quotient sa mga bracket, hindi nalilimutan ang tungkol sa mga palatandaan + at - Gawin ang parehong sa pangalawang bracket, kunin out 7b, pati na rin ang 14 at 35 multiple ng 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Nakakuha kami ng 2 termino: 5a(2c - 5) at 7b(2c - 5). Ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan (ang buong expression sa mga bracket ay pareho dito, na nangangahulugang ito ay isang karaniwang kadahilanan): 2c - 5. Kailangan din itong alisin sa bracket, iyon ay, ang mga termino 5a at 7b ay nananatili sa pangalawang bracket:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kaya ang buong expression ay:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kaya, ang polynomial 10ac + 14bc - 25a - 35b ay nabubulok sa 2 salik: (2c - 5) at (5a + 7b). Maaaring tanggalin ang multiplication sign sa pagitan nila kapag nagsusulat

Minsan may ganitong uri ng mga expression: 5a 2 + 50a 3, dito maaari mong alisin ang mga bracket hindi lamang a o 5a, ngunit kahit na 5a 2. Dapat mong palaging subukan na ilagay ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan sa labas ng bracket. Sa aming kaso, kung hahatiin namin ang bawat termino sa isang karaniwang kadahilanan, makakakuha kami ng:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(kapag kinakalkula ang quotient ng ilang mga kapangyarihan na may pantay na mga base, ang base ay pinapanatili at ang exponent ay ibabawas). Kaya, ang yunit ay nananatili sa bracket (sa anumang kaso ay hindi mo nakakalimutang magsulat ng isa kung kukuha ka ng isa sa mga termino mula sa bracket) at ang quotient ng dibisyon: 10a. Lumalabas na:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Mga parisukat na formula

Para sa kadalian ng pagkalkula, ilang mga formula ang nakuha. Ang mga ito ay tinatawag na mga pinaikling pormula ng pagpaparami at kadalasang ginagamit. Nakakatulong ang mga formula na ito sa mga factor na polynomial na naglalaman ng mga degree. Isa pa ito epektibong paraan factorization. Kaya narito sila:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - isang formula na tinatawag na "square of the sum", dahil bilang isang resulta ng decomposition sa isang parisukat, ang kabuuan ng mga numero na nakapaloob sa mga bracket ay kinuha, iyon ay, ang halaga ng kabuuan na ito ay pinarami ng sarili nitong 2 beses, at samakatuwid ay isang multiplier.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba, ito ay katulad ng nauna. Ang resulta ay ang pagkakaiba, na nakapaloob sa mga panaklong, na nakapaloob sa square power.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ito ay isang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, dahil sa simula ang polynomial ay binubuo ng 2 mga parisukat ng mga numero o mga expression, sa pagitan ng kung saan ang pagbabawas ay ginaganap. Marahil, sa tatlong nabanggit, ito ang kadalasang ginagamit.

Mga halimbawa para sa mga kalkulasyon gamit ang mga square formula

Ang mga kalkulasyon para sa kanila ay medyo simple. Halimbawa:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - gamitin ang formula na "square of the sum".
2. Ang 25x 2 ay ang parisukat ng 5x. 20xy - dobleng produkto 2*(5x*2y), at ang 4y 2 ay ang parisukat ng 2y.
3. Kaya, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ang polynomial na ito ay nabulok sa 2 mga kadahilanan (ang mga kadahilanan ay pareho, kaya ito ay nakasulat bilang isang expression na may isang parisukat na kapangyarihan).

Ang mga pagkilos gamit ang squared difference formula ay isinasagawa nang katulad sa mga ito. Ang natitirang formula ay pagkakaiba ng mga parisukat. Ang mga halimbawa ng formula na ito ay napakadaling tukuyin at hanapin sa iba pang mga expression. Halimbawa:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Dahil 25a 2 = (5a) 2, at 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Dahil 36x 2 = (6x) 2, at 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Dahil 169b 2 = (13b) 2

Mahalaga na ang bawat isa sa mga termino ay isang parisukat ng ilang expression. Pagkatapos ang polynomial na ito ay dapat i-factorize gamit ang difference ng squares formula. Para dito, hindi kinakailangan na ang pangalawang antas ay mas mataas sa numero. May mga polynomial na naglalaman ng malalaking degree, ngunit angkop pa rin para sa mga formula na ito.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

SA sa halimbawang ito at 8 ay maaaring katawanin bilang (a 4) 2, iyon ay, ang parisukat ng isang tiyak na expression. Ang 25 ay 5 2, at ang 10a ay 4 - ito ang dobleng produkto ng mga terminong 2 * a 4 * 5. Iyon ay, ang expression na ito, sa kabila ng pagkakaroon ng mga degree na may malalaking exponents, ay maaaring mabulok sa 2 mga kadahilanan upang pagkatapos ay gumana sa kanila.

Mga formula ng kubo

Ang parehong mga formula ay umiiral para sa factoring polynomials na naglalaman ng mga cube. Ang mga ito ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga may mga parisukat:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- ang formula na ito ay tinatawag na kabuuan ng mga cube, dahil sa paunang anyo Ang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang expression o numero na nakakubo.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - ang isang formula na kapareho ng nauna ay itinalaga bilang pagkakaiba ng mga cube.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubo ng isang kabuuan, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang kabuuan ng mga numero o expression ay nakapaloob sa mga bracket at pinarami ng sarili nitong 3 beses, iyon ay, matatagpuan sa isang kubo
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - ang formula, na pinagsama-sama ng pagkakatulad sa nauna, binabago lamang ang ilang mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng matematika (plus at minus), ay tinatawag na "kubo ng pagkakaiba".

Ang huling dalawang formula ay halos hindi ginagamit para sa layunin ng pag-factor ng isang polynomial, dahil ang mga ito ay kumplikado, at ito ay sapat na bihirang makahanap ng mga polynomial na ganap na tumutugma sa istrukturang ito upang sila ay mai-factor gamit ang mga formula na ito. Ngunit kailangan mo pa ring malaman ang mga ito, dahil kakailanganin ang mga ito kapag tumatakbo sa tapat na direksyon - kapag binubuksan ang mga panaklong.

Mga halimbawa sa cube formula

Tingnan natin ang isang halimbawa: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Medyo simpleng mga numero ang kinuha dito, kaya makikita mo kaagad na ang 64a 3 ay (4a) 3, at ang 8b 3 ay (2b) 3. Kaya, ang polynomial na ito ay pinalawak ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga cube sa 2 mga kadahilanan. Ang mga aksyon gamit ang formula para sa kabuuan ng mga cube ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Mahalagang maunawaan na hindi lahat ng polynomial ay maaaring palawakin sa kahit isang paraan. Ngunit may mga expression na naglalaman ng higit na kapangyarihan kaysa sa isang parisukat o isang kubo, ngunit maaari din silang palawakin sa mga pinaikling anyo ng pagpaparami. Halimbawa: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ang halimbawang ito ay naglalaman ng kasing dami ng 12th degree. Ngunit kahit na ito ay maaaring i-factorize gamit ang sum of cubes formula. Upang gawin ito, kailangan mong isipin ang x 12 bilang (x 4) 3, iyon ay, bilang isang kubo ng ilang expression. Ngayon, sa halip na a, kailangan mong palitan ito sa formula. Well, ang expression na 125y 3 ay isang cube ng 5y. Susunod, kailangan mong bumuo ng produkto gamit ang formula at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Sa una, o sa kaso ng pagdududa, maaari mong palaging suriin sa pamamagitan ng inverse multiplication. Kailangan mo lang buksan ang mga panaklong sa resultang expression at magsagawa ng mga aksyon na may mga katulad na termino. Nalalapat ang paraang ito sa lahat ng nakalistang paraan ng pagbabawas: kapwa sa pagtatrabaho sa isang karaniwang kadahilanan at pagpapangkat, at sa pagtatrabaho sa mga formula ng mga cube at quadratic na kapangyarihan.

Sa araling ito, aalalahanin natin ang lahat ng mga naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pag-factor ng isang polynomial at isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, bilang karagdagan, pag-aaralan natin ang isang bagong pamamaraan - ang paraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat at matutunan kung paano gamitin ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema. .

Paksa:Factoring polynomials

Aralin:Factoring polynomials. Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat. Kumbinasyon ng mga pamamaraan

Alalahanin natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pag-factor ng isang polynomial na napag-aralan nang mas maaga:

Ang paraan ng paglalagay ng isang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, iyon ay, isang kadahilanan na naroroon sa lahat ng mga tuntunin ng polynomial. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Alalahanin na ang monomial ay produkto ng mga kapangyarihan at numero. Sa aming halimbawa, ang parehong mga termino ay may ilang karaniwang, magkaparehong elemento.

Kaya, alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket:

;

Paalalahanan ka namin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng salik na kinuha sa pamamagitan ng isang panaklong, maaari mong suriin ang kawastuhan ng salik na kinuha.

Paraan ng pagpapangkat. Hindi laging posible na kunin ang isang karaniwang kadahilanan sa isang polynomial. Sa kasong ito, kailangan mong hatiin ang mga miyembro nito sa mga grupo sa paraang sa bawat grupo ay maaari kang kumuha ng isang karaniwang kadahilanan at subukang hatiin ito upang pagkatapos na alisin ang mga kadahilanan sa mga grupo, isang karaniwang kadahilanan ang lilitaw sa buong expression, at maaari mong ipagpatuloy ang agnas. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Pangkatin natin ang unang termino sa ikaapat, ang pangalawa ay ang ikalima, at ang pangatlo ay ang ikaanim:

Kunin natin ang mga karaniwang salik sa mga pangkat:

Ang expression ay mayroon na ngayong isang karaniwang kadahilanan. Ilabas natin ito:

Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Tingnan natin ang isang halimbawa:

;

Isulat natin ang expression nang detalyado:

Malinaw, nasa harap natin ang formula para sa squared difference, dahil ito ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto ay ibinabawas dito. Gamitin natin ang formula:

Ngayon ay matututunan natin ang isa pang paraan - ang paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat. Ito ay batay sa mga formula ng parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba. Paalalahanan natin sila:

Formula para sa parisukat ng kabuuan (pagkakaiba);

Ang kakaiba ng mga formula na ito ay naglalaman ang mga ito ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Isulat natin ang expression:

Kaya, ang unang expression ay , at ang pangalawa ay .

Upang lumikha ng isang formula para sa parisukat ng isang kabuuan o pagkakaiba, dalawang beses ang produkto ng mga expression ay hindi sapat. Kailangan itong idagdag at ibawas:

Kumpletuhin natin ang parisukat ng kabuuan:

Ibahin natin ang resultang expression:

Ilapat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, alalahanin na ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay ang produkto ng at ang kabuuan ng kanilang pagkakaiba:

Kaya, ang pamamaraang ito Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga expression a at b na squared, iyon ay, upang matukoy kung aling mga expression ay squared sa halimbawang ito. Pagkatapos nito, kailangan mong suriin ang pagkakaroon ng isang dobleng produkto at kung wala ito, pagkatapos ay idagdag at ibawas ito, hindi nito mababago ang kahulugan ng halimbawa, ngunit ang polynomial ay maaaring i-factorize gamit ang mga formula para sa parisukat ng ang kabuuan o pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat, kung maaari.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa.

Halimbawa 1 - factorize:

Maghanap tayo ng mga expression na parisukat:

Isulat natin kung ano dapat ang kanilang dobleng produkto:

Idagdag at ibawas natin ng doble ang produkto:

Kumpletuhin natin ang parisukat ng kabuuan at magbigay ng mga katulad:

Isulat natin ito gamit ang difference ng squares formula:

Halimbawa 2 - lutasin ang equation:

;

Sa kaliwang bahagi ng equation ay isang trinomial. Kailangan mong i-factor ito sa mga kadahilanan. Ginagamit namin ang squared difference formula:

Mayroon kaming parisukat ng unang expression at dobleng produkto, ang parisukat ng pangalawang expression ay nawawala, idagdag at ibawas natin ito:

Tiklupin natin ang isang kumpletong parisukat at magbigay ng mga katulad na termino:

Ilapat natin ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Kaya mayroon kaming equation

Alam natin na ang isang produkto ay katumbas ng zero lamang kung kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Gawin natin ang mga sumusunod na equation batay dito:

Lutasin natin ang unang equation:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Sagot: o

;

Nagpapatuloy kami nang katulad sa nakaraang halimbawa - piliin ang parisukat ng pagkakaiba.