Root sign kung paano i-extract. Paano kunin ang ugat ng isang multi-digit na numero
paglalarawan ng bibliograpiya: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Mga pamamaraan para sa pagkuha ng square root // Young scientist. 2017. Hindi. 2.2. P. 76-77..02.2019).
Mga keyword : square root, square root extraction.
Sa mga aralin sa matematika, nakilala ko ang konsepto ng square root, at ang operasyon ng pagkuha ng square root. Naging interesado ako sa kung ang pag-extract ng square root ay posible lamang gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, gamit ang isang calculator, o mayroon bang paraan upang i-extract ito nang manu-mano. Natagpuan ko ang ilang mga paraan: ang formula ng Ancient Babylon, sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation, ang paraan ng pagtatapon ng kumpletong parisukat, ang pamamaraan ni Newton, ang geometric na pamamaraan, graphic na pamamaraan(, ), paraan ng pagpili sa pamamagitan ng paghula, paraan ng pagbabawas ng isang kakaibang numero.
Isaalang-alang ang mga sumusunod na pamamaraan:
Magdecompose tayo sa pangunahing mga kadahilanan, gamit ang pamantayan sa divisibility 27225=5*5*3*3*11*11. Sa gayon
- SA Pamamaraan ng Canada. Ito mabilis na paraan ay natuklasan ng mga batang siyentipiko sa isa sa mga nangungunang unibersidad sa Canada noong ika-20 siglo. Ang katumpakan nito ay hindi hihigit sa dalawa hanggang tatlong decimal na lugar.
kung saan ang x ay ang numero kung saan dapat kunin ang ugat, c ay ang numero ng pinakamalapit na parisukat), halimbawa:
=5,92
- Sa isang column. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang tinatayang halaga ng ugat ng anumang tunay na numero na may anumang paunang natukoy na katumpakan. Kasama sa mga disadvantage ng pamamaraang ito ang pagtaas ng pagiging kumplikado ng pagkalkula habang tumataas ang bilang ng mga nahanap na numero. Upang manu-manong kunin ang ugat, ginagamit ang isang notasyon na katulad ng mahabang paghahati
Square Root Algorithm
1. Hinahati namin ang fractional na bahagi at ang integer na bahagi nang hiwalay sa kuwit nasa gilid ng dalawang digit sa bawat mukha ( halikan bahagi - mula kanan hanggang kaliwa; fractional- mula kaliwa hanggang kanan). Posible na ang integer na bahagi ay maaaring maglaman ng isang digit, at ang fractional na bahagi ay maaaring maglaman ng mga zero.
2. Ang pagkuha ay nagsisimula mula kaliwa hanggang kanan, at pumili kami ng isang numero na ang parisukat ay hindi lalampas sa numero sa unang mukha. I-square namin ang numerong ito at isulat ito sa ilalim ng numero sa unang bahagi.
3. Hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng numero sa unang mukha at parisukat ng napiling unang numero.
4. Idinagdag namin ang susunod na gilid sa nagresultang pagkakaiba, ang magiging resultang numero mahahati. Mag-aral tayo divider. Doblehin namin ang unang napiling digit ng sagot (multiply sa 2), nakukuha namin ang bilang ng sampu ng divisor, at ang bilang ng mga unit ay dapat na ganoon na ang produkto nito ng buong divisor ay hindi lalampas sa dibidendo. Isinulat namin ang napiling numero bilang sagot.
5. Kinukuha namin ang susunod na gilid sa nagresultang pagkakaiba at ginagawa ang mga aksyon ayon sa algorithm. Kung ang mukha na ito ay lumabas na isang mukha ng isang fractional na bahagi, pagkatapos ay maglalagay kami ng kuwit sa sagot. (Larawan 1.)
|
|
|
Gamit ang pamamaraang ito, maaari kang mag-extract ng mga numero na may iba't ibang mga katumpakan, halimbawa, hanggang sa ika-libo. (Fig.2)
Isinasaalang-alang iba't-ibang paraan pag-extract ng square root, maaari nating tapusin: sa bawat isa tiyak na kaso kailangan mong magpasya sa pagpili ng pinaka-epektibong isa upang gumugol ng mas kaunting oras sa paglutas
Panitikan:
- Kiselev A. Mga elemento ng algebra at pagsusuri. Unang bahagi.-M.-1928
Mga keyword: square root, square root.
Anotasyon: Inilalarawan ng artikulo ang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga square root at nagbibigay ng mga halimbawa ng pagkuha ng mga ugat.
Ano ang square root?
Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)
Ang konsepto na ito ay napaka-simple. Natural, sasabihin ko. Sinisikap ng mga mathematician na makahanap ng reaksyon para sa bawat aksyon. May karagdagan - mayroon ding pagbabawas. May multiplication - may division din. May squaring... Kaya meron din pagkuha ng square root! Iyon lang. Ang pagkilos na ito ( parisukat na ugat) sa matematika ay ipinahiwatig ng icon na ito:
Ang icon mismo ay tinatawag isang magandang salita "radikal".
Paano i-extract ang ugat? Mas magandang tingnan mga halimbawa.
Ano ang square root ng 9? Anong numerong squared ang magbibigay sa atin ng 9? Ang 3 squared ay nagbibigay sa amin ng 9! Yung:
Ngunit ano ang square root ng zero? Walang problema! Anong numerong squared ang ginagawa ng zero? Oo, nagbibigay ito ng zero! Ibig sabihin:
Nakuha ko, ano ang square root? Pagkatapos ay isaalang-alang namin mga halimbawa:
Mga sagot (magulo): 6; 1; 4; 9; 5.
Nagpasya? Talaga, gaano ba kadali iyon?!
Ngunit... Ano ang ginagawa ng isang tao kapag nakakita siya ng ilang gawain na may mga ugat?
Nagsisimulang malungkot ang isang tao... Hindi siya naniniwala sa pagiging simple at magaan ng kanyang mga ugat. Kahit na parang alam niya ano ang square root...
Ito ay dahil binalewala ng tao ang ilang mahahalagang punto kapag pinag-aaralan ang mga ugat. Pagkatapos ang mga usong ito ay naghihiganti ng malupit sa mga pagsusulit at pagsusulit...
Point one. Kailangan mong kilalanin ang mga ugat sa pamamagitan ng paningin!
Ano ang square root ng 49? pito? Tama! Paano mo nalaman na pito na? Kuwadrado ang pito at nakakuha ng 49? Tama! Mangyaring tandaan na kunin ang ugat sa 49 kailangan naming gawin ang reverse operation - square 7! At siguraduhing hindi kami makaligtaan. O maaaring hindi nila ...
Ito ang hirap pagkuha ng ugat. Square Maaari mong gamitin ang anumang numero nang walang anumang mga problema. I-multiply ang isang numero nang mag-isa gamit ang isang column - iyon lang. Ngunit para sa pagkuha ng ugat Walang ganoong simple at hindi ligtas na teknolohiya. Kailangan natin pulutin sagutin at suriin kung ito ay tama sa pamamagitan ng pag-square nito.
Ang masalimuot na proseso ng creative na ito - pagpili ng sagot - ay lubos na pinasimple kung ikaw Tandaan mga parisukat ng mga sikat na numero. Parang multiplication table. Kung, sabihin nating, kailangan mong i-multiply ang 4 sa 6, hindi ka magdagdag ng apat na 6 na beses, hindi ba? Agad na lumabas ang sagot na 24. Bagama't, hindi lahat ay nakakakuha nito, oo...
Upang gumana nang malaya at matagumpay sa mga ugat, sapat na malaman ang mga parisukat ng mga numero mula 1 hanggang 20. Bukod dito doon At pabalik. Yung. dapat ay madali mong bigkasin ang pareho, sabihin nating, 11 squared at ang square root ng 121. Upang makamit ang memorization na ito, mayroong dalawang paraan. Ang una ay upang matutunan ang talahanayan ng mga parisukat. Malaking tulong ito sa paglutas ng mga halimbawa. Ang pangalawa ay ang paglutas ng higit pang mga halimbawa. Ito ay lubos na makatutulong sa iyo na matandaan ang talahanayan ng mga parisukat.
At walang mga calculator! Para sa mga layunin ng pagsubok lamang. Kung hindi, babagal ka nang walang awa sa panahon ng pagsusulit...
Kaya, ano ang square root At kung paano kunin ang mga ugat- Sa tingin ko ito ay malinaw. Ngayon alamin natin kung ANO ang maaari nating makuha sa kanila.
Ikalawang punto. Root, hindi kita kilala!
Anong mga numero ang maaari mong kunin ang mga square roots? Oo, halos alinman sa kanila. Mas madaling maunawaan kung saan ito galing ito ay ipinagbabawal kunin ang mga ito.
Subukan nating kalkulahin ang ugat na ito:
Upang gawin ito, kailangan nating pumili ng isang numero na ang parisukat ay magbibigay sa atin ng -4. Pumili kami.
Ano, hindi kasya? 2 2 ay nagbibigay ng +4. (-2) 2 ang nagbibigay muli ng +4! Iyon lang... Walang mga numero na, kapag naka-square, ay magbibigay sa atin ng negatibong numero! Kahit na alam ko ang mga numerong ito. Ngunit hindi ko sasabihin sa iyo). Mag-college ka at malalaman mo sa sarili mo.
Ang parehong kuwento ay mangyayari sa anumang negatibong numero. Kaya ang konklusyon:
Isang expression kung saan mayroong negatibong numero sa ilalim ng square root sign - walang saysay! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon. Ito ay ipinagbabawal tulad ng paghahati sa zero. Tandaan ang katotohanang ito nang matatag! O sa madaling salita:
Mga parisukat na ugat ng mga negatibong numero hindi maalis!
Ngunit sa lahat ng iba pa, ito ay posible. Halimbawa, ito ay lubos na posible upang makalkula
Sa unang tingin, ito ay napakahirap. Pagpili ng mga fraction at pag-square sa mga ito... Huwag mag-alala. Kapag naunawaan natin ang mga katangian ng mga ugat, ang mga ganitong halimbawa ay mababawasan sa parehong talahanayan ng mga parisukat. Ang buhay ay magiging mas madali!
Okay, fractions. Ngunit nakakatagpo pa rin kami ng mga expression tulad ng:
ayos lang. Lahat pare-pareho. Ang square root ng dalawa ay ang bilang na, kapag squared, ay nagbibigay sa atin ng dalawa. Tanging ang bilang na ito ay ganap na hindi pantay... Narito ito:
Ang kawili-wili ay ang fraction na ito ay hindi nagtatapos... Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran. Sa square roots ito ang pinakakaraniwang bagay. Sa pamamagitan ng paraan, ito ang dahilan kung bakit tinatawag ang mga expression na may mga ugat hindi makatwiran. Malinaw na ang pagsulat ng gayong walang katapusang fraction sa lahat ng oras ay hindi maginhawa. Samakatuwid, sa halip na isang walang katapusang fraction, iniiwan nila ito nang ganito:
Kung, kapag nilulutas ang isang halimbawa, napupunta ka sa isang bagay na hindi maaaring makuha, tulad ng:
tapos iiwan natin ng ganun. Ito ang magiging sagot.
Kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng mga icon
Siyempre, kung ang ugat ng numero ay kinuha makinis, dapat mong gawin ito. Ang sagot sa gawain ay nasa anyo, halimbawa
Isang kumpletong sagot.
At, siyempre, kailangan mong malaman ang tinatayang mga halaga mula sa memorya:
Ang kaalamang ito ay lubos na nakakatulong upang masuri ang sitwasyon sa mga kumplikadong gawain.
Ikatlong punto. Ang pinaka tuso.
Ang pangunahing pagkalito sa pagtatrabaho sa mga ugat ay sanhi ng puntong ito. Siya ang nagbibigay ng kawalan ng katiyakan sariling lakas... Haharapin natin ng maayos ang isyung ito!
Una, kunin natin muli ang square root ng apat sa kanila. Naabala na ba kita sa ugat na ito?) Di bale, ngayon ay magiging kawili-wili!
Anong numero ang ginagawa ng 4 square? Well, dalawa, dalawa - Nakarinig ako ng mga hindi nasisiyahang sagot...
Tama. Dalawa. Ngunit din minus dalawa magbibigay ng 4 squared... Samantala, ang sagot
tama at ang sagot
matinding pagkakamali. Ganito.
Kaya ano ang deal?
Sa katunayan, (-2) 2 = 4. At sa ilalim ng kahulugan ng square root ng apat minus dalawa medyo angkop... Ito rin ang square root ng apat.
Ngunit! Sa kursong matematika ng paaralan, kaugalian na isaalang-alang ang mga square root mga non-negative na numero lang! Ibig sabihin, zero at lahat ay positibo. Kahit na ang isang espesyal na termino ay naimbento: mula sa numero A- Ito hindi negatibo bilang na ang parisukat ay A. Ang mga negatibong resulta kapag kumukuha ng arithmetic square root ay itinatapon lang. Sa paaralan, ang lahat ay square roots - aritmetika. Bagaman hindi ito partikular na binanggit.
Okay, understandable naman. Mas mabuti pa na huwag nang mag-abala sa mga negatibong resulta... Hindi pa ito kaguluhan.
Nagsisimula ang pagkalito kapag nilulutas ang mga quadratic equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na equation.
Ang equation ay simple, isinusulat namin ang sagot (tulad ng itinuro):
Ang sagot na ito (talagang tama, sa pamamagitan ng paraan) ay isang pinaikling bersyon lamang dalawa mga sagot:
Tigil tigil! Sa itaas ko lang isinulat na ang square root ay isang numero Laging hindi negatibo! At narito ang isa sa mga sagot - negatibo! Disorder. Ito ang una (ngunit hindi ang huling) problema na nagdudulot ng kawalan ng tiwala sa mga ugat... Solusyonan natin ang problemang ito. Isulat natin ang mga sagot (para lamang sa pag-unawa!) tulad nito:
Hindi binabago ng mga panaklong ang kakanyahan ng sagot. Pinaghiwalay ko lang ng bracket palatandaan mula sa ugat. Ngayon ay malinaw mong makikita na ang ugat mismo (sa mga bracket) ay hindi negatibong numero pa rin! At ang mga palatandaan ay resulta ng paglutas ng equation. Pagkatapos ng lahat, kapag nilulutas ang anumang equation dapat nating isulat Lahat Xs na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay ng tamang resulta. Ang ugat ng lima (positibo!) na may parehong plus at minus ay umaangkop sa aming equation.
Ganito. kung ikaw kunin lang ang square root mula sa kahit ano, ikaw Laging nakuha mo isang hindi negatibo resulta. Halimbawa:
Dahil ito- arithmetic square root.
Ngunit kung magdesisyon ka ng isang bagay quadratic equation, uri:
yun Laging iyon pala dalawa sagot (may plus at minus):
Dahil ito ang solusyon sa equation.
pag-asa, ano ang square root Malinaw na ang iyong mga punto. Ngayon ay nananatili upang malaman kung ano ang maaaring gawin sa mga ugat, kung ano ang kanilang mga katangian. At ano ang mga punto at patibong... sorry, mga bato!)
Ang lahat ng ito ay nasa mga sumusunod na aralin.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ipinakita ng bilog kung paano ka makakakuha ng mga square root sa isang column. Maaari mong kalkulahin ang ugat nang may di-makatwirang katumpakan, hanapin ang anumang bilang ng mga digit sa notasyong desimal nito, kahit na ito ay naging hindi makatwiran. Naalala ang algorithm, ngunit nanatili ang mga tanong. Hindi malinaw kung saan nanggaling ang pamamaraan at kung bakit nagbigay ito ng tamang resulta. Wala ito sa mga libro, o baka naghahanap lang ako sa mga maling libro. Sa huli, tulad ng karamihan sa alam ko at magagawa ko ngayon, ako mismo ang nakaisip nito. Ibinabahagi ko ang aking kaalaman dito. Sa pamamagitan ng paraan, hindi ko pa rin alam kung saan ibinibigay ang katwiran para sa algorithm)))
Kaya, sasabihin ko muna sa iyo "kung paano gumagana ang system" na may isang halimbawa, at pagkatapos ay ipinapaliwanag ko kung bakit ito gumagana.
Kumuha tayo ng isang numero (ang numero ay kinuha "out of thin air", ito lang ang naisip).
1. Hinahati namin ang mga numero nito sa mga pares: ang nasa kaliwa ng decimal point ay pinagsama-sama ng dalawa mula kanan pakaliwa, at ang nasa kanan ay pinagsama-sama ng dalawa mula kaliwa hanggang kanan. Nakukuha namin.
2. Kinukuha namin ang square root mula sa unang pangkat ng mga numero sa kaliwa - sa aming kaso ito ay (malinaw na ang eksaktong ugat ay hindi maaaring makuha, kumuha kami ng isang numero na ang parisukat ay mas malapit hangga't maaari sa aming numero na nabuo ng unang pangkat ng mga numero, ngunit hindi lalampas dito). Sa aming kaso ito ay magiging isang numero. Isinulat namin ang sagot - ito ang pinakamahalagang digit ng ugat.
3. I-square namin ang numero na nasa sagot na - ito - at ibawas ito mula sa unang pangkat ng mga numero sa kaliwa - mula sa numero. Sa aming kaso ito ay nananatili.
4. Itinalaga namin ang sumusunod na pangkat ng dalawang numero sa kanan: . I-multiply namin ang numero na nasa sagot na sa , at makuha namin ang .
5. Ngayon ay panoorin mong mabuti. Kailangan nating magtalaga ng isang digit sa numero sa kanan, at i-multiply ang numero sa, iyon ay, sa parehong nakatalagang digit. Ang resulta ay dapat na mas malapit hangga't maaari sa, ngunit muli ay hindi hihigit sa numerong ito. Sa aming kaso, ito ang magiging numero, isusulat namin ito sa sagot sa tabi, sa kanan. Ito ang susunod na digit sa decimal notation ng ating square root.
6. Mula sa ibawas ang produkto, nakukuha namin.
7. Susunod, inuulit namin ang mga pamilyar na operasyon: itinatalaga namin ang sumusunod na pangkat ng mga digit sa kanan, i-multiply sa , sa resultang numero > nagtatalaga kami ng isang digit sa kanan, upang kapag pinarami nito ay makakakuha kami ng numero na mas maliit kaysa sa , ngunit pinakamalapit dito - ito ang susunod na digit sa decimal root notation.
Ang mga kalkulasyon ay isusulat tulad ng sumusunod:
At ngayon ang ipinangakong paliwanag. Ang algorithm ay batay sa formula
Mga komento: 50
2 Anton:
Masyadong magulo at nakakalito. Ayusin ang lahat ng punto sa punto at bilangin ang mga ito. Dagdag pa: ipaliwanag kung saan namin pinapalitan ang mga kinakailangang halaga sa bawat aksyon. Hindi ko kailanman nakalkula ang isang ugat na ugat bago;
5 Julia:
6 :
Yulia, 23 taong gulang sa sandaling ito nakasulat sa kanan, ito ang unang dalawa (sa kaliwa) na nakuha nang mga digit ng ugat sa sagot. I-multiply ng 2 ayon sa algorithm. Ulitin namin ang mga hakbang na inilarawan sa punto 4.
7 zzz:
error sa “6. Mula sa 167 ay ibawas natin ang produkto 43 * 3 = 123 (129 nada), makakakuha tayo ng 38."
Hindi ko maintindihan kung paano naging 08 pagkatapos ng decimal point...9 Fedotov Alexander:
At kahit na sa panahon ng pre-calculator, tinuruan kami sa paaralan hindi lamang ang parisukat, kundi pati na rin ang cube root sa isang haligi, ngunit ito ay mas nakakapagod at maingat na trabaho. Mas madaling gumamit ng mga talahanayan ng Bradis o slide rule, na pinag-aralan na namin noong high school.
10 :
Alexander, tama ka, maaari mong kunin ang mga ugat ng malalaking kapangyarihan sa isang haligi. Isusulat ko lang kung paano hanapin ang cube root.
12 Sergei Valentinovich:
Mahal na Elizaveta Alexandrovna! Sa huling bahagi ng 70s, nakabuo ako ng isang scheme para sa awtomatikong (ibig sabihin, hindi sa pamamagitan ng pagpili) pagkalkula ng quadra. ugat sa Felix adding machine. Kung interesado ka, maaari akong magpadala sa iyo ng isang paglalarawan.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Kinukuha ang square root ng column)))
Ang algorithm ay pinasimple kung gagamitin mo ang 2nd number system, na pinag-aaralan sa computer science, ngunit kapaki-pakinabang din sa matematika. A.N. Iniharap ni Kolmogorov ang algorithm na ito sa mga sikat na lektura para sa mga mag-aaral. Ang kanyang artikulo ay matatagpuan sa "Chebyshev Collection" (Mathematical Journal, maghanap ng link dito sa Internet)
Sa pamamagitan ng paraan, sabihin:
G. Leibniz sa isang pagkakataon ay pinaglaruan ang ideya ng paglipat mula sa ika-10 na sistema ng numero patungo sa binary dahil sa pagiging simple at accessibility nito para sa mga nagsisimula ( junior schoolchildren). Ngunit ang pagsira sa mga naitatag na tradisyon ay parang pagsira ng tarangkahan ng kuta gamit ang iyong noo: posible, ngunit walang silbi. Kaya pala ayon sa most cited in Unang panahon sa balbas na pilosopo: ang mga tradisyon ng lahat ng patay na henerasyon ay pinipigilan ang kamalayan ng mga buhay.Hanggang sa muli.
15 Vlad aus Engelsstadt:
))Sergey Valentinovich, oo, interesado ako...((
Pustahan ako na ito ay isang pagkakaiba-iba sa "Felix" ng Babylonian na paraan ng pagkuha ng square knight gamit ang paraan ng sunud-sunod na pagtatantya. Ang algorithm na ito ay sakop ng pamamaraan ni Newton (paraan ng tangent)
Iniisip ko kung mali ba ako sa aking hula?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Oo, ang algorithm sa binary ay dapat na mas simple, iyon ay medyo halata.
Tungkol sa pamamaraan ni Newton. Siguro totoo iyon, ngunit ito ay kawili-wili pa rin
20 Kirill:
Maraming salamat. Ngunit wala pa ring algorithm, walang nakakaalam kung saan ito nanggaling, ngunit tama ang resulta. MARAMING SALAMAT! Matagal ko na itong hinahanap)
21 Alexander:
Paano mo kukunin ang ugat mula sa isang numero kung saan ang pangalawang pangkat mula kaliwa hanggang kanan ay napakaliit? halimbawa, ang paboritong numero ng lahat ay 4,398,046,511,104. Pagkatapos ng unang pagbabawas, hindi posible na ipagpatuloy ang lahat ayon sa algorithm. Pwede mo bang ipaliwanag please.
22 Alexey:
Oo, alam ko ang pamamaraang ito. Naaalala ko ang pagbabasa nito sa aklat na "Algebra" ng ilang lumang edisyon. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkakatulad, siya mismo ang nag-deduce kung paano i-extract ang cube root sa isang column. Ngunit doon ay mas kumplikado na: ang bawat digit ay natutukoy hindi ng isa (tulad ng para sa isang parisukat), ngunit sa pamamagitan ng dalawang pagbabawas, at kahit na doon kailangan mong magparami ng mahahabang numero sa bawat oras.
23 Artem:
May mga typo sa halimbawa ng pagkuha ng square root ng 56789.321. Ang pangkat ng mga numero 32 ay itinalaga nang dalawang beses sa mga numerong 145 at 243, sa numerong 2388025 ang pangalawang 8 ay dapat mapalitan ng 3. Pagkatapos ay ang huling pagbabawas ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: 2431000 – 2383025 = 47975.
Bukod pa rito, kapag hinahati ang natitira sa dobleng halaga ng sagot (nang hindi isinasaalang-alang ang kuwit), nakakakuha kami ng karagdagang bilang ng mga makabuluhang digit (47975/(2*238305) = 0.100658819...), na dapat idagdag sa ang sagot (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).24 Sergey:
Tila ang algorithm ay nagmula sa aklat ni Isaac Newton na "General Arithmetic o isang libro sa arithmetic synthesis at analysis." Narito ang isang sipi mula dito:
TUNGKOL SA PAG-EXTRACTING NG MGA UGAT
Upang kunin ang square root ng isang numero, kailangan mo munang maglagay ng tuldok sa itaas ng mga digit nito, simula sa mga numero. Pagkatapos ay dapat mong isulat sa quotient o radical ang numero na ang parisukat ay katumbas o pinakamalapit sa kawalan sa mga numero o numero na nauuna sa unang punto. Matapos ibawas ang parisukat na ito, ang natitirang mga digit ng ugat ay magkakasunod na mahahanap sa pamamagitan ng paghahati sa natitira sa dalawang beses sa halaga ng nakuha nang bahagi ng ugat at pagbabawas sa bawat oras mula sa natitira sa parisukat ang huling nahanap na digit at ang sampung beses na produkto nito sa pamamagitan ng ang pinangalanang divisor.
25 Sergey:
Pakiwasto din ang pamagat ng aklat na "General Arithmetic o isang libro tungkol sa arithmetic synthesis at analysis"
26 Alexander:
Salamat sa kawili-wiling materyal. Ngunit ang pamamaraang ito ay tila sa akin ay medyo mas kumplikado kaysa sa kung ano ang kinakailangan, halimbawa, para sa isang mag-aaral. Gumagamit ako ng isang mas simpleng paraan batay sa pagpapalawak ng isang quadratic function gamit ang unang dalawang derivatives. Ang formula nito ay:
sqrt(x)= A1+A2-A3, kung saan
Ang A1 ay ang integer na ang parisukat ay pinakamalapit sa x;
Ang A2 ay isang fraction, ang numerator ay x-A1, ang denominator ay 2*A1.
Para sa karamihan ng mga numerong nakatagpo sa isang kurso sa paaralan, ito ay sapat na upang makuha ang resulta na tumpak hanggang sa ikadaan.
Kung kailangan mo ng mas tumpak na resulta, kumuha
Ang A3 ay isang fraction, ang numerator ay A2 squared, ang denominator ay 2*A1+1.
Siyempre, upang magamit ito kailangan mo ng isang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer, ngunit hindi ito problema sa paaralan. Ang pag-alala sa formula na ito ay medyo simple.
Gayunpaman, nalilito ako na nakuha ko ang A3 sa empirikal na resulta ng mga eksperimento sa isang spreadsheet at hindi ko lubos na naiintindihan kung bakit ganito ang hitsura ng miyembrong ito. Baka pwede mo akong bigyan ng payo?27 Alexander:
Oo, isinasaalang-alang ko rin ang mga pagsasaalang-alang na ito, ngunit ang diyablo ay nasa mga detalye. Sumulat ka:
"Dahil ang a2 at b ay medyo magkaiba." Ang tanong ay eksakto kung gaano kaliit.
Ang formula na ito ay mahusay na gumagana sa mga numero sa ikalawang sampu at mas masahol pa (hindi hanggang sa isang daan, hanggang sa ikasampu lamang) sa mga numero sa unang sampu. Bakit ito nangyayari ay mahirap maunawaan nang walang paggamit ng mga derivatives.28 Alexander:
Lilinawin ko kung ano ang nakikita ko bilang bentahe ng formula na iminumungkahi ko. Hindi ito nangangailangan ng hindi ganap na natural na paghahati ng mga numero sa mga pares ng mga digit, na, gaya ng ipinapakita ng karanasan, ay kadalasang ginagawa nang may mga pagkakamali. Ang kahulugan nito ay halata, ngunit para sa isang taong pamilyar sa pagsusuri, ito ay walang halaga. Gumagana nang maayos sa mga numero mula 100 hanggang 1000, na siyang mga pinakakaraniwang numerong makikita sa paaralan.
29 Alexander:
Sa pamamagitan ng paraan, gumawa ako ng ilang paghuhukay at natagpuan ang eksaktong expression para sa A3 sa aking formula:
A3= A22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
Sa ating panahon, sa malawakang paggamit ng teknolohiya ng computer, ang tanong ng pagkuha ng square knight mula sa isang numero ay hindi katumbas ng halaga mula sa isang praktikal na punto ng view. Ngunit para sa mga mahilig sa matematika, walang alinlangan na interesado sila iba't ibang mga pagpipilian solusyon sa problemang ito. SA kurikulum ng paaralan ang paraan ng pagkalkula na ito nang walang paglahok ng mga karagdagang pondo ay dapat maganap sa isang par na may multiplikasyon at paghahati sa isang hanay. Ang algorithm ng pagkalkula ay dapat hindi lamang kabisado, ngunit naiintindihan din. Klasikong pamamaraan, na ibinigay sa materyal na ito para sa talakayan na may pagsisiwalat ng kakanyahan, ganap na sumusunod sa pamantayan sa itaas.
Ang isang makabuluhang disbentaha ng pamamaraan na iminungkahi ni Alexander ay ang paggamit ng isang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer. Ang may-akda ay tahimik tungkol sa karamihan ng mga numero na nakatagpo sa kurso ng paaralan. Tulad ng para sa formula, sa pangkalahatan ay gusto ko ito dahil sa medyo mataas na katumpakan ng pagkalkula.31 Alexander:
para sa 30 vasil stryzhak
Wala akong naimik. Ang talahanayan ng mga parisukat ay dapat na hanggang sa 1000. Sa aking panahon sa paaralan ay natutunan nila ito sa pamamagitan ng puso at ito ay nasa lahat ng mga aklat-aralin sa matematika. Tahasang pinangalanan ko ang agwat na ito.
Tulad ng para sa teknolohiya ng kompyuter, hindi ito pangunahing ginagamit sa mga aralin sa matematika, maliban kung ang paksa ng paggamit ng calculator ay partikular na tinalakay. Ang mga Calculator ay binuo na ngayon sa mga device na ipinagbabawal para sa paggamit sa Pinag-isang State Exam.32 vasil stryzhak:
Alexander, salamat sa paglilinaw! Naisip ko na para sa iminungkahing pamamaraan na ito ay theoretically kinakailangan upang matandaan o gumamit ng isang talahanayan ng mga parisukat ng lahat ng dalawang-digit na mga numero. Pagkatapos ay para sa mga radikal na numero na hindi kasama sa pagitan mula 100 hanggang 10000, maaari mong gamitin ang pamamaraan ng pagtaas o pagbaba ng mga ito sa pamamagitan ng kinakailangang bilang ng mga order ng magnitude sa pamamagitan ng paglipat ng decimal point.
33 vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
ANG AKING UNANG PROGRAMA SA WIKANG IAMB SA SOVIET MACHINE na “ISKRA 555″ AY NAISULAT UPANG I-EXTRACT ANG SQUARE ROOT NG ISANG NUMBER GAMIT ANG COLUMN EXTRACTION ALGORITHM! at ngayon nakalimutan ko kung paano i-extract ito nang manu-mano!
Chapter muna.
Paghahanap ng pinakamalaking integer square root mula sa isang ibinigay na integer.
170. Paunang pananalita.
A) Dahil ang pag-uusapan natin ay ang pagkuha lamang ng square root, upang paikliin ang pagsasalita sa kabanatang ito, sa halip na "square" na ugat ay simpleng "ugat".
b) Kung parisukat natin ang mga numero ng natural na serye: 1,2,3,4,5. . . , pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na talahanayan ng mga parisukat: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,
Malinaw, mayroong maraming mga integer na wala sa talahanayang ito; Siyempre, imposibleng kunin ang buong ugat mula sa gayong mga numero. Samakatuwid, kung kailangan mong kunin ang ugat ng anumang integer, halimbawa. kinakailangan upang mahanap ang √4082, pagkatapos ay sumasang-ayon kaming unawain ang kinakailangang ito bilang mga sumusunod: kunin ang buong ugat ng 4082, kung maaari; kung ito ay hindi posible, pagkatapos ay kailangan naming mahanap ang pinakamalaking integer na ang parisukat ay 4082 (tulad ng isang numero ay 63, dahil 63 2 = 3969, at 64 2 = 4090).
V) Kung ang bilang na ito ay mas mababa sa 100, kung gayon ang ugat nito ay matatagpuan gamit ang multiplication table; Kaya, ang √60 ay magiging 7, dahil pitong 7 ay katumbas ng 49, na mas mababa sa 60, at walong 8 ay katumbas ng 64, na mas malaki sa 60.
171. Pagkuha ng ugat ng isang numerong mas mababa sa 10,000 ngunit higit sa 100. Sabihin nating kailangan nating hanapin ang √4082. Dahil ang bilang na ito ay mas mababa sa 10,000, ang ugat nito ay mas mababa sa √l0,000 = 100. Sa kabilang banda, ang bilang na ito ay higit sa 100; nangangahulugan ito na ang ugat nito ay mas malaki kaysa sa (o katumbas ng 10). (Kung, halimbawa, kailangang hanapin ang √ 120 , at bagama't ang bilang na 120 > 100, gayunpaman √ Ang 120 ay katumbas ng 10, dahil 11 2 = 121.) Ngunit bawat numero na mas malaki sa 10 ngunit mas mababa sa 100 ay may 2 digit; Nangangahulugan ito na ang kinakailangang ugat ay ang kabuuan:
sampu + isa,
at samakatuwid ang parisukat nito ay dapat na katumbas ng kabuuan:
Ang kabuuan na ito ay dapat ang pinakamalaking parisukat ng 4082.
Kunin natin ang pinakamalaki sa kanila, 36, at ipagpalagay na ang parisukat ng sampung ugat ay magiging eksaktong katumbas ng pinakamalaking parisukat na ito. Kung gayon ang bilang ng sampu sa ugat ay dapat na 6. Suriin natin ngayon na ito ang dapat palaging mangyari, ibig sabihin, ang bilang ng sampu sa ugat ay palaging katumbas ng pinakamalaking integer na ugat ng bilang ng daan-daang radikal.
Sa katunayan, sa aming halimbawa, ang bilang ng sampu ng ugat ay hindi maaaring higit sa 6, dahil (7 dec.) 2 = 49 na daan, na lumampas sa 4082. Ngunit hindi ito maaaring mas mababa sa 6, mula noong 5 dec. (na may mga yunit) ay mas mababa sa 6 des., at samantala (6 des.) 2 = 36 na daan, na mas mababa sa 4082. At dahil hinahanap natin ang pinakamalaking buong ugat, hindi tayo dapat kumuha ng 5 des para sa ugat, kapag kahit 6 na sampu ay hindi marami.
Kaya, natagpuan namin ang bilang ng sampu ng ugat, katulad ng 6. Isinulat namin ang numerong ito sa kanan ng = sign, na naaalala na ang ibig sabihin nito ay sampu ng ugat. Pagtaas nito ng parisukat, makakakuha tayo ng 36 na daan. Ibinabawas namin ang 36 na daan na ito mula sa 40 na daan ng radical number at ibawas ang natitirang dalawang digit ng numerong ito. Ang natitirang 482 ay dapat maglaman ng 2 (6 dec.) (units) + (units)2. Ang produkto (6 dec.) (mga yunit) ay dapat na sampu; samakatuwid, ang dobleng produkto ng sampu sa isa ay dapat hanapin sa sampu ng natitira, ibig sabihin, sa 48 (nakukuha natin ang kanilang numero sa pamamagitan ng paghihiwalay ng isang digit sa kanan sa natitira sa 48 "2). Ang dobleng sampu ng ugat bumubuo ng 12. Nangangahulugan ito na kung i-multiply natin ang 12 sa mga yunit ng ugat (na hindi pa rin alam), kung gayon dapat nating makuha ang bilang na nasa 48. Samakatuwid, hinati natin ang 48 sa 12.
Upang gawin ito, gumuhit ng isang patayong linya sa kaliwa ng natitira at sa likod nito (humakbang pabalik mula sa linya isang lugar sa kaliwa para sa layunin na lilitaw na ngayon) isusulat namin ng doble ang unang digit ng ugat, i.e. 12, at hatiin ang 48 sa pamamagitan nito.
Gayunpaman, hindi namin magagarantiya nang maaga na ang numero 4 ay maaaring kunin bilang mga yunit ng ugat, dahil hinati na namin ngayon ang buong bilang ng sampu ng natitira sa 12, habang ang ilan sa mga ito ay maaaring hindi kabilang dalawang beses ang produkto sampu sa pamamagitan ng mga yunit, at ito ay bahagi ng parisukat ng mga yunit. Samakatuwid, ang numero 4 ay maaaring malaki. Kailangan nating subukan ito. Malinaw na angkop kung ang kabuuan 2 (6 dec.) 4 + 4 2 ay hindi hihigit sa natitirang 482.
Bilang resulta, nakukuha namin ang kabuuan ng pareho nang sabay-sabay. Ang nagresultang produkto ay naging 496, na mas malaki kaysa sa natitirang 482; Ibig sabihin malaki ang number 4. Pagkatapos ay subukan natin ang susunod na mas maliit na numero 3 sa parehong paraan.
Mga halimbawa.
Sa halimbawa 4, kapag hinahati ang 47 sampu ng natitira sa 4, makakakuha tayo ng 11 bilang isang quotient. Ngunit dahil ang bilang ng mga yunit ng ugat ay hindi maaaring maging dalawang-digit na numero 11 o 10, dapat nating direktang subukan ang numero 9.
Sa halimbawa 5, pagkatapos ibawas ang 8 mula sa unang mukha ng parisukat, ang natitira ay nagiging 0, at ang susunod na mukha ay binubuo din ng mga zero. Ipinapakita nito na ang nais na ugat ay binubuo lamang ng 8 sampu, at samakatuwid ay dapat ilagay ang isang zero sa lugar ng mga.
172. Pag-extract ng ugat ng isang numerong higit sa 10000. Sabihin nating kailangan nating hanapin ang √35782. Dahil ang radikal na numero ay lumampas sa 10,000, ang ugat nito ay mas malaki sa √10000 = 100 at, samakatuwid, ito ay binubuo ng 3 digit o higit pa. Gaano man karaming mga digit ang binubuo nito, maaari naming palaging isaalang-alang ito bilang kabuuan ng sampu at mga yunit lamang. Kung, halimbawa, ang ugat ay naging 482, maaari nating bilangin ito bilang halaga ng 48 des. + 2 unit Pagkatapos ang parisukat ng ugat ay bubuo ng 3 termino:
(dec.) 2 + 2 (dec.) (unit) + (unit) 2 .
Ngayon ay maaari tayong mangatuwiran sa eksaktong parehong paraan tulad ng kapag hinahanap ang √4082 (sa nakaraang talata). Ang pagkakaiba lamang ay upang mahanap ang sampu ng ugat ng 4082 kailangan nating kunin ang ugat ng 40, at ito ay maaaring gawin gamit ang multiplication table; ngayon, upang makakuha ng sampu√35782, kailangan nating kunin ang ugat ng 357, na hindi maaaring gawin gamit ang multiplication table. Ngunit mahahanap natin ang √357 gamit ang pamamaraan na inilarawan sa nakaraang talata, dahil ang bilang na 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.
Susunod, nagpapatuloy kami tulad ng ginawa namin nang mahanap ang √4082, ibig sabihin: sa kaliwa ng natitirang 3382 gumuhit kami ng isang patayong linya at sa likod nito ay nagsusulat kami (pag-urong ng isang puwang mula sa linya) dalawang beses ang bilang ng sampu ng ugat na natagpuan, ibig sabihin, 36 (dalawang beses 18). Sa natitira, pinaghihiwalay namin ang isang digit sa kanan at hinahati ang bilang ng sampu ng natitira, i.e. 338, sa 36. Sa quotient, nakukuha namin ang 9. Sinusubukan namin ang numerong ito, kung saan itinalaga namin ito sa 36 sa kanan at paramihin ito. Ang produkto ay naging 3321, na mas mababa kaysa sa natitira. Nangangahulugan ito na ang numero 9 ay angkop, isinulat namin ito sa ugat.
Sa pangkalahatan, upang kunin ang square root ng anumang integer, kailangan mo munang i-extract ang ugat ng daan-daan nito; kung ang bilang na ito ay higit sa 100, kailangan mong hanapin ang ugat ng bilang ng daan-daang mga daan-daang ito, iyon ay, ng sampu-sampung libo ng bilang na ito; kung ang bilang na ito ay higit sa 100, kakailanganin mong kunin ang ugat mula sa bilang ng daan-daang sampu-sampung libo, iyon ay, mula sa milyun-milyong ibinigay na numero, atbp.
Mga halimbawa.
Sa huling halimbawa, nang matagpuan ang unang digit at ibawas ang parisukat nito, makakakuha tayo ng natitira sa 0. Ibawas natin ang susunod na 2 digit na 51. Paghihiwalay ng sampu, makakakuha tayo ng 5 des, habang ang double found digit ng ugat ay 6. Nangangahulugan ito na mula sa paghahati ng 5 sa 6 makakakuha tayo ng 0 Inilalagay namin ang 0 sa pangalawang lugar sa ugat at idagdag ang susunod na 2 digit sa natitira; we get 5110. Then we continue as usual.
Sa halimbawang ito, ang kinakailangang ugat ay binubuo lamang ng 9 na daan, at samakatuwid ang mga zero ay dapat ilagay sa mga lugar ng sampu at sa mga lugar ng isa.
Panuntunan. Upang kunin ang square root ng isang ibinigay na integer, hatiin ito mula sa kanang kamay sa kaliwa, sa gilid, 2 digit bawat isa, maliban sa huli, na maaaring maglaman ng isang digit.
Upang mahanap ang unang digit ng ugat, kunin ang square root ng unang mukha.
Upang mahanap ang pangalawang digit, ang parisukat ng unang digit ng ugat ay ibinabawas mula sa unang mukha, ang pangalawang mukha ay dadalhin sa natitira, at ang bilang ng sampu ng resultang numero ay hinati sa doble ng unang digit ng ugat. ; ang resultang integer ay nasubok.
Isinasagawa ang pagsubok na ito tulad nito: sa likod ng patayong linya (sa kaliwa ng natitira) isulat nang dalawang beses ang dating nahanap na numero ng ugat at dito, na may kanang bahagi, ang nasubok na digit ay itinalaga, ang resultang numero ay pinarami ng nasubok na digit pagkatapos ng pagdaragdag na ito. Kung pagkatapos ng multiplikasyon ang resulta ay isang numero na mas malaki kaysa sa natitira, kung gayon ang nasubok na digit ay hindi angkop at ang susunod na mas maliit na digit ay dapat na masuri.
Ang mga susunod na digit ng ugat ay matatagpuan gamit ang parehong pamamaraan.
Kung, pagkatapos alisin ang isang mukha, ang bilang ng sampu ng nagresultang numero ay lumalabas na mas mababa kaysa sa divisor, iyon ay, mas mababa sa dalawang beses ang natagpuang bahagi ng ugat, pagkatapos ay inilagay nila ang 0 sa ugat, alisin ang susunod na mukha at ipagpatuloy pa ang pagkilos.
173. Bilang ng mga digit ng ugat. Mula sa pagsasaalang-alang sa proseso ng paghahanap ng ugat, ito ay sumusunod na mayroong maraming mga numero sa ugat bilang may mga mukha ng 2 digit bawat isa sa radikal na numero (ang kaliwang mukha ay maaaring may isang digit).
Ikalawang Kabanata.
Pagkuha ng mga pinagkakatiwalaan square roots mula sa buo at fractional na mga numero .
Para sa pagkuha ng square root ng polynomials, tingnan ang mga karagdagan sa ika-2 bahagi ng § 399 et seq.
174. Mga palatandaan ng eksaktong square root. Ang eksaktong square root ng isang ibinigay na numero ay isang numero na ang parisukat ay eksaktong katumbas ng ibinigay na numero. Ipahiwatig natin ang ilang mga palatandaan kung saan maaaring hatulan ng isa kung ang isang eksaktong ugat ay maaaring makuha mula sa isang naibigay na numero o hindi:
A) Kung ang eksaktong buong ugat ay hindi kinukuha mula sa isang ibinigay na integer (ang natitira ay nakukuha kapag kinukuha), kung gayon ang fractional na eksaktong ugat ay hindi mahahanap mula sa naturang numero, dahil ang anumang fraction na hindi katumbas ng isang buong numero, kapag pinarami ng sarili nito. , ay gumagawa din ng isang fraction sa produkto, hindi isang integer.
b) Dahil ang ugat ng isang fraction ay katumbas ng ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator, ang eksaktong ugat ng isang irreducible fraction ay hindi mahahanap kung hindi ito makukuha mula sa numerator o denominator. Halimbawa, ang eksaktong ugat ay hindi maaaring makuha mula sa mga praksyon 4/5, 8/9 at 11/15, dahil sa unang bahagi ay hindi ito makukuha mula sa denominator, sa pangalawa - mula sa numerator, at sa pangatlo - hindi mula sa numerator o mula sa denominator.
Mula sa mga numero kung saan ang eksaktong ugat ay hindi maaaring makuha, tinatayang mga ugat lamang ang maaaring makuha.
175. Ang tinatayang ugat ay tumpak sa 1. Ang tinatayang square root, tumpak sa loob ng 1, ng isang naibigay na numero (integer o fractional, hindi mahalaga) ay isang integer na nakakatugon sa sumusunod na dalawang kinakailangan:
1) ang parisukat ng numerong ito ay hindi mas malaki kaysa sa ibinigay na numero; 2) ngunit ang parisukat ng bilang na ito ay nadagdagan ng 1 ay mas malaki kaysa sa bilang na ito. Sa madaling salita, ang tinatayang square root na tumpak sa 1 ay ang pinakamalaking integer square root ng isang naibigay na numero, iyon ay, ang ugat na natutunan nating hanapin sa nakaraang kabanata. Ang ugat na ito ay tinatawag na humigit-kumulang na may katumpakan na 1, dahil para makakuha ng eksaktong ugat, kailangan nating magdagdag ng ilang fraction na mas mababa sa 1 sa tinatayang ugat na ito, kaya kung sa halip na hindi alam na eksaktong ugat ay kukunin natin ang tinatayang isang ito, gagawa tayo isang error na mas mababa sa 1.
Panuntunan. Upang kunin ang isang tinatayang square root na tumpak sa loob ng 1, kailangan mong kunin ang pinakamalaking integer root ng integer na bahagi ng ibinigay na numero.
Ang bilang na natagpuan ng panuntunang ito ay isang tinatayang ugat na may disadvantage , dahil wala itong eksaktong ugat ng isang partikular na fraction (mas mababa sa 1). Kung dagdagan natin ang ugat na ito ng 1, makakakuha tayo ng isa pang numero kung saan mayroong ilang labis sa eksaktong ugat, at ang labis na ito ay mas mababa sa 1. Ang ugat na ito na nadagdagan ng 1 ay maaari ding tawaging tinatayang ugat na may katumpakan na 1, ngunit na may labis. (Ang mga pangalan na: “may kakulangan” o “may labis” sa ilang aklat sa matematika ay pinapalitan ng iba pang katumbas: “sa kakulangan” o “sa labis.”)
176. Tinatayang ugat na may katumpakan na 1/10. Sabihin nating kailangan nating hanapin ang √2.35104 na may katumpakan na 1/10. Nangangahulugan ito na kailangan mong maghanap ng decimal na fraction na bubuo ng buong unit at tenths at makakatugon sa sumusunod na dalawang kinakailangan:
1) ang parisukat ng fraction na ito ay hindi lalampas sa 2.35104, ngunit 2) kung dagdagan natin ito ng 1/10, ang parisukat ng tumaas na fraction na ito ay lalampas sa 2.35104.
Upang mahanap ang naturang fraction, una naming mahanap ang isang tinatayang root tumpak sa 1, iyon ay, kinuha namin ang root lamang mula sa integer 2. Nakukuha namin ang 1 (at ang natitira ay 1). Sinusulat namin ang numero 1 sa ugat at naglalagay ng kuwit pagkatapos nito. Ngayon ay hahanapin natin ang bilang ng mga ikasampu. Upang gawin ito, ibababa namin sa natitirang 1 ang mga digit na 35 sa kanan ng decimal point, at ipagpatuloy ang pagkuha na parang kinukuha namin ang ugat ng integer 235. Isinulat namin ang resultang digit 5 sa ugat sa lugar ng ikasampu. Hindi namin kailangan ang natitirang mga digit ng radikal na numero (104). Na ang resultang numero 1.5 ay magiging isang tinatayang ugat na may katumpakan na 1/10 ay makikita mula sa mga sumusunod. Kung hahanapin natin ang pinakamalaking integer root na 235 na may katumpakan na 1, makakakuha tayo ng 15. Kaya:
15 2 < 235, ngunit 16 2 >235.
Hinahati ang lahat ng mga numerong ito sa pamamagitan ng 100, nakukuha natin:
Nangangahulugan ito na ang numerong 1.5 ay ang decimal fraction na tinatawag naming tinatayang ugat na may katumpakan na 1/10.
Gamit ang diskarteng ito, mahahanap din natin ang sumusunod na tinatayang mga ugat na may katumpakan na 0.1:
177. Tinatayang square root sa loob ng 1/100 hanggang 1/1000, atbp.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng tinatayang √248 na may katumpakan na 1/100. Nangangahulugan ito: maghanap ng decimal na fraction na bubuo ng buo, tenths at hundredths na bahagi at makakatugon sa dalawang kinakailangan:
1) ang parisukat nito ay hindi lalampas sa 248, ngunit 2) kung dagdagan natin ang bahaging ito ng 1/100, kung gayon ang parisukat ng tumaas na bahaging ito ay lalampas sa 248.
Makakahanap tayo ng ganitong fraction sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: una ay makikita natin ang buong numero, pagkatapos ay ang tenths figure, pagkatapos ay ang hundredths figure. Ang ugat ng isang integer ay 15 integer. Upang makuha ang tenths figure, tulad ng nakita natin, kailangan mong magdagdag sa natitirang 23 2 higit pang mga digit sa kanan ng decimal point. Sa aming halimbawa, ang mga numerong ito ay wala sa lahat; Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa natitira at pagpapatuloy na parang hinahanap natin ang ugat ng integer na 24,800, mahahanap natin ang tenths figure 7. Nananatili itong hanapin ang hundredths figure. Upang gawin ito, nagdaragdag kami ng 2 pang mga zero sa natitirang 151 at ipagpatuloy ang pagkuha, na parang hinahanap namin ang ugat ng integer na 2,480,000. Na ang numerong ito ay talagang tinatayang ugat ng 248 na may katumpakan na 1/100 ay makikita mula sa mga sumusunod. Kung hahanapin natin ang pinakamalaking integer square root ng integer na 2,480,000, makakakuha tayo ng 1574; Ibig sabihin:
1574 2 < 2,480,000, ngunit 1575 2 > 2,480,000.
Hinahati ang lahat ng mga numero sa pamamagitan ng 10,000 (= 100 2), makuha natin ang:
Nangangahulugan ito na ang 15.74 ay ang decimal na bahagi na tinawag naming tinatayang ugat na may katumpakan na 1/100 ng 248.
Ang paglalapat ng pamamaraang ito sa paghahanap ng tinatayang ugat na may katumpakan na 1/1000 hanggang 1/10000, atbp., makikita natin ang sumusunod.
Panuntunan. Upang kunin mula dito buong numero o mula sa isang ibinigay na decimal fraction isang tinatayang ugat na may katumpakan na 1/10 hanggang 1/100 hanggang 1/100, atbp., maghanap muna ng tinatayang ugat na may katumpakan na 1, i-extract ang ugat mula sa integer (kung hindi ito doon, isulat ang tungkol sa ugat 0 buo).
Pagkatapos ay hanapin nila ang bilang ng mga ikasampu. Upang gawin ito, idagdag sa natitira ang 2 digit ng radikal na numero sa kanan ng decimal point (kung wala sila roon, magdagdag ng dalawang zero sa natitira), at ipagpatuloy ang pagkuha tulad ng ginagawa kapag kinukuha ang ugat ng isang integer . Ang resultang numero ay nakasulat sa ugat sa lugar ng tenths.
Pagkatapos ay hanapin ang hundredths na numero. Upang gawin ito, dalawang numero sa kanan ng mga kakaalis lang ay idinaragdag sa natitira, atbp.
Kaya, kapag kinukuha ang ugat ng isang integer na may decimal fraction, kinakailangang hatiin sa mga mukha ang 2 digit bawat isa, simula sa decimal point, pareho sa kaliwa (sa integer na bahagi ng numero) at sa kanan (sa ang fractional na bahagi).
Mga halimbawa.
1) Maghanap ng hanggang 1/100 ugat: a) √2; b) √0.3;
Sa huling halimbawa, na-convert namin ang fraction na 3/7 sa isang decimal sa pamamagitan ng pagkalkula ng 8 decimal na lugar upang mabuo ang 4 na mukha na kailangan upang mahanap ang 4 na decimal na lugar ng root.
178. Paglalarawan ng talahanayan ng square roots. Sa dulo ng aklat na ito ay isang talahanayan ng mga square root na kinakalkula na may apat na digit. Gamit ang talahanayang ito, mabilis mong mahahanap ang square root ng isang buong numero (o decimal fraction) na ipinahayag sa hindi hihigit sa apat na digit. Bago ipaliwanag kung paano nakabalangkas ang talahanayang ito, tandaan namin na palagi naming mahahanap ang unang makabuluhang digit ng nais na ugat nang walang tulong ng mga talahanayan sa pamamagitan lamang ng pagtingin sa radikal na numero; madali rin nating matukoy kung aling decimal place ang ibig sabihin ng unang digit ng root at, samakatuwid, kung saan sa ugat, kapag nakita natin ang mga digit nito, dapat tayong maglagay ng kuwit. Narito ang ilang halimbawa:
1) √5"27,3 . Ang unang digit ay magiging 2, dahil ang kaliwang bahagi ng radikal na numero ay 5; at ang ugat ng 5 ay katumbas ng 2. Bilang karagdagan, dahil sa integer na bahagi ng radical mayroon lamang 2 mukha, pagkatapos ay sa integer na bahagi ng nais na ugat ay dapat mayroong 2 digit at, samakatuwid, ang unang digit na 2 ay dapat ibig sabihin sampu.
2) √9.041. Malinaw, sa ugat na ito ang unang digit ay magiging 3 prime unit.
3) √0.00"83"4. Ang unang makabuluhang digit ay 9, dahil ang mukha kung saan ang ugat ay kailangang kunin upang makuha ang unang makabuluhang digit ay 83, at ang ugat ng 83 ay 9. Dahil ang kinakailangang numero ay hindi naglalaman ng alinman sa mga buong numero o ikasampu, ang ang unang digit na 9 ay dapat mangahulugan ng hundredths.
4) √0.73"85. Ang unang makabuluhang figure ay 8 tenths.
5) √0.00"00"35"7. Ang unang makabuluhang bilang ay magiging 5 thousandths.
Gumawa tayo ng isa pang komento. Ipagpalagay natin na kailangan nating kunin ang ugat ng isang numero na, pagkatapos itapon ang sinakop na salita dito, ay kinakatawan ng isang serye ng mga numero tulad nito: 5681. Ang ugat na ito ay maaaring isa sa mga sumusunod:
Kung kukunin natin ang mga ugat na sinalungguhitan natin sa isang linya, ang lahat ng ito ay ipahahayag ng parehong serye ng mga numero, tiyak ang mga numero na nakuha kapag kinuha ang ugat mula sa 5681 (ito ang mga numero 7, 5, 3, 7 ). Ang dahilan nito ay ang mga mukha kung saan kailangang hatiin ang radikal na numero kapag hinahanap ang mga digit ng ugat ay magiging pareho sa lahat ng mga halimbawang ito, samakatuwid ang mga digit para sa bawat ugat ay magiging pareho (ang posisyon lamang ng decimal ang punto ay, siyempre, ay naiiba). Sa parehong paraan, sa lahat ng mga ugat na sinalungguhitan natin ng dalawang linya, dapat nating makuha parehong mga numero, tiyak na kung saan ang √568.1 ay ipinahayag (ang mga numerong ito ay magiging 2, 3, 8, 3), at para sa parehong dahilan. Kaya, ang mga digit ng mga ugat ng mga numero na kinakatawan (sa pamamagitan ng pag-drop sa kuwit) ng parehong hilera ng mga numero 5681 ay magiging dalawa (at dalawa lamang) uri: alinman ito ay ang hilera 7, 5, 3, 7, o ang row 2, 3, 8, 3. Ang parehong, malinaw naman, ay masasabi tungkol sa anumang iba pang serye ng mga numero. Samakatuwid, tulad ng makikita natin ngayon, sa talahanayan, ang bawat hilera ng mga digit ng radikal na numero ay tumutugma sa 2 hilera ng mga digit para sa mga ugat.
Ngayon ay maaari nating ipaliwanag ang istraktura ng talahanayan at kung paano ito gamitin. Para sa kalinawan ng paliwanag, ipinakita namin ang simula ng unang pahina ng talahanayan dito.
Ang talahanayan na ito ay matatagpuan sa ilang mga pahina. Sa bawat isa sa kanila, sa unang hanay sa kaliwa, ang mga numero 10, 11, 12... (hanggang 99) ay nakalagay. Ang mga numerong ito ay nagpapahayag ng unang 2 digit ng numero kung saan hinahanap ang square root. Sa itaas na pahalang na linya (pati na rin sa ibaba) ay ang mga numero: 0, 1, 2, 3... 9, na kumakatawan sa ika-3 digit ng numerong ito, at pagkatapos ay sa kanan ay ang mga numero 1, 2, 3. . . 9, na kumakatawan sa ika-4 na digit ng numerong ito. Ang lahat ng iba pang pahalang na linya ay naglalaman ng 2 apat na digit na numero na nagpapahayag ng mga square root ng mga katumbas na numero.
Ipagpalagay na kailangan mong hanapin ang square root ng ilang numero, integer o ipinahayag decimal. Una sa lahat, nakita namin, nang walang tulong ng mga talahanayan, ang unang digit ng ugat at ang digit nito. Pagkatapos ay itatapon namin ang kuwit sa numerong ito, kung mayroon man. Ipagpalagay muna natin na pagkatapos itapon ang kuwit, 3 digit na lang ang mananatili, halimbawa. 114. Nakikita namin sa mga talahanayan sa pinakakaliwang hanay ang unang 2 digit, i.e. 11, at lumipat mula sa kanila patungo sa kanan kasama ang pahalang na linya hanggang sa maabot namin ang patayong hanay, sa itaas (at ibaba) kung saan ay ang ika-3 digit. ng numero , i.e. 4. Sa lugar na ito makikita natin ang dalawang apat na digit na numero: 1068 at 3376. Alin sa dalawang numerong ito ang dapat kunin at kung saan ilalagay ang kuwit dito, ito ay tinutukoy ng unang digit ng ugat at digit nito, na nakita namin kanina. Kaya, kung kailangan nating hanapin ang √0.11"4, kung gayon ang unang digit ng ugat ay 3 tenths, at samakatuwid kailangan nating kumuha ng 0.3376 para sa ugat. Kung kailangan nating hanapin ang √1.14, kung gayon ang unang digit ng ugat ay magiging 1, at kami Pagkatapos ay kukuha kami ng 1.068.
Sa ganitong paraan madali nating mahahanap ang:
√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, atbp.
Ipagpalagay natin ngayon na kailangan nating hanapin ang ugat ng isang numerong ipinahayag (sa pamamagitan ng pag-drop ng decimal point) sa 4 na numero, halimbawa, √7"45.6. Sa pagpuna na ang unang digit ng ugat ay 2 sampu, makikita natin para sa bilang 745, gaya ng ipinaliwanag na ngayon, ang mga digit na 2729 (napapansin lang natin ang numerong ito gamit ang ating daliri, ngunit huwag itong isulat.) Pagkatapos ay lumipat tayo mula sa numerong ito pakanan hanggang sa kanang bahagi ng talahanayan (sa likod ng ang huling naka-bold na linya) natutugunan natin ang patayong column na minarkahan sa itaas (at ibaba) 4 ang ika-digit ng ibinigay na numero, ibig sabihin, ang numero 6, at hanapin ang numero 1 doon (sa isip) sa dating nahanap na numero 2729; nakukuha namin ang 2730. Isinulat namin ang numerong ito at nilagyan ito ng kuwit sa tamang lugar: 27.30.
Sa ganitong paraan makikita natin, halimbawa:
√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107, atbp.
Kung ang radikal na numero ay ipinahayag lamang ng isa o dalawang digit, maaari nating ipagpalagay na ang mga digit na ito ay sinusundan ng isa o dalawang zero, at pagkatapos ay magpatuloy tulad ng ipinaliwanag para sa isang tatlong-digit na numero. Halimbawa, √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606, atbp.
Sa wakas, kung ang radikal na numero ay ipinahayag ng higit sa 4 na mga numero, pagkatapos ay kukunin lamang namin ang unang 4 sa kanila, at itapon ang natitira, at upang mabawasan ang error, kung ang una sa mga itinapon na mga numero ay 5 o higit sa 5, pagkatapos ay tataas tayo ng l ang ikaapat sa mga natitirang digit. Kaya:
√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; at iba pa.
Magkomento. Ang mga talahanayan ay nagpapahiwatig ng tinatayang square root, kung minsan ay may kakulangan, minsan ay may labis, lalo na ang isa sa mga tinatayang ugat na ito na mas malapit sa eksaktong ugat.
179. Pagkuha ng mga square roots mula sa mga ordinaryong fraction. Ang eksaktong square root ng isang irreducible fraction ay maaari lamang makuha kapag ang parehong termino ng fraction ay eksaktong parisukat. Sa kasong ito, sapat na upang kunin ang ugat ng numerator at denominator nang hiwalay, halimbawa:
Ang tinatayang square root ng isang ordinaryong fraction na may ilang desimal na katumpakan ay pinakamadaling mahanap kung una nating babalikan karaniwang fraction hanggang decimal, kinakalkula sa fraction na ito ang bilang ng mga decimal na lugar pagkatapos ng decimal point na magiging dalawang beses mas maraming numero decimal na lugar sa gustong ugat.
Gayunpaman, maaari mong gawin ito sa ibang paraan. Ipaliwanag natin ito sa sumusunod na halimbawa:
Maghanap ng tinatayang √ 5 / 24
Gawin nating eksaktong parisukat ang denominator. Upang gawin ito, sapat na upang i-multiply ang parehong termino ng fraction sa denominator 24; ngunit sa halimbawang ito maaari mong gawin ito nang iba. I-decompose natin ang 24 sa prime factor: 24 = 2 2 2 3. Mula sa decomposition na ito ay malinaw na kung ang 24 ay i-multiply sa 2 at isa pang 3, kung gayon ang bawat prime factor ay mauulit sa produkto kahit na numero beses, at samakatuwid ang denominator ay nagiging parisukat:
Nananatiling kalkulahin ang √30 nang may katumpakan at hatiin ang resulta sa 12. Dapat tandaan na ang paghahati sa 12 ay magbabawas din sa fraction na nagpapahiwatig ng antas ng katumpakan. Kaya, kung mahahanap natin ang √30 na may katumpakan na 1/10 at hatiin ang resulta sa 12, makakakuha tayo ng tinatayang ugat ng fraction na 5/24 na may katumpakan na 1/120 (ibig sabihin, 54/120 at 55/120)
Ikatlong Kabanata.
Graph ng isang functionx = √y .
180. Inverse function. Hayaang magbigay ng ilang equation na tumutukoy sa bilang isang katangian ng X , halimbawa, tulad nito: y = x 2 . Masasabi nating hindi lamang ito ang tumutukoy sa bilang isang katangian ng X , ngunit din, sa kabaligtaran, ay tumutukoy X bilang isang katangian ng sa , kahit na sa isang implicit na paraan. Upang gawing tahasan ang pagpapaandar na ito, kailangan nating lutasin ang equation na ito para sa X , pagkuha sa para sa isang kilalang numero; Kaya, mula sa equation na kinuha namin nakita namin: y = x 2 .
Ang algebraic expression na nakuha para sa x pagkatapos malutas ang equation na tumutukoy sa y bilang isang function ng x ay tinatawag na inverse function ng isa na tumutukoy sa y.
Kaya ang function x = √y baligtad na pag-andar y = x 2 . Kung, gaya ng nakaugalian, tinutukoy namin ang malayang variable X , at ang umaasa sa , kung gayon ang inverse function na nakuha ngayon ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: y = √ x . Kaya, upang makuha ang kabaligtaran na pag-andar ng isang ibinigay (direktang) isa, mula sa equation na tumutukoy dito function na ito, output X depende sa y at sa nagresultang expression palitan y sa x , A X sa y .
181. Graph ng isang function y = √ x . Ang function na ito ay hindi posible sa isang negatibong halaga X , ngunit maaari itong kalkulahin (na may anumang katumpakan) para sa anumang positibong halaga x , at para sa bawat ganoong halaga ang function ay tumatanggap ng dalawa iba't ibang kahulugan na may parehong ganap na halaga, ngunit may magkasalungat na mga palatandaan. Kung pamilyar ka √ Kung tinutukoy lamang natin ang halaga ng aritmetika ng square root, kung gayon ang dalawang halaga ng function na ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: y = ± √x Upang mag-plot ng graph ng function na ito, kailangan mo munang mag-compile ng table ng mga value nito. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ang talahanayang ito ay mula sa talahanayan ng mga direktang halaga ng function:
y = x 2 .
|
x |
||||||||||||
|
y |
kung ang mga halaga sa kunin bilang mga halaga X , at kabaliktaran:
y = ± √x
Sa pamamagitan ng paglalagay ng lahat ng mga halagang ito sa pagguhit, nakukuha namin ang sumusunod na graph.
Sa parehong pagguhit, inilarawan namin (na may putol na linya) ang graph ng direktang pag-andar y = x 2 . Ihambing natin ang dalawang graph na ito sa isa't isa.
182. Ang relasyon sa pagitan ng mga graph ng direkta at kabaligtaran na mga function. Upang mag-compile ng isang talahanayan ng mga halaga ng inverse function y = ± √x kinuha namin para sa X ang mga numerong iyon na nasa talahanayan ng direktang pag-andar y = x 2 nagsilbing mga halaga para sa sa , at para sa sa kinuha ang mga numerong iyon; na sa talahanayang ito ay ang mga halaga para sa x . Ito ay sumusunod mula dito na ang parehong mga graph ay pareho, tanging ang graph ng direktang pag-andar ay matatagpuan na may kaugnayan sa axis sa - kung paano matatagpuan ang graph ng inverse function na may kaugnayan sa axis X - ov. Bilang resulta, kung ibaluktot natin ang pagguhit sa isang tuwid na linya OA paghahati-hati ng tamang anggulo xOy , upang ang bahagi ng drawing na naglalaman ng semi-axis OU , nahulog sa bahaging naglalaman ng axle shaft Oh , Iyon OU katugma sa Oh , lahat ng dibisyon OU ay magkakasabay sa mga dibisyon Oh , at mga parabola point y = x 2 ay ihanay sa mga kaukulang punto sa graph y = ± √x . Halimbawa, mga puntos M At N , na ang ordinate 4 , at ang abscissas 2 At- 2 , ay magkakasabay sa mga puntos M" At N" , kung saan ang abscissa 4 , at ang mga ordinate 2 At- 2 . Kung ang mga puntong ito ay nag-tutugma, nangangahulugan ito na ang mga tuwid na linya MM" At NN" patayo sa OA at hatiin ang tuwid na linyang ito sa kalahati. Ang parehong ay maaaring sabihin para sa lahat ng iba pang kaukulang mga punto sa parehong mga graph.
Kaya, ang graph ng inverse function ay dapat na kapareho ng graph ng direktang function, ngunit ang mga graph na ito ay matatagpuan sa iba't ibang paraan, katulad ng simetriko sa bawat isa na may kaugnayan sa bisector ng anggulo xOy . Masasabi nating ang graph ng inverse function ay isang pagmuni-muni (tulad ng sa salamin) ng graph ng direktang function na may kaugnayan sa bisector ng anggulo xOy .
Mas mabuti ang isang engineering - isa na may isang pindutan na may root sign: "√". Karaniwan, upang kunin ang ugat, sapat na upang i-type ang numero mismo, at pagkatapos ay pindutin ang pindutan: "√".
Sa pinaka-modernong mga mobile phone Mayroong isang "calculator" na application na may isang root extraction function. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng ugat ng isang numero gamit ang isang calculator ng telepono ay katulad ng nasa itaas.
Halimbawa.
Hanapin mula sa 2.
I-on ang calculator (kung naka-off ito) at sunud-sunod na pindutin ang mga button na may larawan ng dalawa at root (“2” “√”). Bilang isang patakaran, hindi mo kailangang pindutin ang "=" key. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang numero tulad ng 1.4142 (ang bilang ng mga digit at "pag-ikot" ay depende sa lalim ng bit at mga setting ng calculator).
Tandaan: Kapag sinusubukang hanapin ang ugat, kadalasang nagbibigay ng error ang calculator.
Kung mayroon kang access sa isang computer, kung gayon ang paghahanap ng ugat ng isang numero ay napakadali.
1. Maaari mong gamitin ang Calculator application, na magagamit sa halos anumang computer. Para sa Windows XP, maaaring ilunsad ang program na ito tulad ng sumusunod:
"Start" - "All Programs" - "Accessories" - "Calculator".
Mas mainam na itakda ang view sa "normal". Sa pamamagitan ng paraan, hindi tulad ng isang tunay na calculator, ang pindutan para sa pagkuha ng ugat ay minarkahan ng "sqrt" at hindi "√".
Kung hindi ka makapunta sa calculator gamit ang ipinahiwatig na paraan, maaari mong patakbuhin ang karaniwang calculator "manual":
"Start" - "Run" - "calc".
2. Upang mahanap ang ugat ng isang numero, maaari mo ring gamitin ang ilang program na naka-install sa iyong computer. Bilang karagdagan, ang programa ay may sariling built-in na calculator.
Halimbawa, para sa MS Excel application, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:
Ilunsad ang MS Excel.
Isinulat namin sa anumang cell ang numero kung saan kailangan naming kunin ang ugat.
Ilipat ang cell pointer sa ibang lokasyon
Pindutin ang pindutan ng pagpili ng function (fx)
Piliin ang function na "ROOT".
Tinukoy namin ang isang cell na may numero bilang argumento sa function
I-click ang "OK" o "Enter"
Ang bentahe ng pamamaraang ito ay na ngayon ay sapat na upang ipasok ang anumang halaga sa cell na may isang numero, tulad ng sa function, .
Tandaan.
Mayroong ilang iba pang, mas kakaibang paraan upang mahanap ang ugat ng isang numero. Halimbawa, sa isang "sulok", gamit ang isang slide rule o mga talahanayan ng Bradis. Gayunpaman, ang mga pamamaraang ito ay hindi tinalakay sa artikulong ito dahil sa kanilang pagiging kumplikado at praktikal na kawalan ng silbi.
Video sa paksa
Mga Pinagmulan:
- paano hanapin ang ugat ng isang numero
Minsan may mga sitwasyon kung kailan kailangan mong magsagawa ng ilang uri ng mga kalkulasyon sa matematika, kabilang ang pagkuha ng mga square root at sa mas malaking lawak mula sa numero. Ang "n" na ugat ng "a" ay ang numero nth degree na ang bilang na "a".
Mga tagubilin
Upang mahanap ang ugat na "n" ng , gawin ang sumusunod.
Sa iyong computer, i-click ang "Start" - "All Programs" - "Accessories". Pagkatapos ay pumunta sa subsection na "Serbisyo" at piliin ang "Calculator". Magagawa mo ito nang manu-mano: I-click ang Start, i-type ang "calk" sa Run box, at pindutin ang Enter. Magbubukas. Upang kunin ang square root ng isang numero, ilagay ito sa calculator at pindutin ang button na may label na "sqrt". Kukunin ng calculator ang pangalawang degree na ugat, na tinatawag na square root, mula sa inilagay na numero.
Upang kunin ang isang ugat na ang antas ay mas mataas kaysa sa pangalawa, kailangan mong gumamit ng isa pang uri ng calculator. Upang gawin ito, sa interface ng calculator, i-click ang button na "View" at piliin ang linyang "Engineering" o "Scientific" mula sa menu. Ang ganitong uri ng calculator ay may kinakailangan upang makalkula ang ugat nth degree function.
Upang kunin ang ugat ng ikatlong antas (), sa isang "engineering" calculator, i-type ang tamang numero at pindutin ang "3√" na buton. Upang makakuha ng ugat na ang degree ay mas mataas sa 3, ipasok ang nais na numero, pindutin ang pindutan na may icon na "y√x" at pagkatapos ay ilagay ang numero - ang exponent. Pagkatapos nito, pindutin ang equal sign (ang “=” button) at makukuha mo ang ninanais na ugat.
Kung ang iyong calculator ay walang function na "y√x", ang mga sumusunod.
Upang kunin ang cube root, ipasok ang radikal na expression, pagkatapos ay maglagay ng check mark sa check box, na matatagpuan sa tabi ng inskripsyon na "Inv". Sa pagkilos na ito, ibabalik mo ang mga pag-andar ng mga pindutan ng calculator, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pag-click sa pindutan ng kubo, kukunin mo ang ugat ng kubo. Sa button na ikaw
