خصائص الهرم الثلاثي. الخصائص الأساسية للهرم العادي

سيساعد هذا الفيديو التعليمي المستخدمين في الحصول على فكرة عن موضوع الهرم. الهرم الصحيح . في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفاً. دعونا نفكر في ماهية الهرم العادي وما هي خصائصه. ثم نثبت نظرية السطح الجانبي الهرم المنتظم.

في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفاً.

النظر في المضلع أ1 أ2...نوالتي تقع في المستوى α والنقطة ص، والتي لا تقع في المستوى α (الشكل 1). دعونا نربط النقاط صمع القمم أ1، أ2، أ3, … ن. نحن نحصل نمثلثات: أ 1 أ 2 ر, أ2 أ3 روما إلى ذلك وهلم جرا.

تعريف. متعدد السطوح را 1 أ 2 ...أ ن، صنع من ن-مربع أ1 أ2...نو نمثلثات را 1 أ 2, را 2 أ 3 …را ن ن-1 يسمى ن-هرم الفحم. أرز. 1.

أرز. 1

النظر في الهرم الرباعي بابكد(الصورة 2).

ر- قمة الهرم .

ا ب ت ث- قاعدة الهرم .

را- ضلع جانبي.

أ.ب- ضلع القاعدة.

من وجهة ردعونا نسقط العمودي RNإلى الطائرة الأساسية ا ب ت ث. العمودي المرسوم هو ارتفاع الهرم.

أرز. 2

يتكون السطح الكامل للهرم من السطح الجانبي، أي مساحة جميع الوجوه الجانبية، ومساحة القاعدة:

S كامل = الجانب S + S الرئيسي

يسمى الهرم صحيحاً إذا:

• قاعدته مضلع منتظم.
• الجزء الذي يربط قمة الهرم بمركز القاعدة هو ارتفاعه.

الشرح باستخدام مثال الهرم الرباعي المنتظم

فكر في هرم رباعي الزوايا منتظم بابكد(تين. 3).

ر- قمة الهرم . قاعدة الهرم ا ب ت ث- شكل رباعي منتظم، أي مربع. نقطة عن، نقطة تقاطع الأقطار هي مركز المربع. وسائل، ريال عمانيهو ارتفاع الهرم.

أرز. 3

توضيح: في الصحيحين نفي المثلث، يتطابق مركز الدائرة المنقوشة مع مركز الدائرة المحيطة. ويسمى هذا المركز مركز المضلع. في بعض الأحيان يقولون أن الرأس يتم إسقاطه في المركز.

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothemويتم تعيينه ح أ.

1. كل شيء الأضلاع الجانبيةالهرم المنتظم متساويان؛

2. وجوه جانبيةهما مثلثان متساوي الساقين متطابقان.

سنقدم دليلاً على هذه الخصائص باستخدام مثال الهرم الرباعي المنتظم.

منح: بابكد- هرم رباعي منتظم،

ا ب ت ث- مربع،

ريال عماني- ارتفاع الهرم .

يثبت:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP انظر الشكل. 4.

أرز. 4

دليل.

ريال عماني- ارتفاع الهرم . وهذا هو، على التوالي ريال عمانيعمودي على الطائرة اي بي سي، وبالتالي مباشرة هيئة الأوراق المالية، فو، SOو يفعلالكذب فيه. هكذا مثلثات روا، روف، روس، رود- مستطيلي.

النظر في مربع ا ب ت ث. من خصائص المربع يتبع ذلك AO = VO = CO = يفعل.

ثم المثلثات القائمة روا، روف، روس، رودرجل ريال عماني- العام والساقين هيئة الأوراق المالية، فو، SOو يفعلمتساويان، مما يعني أن هذين المثلثين متساويان في الجانبين. من مساواة المثلثات يتبع مساواة الأجزاء، RA = PB = RS = PD.لقد تم إثبات النقطة 1.

شرائح أ.بو شمسمتساويان لأنهما ضلعان لنفس المربع، RA = PB = RS. هكذا مثلثات أفرو فيسر -متساوي الساقين ومتساويان من ثلاثة جوانب.

وبطريقة مماثلة نجد أن المثلثات أب، VCP، CDP، DAPمتساوي الساقين ومتساويان، كما هو مطلوب إثباته في الفقرة 2.

مساحة السطح الجانبية للهرم العادي تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والارتفاع:

لإثبات ذلك، دعونا نختار هرمًا ثلاثيًا منتظمًا.

منح: RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم .

أ ب = ق = أس.

ريال عماني- ارتفاع.

يثبت: . انظر الشكل. 5.

أرز. 5

دليل.

RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم . إنه أ.ب= أس = قبل الميلاد. يترك عن- مركز المثلث اي بي سي، ثم ريال عمانيهو ارتفاع الهرم. وفي قاعدة الهرم يوجد مثلث متساوي الأضلاع اي بي سي. لاحظ أن .

مثلثات راف، آر في إس، آر إس إيه- متساوي مثلثات متساوية الساقين(بالملكية). ش الهرم الثلاثيثلاثة وجوه جانبية: راف، آر في إس، آر إس إيه. وهذا يعني أن مساحة السطح الجانبي للهرم هي:

الجانب S = 3S RAW

تم إثبات النظرية.

نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة هرم رباعي منتظم 3 م، وارتفاع الهرم 4 م. أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.

منح: هرم رباعي منتظم ا ب ت ث,

ا ب ت ث- مربع،

ص= 3 م،

ريال عماني- ارتفاع الهرم،

ريال عماني= 4 م.

يجد: الجانب S. انظر الشكل. 6.

أرز. 6

حل.

وفقا للنظرية المثبتة ، .

دعونا أولا العثور على جانب القاعدة أ.ب. نحن نعلم أن نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم هو 3 م.

ثم، م.

أوجد محيط المربع ا ب ت ثمع جانب 6 م:

النظر في مثلث بي سي دي. يترك م- منتصف الجانب العاصمة. لأن عن- وسط دينار بحريني، الذي - التي (م).

مثلث DPC- متساوي الساقين. م- وسط العاصمة. إنه، آر إم- الوسيط، وبالتالي الارتفاع في المثلث DPC. ثم آر إم- ذروة الهرم .

ريال عماني- ارتفاع الهرم . ثم، على التوالي ريال عمانيعمودي على الطائرة اي بي سي، وبالتالي مباشرة أوم، الكذب فيه. دعونا نجد apothem آر إممن المثلث الأيمن ذاكرة للقراءة فقط.

الآن يمكننا أن نجد السطح الجانبيالأهرامات:

إجابة: 60 م2.

نصف قطر الدائرة المحيطة بقاعدة الهرم الثلاثي المنتظم يساوي م، ومساحة سطحها الجانبية 18 م2. العثور على طول apothem.

منح: ABCP- الهرم الثلاثي المنتظم،

أب = ق = سا،

ر= م،

الجانب S = 18 م2.

يجد: . انظر الشكل. 7.

أرز. 7

حل.

في المثلث الأيمن اي بي سييتم إعطاء نصف قطر الدائرة المقيدة. دعونا نجد الجانب أ.بهذا المثلث باستخدام نظرية الجيب.

بمعرفة ضلع المثلث المنتظم (م)، نجد محيطه.

بواسطة نظرية مساحة السطح الجانبية للهرم العادي، حيث ح أ- ذروة الهرم . ثم:

إجابة: 4 م.

لذا، نظرنا إلى ماهية الهرم، وما هو الهرم العادي، وأثبتنا نظرية السطح الجانبي للهرم العادي. في الدرس القادم سوف نتعرف على الهرم المقطوع.

فهرس

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية(المستويات الأساسية والشخصية) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مراجعة. وإضافية - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.
2. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات التعليمية/ شاريجين آي إف - م: بوستارد، 1999. - 208 ص: مريض.
3. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات /E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. - م: حبارى، 008. - 233 ص: مريض.

1. بوابة الإنترنت "Yaklass" ()
2. بوابة الإنترنت "مهرجان الأفكار التربوية "الأول من سبتمبر" ()
3. بوابة الإنترنت "Slideshare.net" ()

العمل في المنزل

1. هل يمكن للمضلع المنتظم أن يكون قاعدة لهرم غير منتظم؟
2. أثبت أن الحواف المنفصلة للهرم العادي متعامدة.
3. أوجد قيمة الزاوية ثنائية السطوح التي تقع على جانب قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم إذا كان ارتفاع الهرم يساوي جانب قاعدته.
4. RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم . أنشئ الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الهرم.

مقدمة

عندما بدأنا بدراسة الأشكال المجسمة، تطرقنا إلى موضوع “الهرم”. لقد أحببنا هذا الموضوع لأن الهرم يستخدم كثيرًا في الهندسة المعمارية. ومنذ لنا مهنة المستقبلمهندسة معمارية، مستوحاة من هذه الشخصية، نعتقد أنها تستطيع أن تدفعنا إلى مشاريع عظيمة.

قوة الهياكل المعمارية هي أهم جودتها. ربط القوة أولاً بالمواد التي تم إنشاؤها منها ، وثانيًا بميزات حلول التصميم ، يتبين أن قوة الهيكل ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالشكل الهندسي الأساسي له.

بعبارة أخرى، نحن نتحدث عنحول ذلك الشكل الهندسي الذي يمكن اعتباره نموذجاً للشكل المعماري المقابل. وتبين أن الشكل الهندسي يحدد أيضًا قوة الهيكل المعماري.

منذ العصور القديمة، تعتبر الأهرامات المصرية الهياكل المعمارية الأكثر دواما. كما تعلمون، لديهم شكل أهرامات رباعية الزوايا منتظمة.

هذا الشكل الهندسي هو الذي يوفر أكبر قدر من الاستقرار بسبب مساحة كبيرةأسباب. ومن ناحية أخرى، يضمن الشكل الهرمي أن الكتلة تتناقص مع زيادة الارتفاع عن سطح الأرض. هاتان الخاصيتان هما اللتان تجعلان الهرم مستقرًا، وبالتالي قويًا في ظل ظروف الجاذبية.

الهدف من المشروع: تعلم شيئًا جديدًا عن الأهرامات، وقم بتعميق معرفتك والعثور على التطبيق العملي.

لتحقيق هذا الهدف كان من الضروري حل المهام التالية:

· التعرف على معلومات تاريخية عن الهرم

· اعتبار الهرم شكلاً هندسيًا

· البحث عن تطبيق في الحياة والعمارة

· أوجد أوجه التشابه والاختلاف بين الأهرامات الموجودة فيها اجزاء مختلفةسفيتا

الجزء النظري

معلومات تاريخية

تم وضع بداية هندسة الهرم في مصر القديمة وبابل، ولكن تم تطويرها بنشاط في اليونان القديمة. أول من حدد حجم الهرم كان ديموقريطوس، وأثبت ذلك إيودوكسوس الكنيدوسي. قام عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس بتنظيم المعرفة حول الهرم في المجلد الثاني عشر من كتابه "العناصر"، كما استمد التعريف الأول للهرم: شكل صلب تحده مستويات تتقارب من مستوى واحد إلى نقطة واحدة.

مقابر الفراعنة المصريين. وأكبرها - أهرامات خوفو وخفرع وميكرين بالجيزة - كانت تعتبر إحدى عجائب الدنيا السبع في العصور القديمة. كان بناء الهرم، الذي رأى فيه الإغريق والرومان بالفعل نصبًا تذكاريًا للفخر غير المسبوق للملوك والقسوة التي حكمت على شعب مصر بأكمله ببناء لا معنى له، أهم عمل عبادة وكان من المفترض أن يعبر، على ما يبدو، عن الهوية الباطنية للبلاد وحاكمها. عمل سكان البلاد على بناء المقبرة خلال الجزء من العام الخالي من الأعمال الزراعية. يشهد عدد من النصوص على الاهتمام والرعاية التي أولاها الملوك أنفسهم (وإن كان في وقت لاحق) لبناء مقبرتهم وبناةها. ومن المعروف أيضًا عن تكريمات العبادة الخاصة التي مُنحت للهرم نفسه.

مفاهيم أساسية

هرميسمى متعدد السطوح قاعدته مضلع، والأوجه المتبقية هي مثلثات لها قمة مشتركة.

أبوثيم- ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من قمته؛

وجوه جانبية- اجتماع المثلثات في قمة الرأس؛

الأضلاع الجانبية- الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية؛

قمة الهرم- نقطة تربط الأضلاع الجانبية ولا تقع في مستوى القاعدة؛

ارتفاع- قطعة عمودية تمتد من قمة الهرم إلى مستوى قاعدته (نهايتي هذا القطعة هي قمة الهرم وقاعدة المتعامد)؛

مقطع قطري من الهرم- قسم الهرم الذي يمر عبر الجزء العلوي وقطري القاعدة؛

قاعدة- المضلع الذي لا ينتمي إلى قمة الهرم.

الخصائص الأساسية للهرم العادي

الحواف الجانبية والأوجه الجانبية والقياسات متساوية على التوالي.

الزوايا ثنائية السطوح عند القاعدة متساوية.

الزوايا ثنائية السطوح عند الحواف الجانبية متساوية.

كل نقطة ارتفاع تكون على مسافة متساوية من جميع رؤوس القاعدة.

كل نقطة ارتفاع متساوية البعد عن جميع الوجوه الجانبية.

الصيغ الهرمية الأساسية

مساحة السطح الجانبي والإجمالي للهرم.

مساحة السطح الجانبي للهرم (الكامل والمقطع) هي مجموع مساحات جميع أوجهه الجانبية، ومساحة السطح الكلية هي مجموع مساحات جميع وجوهه.

النظرية: مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة وقياس الهرم.

ص- محيط القاعدة؛

ح- أبوثيم.

مساحة الأسطح الجانبية والكاملة للهرم المقطوع.

ص 1، ص 2 - محيط القاعدة؛

ح- أبوثيم.

ر- المساحة الإجمالية للهرم المقطوع المنتظم؛

الجانب S- مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع المنتظم؛

س 1 + س 2- منطقة قاعدة

حجم الهرم

استمارة يتم استخدام حجم العلا للأهرامات من أي نوع.

ح- ارتفاع الهرم .

زوايا الهرم

تسمى الزوايا التي يتكون منها الوجه الجانبي وقاعدة الهرم زوايا ثنائية السطوح عند قاعدة الهرم.

تتكون الزاوية ثنائية السطوح من عمودين متعامدين.

لتحديد هذه الزاوية، غالبًا ما تحتاج إلى استخدام النظرية المتعامدة الثلاثة.

تسمى الزوايا التي تشكلها الحافة الجانبية وإسقاطها على المستوى الأساسي الزوايا بين الحافة الجانبية ومستوى القاعدة.

تسمى الزاوية التي تتكون من حافتين جانبيتين زاوية ثنائية السطوح عند الحافة الجانبية للهرم.

تسمى الزاوية التي تتكون من حافتين جانبيتين لوجه واحد من الهرم الزاوية في أعلى الهرم.

أقسام الهرم

سطح الهرم هو سطح متعدد السطوح. كل وجه من وجوهه عبارة عن مستوى، وبالتالي فإن قسم الهرم المحدد بواسطة مستوى القطع هو خط متقطع يتكون من خطوط مستقيمة فردية.

قسم قطري

يُطلق على جزء الهرم الذي يمر بمستوى يمر عبر حافتين جانبيتين لا تقعان على نفس الوجه قسم قطريالأهرامات.

المقاطع الموازية

نظرية:

إذا كان الهرم يتقاطع مع مستوى موازٍ للقاعدة، فإن الحواف الجانبية وارتفاعات الهرم تقسم بهذا المستوى إلى أجزاء متناسبة؛

قسم هذا المستوى عبارة عن مضلع يشبه القاعدة؛

ترتبط مساحة المقطع والقاعدة ببعضها البعض كمربعات المسافة بينهما من الرأس.

أنواع الهرم

الهرم الصحيح- هرم قاعدته مضلع منتظم، وتبرز قمة الهرم في وسط القاعدة.

للهرم العادي:

1. الأضلاع الجانبية متساوية

2. الوجوه الجانبية متساوية

3. القياسات متساوية

4. الزوايا ثنائية السطوح عند القاعدة متساوية

5. الزوايا ثنائية السطوح عند الحواف الجانبية متساوية

6. كل نقطة ارتفاع متساوية البعد عن جميع رؤوس القاعدة

7. تكون كل نقطة ارتفاع على مسافة متساوية من جميع الحواف الجانبية

الهرم المقطوع- جزء من الهرم محصور بين قاعدته ومستوى القطع الموازي للقاعدة.

تسمى القاعدة والجزء المقابل من الهرم المقطوع قواعد الهرم المقطوع.

يسمى العمود العمودي المرسوم من أي نقطة من قاعدة على مستوى قاعدة أخرى ارتفاع الهرم المقطوع.

مهام

رقم 1. على اليمين الهرم الرباعيالنقطة O هي مركز القاعدة، SO=8 سم، BD=30 سم أوجد الحافة الجانبية SA.

حل المشاكل

رقم 1. في الهرم المنتظم، جميع الوجوه والحواف متساوية.

خذ بعين الاعتبار OSB: OSB عبارة عن مستطيل مستطيل، لأنه.

SB 2 = SO 2 + OB 2

س2=64+225=289

الهرم في العمارة

الهرم عبارة عن بناء ضخم على شكل هرم هندسي عادي منتظم، تتقارب فيه الجوانب عند نقطة واحدة. وفقا لغرضها الوظيفي، كانت الأهرامات في العصور القديمة أماكن للدفن أو العبادة. قاعدة الهرم يمكن أن تكون مثلثة، أو رباعية الزوايا، أو على شكل مضلع مع عدد عشوائي من القمم، ولكن النسخة الأكثر شيوعا هي القاعدة الرباعية الزوايا.

هناك عدد كبير من الأهرامات التي بنيت من قبل ثقافات مختلفة. العالم القديمبشكل رئيسي كمعابد أو آثار. الأهرامات الكبيرة تشمل الأهرامات المصرية.

في جميع أنحاء الأرض يمكنك رؤية الهياكل المعمارية على شكل أهرامات. تذكرنا المباني الهرمية بالعصور القديمة وتبدو جميلة جدًا.

الأهرامات المصريةأعظم الآثار المعمارية مصر القديمةومن بينها أحد "عجائب الدنيا السبع" هو هرم خوفو. يصل ارتفاعه من القدم إلى الأعلى إلى 137.3 م، وقبل أن يفقد القمة كان ارتفاعه 146.7 م.

تم بناء مبنى محطة الراديو في عاصمة سلوفاكيا، الذي يشبه الهرم المقلوب، في عام 1983. بالإضافة إلى المكاتب ومباني الخدمة، يوجد داخل المجلد مساحة واسعة إلى حد ما قاعة الحفلات الموسيقية، التي تمتلك أحد أكبر الأعضاء في سلوفاكيا.

متحف اللوفر، "الصامت والمهيب، مثل الهرم"، شهد العديد من التغييرات على مر القرون قبل أن يصبح أعظم متحفسلام. لقد ولدت كحصن، أقامه فيليب أوغسطس عام 1190، وسرعان ما أصبح مقرًا ملكيًا. وفي عام 1793 أصبح القصر متحفًا. يتم إثراء المجموعات من خلال الوصايا أو المشتريات.

تعريف. حافة جانبية- هذا مثلث تقع فيه إحدى زواياه في أعلى الهرم، والضلع المقابل لها يتطابق مع جانب القاعدة (المضلع).

تعريف. الأضلاع الجانبية- هذه هي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. الهرم له عدد من الحواف مثل زوايا المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرم- وهذا عمودي ينزل من أعلى الهرم إلى قاعدة الهرم.

تعريف. أبوثيم- وهذا عمودي على الوجه الجانبي للهرم، وينزل من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطري- هذا مقطع من الهرم يمر بمستوى يمر بأعلى الهرم وقطر القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيحهو هرم قاعدته مضلعة منتظمة، وينحدر ارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

معادلة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فيمكن رسم دائرة حول قاعدة الهرم، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. وأيضًا، يمر عمودي من الأعلى عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة بنفس الزوايا.

تكون الأضلاع الجانبية متساوية عندما تتشكل مع مستوى القاعدة زوايا متساويةأو إذا كان من الممكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية مائلة إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فيمكن إدراج دائرة في قاعدة الهرم، ويتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في مركزه.

إذا كانت الأوجه الجانبية مائلة على مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فإن قياسات الأوجه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. أن تكون قمة الهرم متساوية البعد عن جميع أركان القاعدة.

2. جميع الحواف الجانبية متساوية.

3. جميع الأضلاع الجانبية مائلة بزوايا متساوية للقاعدة.

4. قياسات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية السطوح (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة المقيدة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكنك وضع كرة في الهرم. سيكون مركز الكرة المنقوشة هو نقطة تقاطع المنصفات المنبثقة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحصورة مع مركز الكرة المحصورة، فإن مجموع زوايا المستوى عند الرأس يساوي π أو العكس، زاوية واحدة تساوي π/n، حيث n هو الرقم الزوايا عند قاعدة الهرم .

العلاقة بين الهرم والكرة

يمكن وصف الكرة حول الهرم عندما يوجد في قاعدة الهرم متعدد الوجوه يمكن وصف الدائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة هو نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط منتصف الحواف الجانبية للهرم.

من الممكن دائمًا وصف كرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن إدراج كرة في الهرم إذا تقاطعت المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). هذه النقطة ستكون مركز الكرة.

العلاقة بين الهرم والمخروط

ويقال إن المخروط منقوش في الهرم إذا تطابقت رؤوسه، وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن كتابة المخروط في الهرم إذا كانت قياسات الهرم متساوية مع بعضها البعض.

ويقال إن المخروط محصور حول الهرم إذا تطابقت رءوسه وكانت قاعدة المخروط محصورة حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية مع بعضها البعض.

العلاقة بين الهرم والأسطوانة

يسمى الهرم منقوشا في اسطوانة إذا كان الجزء العلوي من الهرم يقع على إحدى قواعد الاسطوانة، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الاسطوانة.

يمكن وصف الأسطوانة حول الهرم إذا أمكن وصف الدائرة حول قاعدة الهرم.

رباعي الأسطح له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف، حيث لا تحتوي أي حافتين على رؤوس مشتركة ولكن لا تتلامسان.

تتكون كل قمة من ثلاثة وجوه وحواف تتشكل زاوية ثلاثية.

يسمى الجزء الذي يربط قمة رباعي الاسطح بمركز الوجه المقابل متوسط ​​رباعي الاسطح(GM).

بيميديانيسمى الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة التي لا تمس (KL).

تتقاطع جميع ثنائيات ومتوسطات رباعي السطوح عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة، يتم تقسيم البيميديات إلى نصفين، ويتم تقسيم الوسيطات بنسبة 3:1 بدءًا من الأعلى.

تعريف. الهرم ذو الزاوية الحادة- هرم يكون فيه الارتفاع أكثر من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرج- هرم يكون قياسه أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. رباعي الاسطح منتظم- رباعي السطوح تكون فيه الوجوه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. وهو أحد المضلعات الخمسة المنتظمة. في رباعي السطوح المنتظم، تكون جميع الزوايا ثنائية السطوح (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.

تعريف. رباعي الاسطح مستطيلهو رباعي وجوه ذو زاوية قائمة بين ثلاث حواف عند القمة (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مثلثة مستطيلةوالحواف هي المثلثات الصحيحة، والقاعدة مثلث عشوائي. وقياس أي وجه يساوي نصف ضلع القاعدة التي يقع عليها الارتفاع.

تعريف. رباعي السطوح متساوي السطوحيسمى رباعي السطوح أضلاعه متساوية مع بعضها البعض، وقاعدته مثلث منتظم. مثل هذا رباعي السطوح له وجوه مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. رباعي السطوح متعامد المركزيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (المتعامدة) التي تنخفض من الأعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. الهرم النجمييسمى المجسم متعدد السطوح الذي قاعدته نجم .

هنا يمكنك العثور على معلومات أساسية حول الأهرامات والصيغ والمفاهيم ذات الصلة. يتم دراستهم جميعًا مع مدرس رياضيات استعدادًا لامتحان الدولة الموحدة.

لنتأمل هنا المستوى، المضلع ، الكذب فيه ونقطة S، عدم الكذب فيه. لنقم بتوصيل S بجميع رؤوس المضلع. يسمى متعدد السطوح الناتج بالهرم. تسمى الأجزاء الأضلاع الجانبية. ويسمى المضلع القاعدة، والنقطة S هي قمة الهرم. اعتمادًا على الرقم n، يسمى الهرم مثلثيًا (n=3)، ورباعي الزوايا (n=4)، وخماسي (n=5)، وهكذا. عنوان بديلالهرم الثلاثي - رباعي الاسطح. ارتفاع الهرم هو العمودي النازل من قمته إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم منتظم إذا مضلع منتظم، وقاعدة ارتفاع الهرم (قاعدة المتعامد) هي مركزه.

تعليق المعلم:
لا تخلط بين مفهومي "الهرم العادي" و"رباعي السطوح المنتظم". في الهرم العادي، ليس بالضرورة أن تكون الحواف الجانبية متساوية مع حواف القاعدة، لكن في رباعي الأسطح العادي، تكون جميع الحواف الستة متساوية. هذا هو تعريفه. من السهل إثبات أن المساواة تعني تطابق المركز P للمضلع مع ارتفاع قاعدته، لذا فإن رباعي السطوح المنتظم هو هرم منتظم.

ما هو apothem؟
ذروة الهرم هي ارتفاع وجهه الجانبي. إذا كان الهرم منتظما فإن جميع تماثيله متساوية. والعكس ليس صحيحا.

مدرس رياضيات عن مصطلحاته: 80% من العمل مع الأهرامات يتم بناؤه من خلال نوعين من المثلثات:
1) تحتوي على apothem SK والارتفاع SP
2) تحتوي على الحافة الجانبية SA وإسقاطها PA

لتبسيط الإشارات إلى هذه المثلثات، يكون مدرس الرياضيات أكثر ملاءمة للاتصال بأولهم apothemal، والثانية ضلعي. وللأسف لن تجد هذا المصطلح في أي من الكتب المدرسية، وعلى المعلم إدخاله منفردا.

صيغة لحجم الهرم:
1) ، أين مساحة قاعدة الهرم، و ما هو ارتفاع الهرم
2) أين نصف قطر الكرة المنقوشة، و هي مساحة السطح الكلي للهرم.
3) حيث MN هي المسافة بين أي حافتين متقاطعتين، وهي مساحة متوازي الأضلاع المتكون من منتصف الحواف الأربعة المتبقية.

خاصية قاعدة ارتفاع الهرم :

النقطة P (انظر الشكل) تتوافق مع مركز الدائرة المنقوشة عند قاعدة الهرم إذا تحقق أحد الشروط التالية:
1) جميع القياسات متساوية
2) جميع الوجوه الجانبية مائلة بالتساوي على القاعدة
3) جميع القياسات متساوية في الميل إلى ارتفاع الهرم
4) ارتفاع الهرم متساوي في الميل على جميع أوجهه الجانبية

تعليق مدرس الرياضيات: يرجى ملاحظة أن جميع النقاط تشترك في شيء واحد الملكية العامة: بطريقة أو بأخرى، تشارك الوجوه الجانبية في كل مكان (الرموز هي عناصرها). لذلك، يمكن للمدرس أن يقدم صياغة أقل دقة، ولكنها أكثر ملاءمة للتعلم: النقطة P تتزامن مع مركز الدائرة المنقوشة، قاعدة الهرم، إذا كان هناك أي معلومات متساوية حول وجوهها الجانبية. ولإثبات ذلك، يكفي إثبات أن جميع مثلثات القياس متساوية.

تتوافق النقطة P مع مركز الدائرة المحددة بالقرب من قاعدة الهرم إذا تحقق أحد الشروط الثلاثة:
1) جميع الحواف الجانبية متساوية
2) جميع الأضلاع الجانبية مائلة بالتساوي على القاعدة
3) جميع الأضلاع الجانبية مائلة بشكل متساوٍ إلى الارتفاع