Loqarifmlərin xassələri və onların həlli nümunələri. Hərtərəfli Bələdçi (2019)

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və qeyd edin a y. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. log a x+ log a y=log a (x · y);
2. log a x− jurnal a y=log a (x : y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Qeyd: əsas məqam Burada - eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hesablamanıza kömək edəcək loqarifmik ifadə hətta onun ayrı-ayrı hissələri hesablanmadıqda belə (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Log 6 4 + log 6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 − log 2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 − log 3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Çoxları bu fakt üzərində qurulub test sənədləri. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Bunu fərq etmək asandır son qayda ilk ikisini izləyir. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, loqarifmin ODZ-i müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6 .

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

[Şəkil üçün başlıq]

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? O vaxta qədər son an biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm jurnalı verilsin a x. Sonra istənilən nömrə üçün c belə c> 0 və c≠ 1, bərabərlik doğrudur:

[Şəkil üçün başlıq]

Xüsusilə qoysaq c = x, alırıq:

[Şəkil üçün başlıq]

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər rahat olduğunu ancaq qərar verməklə qiymətləndirmək olar loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda, nömrə n arqumentdə dayanan dərəcənin göstəricisinə çevrilir. Nömrə n tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: əsas loqarifmik eynilik.

Əslində sayı olsa nə olacaq b sayı elə bir gücə yüksəldi b bu gücə nömrə verir a? Düzdür: eyni nömrəni alırsınız a. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

[Şəkil üçün başlıq]

Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. log a a= 1 loqarifmik vahiddir. Birdəfəlik xatırlayın: istənilən bazaya loqarifm a bu əsasdan birə bərabərdir.
2. log a 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. Baza a hər şey ola bilər, amma arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

İbtidai səviyyəli cəbrin elementlərindən biri loqarifmdir. Adı gəlir yunan dili“nömrə” və ya “güc” sözündəndir və son ədədi tapmaq üçün əsasdakı rəqəmin nə dərəcədə qaldırılmalı olduğunu bildirir.

Loqarifmlərin növləri

• log a b – a əsasına b ədədinin loqarifmi (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – onluq loqarifm (10 bazasına loqarifm, a = 10);
• ln b – natural loqarifm (e əsasına loqarifm, a = e).

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

b-nin a əsasının loqarifmi, b-nin a əsasına qaldırılmasını tələb edən göstəricidir. Alınan nəticə belə tələffüz olunur: “b-nin a əsasına loqarifmi”. Loqarifmik məsələlərin həlli ondan ibarətdir ki, göstərilən ədədlərdən ədədlərlə verilmiş gücü təyin etmək lazımdır. Loqarifmanı təyin etmək və ya həll etmək, həmçinin qeydin özünü çevirmək üçün bəzi əsas qaydalar var. Onlardan istifadə etməklə loqarifmik tənliklər həll edilir, törəmələr tapılır, inteqrallar həll edilir və bir çox başqa əməliyyatlar həyata keçirilir. Əsasən, loqarifmin özünün həlli onun sadələşdirilmiş qeydidir. Aşağıda əsas düsturlar və xüsusiyyətlər verilmişdir:

Hər hansı bir a üçün; a > 0; a ≠ 1 və istənilən x üçün; y > 0.

• a log a b = b – əsas loqarifmik eynilik
• log a 1 = 0
• loqa a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 üçün
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yeni bazaya keçmək üçün düstur
• log a x = 1/log x a

Loqarifmləri necə həll etmək olar - həll etmək üçün addım-addım təlimat

• Əvvəlcə tələb olunan tənliyi yazın.

Diqqət yetirin: əgər əsas loqarifm 10-dursa, onda giriş qısaldılır, nəticədə onluq loqarifm yaranır. Əgər dəyərsə natural ədəd e, sonra onu təbii loqarifmə endirərək yazırıq. Bu o deməkdir ki, bütün loqarifmlərin nəticəsi b ədədini almaq üçün əsas ədədin qaldırıldığı gücdür.

Birbaşa həll yolu bu dərəcənin hesablanmasındadır. İfadəni loqarifmlə həll etməzdən əvvəl onu qaydaya əsasən, yəni düsturlardan istifadə etməklə sadələşdirmək lazımdır. Məqalədə bir az geriyə qayıtmaqla əsas şəxsiyyətləri tapa bilərsiniz.

İki fərqli ədədi olan, lakin əsasları eyni olan loqarifmləri toplayan və çıxdıqda, müvafiq olaraq b və c ədədlərinin hasili və ya bölməsi ilə bir loqarifmlə əvəz edin. Bu halda, başqa bir bazaya keçmək üçün formula tətbiq edə bilərsiniz (yuxarıya baxın).

Loqarifmanı sadələşdirmək üçün ifadələrdən istifadə edirsinizsə, nəzərə alınmalı olan bəzi məhdudiyyətlər var. Və budur: a loqarifmin əsası yalnızdır müsbət rəqəm, lakin birinə bərabər deyil. b sayı, a kimi, sıfırdan böyük olmalıdır.

Elə hallar var ki, ifadəni sadələşdirməklə loqarifmanı ədədi olaraq hesablaya bilməyəcəksiniz. Belə bir ifadənin mənası yoxdur, çünki bir çox güclər irrasional ədədlərdir. Bu şərtlə ədədin gücünü loqarifm olaraq buraxın.

Loqarifm nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)

Loqarifm nədir? Loqarifmləri necə həll etmək olar? Bu suallar bir çox məzunları çaşdırır. Ənənəvi olaraq, loqarifmlər mövzusu mürəkkəb, anlaşılmaz və qorxulu hesab olunur. Xüsusilə loqarifmli tənliklər.

Bu, qətiyyən doğru deyil. Mütləq! Mənə inanmırsan? Yaxşı. İndi, cəmi 10-20 dəqiqə ərzində siz:

1. Anlayacaqsınız loqarifm nədir.

2. Bütün sinfi həll etməyi öyrənin eksponensial tənliklər. Onlar haqqında heç nə eşitməmiş olsanız belə.

3. Sadə loqarifmləri hesablamağı öyrənin.

Üstəlik, bunun üçün sadəcə vurma cədvəlini və ədədi gücə necə yüksəltməyi bilməlisiniz...

Hiss edirəm ki, şübhəniz var... Yaxşı, yaxşı, vaxtı qeyd edin! Get!

Əvvəlcə bu tənliyi başınızda həll edin:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Loqarifmləri öyrənməyə davam edirik. Bu yazıda biz danışacağıq loqarifmlərin hesablanması, bu proses adlanır loqarifm. Əvvəlcə loqarifmlərin tərifinə görə hesablanmasını başa düşəcəyik. Sonra, xassələrindən istifadə edərək loqarifmlərin qiymətlərinin necə tapıldığına baxaq. Bundan sonra, digər loqarifmlərin ilkin müəyyən edilmiş qiymətləri vasitəsilə loqarifmləri hesablamağa diqqət yetirəcəyik. Nəhayət, loqarifm cədvəllərindən necə istifadə edəcəyimizi öyrənək. Bütün nəzəriyyə ətraflı həlləri olan nümunələrlə təmin edilmişdir.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması

Ən sadə hallarda kifayət qədər tez və asanlıqla yerinə yetirmək mümkündür loqarifmin tərifinə görə tapılması. Bu prosesin necə baş verdiyinə daha yaxından nəzər salaq.

Onun mahiyyəti b ədədini a c şəklində təmsil etməkdir ki, ondan loqarifmin tərifinə görə c ədədi loqarifmin qiymətidir. Yəni tərifinə görə aşağıdakı bərabərlik zənciri loqarifmin tapılmasına uyğundur: log a b=log a a c =c.

Beləliklə, loqarifmin tərifinə görə hesablanması, c ədədinin tapılmasına gəlir ki, a c = b olsun və c ədədinin özü loqarifmin istənilən qiymətidir.

Əvvəlki bəndlərdəki məlumatları nəzərə alaraq, loqarifm işarəsi altındakı ədəd loqarifm bazasının müəyyən gücü ilə verildikdə, dərhal loqarifmin nəyə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz - bu eksponentə bərabərdir. Nümunələrə həll yollarını göstərək.

Misal.

log 2 2 −3 tapın, həmçinin e 5,3 ədədinin natural loqarifmini hesablayın.

Həll.

Loqarifmin tərifi dərhal log 2 2 −3 =−3 olduğunu söyləməyə imkan verir. Həqiqətən, loqarifm işarəsi altındakı ədəd −3 gücünə 2 bazasına bərabərdir.

Eynilə, ikinci loqarifmi tapırıq: lne 5.3 =5.3.

Cavab:

log 2 2 −3 =−3 və lne 5,3 =5,3.

Əgər loqarifm işarəsinin altındakı b rəqəmi loqarifmin əsasının gücü kimi göstərilməyibsə, onda siz b rəqəminin a c şəklində təsvirini tapmağın mümkün olub-olmadığını diqqətlə araşdırmaq lazımdır. Tez-tez bu təmsil olduqca açıqdır, xüsusən loqarifm işarəsi altındakı rəqəm 1, və ya 2 və ya 3, ... gücünə əsasa bərabər olduqda.

Misal.

log 5 25 və loqarifmlərini hesablayın.

Həll.

25=5 2 olduğunu görmək asandır, bu, birinci loqarifmi hesablamağa imkan verir: log 5 25=log 5 5 2 =2.

İkinci loqarifmin hesablanmasına keçək. Rəqəm 7-nin gücü ilə təmsil oluna bilər: (lazım olduqda baxın). Beləliklə, .

Üçüncü loqarifmanı yenidən yazaq aşağıdakı forma. İndi bunu görə bilərsiniz , bundan belə nəticəyə gəlirik . Buna görə də, loqarifmin tərifi ilə .

Qısaca həlli belə yazmaq olar: .

Cavab:

log 5 25=2 , Və .

Loqarifm işarəsi altında kifayət qədər böyük bir natural ədəd olduqda, onu genişləndirmək zərər vermir əsas amillər. Çox vaxt belə bir ədədi loqarifmin əsasının bəzi gücü kimi təqdim etməyə kömək edir və buna görə də bu loqarifmanı təriflə hesablayın.

Misal.

Loqarifmin qiymətini tapın.

Həll.

Loqarifmlərin bəzi xassələri dərhal loqarifmaların qiymətini təyin etməyə imkan verir. Bu xassələrə birinin loqarifminin xassəsi və bazaya bərabər olan ədədin loqarifminin xassələri daxildir: log 1 1=log a a 0 =0 və log a a=log a a 1 =1. Yəni loqarifmin işarəsi altında 1 rəqəmi və ya loqarifmin əsasına bərabər a rəqəmi olduqda, bu hallarda loqarifmlər müvafiq olaraq 0 və 1-ə bərabər olur.

Misal.

Loqarifmlər və log10 nəyə bərabərdir?

Həll.

-dən bəri loqarifmin tərifindən belə çıxır .

İkinci misalda loqarifm işarəsinin altındakı 10 rəqəmi onun bazası ilə üst-üstə düşür, ona görə də onluq loqarifmi birə bərabərdir, yəni lg10=lg10 1 =1.

Cavab:

VƏ lg10=1 .

Qeyd edək ki, loqarifmlərin tərif üzrə hesablanması (bunu əvvəlki bənddə müzakirə etdik) loqarifmlərin xassələrindən biri olan log a a p =p bərabərliyinin istifadəsini nəzərdə tutur.

Təcrübədə loqarifm işarəsi altında olan ədəd və loqarifmin əsası asanlıqla müəyyən ədədin gücü kimi təqdim edildikdə, düsturdan istifadə etmək çox rahatdır. , loqarifmlərin xassələrindən birinə uyğundur. Bu düsturun istifadəsini təsvir edən loqarifmin tapılması nümunəsinə baxaq.

Misal.

Loqarifmi hesablayın.

Həll.

Cavab:

.

Hesablamalarda yuxarıda qeyd olunmayan loqarifmlərin xassələrindən də istifadə olunur, lakin bu barədə növbəti paraqraflarda danışacağıq.

Digər məlum loqarifmlər vasitəsilə loqarifmlərin tapılması

Bu paraqrafdakı məlumatlar loqarifmlərin xassələrinin hesablanması zamanı istifadə mövzusunu davam etdirir. Amma burada əsas fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmlərin xassələri orijinal loqarifmanı dəyəri məlum olan başqa bir loqarifmlə ifadə etmək üçün istifadə olunur. Aydınlıq üçün bir misal verək. Tutaq ki, log 2 3≈1.584963 olduğunu bilirik, onda loqarifmin xassələrindən istifadə edərək kiçik bir transformasiya edərək, məsələn, log 2 6-nı tapa bilərik: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuxarıdakı misalda məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə etmək kifayət idi. Bununla birlikdə, orijinal loqarifmanı verilmiş olanlar vasitəsilə hesablamaq üçün daha tez-tez loqarifmlərin xüsusiyyətlərinin daha geniş arsenalından istifadə etmək lazımdır.

Misal.

log 60 2=a və log 60 5=b olduğunu bilirsinizsə, 27-nin 60-a loqarifmini hesablayın.

Həll.

Beləliklə, log 60 27 tapmalıyıq. Asanlıqla görmək olar ki, 27 = 3 3 və orijinal loqarifm, gücün loqarifm xüsusiyyətinə görə, 3·log 60 3 kimi yenidən yazıla bilər.

İndi gəlin log 60 3-ün məlum loqarifmlərlə necə ifadə olunacağına baxaq. Əsasına bərabər olan ədədin loqarifminin xassəsi 60 60=1 bərabərliyini yazmağa imkan verir. Digər tərəfdən, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Beləliklə, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Beləliklə, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nəhayət, orijinal loqarifmi hesablayırıq: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Cavab:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Formanın loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturun mənasını ayrıca qeyd etmək lazımdır. . İstənilən əsaslı loqarifmlərdən qiymətləri məlum olan və ya onları tapmaq mümkün olan konkret əsaslı loqarifmlərə keçməyə imkan verir. Adətən, orijinal loqarifmdan, keçid düsturundan istifadə edərək, 2, e və ya 10 əsaslarından birində loqarifmlərə keçirlər, çünki bu əsaslar üçün onların dəyərlərini müəyyən dərəcədə hesablamağa imkan verən loqarifm cədvəlləri var. dəqiqlik. Növbəti paraqrafda bunun necə edildiyini göstərəcəyik.

Loqarifm cədvəlləri və onların istifadəsi

Təxmini hesablama üçün loqarifm dəyərləri istifadə edilə bilər loqarifm cədvəlləri. Ən çox istifadə olunan əsas 2 loqarifm cədvəli, natural loqarifm cədvəli və onluq loqarifm cədvəli. Onluq say sistemində işləyərkən on əsasına əsaslanan loqarifmlər cədvəlindən istifadə etmək rahatdır. Onun köməyi ilə loqarifmlərin dəyərlərini tapmağı öyrənəcəyik.

Təqdim olunan cədvəl 1000-dən 9999-a (üç onluq yerlə) on mində bir dəqiqliklə ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmağa imkan verir. Onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək loqarifmin dəyərini tapmaq prinsipini təhlil edəcəyik konkret misal- bu şəkildə daha aydın olur. log1.256-nı tapaq.

Onluq loqarifmlər cədvəlinin sol sütununda biz 1.256 rəqəminin ilk iki rəqəmini tapırıq, yəni 1.2-ni tapırıq (aydınlıq üçün bu rəqəm mavi rənglə əhatə olunub). 1.256 rəqəminin üçüncü rəqəmi (rəqəm 5) qoşa sətrin solunda birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu rəqəm qırmızı rənglə əhatə olunub). İlkin 1.256 rəqəminin dördüncü rəqəmi (6 rəqəmi) qoşa xəttin sağındakı birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə yaşıl xətt ilə dövrələnmişdir). İndi loqarifmlər cədvəlinin xanalarında qeyd olunan cərgə və işarələnmiş sütunların kəsişməsində nömrələri tapırıq (bu nömrələr vurğulanır) narıncı). İşarələnmiş ədədlərin cəmi dördüncü onluq yerinə qədər dəqiq olan onluq loqarifmin istənilən dəyərini verir, yəni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, ondalık nöqtədən sonra üçdən çox rəqəmi olan, habelə 1-dən 9.999-a qədər olan diapazondan kənara çıxan ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmaq mümkündürmü? Bəli sən bacararsan. Bunun necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

lg102.76332-ni hesablayaq. Əvvəlcə yazmaq lazımdır nömrədə standart forma : 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra, mantissa üçüncü onluq yerinə yuvarlaqlaşdırılmalıdır, bizdə var 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, orijinal onluq loqarifm təxminən nəticədə çıxan ədədin loqarifminə bərabər olduğu halda, yəni log102.76332≈lg1.028·10 2 alırıq. İndi loqarifmin xüsusiyyətlərini tətbiq edirik: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nəhayət, lg1.028 onluq loqarifmlər cədvəlindən lg1.028-in qiymətini tapırıq lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Nəticədə, loqarifmin hesablanmasının bütün prosesi belə görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sonda qeyd etmək lazımdır ki, onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək istənilən loqarifmin təxmini dəyərini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün, ondalık loqarifmlərə keçmək, cədvəldə onların dəyərlərini tapmaq və qalan hesablamaları yerinə yetirmək üçün keçid düsturundan istifadə etmək kifayətdir.

Məsələn, log 2 3 hesablayaq. Loqarifmin yeni bazasına keçid düsturuna görə bizdə . Onluq loqarifmlər cədvəlindən log3≈0,4771 və log2≈0,3010 tapırıq. Beləliklə, .

Biblioqrafiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik).

Loqarifmin əsas xassələri, loqarifm qrafiki, təyinetmə sahəsi, qiymətlər çoxluğu, əsas düsturlar, artan və azalma verilmişdir. Loqarifmin törəməsinin tapılması nəzərdən keçirilir. Kompleks ədədlərdən istifadə edərək inteqral, güc seriyalarının genişləndirilməsi və təmsili.

Loqarifmin tərifi

Əsas a olan loqarifm y funksiyasıdır (x) = log a x, əsas a: x olan eksponensial funksiyaya tərs (y) = a y.

Onluq loqarifmədədin əsasının loqarifmidir 10 : log x ≡ log 10 x.

Təbii loqarifm e-nin əsasının loqarifmidir: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Loqarifmin qrafiki eksponensial funksiyanın qrafikindən alınır güzgü şəkli y = x düz xəttinə nisbətən. Solda y funksiyasının qrafikləri var (x) = log a x dörd dəyər üçün loqarifm əsasları: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 və a = 1/8 . Qrafik göstərir ki, a > olduqda 1 loqarifm monoton şəkildə artır. X artdıqca böyümə əhəmiyyətli dərəcədə yavaşlayır. At 0 < a < 1 loqarifm monoton şəkildə azalır.

Loqarifmin xassələri

Domen, dəyərlər toplusu, artan, azalan

Loqarifm monoton funksiyadır, ona görə də ekstremum yoxdur. Loqarifmin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir.

Şəxsi dəyərlər

10 bazasına loqarifm deyilir onluq loqarifm və aşağıdakı kimi işarələnir:

Əsasa loqarifm eçağırdı təbii loqarifm :

Loqarifmlər üçün əsas düsturlar

Tərs funksiyanın tərifindən irəli gələn loqarifmin xassələri:

Loqarifmlərin əsas xassəsi və onun nəticələri

Baza dəyişdirmə düsturu

Loqarifm loqarifmin alınmasının riyazi əməliyyatıdır. Loqarifmlər götürülərkən amillərin hasilləri terminlərin cəminə çevrilir.

Potensiasiya loqarifmin tərs riyazi əməliyyatıdır. Potensiasiya zamanı verilmiş baza potensiasiyanın həyata keçirildiyi ifadə dərəcəsinə qaldırılır. Bu zaman terminlərin cəmi amillərin məhsuluna çevrilir.

Loqarifmlər üçün əsas düsturların sübutu

Loqarifmlərlə əlaqəli düsturlar eksponensial funksiyalar üçün düsturlardan və tərs funksiyanın tərifindən əmələ gəlir.

Eksponensial funksiyanın xassəsini nəzərdən keçirək
.
Sonra
.
eksponensial funksiyanın xassəsini tətbiq edək
:
.

Baza dəyişdirmə düsturunu sübut edək.
;
.
c = b fərz etsək, əldə edirik:

Tərs funksiya

Loqarifmin a əsasının tərsi a eksponentli eksponensial funksiyadır.

Əgər, onda

Əgər, onda

Loqarifmin törəməsi

X modulunun loqarifminin törəməsi:
.
n-ci dərəcəli törəmə:
.
Düsturların alınması > > >

Loqarifmin törəməsini tapmaq üçün onu bazaya endirmək lazımdır e.
;
.

İnteqral

Loqarifmin inteqralı hissələrlə inteqral etməklə hesablanır: .
Belə ki,

Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr

Kompleks ədəd funksiyasını nəzərdən keçirək z:
.
Kompleks ədədi ifadə edək z modul vasitəsilə r və mübahisə φ :
.
Sonra, loqarifmin xassələrindən istifadə edərək, əldə edirik:
.
Və ya

Bununla belə, arqument φ unikal şəkildə müəyyən edilməmişdir. qoysan
, burada n tam ədəddir,
onda fərqli üçün eyni nömrə olacaq n.

Buna görə də, loqarifm mürəkkəb dəyişənin funksiyası kimi tək qiymətli funksiya deyil.

Güc seriyasının genişləndirilməsi

Genişlənmə baş verdikdə:

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.