Onluq loqarifmlərin xassələri. Loqarifmin tərifi və onun xassələri: nəzəriyyə və məsələnin həlli

əsas xassələri.

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

eyni əsaslar

Log6 4 + log6 9.

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək.

Loqarifmlərin həlli nümunələri

Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Təbii ki, loqarifmin ODZ-i müşahidə edildikdə bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x >

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Həmçinin bax:

Loqarifmin əsas xassələri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır.

Loqarifmlərin əsas xassələri

Bu qaydanı bilməklə siz biləcəksiniz və dəqiq qiymət sərgi iştirakçıları və Lev Tolstoyun doğum tarixi.

Loqarifmlər üçün nümunələr

Loqarifm ifadələri

Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq

2.

3.

4. Harada .

Misal 2. Əgər x tapın

Misal 3. Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Qeyd: əsas məqam Burada - eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar, hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə, loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Çoxları bu fakt üzərində qurulub test sənədləri. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

Bunu fərq etmək asandır son qayda ilk ikisini izləyir. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? O vaxta qədər son an biz ancaq məxrəclə işləyirik.

Loqarifm düsturları. Loqarifmlərin həlli nümunələri.

Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər rahat olduğunu ancaq qərar verməklə qiymətləndirmək olar loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .

Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün istənilən a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Həmçinin bax:

b-nin a əsasının loqarifmi ifadəni bildirir. Loqarifmi hesablamaq bərabərliyin təmin olunduğu x () gücünü tapmaq deməkdir

Loqarifmin əsas xassələri

Yuxarıdakı xassələri bilmək lazımdır, çünki loqarifmlərlə bağlı demək olar ki, bütün məsələlər və nümunələr onların əsasında həll olunur. Qalan ekzotik xassələri bu düsturlarla riyazi manipulyasiyalar vasitəsilə əldə etmək olar

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Loqarifmlərin cəmi və fərqi (3.4) düsturunu hesablayarkən tez-tez rastlaşırsınız. Qalanları bir qədər mürəkkəbdir, lakin bir sıra tapşırıqlarda mürəkkəb ifadələri sadələşdirmək və onların dəyərlərini hesablamaq üçün əvəzolunmazdır.

Loqarifmlərin ümumi halları

Ümumi loqarifmlərdən bəziləri bazanın hətta on, eksponensial və ya iki olduğu loqarifmlərdir.
Onluq bazası üçün loqarifma adətən onluq loqarifm adlanır və sadəcə olaraq lg(x) ilə işarələnir.

Səs yazısından aydın olur ki, səsyazmada əsaslar yazılmayıb. Misal üçün

Natural loqarifm əsası eksponent olan loqarifmdir (ln(x) ilə işarə olunur).

Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır. Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Və iki əsas üçün başqa bir vacib loqarifm ilə işarələnir

Funksiyanın loqarifminin törəməsi dəyişənə bölünən birinə bərabərdir

İnteqral və ya antiderivativ loqarifm əlaqə ilə müəyyən edilir

Verilmiş material loqarifm və loqarifmlərlə bağlı geniş sinif məsələləri həll etmək üçün kifayətdir. Materialı başa düşməyinizə kömək etmək üçün mən yalnız bir neçə ümumi nümunə verəcəyəm məktəb kurikulumu və universitetlər.

Loqarifmlər üçün nümunələr

Loqarifm ifadələri

Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq

2.
Loqarifmlərin fərqi xüsusiyyətinə görə bizdə var

3.
3.5 xassələrindən istifadə edərək tapırıq

4. Harada .

Görünüşünə görə mürəkkəb ifadə bir sıra qaydalardan istifadə etməklə formalaşdırmaq sadələşdirilmişdir

Loqarifm qiymətlərinin tapılması

Misal 2. Əgər x tapın

Həll. Hesablama üçün son 5 və 13 xassələrə müraciət edirik

Biz bunu yazıya qoyub yas tuturuq

Əsaslar bərabər olduğu üçün ifadələri bərabərləşdiririk

Loqarifmlər. Birinci səviyyə.

Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Həlli: Loqarifmi onun şərtlərinin cəminə yazmaq üçün dəyişənin loqarifmini götürək.

Bu, loqarifmlər və onların xassələri ilə tanışlığımızın yalnız başlanğıcıdır. Hesablamaları məşq edin, praktiki bacarıqlarınızı zənginləşdirin - tezliklə loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əldə etdiyiniz biliyə ehtiyacınız olacaq. Bu cür tənliklərin həlli üçün əsas üsulları öyrəndikdən sonra biz sizin biliklərinizi başqa birinə daha da genişləndirəcəyik vacib mövzu- loqarifmik bərabərsizliklər...

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar, hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə, loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log6 4 + log6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz.

Loqarifmləri necə həll etmək olar

Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .

Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün istənilən a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Cəmiyyət inkişaf etdikcə, istehsal mürəkkəbləşdikcə riyaziyyat da inkişaf etdi. Sadədən mürəkkəbə keçid. Toplama və çıxma üsulundan istifadə edən adi mühasibat uçotundan onların təkrar təkrarlanması ilə biz vurma və bölmə anlayışına gəldik. Təkrar vurma əməliyyatının azaldılması eksponentasiya anlayışına çevrildi. Ədədlərin bazadan asılılığının və eksponentasiya sayının ilk cədvəlləri hələ 8-ci əsrdə hind riyaziyyatçısı Varasena tərəfindən tərtib edilmişdir. Onlardan loqarifmlərin yaranma vaxtını saymaq olar.

Tarixi eskiz

XVI əsrdə Avropanın dirçəlişi mexanikanın inkişafına da təkan verdi. T böyük hesablama tələb edirdi vurma və bölmə ilə bağlıdır çoxrəqəmli ədədlər. Qədim masaların böyük xidməti olub. Onlar mürəkkəb əməliyyatları daha sadə əməliyyatlarla - toplama və çıxma ilə əvəz etməyə imkan verdilər. Bir çox riyaziyyatçının ideyasını reallaşdırdığı 1544-cü ildə nəşr olunan riyaziyyatçı Michael Stiefelin işi irəliyə doğru böyük bir addım idi. Bu, yalnız formada dərəcələr üçün deyil, cədvəllərdən istifadə etməyə imkan verdi sadə ədədlər, həm də ixtiyari rasional olanlar üçün.

1614-cü ildə bu fikirləri inkişaf etdirən şotlandiyalı Con Napier ilk dəfə təqdim etdi yeni termin"ədədin loqarifmi". Yeni mürəkkəb cədvəllər sinusların və kosinusların loqarifmlərini, həmçinin tangensləri hesablamaq üçün. Bu, astronomların işini xeyli azaldıb.

Elm adamları tərəfindən uğurla istifadə edilən yeni cədvəllər görünməyə başladı üç əsr. Əvvəl çox vaxt keçdi yeni əməliyyat cəbrdə tam formasını almışdır. Loqarifmin tərifi verilmiş və onun xassələri öyrənilmişdir.

Yalnız 20-ci əsrdə kalkulyator və kompüterin yaranması ilə bəşəriyyət 13-cü əsrlər boyu uğurla işləyən qədim cədvəllərdən imtina etdi.

Bu gün biz b-nin loqarifmini a-nın b-yə əsaslanması üçün a-nın qüvvəsi olan x ədədi adlandırırıq. Bu düstur kimi yazılır: x = log a(b).

Məsələn, log 3(9) 2-yə bərabər olacaq. Tərifə əməl etsəniz, bu aydındır. 3-ü 2-nin qüvvəsinə qaldırsaq, 9-u alırıq.

Beləliklə, tərtib edilmiş tərif yalnız bir məhdudiyyət qoyur: a və b rəqəmləri real olmalıdır.

Loqarifmlərin növləri

Klassik tərif həqiqi loqarifm adlanır və əslində a x = b tənliyinin həllidir. Variant a = 1 sərhəddir və maraq doğurmur. Diqqət: İstənilən gücə 1 1-ə bərabərdir.

Loqarifmin həqiqi dəyəri yalnız baza və arqument 0-dan böyük olduqda müəyyən edilir və baza 1-ə bərabər olmamalıdır.

Riyaziyyat sahəsində xüsusi yer tutur bazasının ölçüsündən asılı olaraq adlandırılacaq loqarifmləri oynayın:

Qaydalar və məhdudiyyətlər

Loqarifmlərin əsas xüsusiyyəti qaydadır: hasilin loqarifmi loqarifmik cəminə bərabərdir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadənin variantı olaraq aşağıdakılar olacaq: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bölmə funksiyası funksiyaların fərqinə bərabərdir.

Əvvəlki iki qaydadan bunu asanlıqla görmək olar: log a(b p) = p * log a(b).

Digər xüsusiyyətlərə aşağıdakılar daxildir:

Şərh. Ümumi bir səhv etməyin - cəminin loqarifmi deyil məbləğinə bərabərdir loqarifmlər.

Bir çox əsrlər boyu loqarifmin tapılması əməliyyatı olduqca vaxt aparan bir iş idi. Riyaziyyatçılar çoxhədli genişlənmənin loqarifmik nəzəriyyəsinin məşhur düsturundan istifadə etdilər:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), burada n - natural ədəd 1-dən böyükdür ki, bu da hesablamanın düzgünlüyünü müəyyən edir.

Başqa əsaslı loqarifmlər bir bazadan digərinə keçid haqqında teoremdən və hasilin loqarifminin xassəsindən istifadə etməklə hesablanmışdır.

Çünki bu üsul çox əmək tələb edir və praktiki məsələləri həll edərkən həyata keçirmək çətin idi, biz bütün işləri əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən əvvəlcədən tərtib edilmiş loqarifm cədvəllərindən istifadə etdik.

Bəzi hallarda, daha az dəqiqlik verən, lakin istədiyiniz dəyərin axtarışını əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən loqarifmlərin xüsusi tərtib edilmiş qrafiklərindən istifadə edilmişdir. Bir neçə nöqtə üzərində qurulmuş y = log a(x) funksiyasının əyrisi istənilən başqa nöqtədə funksiyanın qiymətini tapmaq üçün adi hökmdardan istifadə etməyə imkan verir. Mühəndislər uzun müddət Bu məqsədlər üçün sözdə qrafik kağızdan istifadə edilmişdir.

17-ci əsrdə ilk köməkçi analoq hesablama şərtləri meydana çıxdı ki, bu da 19-cu əsr bitmiş görünüş əldə etdi. Ən uğurlu cihaz slayd qaydası adlanırdı. Cihazın sadəliyinə baxmayaraq, onun görünüşü bütün mühəndislik hesablamalarının prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirdi və bunu çox qiymətləndirmək çətindir. Hazırda bu cihazla az adam tanışdır.

Kalkulyatorların və kompüterlərin meydana gəlməsi hər hansı digər cihazların istifadəsini mənasız etdi.

Tənliklər və bərabərsizliklər

Loqarifmlərdən istifadə edərək müxtəlif tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

• Bir bazadan digərinə keçid: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Əvvəlki seçimin nəticəsi olaraq: log a(b) = 1 / log b(a).

Bərabərsizlikləri həll etmək üçün bilmək faydalıdır:

• Loqarifmin qiyməti yalnız əsas və arqument birdən böyük və ya kiçik olduqda müsbət olacaqdır; ən azı bir şərt pozularsa, loqarifm dəyəri mənfi olacaq.
• Əgər bərabərsizliyin sağ və sol tərəflərinə loqarifm funksiyası tətbiq edilirsə və loqarifmin əsası birdən böyükdürsə, onda bərabərsizliyin işarəsi saxlanılır; əks halda dəyişir.

Nümunə problemləri

Loqarifmlərdən və onların xassələrindən istifadənin bir neçə variantını nəzərdən keçirək. Tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr:

Loqarifmin gücə yerləşdirilməsi variantını nəzərdən keçirin:

• Məsələ 3. 25^log 5(3) hesablayın. Həlli: problemin şərtlərində giriş aşağıdakı (5^2)^log5(3) və ya 5^(2 * log 5(3)) ilə oxşardır. Fərqli şəkildə yazaq: 5^log 5(3*2) və ya funksiya arqumenti kimi ədədin kvadratı funksiyanın özünün kvadratı kimi yazıla bilər (5^log 5(3))^2. Loqarifmlərin xassələrindən istifadə edərək bu ifadə 3^2-ə bərabərdir. Cavab: hesablama nəticəsində 9 alırıq.

Praktik istifadə

Sırf riyazi alət olmaqla, uzaq görünür həqiqi həyat loqarifmin birdən əldə etdiyi böyük əhəmiyyət kəsb edir obyektləri təsvir etmək real dünya. İstifadə olunmayan bir elm tapmaq çətindir. Bu, təkcə təbii deyil, həm də humanitar bilik sahələrinə tamamilə aiddir.

Loqarifmik asılılıqlar

Burada ədədi asılılıqların bəzi nümunələri verilmişdir:

Mexanika və fizika

Tarixən mexanika və fizika həmişə riyazi tədqiqat metodlarından istifadə etməklə inkişaf etmiş və eyni zamanda riyaziyyatın, o cümlədən loqarifmin inkişafı üçün stimul rolunu oynamışdır. Fizikanın əksər qanunlarının nəzəriyyəsi riyaziyyatın dilində yazılıb. Yalnız iki təsvir nümunəsi verək fiziki qanunlar loqarifmdən istifadə etməklə.

Raketin sürəti kimi mürəkkəb kəmiyyətin hesablanması problemi kosmosun tədqiqi nəzəriyyəsinin əsasını qoyan Tsiolkovski düsturundan istifadə etməklə həll edilə bilər:

V = I * ln (M1/M2), burada

• V təyyarənin son sürətidir.
• I – mühərrikin xüsusi impulsu.
• M 1 - raketin ilkin kütləsi.
• M 2 - son kütlə.

Başqa mühüm nümunə - bu, termodinamikada tarazlıq vəziyyətini qiymətləndirməyə xidmət edən başqa bir böyük alim Maks Plankın düsturunda istifadə olunur.

S = k * ln (Ω), burada

• S – termodinamik xüsusiyyət.
• k – Boltsman sabiti.
• Ω müxtəlif dövlətlərin statistik çəkisidir.

kimya

Daha az aydın olanı kimyada loqarifmlərin nisbətini ehtiva edən düsturların istifadəsidir. Sadəcə iki misal verək:

• Nernst tənliyi, maddələrin aktivliyinə və tarazlıq sabitinə münasibətdə mühitin redoks potensialının şərti.
• Avtoliz indeksi və məhlulun turşuluğu kimi sabitlərin hesablanması da bizim funksiyamız olmadan həyata keçirilə bilməz.

Psixologiya və biologiya

Psixologiyanın bununla nə əlaqəsi olduğu heç də aydın deyil. Belə çıxır ki, hissin gücü bu funksiya ilə stimulun intensivliyi dəyərinin aşağı intensivlik dəyərinə tərs nisbəti kimi yaxşı təsvir olunur.

Yuxarıdakı misallardan sonra biologiyada loqarifmlər mövzusunun geniş istifadə olunması artıq təəccüblü deyil. Loqarifmik spirallara uyğun gələn bioloji formalar haqqında bütün cildlər yazmaq olar.

Digər sahələr

Görünür, dünyanın mövcudluğu bu funksiya ilə əlaqəsiz mümkün deyil və o, bütün qanunları idarə edir. Xüsusilə təbiət qanunları ilə əlaqəli olduqda həndəsi irəliləyiş. MatProfi saytına müraciət etməyə dəyər və aşağıdakı fəaliyyət sahələrində belə nümunələr çoxdur:

Siyahı sonsuz ola bilər. Bu funksiyanın əsas prinsiplərini mənimsədikdən sonra sonsuz müdriklik dünyasına qərq ola bilərsiniz.

Bu məqalənin diqqət mərkəzindədir loqarifm. Burada loqarifmin tərifini verəcəyik, qəbul edilmiş qeydi göstərəcəyik, loqarifmə nümunələr verəcəyik, natural və onluq loqarifmlərdən danışacağıq. Bundan sonra biz əsas loqarifmik eyniliyi nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmin tərifi

Loqarifm anlayışı problemi həll edərkən yaranır müəyyən mənada tərs, eksponentini tapmaq lazım olduqda məlum dəyər dərəcə və məlum əsas.

Ancaq kifayət qədər ön söz, "loqarifm nədir" sualına cavab verməyin vaxtı gəldi? Müvafiq tərifi verək.

Tərif.

a əsasına b-nin loqarifmi, burada a>0, a≠1 və b>0 nəticədə b almaq üçün a ədədini yüksəltməli olduğunuz göstəricidir.

Bu mərhələdə qeyd edirik ki, danışılan “loqarifm” sözü dərhal iki əlavə sual doğurmalıdır: “hansı rəqəm” və “hansı əsasda”. Başqa sözlə, sadəcə olaraq loqarifm yoxdur, ancaq ədədin hansısa bazaya loqarifmi var.

Dərhal daxil olaq loqarifm qeydi: b ədədinin a əsası üçün loqarifmi adətən log a b kimi işarələnir. b ədədinin e bazasına loqarifmi və 10 bazasına loqarifmi müvafiq olaraq lnb və logb öz xüsusi təyinatlarına malikdir, yəni log e b deyil, lnb və log 10 b deyil, lgb yazırlar.

İndi verə bilərik: .
Və qeydlər mənası yoxdur, çünki onlardan birincisində loqarifmin işarəsi var mənfi rəqəm, ikincidə əsasda mənfi ədəd, üçüncüdə isə loqarifm işarəsi altında mənfi ədəd və bazada vahid var.

İndi bu barədə danışaq loqarifmləri oxumaq qaydaları. Log a b "a əsasına b-nin loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, log 2 3 üçün 2-nin loqarifmidir və iki nöqtənin üçdə ikisinin əsas 2-nin loqarifmidir. Kvadrat kök beşdən. e bazasına loqarifm deyilir təbii loqarifm, və lnb girişində deyilir " təbii loqarifm b". Məsələn, ln7 yeddinin natural loqarifmidir və biz onu pi-nin natural loqarifmi kimi oxuyacağıq. Əsas 10 loqarifminin də xüsusi adı var - onluq loqarifm, və lgb "b-nin ondalıq loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, lg1 birin onluq loqarifmidir, lg2.75 isə iki nöqtə yeddi beş yüzdə birinin onluq loqarifmidir.

Loqarifmin tərifinin verildiyi a>0, a≠1 və b>0 şərtləri üzərində ayrıca dayanmağa dəyər. Bu məhdudiyyətlərin haradan gəldiyini izah edək. Yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn formanın bərabərliyi bunu etməyə kömək edəcəkdir.

a≠1 ilə başlayaq. Hər hansı bir güc birə bərabər olduğundan bərabərlik yalnız b=1 olduqda doğru ola bilər, lakin log 1 1 istənilən həqiqi ədəd ola bilər. Bu qeyri-müəyyənliyin qarşısını almaq üçün a≠1 qəbul edilir.

a>0 şərtinin məqsədəuyğunluğunu əsaslandıraq. a=0 ilə, loqarifmin tərifi ilə biz bərabərliyə malik olardıq, bu yalnız b=0 ilə mümkündür. Lakin sonra log 0 0 istənilən sıfırdan fərqli real ədəd ola bilər, çünki sıfırdan sıfırdan hər hansı bir güc sıfırdır. a≠0 şərti bu qeyri-müəyyənlikdən qaçmağa imkan verir. Və nə vaxt a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nəhayət, a>0 bərabərsizliyindən b>0 şərti yaranır, çünki , a müsbət əsaslı gücün qiyməti həmişə müsbətdir.

Bu bəndi yekunlaşdırmaq üçün deyək ki, loqarifmin göstərilən tərifi loqarifmin işarəsi altındakı ədəd bazanın müəyyən gücü olduqda dərhal loqarifmin dəyərini göstərməyə imkan verir. Həqiqətən də, loqarifmin tərifi onu bildirməyə imkan verir ki, əgər b=a p olarsa, b ədədinin a əsası üçün loqarifmi p-yə bərabərdir. Yəni log a a p =p bərabərliyi doğrudur. Məsələn, biz bilirik ki, 2 3 =8, sonra log 2 8=3. Bu barədə məqalədə daha ətraflı danışacağıq.

Loqarifm nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Loqarifm nədir? Loqarifmləri necə həll etmək olar? Bu suallar bir çox məzunları çaşdırır. Ənənəvi olaraq, loqarifmlər mövzusu mürəkkəb, anlaşılmaz və qorxulu hesab olunur. Xüsusilə loqarifmli tənliklər.

Bu, qətiyyən doğru deyil. Mütləq! Mənə inanmırsan? Yaxşı. İndi cəmi 10-20 dəqiqə ərzində siz:

1. Anlayacaqsınız loqarifm nədir.

2. Bütün sinfi həll etməyi öyrənin eksponensial tənliklər. Onlar haqqında heç nə eşitməmiş olsanız belə.

3. Sadə loqarifmləri hesablamağı öyrənin.

Üstəlik, bunun üçün sadəcə vurma cədvəlini və ədədi gücə necə yüksəltməyi bilməlisiniz...

Hiss edirəm ki, şübhəniz var... Yaxşı, yaxşı, vaxtı qeyd edin! Get!

Əvvəlcə bu tənliyi başınızda həll edin:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

(yunan dilindən λόγος - "söz", "münasibət" və ἀριθμός - "rəqəm") rəqəmlər bəsasən a(log α b) belə bir ədəd adlanır c, Və b= a c, yəni qeydlər log α b=c Və b=ac ekvivalentdirlər. a > 0, a ≠ 1, b > 0 olarsa, loqarifm məna kəsb edir.

Başqa sözlə loqarifm nömrələri bəsasən Aədədin yüksəldilməli olduğu göstərici kimi formalaşdırılır a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).

Bu düsturdan belə çıxır ki, hesablama x= log α b, a x =b tənliyinin həllinə bərabərdir.

Misal üçün:

log 2 8 = 3, çünki 8 = 2 3 .

Qeyd edək ki, loqarifmin göstərilən formulası dərhal müəyyən etməyə imkan verir loqarifm dəyəri, loqarifm işarəsi altındakı ədəd əsasın müəyyən gücü kimi çıxış etdikdə. Həqiqətən, loqarifmin tərtibi bunu əsaslandırmağa imkan verir b=a c, sonra ədədin loqarifmi bəsasən a bərabərdir ilə. Loqarifmlər mövzusunun mövzu ilə sıx əlaqəli olduğu da aydındır ədədin səlahiyyətləri.

Loqarifmin hesablanması adlanır loqarifm. Loqarifm loqarifmin alınmasının riyazi əməliyyatıdır. Loqarifmlər götürərkən amillərin hasilləri terminlərin cəminə çevrilir.

Potensiasiya loqarifmin tərs riyazi əməliyyatıdır. Potensiasiya zamanı verilmiş baza potensiasiyanın həyata keçirildiyi ifadə dərəcəsinə qaldırılır. Bu zaman terminlərin cəmi amillərin məhsuluna çevrilir.

Çox vaxt real loqarifmlərdən 2 (ikilik), Eyler nömrəsi e ≈ 2.718 (təbii loqarifm) və 10 (onluq) əsasları ilə istifadə olunur.

Aktiv bu mərhələdə nəzərə alınması məqsədəuyğundur loqarifm nümunələri log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Və lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişlərinin mənası yoxdur, çünki onlardan birincisində loqarifmin işarəsi altında mənfi ədəd, ikincisində isə mənfi ədəd yer alır. əsasda, üçüncüdə isə loqarifm işarəsinin altında mənfi ədəd və bazada vahid var.

Loqarifmin təyin edilməsi şərtləri.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 şərtlərini ayrıca nəzərdən keçirməyə dəyər. loqarifmin tərifi. Gəlin bu məhdudiyyətlərin nə üçün alındığını düşünək. Bu işdə bizə x = log α formasının bərabərliyi kömək edəcək b, yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn əsas loqarifmik eynilik adlanır.

Şərti götürək a≠1. Hər hansı bir gücə bir bərabər olduğundan, x=log α bərabərliyi b yalnız o zaman mövcud ola bilər b=1, lakin log 1 1 istənilən real rəqəm olacaq. Bu qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün alırıq a≠1.

Şərtin zəruriliyini sübut edək a>0. At a=0 loqarifmin formalaşdırılmasına görə yalnız zaman mövcud ola bilər b=0. Və buna uyğun olaraq log 0 0 sıfırdan qeyri-sıfırdan hər hansı bir real ədəd ola bilər, çünki sıfırın sıfırdan hər hansı bir qüvvəsi sıfırdır. Bu qeyri-müəyyənlik şərtlə aradan qaldırıla bilər a≠0. Və nə zaman a<0 loqarifmin rasional və irrasional qiymətlərinin təhlilindən imtina etməli olardıq, çünki rasional və irrasional eksponentli dərəcə yalnız mənfi olmayan əsaslar üçün müəyyən edilir. Məhz bu səbəbdən şərt qoyulub a>0.

Və son şərt b>0 bərabərsizlikdən irəli gəlir a>0, çünki x=log α b, və müsbət baza ilə dərəcənin dəyəri a həmişə pozitiv.

Loqarifmlərin xüsusiyyətləri.

Loqarifmlər fərqliliyi ilə xarakterizə olunur xüsusiyyətləri, bu, əziyyətli hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırmaq üçün onların geniş istifadəsinə səbəb oldu. "Loqarifmlər dünyasına" hərəkət edərkən, vurma daha asan toplamaya çevrilir, bölmə çıxmaya çevrilir və eksponentasiya və kök çıxarma müvafiq olaraq eksponentlə vurma və bölməyə çevrilir.

Loqarifmlərin tərtibi və onların qiymət cədvəli (üçün triqonometrik funksiyalar) ilk dəfə 1614-cü ildə Şotlandiya riyaziyyatçısı Con Napier tərəfindən nəşr edilmişdir. Digər alimlər tərəfindən böyüdülmüş və təfərrüatlı şəkildə tərtib edilmiş loqarifmik cədvəllər elmi və mühəndis hesablamalarında geniş şəkildə istifadə edilmiş, elektron hesablama maşınları və kompüterlərdən istifadə olunana qədər öz aktuallığını saxlamışdır.