Faktorlara ayırın böyük rəqəm- asan iş deyil.İnsanların çoxu dörd və ya beş rəqəmli rəqəmləri tapmaqda çətinlik çəkir. Prosesi asanlaşdırmaq üçün iki sütunun üstündəki nömrəni yazın.

• Gəlin 6552 rəqəmini çarpazlara ayıraq.

Onlayn kalkulyator.
Binomun kvadratı və faktorinqi kvadrat üçbucaqlı.

Bunlar. Problemlər \(p, q\) və \(n, m\) ədədlərinin tapılmasına qədər uzanır.

Proqram təkcə problemin cavabını vermir, həm də həll prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəb tələbələri üçün faydalı ola bilər orta məktəblərüçün hazırlanır testlər və imtahanlar, Vahid Dövlət İmtahanından əvvəl bilikləri sınayarkən, valideynlər üçün riyaziyyat və cəbrdə bir çox problemlərin həllinə nəzarət etmək. Yoxsa repetitor işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq sizin üçün çox bahadır? Yoxsa bunu mümkün qədər tez bitirmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyatda yoxsa cəbrdə? Bu halda siz də ətraflı həlləri olan proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz təliminizi və/yaxud kiçik qardaş və ya bacılarınızın təlimini həyata keçirə bilərsiniz, eyni zamanda problemlərin həlli sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəlir.

Kvadrat üçlüyə daxil olmaq qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Kvadrat çoxhədlinin daxil edilməsi qaydaları

İstənilən Latın hərfi dəyişən kimi çıxış edə bilər.
Məsələn: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) və s.

Ədədlər tam və ya kəsr ədədlər kimi daxil edilə bilər.
Üstəlik, kəsr ədədləri yalnız onluq şəklində deyil, həm də adi kəsr şəklində daxil edilə bilər.

Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Onluq kəsrlərdə kəsr hissəsi tam hissədən ya nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn, daxil edə bilərsiniz ondalıklar belə: 2,5x - 3,5x^2

Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Yalnız tam ədəd kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi çıxış edə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Rəqəmsal kəsr daxil edərkən, pay məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Bütün hissə kəsrdən ampersand işarəsi ilə ayrılır: &
Daxiletmə: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Nəticə: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

İfadə daxil edərkən mötərizələrdən istifadə edə bilərsiniz. Bu halda, həll edərkən, təqdim olunan ifadə əvvəlcə sadələşdirilir.
Məsələn: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Misal ətraflı həlli

Binomun kvadratının təcrid edilməsi.$$ ax^2+bx+c \sağqarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\sol( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\sol (x^2 + 2 \cdot\sol(\frac(1)(2) \sağ)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \sağ)^2 \sağ)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\sol(x+\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) $$ Cavab:$2x^2+2x-4 = 2\sol(x+\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasiya.$$ ax^2+bx+c \sağ a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \sol(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \sağ) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \sağ) -1 \sol(x +2 \sağ) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \sağ) \left(x +2 \sağ) $$ Cavab:$2x^2+2x-4 = 2 \sol(x -1 \sağ) \sol(x +2 \sağ) $$

Məlum olub ki, bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbəyə alınıb.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa, gözləyin san...

Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Binomun kvadratının kvadrat trinomialdan təcrid edilməsi

Kvadrat üçhəcmli ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q şəklində təqdim edilirsə, burada p və q həqiqi ədədlərdir, onda biz deyirik ki, kvadrat trinomial, binomun kvadratı vurğulanır.

2x 2 +12x+14 trinomialından binomun kvadratını çıxarırıq.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Bunun üçün 6x-i 2*3*x-in hasili kimi təsəvvür edin və sonra 3 2-ni əlavə edib çıxarın. Biz əldə edirik:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Bu. Biz kvadrat trinomialdan kvadrat binom çıxarın, və göstərdi ki:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrat üçhəmin faktorinqi

Kvadrat üçhəcmli ax 2 +bx+c a(x+n)(x+m) şəklində göstərilibsə, burada n və m həqiqi ədədlərdir, onda əməliyyatın yerinə yetirildiyi deyilir. kvadrat üçhəmin faktorlara ayrılması.

Bu çevrilmənin necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Kvadrat üçhəcmli 2x 2 +4x-6 amilini ayıraq.

Mötərizədə a əmsalını götürək, yəni. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mötərizədə ifadəni çevirək.
Bunun üçün 2x-i 3x-1x fərqi, -3-ü isə -1*3 kimi təsəvvür edin. Biz əldə edirik:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Bu. Biz kvadrat üçbucaqlı faktorlarla, və göstərdi ki:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Qeyd edək ki, kvadrat üçhəcmli faktorinq yalnız o zaman mümkündür: kvadrat tənlik, bu üçbucaqlıya uyğun gələn köklərə malikdir.
Bunlar. bizim halda, 2x 2 +4x-6 =0 kvadrat tənliyinin kökləri varsa, 2x 2 +4x-6 üçhəcmini faktorlara ayırmaq olar. Faktorlara ayırma prosesində müəyyən etdik ki, 2x 2 + 4x-6 = 0 tənliyinin iki kökü 1 və -3 var, çünki bu qiymətlərlə 2(x-1)(x+3)=0 tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilir.

Faktorinq nə deməkdir? Bu, məhsulu orijinal ədədə bərabər olan ədədlərin tapılması deməkdir.

Faktorun nə demək olduğunu başa düşmək üçün bir misala baxaq.

Ədədin faktorinqinə nümunə

8 rəqəmini hesablayın.

8 rəqəmi 2-nin 4-ə hasili kimi göstərilə bilər:

8-i 2 * 4-ün hasili kimi göstərmək faktorlara ayırma deməkdir.

Qeyd edək ki, bu, 8-in yeganə faktorizasiyası deyil.

Axı, 4 belə faktorlara bölünür:

Buradan 8-i təmsil etmək olar:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Gəlin cavabımızı yoxlayaq. Faktorizasiyanın nəyə bərabər olduğunu tapaq:

Yəni orijinal nömrəni aldıq, cavab düzgündür.

24 rəqəmini əsas amillərə ayırın

24 rəqəmini sadə amillərə necə ayırmaq olar?

Ədəd yalnız birə və özünə bölünürsə, ona sadə deyilir.

8 rəqəmi 3-ün 8-in hasili kimi göstərilə bilər:

Burada 24 rəqəmi faktorlara bölünür. Ancaq tapşırıqda deyilir ki, "24 rəqəmini əsas amillərə ayırın", yəni. Lazım olan əsas amillərdir. Genişlənməmizdə isə 3 əsas amildir, 8 isə əsas amil deyil.

Bu məqalə vərəqdəki nömrənin faktorinqi sualına cavab verir. Gəlin nəzərdən keçirək ümumi fikir misallarla parçalanma haqqında. Genişlənmənin kanonik formasını və onun alqoritmini təhlil edək. Bölünmə əlamətləri və vurma cədvəllərindən istifadə etməklə bütün alternativ üsullar nəzərdən keçiriləcək.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ədədi əsas amillərə ayırmaq nə deməkdir?

Baş amillər anlayışına nəzər salaq. Məlumdur ki, hər bir sadə amil sadə ədəddir. 2 · 7 · 7 · 23 formasının hasilində 2, 7, 7, 23 şəklində 4 əsas amilimiz var.

Faktorizasiya onun asalların məhsulu şəklində təqdim edilməsini nəzərdə tutur. Əgər 30 rəqəmini parçalamaq lazımdırsa, onda 2, 3, 5 alırıq. Giriş 30 = 2 · 3 · 5 şəklində olacaq. Mümkündür ki, çarpanlar təkrarlana bilər. 144 kimi bir ədəddə 144 = 2 2 2 2 3 3 olur.

Bütün nömrələr çürüməyə meylli deyil. 1-dən böyük və tam ədəd olan ədədlər faktorlara bölünə bilər. Sadə ədədlər faktorlara bölündükdə yalnız 1-ə və özlərinə bölünür, ona görə də bu ədədləri hasil kimi göstərmək mümkün deyil.

z tam ədədlərə aid olduqda, a və b-nin hasili kimi göstərilir, burada z a və b-yə bölünür. Mürəkkəb ədədlər arifmetikanın əsas teoremindən istifadə edərək faktorlara bölünür. Əgər ədəd 1-dən böyükdürsə, onda onun faktorizasiyası p 1, p 2, ..., p n a = p 1 , p 2 , … , p n formasını alır . Parçalanmanın tək bir variantda olduğu güman edilir.

Ədədin əsas amillərə kanonik faktorlara bölünməsi

Genişlənmə zamanı amillər təkrarlana bilər. Onlar dərəcələrdən istifadə edərək kompakt şəkildə yazılmışdır. Əgər a ədədini parçalayanda s 1 dəfə və s. p n – s n dəfə baş verən p 1 amili olarsa. Beləliklə, genişlənmə formasını alacaq a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Bu giriş ədədin əsas amillərə kanonik faktorlaşdırılması adlanır.

609840 rəqəmini genişləndirəndə alırıq ki, 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, onun kanonik forması 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 olacaqdır. Kanonik genişlənmədən istifadə edərək, bir ədədin bütün bölənlərini və onların sayını tapa bilərsiniz.

Düzgün faktorlara ayırmaq üçün sadə və mürəkkəb ədədləri başa düşməlisiniz. Məsələ ondadır ki, p 1, p 2, ..., p n formasında bölünənlərin ardıcıl sayını əldə etməkdir. nömrələri a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, bu, əldə etməyi mümkün edir a = p 1 a 1, burada a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , burada a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , harada a n = a n - 1: p n. Qəbul edildikdən sonra a n = 1, sonra bərabərlik a = p 1 · p 2 · … · p n a sayının sadə amillərə lazımi parçalanmasını alırıq. qeyd et ki p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Ən az ümumi amilləri tapmaq üçün sadə ədədlər cədvəlindən istifadə etməlisiniz. Bu, z ədədinin ən kiçik sadə böləninin tapılması nümunəsindən istifadə etməklə həyata keçirilir. 2, 3, 5, 11 və s. sadə ədədləri götürərkən və z ədədini onlara bölərkən. z sadə ədəd olmadığı üçün nəzərə almaq lazımdır ki, ən kiçik sadə bölən z-dən böyük olmayacaq. Görünür ki, z-nin bölənləri yoxdur, onda aydın olur ki, z sadə ədəddir.

Misal 1

87 rəqəminin nümunəsinə baxaq. 2-yə bölündükdə 87: 2 = 43 qalığı 1 olur. Buradan belə çıxır ki, 2 bölən ola bilməz; bölmə tamamilə aparılmalıdır. 3-ə bölündükdə 87: 3 = 29 alırıq. Beləliklə, nəticə belədir ki, 3 87 ədədinin ən kiçik sadə bölənidir.

Sadə amilləri hesablayarkən sadə ədədlər cədvəlindən istifadə etməlisiniz, burada a. 95 faktorinqi zamanı təxminən 10 sadə, 846653 faktorinqi zamanı isə təxminən 1000-dən istifadə etməlisiniz.

Ayrışma alqoritmini əsas amillərə nəzər salaq:

• ədədin p 1 böləninin ən kiçik amilinin tapılması a düsturuna görə a 1 = a: p 1, a 1 = 1 olduqda, a sadə ədəddir və 1-ə bərabər olmayanda amilləşdirməyə daxil edilir, onda a = p 1 · a 1 və aşağıdakı nöqtəyə əməl edin;
• a 1 ədədinin p 2 baş bölənini tapmaq 2 = a 1: p 2 istifadə edərək sadə ədədləri ardıcıl olaraq sadalamaqla , 2 = 1 olduqda , onda genişlənmə a = p 1 p 2 formasını alacaq , a 2 = 1 olduqda, a = p 1 p 2 a 2 , və biz növbəti mərhələyə keçirik;
• sadə ədədlər vasitəsilə axtarış və sadə bölən tapmaq səh 3 nömrələri a 2 a 3 = a 2 düsturuna görə: a 3 = 1 olduqda p 3 , onda alırıq ki, a = p 1 p 2 p 3 , 1-ə bərabər olmadıqda, a = p 1 p 2 p 3 a 3 və növbəti mərhələyə keçin;
• baş bölən tapılır p n nömrələri a n - 1 ilə sadə ədədləri sadalamaqla pn - 1, və a n = a n - 1: p n, burada a n = 1, addım sondur, nəticədə a = p 1 · p 2 · … · p n alırıq. .

Alqoritmin nəticəsi sütunda ardıcıl olaraq şaquli çubuqla parçalanmış amillərlə cədvəl şəklində yazılır. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Nəticə alqoritmi ədədləri sadə amillərə parçalayaraq tətbiq etmək olar.

Əsas amilləri nəzərə alaraq, əsas alqoritmə əməl edilməlidir.

Misal 2

78 rəqəmini əsas amillərə ayırın.

Həll

Ən kiçik sadə bölməni tapmaq üçün 78-də bütün sadə ədədləri keçmək lazımdır. Yəni 78: 2 = 39. Qalıqsız bölmə, bunun p 1 kimi qeyd etdiyimiz ilk sadə bölən olduğunu bildirir. Alırıq ki, a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. a = p 1 · a 1 şəklində bərabərliyə gəldik , burada 78 = 2 39. Sonra a 1 = 39, yəni növbəti mərhələyə keçməliyik.

Gəlin əsas bölücünün tapılmasına diqqət edək səh2 nömrələri a 1 = 39. Sadə ədədlərdən keçməlisiniz, yəni 39: 2 = 19 (qalan 1). Qalıq ilə bölmə olduğundan, 2 bölən deyil. 3 rəqəmini seçərkən 39: 3 = 13 alırıq. Bu o deməkdir ki, p 2 = 3 39-un 2 = a 1-ə ən kiçik sadə bölənidir: p 2 = 39: 3 = 13. Formanın bərabərliyini əldə edirik a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 şəklində. Bizdə var ki, 2 = 13 1-ə bərabər deyil, onda davam etməliyik.

a 2 = 13 ədədinin ən kiçik baş bölənini 3-dən başlayaraq ədədlər arasında axtararaq tapmaq olar. 13: 3 = 4 (qalan 1) alırıq. Buradan 13-ün 5, 7, 11-ə bölünmədiyini görə bilərik, çünki 13: 5 = 2 (qalan. 3), 13: 7 = 1 (qalan. 6) və 13: 11 = 1 (qalan. 2) . 13-ün sadə ədəd olduğunu görmək olar. Formula görə belə görünür: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Biz tapdıq ki, 3 = 1 alqoritmin tamamlanması deməkdir. İndi amillər 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) kimi yazılır.

Cavab: 78 = 2 3 13.

Misal 3

83,006 rəqəmini əsas amillərə ayırın.

Həll

İlk addım faktorinqi əhatə edir p 1 = 2 Və a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, burada 83,006 = 2 · 41,503.

İkinci addım 2, 3 və 5-in a 1 = 41.503 ədədinin əsas bölənləri olmadığını, lakin 7-nin baş bölən olduğunu qəbul edir, çünki 41.503: 7 = 5.929. Alırıq ki, p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Aydındır ki, 83,006 = 2 7 5 929.

a 3 = 847 ədədinə p 4-ün ən kiçik sadə bölənini tapmaq 7-dir. Görünür ki, a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, deməli 83 006 = 2 7 7 7 121.

a 4 = 121 ədədinin əsas bölənini tapmaq üçün 11 rəqəmindən istifadə edirik, yəni p 5 = 11. Sonra formanın ifadəsini alırıq a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, və 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

Nömrə üçün a 5 = 11 nömrə səh 6 = 11ən kiçik baş böləndir. Beləliklə, a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Sonra 6 = 1. Bu, alqoritmin tamamlandığını göstərir. Faktorlar 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 kimi yazılacaq.

Cavabın kanonik qeydi 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 formasını alacaq.

Cavab: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Misal 4

897.924.289 ədədini çarpın.

Həll

Birinci sadə amili tapmaq üçün 2-dən başlayaraq sadə ədədləri axtarın. Axtarışın sonu 937 nömrəsində baş verir. Onda p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 və 897 924 289 = 937 958 297.

Alqoritmin ikinci addımı daha kiçik sadə ədədlər üzərində təkrarlamaqdır. Yəni 937 rəqəmi ilə başlayırıq. 967 ədədini sadə saymaq olar, çünki o, a 1 = 958,297 ədədinin baş bölənidir. Buradan alırıq ki, p 2 = 967, sonra a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 və 897 924 289 = 937 967 991.

Üçüncü addımda deyilir ki, 991 sadə rəqəmdir, çünki onun 991-dən çox olmayan bir sadə amili yoxdur. Radikal ifadənin təxmini dəyəri 991-dir< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Bu, p 3 = 991 və a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 olduğunu göstərir. Biz tapırıq ki, 897 924 289 ədədinin sadə amillərə parçalanması 897 924 289 = 937 967 991 kimi alınır.

Cavab: 897 924 289 = 937 967 991.

Baş faktorlara ayırma üçün bölünmə testlərindən istifadə

Ədədi əsas amillərə daxil etmək üçün bir alqoritmə əməl etməlisiniz. Kiçik ədədlər olduqda vurma cədvəlindən və bölünmə işarələrindən istifadə etmək icazəlidir. Buna misallarla baxaq.

Misal 5

Əgər 10-u faktorlara ayırmaq lazımdırsa, onda cədvəldə göstərilir: 2 · 5 = 10. Nəticədə çıxan 2 və 5 ədədləri sadə ədədlərdir, ona görə də 10 ədədi üçün sadə amillərdir.

Misal 6

48 rəqəmini parçalamaq lazımdırsa, cədvəldə göstərilir: 48 = 6 8. Lakin 6 və 8 əsas amillər deyil, çünki onları 6 = 2 3 və 8 = 2 4 kimi də genişləndirmək olar. Onda buradan tam genişlənmə 48 = 6 8 = 2 3 2 4 kimi alınır. Kanonik qeyd 48 = 2 4 · 3 formasını alacaq.

Misal 7

3400 rəqəmini parçalayanda bölünmə əlamətlərindən istifadə edə bilərsiniz. Bu halda 10 və 100-ə bölünmə əlamətləri aktualdır. Buradan 3400 = 34 · 100-ü alırıq, burada 100-ü 10-a bölmək olar, yəni 100 = 10 · 10 kimi yazılır, bu o deməkdir ki, 3400 = 34 · 10 · 10. Bölünmə testinə əsasən, 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 olduğunu tapırıq. Bütün amillər əsasdır. Kanonik genişlənmə formasını alır 3 400 = 2 3 5 2 17.

Əsas amilləri tapdıqda, bölünmə testlərindən və vurma cədvəllərindən istifadə etməliyik. Əgər 75 rəqəmini amillərin məhsulu kimi təsəvvür edirsinizsə, onda 5-ə bölünmə qaydasını nəzərə almaq lazımdır. 75 = 5 15 və 15 = 3 5 alırıq. Yəni, istənilən genişlənmə məhsulun 75 = 5 · 3 · 5 formasının bir nümunəsidir.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu məqalədə suala cavab vermək üçün bütün lazımi məlumatları tapa bilərsiniz, ədədi əsas amillərə necə amil etmək olar. Əvvəlcə bir sıranın əsas amillərə parçalanması haqqında ümumi fikir verilir və parçalanma nümunələri verilir. Aşağıda ədədin əsas amillərə parçalanmasının kanonik forması göstərilir. Bundan sonra ixtiyari ədədlərin sadə amillərə parçalanması alqoritmi verilir və bu alqoritmdən istifadə edərək ədədlərin parçalanmasına dair nümunələr verilir. Bölünmə testləri və vurma cədvəllərindən istifadə edərək kiçik tam ədədləri tez bir zamanda əsas amillərə çevirməyə imkan verən alternativ üsullar da nəzərdən keçirilir.

Səhifə naviqasiyası.

Ədədi əsas amillərə ayırmaq nə deməkdir?

Əvvəlcə əsas amillərin nə olduğuna baxaq.

Aydındır ki, bu ifadədə “amillər” sözü olduğu üçün bəzi ədədlərin hasili var və “sadə” seçmə sözü hər bir faktorun sadə ədəd olduğunu bildirir. Məsələn, 2·7·7·23 formalı hasildə dörd sadə amil var: 2, 7, 7 və 23.

Ədədi əsas amillərə ayırmaq nə deməkdir?

Bu o deməkdir ki, bu ədəd əsas amillərin hasili kimi göstərilməlidir və bu məhsulun dəyəri ilkin ədədə bərabər olmalıdır. Nümunə olaraq üç sadə ədədin hasilini nəzərdən keçirək 2, 3 və 5, o, 30-a bərabərdir, beləliklə, 30 ədədinin sadə amillərə parçalanması 2·3·5-dir. Adətən ədədin sadə amillərə parçalanması bərabərlik kimi yazılır, bizim nümunəmizdə belə olacaq: 30=2·3·5. Genişlənmədə əsas amillərin təkrarlana biləcəyini ayrıca vurğulayırıq. Bunu aşağıdakı misal aydın şəkildə göstərir: 144=2·2·2·2·3·3. Lakin 45=3·15 formasının təsviri sadə amillərə parçalanma deyil, çünki 15 ədədi mürəkkəb ədəddir.

Oyanır növbəti sual: "Hansı ədədləri əsas amillərə bölmək olar?"

Buna cavab axtarmaq üçün aşağıdakı əsaslandırmanı təqdim edirik. Sadə ədədlər tərifinə görə birdən böyük olanlar arasındadır. Bu faktı nəzərə alaraq və iddia etmək olar ki, bir neçə sadə amillərin hasili tam ədəddir. müsbət rəqəm, birdən çoxdur. Buna görə də, əsas amillərə bölünmə yalnız 1-dən böyük olan müsbət tam ədədlər üçün baş verir.

Amma birdən böyük bütün tam ədədləri əsas amillərə aid etmək olarmı?

Aydındır ki, sadə tam ədədləri sadə amillərə ayırmaq mümkün deyil. Bunun səbəbi, sadə ədədlərin yalnız iki müsbət amili var - bir və özü, ona görə də onları iki və ya daha çox sadə ədədin hasili kimi təqdim etmək olmaz. Əgər z tam ədədini a və b sadə ədədlərinin hasili kimi təqdim etmək mümkün olsaydı, onda bölünmə anlayışı z-nin həm a, həm də b-yə bölünməsi qənaətinə gəlməyə imkan verərdi ki, bu da z ədədinin sadəliyinə görə qeyri-mümkündür. Bununla belə, onlar hesab edirlər ki, istənilən sadə ədədin özü bir parçalanmadır.

Bəs kompozit ədədlər? Mürəkkəb ədədlər sadə amillərə parçalanırmı və bütün mürəkkəb ədədlər belə parçalanmaya məruz qalırmı? Hesabın əsas teoremi bu sualların bir sırasına müsbət cavab verir. Arifmetikanın əsas teoremində deyilir ki, 1-dən böyük olan istənilən a tam ədədi p 1, p 2, ..., p n əsas amillərinin hasilinə parçalana bilər və parçalanma a = p 1 · p 2 · formasına malikdir. … · p n və bu genişlənmə unikaldır, əgər amillərin sırasını nəzərə almasanız

Ədədin əsas amillərə kanonik faktorlara bölünməsi

Bir sıra genişlənməsində əsas amillər təkrarlana bilər. Təkrarlanan əsas amillərdən istifadə edərək daha yığcam yazmaq olar. Ədədin parçalanmasında p 1 baş amili s 1 dəfə, baş amili p 2 – s 2 dəfə və s. p n – s n dəfə baş versin. Onda a ədədinin sadə çarpayılara bölünməsi belə yazıla bilər a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bu qeyd forması sözdə deyilir ədədin əsas amillərə kanonik faktorlaşdırılması.

Ədədin əsas amillərə kanonik parçalanmasına misal verək. Bizə parçalanmanı bildirin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, onun kanonik qeyd forması var 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Ədədin əsas amillərə kanonik bölünməsi ədədin bütün bölənlərini və ədədin bölənlərinin sayını tapmağa imkan verir.

Ədədin əsas amillərə bölünməsi alqoritmi

Ədədin əsas amillərə parçalanması vəzifəsinin öhdəsindən uğurla gəlmək üçün sadə və mürəkkəb ədədlər məqaləsindəki məlumatı çox yaxşı bilməlisiniz.

Birdən çox olan müsbət a tam ədədinin parçalanması prosesinin mahiyyəti hesabın əsas teoreminin sübutundan aydın olur. Məsələ a, a 1, a 2, ..., a n-1 ədədlərinin p 1, p 2, ..., p n ən kiçik sadə bölənlərini ardıcıl olaraq tapmaqdır ki, bu da bərabərliklər silsiləsi almağa imkan verir. a=p 1 ·a 1, burada a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , burada a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , burada a n =a n-1:p n . a n =1 çıxdıqda, a=p 1 ·p 2 ·…·p n bərabərliyi bizə a ədədinin sadə amillərə istənilən parçalanmasını verəcəkdir. Burada onu da qeyd etmək lazımdır ki p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Hər addımda ən kiçik əsas amilləri necə tapmaq lazım olduğunu anlamaq qalır və biz bir ədədi əsas amillərə parçalamaq üçün alqoritmimiz olacaq. Sadə ədədlər cədvəli bizə əsas amilləri tapmağa kömək edəcək. Gəlin z ədədinin ən kiçik sadə bölənini əldə etmək üçün ondan necə istifadə edəcəyimizi göstərək.

Sadə ədədlər cədvəlindən ardıcıl olaraq sadə ədədləri götürürük (2, 3, 5, 7, 11 və s.) və verilmiş z ədədini onlara bölürük. z-nin bərabər bölündüyü ilk sadə ədəd onun ən kiçik sadə bölməsi olacaqdır. Əgər z ədədi sadədirsə, onda onun ən kiçik sadə bölməsi z ədədinin özü olacaqdır. Burada xatırlatmaq lazımdır ki, z sadə ədəd deyilsə, onun ən kiçik sadə bölməsi z-dən olan ədədi keçmir. Beləliklə, -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında z ədədinin bir dənə də bölməsi yox idisə, o zaman belə nəticəyə gəlmək olar ki, z sadə ədəddir (bu barədə daha ətraflı nəzəriyyə bölməsində Bu ədəd sadə və ya mürəkkəbdir başlığı altında yazılmışdır). ).

Nümunə olaraq 87 ədədinin ən kiçik baş bölənini necə tapacağını göstərəcəyik. 2 nömrəsini götürək. 87-ni 2-yə bölün, 87:2=43 (qalan 1) alırıq (lazım olduqda, məqaləyə baxın). Yəni 87-ni 2-yə böləndə qalıq 1-dir, ona görə də 2 87-nin böləni deyil. Sadə ədədlər cədvəlindən növbəti sadə ədədi götürürük, bu 3 rəqəmidir. 87-ni 3-ə bölün, 87:3=29 alırıq. Beləliklə, 87 3-ə bölünür, buna görə də 3 rəqəmi 87 rəqəminin ən kiçik sadə bölənidir.

Nəzərə alın ki, ümumi halda a ədədini sadə amillərə ayırmaq üçün bizə -dən az olmayan sadə ədədlər cədvəli lazımdır. Hər addımda bu cədvələ müraciət etməli olacağıq, ona görə də əlimizdə olmalıdır. Məsələn, 95 rəqəmini sadə amillərə ayırmaq üçün bizə yalnız 10-a qədər sadə ədədlər cədvəlinə ehtiyacımız olacaq (çünki 10-dan böyükdür). 846,653 ədədini parçalamaq üçün artıq 1000-ə qədər sadə ədədlər cədvəlinə ehtiyacınız olacaq (çünki 1000 -dən böyükdür).

İndi yazmaq üçün kifayət qədər məlumatımız var ədədi əsas amillərə ayırma alqoritmi. a rəqəminin parçalanması alqoritmi aşağıdakı kimidir:

• Sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıllıqla çeşidləyərək, a ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 1 tapırıq, bundan sonra 1 =a:p 1 hesablayırıq. Əgər a 1 =1 olarsa, onda a ədədi sadədir və özü də onun əsas amillərə parçalanmasıdır. Əgər a 1 1-ə bərabər deyilsə, onda a=p 1 ·a 1 olur və növbəti mərhələyə keçirik.
• a 1 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 2 tapırıq, bunun üçün p 1 ilə başlayaraq sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıl olaraq çeşidləyirik və sonra a 2 =a 1:p 2 hesablayırıq. Əgər a 2 =1 olarsa, onda a ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması a=p 1 ·p 2 formasına malikdir. Əgər a 2 1-ə bərabər deyilsə, onda a=p 1 ·p 2 ·a 2 olur və növbəti mərhələyə keçirik.
• Sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri keçərək p 2-dən başlayaraq a 2 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 3 tapırıq, bundan sonra a 3 =a 2:p 3 hesablayırıq. Əgər a 3 =1 olarsa, onda a ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması a=p 1 ·p 2 ·p 3 formasına malikdir. Əgər 3 1-ə bərabər deyilsə, onda biz a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3-ə sahibik və növbəti mərhələyə keçirik.
• A n-1 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p n tapırıq, p n-1-dən başlayaraq sadə ədədlər, eləcə də a n =a n-1:p n və a n 1-ə bərabərdir. Bu addım alqoritmin son pilləsidir, burada a ədədinin sadə amillərə lazımi parçalanmasını əldə edirik: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Aydınlıq üçün, ədədin sadə amillərə parçalanması alqoritminin hər addımında əldə edilən bütün nəticələr aşağıdakı cədvəl şəklində təqdim olunur ki, burada a, a 1, a 2, ..., a n ədədləri ardıcıl olaraq yazılır. şaquli xəttin solunda və xəttin sağında bir sütunda - müvafiq ən kiçik baş bölücülər p 1, p 2, ..., p n.

Yalnız ədədlərin əsas amillərə parçalanması üçün nəticə alqoritminin tətbiqinə dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirmək qalır.

Baş faktorlara ayırma nümunələri

İndi ətraflı baxacağıq ədədlərin sadə amillərə çevrilməsi nümunələri. Parçalayarkən, əvvəlki paraqrafdakı alqoritmdən istifadə edəcəyik. Sadə hallardan başlayaq və ədədləri əsas amillərə parçalayan zaman yaranan bütün mümkün nüanslarla qarşılaşmaq üçün onları tədricən çətinləşdirək.

Misal.

78 rəqəmini əsas amillərə daxil edin.

Həll.

a=78 ədədinin p 1 ilk ən kiçik sadə bölənini axtarmağa başlayırıq. Bunun üçün sadə ədədlər cədvəlindən sadə ədədləri ardıcıl olaraq çeşidləməyə başlayırıq. 2 rəqəmini götürüb 78-i ona bölürük, 78:2=39 alırıq. 78 ədədi 2-yə qalıqsız bölünür, ona görə də p 1 =2 78 ədədinin ilk tapılan sadə bölənidir. Bu halda, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Beləliklə, 78=2·39 formasına malik olan a=p 1 ·a 1 bərabərliyinə gəlirik. Aydındır ki, 1 =39 1-dən fərqlidir, ona görə də alqoritmin ikinci pilləsinə keçirik.

İndi a 1 =39 ədədinin ən kiçik sadə bölən p 2-ni axtarırıq. Biz p 1 =2 ilə başlayan sadə ədədlər cədvəlindən ədədləri sadalamağa başlayırıq. 39-u 2-yə bölün, 39:2=19 alırıq (qalan 1). 39 2-yə bərabər bölünmədiyi üçün 2 onun böləni deyil. Sonra sadə ədədlər cədvəlindən (3 ədəd) növbəti ədədi götürüb 39-u ona bölürük, 39:3=13 alırıq. Buna görə də, p 2 =3 39 ədədinin ən kiçik sadə bölənidir, a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. 78=2·3·13 şəklində a=p 1 ·p 2 ·a 2 bərabərliyinə sahibik. 2 =13 1-dən fərqli olduğu üçün alqoritmin növbəti mərhələsinə keçirik.

Burada a 2 =13 ədədinin ən kiçik baş bölənini tapmaq lazımdır. 13 ədədinin ən kiçik sadə böləni p 3-ün axtarışında, biz p 2 =3 ilə başlayaraq sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıllıqla çeşidləyəcəyik. 13 rəqəmi 3-ə bölünmür, çünki 13:3=4 (qalan. 1), həmçinin 13 5, 7 və 11-ə bölünmür, 13:5=2 (qalan. 3), 13:7=1 olduğundan (istirahət. 6) və 13:11=1 (istirahət. 2). Növbəti sadə ədəd 13-dür və 13 ona qalıqsız bölünür, buna görə də 13-ün ən kiçik sadə bölən p 3 13 ədədinin özüdür və 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 olduğundan alqoritmin bu addımı sonuncudur və 78 ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması 78=2·3·13 formasına malikdir (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Cavab:

78=2·3·13.

Misal.

83.006 ədədini sadə amillərin hasili kimi ifadə edin.

Həll.

Ədədin əsas amillərə parçalanması alqoritminin ilk addımında biz p 1 =2 və a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 tapırıq ki, bunlardan 83,006=2·41,503.

İkinci addımda 2, 3 və 5-in a 1 =41.503 ədədinin sadə bölənləri olmadığını, 41.503:7=5.929 olduğundan 7 rəqəminin olduğunu öyrənirik. Bizdə p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Beləliklə, 83,006=2 7 5 929.

5 929:7 = 847 olduğundan a 2 =5 929 ədədinin ən kiçik baş böləni 7 ədədidir. Beləliklə, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ondan 83 006 = 2·7·7·847.

Sonra a 3 =847 ədədinin p 4 ən kiçik sadə böləninin 7-yə bərabər olduğunu tapırıq. Onda a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, deməli 83 006=2·7·7·7·121.

İndi a 4 =121 ədədinin ən kiçik sadə bölənini tapırıq, bu, p 5 =11 ədədidir (çünki 121 11-ə bölünür, 7-yə bölünmür). Onda a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, və 83 006=2·7·7·7·11·11.

Nəhayət, a 5 =11 ədədinin ən kiçik baş böləni p 6 =11 ədədidir. Onda a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 olduğundan, ədədi sadə amillərə parçalamaq üçün alqoritmin bu addımı sonuncudur və istədiyiniz parçalanma 83 006 = 2·7·7·7·11·11 formasına malikdir.

Alınan nəticə ədədin 83 006 = 2·7 3 ·11 2 sadə amillərə kanonik parçalanması kimi yazıla bilər.

Cavab:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 sadə rəqəmdir. Həqiqətən də, onun (təxminən 991-dən çox olmayan) əsas bölməsi yoxdur, çünki aydındır ki, 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Cavab:

897 924 289 = 937 967 991 .

Baş faktorlara ayırma üçün bölünmə testlərindən istifadə

Sadə hallarda, bu məqalənin birinci abzasındakı parçalanma alqoritmini istifadə etmədən bir sıra əsas amillərə parçalaya bilərsiniz. Əgər ədədlər böyük deyilsə, onda onları əsas amillərə parçalamaq üçün çox vaxt bölünmə əlamətlərini bilmək kifayətdir. Aydınlaşdırmaq üçün misallar verək.

Məsələn, 10 rəqəmini əsas amillərə ayırmalıyıq. Vurma cədvəlindən bilirik ki, 2·5=10 və 2 və 5 ədədləri açıq-aydın sadədir, ona görə də 10 ədədinin sadə faktorlara ayrılması 10=2·5 kimi görünür.

Başqa bir misal. Çarpma cədvəlindən istifadə edərək 48 rəqəmini sadə amillərə ayıracağıq. Bilirik ki, altı səkkizdir - qırx səkkiz, yəni 48 = 6 · 8. Bununla belə, nə 6, nə də 8 sadə ədədlər deyil. Amma biz bilirik ki, iki dəfə üç altı, iki dəfə dörd isə səkkizdir, yəni 6=2·3 və 8=2·4. Onda 48=6·8=2·3·2·4. İki dəfə ikinin dörd olduğunu xatırlamaq qalır, onda biz 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2 əsas amillərinə istədiyiniz parçalanmanı alırıq. Bu genişlənməni kanonik formada yazaq: 48=2 4 ·3.

Lakin 3400 ədədini əsas amillərə ayırarkən, bölünmə meyarlarından istifadə edə bilərsiniz. 10-a, 100-ə bölünmə əlamətləri bildirməyə imkan verir ki, 3.400-ün 100-ə bölünməsi, 3.400=34·100, 100-ün isə 10-a bölünməsi, 100=10·10, deməli, 3.400=34·10·0. Və 2-yə bölünmə testinə əsaslanaraq deyə bilərik ki, 34, 10 və 10 amillərinin hər biri 2-yə bölünür, alırıq 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Nəticədə genişlənmənin bütün amilləri sadədir, ona görə də bu genişlənmə arzu olunandır. Qalır ki, amilləri artan qaydada tənzimləmək lazımdır: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Bu ədədin kanonik parçalanmasını da sadə amillərə yazaq: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Verilmiş ədədi sadə amillərə parçalayarkən, növbə ilə həm bölünmə əlamətlərindən, həm də vurma cədvəlindən istifadə edə bilərsiniz. 75 rəqəmini əsas amillərin hasili kimi təsəvvür edək. 5-ə bölünmə testi 75-in 5-ə bölündüyünü bildirməyə imkan verir və biz 75 = 5·15 alırıq. Və vurma cədvəlindən bilirik ki, 15=3·5, deməli, 75=5·3·5. Bu, 75 rəqəminin əsas amillərə tələb olunan parçalanmasıdır.

Biblioqrafiya.

• Vilenkin N.Ya. və başqaları.Riyaziyyat. 6-cı sinif: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik.
• Vinoqradov İ.M. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları.
• Mixeloviç Ş.H. Say nəzəriyyəsi.
• Kulikov L.Ya. və başqaları.Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsindən məsələlər toplusu: Fizika-riyaziyyat tələbələri üçün dərslik. pedaqoji institutların ixtisasları.