Loqarifmləri azaltmaq mümkündürmü? Loqarifmin tərifi, əsas loqarifmik eynilik

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat Sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Onun tərifindən irəli gəlir. Və beləliklə ədədin loqarifmi bəsasən Aədədin qaldırılmalı olduğu eksponent kimi müəyyən edilir a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).

Bu formuladan belə çıxır ki, hesablama x=log a b, tənliyin həllinə bərabərdir a x = b. Misal üçün, log 2 8 = 3çünki 8 = 2 3 . Loqarifmin tərtibi bunu əsaslandırmağa imkan verir ki, əgər b=a c, sonra ədədin loqarifmi bəsasən a bərabərdir ilə. Loqarifmlər mövzusunun ədədin səlahiyyətləri mövzusu ilə sıx əlaqəli olduğu da aydındır.

Loqarifmlərlə, hər hansı bir rəqəmdə olduğu kimi, edə bilərsiniz toplama, çıxma əməliyyatları və hər şəkildə dəyişdirin. Lakin loqarifmlərin tamamilə adi ədədlər olmadığı üçün burada öz xüsusi qaydaları tətbiq olunur ki, bunlar da adlanır. əsas xassələri.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması.

Eyni əsaslara malik iki loqarifmi götürək: bir x qeyd edin Və log a y. Sonra toplama və çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirmək olar:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = bir x qeyd edin 1 + bir x qeyd edin 2 + bir x qeyd edin 3 + ... + log a x k.

From loqarifm bölgü teoremi Loqarifmin daha bir xassəsini əldə etmək olar. Qeyd etmək hamıya məlumdur a 1= 0, buna görə də

log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.

Bu o deməkdir ki, bərabərlik var:

log a 1 / b = - log a b.

Qarşılıqlı iki ədədin loqarifmləri eyni səbəbdən bir-birindən yalnız işarə ilə fərqlənəcək. Belə ki:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Müsbət b ədədinin a (a>0, a 1-ə bərabər deyil) əsası üçün loqarifmi elə c ədədidir ki, a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Qeyd edək ki, qeyri-müsbət ədədin loqarifmi qeyri-müəyyəndir. Bundan əlavə, loqarifmin əsası olmalıdır müsbət rəqəm, 1-ə bərabər deyil. Məsələn, -2-nin kvadratı olsaq, 4 rəqəmini alırıq, lakin bu, 4-ün -2 əsasının loqarifmasının 2-yə bərabər olması demək deyil.

Əsas loqarifmik eynilik

Bu formulun sağ və sol tərəflərinin tərif dairəsinin fərqli olması vacibdir. Sol tərəf yalnız b>0, a>0 və a ≠ 1 üçün müəyyən edilir. Sağ tərəf hər hansı b üçün müəyyən edilir və ümumiyyətlə a-dan asılı deyil. Beləliklə, tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı əsas loqarifmik “şəxsiyyətin” tətbiqi OD-nin dəyişməsinə səbəb ola bilər.

Loqarifmin tərifinin iki aşkar nəticəsi

Doğrudan da, a rəqəmini birinci dərəcəyə qaldıranda eyni rəqəmi, sıfır gücünə qaldıranda isə bir ədəd alırıq.

Məhsulun loqarifmi və hissənin loqarifmi

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Məktəbliləri xəbərdar etmək istərdim ki, həll edərkən bu düsturları düşünmədən tətbiq etməsinlər loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər. Onları "soldan sağa" istifadə edərkən ODZ daralır və loqarifmlərin cəmi və ya fərqindən məhsulun və ya hissənin loqarifminə keçdikdə ODZ genişlənir.

Həqiqətən də log a (f (x) g (x)) ifadəsi iki halda müəyyən edilir: hər iki funksiya ciddi müsbət olduqda və ya f(x) və g(x) hər ikisi sıfırdan kiçik olduqda.

Bu ifadəni log a f (x) + log a g (x) cəminə çevirərək, özümüzü yalnız f(x)>0 və g(x)>0 olduğu halda məhdudlaşdırmağa məcbur oluruq. Məqbul dəyərlər diapazonunun daralması var və bu, qəti şəkildə qəbuledilməzdir, çünki bu, həllərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Düstur (6) üçün də oxşar problem mövcuddur.

Dərəcə loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər

Və yenə də dəqiqliyə çağırmaq istərdim. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bərabərliyin sol tərəfi açıq şəkildə f(x)-in sıfırdan başqa bütün qiymətləri üçün müəyyən edilmişdir. Sağ tərəf yalnız f(x)>0 üçündür! Dərəcəni loqarifmadan çıxararaq, biz yenidən ODZ-ni daraldırıq. Əks prosedur məqbul dəyərlər diapazonunun genişlənməsinə gətirib çıxarır. Bütün bu qeydlər təkcə 2-ci gücə deyil, həm də istənilən bərabər gücə aiddir.

Yeni bir təmələ keçmək üçün formula

Transformasiya zamanı ODZ-nin dəyişmədiyi nadir haldır. Əgər siz c bazasını ağıllı seçmisinizsə (müsbət və 1-ə bərabər deyil), yeni bazaya keçmək üçün formula tamamilə təhlükəsizdir.

Yeni c əsası kimi b ədədini seçsək, vacib bir nəticə əldə edirik xüsusi hal düsturlar (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Loqarifmlərlə bəzi sadə nümunələr

Misal 1. Hesablayın: log2 + log50.
Həll. log2 + log50 = log100 = 2. Loqarifmlərin cəmindən (5) düsturundan və onluq loqarifmin tərifindən istifadə etdik.

Misal 2. Hesablayın: lg125/lg5.
Həll. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bazaya keçmək üçün düsturdan istifadə etdik (8).

Loqarifmlərə aid düsturlar cədvəli

274. Qeydlər.

A)Əgər qiymətləndirmək istədiyiniz ifadə ehtiva edir məbləğ və ya fərq nömrələr, onda onlar cədvəllərin köməyi olmadan tapılmalıdır adi əlavə və ya çıxma ilə. Məsələn:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b)İfadələrin loqarifmini bilməklə, əksinə, verilmiş loqarifm nəticəsindən istifadə edərək, bu nəticənin alındığı ifadəni tapa bilərik; Beləliklə əgər

log X=log a+ log b- 3 log ilə,

onda bunu başa düşmək asandır

V) Loqarifmik cədvəllərin strukturunu nəzərdən keçirməyə keçməzdən əvvəl bəzi xüsusiyyətləri göstərəcəyik onluq loqarifmlər, yəni. 10 rəqəminin əsas götürüldüyü (hesablamalar üçün yalnız belə loqarifmlərdən istifadə olunur).

İkinci fəsil.

Onluq loqarifmlərin xassələri.

275 . A) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 və s. olduğundan, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 və s.

O deməkdir ki, Bir və sıfırlarla təmsil olunan tam ədədin loqarifmi, ədədin təsvirində sıfırların sayı qədər birləri ehtiva edən müsbət tam ədəddir.

Beləliklə: log 100.000 = 5, log 1000 000 = 6 və s.

b) Çünki

log 0.1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, və s.

O deməkdir ki, loqarifm onluq, əvvəlki sıfırları olan vahidlə təmsil olunan, 0 tam ədəd daxil olmaqla, kəsrin təsvirində sıfırların sayı qədər mənfi vahidləri ehtiva edən mənfi tam ədəddir.

Beləliklə: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, və s.

V) Məsələn, bir və sıfırlarla təmsil olunmayan tam ədədi götürək. 35 və ya məsələn, kəsri olan tam ədəd. 10.7. Belə bir ədədin loqarifmi tam ola bilməz, çünki 10-u tam eksponentli (müsbət və ya mənfi) bir dərəcəyə qaldırsaq, sıfırlarla (1-dən sonra və ya ondan əvvəl) 1 alırıq. İndi fərz edək ki, belə bir ədədin loqarifmi hansısa kəsrdir a / b . Onda bərabərlik əldə etmiş olarıq

Amma bu bərabərliklər qeyri-mümkündür 10A sıfırları olan 1-lər, dərəcələr isə var 35b Və 10,7b istənilən ölçü ilə b 1-dən sonra sıfırları verə bilməz. Bu o deməkdir ki, biz icazə verə bilmərik log 35 Və jurnal 10.7 kəsrlərə bərabər idi. Amma xassələrdən loqarifmik funksiya bilirik () hər bir müsbət ədədin loqarifmi var; deməli, 35 və 10.7 ədədlərinin hər birinin öz loqarifmi var və o, nə tam ədəd, nə də kəsr ədəd ola bilməyəcəyinə görə, o, irrasional ədəddir və ona görə də ədədlər vasitəsi ilə dəqiq ifadə edilə bilməz. İrrasional loqarifmlər adətən təxminən bir neçə onluq yerləri olan onluq kəsr kimi ifadə edilir. Bu kəsrin tam ədədi (“0 tam ədəd” olsa belə) çağırılır xarakterik, kəsr hissəsi isə loqarifmin mantisasıdır. Məsələn, loqarifm varsa 1,5441 , onda onun xarakteristikası bərabərdir 1 , mantissa isə 0,5441 .

G) Məsələn, tam və ya qarışıq ədəd götürək. 623 və ya 623,57 . Belə bir ədədin loqarifmi xarakterik və mantisdən ibarətdir. Məlum oldu ki, onluq loqarifmlərin rahatlığı var onların xüsusiyyətlərini həmişə bir növ ədədlə tapa bilərik . Bunun üçün gəlin verilmiş tam ədəddə və ya qarışıq ədədin tam hissəsində neçə rəqəm olduğunu hesablayaq.Bu rəqəmlərə dair nümunələrimizdə 3 . Buna görə də nömrələrin hər biri 623 Və 623,57 100-dən çox, lakin 1000-dən az; bu o deməkdir ki, onların hər birinin loqarifmi daha böyükdür log 100, yəni daha çox 2 , lakin daha az log 1000, yəni daha az 3 (yadda saxlayın ki, daha böyük ədədin də daha böyük loqarifması var). Beləliklə, log 623 = 2,..., Və log 623.57 = 2,... (nöqtələr naməlum mantisləri əvəz edir).

Bunun kimi tapırıq:

Ümumilikdə verilmiş tam ədədin və ya verilmiş qarışıq ədədin tam hissəsinin tərkibində olsun m nömrələri ehtiva edən ən kiçik tam ədəd olduğundan m rəqəmlər, bəli 1 ilə m - 1 sonunda sıfırlar, sonra (bu rəqəmi ifadə edir N) bərabərsizlikləri yaza bilərik:

və buna görə də,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + müsbət kəsr.

Beləliklə, xüsusiyyət logN = m - 1 .

Biz bunu bu şəkildə görürük tam və ya qarışıq ədədin loqarifminin xarakteristikasında minus bir ədədin tam hissəsində rəqəmlər olduğu qədər müsbət vahidlər var.

Bunu görüb birbaşa yaza bilərik:

log 7.205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... və s.

d) Bir neçə onluq kəsri daha kiçik götürək 1 (yəni olan 0 tam): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, və s.

Beləliklə, bu loqarifmlərin hər biri bir vahidlə fərqlənən iki mənfi tam ədəd arasında yerləşir; ona görə də onların hər biri bu mənfi ədədlərdən hansısa müsbət kəsrlə artırılmış kiçikə bərabərdir. Misal üçün, log0,0056= -3 + müsbət kəsr. Tutaq ki, bu kəsr 0,7482-dir. Sonra o deməkdir:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

kimi məbləğlər - 3 + 0,7482 Mənfi tam və müsbət onluq kəsrdən ibarət olan , loqarifmik hesablamalarda qısaldılmış şəkildə aşağıdakı kimi yazmağa razılaşdıq: 3 ,7482 (Bu rəqəm oxunur: 3 min, 7482 on mində bir.), yəni müsbət olaraq qalan mantissə deyil, yalnız bu xüsusiyyətə aid olduğunu göstərmək üçün xarakteristikanın üzərinə mənfi işarə qoyurlar. Beləliklə, yuxarıdakı cədvəldən aydın olur ki

log 0,35 == 1 ,.....; log 0,07 = 2,.....; log 0,0008 = 4 ,....

Qoy ümumiyyətlə . birincidən əvvəl olan onluq kəsr var əhəmiyyətli rəqəm α xərclər m 0 tam ədəd daxil olmaqla sıfırlar. Onda bəlli olur ki

- m < log A < - (m- 1).

Çünki iki tam ədəddən:- m Və - (m- 1) azdır - m , Bu

log A = - m+ müsbət fraksiya,

və buna görə də xarakterikdir log A = - m (müsbət mantis ilə).

Beləliklə, 1-dən kiçik onluq kəsrin loqarifminin xarakteristikası, sıfır tam ədədlər də daxil olmaqla, birinci əhəmiyyətli rəqəmdən əvvəl onluq kəsrin təsvirində sıfırların sayı qədər mənfi olanları ehtiva edir; Belə bir loqarifmin mantisası müsbətdir.

e) Bir neçə ədədi çoxaldaq N(tam və ya kəsr - fərq etməz) 10-a, 100-ə 1000-ə..., ümumiyyətlə sıfırlarla 1-ə. Bunun necə dəyişdiyini görək log N. Məhsulun loqarifmindən bəri məbləğinə bərabərdir amillərin loqarifmləri, onda

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; və s.

Nə vaxt log N bir az tam ədəd əlavə edirik, onda bu rəqəmi həmişə mantisə deyil, xarakteristikaya əlavə edə bilərik.

Beləliklə, əgər log N = 2,7804, onda 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 və s.;

və ya log N = 3,5649, onda 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 və s.

Ədəd 10, 100, 1000,..., ümumiyyətlə sıfırlarla 1-ə vurulduqda, loqarifmin mantisası dəyişmir və xarakteristikası əmsalda sıfırların sayı qədər vahid artır. .

Eynilə, bölmənin loqarifminin bölən loqarifmi olmayan divident loqarifminə bərabər olduğunu nəzərə alsaq, alırıq:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; və s.

Əgər loqarifmadan tam ədədi çıxararkən həmişə bu tam ədədi xarakteristikadan çıxarmaq və mantisanı dəyişməz qoymaqla razılaşsaq, onda deyə bilərik:

Ədədin 1-ə sıfırlarla bölünməsi loqarifmin mantisası dəyişmir, lakin bölücüdə sıfırların sayı qədər vahid azalır.

276. Nəticələr. Mülkiyyətdən ( e) aşağıdakı iki nəticə çıxarmaq olar:

A) Onluq ədədin loqarifminin mantisası onluq nöqtəyə köçürüldükdə dəyişmir , çünki onluq nöqtənin köçürülməsi 10, 100, 1000 və s.-ə vurmağa və ya bölməyə bərabərdir. Beləliklə, ədədlərin loqarifmləri:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

yalnız xüsusiyyətlərinə görə fərqlənir, lakin mantislarda deyil (bütün mantislər müsbət olmaq şərti ilə).

b) Eyni əhəmiyyətli hissəyə malik olan, lakin yalnız sıfırların bitməsi ilə fərqlənən nömrələrin mantisası eynidır: Beləliklə, ədədlərin loqarifmləri: 23, 230, 2300, 23,000 yalnız xüsusiyyətlərinə görə fərqlənir.

Şərh. Onluq loqarifmlərin göstərilən xassələrindən aydın olur ki, tam ədədin və onluq kəsrin loqarifminin xarakteristikalarını cədvəllərin köməyi olmadan da tapa bilərik (bu, onluq loqarifmlərin böyük rahatlığıdır); nəticədə loqarifmik cədvəllərdə yalnız bir mantis yerləşdirilir; bundan əlavə, kəsrlərin loqarifmlərinin tapılması tam ədədlərin loqarifmlərinin tapılmasına (kəsirin loqarifmi = məxrəcin loqarifmi olmayan payın loqarifmi) azaldığı üçün cədvəllərdə yalnız tam ədədlərin loqarifmlərinin mantisası yerləşdirilir.

Üçüncü fəsil.

Dördrəqəmli cədvəllərin dizaynı və istifadəsi.

277. Loqarifm sistemləri. Loqarifmlər sistemi eyni bazadan istifadə edərək bir neçə ardıcıl tam ədədlər üçün hesablanmış loqarifmlər toplusudur. İki sistem istifadə olunur: ədədin əsas götürüldüyü adi və ya onluq loqarifmlər sistemi 10 , və irrasional ədədin əsas götürüldüyü təbii loqarifmlər sistemi (riyaziyyatın digər sahələrində aydın olan bəzi səbəblərə görə) 2,7182818 ...Hesablamalar üçün bu cür loqarifmlərin xassələrini sadalayanda qeyd etdiyimiz rahatlığa görə onluq loqarifmlərdən istifadə olunur.

Təbii loqarifmlər loqarifmlərin ixtiraçısı, şotland riyaziyyatçısının şərəfinə Neperovlar da adlandırılır Nepera(1550-1617) və onluq loqarifmlər - professorun adını daşıyan Briqqs Briqa Bu loqarifmlərin cədvəllərini ilk dəfə tərtib edən (Napierin müasiri və dostu).

278. Mənfi loqarifmin mantisası müsbət olana çevrilməsi və tərs çevrilməsi. 1-dən kiçik ədədlərin loqarifmlərinin mənfi olduğunu gördük. Bu o deməkdir ki, onlar mənfi xüsusiyyətdən və mənfi mantisdən ibarətdir. Bu cür loqarifmlər həmişə dəyişdirilə bilər ki, onların mantisası müsbət olsun, lakin xarakteristikası mənfi olaraq qalır. Bunun üçün mantisəyə müsbət, xarakteristikaya isə mənfi əlavə etmək kifayətdir (bu, əlbəttə ki, loqarifmin dəyərini dəyişmir).

Məsələn, loqarifmimiz varsa - 2,0873 , onda yaza bilərsiniz:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

və ya qısaldılmış:

Əksinə, mənfi xarakteristikası və müsbət mantisası olan istənilən loqarifmi mənfiyə çevirmək olar. Bunu etmək üçün müsbət mantissə mənfi, mənfi xüsusiyyətə isə müsbət bir əlavə etmək kifayətdir: belə ki, yaza bilərsiniz:

279. Dördrəqəmli cədvəllərin təsviri. Praktik problemlərin əksəriyyətini həll etmək üçün dörd rəqəmli cədvəllər kifayətdir, idarə olunması çox sadədir. Bu cədvəllər (yuxarıda “loqarifmlər” yazısı ilə) bu kitabın sonunda yerləşdirilib və onların kiçik bir hissəsi (aranjimanı izah etmək üçün) bu səhifədə çap olunub.Onlarda mantisalar var.

Loqarifmlər.

-dən bütün tam ədədlərin loqarifmləri 1 əvvəl 9999 daxil olmaqla, dörd ondalık basamağa hesablanmış, bu yerlərin sonuncusu ilə artmışdır 1 5-ci onluq yerin 5 və ya 5-dən çox olacağı bütün hallarda; buna görə də, 4-rəqəmli cədvəllər qədər təxmini mantiss verir 1 / 2 on minlik hissə (çatışmazlıq və ya artıqlıqla).

Onluq loqarifmlərin xassələri əsasında tam və ya onluq kəsrin loqarifmini bilavasitə xarakterizə edə bildiyimiz üçün cədvəllərdən yalnız mantisləri götürməliyik; Eyni zamanda, vergülün mövqeyini də yadda saxlamalıyıq onluq ədəd, eləcə də rəqəmin sonundakı sıfırların sayı, mantisanın dəyərinə heç bir təsir göstərmir. Ona görə də verilmiş ədəd üçün mantisanı taparkən bu ədəddəki vergülü, əgər varsa, onun sonundakı sıfırları da atırıq və bundan sonra əmələ gələn tam ədədin mantissini tapırıq. Aşağıdakı hallar yarana bilər.

1) Tam ədəd 3 rəqəmdən ibarətdir. Məsələn, deyək ki, 536 rəqəminin loqarifminin mantissini tapmalıyıq. Bu ədədin ilk iki rəqəmi, yəni 53 sol tərəfdəki birinci şaquli sütundakı cədvəllərdə yerləşir (cədvələ bax). 53 rəqəmini tapdıqdan sonra ondan üfüqi bir xətt boyunca sağa keçirik ki, bu xətt yuxarıda yerləşdirilən 0, 1, 2, 3,... 9 rəqəmlərindən birindən keçən şaquli sütunla kəsişsin (və cədvəlin aşağısı) verilmiş ədədin 3-cü rəqəmi, yəni bizim nümunəmizdə 6 rəqəmi. Kəsişmədə 536 rəqəminin loqarifminə aid olan mantis 7292 (yəni 0,7292) alırıq. , 508 rəqəmi üçün mantisanı 0,7059, 500 rəqəmi üçün 0,6990 və s.

2) Tam ədəd 2 və ya 1 rəqəmdən ibarətdir. Sonra zehni olaraq bu nömrəyə bir və ya iki sıfır təyin edirik və beləliklə əmələ gələn üçrəqəmli ədəd üçün mantisanı tapırıq. Məsələn, 51 rəqəminə bir sıfır əlavə edirik, ondan 510 alırıq və mantisanı 7070 tapırıq; 5 rəqəminə 2 sıfır təyin edirik və mantisanı 6990 tapırıq və s.

3) Tam ədəd 4 rəqəmlə ifadə edilir. Məsələn, log 5436-nın mantisası tapmalısınız. Sonra əvvəlcə cədvəllərdə qeyd edildiyi kimi, bu nömrənin ilk 3 rəqəmi ilə təmsil olunan nömrə üçün mantisanı tapırıq, yəni. 543 üçün (bu mantissa 7348 olacaq) ; sonra tapılan mantisdən üfüqi xətt boyunca sağa keçirik (in sağ tərəf qalın şaquli xəttin arxasında yerləşən cədvəl) rəqəmlərdən keçən şaquli sütunla kəsişənə qədər: 1, 2 3,... 9, cədvəlin bu hissəsinin yuxarısında (və aşağısında) dayanaraq, Bu rəqəmlərin 4-cü rəqəmi, yəni bizim nümunəmizdə 6 rəqəmi. Kesişmədə 5436 rəqəminin mantissini əldə etmək üçün 7348-in mantissinə zehni olaraq tətbiq edilməli olan düzəlişi (5-ci nömrə) tapırıq; Bu yolla biz mantisanı 0.7353 alırıq.

4) Tam ədəd 5 və ya daha çox rəqəmlə ifadə edilir. Sonra ilk 4-dən başqa bütün rəqəmləri atırıq və təxmini dörd rəqəmli rəqəmi götürürük və bu rəqəmin son rəqəmini həmin rəqəmdə 1-ə artırırıq. ədədin atılan 5-ci rəqəmi 5 və ya 5-dən çox olduqda. Deməli, 57842 əvəzinə 5784, 30257 əvəzinə 3026, 583263 əvəzinə 5833 və s. Bu yuvarlaqlaşdırılmış dörd rəqəmli ədəd üçün biz indi izah edildiyi kimi mantisanı tapırıq.

Bu təlimatları rəhbər tutaraq, məsələn, aşağıdakı ədədlərin loqarifmlərini tapaq:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Əvvəla, hələlik masalara keçmədən, sonra yazacağımız mantissalara yer buraxaraq yalnız xüsusiyyətləri yazacağıq:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804.7 = 2.9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456.86 = 3.5387.

280. Qeyd. Bəzi dördrəqəmli cədvəllərdə (məsələn, cədvəllərdə V.Lorçenko və N.Oqloblina, S.Qlazenap, N.Kamenşçikova) bu nömrənin 4-cü rəqəmi üçün düzəlişlər qoyulmur. Bu cür cədvəllərlə işləyərkən bu düzəlişləri sadə hesablamadan istifadə etməklə tapmaq lazımdır ki, bu da aşağıdakı həqiqət əsasında aparıla bilər: əgər ədədlər 100-dən çox olarsa və aralarındakı fərqlər 1-dən azdırsa, onda həssas xəta olmadan olduğunu güman etmək olar loqarifmlər arasındakı fərqlər müvafiq ədədlər arasındakı fərqlərə mütənasibdir . Məsələn, 5367 rəqəminə uyğun olan mantisanı tapmalıyıq. Bu mantis, təbii ki, 536,7 rəqəmi ilə eynidir. Cədvəllərdə 536 nömrəli mantisanı tapırıq 7292. Bu mantisanı sağa bitişik olan 537 rəqəminə uyğun gələn 7300 mantisası ilə müqayisə etsək, görürük ki, 536 rəqəmi 1 artarsa, onun mantisası 8 on artacaq. -mində bir (8 sözdə masa fərqi iki bitişik mantis arasında); 536 rəqəmi 0,7 artarsa, onun mantisası 8 on mində deyil, daha kiçik bir rəqəmlə artacaq. X fərz edilən mütənasibliyə görə nisbətləri təmin etməli olan on mində bir:

X :8 = 0,7:1; harada X = 8 07 = 5,6,

bu da 6 on minə yuvarlaqlaşdırılır. Bu o deməkdir ki, 536.7 nömrəsi üçün mantis (və buna görə də 5367 nömrəsi üçün) olacaq: 7292 + 6 = 7298.

Qeyd edək ki, cədvəllərdə iki bitişik ədəddən istifadə edərək aralıq ədədin tapılması çağırılır interpolyasiya. Burada təsvir edilən interpolyasiya deyilir mütənasib, çünki loqarifmin dəyişməsinin ədədin dəyişməsi ilə mütənasib olması fərziyyəsinə əsaslanır. Qrafik olaraq loqarifmik funksiyanın dəyişməsinin düz xətt ilə ifadə edildiyini qəbul etdiyi üçün ona xətti də deyilir.

281. Təxmini loqarifmin xəta limiti.Əgər loqarifmi axtarılan ədəd dəqiq ədəddirsə, onun loqarifminin 4 rəqəmli cədvəllərdə tapılan xəta həddi, dediyimiz kimi, götürülə bilər. 1 / 2 on minlik hissə. Əgər bu rəqəm dəqiq deyilsə, onda bu səhv limitinə nömrənin özünün qeyri-dəqiqliyindən yaranan başqa bir xətanın limitini də əlavə etməliyik. Sübut edilmişdir (biz bu sübutu buraxırıq) belə bir həddi məhsul kimi qəbul etmək olar

a(d +1) on mində.,

hansında A fərz etsək, ən qeyri-dəqiq ədəd üçün xəta marjasıdır onun tam hissəsi 3 rəqəmdən ibarətdir,a d verilmiş qeyri-dəqiq ədədin yerləşdiyi iki ardıcıl üçrəqəmli ədədə uyğun gələn mantislərin cədvəl fərqi. Beləliklə, loqarifmin son xətasının həddi daha sonra düsturla ifadə olunacaq:

1 / 2 + a(d +1) on mində bir

Misal. Günlük tapın π , üçün alaraq π təxmini sayı 3.14, dəqiq 1 / 2 yüzüncü.

3.14 rəqəminin 3-cü rəqəmindən sonra vergülü soldan sayaraq, üçrəqəmli 314 rəqəmini alırıq. 1 / 2 vahidlər; Bu o deməkdir ki, qeyri-dəqiq nömrə üçün xəta marjası, yəni hərflə qeyd etdiyimiz A , var 1 / 2 Cədvəllərdən tapırıq:

log 3.14 = 0.4969.

Cədvəl fərqi d 314 və 315 rəqəmlərinin mantisası arasında 14-ə bərabərdir, ona görə də tapılan loqarifmin xətası az olacaq

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 on mində bir.

0.4969 loqarifminin əskik və ya həddindən artıq olduğunu bilmədiyimiz üçün biz ancaq loqarifmin dəqiq olduğuna zəmanət verə bilərik. π 0,4969 - 0,0008 və 0,4969 + 0,0008, yəni 0,4961 arasındadır< log π < 0,4977.

282. Verilmiş loqarifmdən istifadə edərək ədədi tapın. Verilmiş loqarifmadan istifadə edərək ədədi tapmaq üçün verilmiş ədədlərin mantislarını tapmaq üçün eyni cədvəllərdən istifadə etmək olar; lakin sözdə antilogarifmləri, yəni bu mantissalara uyğun gələn nömrələri ehtiva edən digər cədvəllərdən istifadə etmək daha rahatdır. Yuxarıdakı “antiloqarifmlər” yazısı ilə göstərilən bu cədvəllər bu kitabın sonunda loqarifm cədvəllərindən sonra yerləşdirilib, onların kiçik bir hissəsi bu səhifədə yerləşdirilib (izah üçün).

Tutaq ki, sizə 4 rəqəmli mantis 2863 verilib (xarakteristikaya diqqət yetirmirik) və sizə uyğun tam ədədi tapmaq lazımdır. Sonra, antilogarifmlərin cədvəllərinə sahib olduqda, onlardan verilmiş nömrə üçün mantisanı tapmaq üçün əvvəllər izah edildiyi kimi istifadə etməlisiniz, yəni: soldakı birinci sütunda mantisanın ilk 2 rəqəmini tapırıq. Sonra bu nömrələrdən mantisanın 3-cü rəqəmindən gələn şaquli sütunla kəsişənə qədər üfüqi xətt boyunca sağa keçirik ki, bu da yuxarı sətirdə (və ya aşağı) axtarılmalıdır. Kəsişmədə mantis 286-ya uyğun olan dörd rəqəmli 1932 rəqəmini tapırıq. Sonra bu nömrədən mantisanın 4-cü rəqəmindən gələn şaquli sütunla kəsişməyə qədər üfüqi xətt boyunca sağa doğru irəliləyirik. orada yerləşdirilən 1, 2, 3,... rəqəmləri arasında yuxarıda (yaxud aşağıda) tapıla bilər. 9. Kesişmədə biz 1 düzəlişini tapırıq, bu düzəliş 1032 nömrəsinə (fikirdə) tətbiq edilməlidir. mantis 2863-ə uyğun gələn nömrəni əldə etmək.

Beləliklə, rəqəm 1933 olacaq. Bundan sonra, xarakteristikaya diqqət yetirərək, 1933 rəqəmini lazımi yerə qoymaq lazımdır. Misal üçün:

Əgər log x = 3.2863, onda X = 1933,

„ log x = 1,2863, „ X = 19,33,

, log x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ log x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Burada daha çox nümunə var:

log x = 0,2287, X = 1,693,

log x = 1 ,7635, X = 0,5801,

log x = 3,5029, X = 3184,

log x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Mantisada 5 və ya daha çox rəqəm varsa, qalanlarını ataraq yalnız ilk 4 rəqəmi götürürük (və 5-ci rəqəmdə beş və ya daha çox olduqda 4-cü rəqəmi 1-ə artırırıq). Məsələn, mantis 35478 əvəzinə 3548, 47562 əvəzinə 4756 alırıq.

283. Qeyd. Mantisanın 4-cü və sonrakı rəqəmləri üçün düzəliş də interpolyasiya yolu ilə tapıla bilər. Beləliklə, əgər mantissa 84357-dirsə, onda mantis 843-ə uyğun gələn 6966 rəqəmini taparaq, daha sonra aşağıdakı kimi əsaslandıra bilərik: əgər mantissa 1 (mində bir) artarsa, yəni 844 olarsa, rəqəm cədvəllərdən görünə bilər, 16 ədəd artacaq; mantissa 1 (mində) deyil, 0,57 (mində) artarsa, say artacaq X vahidlər və X nisbətləri təmin etməlidir:

X : 16 = 0,57: 1, haradan x = 16 0,57 = 9,12.

Bu o deməkdir ki, tələb olunan nömrə 6966 + 9.12 = 6975.12 və ya (yalnız dörd rəqəmlə məhdudlaşır) 6975 olacaqdır.

284. Tapılan nömrənin xəta limiti. Sübut edilmişdir ki, tapılan nömrədə vergül soldan 3-cü rəqəmdən sonra olduqda, yəni loqarifmin xarakteristikası 2 olduqda, cəm xəta həddi kimi qəbul edilə bilər.

Harada A ədədin tapıldığı loqarifmin səhv həddidir (on mində ifadə edilir) və d - tapılan nömrənin yerləşdiyi iki üçrəqəmli ardıcıl ədədin mantisası arasındakı fərq (soldan 3-cü rəqəmdən sonra vergüllə). Xarakteristika 2 deyil, başqa olduqda, tapılan nömrədə vergülü sola və ya sağa köçürməli, yəni nömrəni 10-un bir gücünə bölmək və ya vurmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə səhv nəticə də 10-un eyni qüvvəsinə bölünəcək və ya vurulacaq.

Məsələn, loqarifmdən istifadə edərək bir ədəd axtarırıq 1,5950 3 on-mində dəqiq olduğu bilinir; bu o deməkdir ki A = 3 . Antiloqarifmlər cədvəlindən tapılan bu loqarifmə uyğun gələn ədəddir 39,36 . Vergülü soldan 3-cü rəqəmdən sonra köçürsək, rəqəmimiz var 393,6 , arasından ibarətdir 393 Və 394 . Loqarifm cədvəllərindən görürük ki, bu iki rəqəmə uyğun gələn mantisalar arasındakı fərq belədir 11 on mində bir; deməkdir d = 11 . 393.6 rəqəminin səhvi daha az olacaq

Bu, nömrədə səhv deməkdir 39,36 az olacaq 0,05 .

285. Mənfi xarakterli loqarifmlər üzərində əməllər. Aşağıdakı nümunələrdən göründüyü kimi loqarifmləri toplamaq və çıxarmaq heç bir çətinlik yaratmır:

Loqarifmanı müsbət ədədə vurmaqda da heç bir çətinlik yoxdur, məsələn:

Sonuncu misalda, müsbət mantissa ayrıca 34-ə vurulur mənfi xüsusiyyət 34-də.

Mənfi xarakteristikanın və müsbət mantisanın loqarifmi mənfi ədədə vurularsa, onda iki yolla davam edin: ya verilmiş loqarifm əvvəlcə mənfi çevrilir, ya da mantis və xarakteristika ayrıca vurulur və nəticələr birlikdə birləşdirilir, məsələn, :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Bölmə zamanı iki hal yarana bilər: 1) mənfi xüsusiyyət bölünür və 2) bölücüyə bölünmür. Birinci halda, xüsusiyyət və mantis ayrıca ayrılır:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

İkinci halda, xarakteristikaya o qədər mənfi vahidlər əlavə olunur ki, nəticədə alınan ədəd bölücüyə bölünür; mantissə eyni sayda müsbət vahidlər əlavə olunur:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Bu çevrilmə şüurda aparılmalıdır, buna görə də hərəkət belə olur:

286. Çıxılan loqarifmlərin şərtlərlə əvəz edilməsi. Bəzilərini hesablayarkən mürəkkəb ifadə loqarifmlərdən istifadə edərək bəzi loqarifmləri əlavə etməli, digərlərini çıxarmalısınız; bu halda adi hərəkətlərin yerinə yetirilməsi üsulu ilə onlar ayrıca əlavə edilmiş loqarifmlərin cəmini, sonra çıxılanların cəmini tapır və birinci cəmdən ikincini çıxarırlar. Məsələn, əgər bizdə:

log X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

onda hərəkətlərin adi icrası belə görünəcək:

Bununla belə, toplamanı toplama ilə əvəz etmək mümkündür. Belə ki:

İndi hesablamanı belə təşkil edə bilərsiniz:

287. Hesablamaların nümunələri.

Misal 1. İfadəsini qiymətləndirin:

Əgər A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Və D = 7.246.

Bu ifadənin loqarifmini götürək:

log X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

İndi, lazımsız vaxt itkisinin qarşısını almaq və səhv ehtimalını azaltmaq üçün, ilk növbədə, bütün hesablamaları indiyə qədər yerinə yetirmədən və buna görə də cədvəllərə istinad etmədən təşkil edəcəyik:

Bundan sonra cədvəlləri götürürük və qalan boş yerlərə loqarifmlər qoyuruq:

Səhv limiti.Əvvəlcə ədədin xəta limitini tapaq x 1 = 194,5 , bərabərdir:

Beləliklə, ilk növbədə tapmaq lazımdır A , yəni on mində ifadə olunan təxmini loqarifmin səhv həddi. Tutaq ki, bu rəqəmlər A, B, C Və D hamısı dəqiqdir. Sonra fərdi loqarifmlərdə səhvlər aşağıdakı kimi olacaq (on mində):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 əlavə edildi, çünki 1.9146-nın 3 loqarifmasına bölünəndə onun 5-ci rəqəmini ataraq bölməni yuvarlaqlaşdırdıq və buna görə də daha kiçik bir səhvə yol verdik. 1 / 2 on mininci).

İndi loqarifmin xəta limitini tapırıq:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (on mində bir).

Gəlin daha da müəyyən edək d . Çünki x 1 = 194,5 , sonra arasında olan 2 ardıcıl tam ədəd x 1 olacaq 194 Və 195 . Cədvəl fərqi d bu ədədlərə uyğun gələn mantislər arasında bərabərdir 22 . Bu o deməkdir ki, nömrənin səhv limiti var x 1 var:

Çünki x = x 1 : 10, sonra nömrədəki səhv limiti x bərabərdir 0,3:10 = 0,03 . Beləliklə, tapdığımız nömrə 19,45 dəqiq saydan az fərqlənir 0,03 . Təxminimizdə çatışmazlıq və ya artıqlıq aşkar edildiyini bilmədiyimiz üçün yalnız zəmanət verə bilərik ki,

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , yəni.

19,48 > X > 19,42 ,

və buna görə də qəbul etsək X =19,4 , onda 0,1-ə qədər dəqiqliklə dezavantajlı bir yaxınlaşma əldə edəcəyik.

Misal 2. Hesablayın:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Mənfi ədədlərin loqarifmləri olmadığı üçün əvvəlcə tapırıq:

X" = (2,31) 3 5 √72

parçalanma yolu ilə:

log X"= 3 log 2.31 + 1 / 5 log72.

Hesablamadan sonra belə çıxır:

X" = 28,99 ;

deməli,

x = - 28,99 .

Misal 3. Hesablayın:

Kökün işarəsi c u m m a olduğu üçün burada davamlı loqarifmləşdirmədən istifadə etmək olmaz. IN oxşar hallar düsturu hissələrə görə hesablayın.

Əvvəlcə tapırıq N = 5 √8 , Sonra N 1 = 4 √3 ; sonra sadə əlavə etməklə müəyyən edirik N+ N 1 , və nəhayət hesablayırıq 3 √N+ N 1 ; çıxır:

N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

log x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Dördüncü Fəsil.

Eksponensial və loqarifmik tənliklər.

288. Eksponensial tənliklər naməlumun eksponentə daxil olduğu tənliklərdir və loqarifmik- işarənin altında naməlumun daxil olduğu log. Bu cür tənliklər yalnız xüsusi hallarda həll oluna bilər və loqarifmlərin xassələrinə və əgər ədədlər bərabərdirsə, onda onların loqarifmləri də bərabərdir və əksinə, loqarifmlər bərabərdirsə, müvafiq prinsipə etibar etmək lazımdır. ədədləri bərabərdir.

Misal 1. Tənliyi həll edin: 2 x = 1024 .

Tənliyin hər iki tərəfini loqarifm edək:

Misal 2. Tənliyi həll edin: a 2x - a x = 1 . qoymaq a x = saat , alırıq kvadrat tənlik:

y 2 - saat - 1 = 0 ,

Çünki 1-√5 < 0 , onda sonuncu tənlik mümkün deyil (funksiya a x həmişə müsbət bir rəqəm var) və birincisi verir:

Misal 3. Tənliyi həll edin:

log( a + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Tənlik belə yazıla bilər:

jurnal [( a + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Loqarifmlərin bərabərliyindən belə nəticəyə gəlirik ki, ədədlər bərabərdir:

(a + x) (b + x) = c + x .

Bu, həlli çətin olmayan kvadratik bir tənlikdir.

Beşinci fəsil.

Mürəkkəb faizlər, müddətli ödənişlər və müddətli ödənişlər.

289. Mürəkkəb faiz üzrə əsas məsələ. Paytaxt nə qədər olacaq? A rubl, artımla verilmişdir R mürəkkəb faiz, sonra t il ( t - tam)?

Onlar deyirlər ki, əgər “faiz üzrə faiz” deyilənlər nəzərə alınarsa, yəni kapitala ödənilməli olan faiz pulu hər ilin sonunda kapitala əlavə olunarsa, kapital mürəkkəb faizlə ödənilir. sonrakı illərdə də maraqla qarşılanır.

Kapitalın hər rublu verilir R %, bir il ərzində mənfəət gətirəcək səh / 100 rubl və buna görə də 1 il ərzində kapitalın hər rublu çevriləcək 1 + səh / 100 rubl (məsələn, kapital verilirsə 5 %, onda bir ildə onun hər rublu çevriləcək 1 + 5 / 100 , yəni 1,05 rubl).

Qısalıq üçün, kəsri bildirən səh / 100 bir hərflə, məsələn, r , bir il ərzində kapitalın hər rublunun çevriləcəyini söyləyə bilərik 1 + r rubl; deməli, A rubl 1 il ərzində geri qaytarılacaq A (1 + r ) sürtmək. Daha bir ildən sonra, yəni böyümənin başlanmasından 2 il sonra, bunların hər rublu A (1 + r ) sürtmək. yenidən əlaqə saxlayacaq 1 + r sürtmək; Bu o deməkdir ki, bütün kapital çevriləcək A (1 + r ) 2 sürtmək. Eyni şəkildə biz üç ildən sonra paytaxt olacağını tapırıq A (1 + r ) 3 , dörd ildən sonra olacaq A (1 + r ) 4 ,... ümumiyyətlə vasitəsilə t il olsa t tam ədəddir, çevriləcək A (1 + r ) t sürtmək. Beləliklə, ilə işarə edir A son kapital üçün aşağıdakı mürəkkəb faiz düsturumuz olacaq:

A = A (1 + r ) t Harada r = səh / 100 .

Misal. Qoy a =2300 rub., səh = 4, t=20 illər; onda formula verir:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1,04) 20.

Hesablamaq üçün A, biz loqarifmlərdən istifadə edirik:

log a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rubl.

Şərh. Bu nümunədə biz məcbur olduq log 1.04 ilə çoxaltmaq 20 . Sayıdan bəri 0,0170 təxmini dəyəri var log 1.04 qədər 1 / 2 on-minlik hissəsi, sonra bu ədədin hasilinə görə 20 qədər mütləq olacaq 1 / 2 20, yəni 10-a qədər on-mində = 1 mində. Buna görə də ümumilikdə 3,7017 Biz nəinki on mində, hətta mində bir sayına da zəmanət verə bilmərik. Belə hallarda daha çox dəqiqlik əldə etmək üçün nömrə üçün daha yaxşıdır 1 + r loqarifmləri 4 rəqəmli deyil, ilə götürün böyük rəqəm nömrələr, məsələn. 7-rəqəmli. Bu məqsədlə biz burada ən ümumi dəyərlər üçün 7 rəqəmli loqarifmlərin yazıldığı kiçik bir cədvəl təqdim edirik. R .

290. Əsas vəzifə təcili ödənişlərdir. Biri aldı A rubl başına R % borcunu ödəmək şərti ilə, ona ödənilməli olan faizlərlə birlikdə, in t il, hər ilin sonunda eyni məbləği ödəyir. Bu məbləğ nə qədər olmalıdır?

məbləğ x , belə şərtlərlə hər il ödənilən, təcili ödəniş adlanır. Yenə hərflə işarə edək r 1 rubldan illik faiz pulu, yəni səh / 100 . Sonra birinci ilin sonuna qədər borc A -ə qədər artır A (1 + r ), əsas ödəniş X rubla başa gələcək A (1 + r )-X .

İkinci ilin sonuna qədər bu məbləğin hər rublu yenidən çevriləcək 1 + r rubl olacaq və buna görə də borc [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) və ödəniş üçün x rubl olacaq: A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Eyni şəkildə, 3-cü ilin sonuna qədər borcun olacağına əmin olacağıq

A (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

və ümumiyyətlə və son t il olacaq:

A (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , və ya

A (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Mötərizənin içindəki çoxhədli şərtlərin cəmini ifadə edir həndəsi irəliləyiş; ilk üzvü olan 1 , sonuncu ( 1 + r ) t -1, və məxrəc ( 1 + r ). Həndəsi irəliləmənin şərtlərinin cəmi üçün düsturdan istifadə edərək (Bölmə 10, Fəsil 3, § 249) tapırıq:

və sonra borcun məbləği t - ödəniş olacaq:

Problemin şərtlərinə görə borc sondadır t -ci ilə bərabər olmalıdır 0 ; Buna görə də:

harada

Bunu hesablayarkən təcili ödəniş formulları loqarifmlərdən istifadə edərək əvvəlcə köməkçi ədədi tapmalıyıq N = (1 + r ) t loqarifmə görə: log N= t log(1+ r) ; taparaq N, ondan 1 çıxırıq, onda üçün düsturunun məxrəcini alırıq X, bundan sonra ikinci dərəcəli loqarifmlə tapırıq:

log X=log a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Müddətli töhfələr üçün əsas vəzifə. Kimsə hər ilin əvvəlində banka eyni məbləğdə əmanət qoyur. A sürtmək. Bu töhfələrdən sonra hansı kapitalın formalaşacağını müəyyənləşdirin t bank ödədiyi təqdirdə illər R mürəkkəb maraq.

tərəfindən təyin edilmişdir r 1 rubldan illik faiz pulu, yəni. səh / 100 , biz belə əsaslandırırıq: birinci ilin sonuna qədər paytaxt olacaq A (1 + r );

2-ci ilin əvvəlində bu məbləğə əlavə olunacaq A rubl; bu o deməkdir ki, bu zaman kapital olacaq A (1 + r ) + a . 2-ci kursun sonunda o olacaq A (1 + r ) 2 + a (1 + r );

3-cü ilin əvvəlində yenidən daxil olur A rubl; bu o deməkdir ki, bu zaman kapital olacaq A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; 3-cü ilin sonunda o olacaq A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Bu arqumentləri daha da davam etdirsək, sonunda görürük t il tələb olunan kapital A edəcək:

Bu, hər ilin əvvəlində edilən müddətli töhfələr üçün düsturdur.

Eyni düstur aşağıdakı əsaslandırma ilə əldə edilə bilər: qədər ilkin ödəniş A rubl bankda olarkən t il, mürəkkəb faiz düsturuna görə çevriləcək A (1 + r ) t sürtmək. İkinci taksit, bankda bir ildən az müddətə, yəni. t - 1 yaş, əlaqə A (1 + r ) t- 1 sürtmək. Eyni şəkildə üçüncü taksit də verəcək A (1 + r ) t-2 və s. və nəhayət, bankda cəmi 1 il qaldıqdan sonra son hissəyə gedəcək A (1 + r ) sürtmək. Bu, son kapital deməkdir A sürtmək. edəcək:

A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),

sadələşdirildikdən sonra yuxarıda tapılan düsturu verir.

Bu düsturun loqarifmlərindən istifadə edərək hesablayarkən, təcili ödənişlər üçün düsturun hesablanması ilə eyni şəkildə davam etməlisiniz, yəni əvvəlcə N = ( sayını tapın. 1 + r ) t loqarifmi ilə: log N= t log(1 + r ), sonra nömrə N- 1 və sonra düsturun loqarifmini götürün:

log A = log a+log(1+ r) + log (N - 1) - 1ogr

Şərh. Təcili bir qatqı olsa A sürtmək. hər ilin əvvəlində deyil, sonunda həyata keçirilirdi (məsələn, təcili ödəniş edilir X borcunu ödəmək üçün), sonra əvvəlki kimi əsaslandıraraq, sonunda tapırıq t il tələb olunan kapital A" sürtmək. olacaq (sonuncu hissə daxil olmaqla). A rub., faizsiz):

A"= A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A

bərabərdir:

yəni. A" bitir ( 1 + r ) dəfə azdır A Kapitalın hər rublundan bəri gözlənilən idi A" kapitalın müvafiq rublundan az bir il ərzində bankda qalır A.

1. Loqarifm işarəsi altında mənfi və ya bir ədədin olub olmadığını yoxlayın. Bu üsul formanın ifadələrinə şamil edilir log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Ancaq bəzi xüsusi hallar üçün uyğun deyil:

   • Loqarifm mənfi rəqəm heç bir əsasla müəyyən edilmir (məsələn, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) və ya log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Bu vəziyyətdə "həll yoxdur" yazın.
   • Sıfırın istənilən bazaya loqarifmi də qeyri-müəyyəndir. Yaxalansan ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), "həll yoxdur" yazın.
   • Birin istənilən bazaya loqarifmi ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) həmişə sıfırdır, çünki x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) bütün dəyərlər üçün x. Bu loqarifmin yerinə 1 yazın və aşağıdakı metoddan istifadə etməyin.
   • Loqarifmlərin fərqli əsasları varsa, məsələn l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), və tam ədədlərə endirilmədikdə, ifadənin dəyərini əl ilə tapmaq mümkün deyil.

2. İfadəni bir loqarifmə çevirin.İfadə yuxarıdakı xüsusi hallara aid deyilsə, onu tək loqarifm kimi ifadə etmək olar. Bunun üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a))))=\ log_(a)(x)).

   • Nümunə 1: ifadəni nəzərdən keçirin log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Əvvəlcə yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək ifadəni tək loqarifm kimi təqdim edək: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))))=\log _(2)(16)).
   • Loqarifmin “əsasını əvəz etmək” üçün bu düstur loqarifmin əsas xassələrindən əldə edilmişdir.

3. Mümkünsə, ifadənin dəyərini əl ilə qiymətləndirin. Tapmaq log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), ifadəsini təsəvvür edin " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", yəni özünüzdən soruşun növbəti sual: “Hansı gücə yüksəltməliyik a, əldə etmək x?. Bu suala cavab vermək üçün kalkulyator tələb oluna bilər, lakin şanslısınızsa, onu əl ilə tapa bilərsiniz.

   • Nümunə 1 (davamı): kimi yenidən yazın 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). "?" işarəsinin yerində hansı rəqəmin dayanmalı olduğunu tapmaq lazımdır. Bu sınaq və səhv yolu ilə edilə bilər:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Beləliklə, axtardığımız rəqəm 4-dür: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Sadələşdirə bilmirsinizsə, cavabınızı loqarifmik formada buraxın. Bir çox loqarifmləri əl ilə hesablamaq çox çətindir. Bu halda dəqiq cavab almaq üçün kalkulyatora ehtiyacınız olacaq. Ancaq sinifdə problem həll edirsinizsə, müəllim çox güman ki, loqarifmik formada cavabdan razı qalacaq. Aşağıda müzakirə olunan üsul daha mürəkkəb bir nümunəni həll etmək üçün istifadə olunur:

   • misal 2: nəyə bərabərdir log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Bu ifadəni bir loqarifmə çevirək: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Qeyd edək ki, hər iki loqarifm üçün ümumi olan 3 əsas yox olur; bu hər hansı bir səbəbdən doğrudur.
   • İfadəni formada yenidən yazaq 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) və gəlin dəyəri tapmağa çalışaq?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     58 bu iki ədəd arasında olduğundan tam ədəd kimi ifadə olunmur.
   • Cavabı loqarifmik formada buraxırıq: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).