teorian pelistrategia sekoitettu

Sekalaiset strategiat

Jos matriisipelissä ei ole istuinpistettä puhtaissa strategioissa, löydä pelin ylä- ja alemman hinnan. He osoittavat, että pelaaja 1 ei saa voittoja yli parempia pelin huippuluokkaa ja että pelaaja 1 on taattu voitot, ei pienempää peliä pelin.

Pelaajan seka strategia on täydellinen joukko sen nettostrategioita toistuvasti pelin samoissa olosuhteissa määritettyjen todennäköisyyksien kanssa. Lisätämme edellä mainittujen tulokset ja luetellaan seka strategioiden soveltamisen edellytykset:

• * peli ilman satulapistettä;
• * Pelaajat käyttävät satunnaista sekoitusta puhtaita strategioita, joissa on asianmukaisia;
• * Peli toistetaan useita kertoja samankaltaisissa olosuhteissa;
• * Jokaisen liikkeen kanssa ei ole välitön strategian valinnasta toiselle pelaajalle;
• * Pelien tulokset voivat laskea keskiarvoa.

Seuraavat strategioiden nimeäminen sovelletaan.

Pelaajan 1 osalta sekavastrategia, joka koostuu puhtaiden strategioiden A 1, 2, ..., T: n käyttämisestä vastaavilla todennäköisyydellä P 1, P 2, ..., R T.

Pelaajalle 2.

q J - Todennäköisyys puhtaasta strategiaa B j.

Tapauksessa, kun p I \u003d 1, pelaajille 1 meillä on puhdas strategia

Pure Player strategiat ovat ainoa mahdollinen epätäydelliset tapahtumat. Matrix-pelissä, tietäen matriisin A (se koskee myös soittimen 1 ja soittimen 2), voidaan määrittää, milloin määritetyt vektorit ja keskisuuret voitot ( odotettu arvo Vaikutus) Pelaaja 1:

missä ja - vektorit;

p I ja Q I - Vektorit.

Soveltamalla sekalaisia \u200b\u200bstrategioita, pelaaja 1 pyrkii maksimoimaan keskimääräiset voitot ja soitin 2 - tuo tämä vaikutus alhaiseen mahdolliseen arvoon. Pelaaja 1 pyrkii saavuttamaan

Pelaaja 2 etsii ehtoa

Merkitse ja vektorit, jotka vastaavat pelaajien optimaalisia strategioita 1 ja 2, ts. Tällaiset vektorit ja joissa tasa-arvo suoritetaan

Pelin hinta - Middle Player Winning 1 Kun käytät molempia sekoitettuja strategioita pelaajia. Näin ollen matriisipelien ratkaisu on:

• - Optimaalinen sekoitettu soittimen strategia 1;
• - Optimaalinen sekarooli 2 Strategia;

Hintapeli.

Sekalaiset strategiat Optimaalinen (ja), jos muodostavat satulan pistetoiminnon eli.

Matemaattisissa peleissä on tärkein teorea.

Matriisi-peliin millä tahansa matriisilla muuttuja

on ja yhtä suuri kuin toisillemme: \u003d \u003d.

On huomattava, että optimaalisen strategian valinnassa pelaaja 1 taataan aina keskimääräinen voitto, vähintään pelin hinta, minkä tahansa kiinteän pelaajan strategia 2 (ja päinvastoin pelaajalle 2). Pelaajien 1 ja 2 aktiiviset strategiat ovat strategioita, jotka ovat osa vastaavien toimijoiden optimaalisia strategioita, joilla on todennäköisyys kuin nolla. Se tarkoittaa, että pelaajien optimaaliset strategiat eivät välttämättä sisällä kaikkia strategioihin annettuja painopisteitä.

Ratkaise peli - keino löytää peli ja optimaaliset strategiat. Metrix-pelien optimaalisten sekastrategioiden löytämiseksi aloitetaan yksinkertaisin peli, jonka Matrix 22 on kuvattu. Peli, jolla on satulapistettä, ei pidetä erityisesti harkittuna. Jos satulapaikka on saatu, tämä tarkoittaa, että on epäedullisia strategioita, jotka on evättävä. Jos satulapistettä ei ole, saat kaksi optimaalista sekamuotoa. Kuten jo todettiin, nämä sekalaiset strategiat kirjataan näin:

Se tarkoittaa, että maksumatriisi on

11 p1 + A 21 p2 \u003d; (1.16)

12 p1 + A 22 p2 \u003d; (1.17)

p 1 + P 2 \u003d 1. (1.18)

11 p1 + A 21 (1 - P 1) \u003d 12 P1 + A 22 (1 - P 1); (1.19)

11 p1 + A 21 - A 21 P 1 \u003d 12 P1 + A 22 - 22 P 1, (1,20)

mistä saat optimaaliset arvot:

Tietäen ja löytää:

Laskaminen, löytäminen ja:

a 11 Q1 + A 12 Q 2 \u003d; Q 1 + Q 2 \u003d 1; (1.24)

11 q 1 + A 12 (1 - Q 1) \u003d. (1,25)

11 a 12. (1.26)

Tehtävä ratkaistaan, kuten vektoreita ja pelin hinta löytyy. Maksumatriisin A avulla voit ratkaista tehtävän graafisesti. Samanaikaisesti algoritmiliuosten menetelmä on hyvin yksinkertainen (kuva 2.1).

• 1. Abscissan akselilla yksittäisen pituuden segmentti lykätään.
• 2. Ordinausakselilla voitot siirretään, kun strategia A 1.
• 3. Koordinaatin akselin kanssa linjalla voitot lykätään strategiassa 1.
• 4. Segmenttien leikkaukset on merkitty 11-b11, 12-b12, 22-b 22, 21-b 12 ja kaksi suoraa linjaa B 11 B12 ja B 21B22.
• 5. Risteyspisteen koorinaus määräytyy. Se on yhtä suuri. Abskissapiste C on yhtä suuri kuin P2 (P 1 \u003d 1 - P2).

Kuva. 1.1.

Tällä menetelmällä on melko laaja sovelluksen alue. Se perustuu yhteinen omaisuus TP-pelit, jotka koostuvat siitä, että kaikissa pelissä TP: llä jokaisella pelaajalla on optimaalinen sekastrategia, jossa nettostrategioiden määrä on enintään min (m, n). Tästä ominaisuudesta saat tunnetun seurauksen: missä tahansa pelissä 2p ja T2, jokainen optimaalinen strategia sisältää enintään kaksi aktiivista strategiaa. Joten mikä tahansa peli 2p ja T2 voidaan vähentää peliin 22. Näin ollen pelit 2p ja T2 voidaan ratkaista graafisesti. Jos lopullisella pelipatriisilla on TP: n ulottuvuus, jossa T\u003e 2 ja P\u003e 2, sitten lineaarinen ohjelmointi käytetään optimaalisten sekastrategioiden määrittämiseen.

Optimaalinen puhtaat strategiat Pelaajat eroavat pakollisen yksikön P I \u003d \u200b\u200b1, q i \u003d 1. seka-läsnäolosta: P (1,0), Q (1,0). Tässä P 1 \u003d 1, Q 1 \u003d 1.

Tehtävä 1.
Maksamadriisilla löytää optimaaliset puhtaat strategiat tiukan hallinnan periaatteen avulla. Vastauksena polttaa vektoreita P *, Q *.

Kaikki tehtävät ratkaistaan \u200b\u200blaskimen matriisipelillä.

Uskomme, että pelaaja valitsen strategiansa saamaan suurimmat voitot ja pelaaja II valitsee strategiansa minimoimaan pelaajan voitot.

p 1 \u003d 1
p 2 \u003d 0
Hintapeli, Y \u003d 1
Nyt löydät pelaajan Minimax-strategian, kirjoittamalla vastaavan yhtälöjärjestelmän
q 1 \u003d 1
q 1 + Q 2 \u003d 1
Tämän järjestelmän ratkaiseminen, löydämme:
q 1 \u003d 1.
Vastaus:
Pelin hinta: Y \u003d 1, soittimen strategia Vektorit:
Q (1, 0), P (1, 0)

ΣA IJ Q J ≤ V
ΣA IJ P I ≥ V
M (p 1; q) \u003d (1 1) + (2 0) \u003d 1 \u003d V
M (p 2; q) \u003d (-2 1) + (-2 0) \u003d -2 ≤ V
M (p; q 1) \u003d (1 1) + (-2 0) \u003d 1 \u003d v
M (p; q 2) \u003d (2 1) + (-2 0) \u003d 2 ≥ V

Koska rivit ja sarakkeet poistettiin alkuperäisestä matriisista, löydetty todennäköisyysvektorit voidaan kirjoittaa seuraavasti:
P (1,0,0,0)
Q (0,1,0,0)

Tehtävä 2.
Maksutapa Matrix löytää pelin pohja ja ylempi hinta. Jos on satulapiste, kirjoita optimaalisten puhtaiden strategioiden p *, q * vektorit.

Tehtävä 3.
Maksutapa Matrixissa löydät optimaalisten strategioiden P *, Q * ja pelin hinnan vektorit. Mitkä pelaajat ovat voittaneet?

Maksiminen optimaalinen pelaajan strategia A vastaa pistettä n, jonka osalta voit kirjoittaa seuraavan yhtälön järjestelmä:
p 1 \u003d 0
p 2 \u003d 1
Pelin hinta, y \u003d -2
Nyt löydät pelaajan minimax-strategian kirjoittamalla asiaankuuluva yhtälöjärjestelmä, joka poistaa strategia B 1, B3, B4, joka antaa selkeästi suuremman menetyksen soittimeen B ja siksi Q 1 \u003d 0, Q 3 \u003d 0, Q 4 \u003d 0.
-2q 2 \u003d -2
q 2 \u003d 1
Tämän järjestelmän ratkaiseminen, löydämme:
q 2 \u003d 1.
Vastaus:
Pelin hinta: Y \u003d -2, soittimen strategia Vektorit:
Q (0, 1, 0, 0), P (0, 1)
4. Tarkista pelin oikeellisuus strategian optimaalisuuden kriteerin avulla.
ΣA IJ Q J ≤ V
ΣA IJ P I ≥ V
M (p 1; q) \u003d (-6 0) + (-6 1) + (2 0) + (4 0) \u003d -6 ≤ V
M (p2; q) \u003d (2 0) + (-2 1) + (7 0) + (-1 0) \u003d -2 \u003d V
M (p; q 1) \u003d (-6 0) + (2 1) \u003d 2 ≥ V
M (p; q 2) \u003d (-6 0) + (-2 1) \u003d -2 \u003d V
M (p; q3) \u003d (2 0) + (7 1) \u003d 7 ≥ V
M (p; q 4) \u003d (4 0) + (-1 1) \u003d -1 ≥ V
Kaikki eriarvoisuudet suoritetaan tasa-arvona tai tiukat epätasa-arvoisiksi, joten pelin ratkaisu on totta.

Tehtävä 4.
Anna yksityiskohtainen vastaus kysymykseen

5. Pelien ja tilastollisten päätösten teoria

5.1. Matrix-peli, jossa on nolla

Taloudellinen ja matemaattinen mallinnus toteutetaan olosuhteissa:

Varmuus;

Epävarmuus.

Mallinnus varmuusolosuhteissa Se olettaa kaikki tämän lähteen edellyttämät tarvittavat lähteen sääntelytiedot (matriisimallinnus, verkon suunnittelu ja hallinta).

Mallinnus riski olosuhteissa Se toteutetaan stokastisen epävarmuuden aikana, kun joidenkin lähdetietojen arvot ovat satunnaisia \u200b\u200bja tunnettuja näiden satunnaisten muuttujien todennäköisyyden jakautumisen lakeja (regressioanalyysi, massapalvelun teoria).

Mallinnus epävarmuusolosuhteissa vastata täysin poissaolo Joitakin tarvitaan näitä tietoja (pelit teoria).

Matemaattiset mallit optimaalisten ratkaisujen hyväksymisestä konfliktitilanteissa rakennetaan epävarmuuden olosuhteissa.

Pelien teoriassa toimivat seuraavilla peruskäsitteillä:

Strategia;

Voita toiminto.

Matkalla Soitamme valinnan ja toteuttamisen yhden sääntöjen mukaisista toimintapeleistä.

Strategia - Tämä on tekniikka toimintovaihtoehdon valitsemiseksi jokaisella kurssilla riippuen nykyisestä tilanteesta.

Voita toiminto Se palvelee, että voitti häviäjän pelaajan maksamisen.

Matrix-pelissä voitot näyttävät olevan maksamatriisi :

missä pelaajan I maksun arvo on valinnut pelaajan II, joka on valinnut.

Tällaisella pariliitolla molempien toimijoiden voiton toimintojen arvot kussakin tilanteessa ovat yhtä suuria ja päinvastoin merkki, ts. Ja tällaista peliä kutsutaan nolla summa .

Matrix-pelin "prosessi" on seuraava:

Maksamatriisi on asetettu;

Pelaajan i mukaan Player II: n riippumatta valitsee yhden tämän matriisin rivistä,

Pelaaja II, Riippumatta pelaajasta I, valitsee tämän matriisin sarakkeista, esimerkiksi;

Matrixin elementti määrittää, kuinka paljon pelaajaa saan soittimesta II. Tottakai jos me puhumme Tietoja varsinaisesta pelaajan menetyksestä I.

Antagonistinen pari-peli, jolla on maksutapahtuma, kutsutaan peliksi.

Esimerkki

Harkitse peliä.

Maksutapa Matrixia pyydetään seuraavasti:

.

Anna pelaajan i riippumatta soittimesta II valitsee tämän matriisin 3. rivin ja pelaaja II riippumatta pelaajasta, jonka valitsen tämän matriisin toinen sarake:

Sitten pelaaja saan 9 yksikköä soittimesta II.

5.2. Optimaalinen puhdas strategia matriisipelissä

Optimaalinen strategia Tämä on pelaajan strategia I, jossa se ei vähennä hänen voitonsa mihinkään Slaalisen II strategian valinnassa ja tällainen pelaajan strategia II, jossa se ei lisää tappiotaan kaikissa strategian valinnassa pelaajan .

Maksamatriisin liikeviivaina pelaaja, joka tarjoaa voitot vähintään suuruusluokkaa pahimmassa tapauksessa, kun pelaaja II yrittää minimoida tämän arvon. Siksi pelaaja valitsen yhden rivin, joka antaa hänelle suurin voitto:

.

Pelaaja II väittää samalla tavalla ja voi varmasti antaa itsensä vähimmäishäviöllä:

.

Epätasa-arvo on aina oikeudenmukainen:

Suuruusluokkaa kutsutaan alempi hintapeli .

Suuruusluokkaa kutsutaan top hintapeli .

Optimaaliset strategiat ja kutsutaan puhdas Jos heille suoritetaan tasa-arvo:

,

.

Suuruusluokkaa kutsutaan puhdas hintapeli , jos .

Optimaaliset puhtaat strategiat ja muoto satulapiste Maksamatriisi.

Satula-olosuhteiden osalta ovat tyytyväisiä:

ts. Elementti on pienin merkkijonossa ja sarakkeessa suurin.

Näin ollen, jos maksumatriisi on satulapiste Sitten löydät optimaaliset puhtaat strategiat Pelaajat.

Pelaajan puhdasta strategiaa voin edustaa tilauksen numero (vektori), jossa kaikki numerot ovat nolla, lukuun ottamatta arvokasta numeroa, joka on yhtä suuri.

Pelaajan II nettostrategiaa voi edustaa tilauksen numero (vektori), jossa kaikki numerot ovat nolla, lukuun ottamatta arvokannasta, joka on yhtä suuri.

Esimerkki

.

Valitsemalla jonkin verran maksun matriisin liikkua, pelaaja, jonka annan voitot pahimmassa tapauksessa yhtä suuressa suuruusluokassa sarakkeessa:

Siksi pelaaja, jonka valitsen maksukortriisin 2. rivin, joka tarjoaa sen suurin voitto, riippumatta pelaajan liikkeestä, joka yrittää minimoida tämän määrän:

Pelaaja II väittää samalla tavalla ja valitsee 1. sarakkeen aivohalvauksena:

Näin ollen maksukotriisin satulakohta on:

vastaava optimaalinen puhdas strategia soittimella I ja pelaaja II, jossa pelaaja ei vähennä voitonsa kaikissa strategian muutoksessa pelaajan II ja pelaaja II ei lisää menetystä strategian muutoksessa pelaaja I.

5.3. Optimaalinen sekavastrategia matriisipelissä

Jos maksumatriisilla ei ole satulapistettä, mikä tahansa pelaaja on irrationaalinen käyttää yhtä puhdasta strategiaa. Se on kannattavampaa käyttää "Probabilistiset seokset" puhtaat strategiat. Sitten jo sekalaiset strategiat määritellään optimaaliseksi.

Seka Strategia Pelaajalla on ominaista satunnaisen tapahtuman todennäköisyys, joka koostuu tämän aivohalvauspelaajan valitsemiseen.

Sekoitettu soittimen strategia, jonka kutsun tällaiseen määrättyyn numeroihin (vektori), joka täyttää kaksi edellytystä:

1), ts. Maksamatriisin jokaisen rivin valinnan todennäköisyys ei ole edullinen;

2), ts. Kunkin maksutavan matriisin linjan valinta aggregaatilla edustaa koko ryhmä Tapahtumat.

Funny Player strategia II on tilattu numero (vektori), jotka täyttävät ehdot:

Maksun suuruus Pelaaja I Valitsemalla seka strategia

pelaajasta II, seka strategian valinta

,

edustaa keskimääräistä arvoa

.

Optimaalinen Soita sekalaisiin strategioihin

ja ,

jos mille tahansa mielivaltaiselle seka strategialle ja tila on tyytyväinen:

ts. Optimaalisella seka-strategialla pelaajan voittaja on suurin, ja pelaajan tappio on vähiten.

Jos maksukortriisissa ei ole satulapistettä,

,

eli positiivinen ero ( unatAched ero )

- ³ 0,

ja pelaajien on etsittävä lisämahdollisuuksia luottavaiseksi vastaanottamisesta suuremmasta osuudesta tästä erosta.

Esimerkki

Harkitse maksutapa Matrixin antama peli:

.

Määrittelemme, onko satulapiste:

, .

On osoittautunut, että maksukortrixissa ei ole satulapistettä ja säilytysero on:

.

5.4. Sanomalla optimaaliset sekalaiset strategiat

pelit 2 × 2

Maksamatriisin ulottuvuuden optimaalisten strategioiden määrittäminen suoritetaan etsimällä kahden muuttujan toiminnan optimaaliset kohdat.

Antakaa todennäköisyys valita pelaaja i ensimmäisen linjan maksukotriisin

yhtä suuri. Sitten toisen rivin valinnan todennäköisyys on yhtä suuri.

Anna ensimmäisen sarakkeen ensimmäisen sarakkeen valinnan todennäköisyys. Sitten Toisen sarakkeen valitseminen on yhtä suuri.

Pelaajan I-pelaaja II: n maksun suuruus on yhtä suuri kuin:

Pelaajan äärimmäinen suuruus, jonka voin voittaa ja pelaajan tappio II noudattaa ehtoja:

;

.

Näin ollen pelaajien I ja II optimaaliset sekoitetut strategiat ovat yhtä suuret:

5.5. Geometrinen peliratkaisu 2 ×n.

Maksamatriisin C ulottuvuuden kasvu ei enää ole, optimaaliset sekoitetut strategiat voidaan määrittää etsimään kahden muuttujan optimaalisen toiminnan. Kuitenkin, kun otetaan huomioon, että yhdellä pelaajalla on vain kaksi strategiaa, voit käyttää geometrista ratkaisua.

Pelin ratkaisujen päävaiheet vähenevät seuraavaan.

Lentokoneessa esitellä koordinaattijärjestelmä. Lykkäämme segmentin akselilla. Tämän segmentin vasemmalta ja oikeat päät suorittavat kohtisuorasta.

Yhden segmentin vasen ja oikea pää vastaavat kahta strategiaa ja saatavana pelaajalla I. Käytetyn kohtisuoraan, lykkäämme tämän pelaajan voitot. Esimerkiksi maksamatriisi

Pelaaja, jonka voitat strategian valinnassa, ja strategian valinnassa on.

Soittimen voitonpisteen suora kohta, joka vastaa soittimen strategioita II. Sitten koulutettu rikki linja, joka rajoittaa alla olevan kaavion, määrittää pelaajan voiton alaraja.

Löydämme Optimaalisen sekoitetun pelaajan strategian I

,

joka vastaa pelaajan voittajan alapuolella olevan pisteen suurimman ordinaatin.

Kiinnitämme huomiota siihen, että tässä esimerkissä käytetään vain kahta strategiaa ja vastaavat suoraa, leikkaamista löytyneellä kohdalla pelaajan voittajan I: n alarajalla, pelaaja II voi estää soittimen saada suuremman voiton.

Näin ollen peli vähennetään peliin ja optimaalinen sekarooli II -strategia on esimerkissä tarkasteltavana

,

jos todennäköisyys on sama kuin pelissä:

5.6. Pelien ratkaisum.× n.

Jos matriisipelissä ei ole ratkaisuja puhtaissa strateloissa (ts. Ei ole satulapistettä) ja maksukortriisin suuren ulottuvuuden vuoksi sitä ei voida ratkaista graafisesti, sitten ratkaista käyttöä lineaarinen ohjelmointimenetelmä .

Anna ulottuvuuden matriisi asettaa:

.

On tarpeen löytää todennäköisyydet Jonka kanssa pelaaja, jonka minun on valittava liikkeensä, jotta tämä sekalainen strategia takaavat voitot hänelle vähintään suuruusluokkaa riippumatta pelaajan II valinnasta.

Jokaiselle Slayer II -soittimen II valittu aivohalvaus määräytyy riippuvuuksilta:

Jaamme molemmat osat epätasa-arvoista ja uusien nimitysten käyttöönotto:

Tasa-arvo

Tyyppi:

Koska pelaaja haluaa maksimoida voitot, käänteisarvo on minimoitava. Sitten lineaarisen ohjelmoinnin tehtävä soittimeen, jonka otan lomakkeen:

rajoituksin

Samoin pelaajan II tehtävä on yhtä kaksinkertainen:

rajoituksin

Simplex-menetelmän tehtävien ratkaiseminen saamme:

,

5.7. Matrix-pelien ratkaiseminen

Ennen kuin ratkaista optimaalisten strategioiden löytämistä, tarkista kaksi ehtoa:

Onko mahdollista yksinkertaistaa maksumatriisi;

Onko maksumatriisi satulapiste.

Harkitse Maksamatriisin yksinkertaistamista:

Koska pelaaja haluaa saada suurin voittoSitten maksustamatriisista voit ylittää rivin, koska se ei koskaan hyödynnä tätä siirtoa, jos seuraava suhde suoritetaan minkä tahansa muun merkkijonon kanssa:

Samoin pyrkimys pienimmälle menetykselle, pelaaja En koskaan valinnut lyhyt sarake maksukortriisissa ja tämä sarake voidaan poistaa, jos seuraava suhde suoritetaan minkä tahansa muun sarakkeen kanssa:

Suurin osa yksinkertainen päätös Peli on satulauspisteen läsnäolo yksinkertaistetussa maksamatriisissa, joka täyttää seuraavat ehdot (määritelmän mukaan):

Esimerkki

Dana Maksamatriisi:

.

Yksinkertaistaminen Maksamatriisi:

Satulapisteen läsnäolo:

5.8. Peli luonteella

Toisin kuin pelien teorian tehtävät tehtävät teoria tilastolliset ratkaisut Määrittelemätön tilanteella ei ole antagonistista konfliktinväriä ja riippuu objektiivisesta todellisuudesta, joka on tavanomaista "Nature" .

Matrix-peleissä, joilla on luonteeltaan pelaajana II, joukko epävarmoja tekijöitä, jotka vaikuttavat tehtyjen päätösten tehokkuuteen.

Matrix-pelit luonto eroavat tavallisista matriisipeleistä vain siinä, että kun valitset optimaalisen strategian, pelaaja, jota en voi keskittyä siihen, että pelaaja II pyrkii minimoimaan hänen tappionsa. Niinpä myönnetty matriisin käyttöönotettu matrix Riskit :

hDE - pelaajan riski, kun käytät aivohalvausta olosuhteissa, yhtäläiset erot Voittajan välillä, jonka pelaaja olisin saanut, jos tiesin, että ehto perustetaan, eli , ja voitto, jota hän saa, ei tiedä, kun valitset liikkua, että tila on perustettu.

Näin ollen maksumatriisi muunnetaan yksilöllisesti riskimatriisiin ja käänteinen transformaatio on epäselvä.

Esimerkki

Voittanut matriisi:

.

Riskimatriisi:

Mahdollinen kaksi ongelman asetusta Tietoja ratkaisun valitsemisesta matrix-pelissä luonnon kanssa :

Maksimoida voitot;

Riskien minimointi.

Päätösten tekeminen voidaan toimittaa kahdesta ehdotuksesta:

- riski olosuhteissa Kun todennäköisyysjakelu on tunnettu luonnonsuojelujen jakelusta esimerkiksi kunkin arvioidun erityisen taloudellisen tilanteen satunnaisilla arvolla;

- epävarmuusolosuhteissa Kun tällaista todennäköisyyden jakelun funktio ei ole tiedossa.

5.9. Tilastoratkaisujen teorian tehtävien ratkaiseminen

riski olosuhteissa

Päätösten tekemisessä Riski-olosuhteissa pelaaja I tunnetaan todennäköisyyksiä Luontolaitosten esiintyminen.

Sitten pelaaja, jonka olen suositeltavaa valita strategia, jolle keskimääräiset voitot, jotka on otettu linjalla, maksimi :

.

Ratkaisessasi tätä ongelmaa riskimatriisin kanssa saamme saman ratkaisun, joka vastaa minimaalinen keskimmäinen riski :

.

5.10. Tilastoratkaisujen teorian tehtävien ratkaiseminen

epävarmuusolosuhteissa

Kun teet päätöksiä epävarmuusolosuhteissa, voit käyttää seuraavia kriteeri :

Maximin-kriteeri Wald;

Kriteeri vähimmäisriski Seviiges;

Pessimismin kriteeri - Hurwitzin optimismi;

Laplacein riittämätön periaate.

Harkita maximin-kriteeri Walda .

Peli luonteella tapahtuu kohtuullisena aggressiivisena vastustajan, eli jälleenvakuutusmenetelmä suoritetaan Extreme Pessimismin asemasta maksutarvoille:

.

Harkita Sevigen vähimmäisriskin kriteeri .

Samanlainen aikaisempi lähestymistapa äärimmäisen pessimismin asemasta riskimatriisi:

.

Harkita Pessimismin kriteeri - Optimismi Gurvitsa .

Ehdotetaan, ettei äärimmäisen pessimismia ohjata eikä äärimmäistä optimismia:

missä on pessimismin aste;

kun - äärimmäinen optimismi,

kun - äärimmäinen pessimismi.

Harkita Laptoksen periaate riittämätön .

Uskotaan, että kaikki luonnonvallat ovat yhtä suuria:

,

.

Päätelmät viides osa

Matrix-pelissä kaksi pelaajaa osallistuvat ja voittotoiminto, joka palvelee häviäjän pelaajan maksamisen suuruutta, esitetään maksukotriisin muodossa. Sovittiin, että pelaaja I - valitsee yhden maksumatriisin linjoista liikuteltaessa, ja pelaaja II on yksi sen sarakkeista. Sitten valittujen rivien risteyksessä ja tämän matriisin sarakkeen, pelaajan I: n maksun määrä i pelaajasta II (jos tämä arvo on positiivinen, niin pelaaja olen todella voittanut, ja jos se on negatiivinen, voitin Pohjimmiltaan pelaaja II).

Jos maksukortrixissa on satulapiste, pelaajat ovat optimaaliset puhtaat strategiat, eli voittaa jokaisen niistä toistaa sen optimaalinen aivohalvaus. Jos satulapistettä ei ole, niin voittaneen, jokaisen heistä pitäisi hyödyntää optimaalista seka-strategiaa, ts. Käytä liikkeen sekoitusta, joista kukin on tehtävä optimaalisella todennäköisyydellä.

Optimaaliset sekalaiset strategiat 2 × 2 peliä varten tehdään laskemalla optimaaliset todennäköisyydet tunnetuilla kaavoilla. Kautta geometrinen ratkaisu Pelit 2 × N Optimaalisten sekarokratrategioiden määrittäminen vähennetään optimaalisten sekastrategioiden löytämiseksi 2 × 2-pelille. M × N-pelien ratkaisemiseksi lineaarinen ohjelmointimenetelmää käytetään etsimään optimaalisia strategioita.

Jotkin maksutapaat yksinkertaistetaan, minkä seurauksena niiden ulottuvuus vähennetään poistamalla rivejä ja sarakkeita, jotka vastaavat ei-tulevia liikkeitä.

Jos pelaajana II toimii joukon määrittelemättömiä tekijöitä riippuen objektiivisesta todellisuudesta eikä antagonistinen konfliktien väri, niin tällaista peliä kutsutaan peliksi luonteeltaan ja ratkaisuaan käytetään tilastollisten ratkaisujen teorian tehtäviä. Sitten maksukortriisi sekä riskimatriisi otetaan käyttöön ja kaksi joukkoa ongelmasta liuoksen valinnassa matriisipelissä luonteeltaan: voitot ja riskin minimointi.

Tilastollisten ratkaisujen teemien ratkaiseminen riskialosuhteissa osoittaa, että pelaaja, jonka kannattaa valita tämän strategian, jonka keskimääräinen arvo (matemaattinen odotus) voitot, jotka on otettu maksukotriisin linjalla, enimmäis- tai (mikä on sama) keskimääräinen (matemaattinen odotus) riski, joka on otettu riskimatriisijonolla, minimaalisesti. Kun teet päätöksiä epävarmuudessa, käytä seuraavat kriteerit: Maxin Wald -kriteeri, seviivojen vähimmäisriskin kriteerit, Gurvitzin pessimismin optimismin kriteeri, lamppujen lamppujen periaate.

Kysymykset itsetestaukseen

Miten pelioreorian peruskäsitteet: aivohalvaus, strategia ja voittaja?

Mikä on voitot toimivat matriisipelissä?

Miksi matriisipeli kutsutaan nollalla?

Miten peliprosessi Matrix-pelissä?

Mikä peli nimeltä M × N Game?

Mikä on Matrix-pelin strategia nimeltä Optimaalinen?

Mikä on optimaalinen matriisi-strategia nimeltä Clean?

Mitä maksutapahtumapaikka tarkoittaa?

Mikä on optimaalinen matriisi-strategia, jota kutsutaan hauskaksi?

Mikä on sekoitettu pelaajan strategia?

Mikä on maksun arvo pelaajan I pelaajalta II, joka valitsi sekalaiset strategiat?

Mitkä strategiat ovat optimaalisia?

Mitä kohtuuton ero tarkoittaa?

Millainen menetelmä ovat optimaaliset sekalaiset strategiat 2 × 2 peliä varten?

Miten optimaaliset sekoitetut strategiat 2 × n peleille?

Millä menetelmällä on optimaaliset sekoitetut strategiat M × N?

Mitkä ovat matriisipeleiden ratkaiseminen?

Mitä maksumatriisi yksinkertaistaa ja missä olosuhteissa se voidaan toteuttaa?

Mitä matriisipeli on helpompi päättää, milloin maksutapahtuma on tai ei ole satulapistettä?

Mitkä ovat pelien teorian tehtävät liittyvät tilastollisten ratkaisujen teorian tehtäviin?

Miten maksumatriisi muunnetaan riskimatriisiin?

Mitä kaksi asetusta tehtävistä ratkaisujen valitsemisesta ovat mahdollisia matriisipelissä luonnon kanssa?

Mitä kahdessa olosuhteissa voidaan toimittaa matriisi-pelin tehtäviä luonteeltaan?

Mitä strategiaa olisi suositeltavaa valita pelaaja I ratkaisemalla riskin tilastollisten ratkaisujen teorian ongelman?

Mitä päätösten tekemistä koskevia kriteerejä voidaan käyttää tilastollisten ratkaisujen teorian ratkaisemisessa epävarmuuden edellytyksissä?

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta

1. Maksamatriisi osoittaa yrityksen voiton suuruuden niiden toteuttamisen aikana eri lajit Tuotteet (sarakkeet) riippuen vaativasta kysynnästä (merkkijono). On tarpeen määrittää yrityksen optimaalinen strategia eri lajien tuotteiden tuottamiseen ja vastaaviin enintään (keskimäärin) tuloja niiden täytäntöönpanosta.

Merkitse määritetyn matriisin läpi ja syöttää muuttujia. Käytämme myös matriisi (vektori). Sitten, ts ..

Käänteinen matriisi lasketaan:

On arvoja:

.

Todennäköisyydet lasketaan:

Täytäntöönpanon keskimääräiset tulot määritetään:

.

2. Yritys "apteekki" - lääkkeiden ja biolääketieteellisten tuotteiden valmistaja alueella. Tiedetään, että joidenkin lääkkeiden kysynnän huippu kuuluu kesäaika (Kardiovaskulaarisen ryhmän valmisteet, kipulääkkeet), muille - syksyllä ja kevätjaksolla (tarttuva, antitussive).

Kustannukset 1 SL: lle. yksiköt. Tuotteet syys-lokakuuhun olivat: Ensimmäisessä ryhmässä (Cardiovaskulaariset ja kipulääkkeet) - 20 r.; Toisen ryhmän (tarttuvien antifektoivien lääkkeiden mukaan) - 15 s.

Useiden havaintojen mukaan viime vuosina Yhtiön markkinointipalvelu on todennut, että se voidaan toteuttaa kahden kuukauden aikana lämpimän sään 3050 SL: n olosuhteissa. yksiköt. Ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 1100 olosuhteet. yksiköt. Toiset ryhmätuotteet; Kylässä sääolosuhteissa - 1525 SEL. yksiköt. Ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 3690 olosuhteet. yksiköt. Toinen ryhmä.

Mahdollisten sääennusteiden yhteydessä tehtävänä on määrittää yhtiön strategia tuotteiden tuotannossa, joka takaa myynnin enimmäisturojen myyntihinnasta 40 s. 1 sl. yksiköt. Ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 30 r. - Toinen ryhmä.

PÄÄTÖS. Yhtiöllä on kaksi strategiaa:

Tänä vuonna on lämmin sää;

Sää on kylmä.

Jos yritys ottaa strategian ja itse asiassa on lämmin sää (luontostrategia), sitten julkaistut tuotteet (3050 USL. Ensimmäisen ryhmän huumeiden yksiköt ja 1100 olosuhteet. Toisen ryhmän yksikkö) toteutetaan täysimääräisesti ja Tulot ovat

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) \u003d 77500 p.

Viileän sään (luonnon strategia) olosuhteissa toisen ryhmän valmistelut myydään kokonaan, ja ensimmäinen ryhmä on vain 1525 ehtoa. yksiköt. Ja osa lääkkeistä säilyy realisoitumattomissa. Tulot ovat

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () \u003d 16500 s.

Samoin, jos lomake hyväksyy strategian ja todellisuudessa on kylmä sää, tulot ovat

1525 × (40-20) + 3690 × (30-15) \u003d 85850 p.

Lämpimällä säällä tulot ovat

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 \u003d 8150 s.

Ottaen huomioon yritys ja sää kaksi pelaajaa, saamme maksutarvikkeen

,

Pelin hinta sijaitsee alueella

Maksutapa Matrixista on selvää, että kaikissa olosuhteissa yhtiön tulot ovat vähintään 16 500 ruplaa, mutta jos sääolosuhteet ovat samat kuin valittu strategia, voi olla 77 500 s.

Etsi ratkaisu peliin.

Merkitsee todennäköisyyttä soveltaa strategiaa strategiaa - sen jälkeen, ja. Pelin ratkaiseminen graafisesti menetelmä, saamme Vaikka pelin hinta r.

Huumeiden optimaalinen tuotantosuunnitelma on

Näin ollen on suositeltavaa tuottaa yritys syyskuussa ja lokakuussa 2379. yksiköt. Ensimmäisen ryhmän valmistelut ja 2239.6 SL. yksiköt. Toisen ryhmän valmisteet, sitten millä tahansa säällä, se saa vähintään 46986 s.

Epävarmuusolosuhteissa, jos ei ole mahdollista käyttää sekastrategiaa (sopimusten kanssa muiden organisaatioiden kanssa), käytä seuraavia kriteerejä yrityksen optimaalisen strategian määrittämiseksi:

WALDE-kriteeri:

Gurvitsan kriteeri: ehdottomuudesta, otamme sitten yhtiön strategialle

strategialle

yritys on suositeltavaa käyttää strategiaa.

Perusteet Savage. Ensimmäisen sarakkeen suurin elementti on 77500, toisessa sarakkeessa - 85850.

Riskimatriisielementit ovat ekspressiosta

,

missä,

Riskimatriisi on näkymä

,

on suositeltavaa käyttää strategiaa tai.

Näin ollen yritys on suositeltavaa soveltaa strategiaa tai.

Huomaa, että kukin harkita kriteerejä ei voida tunnistaa melko tyydyttäväksi lopullinen valinta Päätökset kuitenkin niiden yhteinen analyysi mahdollistaa selkeästi, että tietyt johtamispäätökset hyväksyvät seuraukset.

Tunnetulla luonnonvarojen todennäköisyydellä tunnetulla tasolla päätöksentekokriteeri on voitot matemaattinen odotus.

Ilmoitamme ongelmasta, että lämpimän ja kylmän sään todennäköisyys ovat 0,5, sitten yhtiön optimaalinen strategia määräytyy seuraavasti:

Yritys on suositeltavaa käyttää strategiaa tai.

Tehtävät itsenäiselle työlle

1. Yhtiö voi tuottaa kolmenlaisia \u200b\u200btuotteita (A, B ja B), kun taas voitot riippuen kysynnästä riippuen. Kysyntä puolestaan \u200b\u200bvoi kestää yhden neljästä valtiosta (I, II, III ja IV). Seuraavassa matriisissa elementit luonnehtivat voittoa, jonka yritys saa tuotteiden vapauttamisessa ja kysynnän tilassa:

Jos pelissä jokainen vastustaja koskee vain samaa strategiaa, niin pelistä itse tässä tapauksessa he sanovat, että se tapahtuu puhtauksissa ja jota pelaaja käyttää MUTTA ja pelaaja SISÄÄN Pari strategioita kutsutaan puhtaat strategiat .

Määritelmä. Höyrystrategioiden antagonistinen peli ( MUTTA i. , SISÄÄN j) kutsutaan tasapainoksi tai vakaana, ellei yksi pelaajista hyötyä strategiastaan.

Levitä nettostrategioita järkeä, kun pelaajat MUTTA ja SISÄÄN Tietoja toistensa toimista ja tuloksista. Jos oletamme, että ainakin yksi osapuolista ei tiedä vihollisen käyttäytymisestä, tasapainon ajatus häiritsee, ja peli on mahdotonta.

Harkitse matriisipeliä G. (3x4)

Tässä esimerkissä pelin alhaisempi hinta on yhtä suuri kuin alkuun: \u003d\u003d 9, ts. Pelillä on satulapiste.

On käynyt ilmi, että tässä tapauksessa maksimaaliset strategiat MUTTA 2 I. SISÄÄN 2 on kestävä Suhteessa vihollisen käyttäytymisestä.

Todellakin, anna pelaajan MUTTA oppinut, että vihollinen soveltaa strategiaa SISÄÄN 2. Mutta tässä tapauksessa soitin MUTTA Jatka strategiaa noudattaa MUTTA 2, koska kaikki vetäytyminen strategiasta MUTTA 2 Vähennä vain voittoa. Samoin pelaajan saamat tiedot SISÄÄNei tee häntä perääntyä strategiasta SISÄÄN 2 .

Pari strategiat MUTTA 2 I. SISÄÄN 2 on vakauden omaisuus ja voitot (esimerkissä, jotka ovat yhtä kuin 9), saavutettu tällä strategialla, osoittautuvat maksutarvitriin satulapisteeksi.

Kestävyyden (tasapaino) merkki strategiasta on pienempien ja pienempien huippu Pelit.

Strategia MUTTA i. ja SISÄÄN j. (esimerkissä tarkastellaan MUTTA 2 , SISÄÄN 2), jossa pelin alemman ja huipputason tasa-arvo suoritetaan, kutsutaan optimaalisilla nettostrateiksi, ja niiden yhdistelmä on pelin ratkaisu. Tietoja pelistä itse tässä tapauksessa he sanovat, että se ratkaistaan \u200b\u200bpuhtailla strategioilla.

Arvoa kutsutaan pelin hintaan.

Jos 0, sitten peli hyödyttää pelaajaa A, jos 0 - pelaajalle; Kun \u003d 0, peli on voimassa, ts. Se on yhtä kannattavaa molemmille osallistujille.

Kuitenkin pelin satulapisteen läsnäolo ei ole sääntö, pikemminkin on poikkeus. Useimmissa matriisipeleissä ei ole satulapistettä, joten niillä ei ole optimaalisia puhtaita strategioita. Kuitenkin on olemassa sellaisia \u200b\u200bpelejä, joilla on aina satulapiste ja tämä tarkoittaa, että se on ratkaistu puhtaissa strategioissa. Nämä ovat pelejä täydelliset tiedot.

Teorem 2. Jokaisella täydellä tiedolla on satulapiste, ja siksi ratkaistaan \u200b\u200bpuhtailla strategialla, ts. On pari optimaalisia puhtaita strategioita, jotka antavat kestävän vahvistuksen yhtä suuri kuin.

Jos tällainen peli koostuu vain henkilökohtaisista liikkeistä, niin kun käytät jokaisen pelaajan optimaalisen puhtaan strategiansa, sen pitäisi lopettaa voittaja, joka vastaa pelin hinta. Sanotaan shakkipeli, kuten peli, jossa on täydelliset tiedot, tai päättyy aina valkoisiin voitoihin tai aina - mustat voitot tai aina - piirustus (vain mitä tarkalleen - emme tiedä, koska mahdolliset strategioiden määrä a Shakkipeli on valtava).

Jos pelimatriisi sisältää satulapisteen, sen ratkaisu sijaitsee välittömästi maksimien periaatteella.

Kysymys kuuluu: Kuinka löytää päätöksen pelin, jonka maksukortrix ei ole satulapistettä? Kunkin pelaajan maksimaalisen periaatteen käyttö tarjoaa pelaajan ja ainakin pelaajan voitot - ei enää pelaajaa. Ottaen huomioon, että pelaajalle luonnollisesti ja halu kasvaa voitot ja pelaaja - vähentää tappiota. Tällaisesta päätöksestä on tarpeen käyttää sekalaisia \u200b\u200bstrategioita: vaihtoehtoiset nettistrategiat joillakin taajuuksilla.

Määritelmä. Satunnaisarvo, joiden arvot ovat puhtaita soittimen strategioita, joita kutsutaan seka Strategia .

Siten sekoitettujen soittimien strategian tehtävänä on osoittaa ne todennäköisyydet, joiden kanssa sen nettostrategiat valitaan.

Osoitamme sekalaisia \u200b\u200bpelaajia MUTTA ja SISÄÄN vastaavasti

S \u003d || p 1, p2, ..., p m ||,

S b \u003d || Q 1, Q 2, ..., Q N ||,

jossa p i on pelaajan todennäköisyys MUTTA Puhdista puheella MUTTA І; ; Q J - Toisaalta pelaajan sovellus puhtaassa strategiassa B J; .

Erityisessä tapauksessa, kun kaikki todennäköisyydet, lukuun ottamatta yhtä, ovat nolla, ja tämä on yksi, sekoitettu strategia muuttuu puhtaana.

Sekalaisten strategioiden käyttö toteutetaan esimerkiksi tällä tavoin: peli toistuu monta kertaa, mutta jokaisessa erässä soitin koskee erilaisia \u200b\u200bpuhtaita strategioita suhteellisten taajuuksien kanssa niiden käytön kanssa p. i. ja q. j. .

Sekalaiset strategiat pelien malli ovat muuttuva, joustava taktiikka, kun mikään pelaajista ei tiedä, mitä puhdasta strategiaa valitsee vastustajan tässä puolueessa.

Jos pelaaja MUTTA Sovelletaan sekoitettua strategiaa a \u003d || p 1, p2, ..., p m || ja pelaaja SISÄÄN Seka Strategia S B \u003d || Q 1, Q 2, ..., Q N ||, sitten keskimääräiset voitot (matemaattinen odotus) soitin MUTTA määräytyy suhde

Luonnollisesti odotettu pelaaja menetys SISÄÄN Se on sama kuin sama suuruus.

Joten, jos matriisipelissä ei ole satulapistettä, pelaajan on käytettävä optimaalista seka-strategiaa, joka varmistaa suurimman voiton.

Luonnollisesti syntyy kysymys: Mitä näkökohtia olisi ohjattava valitsemalla sekalaiset strategiat? Se osoittautuu, että maksimin periaate säästää sen merkityksen ja tässä tapauksessa. Lisäksi, tärkeä Ymmärtääksesi pelien ratkaisun, pelaa pelioreorin tärkeimmät teoreet.

Matemaattiset menetelmät ja mallit talouteen

Matrix-pelit

Johdanto

Taloudellisessa käytännössä on usein tilanteita, joissa eri puolilla pyritään erilaisia \u200b\u200btavoitteita. Esimerkiksi myyjän ja ostajan, toimittajan ja kuluttajan, pankin ja avustajan välinen suhde jne. Tällaiset konfliktitilanteet johtuvat paitsi taloudessa vaan muussa toiminnassa. Esimerkiksi shakki, checkers, domino, lotto jne.

Peli- Tämä on matemaattinen malli konfliktien tilanne vähintään kaksi henkilöä käyttämällä useita eri tavoin Saavuttaa tavoitteesi. Peliä kutsutaan pari jos siihen osallistuu kaksi pelaajaa. Peliä kutsutaan antagonistinen jos yhden pelaajan voittaminen on yhtä suuri kuin toisen menetys. Siksi tehtävä peli, riittää määrittelemään yhden pelaajan voitot eri tilanteissa.

Jokainen soittimen toimintatapa nykyisestä tilanteesta riippuen strategia. Jokaisella pelaajalla on tietty sarja strategioita. Jos tietysti strategioiden määrä, peli on kutsuttu viime kädessä muussa tapauksessa - ääretön . Strategioita kutsutaan puhdas jos jokainen pelaaja valitsee vain yhden strategian, eikä satunnaisesti.

Pelin ratkaiseminenvalehtelee tällaisen strategian, joka täyttää optimaalisuuden tila. Tämä edellytys on se, että yksi pelaaja saa suurin voitto, jos toinen noudattaa strategiaansa. Ja päinvastoin, toinen pelaaja saa vähimmäishäviö, Jos ensimmäisellä pelaajalla on strategia. Tällaisia \u200b\u200bstrategioita kutsutaan optimaalinen . Tällä tavalla, pelin tavoitteena on kunkin pelaajan optimaalisen strategian määritelmä.

Puhdas strategiapeli

Harkitse peliä kahdella pelaajalla MUTTA ja SISÄÄN.Oletetaan pelaaja MUTTAsillä on m.strategiat 1, ja 2, ... ja m, Pelaaja SISÄÄNsillä on n.strategiat B 1, B 2, ..., B n.Oletamme, että pelaajan valinta MUTTAstrategia A I,pelaaja SISÄÄNstrategia B J.ehdottomasti määrittää pelin tulokset, ts. Voittaa iJ.pelaaja MUTTAja voittaa B ij.pelaaja SISÄÄN.Tässä i \u003d 1,2, ..., m, j \u003d 1,2, ..., n.

Yksinkertainen peli Kaksi pelaajaa on antagonistinen peli , nuo. Peli, jossa pelaajien edut ovat suoraan vastakkaisia. Tällöin pelaajien voitot liittyvät tasa-arvoon.

b ij \u003d -a ij

Tämä tasa-arvo tarkoittaa, että yhden pelaajan voittaminen on yhtä suuri kuin toisen menetys. Tällöin riittää harkitsemaan vain yhden pelaajan voitot, esimerkiksi pelaaja MUTTA.

Jokainen strategioiden pari I.ja B J.vastaa voittamista iJ.pelaaja MUTTA.Kaikki nämä voitot tallennetaan sopivasti niin sanotun maksamatriisi

Tämän matriisin rivit täyttävät pelaajien strategioita MUTTA,ja sarakkeet - pelaajien strategiat SISÄÄN.Yleensä tätä peliä kutsutaan (M × n) -game.

Esimerkki 1.Kaksi pelaajaa MUTTA ja SISÄÄNheitä kolikko. Jos kolikon puolella on samansuuntainen, voittaa sitten MUTTA. pelaaja SISÄÄNmaksaa pelaaja. MUTTAjotkut määrät yhtä suuri kuin 1, ja jos ne eivät ole samansuuntaisia, niin pelaaja voittaa, ts. Päinvastoin, pelaaja MUTTAmaksaa pelaaja. SISÄÄNsama määrä , yhtä suuri 1. Maksamatriisin muodostaminen.

Päätös.Tehtävän edellytyksen mukaan