Mitä menetelmiä tiedät todennäköisyyksien määrittämiseksi. Elinikä satunnaismuuttujana

Tapahtumat, jotka tapahtuvat realistisesti tai mielikuvituksessamme, voidaan jakaa kolmeen ryhmään. Nämä ovat luotettavia tapahtumia, joita varmasti tapahtuu, mahdottomia tapahtumia ja satunnaisia \u200b\u200btapahtumia. Todennäköisyysteoria tutkii satunnaisia \u200b\u200btapahtumia, ts. tapahtumia, joita voi tapahtua tai ei. Tämä artikkeli esitellään lyhyt muoto todennäköisyysteorian kaavat ja esimerkkejä todennäköisyysteorian ongelmien ratkaisemisesta, jotka ovat matematiikan kokeen 4. tehtävässä (profiilitaso).

Miksi todennäköisyysteoriaa tarvitaan

Historiallisesti tarve tutkia näitä ongelmia syntyi 1600-luvulla rahapelien kehityksen ja ammattimaisuuden sekä kasinoiden syntymisen yhteydessä. Tämä oli todellinen ilmiö, joka vaati tutkimusta.

Korttien pelaaminen, nopat, ruletti loivat tilanteita, joissa mikä tahansa lopullisesta joukosta yhtä mahdollisia tapahtumia voi tapahtua. Syntyi tarve antaa numeerisia arvioita tietyn tapahtuman mahdollisuudesta.

1900-luvulla kävi selväksi, että tällä näennäisesti kevytmielisellä tieteellä on tärkeä rooli mikrokosmossa tapahtuvien perusprosessien ymmärtämisessä. Luotiin moderni teoria todennäköisyydet.

Todennäköisyysteorian peruskäsitteet

Todennäköisyysteorian tutkimuksen kohde on tapahtumat ja niiden todennäköisyydet. Jos tapahtuma on monimutkainen, se voidaan jakaa yksinkertaisiin komponentteihin, joiden todennäköisyydet on helppo löytää.

Tapahtumien A ja B summaa kutsutaan tapahtumaksi C, joka koostuu siitä, että joko tapahtuma A tai tapahtuma B tai tapahtumat A ja B tapahtuivat samanaikaisesti.

Tapahtumien A ja B tulosta kutsutaan tapahtumaksi C, joka koostuu siitä, että sekä tapahtuma A että tapahtuma B

Tapahtumia A ja B kutsutaan epäjohdonmukaisiksi, jos ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti.

Tapahtumaa A kutsutaan mahdottomaksi, ellei sitä voi tapahtua. Tällainen tapahtuma on merkitty symbolilla.

Tapahtumaa A kutsutaan uskottavaksi, jos se välttämättä tapahtuu. Tällainen tapahtuma on merkitty symbolilla.

Olkoon jokainen tapahtuma A liitetty lukuun P (A). Tätä lukua P (A) kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi, jos seuraavat ehdot täyttyvät tälle kirjeenvaihdolle.

Tärkeä erityistapaus on tilanne, jossa on vastaavia perustuloksia ja mielivaltaiset näistä tuloksista muodostavat tapahtumia A. Tässä tapauksessa todennäköisyys voidaan syöttää kaavan avulla. Tällä tavoin käyttöönotettua todennäköisyyttä kutsutaan klassiseksi todennäköisyydeksi. Voidaan todistaa, että tässä tapauksessa ominaisuudet 1-4 täyttyvät.

Matematiikan tentissä esiintyvät todennäköisyysteorian ongelmat liittyvät lähinnä klassiseen todennäköisyyteen. Tällaiset tehtävät voivat olla hyvin yksinkertaisia. Todennäköisyysteorian ongelmat ovat erityisen yksinkertaisia esittelyvaihtoehdot... Suotuisien lopputulosten määrä on helppo laskea, kaikkien tulosten lukumäärä on kirjoitettu ehtoon.

Saamme vastauksen kaavalla.

Esimerkki matematiikan kokeen ongelmasta todennäköisyyden määrittämiseksi

Pöydässä on 20 piirakkaa - 5 kaalia, 7 omenaa ja 8 riisiä. Marina haluaa ottaa piirakan. Mikä on todennäköisyys, että hän ottaa riisipiirakan?

Päätös.

Yhteensä on 20 vastaavaa alkeistulosta, eli Marina voi ottaa minkä tahansa 20 piirakasta. Mutta meidän on arvioitava todennäköisyys, että Marina ottaa piirakan riisin kanssa, toisin sanoen missä A on riisipiirakan valinta. Joten meillä on vain useita suotuisia tuloksia (riisipiirakoita). Silloin todennäköisyys määritetään kaavalla:

Itsenäiset, vastakkaiset ja mielivaltaiset tapahtumat

Kuitenkin avoin pankki tehtävät alkoivat täyttää ja monimutkaisemmat tehtävät. Siksi kiinnitämme lukijan huomion muihin todennäköisyysteoriassa tutkittuihin kysymyksiin.

Tapahtumia A ja B kutsutaan itsenäisiksi, jos niiden todennäköisyys ei riipu siitä, onko uusi tapahtuma tapahtunut.

Tapahtuma B tarkoittaa, että tapahtumaa A ei tapahtunut, ts. tapahtuma B on tapahtuman A vastakohta. Vastakkaisen tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin miinus suoran tapahtuman todennäköisyys, ts. ...

Todennäköisyyksien summaus- ja kertolauseet, kaavat

Mielivaltaisille tapahtumille A ja B näiden tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen tapahtuman todennäköisyyttä, ts. ...

Riippumattomien tapahtumien A ja B osalta näiden tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo, ts. tässä tapauksessa .

Kahta viimeistä lausetta kutsutaan todennäköisyyksien summaus- ja kertolauseiksi.

Tulosten määrän laskeminen ei ole aina niin helppoa. Joissakin tapauksissa on välttämätöntä käyttää kombinatorisia kaavoja. Tässä tapauksessa tärkeintä on laskea tiettyjen ehtojen täyttävien tapahtumien määrä. Joskus tällaisista laskelmista voi tulla itsenäisiä tehtäviä.

Kuinka monella tapaa 6 opiskelijaa voi istuttaa 6 avoimelle paikalle? Ensimmäinen opiskelija ottaa minkä tahansa kuudesta paikasta. Jokainen näistä vaihtoehdoista vastaa viittä tapaa ottaa toisen opiskelijan paikka. Kolmannelle opiskelijalle on 4 ilmaista paikkaa, neljännelle - 3, viidennelle - 2, kuudennelle tulee ainoa jäljellä oleva paikka. Löydätksesi kaikkien vaihtoehtojen määrän, sinun on löydettävä tuote, joka on merkitty symbolilla 6! ja siinä lukee "kuusi kertointa".

Yleensä vastauksen tähän kysymykseen antaa kaava n elementin permutaatioiden lukumäärälle.

Harkitse nyt toista tapausta opiskelijamme kanssa. Kuinka monella tapaa 2 opiskelijaa voi istuttaa kuudelle avoimelle paikalle? Ensimmäinen opiskelija ottaa minkä tahansa kuudesta paikasta. Jokainen näistä vaihtoehdoista vastaa viittä tapaa ottaa toisen opiskelijan paikka. Löydät tuotteen kaikkien vaihtoehtojen määrän.

Yleensä vastauksen tähän kysymykseen antaa kaava n elementin sijoittamisten lukumäärälle k elementille

Meidän tapauksessamme.

JA viimeinen tapaus tästä sarjasta. Kuinka monella tavalla on kolme opiskelijaa kuudesta? Ensimmäinen opiskelija voidaan valita kuudella tavalla, toinen viidellä, kolmas neljällä tavalla. Mutta näiden vaihtoehtojen joukossa samat kolme opiskelijaa kohtaavat 6 kertaa. Löydätksesi kaikkien vaihtoehtojen määrän, sinun on laskettava arvo :. Yleensä vastauksen tähän kysymykseen antaa kaava elementtien yhdistelmien lukumäärälle elementeittäin:

Meidän tapauksessamme.

Esimerkkejä matematiikan kokeen tehtävien ratkaisemisesta todennäköisyyden määrittämiseksi

Tehtävä 1. Kokoelmasta, toim. Jaštšenko.

Levyllä on 30 piirakkaa: 3 lihaa, 18 kaalia ja 9 kirsikoita. Sasha valitsee yhden piirakan satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että hän pääsee kirsikkaan.

.

Vastaus: 0.3.

Tehtävä 2. Kokoelmasta, toim. Jaštšenko.

Jokainen 1000 polttimon erä sisältää keskimäärin 20 viallista polttimoa. Selvitä todennäköisyys, että erästä satunnaisesti piirretty polttimo toimii.

Ratkaisu: Toimintalamppujen määrä on 1000-20 \u003d 980. Tällöin todennäköisyys, että erästä satunnaisesti otettu hehkulamppu on käyttökelpoinen:

Vastaus: 0,98.

Todennäköisyys, että opiskelija U. ratkaisee oikein yli 9 tehtävää matematiikkakokeessa, on 0,67. Todennäköisyys, että U. ratkaisee oikein yli 8 ongelmaa, on 0,73. Selvitä todennäköisyys, että U ratkaisee tarkalleen 9 ongelmaa oikein.

Jos kuvittelemme numerolinjaa ja merkitsemme siihen pisteet 8 ja 9, näemme, että ehto “Y. ratkaisee oikein tarkalleen 9 ongelmaa "sisältyy ehtoon" U. ratkaisee oikein yli 8 ongelmaa ", mutta ei koske ehtoa" W. ratkaisee yli 9 ongelmaa oikein ”.

Ehto ”W. ratkaisee oikein yli 9 ongelmaa "sisältyy ehtoon" W. ratkaisee yli 8 ongelmaa oikein ”. Jos siis määritämme tapahtumia: “W. ratkaisee oikein tarkalleen 9 ongelmaa - A: n, "Y: n kautta". ratkaisee oikein yli 8 ongelmaa "- B: n," U. ratkaisee oikein yli 9 ongelmaa "C: n kautta. Tämä ratkaisu näyttää tältä:

Vastaus: 0,06.

Geometriakokeessa opiskelija vastaa yhteen kysymykseen tenttikysymysten luettelosta. Todennäköisyys, että tämä on trigonometriakysymys, on 0,2. Todennäköisyys, että tämä on ulkokulma-kysymys, on 0,15. Ei ole kysymyksiä, jotka liittyvät samanaikaisesti näihin kahteen aiheeseen. Selvitä todennäköisyys, että opiskelija saa kysymyksen jostakin näistä kahdesta tentin aiheesta.

Mietitään, millaisia \u200b\u200btapahtumia meillä on. Meille annetaan kaksi yhteensopimatonta tapahtumaa. Toisin sanoen joko kysymys liittyy aiheeseen "trigonometria" tai aiheeseen "ulkokulmat". Todennäköisyyslausekkeen mukaan epäjohdonmukaisten tapahtumien todennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin tapahtuman todennäköisyyksien summa, meidän on löydettävä näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa, eli:

Vastaus: 0,35.

Huone on valaistu lyhdyllä, jossa on kolme lamppua. Yhden lampun palamisen todennäköisyys vuodessa on 0,29. Selvitä todennäköisyys, että ainakin yksi lamppu ei palaa vuoden kuluessa.

Tarkastellaan mahdollisia tapahtumia. Meillä on kolme polttimoa, joista kukin saattaa palaa tai olla palamatta muista polttimoista riippumatta. Nämä ovat itsenäisiä tapahtumia.

Sitten ilmoitamme vaihtoehdot tällaisille tapahtumille. Hyväksykäämme merkinnät: - valo palaa, - valo on palanut. Ja aivan sen vieressä laskemme tapahtuman todennäköisyyden. Esimerkiksi tapahtui sellaisen tapahtuman todennäköisyys, jossa kolme erillistä tapahtumaa ”hehkulamppu paloi”, “hehkulamppu on päällä”, “hehkulamppu on päällä” tapahtui: missä tapahtuman todennäköisyys ”hehkulamppu on päällä ”Lasketaan tapahtuman” hehkulamppu ei pala ”vastakohtaisen tapahtuman todennäköisyydellä, nimittäin: ...

Huomaa, että meille on vain 7 epäjohdonmukaista tapahtumaa. Tällaisten tapahtumien todennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin tapahtuman todennäköisyyksien summa :.

Vastaus: 0,975608.

Kuvassa näkyy vielä yksi ongelma:

Siksi sinä ja minä ymmärsimme, mikä on kaavan todennäköisyysteoria ja esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta, joihin voit tavata kokeen versiossa.

On epätodennäköistä, että monet ihmiset ajattelevat, onko mahdollista laskea enemmän tai vähemmän satunnaisia \u200b\u200btapahtumia. Ilmaistuna yksinkertaisilla sanoilla, onko realistista tietää, kumpi puoli putoaa seuraavalla kerralla. Juuri tämän kysymyksen kysyivät kaksi suurta tutkijaa, jotka loivat perustan sellaiselle tieteelle kuin todennäköisyysteoria, tapahtuman todennäköisyys, jota tutkitaan melko laajasti.

Alku

Jos yrität määritellä tällaisen käsitteen todennäköisyysteoriaksi, saat seuraavan: tämä on yksi matematiikan haaroista, joka käsittelee satunnaistapahtumien vakauden tutkimista. Tietysti, tämä käsite ei todellakaan paljasta koko asiaa, joten on tarpeen tarkastella sitä tarkemmin.

Haluaisin aloittaa teorian luojista. Kuten edellä mainittiin, heitä oli kaksi, tämä ja juuri he yrittivät ensimmäisten joukossa laskea kaavojen ja matemaattisten laskelmien avulla tapahtuman lopputuloksen. Kaiken kaikkiaan tämän tieteen alkeisuudet ilmestyivät keskiajalla. Tuolloin useat ajattelijat ja tutkijat yrittivät analysoida uhkapeli, kuten mittanauha, noppaa ja niin edelleen, mikä määrittää tietyn luvun esiintymismallin ja prosenttiosuuden. Edellä mainitut tutkijat panivat perustan 1700-luvulla.

Aluksi heidän teoksiaan ei voitu lukea tämän alueen suurista saavutuksista, koska kaikki heidän tekemänsä oli yksinkertaisesti empiiristä tosiasiaa, ja kokeet toteutettiin visuaalisesti ilman kaavoja. Ajan myötä se osoittautui saavuttamaan hyviä tuloksia, jotka ilmestyivät seuraamalla luiden heittoa. Tämä työkalu auttoi johtamaan ensimmäisiä ymmärrettäviä kaavoja.

Samanmieliset ihmiset

On mahdotonta olla mainitsematta sellaista henkilöä kuin Christian Huygens tutkittaessa todennäköisyysteoriaa (tapahtuman todennäköisyyttä käsitellään tässä tieteessä). Tämä henkilö on erittäin mielenkiintoinen. Hän, kuten edellä esitetyt tutkijat, yritti johtaa satunnaisten tapahtumien säännöllisyyttä matemaattisten kaavojen muodossa. On huomionarvoista, että hän ei tehnyt tätä yhdessä Pascalin ja Fermatin kanssa, toisin sanoen kaikki hänen teoksensa eivät leikkaaneet näiden mielien kanssa. Huygens toi

Mielenkiintoinen tosiasia on, että hänen työnsä ilmestyi kauan ennen löytäjien työn tuloksia tai pikemminkin 20 vuotta aikaisemmin. Nimettyjen käsitteiden joukossa tunnetuimmat ovat:

• todennäköisyyden käsite mahdollisuuden suuruutena;
• matemaattinen odotus erillisissä tapauksissa;
• todennäköisyyksien kertomisen ja lisäämisen lauseet.

On myös mahdotonta muistaa, kuka myös antoi merkittävän panoksen ongelman tutkimiseen. Suoritettuaan omat, riippumattomat testinsä hän pystyi toimittamaan todisteita laista suuret numerot... Puolestaan \u200b\u200byhdeksästoista vuosisadan alussa työskennelleet tutkijat Poisson ja Laplace pystyivät todistamaan alkuperäiset lauseet. Tästä hetkestä lähtien todennäköisyysteoriaa alettiin käyttää virheiden analysointiin havaintojen aikana. Venäläiset tutkijat tai pikemminkin Markov, Tšebyshev ja Dyapunov eivät myöskään voineet kiertää tätä tiedettä. He vahvistivat suurten neroiden tekemän työn perusteella tämän aiheen matematiikan haarana. Nämä luvut toimivat jo 1800-luvun lopulla, ja heidän panoksensa ansiosta tällaiset ilmiöt todistettiin seuraavasti:

• suurten lukujen laki;
• teoria Markov-ketjuista;
• keskirajan lause.

Joten tieteen syntymähistorian ja siihen vaikuttaneiden päähenkilöiden kanssa kaikki on enemmän tai vähemmän selvää. Nyt on aika konkretisoida kaikki tosiasiat.

Peruskonseptit

Ennen kuin kosketat lakeja ja lauseita, kannattaa tutkia todennäköisyysteorian peruskäsitteitä. Tapahtumalla on siinä johtava rooli. Tämä aihe melko laaja, mutta ilman sitä ei ole mahdollista ymmärtää kaikkea muuta.

Tapahtuma todennäköisyysteoriassa on mikä tahansa kokeen tulosjoukko. Tätä ilmiötä ei ole niin vähän käsitteitä. Joten tällä alueella työskentelevä tiedemies Lotman sanoi, että tässä tapauksessa se tulee mitä "tapahtui, vaikka sitä ei ehkä olisi tapahtunut".

Satunnaiset tapahtumat (todennäköisyysteoria antaa ne erityistä huomiota) on käsite, joka tarkoittaa ehdottomasti mitä tahansa ilmiötä, jolla on kyky esiintyä. Tai päinvastoin, tämä skenaario ei välttämättä tapahdu, jos monet ehdot täyttyvät. On myös syytä tietää, että sattumanvaraiset tapahtumat vangitsevat tapahtuneiden ilmiöiden koko määrän. Todennäköisyysteoria osoittaa, että kaikki olosuhteet voidaan toistaa koko ajan. Heidän käytökselleen on annettu nimi "kokeilu" tai "testi".

Uskottava tapahtuma on sataprosenttinen tietyssä testissä. Näin ollen mahdoton tapahtuma on sellainen, jota ei tapahdu.

Toimintaparin (ehdollisesti tapaus A ja tapaus B) yhdistäminen on ilmiö, joka tapahtuu samanaikaisesti. Niitä kutsutaan AB: ksi.

Tapahtumaparien A ja B summa on C, toisin sanoen, jos ainakin yksi niistä esiintyy (A tai B), niin se osoittautuu C. Kuvatun ilmiön kaava kirjoitetaan seuraavasti: C \u003d A + B.

Epäjohdonmukaiset tapahtumat todennäköisyysteoriassa tarkoittavat, että kaksi tapausta sulkevat toisensa pois. Ne eivät voi tapahtua samaan aikaan. Todennäköisyysteorian yhteiset tapahtumat ovat niiden antipodeja. Tämä tarkoittaa, että jos A tapahtui, se ei häiritse B: tä.

Vastakkaiset tapahtumat (todennäköisyysteoria tarkastelee niitä hyvin yksityiskohtaisesti) on helppo ymmärtää. Paras tapa käsitellä heitä on vertailu. Ne ovat paljolti samat kuin epäjohdonmukaiset tapahtumat todennäköisyysteoriassa. Mutta niiden ero on siinä, että yhden monista ilmiöistä täytyy joka tapauksessa tapahtua.

Yhtä mahdollisia tapahtumia ovat ne toimet, joiden toistettavuus on sama. Voit tehdä sen selkeämmäksi kuvittelemalla kolikon heittoa: toisen sivun pudotus on yhtä todennäköinen kuin toisen putoaminen.

Lupaava tapahtuma on helpompi nähdä esimerkin avulla. Oletetaan, että on jakso B ja jakso A. Ensimmäinen on noppapala, jolla on pariton numero, ja toinen on numero viisi. Sitten käy ilmi, että A suosii B: tä.

Todennäköisyysteoriassa itsenäiset tapahtumat ennustetaan vain kahdelle tai useammalle tapaukselle ja ne viittaavat toiminnan riippumattomuuteen toisesta. Esimerkiksi A on häntää, kun käännät kolikkoa, ja B saa tunkin kannelta. Ne ovat itsenäisiä tapahtumia todennäköisyysteoriassa. Tämän hetken myötä siitä tuli selvempi.

Todennäköisyysteorian riippuvat tapahtumat ovat myös sallittuja vain niiden joukolle. Ne tarkoittavat toisen riippuvuutta toisistaan, eli ilmiö B voi esiintyä vain, jos A on jo tapahtunut tai päinvastoin, ei tapahtunut, kun tämä on B: n pääedellytys.

Yhden komponentin satunnaisen kokeen tulos on alkeistapahtumia. Todennäköisyysteoria selittää, että tämä on sellainen ilmiö, joka tapahtui vain kerran.

Peruskaavat

Joten käsitteitä "tapahtuma", "todennäköisyysteoria" tarkasteltiin edellä, määriteltiin myös tämän tieteen perustermit. Nyt on aika tutustua suoraan tärkeisiin kaavoihin. Nämä lausekkeet vahvistavat matemaattisesti kaikki pääkäsitteet niin monimutkaisessa aiheessa kuin todennäköisyysteoria. Tapahtuman todennäköisyydellä on myös tässä suuri merkitys.

Parempi aloittaa tärkeimmistä. Ennen kuin jatkat niiden kanssa, on syytä miettiä, mitä he ovat.

Kombinatorika on ensisijaisesti matematiikan haara, ja se käsittelee valtavan määrän kokonaislukuja sekä lukujen itsensä ja niiden alkioiden, eri tietojen jne. Erilaisia \u200b\u200bpermutaatioita, mikä johtaa useiden yhdistelmien esiintymiseen. Todennäköisyysteorian lisäksi tämä ala on tärkeä tilastojen, tietojenkäsittelytieteen ja salauksen kannalta.

Joten nyt voit siirtyä kaavojen ja niiden määrittelyn esittelyyn.

Ensimmäinen niistä on permutaatioiden määrän ilmaisu, se näyttää tältä:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

Yhtälö pätee vain, jos elementit eroavat vain järjestysjärjestyksessä.

Harkitsemme nyt sijoituskaavaa, se näyttää tältä:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

Tätä lauseketta ei voida soveltaa vain elementin sijoitusjärjestykseen, vaan myös sen koostumukseen.

Kombinatorian kolmatta yhtälöä, ja se on myös viimeinen, kutsutaan kaavaksi yhdistelmien lukumääräksi:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - m))! : m!

Yhdistelmä tarkoittaa valintoja, joita ei ole järjestetty, ja tämä sääntö koskee niitä.

Kombinatorian kaavojen selvittäminen osoittautui helpoksi, nyt voit siirtyä klassiseen todennäköisyyksien määrittelyyn. Tämä lauseke näyttää tältä:

Tässä kaavassa m on tapahtumalle A suotuisten olosuhteiden lukumäärä ja n on ehdottomasti kaikkien yhtäläisesti mahdollisten ja alkeistulosten lukumäärä.

Olemassa suuri määrä lausekkeita, artikkeli ei ota huomioon kaikkia, mutta tärkeintä niistä käsitellään, kuten esimerkiksi tapahtumien summan todennäköisyyttä:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - tämä lause on tarkoitettu vain yhteensopimattomien tapahtumien lisäämiseen;

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - ja tämä on tarkoitettu vain yhteensopivien lisäämiseen.

Tapahtumien syntymisen todennäköisyys:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - tämä lause on tarkoitettu itsenäisille tapahtumille;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - ja tämä on riippuvainen.

Tapahtumakaava lopettaa luettelon. Todennäköisyys kertoo Bayesin lauseesta, joka näyttää tältä:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

Tässä kaavassa H1, H2, ..., Hn on koko ryhmä hypoteeseja.

Esimerkkejä

Jos opiskelet mitä tahansa matematiikan aluetta huolellisesti, se ei ole täydellinen ilman harjoituksia ja esimerkkiratkaisuja. Sama on todennäköisyysteoria: tapahtumat, esimerkit tässä ovat olennainen osa, joka vahvistaa tieteelliset laskelmat.

Kaava permutaatioiden lukumäärälle

Oletetaan, että korttipakassa on kolmekymmentä korttia, alkaen yhden nimellisarvosta. Seuraava kysymys. Kuinka monta tapaa on pakata, jotta kortit, joiden nimellisarvo on yksi ja kaksi, eivät ole vierekkäin?

Tehtävä on asetettu, siirrytään nyt sen ratkaisemiseen. Ensin sinun on määritettävä 30 elementin permutaatioiden määrä, tähän otamme edellä esitetyn kaavan, osoittautuu P_30 \u003d 30!

Tämän säännön perusteella selvitämme, kuinka monta vaihtoehtoa on kannen taittamiseksi eri tavoin, mutta meidän on vähennettävä niistä ne, joissa ensimmäinen ja toinen kortti ovat vierekkäin. Tätä varten aloitetaan vaihtoehdolla, kun ensimmäinen on toisen yläpuolella. Osoittautuu, että ensimmäinen kortti voi viedä kaksikymmentäyhdeksän paikkaa - ensimmäisestä kahdenkymmeneenyhdeksään ja toinen kortti toisesta kolmekymmeneen, osoittautuu vain kaksikymmentäyhdeksän paikkaa korttiparille. Loput voivat puolestaan \u200b\u200bottaa kaksikymmentäkahdeksan paikkaa eikä missään erityisessä järjestyksessä. Eli kaksikymmentäkahdeksan kortin permutaatiolle on 28 vaihtoehtoa P_28 \u003d 28!

Tämän seurauksena käy ilmi, että jos tarkastelemme ratkaisua, kun ensimmäinen kortti on toisen yläpuolella, ylimääräisiä mahdollisuuksia on 29 opportunities 28! \u003d 29!

Samalla menetelmällä sinun on laskettava tarpeettomien vaihtoehtojen määrä tapaukselle, kun ensimmäinen kortti on toisen alla. Tulee myös 29 ⋅ 28! \u003d 29!

Tästä seuraa, että tarjolla on 2 ⋅ 29 lisävaihtoehtoa!, Kun taas kannen rakentamiseen on 30 tarvittavaa tapaa! - 2 ⋅ 29!. Se on vain laskea.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nyt sinun on kerrottava kaikki luvut yhdestä kaksikymmentäyhdeksään ja kerrottava sitten lopussa kaikki luvulla 28. Vastaus on 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Ratkaisuesimerkki. Kaava sijoitusnumerolle

Tässä tehtävässä sinun on selvitettävä, kuinka monta tapaa on laittaa viisitoista nidettä yhdelle hyllylle, mutta sillä ehdolla, että kaikkiaan 30 kappaletta.

Tässä ongelmassa ratkaisu on hieman yksinkertaisempi kuin edellisessä. Käyttämällä jo tunnettua kaavaa on välttämätöntä laskea paikkojen kokonaismäärä kolmekymmentästä viidentoista osasta.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 2028432049331727360000

Vastaus vastaa 202 843 204 931 727 360 000.

Otetaan nyt ongelma hieman vaikeammaksi. Sinun on selvitettävä, kuinka monta tapaa on järjestää kolmekymmentä kirjaa kahteen kirjahyllyyn edellyttäen, että vain 15 teosta voi olla yhdellä hyllyllä.

Ennen ratkaisun aloittamista haluaisin selventää, että jotkut ongelmat ratkaistaan \u200b\u200bmonella tapaa, ja tässä on kaksi tapaa, mutta molemmissa käytetään samaa kaavaa.

Tässä tehtävässä voit ottaa vastauksen edellisestä, koska laskimme siellä, kuinka monta kertaa voit täyttää hyllyn viisitoista kirjaa eri tavoin. Osoittautui, että A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Laskemme toisen hyllyn käyttämällä permutaatiokaavaa, koska siihen voidaan sijoittaa viisitoista kirjaa, kun vain 15 on jäljellä. Käytämme kaavaa P_15 \u003d 15!

On käynyt ilmi, että kokonaismäärä tulee olemaan A_30 ^ 15 ⋅ P_15 tapoja, mutta lisäksi kaikkien kolmekymmentä - kuusitoista lukua tuleva luku on kerrottava yhdestä viidentoista lukujen tuloon, tuloksena saadaan kaikista luvuista yhdestä kolmenkymmeneen saadaan, eli vastaus on 30!

Mutta tämä ongelma voidaan ratkaista eri tavalla - helpommin. Tätä varten voit kuvitella, että yksi hylly on kolmekymmentä kirjaa varten. Kaikki ne on sijoitettu tälle tasolle, mutta koska ehto edellyttää, että on olemassa kaksi hyllyä, näimme yhden pitkän puoliksi, se osoittautuu kahdesta viisitoista. Tästä käy ilmi, että sijoitusvaihtoehdot voivat olla P_30 \u003d 30!

Ratkaisuesimerkki. Kaava yhdistelmälle

Seuraavassa tarkastellaan yhdistelmähoidon kolmannen ongelman muunnosta. Sinun on selvitettävä, kuinka monta tapaa järjestää viisitoista kirjaa edellyttäen, että sinun on valittava kolmekymmentä täsmälleen samaa.

Ratkaisussa käytetään tietysti kaavaa yhdistelmien lukumäärälle. Ehdosta käy selväksi, että samojen viidentoista kirjan järjestys ei ole tärkeä. Siksi aluksi sinun on selvitettävä kolmenkymmenen viidentoista kirjan yhdistelmien kokonaismäärä.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155117 520

Siinä kaikki. Tätä kaavaa käyttämällä, in lyhyin aika onnistui ratkaisemaan tällaisen ongelman, vastaus on vastaavasti 155117 520.

Ratkaisuesimerkki. Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Yllä olevan kaavan avulla löydät vastauksen yksinkertaisesta ongelmasta. Mutta se auttaa visuaalisesti näkemään ja seuraamaan toimintatapaa.

Tehtävässä annetaan, että uurnassa on kymmenen täysin identtistä palloa. Näistä neljä on keltaisia \u200b\u200bja kuusi sinisiä. Yksi pallo otetaan urnasta. Sinun on selvitettävä sinisen saamisen todennäköisyys.

Ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen määritellä tavoittaminen sininen pallo tapahtuma A. Tällä kokemuksella voi olla kymmenen lopputulosta, jotka puolestaan \u200b\u200bovat alkeellisia ja yhtä mahdollisia. Samaan aikaan kuusi kymmenestä on suotuisia tapahtumalle A. Päätämme kaavalla:

P (A) \u003d 6: 10 \u003d 0,6

Tämän kaavan avulla saimme tietää, että kyky saavuttaa sininen pallo on 0,6.

Ratkaisuesimerkki. Tapahtumien summan todennäköisyys

Nyt esitetään muunnos, joka ratkaistaan \u200b\u200btapahtumien summan todennäköisyyden kaavalla. Joten siinä tilassa, jossa on kaksi laatikkoa, ensimmäinen sisältää yhden harmaan ja viisi valkoista palloa ja toinen sisältää kahdeksan harmaata ja neljä valkoista palloa. Tämän seurauksena yksi niistä otettiin ensimmäisestä ja toisesta laatikosta. Sinun on selvitettävä, mitkä ovat mahdollisuudet, että saamasi pallot ovat harmaita ja valkoisia.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen nimetä tapahtumia.

• Joten A - otti harmaan pallon ensimmäisestä ruudusta: P (A) \u003d 1/6.
• A '- he ottivat myös valkoisen pallon ensimmäisestä laatikosta: P (A ") \u003d 5/6.
• B - harmaa pallo poistettiin toisesta laatikosta: P (B) \u003d 2/3.
• B '- otti harmaan pallon toisesta laatikosta: P (B ") \u003d 1/3.

Ongelman tilan mukaan on välttämätöntä, että yksi ilmiöistä tapahtuu: AB 'tai AB. Kaavan avulla saadaan: P (AB ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18.

Nyt on käytetty kaavaa todennäköisyyden kertomiseksi. Lisäksi vastauksen selvittämiseksi sinun on sovellettava niiden lisäyksen yhtälöä:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

Näin voit kaavan avulla ratkaista samanlaisia \u200b\u200bongelmia.

Tulokset

Artikkelissa tarjottiin tietoa aiheesta "Todennäköisyysteoria", joka on tapahtuman todennäköisyys ratkaiseva rooli... Kaikkea ei tietenkään otettu huomioon, mutta esitetyn tekstin perusteella voit teoriassa perehtyä tähän matematiikan osaan. Kyseinen tiede voi olla hyödyllinen paitsi ammatillisessa liiketoiminnassa myös jokapäiväinen elämä... Sen avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman mahdollisuuden.

Teksti kosketti myös merkittäviä päivämääriä todennäköisyysteorian muodostumisen historiana tieteenä ja niiden ihmisten nimet, joiden teokset siihen on investoitu. Näin ihmisen uteliaisuus on saanut ihmiset oppimaan laskemaan jopa satunnaiset tapahtumat. Kerran he olivat yksinkertaisesti kiinnostuneita siitä, mutta tänään kaikki jo tietävät siitä. Ja kukaan ei sano, mikä odottaa meitä tulevaisuudessa, mitä muita loistavia löydöksiä, jotka liittyvät tarkasteltavaan teoriaan. Mutta yksi asia on varma - tutkimus ei pysy paikallaan!

"Todennäköisyysteorian" käsitteen edessä monet pelkäävät ajatellen, että tämä on jotain ylivoimaista, hyvin vaikeaa. Mutta kaikki ei todellakaan ole niin traagista. Tänään tarkastelemme peruskonseptia ja opimme ratkaisemaan ongelmat käyttämällä erityisiä esimerkkejä.

Tiede

Mitä sellainen matematiikan haara kuin "todennäköisyysteoria" tutkii? Hän toteaa malleja ja määriä. Ensimmäistä kertaa tutkijat kiinnostuivat asiasta jo 1700-luvulla, kun he tutkivat uhkapeliä. Todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma. Tämä on mikä tahansa kokemus tai havainto todistettu tosiasia. Mutta mikä on kokemusta? Toinen todennäköisyyden teorian peruskäsite. Se tarkoittaa, että nämä olosuhteet eivät ole syntyneet sattumalta, vaan tiettyä tarkoitusta varten. Mitä tulee havaintoihin, tässä tutkija ei itse osallistu kokeiluun, vaan vain todistaa nämä tapahtumat, hän ei millään tavalla vaikuta siihen, mitä tapahtuu.

Tapahtumat

Opimme, että todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma, mutta emme harkinneet luokittelua. Ne kaikki kuuluvat seuraaviin luokkiin:

• Uskottava.
• Mahdotonta.
• Satunnainen.

Riippumatta siitä, millaisia \u200b\u200btapahtumia kokeilun aikana havaitaan tai luodaan, ne kaikki kuuluvat tämän luokituksen piiriin. Suosittelemme tutustumaan kaikkiin tyyppeihin erikseen.

Uskottava tapahtuma

Tämä on sellainen olosuhde, jonka edessä on toteutettu tarvittavat toimenpiteet. Oleellisuuden ymmärtämiseksi on parempi antaa muutama esimerkki. Fysiikka, kemia, taloustiede ja korkea matematiikka kuuluvat tämän lain piiriin. Todennäköisyysteoria sisältää seuraavat tärkeä käsiteluotettavana tapahtumana. Tässä on joitain esimerkkejä:

• Työskentelemme ja saamme palkkoja palkkana.
• Suoritimme tentit hyvin, läpäisimme kilpailun, tästä saamme palkkion sisäänpääsyn muodossa oppilaitos.
• Olemme sijoittaneet rahaa pankkiin, saamme ne tarvittaessa takaisin.

Tällaiset tapahtumat ovat uskottavia. Jos olemme täyttäneet kaikki tarvittavat ehdot, saamme varmasti odotetun tuloksen.

Mahdotonta tapahtumia

Katsomme nyt todennäköisyysteorian elementtejä. Ehdotamme, että selitämme seuraavantyyppistä tapahtumaa, nimittäin mahdotonta. Ensinnäkin, määrittelemme eniten tärkeä sääntö - mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Tästä sanamuodosta ei voida poiketa ratkaistessamme ongelmia. Selvyyden vuoksi tässä on esimerkkejä tällaisista tapahtumista:

• Vesi jäätyi plus kymmenen lämpötilaan (tämä on mahdotonta).
• Sähkön puute ei vaikuta tuotantoon millään tavalla (aivan yhtä mahdotonta kuin edellisessä esimerkissä).

Enemmän esimerkkejä ei kannata antaa, koska edellä kuvatut kuvaavat hyvin selvästi tämän luokan olemusta. Mahdotonta tapahtumaa ei koskaan tapahdu kokemuksen aikana missään olosuhteissa.

Satunnaiset tapahtumat

Todennäköisyysteorian elementtejä tutkittaessa on kiinnitettävä erityistä huomiota tämän tyyppiseen tapahtumaan. Hän opiskelee heitä tieteen mukaan... Kokemuksen seurauksena jotain voi tapahtua tai ei. Lisäksi testi voidaan suorittaa rajoittamaton määrä kertoja. Silmiinpistäviä esimerkkejä voi palvella:

• Kolikon heitto on kokemus tai koe; pään putoaminen on tapahtuma.
• Pallon vetäminen laukusta sokeasti on testi, punainen pallo kiinni - tämä on tapahtuma ja niin edelleen.

Tällaisia \u200b\u200besimerkkejä voi olla rajattomasti, mutta yleensä niiden olemuksen tulisi olla selvä. Tapahtumista saatujen tietojen yhteenveto ja järjestelmällisyys annetaan taulukossa. Todennäköisyysteoria tutkii vain viimeisiä lajeja kaikista esitetyistä.

Lait

Todennäköisyysteoria on tiede, joka tutkii tapahtuman mahdollisuutta. Kuten muillakin, sillä on joitain sääntöjä. Olla olemassa seuraavien lakien mukaisesti todennäköisyysteoria:

• Satunnaismuuttujien sekvenssien lähentyminen.
• Suurten lukujen laki.

Laskettaessa kompleksin mahdollisuutta, voit käyttää yksinkertaisia \u200b\u200btapahtumia saavuttaaksesi tuloksen helpommin ja nopeammin. Huomaa, että todennäköisyysteorian lait voidaan helposti todistaa käyttämällä joitain lauseita. Suosittelemme, että tutustut ensin ensimmäiseen lakiin.

Satunnaismuuttujien sekvenssien lähentyminen

Huomaa, että lähentymistä on useita tyyppejä:

• Satunnaismuuttujien sekvenssi lähentyy todennäköisyydessä.
• Lähes mahdotonta.
• Keskikentän neliön lähentyminen.
• Jakautumisen lähentyminen.

Joten lennossa on erittäin vaikea ymmärtää ydin. Tässä on joitain määritelmiä, jotka auttavat sinua ymmärtämään tätä aihetta. Ensinnäkin ensimmäinen näkymä. Järjestystä kutsutaan lähentyminen todennäköisyydessä, jos seuraava ehto täyttyy: n pyrkii äärettömään, sekvenssin taipumus on suurempi kuin nolla ja on lähellä yhtä.

Siirtyminen kohtaan seuraavanlaista, melkein varmasti... Sekvenssin sanotaan yhtenevän melkein varmasti satunnaismuuttujaan, kun n pyrkii äärettömään, ja P pyrkii arvoon, joka on lähellä yhtenäisyyttä.

Seuraava tyyppi on rMS-lähentyminen... SK-konvergenssia käytettäessä vektori-stokastisten prosessien tutkimus supistuu niiden koordinaattistokastisten prosessien tutkimiseen.

Viimeinen tyyppi on jäljellä, analysoidaan sitä lyhyesti, jotta voimme edetä suoraan ongelmien ratkaisemiseen. Jakautumisen lähentymisellä on vielä yksi nimi - "heikko", alla selitämme miksi. Heikko lähentyminen Onko jakelutoimintojen lähentyminen rajoittavan jakelutoiminnon kaikissa jatkuvuuden pisteissä?

Pysymme varmasti lupauksemme: heikko konvergenssi eroaa kaikesta yllä olevasta, koska satunnaismuuttujaa ei ole määritelty todennäköisyysavaruudessa. Tämä on mahdollista, koska ehto muodostetaan yksinomaan jakelutoimintojen avulla.

Suurten lukujen laki

Todennäköisyysteorian lauseet, kuten:

• Tšebyshevin eriarvoisuus.
• Tšebyshevin lause.
• Yleistetty Chebyshevin lause.
• Markovin lause.

Jos tarkastelemme kaikkia näitä lauseita, tämä kysymys voi kestää useita kymmeniä sivuja. Päätehtäväämme on soveltaa todennäköisyysteoriaa käytännössä. Kutsumme sinut tekemään tämä juuri nyt. Mutta ennen sitä, harkitse todennäköisyysteorian aksiomia, ne ovat tärkeimmät avustajat ongelmien ratkaisemisessa.

Aksiomit

Tapasimme jo ensimmäisen, kun puhuimme mahdottomasta tapahtumasta. Muistetaan: mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Annoimme erittäin elävän ja mieleenpainuvan esimerkin: satoi lunta kolmenkymmenen celsiusasteen lämpötilassa.

Toinen on seuraava: luotettava tapahtuma tapahtuu yhtä todennäköisyydellä kuin yksi. Nyt näytetään kuinka kirjoittaa tämä matemaattisella kielellä: P (B) \u003d 1.

Kolmas: Satunnainen tapahtuma voi tapahtua tai ei, mutta mahdollisuus vaihtelee aina nollasta toiseen. Kuin tarkempi merkitys yhdelle, sitä enemmän mahdollisuuksia on; jos arvo lähestyy nollaa, todennäköisyys on hyvin pieni. Kirjoitetaan se matemaattisella kielellä: 0<Р(С)<1.

Tarkastellaan viimeistä, neljännettä aksiomia, joka kuulostaa tältä: Kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa. Kirjoitamme matemaattisella kielellä: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Todennäköisyysteorian aksioomat ovat yksinkertaisia \u200b\u200bsääntöjä, joita ei ole vaikea muistaa. Yritetään ratkaista joitain ongelmia luottaen jo hankittuun tietoon.

Arvonta kuponki

Aloitetaan katsomalla yksinkertaisin esimerkki - arpajaiset. Kuvittele, että olet ostanut yhden arvontalipun onnea varten. Mikä on todennäköisyys voittaa vähintään kaksikymmentä ruplaa? Yhteensä arvontaan osallistuu tuhat lippua, joista yhden palkinto on viisisataa ruplaa, kymmenen sataa ruplaa, viisikymmentä kaksikymmentä ruplaa ja sata viittä. Todennäköisyysongelmat perustuvat mahdollisuuden löytämiseen onnea. Nyt analysoidaan edellä esitetyn tehtävän ratkaisu yhdessä.

Jos merkitsemme viisisataa ruplaa voittoa A-kirjaimella, todennäköisyys saada A on 0,001. Kuinka saimme sen? Sinun tarvitsee vain jakaa "onnekas" -lippujen määrä niiden kokonaismäärällä (tässä tapauksessa 1/1000).

B on sadan ruplaan voitto, todennäköisyys on 0,01. Nyt toimimme samalla periaatteella kuin edellisessä toiminnassa (10/1000)

C - voitot ovat kaksikymmentä ruplaa. Löydämme todennäköisyyden, se on yhtä suuri kuin 0,05.

Loput liput eivät kiinnosta meitä, koska niiden palkintorahasto on pienempi kuin ehdossa määritelty. Sovelletaan neljäs aksioma: Todennäköisyys voittaa vähintään kaksikymmentä ruplaa on P (A) + P (B) + P (C). Kirjain P tarkoittaa tämän tapahtuman todennäköisyyttä, olemme jo löytäneet ne aikaisemmista toimista. Tarvitaan vain lisätä tarvittavat tiedot, vastauksessa saamme 0,061. Tämä numero on vastaus tehtäväkysymykseen.

Korttipakkaus

Todennäköisyysteorian ongelmat voivat olla monimutkaisempia, esimerkiksi otetaan käyttöön seuraava tehtävä. Tässä on 36 kortin pakkaus. Sinun tehtäväsi on piirtää kaksi korttia peräkkäin sekoittamatta kasa, ensimmäisen ja toisen kortin on oltava ässiä, puvulla ei ole merkitystä.

Ensinnäkin löydetään todennäköisyys siitä, että ensimmäinen kortti on ässä, jaamme tämän neljä neljäkymmenellä kuudella. He panivat sen sivuun. Otamme toisen kortin pois, siitä tulee ässä, jonka todennäköisyys on kolme kolmekymmentä viidesosaa. Toisen tapahtuman todennäköisyys riippuu siitä, minkä kortin vedämme ensin, mietimme onko se ässä vai ei. Tästä seuraa, että tapahtuma B riippuu tapahtumasta A.

Seuraava vaihe on löytää samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys, eli kerrotaan A ja B. Niiden tulo löytyy seuraavasti: yhden tapahtuman todennäköisyys kerrotaan toisen ehdollisella todennäköisyydellä, jonka laskemme olettaen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui, eli vedimme ässä ensimmäisellä kortilla.

Jotta kaikki olisi selvää, annamme nimityksen sellaiselle elementille kuin tapahtumat. Se lasketaan olettaen, että tapahtuma A on tapahtunut. Lasketaan seuraavasti: P (B / A).

Jatketaan ongelmamme ratkaisua: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) tai P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Todennäköisyys on (4/36) * ((3/35) / (4/36). Laske pyöristämällä lähimpään sadasosaan. Meillä on: 0,11 * (0,09 / 0,11) \u003d 0,11 * 0, 82 \u003d 0,09 Todennäköisyys että piirrämme kaksi ässää peräkkäin, on yhdeksän sadasosaa. Arvo on hyvin pieni, mikä tarkoittaa, että tapahtuman todennäköisyys on erittäin pieni.

Unohdettu numero

Ehdotamme analysoida vielä muutamia vaihtoehtoja tehtäville, joita todennäköisyysteoria tutkii. Olet jo nähnyt esimerkkejä joidenkin ratkaisemisesta tässä artikkelissa, yritetään ratkaista seuraava ongelma: poika unohti ystävänsä puhelinnumeron viimeisen numeron, mutta koska puhelu oli erittäin tärkeä, hän alkoi soittaa kaikki vuorotellen. Meidän on laskettava todennäköisyys, että hän soittaa enintään kolme kertaa. Ratkaisu ongelmaan on yksinkertaisin, jos todennäköisyysteorian säännöt, lait ja aksioomat tunnetaan.

Ennen kuin tarkastelet ratkaisua, yritä ratkaista se itse. Tiedämme, että viimeinen numero voi olla nollasta yhdeksään, eli vain kymmenen arvoa. Todennäköisyys saada vaadittu on 1/10.

Seuraavaksi meidän on harkittava vaihtoehtoja tapahtuman alkuperälle, oletetaan, että poika arvasi oikein ja kirjoitti heti vaaditun, tällaisen tapahtuman todennäköisyys on 1/10. Toinen vaihtoehto: ensimmäinen puhelu on unohdettu, ja toinen on tavoitettavissa. Lasketaan tällaisen tapahtuman todennäköisyys: kerro 9/10 luvulla 1/9, lopulta saamme myös 1/10. Kolmas vaihtoehto: ensimmäinen ja toinen puhelu olivat väärässä osoitteessa, vasta kolmannesta poika pääsi mihin halusi. Laskemme tällaisen tapahtuman todennäköisyyden: kertomalla 9/10 8/9: llä ja 1/8: lla, tuloksena on 1/10. Emme ole kiinnostuneita muista vaihtoehdoista ongelman tilan mukaan, joten meidän on vielä laskettava yhteen saadut tulokset, lopulta meillä on 3/10. Vastaus: Todennäköisyys, että poika soittaa enintään kolme kertaa, on 0,3.

Numerokortit

Edessäsi on yhdeksän korttia, joista jokaisella on kirjoitettu numero yhdestä yhdeksään, numeroita ei toisteta. Ne laitettiin laatikkoon ja sekoitettiin perusteellisesti. Sinun on laskettava sen todennäköisyys

• parillinen luku pudotetaan;
• kaksinumeroinen.

Ennen kuin jatkat ratkaisuun, määritetään, että m on onnistuneiden tapausten määrä ja n on vaihtoehtojen kokonaismäärä. Selvitä todennäköisyys, että luku on parillinen. Ei ole vaikea laskea, että on olemassa neljä parillista numeroa, tämä on m, vain yhdeksän vaihtoehtoa on mahdollista, eli m \u003d 9. Tällöin todennäköisyys on 0,44 tai 4/9.

Tarkastellaan toista tapausta: vaihtoehtojen määrä on yhdeksän, mutta onnistuneita tuloksia ei voi olla ollenkaan, toisin sanoen m on nolla. Todennäköisyys, että vedetty kortti sisältää kaksinumeroisen luvun, on myös nolla.

Alun perin vain kokoelma tietoa ja noppien empiirisiä havaintoja, todennäköisyysteoriasta on tullut vankka tiede. Ensimmäiset, jotka antoivat sille matemaattisen kehyksen, olivat Fermat ja Pascal.

Ajattelemisesta ikuisesta todennäköisyysteoriaan

Kaksi henkilöä, joille todennäköisyysteoria on velkaa monia perusmuotojaan, Blaise Pascal ja Thomas Bayes, tunnetaan syvästi uskonnollisina ihmisinä, joista jälkimmäinen on presbiterialainen pappi. Näiden kahden tutkijan halu ilmeisesti todistaa tiettyä omaisuutta koskevan mielipiteen virheellisyys ja antaa onnea lemmikkeilleen antoi sysäyksen tämän alan tutkimukselle. Itse asiassa mikä tahansa rahapeli voitoineen ja tappioineen on vain matemaattisten periaatteiden sinfonia.

Kiinnostuksenaan kavalieri de Mere, joka oli sekä pelaaja että henkilö, joka ei ollut välinpitämätön tieteelle, Pascal joutui etsimään tapa laskea todennäköisyys. De Mere kiinnosti seuraavaa kysymystä: "Kuinka monta kertaa sinun täytyy heittää kaksi noppaa pareittain, jotta todennäköisyys saada 12 pistettä ylittää 50%?" Toinen herrasmiestä kiinnostava kysymys: "Kuinka jakaa veto keskeneräisen pelin osallistujien kesken?" Tietenkin Pascal vastasi onnistuneesti molempiin kysymyksiin de Mere, josta tuli tahaton teorian kehityksen tahaton edelläkävijä. Mielenkiintoista on, että persona de Mere pysyi kuuluisana tällä alalla, ei kirjallisuudessa.

Aikaisemmin kukaan matemaatikko ei ollut koskaan yrittänyt laskea tapahtumien todennäköisyyksiä, koska uskottiin, että tämä oli vain arvausratkaisu. Blaise Pascal antoi ensimmäisen määritelmän tapahtuman todennäköisyydestä ja osoitti, että tämä on spesifinen luku, joka voidaan todistaa matemaattisesti. Todennäköisyysteoriasta on tullut tilastojen perusta, ja sitä käytetään laajalti nykyaikaisessa tieteessä.

Mikä on satunnaisuus

Jos tarkastelemme testiä, joka voidaan toistaa ääretön määrä kertoja, voimme määrittää satunnaisen tapahtuman. Tämä on yksi kokemuksen todennäköisistä tuloksista.

Kokemus on tiettyjen toimien toteuttaminen jatkuvissa olosuhteissa.

Kokeilun tulosten käsittelemiseksi tapahtumat on yleensä merkitty kirjaimilla A, B, C, D, E ...

Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys

Todennäköisyyden matemaattisen osan aloittamiseksi on tarpeen antaa määritelmät kaikille sen komponenteille.

Tapahtuman todennäköisyys on numeerinen mittari tapahtuman (A tai B) todennäköisyydestä kokemuksen seurauksena. Todennäköisyyttä merkitään P (A) tai P (B).

Todennäköisyysteoriassa erotetaan seuraavat:

• luotettava tapahtuma taataan kokeen tuloksena P (Ω) \u003d 1;
• mahdotonta tapahtuma ei voi koskaan tapahtua Р (Ø) \u003d 0;
• vahingossa tapahtuma on tietyn ja mahdottoman välillä, ts. sen esiintymisen todennäköisyys on mahdollista, mutta sitä ei voida taata (satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on aina 0≤P (A) ≤ 1 rajoissa).

Tapahtumien väliset suhteet

Tarkastellaan sekä yhtä että tapahtumien A + B summaa, kun tapahtuma lasketaan, kun ainakin yksi komponenteista A tai B tai molemmat A ja B on toteutettu.

Toisiinsa nähden tapahtumat voivat olla:

• Yhtä mahdollista.
• Yhteensopiva.
• Yhteensopimaton.
• Vastakkainen (sulkevat toisensa pois).
• Riippuvainen.

Jos kaksi tapahtumaa voi tapahtua samalla todennäköisyydellä, niin ne tapahtuvat yhtä mahdollinen.

Jos tapahtuman A tapahtuma ei mitätöi tapahtuman B esiintymisen todennäköisyyttä, niin ne tapahtuvat yhteensopiva.

Jos tapahtumat A ja B eivät koskaan tapahdu samanaikaisesti samassa kokemuksessa, niitä kutsutaan yhteensopimaton... Kolikon heittäminen on hyvä esimerkki: hännät eivät automaattisesti ole päätä.

Tällaisten yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys koostuu kunkin tapahtuman todennäköisyyksien summasta:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Jos yhden tapahtuman alkaminen tekee toisen mahdottomaksi, niitä kutsutaan päinvastaisiksi. Sitten toinen heistä on merkitty A: ksi ja toinen - Ā (lue kuin "ei A"). Tapahtuman A esiintyminen tarkoittaa, että Ā ei tapahtunut. Nämä kaksi tapahtumaa muodostavat kokonaisen ryhmän todennäköisyyksien summa on 1.

Riippuvilla tapahtumilla on molemminpuolinen vaikutus, mikä vähentää tai lisää toistensa todennäköisyyttä.

Tapahtumien väliset suhteet. Esimerkkejä

Esimerkkien avulla on paljon helpompi ymmärtää todennäköisyyden teorian ja tapahtumien yhdistelmän periaatteita.

Suoritettava koe koostuu pallojen ottamisesta laatikosta, ja jokaisen kokeen tulos on alkeellinen tulos.

Tapahtuma on yksi kokeilun mahdollisista tuloksista - punainen pallo, sininen pallo, pallo numero kuusi jne.

Testi nro 1. Osallistuu 6 palloa, joista kolme on sinistä parillisilla numeroilla, ja kolme muuta on parillisilla punaisilla.

Testinumero 2. Mukana on 6 sinistä palloa, joiden numerot ovat yhdestä kuuteen.

Tämän esimerkin perusteella voit nimetä yhdistelmät:

• Uskottava tapahtuma. Isp: ssä. Nro 2, tapahtuma "sinisen pallon saamiseksi" on luotettava, koska sen esiintymisen todennäköisyys on 1, koska kaikki pallot ovat sinisiä eikä missään tapauksessa voi missata. Tapahtuma "hanki pallo numerolla 1" on satunnainen.
• Mahdoton tapahtuma. Isp: ssä. №1, jossa on sinisiä ja punaisia \u200b\u200bpalloja, tapahtuma "saada violetti pallo" on mahdotonta, koska sen esiintymisen todennäköisyys on 0.
• Yhtä mahdolliset tapahtumat. Isp: ssä. Tapahtumien numero 1 "hanki pallo numerolla 2" ja "hanki pallo numerolla 3" ovat yhtä mahdollisia, ja tapahtumat "hanki pallo parillisella numerolla" ja "hanki pallo numerolla 2" "on erilainen todennäköisyys.
• Yhteensopivat tapahtumat. Kuusi peräkkäin kaksi kertaa peräkkäin ovat yhteensopivia tapahtumia.
• Yhteensopimattomat tapahtumat. Samassa isp. Nro 1, tapahtumia "saada punainen pallo" ja "saada pariton numero" ei voida yhdistää samassa kokeessa.
• Vastakkaiset tapahtumat. Silmiinpistävin esimerkki tästä on kolikonheitto, jossa piirtopäät ovat yhtäpitäviä kuin hännän piirtämättä jättäminen, ja niiden todennäköisyyksien summa on aina 1 (koko ryhmä).
• Riippuvat tapahtumat... Joten, isp. # 1, voit asettaa tavoitteen purkaa punainen pallo kahdesti peräkkäin. Se haetaan tai ei haeta ensimmäistä kertaa, vaikuttaa todennäköisyyteen saada se toisen kerran.

Voidaan nähdä, että ensimmäinen tapahtuma vaikuttaa merkittävästi toisen todennäköisyyteen (40% ja 60%).

Tapahtuman todennäköisyyskaava

Siirtyminen ennustamisen ajatuksista tarkkoihin tietoihin tapahtuu kääntämällä aihe matemaattiseksi tasoksi. Toisin sanoen tuomiot satunnaisesta tapahtumasta, kuten "suuri todennäköisyys" tai "vähimmäistodennäköisyys", voidaan kääntää tiettyyn numeeriseen dataan. Tällainen materiaali on jo sallittua arvioida, verrata ja tehdä monimutkaisempia laskelmia.

Laskennan kannalta tapahtuman todennäköisyyden määritelmä on suhde positiivisten alkeistulosten lukumäärään tiettyä tapahtumaa koskevan kokemuksen kaikkien mahdollisten lopputulosten määrään. Todennäköisyyttä merkitään P (A): lla, jossa P tarkoittaa sanaa "todennäköisyys", joka käännetään ranskasta "todennäköisyydeksi".

Joten tapahtuman todennäköisyyden kaava:

Missä m on tapahtuman A suotuisten tulosten lukumäärä, n on kaikkien tälle kokemukselle mahdollisten tulosten summa. Tällöin tapahtuman todennäköisyys on aina välillä 0 ja 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Tapahtuman todennäköisyyden laskeminen. Esimerkki

Otetaanpa espanja. Ilmapallo # 1 kuten aiemmin on kuvattu: 3 sinistä ilmapalloa numeroilla 1/3/5 ja 3 punaisia \u200b\u200bilmapalloja numeroilla 2/4/6.

Tämän testin perusteella voidaan harkita useita erilaisia \u200b\u200btehtäviä:

• A - punainen pallo putoaa. Punaisia \u200b\u200bpalloja on 3, ja variantteja on kaikkiaan 6. Tämä on yksinkertaisin esimerkki, jossa tapahtuman todennäköisyys on P (A) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - parillinen luku putosi. Parillisia lukuja on yhteensä 3 (2,4,6), ja mahdollisten numeeristen varianttien kokonaismäärä on 6. Tämän tapahtuman todennäköisyys on P (B) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C - putoaminen lukumäärästä, joka on suurempi kuin 2. On 4 vaihtoehtoa (3,4,5,6) mahdollisten lopputulosten kokonaismäärästä 6. Tapahtuman C todennäköisyys on P (C) \u003d 4/6 \u003d 0,67.

Kuten laskelmista voidaan nähdä, tapahtumalla C on suuri todennäköisyys, koska todennäköisten positiivisten tulosten määrä on suurempi kuin A: ssa ja B: ssä.

Yhteensopimattomat tapahtumat

Tällaiset tapahtumat eivät voi esiintyä samanaikaisesti samassa kokemuksessa. Kuten isp. Nro 1 on mahdotonta päästä siniseen ja punaiseen palloon samanaikaisesti. Eli voit saada joko sinisen tai punaisen pallon. Samoin parillinen ja pariton numero ei voi näkyä muotissa samanaikaisesti.

Kahden tapahtuman todennäköisyyttä pidetään niiden summan tai tulon todennäköisyytenä. Tällaisten tapahtumien A + B summa katsotaan tapahtumaksi, joka koostuu tapahtuman A tai B ulkonäöstä, ja niiden tuote AB näyttää molemmilta. Esimerkiksi kahden kuuden esiintyminen kerralla kahden noppan reunalla yhdessä rullassa.

Useiden tapahtumien summa on tapahtuma, joka edellyttää ainakin yhden tapahtuman esiintymistä. Useiden tapahtumien tuotanto on kaikkien yhteinen esiintyminen.

Todennäköisyysteoriassa pääsääntöisesti yhdisteen käyttö "ja" tarkoittaa summaa, unionia "tai" - kertolasku. Kaavat ja esimerkit auttavat sinua ymmärtämään todennäköisyysteorian summaus- ja kertolaskujen logiikkaa.

Epäjohdonmukaisten tapahtumien summan todennäköisyys

Jos otetaan huomioon epäjohdonmukaisten tapahtumien todennäköisyys, tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Esimerkiksi: Laske todennäköisyys, että isp. Nro 1 sinisillä ja punaisilla palloilla pudottaa luvun välille 1 ja 4. Laske ei yhdellä toiminnolla, vaan alkukomponenttien todennäköisyyksien summa. Joten tällaisessa kokemuksessa on vain 6 palloa tai 6 kaikista mahdollisista tuloksista. Ehdon tyydyttävät luvut ovat 2 ja 3. Luvun 2 saamisen todennäköisyys on 1/6, luvun 3 todennäköisyys on myös 1/6. Todennäköisyys, että luku välillä 1 ja 4 pudotetaan, on:

Koko ryhmän yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys on 1.

Joten jos summataan kuution kokeessa todennäköisyys pudota kaikista numeroista, tulos on yksi.

Tämä pätee myös päinvastaisiin tapahtumiin, esimerkiksi kolikon kokemuksesta, jossa sen toinen puoli on tapahtuma A, ja toinen on päinvastainen tapahtuma Ā, kuten tiedät,

P (A) + P (Ā) \u003d 1

Epäjohdonmukaisten tapahtumien syntymisen todennäköisyys

Todennäköisyykerrointa käytetään, kun otetaan huomioon kahden tai useamman yhteensopimattoman tapahtuman esiintyminen yhdessä havainnossa. Todennäköisyys, että tapahtumat A ja B näkyvät siinä samanaikaisesti, on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo tai:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

Esimerkiksi todennäköisyys, että isp. №1 kahden yrityksen tuloksena sininen pallo ilmestyy kahdesti, yhtä suuri kuin

Toisin sanoen tapahtuman todennäköisyys, kun kahden pallon purkamisyrityksen seurauksena vain siniset pallot uutetaan, on 25%. On erittäin helppoa tehdä käytännön kokeita tämän tehtävän kanssa ja nähdä, onko näin todella.

Yhteiset tapahtumat

Tapahtumia pidetään yhteisinä, kun toisen esiintyminen voi olla samaan aikaan toisen kanssa. Vaikka ne ovat yhteisiä, riippumattomien tapahtumien todennäköisyys otetaan huomioon. Esimerkiksi kahden noppan heittäminen voi antaa tuloksen, kun molemmat saavat numeron 6. Vaikka tapahtumat sattuvat samaan aikaan ja ilmestyivät samanaikaisesti, ne ovat toisistaan \u200b\u200briippumattomia - vain yksi kuusi voi pudota, toisella noppalla ei ole vaikutusta siihen.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyttä pidetään niiden summan todennäköisyytenä.

Yhteisten tapahtumien summan todennäköisyys. Esimerkki

Toistensa suhteen yhteisten tapahtumien A ja B summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyyksien summa, josta on vähennetty niiden tuotteen todennäköisyys (ts. Niiden yhteinen toteutus):

R-liitos (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Sanotaan, että todennäköisyys osua kohteeseen yhdellä laukauksella on 0,4. Sitten tapahtuma A - osuu kohteeseen ensimmäisellä yrityksellä, B - toisella. Nämä tapahtumat ovat yhteisiä, koska on mahdollista, että maaliin voi lyödä sekä ensimmäisellä että toisella laukauksella. Mutta tapahtumat eivät ole riippuvaisia. Mikä on todennäköisyys, että kohde osuu tapahtumaan kahdella laukauksella (ainakin yhdellä)? Kaavan mukaan:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Vastaus kysymykseen on: "Todennäköisyys osua kohteeseen kahdella laukauksella on 64%."

Tätä tapahtuman todennäköisyyden kaavaa voidaan soveltaa myös epäjohdonmukaisiin tapahtumiin, joissa tapahtuman yhteisen esiintymisen todennäköisyys P (AB) \u003d 0. Tämä tarkoittaa, että epäjohdonmukaisten tapahtumien summan todennäköisyyttä voidaan pitää erikoistapauksena ehdotetun kaavan.

Todennäköisyyden geometria selkeyden vuoksi

Mielenkiintoista on, että yhteisten tapahtumien summan todennäköisyys voidaan esittää kahden alueen A ja B muodossa, jotka leikkaavat toistensa kanssa. Kuten kuvasta näet, heidän liitonsa pinta-ala on yhtä suuri kuin kokonaispinta-ala vähennettynä heidän risteyksensä pinta-alalla. Nämä geometriset selitykset tekevät kaavasta selkeämmän ensi silmäyksellä. Huomaa, että geometriset ratkaisut eivät ole harvinaisia \u200b\u200btodennäköisyysteoriassa.

Yhteisten tapahtumien joukon (yli kahden) summan todennäköisyyden määrittäminen on melko hankalaa. Sen laskemiseksi sinun on käytettävä näissä tapauksissa annettuja kaavoja.

Riippuvat tapahtumat

Riippuvaisia \u200b\u200btapahtumia kutsutaan, jos yhden (A) esiintyminen niistä vaikuttaa toisen (B) esiintymisen todennäköisyyteen. Lisäksi otetaan huomioon sekä tapahtuman A esiintymisen että sen esiintymättömyyden vaikutus. Vaikka tapahtumia kutsutaan määritelmän mukaan riippuvaisiksi, vain yksi niistä on riippuvainen (B). Tavallinen todennäköisyys merkittiin P (B) tai riippumattomien tapahtumien todennäköisyys. Riippuvaisen tapauksessa otetaan käyttöön uusi käsite - ehdollinen todennäköisyys P A (B), joka on riippuvan tapahtuman B todennäköisyys tapahtuman A ehdossa (hypoteesi), josta se riippuu.

Mutta tapahtuma A on myös satunnainen, joten sillä on myös todennäköisyys, joka on ja voidaan ottaa huomioon laskelmissa. Seuraava esimerkki näyttää kuinka toimia riippuvaisissa tapahtumissa ja hypoteesissa.

Esimerkki riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskemisesta

Hyvä esimerkki riippuvien tapahtumien laskemisesta on tavallinen korttipakka.

Harkitse riippuvaisia \u200b\u200btapahtumia käyttämällä 36 kortin pakkaa. On välttämätöntä määrittää todennäköisyys, että toinen kannelta vedetty kortti on timantteja, jos ensimmäinen kortti vedetään:

1. Timantit.
2. Toinen puku.

Toisen tapahtuman B todennäköisyys riippuu tietysti ensimmäisestä A: sta. Joten jos ensimmäinen vaihtoehto on totta, että kannessa on 1 kortti (35) ja 1 tamburiinia (8) vähemmän, tapahtuman B todennäköisyys:

PA (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Jos toinen vaihtoehto on kelvollinen, kannessa on 35 korttia ja tamburiinien (9) koko määrä säilyy, seuraavan tapahtuman B todennäköisyys:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Voidaan nähdä, että jos tapahtumasta A sovitaan, että ensimmäinen kortti on tamburiini, tapahtuman B todennäköisyys pienenee ja päinvastoin.

Riippuvien tapahtumien kertominen

Edellisen luvun ohjaamana pidämme ensimmäistä tapahtumaa (A) tosiasiana, mutta pohjimmiltaan se on satunnainen. Tämän tapahtuman todennäköisyys, nimittäin tamburiinin uuttaminen korttipakasta, on yhtä suuri kuin:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Koska teoriaa ei ole olemassa itsestään, mutta sen on tarkoitus toimia käytännön tarkoituksissa, on oikeudenmukaista sanoa, että useimmiten tarvitaan riippuvuustapahtumien syntymisen todennäköisyyttä.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien tuloksen lauseen mukaan yhteisesti riippuvien tapahtumien A ja B esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden tapahtuman A todennäköisyys kerrottuna tapahtuman B ehdollisella todennäköisyydellä (riippuvainen A: sta):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Sitten kannessa olevassa esimerkissä todennäköisyys piirtää kaksi korttia tamburiinipuvulla on:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 tai 5,7%

Ja todennäköisyys uuttaa ensin ei tamburiinia ja sitten tamburiinia, on yhtä suuri kuin:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 tai 19%

Voidaan nähdä, että tapahtuman B todennäköisyys on suurempi edellyttäen, että ensin vedetään muun puvun kuin tamburiinin kortti. Tämä tulos on varsin looginen ja ymmärrettävä.

Tapahtuman täydellinen todennäköisyys

Kun ehdollisten todennäköisyyksien ongelma muuttuu monitahoiseksi, sitä ei voida laskea tavanomaisilla menetelmillä. Kun hypoteeseja on enemmän kuin kaksi, nimittäin A1, A2, ... ja n, .. muodostaa täydellisen ryhmän tapahtumia ehdolla:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• Σ k A k \u003d Ω.

Joten, tapahtuman B kokonaistodennäköisyyden kaava, jossa on täydellinen ryhmä satunnaisia \u200b\u200btapahtumia A1, A2, ... ja n, on yhtä suuri kuin:

Katsaus tulevaisuuteen

Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on äärimmäisen välttämätön monilla tieteenaloilla: ekonometriassa, tilastoissa, fysiikassa jne. Koska joitain prosesseja ei voida kuvata deterministisesti, koska niillä itsessään on todennäköisyysluonteisuus, tarvitaan erityisiä työtapoja. Todennäköisyysteoriaa voidaan käyttää millä tahansa tekniikan alalla keinona määrittää virheiden tai toimintahäiriöiden mahdollisuus.

Voimme sanoa, että tunnistamalla todennäköisyyden teemme jollain tavalla teoreettisen askeleen tulevaisuuteen, tarkastelemalla sitä kaavojen prisman kautta.

• Todennäköisyys on tietyn tapahtuman mahdollisuuden aste (suhteellinen mittari, kvantitatiivinen arvio). Kun jonkin mahdollisen tapahtuman todelliset syyt ovat suuremmat kuin päinvastaiset syyt, tapahtumaa kutsutaan todennäköiseksi, muuten epätodennäköiseksi tai epätodennäköiseksi. Positiivisten perusteiden ylitys negatiivisiin ja päinvastoin voi olla vaihtelevassa määrin, minkä seurauksena todennäköisyys (ja epätodennäköisyys) on enemmän tai vähemmän. Siksi todennäköisyyttä arvioidaan usein laadullisella tasolla, varsinkin tapauksissa, joissa enemmän tai vähemmän tarkka kvantitatiivinen arviointi on mahdotonta tai erittäin vaikeaa. Erilaiset todennäköisyys "tasojen" porrastukset ovat mahdollisia.

  Todennäköisyyden tutkiminen matemaattisesta näkökulmasta on erityinen ala - todennäköisyyden teoria. Todennäköisyysteoriassa ja matemaattisissa tilastoissa todennäköisyyden käsite virallistetaan tapahtuman numeerisena ominaisuutena - todennäköisyysmitta (tai sen arvo) - tapahtumasarjan (alkeistapahtumasarjan osajoukko) mitta, joka ottaa arvot Alkaen

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  Arvo

  (\\ displaystyle 1)

  Vastaa kelvollista tapahtumaa. Mahdollisen tapahtuman todennäköisyys on 0 (päinvastoin ei yleensä ole aina totta). Jos tapahtuman esiintymisen todennäköisyys on

  (\\ displaystyle p)

  Silloin todennäköisyys sen esiintymättömyydelle on

  (\\ displaystyle 1-p)

  Erityisesti todennäköisyys

  (\\ näyttötyyli 1/2)

  Tarkoittaa tapahtuman esiintymisen ja olemattomuuden yhtä suurta todennäköisyyttä.

  Klassinen todennäköisyyden määritelmä perustuu tulosten yhtä todennäköisyyden käsitteeseen. Todennäköisyys on tietylle tapahtumalle suotuisten tulosten määrän ja yhtä mahdollisten lopputulosten suhde. Esimerkiksi todennäköisyys saada "päät" tai "hännät" satunnaisessa kolikonheitossa on 1/2, jos oletetaan, että vain nämä kaksi mahdollisuutta ovat olemassa ja ne ovat yhtä mahdollisia. Tämä klassinen todennäköisyyden "määritelmä" voidaan yleistää äärettömän määrän mahdollisia arvoja koskevaan tapaukseen - esimerkiksi jos jokin tapahtuma voi tapahtua samalla todennäköisyydellä missä tahansa kohdassa (pisteiden lukumäärä on ääretön) tietyllä rajoitetulla alueella tilaa (taso), niin todennäköisyys, että se tapahtuu jossain osassa tätä sallittua aluetta, on yhtä suuri kuin tämän osan tilavuuden (alueen) suhde kaikkien mahdollisten alueiden tilavuuteen (pinta-alaan) pistettä.

  Empiirinen "todennäköisyyden määrittely" liittyy tapahtuman esiintymistiheyteen sillä perusteella, että riittävän suurella määrällä testejä taajuuden tulisi pyrkiä objektiiviseen määrään tämän tapahtuman mahdollisuuteen. Todennäköisyysteorian nykyaikaisessa esityksessä todennäköisyys määritellään aksiomaattisesti joukon mitan abstraktin teorian erityistapauksena. Siitä huolimatta abstraktin mittarin ja todennäköisyyden välinen yhteys, joka ilmaisee tapahtuman esiintymismahdollisuuden, on juuri sen havainnointitiheys.

  Tiettyjen ilmiöiden todennäköisyyskuvaus on levinnyt nykyaikaisessa tieteessä, erityisesti ekonometriassa, makroskooppisten (termodynaamisten) järjestelmien tilastollisessa fysiikassa, jossa jopa hiukkasten liikkeen klassisen deterministisen kuvauksen tapauksessa koko deterministinen kuvaus hiukkasten järjestelmä ei näytä käytännössä mahdolliselta ja tarkoituksenmukaiselta. Kvanttifysiikassa itse kuvatut prosessit ovat luonteeltaan todennäköisiä.