teoriapelistrategia sekoitettu

Sekalaisia ​​strategioita

Jos matriisipelissä puhtaissa strategioissa ei ole satulakohtaa, niin pelin ylä- ja alahinta löytyy. Ne osoittavat, että pelaaja 1 ei saa voittoa, joka ylittää pelin ylemmän hinnan ja että pelaajalle 1 taataan voitto, joka ei ole pienempi kuin alempi pelihinta.

Pelaajan sekoitettu strategia on täydellinen sarja hänen puhtaita strategioitaan, joissa on useita pelin toistoja samoissa olosuhteissa tietyillä todennäköisyyksillä. Tehdään yhteenveto sanotusta ja luetellaan käyttöehdot. sekalaisia ​​strategioita:

• * pelata ilman satulankärkiä;
• * Pelaajat käyttävät satunnaista yhdistelmää puhtaita strategioita tietyillä todennäköisyyksillä;
• * peli toistetaan monta kertaa samanlaisissa olosuhteissa;
• * Jokaisella siirrolla pelaaja ei saa tietoa toisen pelaajan strategian valinnasta;
• * Pelitulosten keskiarvo on sallittu.

Sekastrategioille käytetään seuraavaa merkintää.

Pelaajalle 1 sekoitettu strategia, joka koostuu puhtaiden strategioiden A 1, A 2, ..., A m soveltamisesta vastaavilla todennäköisyyksillä p 1, p 2, ..., p m.

Pelaajalle 2

q j on puhtaan strategian Bj soveltamisen todennäköisyys.

Siinä tapauksessa, että р i = 1, pelaajalla 1 on puhdas strategia

Pelaajan puhtaat strategiat ovat ainoita mahdollisia ristiriitaisia ​​tapahtumia. Matriisipelissä matriisin A tunteminen (se koskee sekä pelaajaa 1 että pelaajaa 2) voidaan määrittää annetut vektorit ja keskimääräinen voitto ( odotettu arvo vaikutus) pelaajalta 1:

missä ja ovat vektorit;

p i ja q i ovat vektorien komponentteja.

Soveltamalla sekoitettuja strategioitaan pelaaja 1 pyrkii maksimoimaan keskimääräisen voittonsa ja pelaaja 2 - saattamaan tämän vaikutuksen mahdollisimman pieneen arvoon. Pelaaja 1 pyrkii saavuttamaan

Pelaaja 2 varmistaa, että ehto täyttyy

Merkitään myös pelaajien 1 ja 2 optimaalisia sekastrategioita vastaavat vektorit, ts. sellaiset vektorit ja joille tasa-arvo

Pelin hinta on pelaajan 1 keskimääräinen voitto, kun molemmat pelaajat käyttävät sekalaisia ​​strategioita. Siksi ratkaisu matriisipeliin on:

• - Pelaajan 1 optimaalinen sekoitettu strategia;
• - Pelaajan 2 optimaalinen sekoitettu strategia;

Pelin hinta.

Sekastrategiat ovat optimaalisia (ja), jos ne muodostavat funktion satulapisteen, ts.

Matemaattisille peleille on olemassa peruslause.

Matriisipelissä, jossa on mikä tahansa matriisi A, suuret

olemassa ja ovat keskenään samanarvoisia: = =.

On huomattava, että valitessaan optimaalisia strategioita pelaajalle 1 taataan aina keskimääräinen voitto, joka on vähintään pelin hinta, minkä tahansa pelaajan 2 (ja päinvastoin, pelaajan 2) kiinteän strategian osalta. Pelaajien 1 ja 2 aktiiviset strategiat ovat strategioita, jotka ovat osa vastaavien pelaajien optimaalisia sekoitettuja strategioita nollasta poikkeavalla todennäköisyydellä. Tämä tarkoittaa, että pelaajien optimaalisten sekastrategioiden kokoonpano ei välttämättä sisällä kaikkia heidän etukäteen määriteltyjä strategioitaan.

Pelin ratkaiseminen tarkoittaa pelin hinnan ja optimaalisten strategioiden löytämistä. Aloitamme menetelmien tarkastelun optimaalisten sekastrategioiden löytämiseksi matriisipeleihin yksinkertaisin peli kuvataan matriisilla 22. Satulapistepelejä ei erityisesti oteta huomioon. Jos satulapiste saadaan, tämä tarkoittaa, että on kannattamattomia strategioita, jotka tulisi hylätä. Satulapisteen puuttuessa voidaan saada kaksi optimaalista sekoitettua strategiaa. Kuten todettiin, nämä sekastrategiat on kirjoitettu seuraavasti:

Siksi on olemassa maksumatriisi

a 11 p 1 + a 21 p 2 =; (1,16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 =; (1,17)

p 1 + p 2 = 1. (1,18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1,19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1, (1,20)

mistä saamme optimaaliset arvot ja:

Tiedämme ja löydämme:

Laskettuamme löydämme ja:

a 11 q 1 + a 12 q 2 =; q1 + q2 = 1; (1,24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) =. (1,25)

klo 11-12. (1,26)

Ongelma on ratkaistu, koska vektorit ja pelin hinta on löydetty. Maksujen A matriisin avulla on mahdollista ratkaista ongelma graafisesti. Tällä menetelmällä ratkaisualgoritmi on hyvin yksinkertainen (kuva 2.1).

• 1. Yksikköpituinen segmentti piirretään abskissa-akselia pitkin.
• 2. Ordinaatta on strategian A 1 voitot.
• 3. Ordinaattisen akselin suuntaisella linjalla, pisteessä 1, voitot talletetaan strategialla a 2.
• 4. Segmenttien päät on merkitty a 11 -b 11, a 12 -b 21, a 22 -b 22, a 21 -b 12 ja kaksi suoraa viivaa b 11 b 12 ja b 21 b 22 piirretään.
• 5. Leikkauspisteen ordinaatit määritetään. Se on tasa-arvoinen. Pisteen c abskissa on yhtä suuri kuin p 2 (p 1 = 1 - p 2).

Riisi. 1.1.

Tällä menetelmällä on melko laaja sovellusalue. Tämä perustuu yhteistä omaisuutta games mn, joka koostuu siitä, että missä tahansa pelissä mn jokaisella pelaajalla on optimaalinen sekastrategia, jossa puhtaiden strategioiden määrä on enintään min (m, n). Tästä ominaisuudesta voidaan saada hyvin tunnettu seuraus: missä tahansa pelissä 2n ja m2 kukin optimaalinen strategia sisältää enintään kaksi aktiivista strategiaa. Siten mikä tahansa peli 2n ja m2 voidaan pelkistää peliksi 22. Näin ollen pelit 2n ja m2 voidaan ratkaista graafisesti. Jos äärellisen pelin matriisilla on mitta mn, missä m> 2 ja n> 2, niin optimaaliset sekastrategiat määritetään lineaarisen ohjelmoinnin avulla.

5. PELIEN TEORIA JA TILASTORATKAISUT

5.1. Nollasummamatriisipeli

Taloudellinen ja matemaattinen mallinnus suoritetaan seuraavissa olosuhteissa:

Varmuudet;

Epävarmuustekijät.

Mallintaminen varmuuden kannalta olettaa kaikkien tarvittavien normatiivisten lähtötietojen saatavuuden (matriisimallinnus, verkon suunnittelu ja hallinta).

Mallintaminen vaarassa suoritetaan stokastisella epävarmuudella, kun joidenkin lähtötietojen arvot ovat satunnaisia ​​ja näiden satunnaismuuttujien todennäköisyysjakauman lait tunnetaan (regressioanalyysi, jonoteoria).

Mallintaminen epävarmuuden edessä vastaa täydellinen poissaolo joitain tähän tarvittavia tietoja (peliteoria).

Matemaattiset mallit optimaalisten päätösten tekemiseen konfliktitilanteita on rakennettu epävarmuuden olosuhteisiin.

Peliteoriassa käytetään seuraavia peruskäsitteitä:

strategia;

Voittotoiminto.

Kurssin mukaan kutsumme pelaajalle yhden pelin sääntöjen mukaisen toiminnon valintaa ja toteuttamista.

strategia on tekniikka, jolla valitaan toimintatapa jokaisessa liikkeessä vallitsevasta tilanteesta riippuen.

Win-toiminto määrittää hävinneen pelaajan maksun voittajalle.

Matriisipelissä voittofunktio esitetään muodossa maksumatriisi :

missä on maksun määrä pelaajalle I, joka valitsi siirron, pelaajalta II, joka valitsi siirron.

Tällaisessa paripelissä molempien pelaajien voittofunktioiden arvot kussakin tilanteessa ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja vastakkaiset etumerkillä, ts. ja tämä peli on ns nolla summa .

"Matriisipelin pelaamisen" prosessi on esitetty seuraavasti:

Maksumatriisi on asetettu;

Pelaaja I, riippumatta pelaajasta II, valitsee yhden tämän matriisin rivistä, esimerkiksi th;

Pelaaja II, riippumatta pelaajasta I, valitsee yhden tämän matriisin sarakkeista, esimerkiksi - th;

Matriisin elementti määrittää, kuinka paljon pelaajaa saan pelaajalta II. Tietysti jos, sitten se tulee pelaaja I:n todellisesta menetyksestä.

Antagonistista paripeliä, jossa on voittomatriisi, kutsutaan peliksi.

Esimerkki

Harkitse peliä.

Maksumatriisi on asetettu:

.

Anna pelaajan I valita pelaajasta II riippumatta tämän matriisin 3. rivi ja pelaaja II pelaajasta I riippumatta valita tämän matriisin 2. sarake:

Sitten pelaaja I saa 9 yksikköä pelaajalta II.

5.2. Optimaalinen puhdas strategia matriisipelissä

Optimaalinen strategia on pelaajan I strategia siten, että hän ei vähennä voittoaan pelaajan II tekemästä strategian valinnasta, ja pelaajan II strategia siten, että hän ei lisää tappiotaan pelaajan I tekemästä strategian valinnasta.

Valitsemalla siirrokseen voittomatriisin :nnen rivin, pelaaja I varmistaa itselleen vähintään arvon suuruisen voiton pahimmassa tapauksessa, kun pelaaja II yrittää minimoida tämän arvon. Siksi pelaaja I valitsee sellaisen rivin, joka tarjoaa hänelle maksimi voitto:

.

Pelaaja II väittelee samalla tavalla ja voi varmasti varmistaa itselleen minimaalisen tappion:

.

Epätasa-arvo on aina totta:

Määrää kutsutaan pohjahinta pelejä .

Määrää kutsutaan pelin korkein hinta .

Optimaalisia strategioita kutsutaan puhdas jos ne täyttävät yhtäläisyydet:

,

.

Määrää kutsutaan pelin puhdas hinta , jos.

Optimaaliset puhtaat strategiat ja muoto satulapiste maksumatriisi.

Satulapisteen osalta seuraavat ehdot täyttyvät:

eli elementti on rivin pienin ja sarakkeen suurin.

Siten, jos voittomatriisissa on satulapiste sitten löytyy optimaaliset puhdasstrategiat pelaajia.

Pelaajan I puhdasta strategiaa voidaan esittää järjestetyllä numerojoukolla (vektorilla), jossa kaikki luvut ovat yhtä suuria kuin nolla, paitsi :nnen sijan numero, joka on yhtä suuri kuin yksi.

Pelaajan II puhdasta strategiaa voidaan edustaa järjestetyllä numerojoukolla (vektorilla), jossa kaikki luvut ovat nollia, paitsi :nnen sijan numero, joka on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkki

.

Valitsemalla siirrokseen minkä tahansa voittomatriisin rivin, pelaaja I varmistaa itselleen pahimman mahdollisen voiton, jonka arvo on vähintään sarakkeessa, joka on merkitty:

Siksi pelaaja I valitsee voittomatriisin 2. rivin, joka tarjoaa hänelle suurimman voiton riippumatta pelaajan II siirrosta, joka yrittää minimoida tämän arvon:

Pelaaja II ajattelee samalla tavalla ja valitsee siirrokseen ensimmäisen sarakkeen:

Siten maksumatriisissa on satulakohta:

vastaa optimaalista puhdasta strategiaa pelaajalle I ja pelaajalle II, jossa pelaaja I ei vähennä voittoaan pelaajan II tekemästä strategian muutoksesta ja pelaaja II ei lisää hänen tappiotaan pelaajan I tekemästä strategian muutoksesta.

5.3. Optimaalinen sekoitettu strategia matriisipelissä

Jos voittomatriisissa ei ole satulapistettä, on irrationaalista kenenkään pelaajan käyttää yhtä puhdasta strategiaa. On kannattavampaa käyttää "todennäköisyyspohjaiset seokset" puhtaat strategiat. Sitten jo sekalaiset strategiat määritetään optimaalisiksi.

Sekastrategia pelaajalle on ominaista satunnaisen tapahtuman todennäköisyysjakauma, joka koostuu tämän pelaajan liikkeen valinnasta.

Pelaajan I sekoitettu strategia on niin järjestetty numerosarja (vektori), joka täyttää kaksi ehtoa:

1) eli todennäköisyys valita maksumatriisin jokainen rivi on ei-negatiivinen;

2), eli kunkin maksumatriisin rivin valinta aggregaatissa edustaa täysi ryhmä Tapahtumat.

Pelaajan II sekoitettu strategia on järjestetty numerosarja (vektori), joka täyttää ehdot:

Maksun määrä pelaajalle I, joka on valinnut sekalaisen strategian

pelaajalta II, joka valitsi sekastrategian

,

edustaa keskiarvoa

.

Optimaalinen kutsutaan sekastrategioiksi

ja ,

jos mielivaltaisilla sekastrategioilla ja ehto täyttyy:

eli optimaalisessa sekastrategiassa pelaajan I voitto on suurin ja pelaajan II menetys pienin.

Jos voittomatriisissa ei ole satulakohtaa, niin

,

eli siinä on positiivinen ero ( jakamaton ero )

- ³ 0,

ja pelaajien on etsittävä lisämahdollisuuksia saadakseen itsevarmasti suuremman osuuden tästä erosta omaksi edukseen.

Esimerkki

Harkitse voittomatriisin antamaa peliä:

.

Selvitä, onko satulan kärkeä:

, .

Osoittautuu, että voittomatriisissa ei ole satulapistettä ja jakamaton ero on yhtä suuri:

.

5.4. Optimaalisten sekastrategioiden löytäminen

peleihin 2 × 2

Maksumatriisin optimaalisten sekastrategioiden määrittäminen dimensiossa suoritetaan menetelmällä, jossa löydetään kahden muuttujan funktion optimipisteet.

Olkoon todennäköisyys, että pelaaja I valitsee maksumatriisin ensimmäisen rivin

on yhtä kuin. Sitten todennäköisyys valita toinen rivi on.

Olkoon todennäköisyys, että pelaaja II valitsee ensimmäisen sarakkeen. Tällöin todennäköisyys valita toinen sarake on.

Pelaajalle I maksama summa pelaajalta II on yhtä suuri:

Pelaajan I voiton ja pelaajan II tappion ääriarvo vastaa ehtoja:

;

.

Siten pelaajien I ja II optimaaliset sekastrategiat ovat samat:

5.5. Pelien geometrinen ratkaisu 2 ×n

Kun voittomatriisin dimensio kasvaa arvosta -, ei ole enää mahdollista pelkistää optimaalisten sekastrategioiden määritystä kahden muuttujan funktion optimin löytämiseen. Kuitenkin, koska yhdellä pelaajista on vain kaksi strategiaa, voidaan käyttää geometristä ratkaisua.

Pelin ratkaisun löytämisen päävaiheet ovat seuraavat.

Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä tasossa. Piirrä segmentti akselille. Piirrä kohtisuorat tämän segmentin vasemmasta ja oikeasta päästä.

Yksikkösegmentin vasen ja oikea pää vastaavat kahta strategiaa ja ovat pelaajan I käytettävissä. Piirretyillä kohtisuoralla siirrämme tämän pelaajan voittoja. Esimerkiksi maksumatriisiin

Sellaiset pelaaja I:n voitot strategiaa valittaessa ovat ja, ja strategiaa valittaessa ovat ja.

Yhdistäkäämme suorilla viivoilla pelaajan I voittopisteet, jotka vastaavat pelaajan II strategioita. Sitten muodostunut katkoviiva, joka rajaa kaaviota alhaalta, määrittää pelaajan I voittosumman alarajan.

Etsi pelaajan I optimaalinen sekoitettu strategia

,

joka vastaa maksimiordinaatilla olevan pelaajan I voittosumman alarajaa.

Huomaa, että tarkasteltavassa esimerkissä pelaaja II voi estää pelaajaa I saamasta suurempaa voittoa käyttämällä vain kahta strategiaa ja vastaten suoria viivoja, jotka leikkaavat löydetyssä pisteessä pelaajan I voiton alarajalla.

Siten peli pelkistetään peliksi ja tarkastellun esimerkin pelaajan II optimaalinen sekoitettu strategia on

,

jossa todennäköisyys löydetään samalla tavalla kuin pelissä:

5.6. Peliratkaisum× n

Jos matriisipelissä ei ole ratkaisua puhtaissa strategioissa (eli ei ole satulapistettä) ja voittomatriisin suuren ulottuvuuden vuoksi sitä ei voida ratkaista graafisesti, niin ratkaisun saamiseksi käytä lineaarinen ohjelmointimenetelmä .

Olkoon dimensioiden voittomatriisi:

.

Todennäköisyydet on löydettävä , jonka kanssa minun on valittava hänen liikkeensä, jotta tämä sekoitettu strategia takaa hänelle vähintään suuruisen voiton, riippumatta pelaajan II valinnasta.

Jokaisesta pelaajan II valitsemasta siirrosta pelaajan I voitto määräytyy riippuvuuksien mukaan:

Jaamme epäyhtälöiden molemmat puolet ja otamme käyttöön uuden merkinnän:

Tasa-arvo

Otetaan muodossa:

Koska pelaaja I pyrkii maksimoimaan voiton, vastavuoroisuus on minimoitava. Sitten pelaajan I lineaarinen ohjelmointiongelma saa muotoa:

rajoituksin

Vastaavasti pelaajan II ongelma on rakennettu kaksoisongelmaksi:

rajoituksin

Ratkaisemalla ongelmia simplex-menetelmällä saamme:

,

5.7. Matriisipelien ratkaisemisen ominaisuudet

Ennen kuin ratkaistaan ​​optimaalisten strategioiden löytämisen ongelma, on tarkistettava kaksi ehtoa:

Onko mahdollista yksinkertaistaa maksumatriisia?

Onko maksumatriisissa satulakohta.

Harkitse mahdollisuutta yksinkertaistaa maksumatriisia:

Johtuen siitä, että pelaaja, jota pyrin hankkimaan suurin voitto, voit yliviivata maksumatriisin :nnen rivin, koska hän ei koskaan käytä tätä siirtoa, jos seuraava relaatio on tyytyväinen johonkin muuhun riviin:

Samoin, pyrkiessään pienimpään tappioon, pelaaja II ei koskaan valitse voittomatriisin i:ttä saraketta siirroksi, ja tämä sarake voidaan yliviivata, jos seuraava suhde pätee johonkin muuhun i:nteen sarakkeeseen:

Useimmat yksinkertainen ratkaisu Peli on yksinkertaistetussa maksumatriisissa sellaisen satulanpään läsnäolo, joka täyttää seuraavan ehdon (määritelmän mukaan):

Esimerkki

Maksumatriisi annetaan:

.

Maksumatriisin yksinkertaistaminen:

Satulapiste:

5.8. Leikkiminen luonnon kanssa

Toisin kuin peliteorian ongelmat teoriaongelmia tilastollisia päätöksiä epävarmassa tilanteessa ei ole antagonistista konfliktiväriä ja se riippuu objektiivisesta todellisuudesta, jota yleensä kutsutaan "luonto" .

Matriisipeleissä luonnon kanssa pelaaja II pelaa joukko epävarmoja tekijöitä, jotka vaikuttavat tehtyjen päätösten tehokkuuteen.

Matriisipelit luonnon kanssa eroavat tavallisista matriisipeleistä vain siinä, että optimaalista strategiaa valitessaan pelaaja I ei voi enää ohjata sitä tosiasiaa, että pelaaja II yrittää minimoida tappionsa. Siksi esittelemme maksumatriisin ohella riskimatriisi :

missä on pelaajan I riskin arvo käytettäessä siirtoa eroa vastaavissa olosuhteissa sen voiton välissä, jonka pelaaja olisin saanut, jos hän olisi tiennyt, että ehto täyttyisi, ts. , ja voitot, jotka hän saa, tietämättä siirtoa valitessaan, että ehto täyttyy.

Siten voittomatriisi muunnetaan yksiselitteisesti riskimatriisiksi ja käänteinen muunnos on epäselvä.

Esimerkki

Maksumatriisi:

.

Riskimatriisi:

mahdollista kaksi ongelmalausetta ratkaisun valinnasta matriisipelissä luonnon kanssa :

Maksimoi voittosi;

Riskin minimoiminen.

Päätöksenteko-ongelma voidaan asettaa jommallakummalla kahdesta ehdosta:

- vaarassa kun luonnon strategioiden todennäköisyysjakaumafunktio tunnetaan, esimerkiksi kunkin oletetun tietyn taloudellisen tilanteen esiintymisen satunnaisarvo;

- epävarmuuden edessä kun tällainen todennäköisyysjakaumafunktio on tuntematon.

5.9. Tilastollisten päätösten teorian ongelmien ratkaiseminen

vaarassa

Kun tekee päätöksiä riskiolosuhteissa, pelaaja I tietää todennäköisyydet luonnontilojen puhkeaminen.

Tällöin pelaajan I on tarkoituksenmukaista valita strategia, jota varten keskimääräiset voitot riviä kohden, maksimi :

.

Kun ratkaisemme tämän ongelman riskimatriisilla, saamme saman ratkaisun, joka vastaa pienin keskimääräinen riski :

.

5.10. Tilastollisten päätösten teorian ongelmien ratkaiseminen

epävarmuuden edessä

Kun teet päätöksiä epävarmuuden olosuhteissa, voit käyttää seuraavaa kriteeri :

Waldin Maximinin kriteeri;

Kriteeri minimaalinen riski Sevija;

Pessimismin kriteeri on Hurwitzin optimismi;

Laplacen riittämättömän perustan periaate.

Harkitse Waldin maksimitesti .

Peliä luonnon kanssa pelataan kuin kohtuullisen aggressiivisen vihollisen kanssa, eli jälleenvakuutuslähestymistapa toteutetaan maksumatriisin äärimmäisen pessimismin asennosta:

.

Harkitse Karmea minimiriskin kriteeri .

Edellisen kaltainen lähestymistapa äärimmäisen pessimismin asennosta riskimatriisiin:

.

Harkitse pessimismin kriteeri - Hurwitzin optimismi .

Tarjotaan mahdollisuus olla ohjaamatta äärimmäistä pessimismiä tai äärimmäistä optimismia:

missä on pessimismin aste;

äärimmäistä optimismia,

at - äärimmäinen pessimismi.

Harkitse Laplacen riittämättömän perustan periaate .

Uskotaan, että kaikki luonnontilat ovat yhtä todennäköisiä:

,

.

Johtopäätökset viidennestä osasta

Matriisipeliin osallistuu kaksi pelaajaa, ja voittofunktio, jonka tehtävänä on määrittää hävinneen pelaajan voittajalle maksettava summa, on esitetty voittomatriisina. Sovittiin, että pelaaja I valitsee siirroksi yhden voittomatriisin rivistä ja pelaaja II yhden sen sarakkeista. Sitten tämän matriisin valitun rivin ja sarakkeen leikkauskohdassa on pelaajan II pelaajalle I suorittaman maksun numeerinen arvo (jos tämä arvo on positiivinen, pelaaja I todella voitti, ja jos se on negatiivinen, niin pelaaja voitin käytännössä).

Jos voittomatriisissa on satulapiste, niin pelaajilla on optimaaliset puhtaat strategiat, eli voittaakseen jokaisen on toistettava yksi optimaalinen siirtonsa. Jos satulapistettä ei ole, niin voittaakseen jokaisen on käytettävä optimaalista sekoitettua strategiaa, eli käytettävä yhdistelmää liikkeitä, joista jokainen on suoritettava optimaalisella todennäköisyydellä.

Optimaaliset sekastrategiat 2 × 2 -peleille etsitään laskemalla optimaaliset todennäköisyydet tunnetuilla kaavoilla. Kautta geometrinen ratkaisu 2 × n -peleissä optimaalisten sekastrategioiden määritelmä on rajoitettu optimaalisten sekastrategioiden löytämiseen 2 × 2 -peleille. M × n -pelien ratkaisemiseksi käytetään lineaarista ohjelmointimenetelmää, jolla löydetään niistä optimaaliset sekastrategiat.

Joitakin maksumatriiseja voidaan yksinkertaistaa, minkä seurauksena niiden ulottuvuutta pienennetään poistamalla lupaamattomia liikkeitä vastaavia rivejä ja sarakkeita.

Jos pelaaja II on joukko epävarmoja tekijöitä, jotka riippuvat objektiivisesta todellisuudesta ja joilla ei ole antagonistista konfliktiväriä, niin tällaista peliä kutsutaan peliksi luonnon kanssa, ja sen ratkaisemiseen käytetään tilastollisten päätösten teorian ongelmia. Sitten, voittomatriisin kanssa, otetaan käyttöön riskimatriisi ja kaksi lausetta ratkaisun valinnan ongelmasta matriisipelissä luonnon kanssa ovat mahdollisia: voiton maksimointi ja riskin minimointi.

Tilastollisten päätösten teorian ongelmien ratkaisu riskiolosuhteissa osoittaa, että pelaajan I on suositeltavaa valita se strategia, jolla voittomatriisin riviltä otettu voiton keskiarvo (matemaattinen odotus) on maksimi, tai (joka on sama) riskin keskimääräinen arvo (matemaattinen odotus) riskimatriisin rivillä otettuna on minimaalinen. Kun teet päätöksiä epävarmuuden olosuhteissa, käytä seuraavat kriteerit: Waldin maksimikriteeri, Sevidgen minimiriskikriteeri, Hurwitzin pessimismi-optimismikriteeri, Laplacen riittämättömän perustan periaate.

Itsetestauskysymykset

Miten peliteorian peruskäsitteet määritellään: liike, strategia ja voittofunktio?

Miten voittofunktio esitetään matriisipelissä?

Miksi matriisipeliä kutsutaan nollasummaksi?

Miten matriisipelin pelaamisprosessi esitetään?

Mitä peliä kutsutaan m × n -peliksi?

Mikä on optimaalinen strategia matriisipelille?

Mikä on optimaalinen strategia matriisipelille nimeltä puhdas?

Mitä voittomatriisin satulapiste tarkoittaa?

Mikä on optimaalinen strategia matriisipelille nimeltä mix?

Miltä pelaajan sekastrategia näyttää?

Mikä on maksun määrä pelaajalle I pelaajalta II, joka valitsi sekastrategiat?

Mitä sekastrategioita kutsutaan optimaaliseksi?

Mitä kohdistamaton ero tarkoittaa?

Mitä menetelmää käytetään löytämään optimaaliset sekastrategiat 2 × 2 -peleihin?

Kuinka optimaaliset sekastrategiat 2 × n -peleihin löydetään?

Mitä menetelmää käytetään löytämään optimaaliset sekastrategiat m × n -peleille?

Mitä ominaisuuksia matriisipelien ratkaisemisessa on?

Mitä maksumatriisin yksinkertaistaminen tarkoittaa ja millä ehdoilla se voidaan tehdä?

Mikä matriisipeli on helpompi päättää, kun voittomatriisissa on satulakohta vai ei?

Mitkä peliteorian ongelmat liittyvät tilastollisten päätösten teorian ongelmiin?

Miten maksumatriisi muunnetaan riskimatriisiksi?

Mitkä kaksi ratkaisujen valinnan ongelman muotoilua ovat mahdollisia matriisipelissä luonnon kanssa?

Millä kahdella ehdolla päätöksentekoongelmia voidaan asettaa matriisipelissä luonnon kanssa?

Millaisen strategian pelaajan I on tarkoituksenmukaista valita, kun hän ratkaisee tilastollisten päätösten teorian ongelman riskiolosuhteissa?

Mitä päätöskriteerejä voidaan käyttää ratkaistaessa tilastollisten päätösten teorian ongelmia epävarmuuden olosuhteissa?

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

1. Maksumatriisi näyttää yrityksen myyntivoiton määrän eri tyyppejä tuotteet (sarakkeet) tasaisen kysynnän mukaan (rivit). On tarpeen määrittää yrityksen optimaalinen strategia erityyppisten tuotteiden tuotantoon ja vastaava enimmäistulo (keskimääräinen) niiden myynnistä.

Merkitään annettu matriisi arvolla ja esitellään muuttujat. Käytämme myös matriisia (vektoria). Sitten ja ts.

Käänteinen matriisi lasketaan:

Arvot löytyvät:

.

Todennäköisyydet lasketaan:

Keskimääräiset myyntitulot määritetään:

.

2. Yritys "Pharmacist" on lääkkeiden ja biolääketieteellisten tuotteiden valmistaja alueella. Tiedetään, että joidenkin lääkkeiden kysynnän huippu laskee kesäkausi(sydän- ja verisuoniryhmän lääkkeet, kipulääkkeet), muille - syys- ja kevätkausille (tartunnan estävä, yskänlääke).

Kustannukset 1 konv. yksiköitä tuotteet syys-lokakuulle olivat: ensimmäiselle ryhmälle (sydän- ja verisuonilääkkeet ja kipulääkkeet) - 20 ruplaa; toisessa ryhmässä (tartuntalääkkeet, yskänlääkkeet) - 15 ruplaa.

Useiden havaintojen mukaan Viime vuosina yrityksen markkinointipalvelu totesi, että se pystyy myymään tarkasteltavien kahden kuukauden aikana lämpimällä säällä 3050 konv. yksiköitä ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 1100 konv. yksiköitä toisen ryhmän tuotteet; kylmällä säällä - 1525 konv. yksiköitä ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 3690 konv. yksiköitä toinen ryhmä.

Mahdollisten säämuutosten yhteydessä asetetaan tehtäväksi - määrittää yrityksen strategia tuotteiden tuotannossa, joka tarjoaa suurimmat myyntitulot 40 ruplan myyntihinnalla. 1 konv. yksiköitä ensimmäisen ryhmän tuotteet ja 30 ruplaa. - toinen ryhmä.

RATKAISU. Yrityksellä on kaksi strategiaa:

Sää tulee olemaan lämmin tänä vuonna;

Sää tulee olemaan kylmä.

Jos yritys omaksuu strategian ja todellisuudessa tulee lämmin sää (luonnon strategia), niin tuotos (ensimmäisen lääkeryhmän 3050 konventionaalista yksikköä ja toisen ryhmän 1100 konventionaalista yksikköä) myydään kokonaan ja tulot

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) = 77500 s.

Kylmällä säällä (luontostrategia) toisen ryhmän lääkkeet myydään täysimääräisinä ja ensimmäisen ryhmän lääkkeitä vain 1525 konv. yksiköitä ja osa huumeista jää toteutumatta. Tulot tulee olemaan

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () = 16500 s.

Vastaavasti, jos lomake omaksuu strategian ja sää on todella kylmä, tulot ovat

1525 × (40-20) + 3690 × (30-15) = 85850 s.

Lämpimällä säällä tulot ovat

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 = 8150 s.

Kun otetaan huomioon yritys ja sää kahdeksi pelaajaksi, saamme maksumatriisin

,

Pelin hinta on vaihteluvälissä

Maksumatriisista voidaan nähdä, että yrityksen tulot ovat kaikissa olosuhteissa vähintään 16 500 ruplaa, mutta jos sääolosuhteet osuvat valitun strategian kanssa, niin yrityksen tulot voivat olla 77 500 ruplaa.

Etsitään ratkaisu peliin.

Merkitään todennäköisyyttä, että yritys soveltaa strategiaa läpi, strategia läpi ja. Ratkaisemalla pelin graafisesti menetelmällä saamme , kun taas pelin hinta on p.

Optimaalinen lääketuotantosuunnitelma on

Yrityksen kannattaa siis tuottaa syys- ja lokakuussa 2379 konv. yksiköitä ensimmäisen ryhmän lääkkeet ja 2239,6 konv. yksiköitä toisen ryhmän lääkkeitä, niin hän saa kaikissa sääolosuhteissa vähintään 46986 ruplan tuloja.

Epävarmoissa olosuhteissa, jos yrityksen ei ole mahdollista käyttää sekastrategiaa (sopimuksia muiden organisaatioiden kanssa), määritämme yrityksen optimaalisen strategian, käytämme seuraavia kriteerejä:

Walden kriteeri:

Hurwitzin kriteeri: hyväksymme varmuuden vuoksi, sitten yrityksen strategian

strategiaa varten

yrityksen kannattaa käyttää strategiaa.

Villi kriteeri. Ensimmäisen sarakkeen enimmäiselementti on 77500, toisessa sarakkeessa 85850.

Riskimatriisin elementit löytyvät lausekkeesta

,

missä , ,

Riskimatriisilla on muoto

,

on suositeltavaa käyttää strategiaa tai.

Siksi yrityksen on suositeltavaa soveltaa strategiaa tai.

Huomaa, että kutakin harkittua kriteeriä ei voida pitää täysin tyydyttävänä lopullinen valinta päätöksiä, mutta niiden yhteinen analyysi antaa mahdollisuuden esittää selkeämmin tiettyjen johtamispäätösten seuraukset.

Kun eri luonnontilojen todennäköisyydet jakautuvat tunnetusti, päätöksenteon kriteeri on maksimaalinen matemaattinen voitto-odotus.

Olkoon tarkasteltavana olevan ongelman vuoksi tiedossa, että lämpimän ja kylmän sään todennäköisyys on yhtä suuri ja yhtä suuri kuin 0,5, niin yrityksen optimaalinen strategia määritetään seuraavasti:

Yrityksen on suositeltavaa käyttää strategiaa tai.

Itseopiskelutehtävät

1. Yritys voi valmistaa kolmenlaisia ​​tuotteita (A, B ja C) samalla kun se saa kysynnästä riippuvaa voittoa. Kysyntä voi puolestaan ​​olla yksi neljästä tilasta (I, II, III ja IV). Seuraavassa matriisissa elementit kuvaavat voittoa, jonka yritys saa valmistaessaan -:nnen tuotteen ja -:nnen kysyntätilanteen:

Yleisessä tapauksessa V * ≠ V * - satulan kärkeä ei ole. Myöskään puhtaissa strategioissa ei ole optimaalista ratkaisua. Jos puhtaan strategian käsitettä kuitenkin laajennetaan ottamalla käyttöön sekastrategian käsite, on mahdollista toteuttaa algoritmi optimaalisen ratkaisun löytämiseksi epätäydellisesti määriteltyyn peliongelmaan. Tällaisessa tilanteessa ehdotetaan käytettäväksi tilastollista (todennäköisyyspohjaista) lähestymistapaa optimaalisen ratkaisun löytämiseksi antagonistiseen peliin. Jokaiselle pelaajalle, yhdessä hänelle mahdollisten strategioiden kanssa, otetaan käyttöön tuntematon todennäköisyysvektori (suhteelliset taajuudet), jolla yhtä tai toista strategiaa tulisi soveltaa.

Merkitsemme pelaajan A annettujen strategioiden valinnan todennäköisyyksien (suhteellisten taajuuksien) vektoria seuraavasti:
P = (p 1, p 2, ..., p m),
missä p i ≥ 0, p 1 + p 2 +… + p m = 1. Arvoa p i kutsutaan todennäköisyydeksi (suhteelliseksi frekvenssiksi) strategian A i soveltamiselle.

Samoin pelaajalle B otetaan käyttöön tuntematon todennäköisyyksien vektori (suhteelliset taajuudet) seuraavasti:
Q = (q 1, q 2, ..., q n),
missä q j ≥ 0, q 1 + q 2 +… + q n = 1. Suuruutta q j kutsutaan todennäköisyydeksi (suhteelliseksi frekvenssiksi) strategian B j soveltamiselle. Puhtaiden strategioiden A 1, A 2, ... A m ja B 1, B 2, ... B n joukkoa (yhdistelmää) yhdessä niiden valintatodennäköisyyksien vektorien kanssa kutsutaan ns. sekalaisia ​​strategioita.

Päälause äärellisten antagonististen pelien teoriassa on Von Neumannin lause: jokaisessa äärellisessä matriisipelissä on, by vähintään, yksi optimaalinen ratkaisu, mahdollisesti sekastrategioiden joukossa.
Tästä lauseesta seuraa, että epätäydellisesti määritellyllä pelillä on vähintään yksi optimaalinen ratkaisu sekastrategioissa. Tällaisissa peleissä ratkaisu on pari optimaalista sekoitettua strategiaa P * ja Q * siten, että jos toinen pelaajista noudattaa optimaalista strategiaansa, toisen pelaajan ei ole kannattavaa poiketa optimaalisesta strategiastaan.
Pelaajan A keskimääräinen voitto määräytyy matemaattisen odotuksen mukaan:

Jos strategian soveltamisen todennäköisyys (suhteellinen taajuus) on nollasta poikkeava, niin tällaista strategiaa kutsutaan aktiivinen.

Strategioita P *, Q * kutsutaan optimaalinen sekoitus strategiat, jos M A (P, Q *) ≤ M A (P *, Q *) ≤ M A (P *, Q) (1)
Tässä tapauksessa kutsutaan M A:ta (P *, Q *). hinnalla peli ja on merkitty V:llä (V * ≤ V ≤ V *). Ensimmäinen epäyhtälöistä (1) tarkoittaa sitä pelaajan A poikkeama optimaalisesta sekastrategiastaan edellyttäen, että pelaaja B noudattaa optimaalista sekoitettua strategiaansa, johtaa keskimääräisen palkkion laskuun pelaaja A. Toinen epätasa-arvo tarkoittaa sitä pelaajan B poikkeama hänen optimaalisesta sekastrategiastaan edellyttäen, että pelaaja A noudattaa optimaalista yhdistettyä strategiaansa, johtaa pelaajan B keskimääräisen tappion kasvuun.

Yleensä tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​onnistuneesti tällä laskimella.

Esimerkki.

1. Tarkista, onko maksumatriisissa satulan kärki... Jos kyllä, niin kirjoitamme pelin ratkaisun puhtaisiin strategioihin.

Oletamme, että pelaaja I valitsee strategiansa saadakseen suurimman voittonsa, ja pelaaja II valitsee strategiansa siten, että pelaaja I minimoi strategiansa.

Löydämme taatun voiton, joka määräytyy pelin alhaisemmalla hinnalla a = max (a i) = 2, mikä osoittaa puhtaan strategian maksimimäärän A 1.
Pelin ylempi hinta on b = min (bj) = 7. Tämä osoittaa satulapisteen puuttumisen, koska a ≠ b, niin pelin hinta on välillä 2 ≤ y ≤ 7. Etsi ratkaisu pelin sekoitettuja strategioita. Tämä selittyy sillä, että pelaajat eivät voi julistaa puhtaita strategioitaan viholliselle: heidän tulee piilottaa toimintansa. Peli voidaan ratkaista antamalla pelaajien valita strategiansa satunnaisesti(sekoita puhtaita strategioita).

2. Maksumatriisin tarkistaminen hallitsevien rivien ja hallitsevien sarakkeiden varalta.
Maksumatriisissa ei ole hallitsevia rivejä ja hallitsevia sarakkeita.

3. Etsi ratkaisu peliin yhdistetyillä strategioilla.
Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä muistiin.
Pelaajalle I
4p 1 + 7p 2 + 2p 3 = v
7p 1 + 3p 2 + p 3 = v
2p 1 + 2p 2 + 8p 3 = v
p 1 + p 2 + p 3 = 1

Pelaajalle II
4q 1 + 7q 2 + 2q 3 = y
7q 1 + 3q 2 + 2q 3 = y
2q 1 + q 2 + 8q 3 = y
q 1 + q 2 + q 3 = 1

Ratkaisemalla nämä järjestelmät Gaussin menetelmällä löydämme:

y = 4 1/34
p 1 = 29/68 (1. strategian soveltamisen todennäköisyys).
p 2 = 4/17 (todennäköisyys soveltaa 2. strategiaa).
p 3 = 23/68 (todennäköisyys käyttää 3. strategiaa).

Pelaajan I optimaalinen sekoitettu strategia: P = (29/68; 4/17; 23/68)
q 1 = 6/17 (1. strategian soveltamisen todennäköisyys).
q 2 = 9/34 (todennäköisyys soveltaa 2. strategiaa).
q 3 = 13/34 (todennäköisyys käyttää 3. strategiaa).

Pelaajan II optimaalinen sekoitettu strategia: Q = (6/17; 9/34; 13/34)
Pelin hinta: y = 4 1/34

Jos pelissä ei ole satulapistettä, syntyy vaikeuksia määrittää pelin arvo ja pelaajien optimaaliset strategiat. Harkitse esimerkiksi peliä:

Tässä pelissä ja. Näin ollen ensimmäinen pelaaja voi taata itselleen voiton, joka on yhtä suuri kuin 4, ja toinen voi rajoittaa tappiotaan 5:llä. Alue ja välillä on ikään kuin tasapeli ja jokainen pelaaja voi yrittää parantaa tulostaan ​​tämän alueen kustannuksella. . Millaiset sitten pitäisi olla pelaajien optimaaliset strategiat?

Jos jokainen pelaajista soveltaa tähdellä merkittyä strategiaa, ensimmäisen pelaajan voitto ja toisen tappio on 5. Tämä on epäedullista toiselle pelaajalle, koska ensimmäinen voittaa enemmän kuin hän voi taata. hän itse. Jos toinen pelaaja kuitenkin paljastaa jollain tavalla ensimmäisen pelaajan aikomuksen aikomuksesta käyttää strategiaa, hän voi soveltaa strategiaa ja pienentää ensimmäisen voiton neljään. Totta, jos ensimmäinen pelaaja paljastaa aikomuksen toinen käyttää strategiaa, sitten strategiaa käyttämällä hän kasvattaa voittonsa 6:een. Näin ollen syntyy tilanne, jossa jokaisen pelaajan on salattava strategia, jota hän aikoo käyttää. Kuitenkin, miten teet tämän? Loppujen lopuksi, jos peliä pelataan monta kertaa ja toinen pelaaja soveltaa strategiaa koko ajan, ensimmäinen pelaaja saa pian selville toisen tarkoituksen ja strategiaa soveltaessaan saa lisävoiton. On selvää, että toisen pelaajan on vaihdettava strategiaa jokaisessa uudessa pelissä, mutta hänen on tehtävä tämä siten, että ensimmäinen ei arvaa, mitä strategiaa hän käyttää kussakin tapauksessa.

Satunnaisvalintamekanismissa pelaajien voitot ja tappiot ovat satunnaismuuttujia... Pelin tulos voidaan tässä tapauksessa arvioida toisen pelaajan keskimääräisellä tappiolla. Palataanpa esimerkkiin. Joten, jos toinen pelaaja käyttää strategiaa ja satunnaisesti 0,5 todennäköisyydellä; 0,5, silloin ensimmäisen pelaajan strategialla hänen tappionsa keskiarvo on:

ja ensimmäisen pelaajan strategialla

Siksi toinen pelaaja voi rajoittaa keskimääräisen tappionsa 4,5:een riippumatta ensimmäisen pelaajan käyttämästä strategiasta.

Näin ollen useissa tapauksissa on suositeltavaa olla hahmottelematta strategiaa etukäteen, vaan valita yksi tai toinen satunnaisesti käyttämällä jotakin satunnaisen valinnan mekanismia. Satunnaisvalintaan perustuvaa strategiaa kutsutaan ns sekoitettu strategia, toisin kuin kuvatut strategiat, joita kutsutaan ns puhtaat strategiat.

Annetaan tiukempi määritelmä puhtaille ja sekoitetuille strategioille.

Olkoon peli ilman satulanpäätä:

Merkitään ensimmäisen pelaajan puhtaan strategian käyttötiheyttä kautta, (i:nnen strategian käyttötodennäköisyys). Vastaavasti merkitsemme toisen pelaajan puhtaan strategian käyttötiheyttä arvolla (j:nnen strategian käytön todennäköisyys). Satulapistepelissä on puhdas strategiaratkaisu. Satulapistepeliin on ratkaisu sekastrategioissa, eli silloin, kun strategian valinta perustuu todennäköisyyksiin. Sitten

Paljon puhtaita ensimmäisen pelaajan strategioita;

Monet ensimmäisen pelaajan sekastrategiat;

Paljon puhtaita toisen pelaajan strategioita;

Paljon sekalaisia ​​toisen pelaajan strategioita.

Harkitse esimerkkiä: pelataan peliä

Toinen pelaaja valitsee todennäköisyyden ... Arvioikaamme toisen pelaajan keskimääräinen tappio, kun hän soveltaa strategioita ja vastaavasti.

Tee ero puhtaiden ja sekoitettujen strategioiden välillä. Puhdas strategia
ensimmäinen pelaaja (puhdas strategia
toinen pelaaja) on ensimmäisen (toisen) pelaajan mahdollinen siirto, jonka hän valitsee todennäköisyydellä 1.

Jos ensimmäisellä pelaajalla on m strategiaa ja toisella n strategiaa, niin minkä tahansa ensimmäisen ja toisen pelaajan strategiaparin kohdalla puhtaat strategiat voidaan esittää yksikkövektoreina. Esimerkiksi parille strategialle
,
ensimmäisen ja toisen pelaajan puhtaat strategiat kirjoitetaan seuraavasti:
,
... Parille strategialle ,puhtaat strategiat voidaan kirjoittaa seuraavasti:

,

.

Lause: Matriisipelissä alempi nettopelihinta ei ylitä ylempää nettopelihintaa, ts.
.

Määritelmä: Jos puhutaan puhtaista strategioista ,pelaajat A ja B, vastaavasti, tasa-arvo
, sitten pari puhdasta strategiaa ( ,) kutsutaan matriisipelin satulapisteeksi, elementiksi i:nnen rivin ja j:nnen sarakkeen leikkauskohdassa oleva matriisi on maksumatriisin satulaelementti ja numero
- pelin puhdas hinta.

Esimerkki: Etsi alempi ja ylempi nettohinta, määritä matriisipelin satulapisteiden esiintyminen

.

Määritetään pelin alempi ja ylempi nettohinta:,,
.

Tässä tapauksessa meillä on yksi satulapiste (A 1; B 2), ja satulaelementti on 5. Tämä elementti on pienin 1. rivillä ja suurin 2. sarakkeessa. Pelaajan A poikkeama A1:n maksimistrategiasta johtaa hänen voittonsa pienenemiseen, ja pelaajan B poikkeama B 2:n minimax-strategiasta johtaa hänen tappionsa lisääntymiseen. Toisin sanoen, jos matriisipelissä on satulaelementti, paras strategia pelaajille on heidän minimax-strategiansa. Ja nämä puhtaat strategiat, jotka muodostavat satulapisteen ja valitsevat satulaelementin a 12 = 5 pelimatriisissa, ovat optimaalisia puhtaita strategioita ja pelaajat A ja B.

Jos matriisipelissä ei ole satulan kärkeä, pelin ratkaisu tulee vaikeaksi. Näissä peleissä
... Minimax-strategioiden käyttö tällaisissa peleissä johtaa siihen, että jokaisen pelaajan voitto ei ylitä , eikä tappio ole pienempi ... Jokaiselle pelaajalle herää kysymys voittojen kasvattamisesta (tappion pienentämisestä). Ratkaisu löydetään käyttämällä sekastrategioita.

Määritelmä: Ensimmäisen (toisen) pelaajan sekoitettu strategia on vektori
, missä
ja
(
, missä
ja
).

Vektori p(q) ilmaisee todennäköisyyttä, että ensimmäinen pelaaja soveltaa i:nnettä puhdasta strategiaa (toisen pelaajan j:nnettä puhdasta strategiaa).

Koska pelaajat valitsevat puhtaat strategiansa satunnaisesti ja toisistaan ​​riippumatta, peli on luonteeltaan satunnainen ja voiton (tappion) määrä muuttuu satunnaiseksi. Tässä tapauksessa keskimääräinen voitto (tappio) - matemaattinen odotus - on sekastrategioiden p, q funktio:

.

Määritelmä: Funktiota f (p, q) kutsutaan pelin voittofunktioksi matriisilla
.

Määritelmä: strategia
,
kutsutaan optimaaliseksi mielivaltaisille strategioille
,
ehto täyttyy

Optimaalisten sekastrategioiden käyttö pelissä tarjoaa ensimmäiselle pelaajalle voittoa, joka ei ole pienempi kuin silloin, kun hän käyttää mitä tahansa muuta strategiaa p; toisella pelaajalla on tappio, ei enempää kuin jos hän käyttää mitä tahansa muuta strategiaa q.

Optimaalisten strategioiden ja pelihintojen yhdistelmä muodostaa peliratkaisun.