अभिव्यक्ति को सरल बनाना सी. अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

§ 1 शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बनाने की अवधारणा

इस पाठ में, हम "समान पदों" की अवधारणा से परिचित होंगे और उदाहरणों का उपयोग करके, हम सीखेंगे कि समान पदों को कैसे छोटा किया जाए, जिससे सरलीकरण हो सके शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ.

आइए "सरलीकरण" की अवधारणा का अर्थ जानें। "सरलीकरण" शब्द की उत्पत्ति "सरलीकरण" शब्द से हुई है। सरलीकरण का अर्थ है सरल, सरल बनाना। इसलिए, किसी अक्षर अभिव्यक्ति को सरल बनाने का अर्थ उसे न्यूनतम क्रियाओं के साथ छोटा बनाना है।

अभिव्यक्ति 9x + 4x पर विचार करें। यह एक शाब्दिक अभिव्यक्ति है जो योग है। यहां शब्द एक संख्या और एक अक्षर के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। ऐसे पदों के संख्यात्मक गुणनखंड को गुणांक कहा जाता है। इस अभिव्यक्ति में, गुणांक संख्या 9 और 4 होंगे। कृपया ध्यान दें कि अक्षर द्वारा दर्शाया गया कारक इस योग के दोनों शब्दों में समान है।

आइए हम गुणन के वितरण नियम को याद करें:

किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को उस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी उत्पादों को जोड़ सकते हैं।

में सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा गया है: (ए + बी) ∙ सी = एसी + बीसी।

यह नियम ac + bc = (a + b) ∙ c दोनों दिशाओं में सत्य है

आइए इसे अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति पर लागू करें: 9x और 4x के उत्पादों का योग उस उत्पाद के बराबर है जिसका पहला कारक है योग के बराबर 9 और 4, दूसरा गुणनखंड x है।

9 + 4 = 13, यानी 13x।

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

व्यंजक में तीन क्रियाओं के स्थान पर केवल एक ही क्रिया बची है - गुणन। इसका मतलब है कि हमने अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है, यानी। इसे सरल बनाया.

§ 2 समान पदों की कमी

पद 9x और 4x केवल उनके गुणांकों में भिन्न हैं - ऐसे पद समरूप कहलाते हैं। समान पदों का अक्षर भाग एक समान होता है। समान पदों में संख्याएँ और समान पद भी शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 9a + 12 - 15 में समान पद संख्या 12 और -15 होंगे, और 12 और 6a के गुणनफल के योग में, संख्या 14 और 12 और 6a का गुणनफल (12 ∙ 6a + 14) होगा + 12 ∙ 6ए) 12 और 6ए के गुणनफल द्वारा दर्शाए गए समान पद।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वे पद जिनके गुणांक समान हैं, लेकिन जिनके अक्षर कारक भिन्न हैं, समान नहीं हैं, हालांकि कभी-कभी गुणन के वितरण नियम को लागू करना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, उत्पादों का योग 5x और 5y है संख्या 5 के गुणनफल और x और y के योग के बराबर

5x + 5y = 5(x + y).

आइए व्यंजक -9a + 15a - 4 + 10 को सरल बनाएं।

इस मामले में समान पद -9ए और 15ए हैं, क्योंकि वे केवल अपने गुणांक में भिन्न हैं। उनका अक्षर गुणक समान है, और पद -4 और 10 भी समान हैं, क्योंकि वे संख्याएँ हैं। समान शब्द जोड़ें:

9ए + 15ए - 4 + 10

9ए + 15ए = 6ए;

हमें मिलता है: 6a + 6.

व्यंजक को सरल बनाकर हमने समान पदों का योग ज्ञात किया; गणित में इसे समान पदों का न्यूनीकरण कहते हैं।

यदि ऐसे शब्दों को जोड़ना कठिन है, तो आप उनके लिए शब्द बना सकते हैं और वस्तुएँ जोड़ सकते हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:

प्रत्येक अक्षर के लिए हम अपना स्वयं का ऑब्जेक्ट लेते हैं: बी-सेब, सी-नाशपाती, फिर हमें मिलता है: 2 सेब शून्य से 5 नाशपाती प्लस 8 नाशपाती।

क्या हम सेब से नाशपाती घटा सकते हैं? बिल्कुल नहीं। लेकिन हम माइनस 5 नाशपाती में 8 नाशपाती जोड़ सकते हैं।

आइए हम समान पद -5 नाशपाती + 8 नाशपाती प्रस्तुत करें। समान शब्दों का अक्षर भाग समान होता है, इसलिए समान पद लाते समय गुणांक जोड़ने और परिणाम में अक्षर भाग जोड़ने के लिए पर्याप्त है:

(-5 + 8) नाशपाती - आपको 3 नाशपाती मिलती हैं।

अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति पर लौटते हुए, हमारे पास -5 s + 8 s = 3 s है। इस प्रकार, समान पदों को लाने के बाद, हमें अभिव्यक्ति 2b + 3c प्राप्त होती है।

तो, इस पाठ में आप "समान शब्दों" की अवधारणा से परिचित हुए और सीखा कि समान शब्दों को कम करके अक्षर अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जाए।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

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प्रयुक्त छवियाँ:

कोई भी भाषा समान जानकारी व्यक्त कर सकती है अलग-अलग शब्दों मेंऔर क्रांतियाँ. गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है. लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को समान रूप से अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल होती है। इस पाठ में हम भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग संवाद करते हैं विभिन्न भाषाएं. हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" जोड़ी है। एक ही जानकारी विभिन्न भाषाओं में संप्रेषित की जा सकती है। लेकिन इसके अलावा इसे एक ही भाषा में अलग-अलग तरह से उच्चारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पेट्या वास्या की दोस्त है", "वास्या पेट्या की दोस्त है", "पेट्या और वास्या दोस्त हैं"। अलग-अलग कहा, लेकिन बात एक ही है। इनमें से किसी भी वाक्यांश से हम समझ जाएंगे कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि हमारा क्या मतलब है हम बात कर रहे हैं. हालाँकि, हमें इस वाक्यांश की ध्वनि पसंद नहीं है। क्या हम इसे सरल नहीं बना सकते, वही बात नहीं कह सकते, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के"... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियाँ नहीं हैं? हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "मित्र" शब्द को "मित्र" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या मित्र हैं।" परिणामस्वरूप, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समकक्ष कथन से बदल दिया गया जो कहने में आसान और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बना दिया है. सरलीकरण का अर्थ है किसी बात को अधिक सरलता से कहना, लेकिन अर्थ को खोना या बिगाड़ना नहीं।

गणितीय भाषा में कहें तो लगभग यही बात होती है. एक ही बात को अलग-अलग तरीके से कहा, लिखा जा सकता है। किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समकक्ष अभिव्यक्तियाँ हैं, यानी जिनका मतलब एक ही है। और इस सारी विविधता में से, हमारी राय में, हमें सबसे सरल या हमारे भविष्य के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना होगा।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा.

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपनी अभिव्यक्तियों को सरल बना लिया है और सबसे छोटी समकक्ष अभिव्यक्ति ढूंढ ली है।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए, आपको हमेशा सब कुछ करने और एकल संख्या के रूप में समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता होती है।

आइए शाब्दिक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण देखें . जाहिर है, यह आसान होगा.

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय सभी संभव क्रियाएं करना आवश्यक है।

क्या किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी हमारे लिए समतुल्य लेकिन लंबी प्रविष्टि रखना अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: आपको एक संख्या में से एक संख्या घटानी होगी।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है:, तो गणना तात्कालिक होगी:।

यानी आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, अक्सर हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो बस "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये: .

समाधान

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें:।

2) आइए उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का रूप प्रारंभिक की तुलना में सरल है। हमने इसे सरल बनाया है.

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे समकक्ष (बराबर) से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

आपको आवश्यक समतुल्य अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ का क्रमविनिमेय गुण: पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

2. जोड़ का संयुक्त गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणा और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. संयोजन गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी उत्पाद को दूसरे कारक से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरणात्मक गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको इसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

समाधान

1) आइए कल्पना करें कैसे

2) आइए पहले कारक को बिट पदों के योग के रूप में कल्पना करें और गुणन करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे किया जाता है:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरणात्मक कानून का भी उपयोग किया जा सकता है विपरीत पक्ष: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

समाधान

1) सुविधा के लिए, आप वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं, इसे केवल विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें

रसोई और दालान के लिए लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - , दालान - . लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। प्रत्येक की लागत कितनी होगी? तीन प्रकारलिनोलियम? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या कथन के लिए चित्रण

समाधान

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई के लिए लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में रख दें और परिणामी उत्पादों को जोड़ दें।

प्रत्येक पद और परिणामी उत्पाद जोड़ें। यह नियम जोड़ के सापेक्ष गुणन के वितरण गुण को व्यक्त करता है। अक्षरों का प्रयोग करते हुए इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

(ए + बी)सी = एसी + बीसी

अभिव्यक्ति (9 - 5) 3 और 9 3 - 5 3 के अर्थ समान हैं, क्योंकि (9 - 5) 3 = 4 3 = 12 और 9 3 - 5 3 = 27 - 15 = 12।

अंतर को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप न्यूनतम और घटाव को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और पहले उत्पाद से दूसरे को घटा सकते हैं।

इस नियम को वितरणात्मक संपत्ति कहा जाता है गुणाघटाव के संबंध में.
अक्षरों का प्रयोग करते हुए इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

(ए - बी)सी = एसी - हो।

गुणन का वितरण गुण आपको 3 + la या 26x - 12x के रूप के व्यंजकों को सरल बनाने की अनुमति देता है।

हमारे पास है: + 7ए = (3 + 7)ए = 10ए के लिए।

आमतौर पर वे तुरंत लिखते हैं:

+ 7ए = 10ए के लिए (तीन ए और सात ए दस ए के बराबर है)।

26x - 12x = (26- 12)x = 14x.

आमतौर पर वे तुरंत लिखते हैं:

26x - 12x = 14x (26 x घटा 12 x 14 x के बराबर है)।

ए) 23ए + 37ए; ग) 48x + x; ई) 27आर - 17आर; जी) 32एल - एल;
बी) 4y + 26y; घ) 4-56 वर्ष पर; ई) 84बी - 80बी; ज) 1000k - k.

564. माना कि 1 किलो आटे की कीमत r है, और 1 किलो चीनी की कीमत r है। अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है:

ए) 9ए + 9बी; बी) 9(ए + बी); ग) 10बी - 10ए?

565. दोनों गाँवों के बीच की दूरी 18 किमी है। उनके पास से दो साइकिल सवार विपरीत दिशा में निकले। एक t किमी प्रति घंटे की यात्रा करता है, और दूसरा p किमी की यात्रा करता है। 4 घंटे बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी?

566. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) 38ए + 62ए पर ए = 238; 489;

बी) 375बी - 175बी पर बी = 48; 517.

567. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) 32x + 32y, यदि x = 4, y = 26;
बी) 11एम - 11एन, यदि एम = 308, एन = 208।

568. समीकरण हल करें:

ए) 4x + 4x = 424; ग) 9z -z = 500; ई) 4एल + 5एल + एल = 1200
बी) 15 वर्ष - 8 वर्ष = 714; घ) 10k - k = 702; ई) 6टी + 3टी +टी = 6400

569. अक्षर का मान ज्ञात कीजिए:

a) व्यंजक 7x, 4x से 51 बड़ा है;
बी) अभिव्यक्ति 6पी 23पी से कम है? 102 पर;
ग) 8ए और 3ए का योग 4466 है;
d) 25c और 5c के बीच का अंतर 6060 है।

570. वाक्य को समानता के रूप में लिखें और पता लगाएं कि यह समानता किस अक्षर मान के लिए सत्य है:

a) Zx और bx का योग 96 है;
बी) 11y और 2y के बीच का अंतर 99 है;
ग) Zz, z से 48 अधिक है;

d) 27m, 201 से 12 कम है;
ई) 8एन, 208 का आधा है;
ई) 380 10 रूबल से 19 गुना अधिक है।

571. चित्र 54 के आधार पर एक समीकरण बनाएं और उसे हल करें।

572. चित्र 55 में भुजाएँ क्या हैं यदि इसका परिमाप 240 सेमी है?

573. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

ए) + 17 + के लिए + 14;
बी) के + 35 4- 4 के + 26।

574. समीकरण हल करें:

ए) 3x 4- 7x + 18 = 178;
बी) 6y - 2y + 25 = 65;
ग) 7z + 62 - 13 = 130; "बीएक्स सेमी
घ) 21t - 4t - 17 = 17.

575. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

ए) 6 3 के; बी) 8 पी 21; ग) आर 14 17

576. समीकरण हल करें:

ए) 4 25 x = 800;
बी) 5 20 = 500 के लिए;

ग) 21 8 पी = 168;
डी) एम 3 33 = 990।

577. मेरे मन में एक संख्या है। यदि आप इसे 15 से बढ़ाते हैं और परिणाम को 8 से गुणा करते हैं, तो आपको 160 मिलता है। मेरे मन में कौन सी संख्या थी?

578. पुस्तक में एक कहानी और एक कहानी है, जो कुल मिलाकर 70 पृष्ठों की है। कहानी लघुकथा की तुलना में 4 गुना अधिक पृष्ठ लेती है। कितने पेज की है कहानी और कितने पेज की है कहानी?

समाधान। मान लीजिए कहानी x पृष्ठों की है, फिर कहानी 4x पृष्ठों की है। शर्त से कार्य, कहानी और कहानी मिलकर 70 पेज की हो जाती है। हमें समीकरण मिलता है: 4x + x = 70. इसलिए bx = 70, x = 70: 5, x = 14. इसका मतलब है कि कहानी में 14 पृष्ठ हैं, और कहानी में 56 पृष्ठ हैं (14 4 = 56)।

समीकरण के मूल की जाँच करना: 14 + 56 = 70।

579. आलू की फसल के दौरान, हमने प्रतिदिन 1650 किलोग्राम एकत्र किया। दोपहर के भोजन के बाद हमने दोपहर के भोजन से पहले की तुलना में 2 गुना कम एकत्र किया। दोपहर के भोजन के बाद आपने कितने आलू काटे?

580. स्कूल के लिए 220 टेबल और कुर्सियाँ खरीदी गईं, और टेबल की तुलना में 9 गुना अधिक कुर्सियाँ थीं। आपने कितनी मेजें और कितनी कुर्सियाँ खरीदीं?

581. रसोई का क्षेत्रफल कमरे के क्षेत्रफल से 3 गुना छोटा है, इसलिए रसोई के फर्श की मरम्मत के लिए कमरे की तुलना में 24 m2 कम लिनोलियम की आवश्यकता थी। रसोई क्षेत्र क्या है?

582. बिंदु M खंड AB को दो खंडों में विभाजित करता है: AM और MB। रेखा खंड AM खंड MB से 5 गुना लंबा है, और खंड MB खंड AM से 24 मिमी छोटा है। खंड AM की लंबाई, खंड MB की लंबाई और खंड AB की लंबाई ज्ञात करें।

583. पेय तैयार करने के लिए, 2 भाग चेरी सिरप और 5 भाग पानी लें। 700 ग्राम पेय प्राप्त करने के लिए आपको कितना सिरप लेने की आवश्यकता है?

समाधान। माना कि पेय के एक भाग का द्रव्यमान x g है। फिर सिरप का द्रव्यमान 2x g है, और पेय का द्रव्यमान (2x + bx) g है। समस्या की स्थितियों के अनुसार, पेय का द्रव्यमान 700 ग्राम है। हमें समीकरण प्राप्त होता है: 2x + bx = 700।

अत: 7x = 700, x = 700: 7 और x = 100, यानी एक भाग का द्रव्यमान 100 ग्राम है। इसलिए, आपको 200 ग्राम सिरप (100 2 = 200) और 500 ग्राम पानी (100) लेने की आवश्यकता है 5 = 500).

जांचें: 200 + 500 = 700.

584. राई पीसने पर 6 भाग आटा और 2 भाग चोकर प्राप्त होता है। यदि आप 1 टन राई पीसेंगे तो आपको कितना आटा मिलेगा?

585. तांबे के उत्पादों को चमकाने के लिए एक मिश्रण तैयार करने के लिए, 10 भाग पानी, 5 भाग अमोनिया और 2 भाग चाक (वजन के अनुसार) लें। 340 ग्राम रचना तैयार करने के लिए प्रत्येक पदार्थ का कितना ग्राम लेना होगा?

586. बोतल का गिलास तैयार करने के लिए 25 भाग रेत, 9 भाग सोडा और 5 भाग चूना (वजन के अनुसार) लें। 390 किलो का ग्लास बनाने के लिए कितने सोडा की आवश्यकता होगी?

587. आइसक्रीम में 7 भाग पानी, 2 भाग दूध वसा और 2 भाग चीनी (वजन के अनुसार) होती है। 4400 किलो आइसक्रीम बनाने के लिए कितनी चीनी की आवश्यकता होगी?

588. सड़क के एक तरफ दूसरी तरफ की तुलना में दोगुने घर हैं। जब सड़क पर 12 और घर बनाए गए, तो कुल 99 घर हो गए। सड़क के दोनों ओर कितने घर थे?

589. संख्यात्मक समानता 3-12 + 4- 12+ 15- 12 = 264 का उपयोग करके, एक समीकरण बनाएं जिसका मूल 12 हो और अक्षर x तीन बार हो। इस समीकरण का उपयोग करके एक समस्या बनाएँ।

590. मौखिक रूप से गणना करें:

591. अभिव्यक्ति का अर्थ सबसे सुविधाजनक तरीके से खोजें:

ए) 125 23 8; बी) 11 16 125; ग) 19 + 78 + 845 + 81 + 155।

592. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

ए) 45 = 45 + वाई सी) वाई - 45 = 45;
बी) 45 - वाई = 45; डी) 0 = 45 - एक्स।

593. समीकरण की जड़ों का अनुमान लगाएं:

ए) एक्स- 197 = 2945 - 197;
बी) वाई: 89 = 1068: 89;
ग) 365ए = 53,365।

594. समीकरण का उपयोग करके एक समस्या बताएं:

ए) +2ए = 75 के लिए;
बी) एस + एस + एस = 46 + एस;
सी) एम + 5एम = 90।

595. किन संख्याओं को जोड़ने पर परिणाम 0 हो सकता है? उन मामलों के बारे में सोचें जिनमें घटाते समय, गुणा करते समय, विभाजित करते समय आपको संख्या 0 मिलती है।

596. पाँच का योग प्राकृतिक संख्याइन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है। ये संख्याएँ क्या हैं?

597. साशा को कठिन समस्याओं को हल करना पसंद है। उन्होंने कहा कि 4 दिनों में वह 23 समस्याओं का समाधान करने में सफल रहे. प्रत्येक अगले दिन उसने पिछले दिन की तुलना में अधिक समस्याएं हल कीं, और चौथे दिन उसने पहले दिन की तुलना में चार गुना अधिक समस्याएं हल कीं। इन चार दिनों में से प्रत्येक दिन साशा ने कितनी समस्याओं का समाधान किया?

598. तिजोरी खोलने का कोड चार अंकों का होता है। कितने मौजूद हैं विभिन्न विकल्पइस तिजोरी के लिए कोड?

599. शेषफल के साथ विभाजन करें:

978: 13; 780: 24; 4295: 126.

600. यदि अपूर्ण भागफल 25, भाजक 8, शेषफल 5 हो तो लाभांश ज्ञात कीजिए।

601. समीकरण हल करें:

ए) एक्स: 16 = 324 + 284;
बी) 1344: वाई = 543 - 487;
ग) z 49 = 927 + 935;
घ) (3724 + पी): 54 = 69;
ई) 992: (130- के) = 8;
ई) (148- मीटर) 31 = 1581.

602. चित्र 56 का उपयोग करके, एक समीकरण बनाएं और प्रत्येक रोटी का द्रव्यमान ज्ञात करें। (वजन का द्रव्यमान किलोग्राम में दिया गया है।)

603. चित्र 57 का उपयोग करके, खंड BC की लंबाई ज्ञात करें यदि AD = 40 सेमी है।

604. त्रिभुज ABC का परिमाप 64 सेमी है, भुजा AB भुजा AC से 7 सेमी कम है, लेकिन अधिक पक्ष BC से 12 सेमी. त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

605. शूटिंग प्रतियोगिता में 12 लोगों ने हिस्सा लिया. यदि प्रत्येक प्रतिभागी को 30 कारतूसों के 8 बक्सों की आवश्यकता थी, तो प्रत्येक प्रतिभागी को कितने कारतूस प्राप्त हुए?

606. तीन हार्वेस्टरों ने 240 किलोग्राम औषधीय जड़ी-बूटियाँ एकत्र कीं। पहले ने 87 किग्रा, और पहले और दूसरे ने मिलकर - 174 किग्रा एकत्र किया। दूसरे हार्वेस्टर ने कितनी किलोग्राम औषधीय जड़ी-बूटियाँ एकत्र कीं और तीसरे ने कितनी?

607. समस्या का समाधान करें:

1) साइकिल चालक एक निश्चित गति से 2 घंटे तक चला। 4 किमी और चलने के बाद उसकी दूरी 30 किमी हो जाएगी। साइकिल चालक कितनी तेजी से यात्रा कर रहा था?

2) मोटरसाइकिल चालक एक निश्चित गति से 3 घंटे तक चला। यदि वह 12 किमी और यात्रा करता है, तो उसकी दूरी 132 किमी हो जाएगी। मोटरसाइकिल चालक कितनी तेजी से जा रहा था?

3) एक थैले में 20 किलो अनाज है. 3 किलो के कई बैग अनाज से भर जाने के बाद, बैग में 5 किलो अनाज बचा था। कितने बैग अनाज से भरे थे?

4) कैन में 39 लीटर दूध है। दो-दो लीटर के कई डिब्बे दूध से भर जाने के बाद, डिब्बे में 7 लीटर बचे थे। आपने कितने जार भरे?

608. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) 47 040: 14:7: 32; 3) 46 9520: 68: 7;
2) 101 376: 48: 24: 8; 4) 319 488: 96: 64 23.

609. गुणन का वितरण गुण लागू करें:

ए) 11 (60 + ए); ग) (x - 9) 24;
बी) 21 (38 - बी); डी) (वाई + 4) 38.

610. गुणन के वितरण गुण को लागू करके अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें:

ए) (250 + 25) 4; ग) 8 11 + 8 29;
बी) 6 (150 + 16); घ) 36,184 + 36,816।

611. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) (30 - 2) 5; ग) 85 137 - 75 137;
बी) 7 (60 - 2); घ) 78,214 - 78,204।

612. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये:

ए) 4ए + 90ए; बी) 86बी - 77बी; ग) 209 मी + मी; डी) 302एन - एन।

613. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) 24ए + 47ए + 53ए + 76ए, यदि ए = 47;
बी) 128आर - 72आर - 28आर, यदि पी = 11.

614. समीकरण हल करें:

ए) 14x + 27x = 656; ग) 49z - z = 384;
बी) 81यू - 38यू = 645; घ) 102k - 4k = 1960।

615. z के किस मान पर 5z और 15z का योग 840 के बराबर होता है?

616. एक मीटर रेल का द्रव्यमान 32 किलोग्राम है। सिंगल-ट्रैक बनाने के लिए आवश्यक सभी रेलों के परिवहन के लिए 60 टन की वहन क्षमता वाली कितनी रेलवे कारों की आवश्यकता होगी रेलवे 180 किमी लम्बा?

617. एक कैन में 36 लीटर दूध है. जब उसमें से 4 लीटर दूध दूसरे डिब्बे में डाला गया तो दोनों डिब्बे में दूध बराबर हो गया। दूसरे डिब्बे में कितने लीटर दूध था?

618. दो जेबों में 28 नट थे, और बायीं जेब में दायीं जेब से 3 गुना अधिक थे। प्रत्येक जेब में कितने मेवे थे?

619. जिम का क्षेत्रफल 6 गुना है अधिक क्षेत्रफलकक्षा. हॉल का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह कक्षा के क्षेत्रफल से 250 वर्ग मीटर बड़ा है।

620. स्टॉक में केवल 88 लीटर जूस है; तीन लीटर के डिब्बे संतरे का रसपाँच लीटर के डिब्बे जितना सेब का रस. कितने लीटर संतरे का जूस स्टॉक में है?

621. कैसिइन गोंद बनाने के लिए 11 भाग पानी, 5 भाग अमोनिया और 4 भाग कैसिइन (वजन के अनुसार) लें। यदि पानी की तुलना में 60 ग्राम कम अमोनिया का उपयोग किया जाए तो कितना कैसिइन गोंद उत्पन्न होगा?

622. चेरी जैम बनाने के लिए 2 भाग चेरी और 3 भाग चीनी (वजन के अनुसार) लें। जैम के लिए कितनी चेरी और कितनी चीनी का उपयोग किया गया, यदि चेरी की तुलना में 7 किलो 600 ग्राम अधिक चीनी का उपयोग किया गया?

623. दो सेब के पेड़ों से 67 किलोग्राम सेब एकत्र किए गए, और एक सेब के पेड़ से दूसरे की तुलना में 19 किलोग्राम अधिक एकत्र किए गए। प्रत्येक सेब के पेड़ से कितने किलोग्राम सेब एकत्र किये गये?

624. इनक्यूबेटर में पाली गई 523 मुर्गियों में से मुर्गियों की तुलना में 25 कम कॉकरेल थे। इनक्यूबेटर में कितनी मुर्गियाँ और कितने मुर्गियाँ पैदा हुईं?

एक बीजीय व्यंजक जिसमें जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ अक्षर व्यंजकों में विभाजन का भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजक कहलाता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

हम एक बीजगणितीय अंश को एक बीजीय अभिव्यक्ति कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजीय अभिव्यक्तियों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं

भावों का तीसरा भाग)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनों का उद्देश्य अधिकतर उन्हें बीजगणितीय भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होता है। उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन का उपयोग किया जाता है - उनके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए पदों का। बीजगणितीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: उन मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिन पर कारक जिसके द्वारा कमी की जाती है वह शून्य हो जाता है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समान परिवर्तनों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिह्न और उसके सामने के चिह्न को बदलना सुविधाजनक है):

हमारी अभिव्यक्ति इन मानों को छोड़कर सभी मानों के लिए एक के बराबर है; यह अपरिभाषित है और अंश को कम करना अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजगणितीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

समाधान। अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. निर्दिष्ट पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के मान ज्ञात करें:

2. गुणनखंड करना।

यह ज्ञात है कि गणित में अभिव्यक्तियों को सरल किए बिना कोई रास्ता नहीं है। यह विभिन्न प्रकार की समस्याओं के साथ-साथ विभिन्न प्रकार के समीकरणों को सही ढंग से और शीघ्रता से हल करने के लिए आवश्यक है। यहां चर्चा किए गए सरलीकरण से तात्पर्य किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए आवश्यक कार्यों की संख्या में कमी से है। परिणामस्वरूप, गणनाएँ काफ़ी सरल हो जाती हैं और समय की काफ़ी बचत होती है। लेकिन अभिव्यक्ति को सरल कैसे बनाया जाए? इसके लिए, स्थापित गणितीय संबंधों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें अक्सर सूत्र या कानून कहा जाता है, जो अभिव्यक्तियों को बहुत छोटा करने की अनुमति देता है, जिससे गणना सरल हो जाती है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि आज ऑनलाइन अभिव्यक्ति को सरल बनाना कठिन नहीं है। यहां कुछ सर्वाधिक लोकप्रिय लिंक दिए गए हैं:

हालाँकि, यह हर अभिव्यक्ति के साथ संभव नहीं है। इसलिए, आइए अधिक पारंपरिक तरीकों पर करीब से नज़र डालें।

उभयनिष्ठ भाजक को बाहर निकालना

ऐसे मामले में जब एक अभिव्यक्ति में ऐसे एकपदी होते हैं जिनके गुणनखंड समान होते हैं, तो आप उनके गुणांकों का योग ज्ञात कर सकते हैं और फिर उनके लिए सामान्य गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं। इस ऑपरेशन को "सामान्य भाजक को हटाना" भी कहा जाता है। लगातार प्रयोग कर रहे हैं यह विधि, कभी-कभी आप अभिव्यक्ति को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं। आख़िरकार, समग्र रूप से बीजगणित, कारकों और विभाजकों को समूहीकृत करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर बनाया गया है।

संक्षिप्त गुणन के लिए सबसे सरल सूत्र

पहले वर्णित विधि के परिणामों में से एक संक्षिप्त गुणन सूत्र है। इनका अधिक प्रयोग करके भावों को सरल कैसे बनाया जाए उतना ही साफ़, जिसने इन सूत्रों को कंठस्थ भी नहीं किया है, लेकिन जानता है कि ये कैसे व्युत्पन्न होते हैं, यानी कहां से आते हैं, और, तदनुसार, उनकी गणितीय प्रकृति। सिद्धांत रूप में, पिछला कथन पहली कक्षा से लेकर यांत्रिक और गणितीय संकायों के उच्च पाठ्यक्रमों तक सभी आधुनिक गणित में मान्य है। वर्गों का अंतर, अंतर और योग का वर्ग, घनों का योग और अंतर - ये सभी सूत्र व्यापक रूप से प्राथमिक, साथ ही साथ उपयोग किए जाते हैं उच्च गणितऐसे मामलों में जहां समस्याओं को हल करने के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है। ऐसे परिवर्तनों के उदाहरण आसानी से किसी में भी पाए जा सकते हैं स्कूल की पाठ्यपुस्तकबीजगणित में, या, और भी सरल रूप से, वर्ल्ड वाइड वेब की विशालता पर।

डिग्री जड़ें

प्रारंभिक गणित, यदि आप इसे समग्र रूप से देखें, तो किसी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के कई तरीके नहीं हैं। एक नियम के रूप में, अधिकांश छात्रों के लिए डिग्री और उनके साथ संचालन अपेक्षाकृत आसान होता है। लेकिन कई आधुनिक स्कूली बच्चों और छात्रों को तब काफी कठिनाइयाँ होती हैं जब किसी अभिव्यक्ति को जड़ों से सरल बनाना आवश्यक होता है। और ये पूरी तरह से निराधार है. क्योंकि जड़ों की गणितीय प्रकृति समान डिग्री की प्रकृति से भिन्न नहीं होती है, जिसके साथ, एक नियम के रूप में, बहुत कम कठिनाइयाँ होती हैं। ह ज्ञात है कि वर्गमूलकिसी संख्या, चर या अभिव्यक्ति का घात एक-आधे की समान संख्या, चर या अभिव्यक्ति से अधिक कुछ नहीं है, घनमूल एक-तिहाई की घात के समान है, और इसी तरह पत्राचार के अनुसार।

भिन्नों के साथ व्यंजकों को सरल बनाना

आइए भिन्नों के साथ किसी व्यंजक को सरल बनाने का एक सामान्य उदाहरण भी देखें। ऐसे मामलों में जहां अभिव्यक्तियाँ हैं प्राकृतिक अंश, आपको हर और अंश से उभयनिष्ठ गुणनखंड को अलग करना चाहिए, और फिर उससे भिन्न को कम करना चाहिए। जब एकपदी में घातों तक बढ़ाए गए समान गुणनखंड होते हैं, तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक होता है कि उनका योग करते समय घातें समान हों।

बुनियादी त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना

कुछ लोगों के लिए जो बात सबसे खास है वह है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने के तरीके के बारे में बातचीत। त्रिकोणमिति की सबसे व्यापक शाखा शायद पहला चरण है जिस पर गणित के छात्रों को कुछ अमूर्त अवधारणाओं, समस्याओं और उन्हें हल करने के तरीकों का सामना करना पड़ेगा। यहां संगत सूत्र हैं, जिनमें से पहला मूल त्रिकोणमितीय पहचान है। पर्याप्त गणितीय दिमाग होने पर, आप सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानों और सूत्रों की इस पहचान से व्यवस्थित व्युत्पत्ति का पता लगा सकते हैं, जिसमें अंतर सूत्र और तर्कों का योग, डबल, ट्रिपल तर्क, कटौती सूत्र और कई अन्य शामिल हैं। बेशक, किसी को यहां सबसे पहले तरीकों को नहीं भूलना चाहिए, जैसे कि एक सामान्य कारक जोड़ना, जो पूरी तरह से नए तरीकों और सूत्रों के साथ उपयोग किया जाता है।

संक्षेप में, हम पाठक को कुछ सामान्य सलाह प्रदान करेंगे:

• बहुपदों को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात, उन्हें एक निश्चित संख्या में कारकों - एकपदी और बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। यदि ऐसी संभावना मौजूद है, तो सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना आवश्यक है।
• बिना किसी अपवाद के सभी संक्षिप्त गुणन सूत्रों को याद रखना बेहतर है। उनमें से बहुत सारे नहीं हैं, लेकिन वे गणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने का आधार हैं। हमें त्रिपदों में पूर्ण वर्गों को अलग करने की विधि के बारे में भी नहीं भूलना चाहिए, जो संक्षिप्त गुणन सूत्रों में से एक की विपरीत क्रिया है।
• अभिव्यक्ति में मौजूद सभी भिन्नों को जितनी बार संभव हो कम किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह मत भूलिए कि केवल गुणक ही कम होते हैं। जब बीजगणितीय भिन्नों के हर और अंश को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, जो शून्य से भिन्न होती है, तो भिन्नों के अर्थ नहीं बदलते हैं।
• सामान्य तौर पर, सभी अभिव्यक्तियों को क्रियाओं द्वारा, या एक श्रृंखला में रूपांतरित किया जा सकता है। पहली विधि अधिक बेहतर है, क्योंकि मध्यवर्ती क्रियाओं के परिणामों को सत्यापित करना आसान होता है।
• अक्सर में गणितीय अभिव्यक्तियाँतुम्हें जड़ें निकालनी होंगी. यह याद रखना चाहिए कि सम घातों की जड़ें केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या या अभिव्यक्ति से निकाली जा सकती हैं, और विषम घातों की जड़ें बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति या संख्या से निकाली जा सकती हैं।

हमें उम्मीद है कि हमारा लेख भविष्य में आपको गणितीय सूत्रों को समझने और उन्हें व्यवहार में लागू करने का तरीका सिखाने में मदद करेगा।