खंड करना बड़ी संख्या- कोई आसान काम नहीं.अधिकांश लोगों को चार या पाँच अंकीय संख्याओं का पता लगाने में परेशानी होती है। प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए, दो कॉलमों के ऊपर संख्या लिखें।

• आइए संख्या 6552 का गुणनखंड करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
एक द्विपद का वर्ग करना और उसका गुणनखंड करना द्विघात त्रिपद.

वे। समस्याएँ संख्याओं \(p, q\) और \(n, m\) को खोजने तक सीमित हो जाती हैं

प्रोग्राम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है माध्यमिक स्कूलोंतैयारी के लिए परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप द्विघात त्रिपद दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

द्विघात बहुपद दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।

संख्याओं को पूर्ण या आंशिक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में, भिन्नात्मक भाग को पूर्ण भाग से या तो एक अवधि या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैं दशमलवइस तरह: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

एक अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

उदाहरण विस्तृत समाधान

एक द्विपद का वर्ग अलग करना.$$ ax^2+bx+c \दायां तीर a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडीकरण।$$ ax^2+bx+c \दायां तीर a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं(x^2+x-2 \दाएं) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \दाएं) = $$ $$ 2 \बाएं(x -1 \दाएं) \बाएं(x +2 \दाएं) $$ उत्तर:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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भूलना नहीं बताएं कि कौन सा कार्य हैआप तय करें क्या फ़ील्ड में प्रवेश करें.

हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

एक द्विपद के वर्ग को एक वर्ग त्रिपद से अलग करना

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+p) 2 +q के रूप में दर्शाया जाता है, जहां p और q वास्तविक संख्याएं हैं, तो हम कहते हैं कि से वर्ग त्रिपद, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

त्रिपद 2x 2 +12x+14 से हम द्विपद का वर्ग निकालते हैं।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ऐसा करने के लिए, 2*3*x के गुणनफल के रूप में 6x की कल्पना करें, और फिर 3 2 जोड़ें और घटाएँ। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

वह। हम वर्ग त्रिपद से वर्ग द्विपद निकालें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो कहा जाता है कि ऑपरेशन निष्पादित हो गया है द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन.

आइये एक उदाहरण से दिखाते हैं कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

आइए द्विघात त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए गुणांक को कोष्ठक से बाहर निकालें, अर्थात्। 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए अभिव्यक्ति को कोष्ठक में रूपांतरित करें।
ऐसा करने के लिए, 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1*3 के रूप में कल्पना करें। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

वह। हम द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन किया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब, द्विघात समीकरण, इस त्रिपद के अनुरूप जड़ें हैं।
वे। हमारे मामले में, यदि द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल हैं तो त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है। गुणनखंडन की प्रक्रिया में, हमने स्थापित किया कि समीकरण 2x 2 + 4x-6 = 0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

फैक्टरिंग का क्या मतलब है? इसका मतलब उन संख्याओं को खोजना है जिनका गुणनफल मूल संख्या के बराबर है।

यह समझने के लिए कि कारक का क्या अर्थ है, आइए एक उदाहरण देखें।

किसी संख्या का गुणनखंडन करने का एक उदाहरण

संख्या 8 का गुणनखंड करें.

संख्या 8 को 2 बटा 4 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है:

8 को 2 * 4 के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करने का अर्थ है गुणनखंडन।

ध्यान दें कि यह 8 का एकमात्र गुणनखंडन नहीं है।

आख़िरकार, 4 का गुणनखंडन इस प्रकार किया जाता है:

यहां से 8 का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

आइए अपना उत्तर जांचें। आइए जानें कि गुणनखंडन किसके बराबर है:

यानी हमें असली नंबर मिल गया, जवाब सही है.

संख्या 24 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें

संख्या 24 को अभाज्य गुणनखंडों में कैसे विभाजित करें?

कोई संख्या अभाज्य कहलाती है यदि वह केवल एक और स्वयं से विभाज्य हो।

संख्या 8 को 3 बटा 8 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यहां संख्या 24 को गुणनखंडित किया गया है। लेकिन असाइनमेंट कहता है, "संख्या 24 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें," यानी। यह प्रमुख कारक हैं जिनकी आवश्यकता है। और हमारे विस्तार में, 3 एक अभाज्य कारक है, और 8 एक अभाज्य कारक नहीं है।

यह आलेख किसी शीट पर किसी संख्या का गुणनखंड करने के प्रश्न का उत्तर देता है। चलो गौर करते हैं सामान्य विचारउदाहरण सहित अपघटन के बारे में। आइए हम विस्तार के विहित रूप और उसके एल्गोरिदम का विश्लेषण करें। विभाज्यता चिह्नों और गुणन तालिकाओं का उपयोग करके सभी वैकल्पिक तरीकों पर विचार किया जाएगा।

Yandex.RTB R-A-339285-1

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

आइए अभाज्य कारकों की अवधारणा को देखें। यह ज्ञात है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एक अभाज्य संख्या है। प्रपत्र 2 · 7 · 7 · 23 के गुणनफल में हमारे पास 2, 7, 7, 23 के रूप में 4 अभाज्य गुणनखंड हैं।

गुणनखंडन में अभाज्य संख्याओं के उत्पादों के रूप में इसका प्रतिनिधित्व शामिल होता है। यदि हमें संख्या 30 को विघटित करने की आवश्यकता है, तो हमें 2, 3, 5 प्राप्त होते हैं। प्रविष्टि 30 = 2 · 3 · 5 का रूप लेगी। यह संभव है कि गुणकों को दोहराया जा सकता है। 144 जैसी संख्या में 144 = 2 2 2 2 3 3 है।

सभी संख्याएँ क्षयग्रस्त नहीं होतीं। वे संख्याएँ जो 1 से बड़ी हैं और पूर्णांक हैं, उन्हें गुणनखंडित किया जा सकता है। अभाज्य संख्याएँ, जब गुणनखंडित की जाती हैं, तो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं, इसलिए इन संख्याओं को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना असंभव है।

जब z पूर्णांकों को संदर्भित करता है, तो इसे a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ z को a और b से विभाजित किया जाता है। मिश्रित संख्याओं को अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके गुणनखंडित किया जाता है। यदि संख्या 1 से अधिक है, तो इसका गुणनखंड p 1, p 2, ..., p n है a = p 1 , p 2 , … , p n का रूप लेता है . अपघटन को एक ही प्रकार में माना जाता है।

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन

विस्तार के दौरान, कारकों को दोहराया जा सकता है। इन्हें डिग्रियों का उपयोग करके संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि, संख्या a को विघटित करते समय, हमारे पास एक गुणनखंड p 1 होता है, जो s 1 बार और इसी प्रकार p n - s n बार आता है। इस प्रकार विस्तार का रूप ले लेगा ए = पी 1 एस 1 · ए = पी 1 एस 1 · पी 2 एस 2 · … · पी एन एस एन. इस प्रविष्टि को किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन कहा जाता है।

संख्या 609840 का विस्तार करने पर हमें पता चलता है कि 609 840 = 2 2 2 2 3 3 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 होगा। विहित विस्तार का उपयोग करके, आप किसी संख्या के सभी विभाजक और उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

सही ढंग से गुणनखंड करने के लिए, आपको अभाज्य और भाज्य संख्याओं की समझ होनी चाहिए। मुद्दा यह है कि फॉर्म पी 1, पी 2, ..., पी एन के विभाजकों की अनुक्रमिक संख्या प्राप्त की जाए नंबर ए , ए 1 , ए 2 , … , ए एन - 1, इससे इसे प्राप्त करना संभव हो जाता है ए = पी 1 ए 1, जहां ए 1 = ए: पी 1 , ए = पी 1 · ए 1 = पी 1 · पी 2 · ए 2, जहां ए 2 = ए 1: पी 2 , … , ए = पी 1 · पी 2 · … · पी एन · ए एन , कहां ए एन = ए एन - 1: पी एन. प्राप्त होने पर ए एन = 1, फिर समानता ए = पी 1 · पी 2 · … · पी एनहम संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं। नोटिस जो पी 1 ≤ पी 2 ≤ पी 3 ≤ … ≤ पी एन.

कम से कम सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए, आपको अभाज्य संख्याओं की तालिका का उपयोग करना होगा। यह संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजने के उदाहरण का उपयोग करके किया जाता है। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 11 इत्यादि लेते समय, और संख्या z को उनसे विभाजित करते समय। चूँकि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे छोटा अभाज्य भाजक z से बड़ा नहीं होगा। यह देखा जा सकता है कि z का कोई भाजक नहीं है, तो यह स्पष्ट है कि z एक अभाज्य संख्या है।

उदाहरण 1

आइए संख्या 87 का उदाहरण देखें। जब इसे 2 से विभाजित किया जाता है, तो हमें 87: 2 = 43 प्राप्त होता है और शेषफल 1 होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि 2 विभाजक नहीं हो सकता; विभाजन पूर्णतः किया जाना चाहिए। 3 से विभाजित करने पर हमें 87: 3 = 29 प्राप्त होता है। अतः निष्कर्ष यह है कि 3 संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करते समय, आपको अभाज्य संख्याओं की एक तालिका का उपयोग करना चाहिए, जहाँ a. 95 का गुणनखंड करते समय, आपको लगभग 10 अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना चाहिए, और 846653 का गुणनखंड करते समय, लगभग 1000 का उपयोग करना चाहिए।

आइए प्रमुख कारकों में अपघटन एल्गोरिथ्म पर विचार करें:

• किसी संख्या के भाजक p 1 का सबसे छोटा गुणनखंड ज्ञात करना एसूत्र a 1 = a: p 1 के अनुसार, जब a 1 = 1 होता है, तो a एक अभाज्य संख्या होती है और इसे गुणनखंड में शामिल किया जाता है, जब 1 के बराबर नहीं होता है, तो a = p 1 · a 1 और नीचे दिए गए बिंदु का अनुसरण करें;
• किसी संख्या a 1 का अभाज्य भाजक p 2 ज्ञात करना a 2 = a 1: p 2 का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की क्रमिक गणना करके , जब ए 2 = 1 , तो विस्तार a = p 1 p 2 का रूप लेगा , जब ए 2 = 1, तो ए = पी 1 पी 2 ए 2 , और हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं;
• अभाज्य संख्याओं के माध्यम से खोजना और अभाज्य भाजक खोजना पी 3नंबर एक 2सूत्र के अनुसार a 3 = a 2: p 3 जब a 3 = 1 , तो हम पाते हैं कि a = p 1 p 2 p 3 , जब 1 के बराबर न हो, तो a = p 1 p 2 p 3 a 3 और अगले चरण पर आगे बढ़ें;
• प्रधान भाजक पाया जाता है पी एननंबर ए एन - 1अभाज्य संख्याओं की गणना करके पीएन-1, और ए एन = ए एन - 1: पी एन, जहां a n = 1, चरण अंतिम है, परिणामस्वरूप हमें यह मिलता है कि a = p 1 · p 2 · … · p n .

एल्गोरिथम का परिणाम एक तालिका के रूप में एक कॉलम में क्रमिक रूप से ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ विघटित कारकों के साथ लिखा जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

परिणामी एल्गोरिदम को संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके लागू किया जा सकता है।

अभाज्य कारकों में गुणनखंडन करते समय, मूल एल्गोरिदम का पालन किया जाना चाहिए।

उदाहरण 2

संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान

सबसे छोटे अभाज्य भाजक को खोजने के लिए, आपको 78 में सभी अभाज्य संख्याओं से गुजरना होगा। यानी 78: 2 = 39. बिना किसी शेषफल के विभाजन का अर्थ है कि यह पहला सरल भाजक है, जिसे हम p 1 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं कि a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. हम a = p 1 · a 1 के रूप की समानता पर पहुँचे , जहाँ 78 = 2 39. फिर 1 = 39, यानी हमें अगले चरण पर आगे बढ़ना चाहिए।

आइए अभाज्य भाजक खोजने पर ध्यान केंद्रित करें पी2नंबर ए 1 = 39. आपको अभाज्य संख्याओं, यानी 39: 2 = 19 (शेष 1) पर गौर करना चाहिए। चूँकि शेषफल 2 से भाग करने पर भाजक नहीं होता। संख्या 3 चुनने पर हमें वह 39:3 = 13 प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि p 2 = 3, 39 का a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 से सबसे छोटा अभाज्य विभाजक है। हमें स्वरूप की समानता प्राप्त होती है ए = पी 1 पी 2 ए 2 78 = 2 3 13 के रूप में। हमारा मानना ​​है कि 2 = 13, 1 के बराबर नहीं है, तो हमें आगे बढ़ना चाहिए।

संख्या a 2 = 13 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक 3 से शुरू करके संख्याओं के माध्यम से खोजने पर पाया जाता है। हमें वह 13: 3 = 4 (शेष 1) मिलता है। इससे हम देख सकते हैं कि 13, 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13: 5 = 2 (शेष 3), 13: 7 = 1 (शेष 6) और 13: 11 = 1 (शेष 2) . यह देखा जा सकता है कि 13 एक अभाज्य संख्या है। सूत्र के अनुसार यह इस तरह दिखता है: ए 3 = ए 2: पी 3 = 13: 13 = 1। हमने पाया कि 3 = 1, जिसका अर्थ है एल्गोरिथम का पूरा होना। अब गुणनखंडों को 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर: 78 = 2 3 13.

उदाहरण 3

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान

पहले चरण में फैक्टरिंग शामिल है पी 1 = 2और ए 1 = ए: पी 1 = 83,006: 2 = 41,503, जहां 83,006 = 2 · 41,503.

दूसरा चरण मानता है कि 2, 3 और 5 संख्या a 1 = 41,503 के लिए अभाज्य भाजक नहीं हैं, लेकिन 7 एक अभाज्य भाजक है, क्योंकि 41,503: 7 = 5,929। हम पाते हैं कि पी 2 = 7, ए 2 = ए 1: पी 2 = 41,503: 7 = 5,929। जाहिर है, 83,006 = 2 7 5 929.

संख्या a 3 = 847 के लिए p 4 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना 7 है। यह देखा जा सकता है कि a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, इसलिए 83 006 = 2 7 7 7 121।

संख्या a 4 = 121 का अभाज्य भाजक ज्ञात करने के लिए, हम संख्या 11 का उपयोग करते हैं, अर्थात p 5 = 11। तब हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है ए 5 = ए 4: पी 5 = 121: 11 = 11, और 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

संख्या के लिए ए 5 = 11संख्या पी 6 = 11सबसे छोटा अभाज्य भाजक है. अत: ए 6 = ए 5: पी 6 = 11: 11 = 1। फिर 6 = 1. यह एल्गोरिथम के पूरा होने का संकेत देता है। गुणनखंड 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 के रूप में लिखे जायेंगे।

उत्तर का विहित अंकन 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 का रूप लेगा।

उत्तर: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

उदाहरण 4

संख्या 897,924,289 का गुणनखंड करें।

समाधान

पहला अभाज्य गुणनखंड खोजने के लिए, 2 से शुरू करके अभाज्य संख्याओं को खोजें। खोज का अंत 937 नंबर पर होता है. फिर पी 1 = 937, ए 1 = ए: पी 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 और 897 924 289 = 937 958 297।

एल्गोरिथम का दूसरा चरण छोटी अभाज्य संख्याओं को दोहराना है। यानी हम संख्या 937 से शुरू करते हैं. संख्या 967 को अभाज्य माना जा सकता है क्योंकि यह संख्या a 1 = 958,297 का अभाज्य विभाजक है। यहां से हमें पता चलता है कि p 2 = 967, फिर a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 और 897 924 289 = 937 967 991।

तीसरा चरण कहता है कि 991 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि इसका एक भी अभाज्य गुणनखंड ऐसा नहीं है जो 991 से अधिक न हो। मूलांक अभिव्यक्ति का अनुमानित मान 991 है< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . इससे पता चलता है कि पी 3 = 991 और ए 3 = ए 2: पी 3 = 991: 991 = 1। हम पाते हैं कि संख्या 897 924 289 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर 897 924 289 = 937 967 991 प्राप्त होता है।

उत्तर: 897 924 289 = 937 967 991.

अभाज्य गुणनखंडन के लिए विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करना

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, आपको एक एल्गोरिदम का पालन करना होगा। जब छोटी संख्याएँ होती हैं, तो गुणन सारणी और विभाज्यता चिह्नों का उपयोग करने की अनुमति होती है। आइए इसे उदाहरणों से देखें।

उदाहरण 5

यदि 10 का गुणनखंड करना आवश्यक है, तो तालिका दर्शाती है: 2 · 5 = 10। परिणामी संख्याएँ 2 और 5 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए वे संख्या 10 के लिए अभाज्य गुणनखंड हैं।

उदाहरण 6

यदि संख्या 48 को विघटित करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 48 = 6 8. लेकिन 6 और 8 अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि इन्हें 6 = 2 3 और 8 = 2 4 के रूप में भी विस्तारित किया जा सकता है। तब यहाँ से पूर्ण विस्तार 48 = 6 8 = 2 3 2 4 के रूप में प्राप्त होता है। विहित अंकन 48 = 2 4 · 3 का रूप लेगा।

उदाहरण 7

संख्या 3400 को विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, 10 और 100 से विभाज्यता के संकेत प्रासंगिक हैं। यहां से हमें पता चलता है कि 3,400 = 34 · 100, जहां 100 को 10 से विभाजित किया जा सकता है, यानी 100 = 10 · 10 के रूप में लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि 3,400 = 34 · 10 · 10। विभाज्यता परीक्षण के आधार पर, हम पाते हैं कि 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5। सभी कारक प्रमुख हैं. विहित विस्तार रूप लेता है 3 400 = 2 3 5 2 17.

जब हमें अभाज्य गुणनखंड मिलते हैं, तो हमें विभाज्यता परीक्षण और गुणन सारणी का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। यदि आप संख्या 75 को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कल्पना करते हैं, तो आपको 5 से विभाज्यता के नियम को ध्यान में रखना होगा। हम पाते हैं कि 75 = 5 15, और 15 = 3 5। अर्थात् वांछित विस्तार गुणनफल 75 = 5 · 3 · 5 के रूप का एक उदाहरण है।

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इस लेख में आपको प्रश्न का उत्तर देने के लिए सभी आवश्यक जानकारी मिलेगी, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में कैसे विभाजित करें. सबसे पहले, किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने का एक सामान्य विचार दिया गया है, और अपघटन के उदाहरण दिए गए हैं। निम्नलिखित किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का विहित रूप दिखाता है। इसके बाद, मनमानी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया गया है और इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके संख्याओं को विघटित करने के उदाहरण दिए गए हैं। वैकल्पिक तरीकों पर भी विचार किया जाता है जो आपको विभाज्यता परीक्षणों और गुणन तालिकाओं का उपयोग करके छोटे पूर्णांकों को शीघ्रता से अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देते हैं।

पेज नेविगेशन.

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले, आइए देखें कि अभाज्य कारक क्या हैं।

यह स्पष्ट है कि चूँकि इस वाक्यांश में "कारक" शब्द मौजूद है, तो कुछ संख्याओं का गुणनफल होता है, और योग्यता शब्द "सरल" का अर्थ है कि प्रत्येक कारक एक अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 2·7·7·23 के उत्पाद में चार अभाज्य गुणनखंड हैं: 2, 7, 7 और 23.

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

इसका मतलब यह है कि इस संख्या को अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और इस उत्पाद का मूल्य मूल संख्या के बराबर होना चाहिए। उदाहरण के तौर पर, तीन अभाज्य संख्याओं 2, 3 और 5 के गुणनफल पर विचार करें, यह 30 के बराबर है, इस प्रकार संख्या 30 का अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होना 2·3·5 है। आमतौर पर किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने को समानता के रूप में लिखा जाता है; हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा: 30=2·3·5. हम अलग से इस बात पर जोर देते हैं कि विस्तार में प्रमुख कारकों को दोहराया जा सकता है। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है: 144=2·2·2·2·3·3. लेकिन 45=3·15 के रूप का प्रतिनिधित्व अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन नहीं है, क्योंकि संख्या 15 एक भाज्य संख्या है।

उमड़ती अगला सवाल: "किन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है?"

इसके उत्तर की तलाश में हम निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत करते हैं। परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्याएँ एक से बड़ी संख्याओं में से हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि कई अभाज्य कारकों का गुणनफल एक पूर्णांक है सकारात्मक संख्या, एक से अधिक. इसलिए, अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन केवल उन धनात्मक पूर्णांकों के लिए होता है जो 1 से बड़े होते हैं।

लेकिन क्या एक से बड़े सभी पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में शामिल किया जा सकता है?

यह स्पष्ट है कि सरल पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना संभव नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभाज्य संख्याओं में केवल दो सकारात्मक गुणनखंड होते हैं - एक और स्वयं, इसलिए उन्हें दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यदि पूर्णांक z को अभाज्य संख्याओं a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो विभाज्यता की अवधारणा हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगी कि z, a और b दोनों से विभाज्य है, जो संख्या z की सरलता के कारण असंभव है। हालाँकि, उनका मानना ​​है कि कोई भी अभाज्य संख्या स्वयं एक अपघटन है।

भाज्य संख्याओं के बारे में क्या? क्या भाज्य संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित हो जाती हैं, और क्या सभी भाज्य संख्याएँ ऐसे अपघटन के अधीन हैं? अंकगणित का मौलिक प्रमेय इनमें से कई प्रश्नों का सकारात्मक उत्तर देता है। अंकगणित के मूल प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी पूर्णांक a जो 1 से बड़ा है, उसे अभाज्य कारकों p 1, p 2, ..., p n के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है, और अपघटन का रूप a = p 1 · p 2 · होता है ... · पी एन, और यह विस्तार अद्वितीय है, यदि आप कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखते हैं

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन

किसी संख्या के विस्तार में अभाज्य गुणनखंडों की पुनरावृत्ति हो सकती है। दोहराए जाने वाले अभाज्य कारकों को अधिक संक्षिप्त रूप से उपयोग करके लिखा जा सकता है। मान लीजिए किसी संख्या के अपघटन में अभाज्य गुणनखंड p 1, s 1 बार आता है, अभाज्य गुणनखंड p 2 - s 2 बार, और इसी प्रकार, p n - s n बार आता है। तब संख्या a का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार लिखा जा सकता है a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. रिकॉर्डिंग का यह रूप तथाकथित है किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन.

आइए हम किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन का एक उदाहरण दें। आइये जानते हैं विघटन 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, इसके विहित संकेतन का रूप है 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन आपको संख्या के सभी भाजक और संख्या के भाजक की संख्या खोजने की अनुमति देता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के कार्य को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लेख में दी गई अभाज्य और भाज्य संख्याओं की जानकारी का बहुत अच्छा ज्ञान होना आवश्यक है।

एक से अधिक धनात्मक पूर्णांक संख्या a को विघटित करने की प्रक्रिया का सार अंकगणित के मौलिक प्रमेय के प्रमाण से स्पष्ट है। मुद्दा क्रमिक रूप से संख्याओं a, a 1, a 2, ..., a n-1 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1, p 2, ..., p n को खोजने का है, जो हमें समानताओं की एक श्रृंखला प्राप्त करने की अनुमति देता है। a=p 1 ·a 1, जहां a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, जहां a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·पी 2 ·…·पी एन ·ए एन , जहां ए एन =ए एन-1:पी एन . जब यह a n =1 हो जाता है, तो समानता a=p 1 ·p 2 ·...·p n हमें संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन प्रदान करेगी। यहां यह भी ध्यान रखना होगा कि पी 1 ≤पी 2 ≤पी 3 ≤…≤पी एन.

यह पता लगाना बाकी है कि प्रत्येक चरण में सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों को कैसे खोजा जाए, और हमारे पास किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिदम होगा। अभाज्य संख्याओं की एक तालिका हमें अभाज्य गुणनखंड खोजने में मदद करेगी। आइए हम दिखाएं कि संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।

हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7, 11, इत्यादि) की तालिका से अभाज्य संख्याएँ लेते हैं और दी गई संख्या z को उनसे विभाजित करते हैं। पहली अभाज्य संख्या जिससे z को समान रूप से विभाजित किया जाता है, वह इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक होगा। यदि संख्या z अभाज्य है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य विभाजक संख्या z ही होगी। यहां यह याद रखना चाहिए कि यदि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य विभाजक उस संख्या से अधिक नहीं है, जहां z से है। इस प्रकार, यदि अभाज्य संख्याओं में, जो z से अधिक नहीं है, संख्या z का एक भी विभाजक नहीं था, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि z एक अभाज्य संख्या है (इसके बारे में अधिक जानकारी शीर्षक के अंतर्गत सिद्धांत अनुभाग में लिखी गई है। यह संख्या अभाज्य या मिश्रित है) ).

उदाहरण के तौर पर, हम दिखाएंगे कि संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक कैसे खोजा जाए। चलिए नंबर 2 लेते हैं. 87 को 2 से भाग देने पर 87:2=43 (शेष 1) प्राप्त होता है (यदि आवश्यक हो तो लेख देखें)। अर्थात्, 87 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है, इसलिए 2 संख्या 87 का भाजक नहीं है। हम अभाज्य संख्या तालिका से अगली अभाज्य संख्या लेते हैं, यह संख्या 3 है। 87 को 3 से विभाजित करने पर हमें 87:3=29 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 87, 3 से विभाज्य है, इसलिए, संख्या 3, संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, किसी संख्या a को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, हमें कम से कम संख्या तक अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होती है। हमें हर कदम पर इस तालिका का संदर्भ लेना होगा, इसलिए हमें इसे हाथ में रखना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 95 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, हमें केवल 10 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 10 से बड़ा है)। और संख्या 846,653 को विघटित करने के लिए, आपको पहले से ही 1,000 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 1,000 से बड़ा है)।

अब हमारे पास लिखने के लिए पर्याप्त जानकारी है किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म. संख्या a को विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हुए, हम संख्या a का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक p 1 पाते हैं, जिसके बाद हम a 1 =a:p 1 की गणना करते हैं। यदि a 1 =1 है, तो संख्या a अभाज्य है, और यह स्वयं अभाज्य गुणनखंडों में इसका अपघटन है। यदि a 1, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·a 1 है और हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
• हम संख्या a 1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 पाते हैं, ऐसा करने के लिए हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हैं, p 1 से शुरू करते हैं, और फिर a 2 =a 1:p 2 की गणना करते हैं। यदि a 2 =1 है, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन a=p 1 ·p 2 के रूप में होता है। यदि a 2, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·a 2 है और अगले चरण पर आगे बढ़ें।
• अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को देखते हुए, p 2 से शुरू करके, हम संख्या a 2 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 पाते हैं, जिसके बाद हम a 3 =a 2:p 3 की गणना करते हैं। यदि a 3 =1, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन a=p 1 ·p 2 ·p 3 के रूप में होता है। यदि a 3, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 है और अगले चरण पर आगे बढ़ें।
• हम अभाज्य संख्याओं को क्रमबद्ध करके संख्या a n-1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p n पाते हैं, जो p n-1 से शुरू होता है, साथ ही a n =a n-1:p n, और a n 1 के बराबर है। यह चरण एल्गोरिथम का अंतिम चरण है; यहां हम संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं: a=p 1 ·p 2 ·…·p n।

स्पष्टता के लिए, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में प्राप्त सभी परिणाम निम्नलिखित तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें संख्याएँ a, a 1, a 2, ..., a n क्रमिक रूप से लिखी जाती हैं ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर एक कॉलम में, और रेखा के दाईं ओर - संबंधित सबसे छोटे अभाज्य विभाजक पी 1, पी 2, ..., पी एन।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए परिणामी एल्गोरिदम के अनुप्रयोग के कुछ उदाहरणों पर विचार करना ही शेष है।

अभाज्य गुणनखंडन के उदाहरण

अब हम विस्तार से देखेंगे संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के उदाहरण. विघटित करते समय, हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम का उपयोग करेंगे। आइए सरल मामलों से शुरू करें, और संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय उत्पन्न होने वाली सभी संभावित बारीकियों का सामना करने के लिए धीरे-धीरे उन्हें जटिल बनाएं।

उदाहरण।

संख्या 78 को उसके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान।

हम संख्या a=78 के पहले सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 की खोज शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अभाज्य संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करना शुरू करते हैं। हम संख्या 2 लेते हैं और 78 को उससे विभाजित करते हैं, हमें 78:2=39 मिलता है। संख्या 78 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जाता है, इसलिए p 1 =2 संख्या 78 का पहला पाया गया अभाज्य भाजक है। इस मामले में, a 1 =a:p 1 =78:2=39. तो हम समानता a=p 1 ·a 1 पर आते हैं जिसका रूप 78=2·39 है। जाहिर है, 1 =39 1 से भिन्न है, इसलिए हम एल्गोरिथम के दूसरे चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम संख्या a 1 =39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 ढूंढ रहे हैं। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं की गणना करना शुरू करते हैं, पी 1 = 2 से शुरू करते हुए। 39 को 2 से विभाजित करने पर हमें 39:2=19 (शेष 1) प्राप्त होता है। चूँकि 39, 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, तो 2 इसका भाजक नहीं है। फिर हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अगली संख्या (संख्या 3) लेते हैं और 39 को इससे विभाजित करते हैं, हमें 39:3=13 प्राप्त होता है। इसलिए, p 2 =3 संख्या 39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है, जबकि a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. हमारे पास 78=2·3·13 के रूप में समानता a=p 1 ·p 2 ·a 2 है। चूँकि 2 =13 1 से भिन्न है, हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

यहां हमें संख्या a 2 =13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना होगा। संख्या 13 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 3 की खोज में, हम p 2 = 3 से शुरू करके, अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करेंगे। संख्या 13, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13:3=4 (बाकी 1), 13:5=2 (बाकी 3), 13:7=1 के बाद से 13, 5, 7 और 11 से भी विभाज्य नहीं है। (बाकी. 6) और 13:11=1 (बाकी. 2). अगली अभाज्य संख्या 13 है, और 13 बिना किसी शेषफल के इससे विभाज्य है, इसलिए, 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 ही संख्या 13 है, और a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 के बाद से, एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन का रूप 78=2·3·13 (ए=पी 1 ·पी 2 ·पी 3) है।

उत्तर:

78=2·3·13.

उदाहरण।

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के पहले चरण में, हम p 1 =2 और a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 पाते हैं, जिसमें से 83,006=2·41,503।

दूसरे चरण में, हमें पता चलता है कि 2, 3 और 5 संख्या a 1 =41,503 के अभाज्य भाजक नहीं हैं, लेकिन संख्या 7 है, क्योंकि 41,503:7=5,929 है। हमारे पास p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 है। इस प्रकार, 83,006=2 7 5 929।

संख्या a 2 =5 929 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक संख्या 7 है, क्योंकि 5 929:7 = 847 है। इस प्रकार, पी 3 =7, ए 3 =ए 2:पी 3 =5 929:7 = 847, जिसमें से 83 006 = 2·7·7·847।

आगे हम पाते हैं कि संख्या a 3 =847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4, 7 के बराबर है। फिर a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, तो 83 006=2·7·7·7·121।

अब हम संख्या a 4 =121 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक पाते हैं, यह संख्या p 5 =11 है (चूंकि 121 11 से विभाज्य है और 7 से विभाज्य नहीं है)। फिर a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, और 83 006=2·7·7·7·11·11.

अंततः, संख्या a 5 =11 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक संख्या p 6 =11 है। फिर a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 के बाद से, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और वांछित अपघटन का रूप 83 006 = 2·7·7·7·11·11 है।

प्राप्त परिणाम को संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है 83 006 = 2·7 3 ·11 2।

उत्तर:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 एक अभाज्य संख्या है. वास्तव में, इसमें एक भी ऐसा अभाज्य भाजक नहीं है जो (मोटे तौर पर अनुमान लगाया जा सके) से अधिक न हो, क्योंकि यह स्पष्ट है कि 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

उत्तर:

897 924 289 = 937 967 991।

अभाज्य गुणनखंडन के लिए विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करना

साधारण मामलों में, आप इस आलेख के पहले पैराग्राफ से अपघटन एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना किसी संख्या को अभाज्य कारकों में विघटित कर सकते हैं। यदि संख्याएँ बड़ी नहीं हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए विभाज्यता के संकेतों को जानना अक्सर पर्याप्त होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए उदाहरण दें।

उदाहरण के लिए, हमें संख्या 10 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता है। गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 2·5=10, और संख्याएँ 2 और 5 स्पष्ट रूप से अभाज्य हैं, इसलिए संख्या 10 का अभाज्य गुणनखंडन 10=2·5 जैसा दिखता है।

एक और उदाहरण। गुणन तालिका का उपयोग करके, हम संख्या 48 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करेंगे। हम जानते हैं कि छह आठ है - अड़तालीस, यानी 48 = 6·8। हालाँकि, न तो 6 और न ही 8 अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन हम जानते हैं कि दो बार तीन छह है, और दो बार चार आठ है, यानी 6=2·3 और 8=2·4। फिर 48=6·8=2·3·2·4. यह याद रखना बाकी है कि दो गुणा दो चार है, तो हमें अभाज्य गुणनखंड 48 = 2·3·2·2·2 में वांछित अपघटन मिलता है। आइए इस विस्तार को विहित रूप में लिखें: 48=2 4·3.

लेकिन संख्या 3,400 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं। 10, 100 से विभाज्यता के संकेत हमें यह बताने की अनुमति देते हैं कि 3,400 100 से विभाज्य है, 3,400=34·100 के साथ, और 100 10 से विभाज्य है, 100=10·10 के साथ, इसलिए, 3,400=34·10·10। और 2 से विभाज्यता के परीक्षण के आधार पर, हम कह सकते हैं कि गुणनखंड 34, 10 और 10 में से प्रत्येक 2 से विभाज्य है, हमें मिलता है 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. परिणामी विस्तार के सभी कारक सरल हैं, इसलिए यह विस्तार वांछित है। जो कुछ बचा है वह कारकों को पुनर्व्यवस्थित करना है ताकि वे आरोही क्रम में जा सकें: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. आइए हम इस संख्या के विहित अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में भी लिखें: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

किसी दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप विभाज्यता के चिह्नों और गुणन तालिका दोनों का उपयोग कर सकते हैं। आइए संख्या 75 की कल्पना अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में करें। 5 से विभाज्यता का परीक्षण हमें यह बताने की अनुमति देता है कि 75, 5 से विभाज्य है, और हमें यह प्राप्त होता है कि 75 = 5·15। और गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 15=3·5, इसलिए, 75=5·3·5। यह संख्या 75 का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन है।

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