ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲಾಗ್ ಎ Xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲಾಗ್ ಎ X+ ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X · ವೈ);
2. ಲಾಗ್ ಎ X- ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X : ವೈ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಚನೆ: ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷಣಇಲ್ಲಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಮಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9 = ಲಾಗ್ 6 (4 9) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 (48: 3) = ಲಾಗ್ 2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5 = ಲಾಗ್ 3 (135: 5) = ಲಾಗ್ 3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: ಎ > 0, ಎ ≠ 1, X> 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 7 49 6 .

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಲಾಗ್ 7 49 6 = 6 ಲಾಗ್ 7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಬಹಳ ತನಕ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 2 7. ಲಾಗ್ 2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ ನೀಡಲಿ ಎ X. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಿಅಂದರೆ ಸಿ> 0 ಮತ್ತು ಸಿ≠ 1, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಹಾಕಿದರೆ ಸಿ = X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 5 16 ಲಾಗ್ 2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: ಲಾಗ್ 5 16 = ಲಾಗ್ 5 2 4 = 4ಲಾಗ್ 5 2; ಲಾಗ್ 2 25 = ಲಾಗ್ 2 5 2 = 2 ಲಾಗ್ 2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ವಾದದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಈ ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎ? ಅದು ಸರಿ: ನೀವು ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಲಾಗ್ 25 64 = ಲಾಗ್ 5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲಾಗ್ ಎ ಎ= 1 ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಈ ನೆಲೆಯಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲಾಗ್ ಎ 1 = 0 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಎಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ ಎ 0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಆದಿಮ ಮಟ್ಟದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆ"ಸಂಖ್ಯೆ" ಅಥವಾ "ಶಕ್ತಿ" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಅರ್ಥ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

• ಲಾಗ್ a b - a ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• ಲಾಗ್ ಬಿ - ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಲಾಗರಿದಮ್ ಟು ಬೇಸ್ 10, a = 10);
• ln b - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಲಾಗರಿದಮ್ ಟು ಬೇಸ್ e, a = e).

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

a ಬೇಸ್‌ಗೆ b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಘಾತವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕೆ b ಅನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಏರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: "ಬಿ ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟು ಬೇಸ್ ಎ." ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಥವಾ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅದರ ಸರಳೀಕೃತ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ಒಂದು; a > 0; a ≠ 1 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ x ಗೆ; y > 0.

• a log a b = b - ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು
• ಲಾಗ್ a 1 = 0
• ಲೋಗಾ ಎ = 1
• ಲಾಗ್ a (x y) = ಲಾಗ್ ಎ x + ಲಾಗ್ ಎ ವೈ
• log a x/ y = log a x – log a y
• ಲಾಗ್ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• ಲಾಗ್ a k x = 1/k ಲಾಗ್ a x , k ≠ 0 ಗಾಗಿ
• ಲಾಗ್ ಎ x = ಲಾಗ್ ಎ ಸಿ x ಸಿ
• log a x = log b x/ log b a – ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರ
• ಲಾಗ್ a x = 1/log x a

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಂತ-ಹಂತದ ಸೂಚನೆಗಳು

• ಮೊದಲು, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ 10 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಮೂದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಇ, ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ನೇರವಾಗಿ, ಈ ಪದವಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅದನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಮುಖ್ಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆದರೆ ಅದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಕ್ರಮವಾಗಿ b ಮತ್ತು c ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಬೇಸ್ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ).

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಅದು: ಲಾಗರಿಥಮ್ a ನ ಮೂಲ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ, a ನಂತೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಬಿಡಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು?

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು? ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಅನೇಕ ಪದವೀಧರರನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ, ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಭಯಾನಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ! ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಫೈನ್. ಈಗ, ಕೇವಲ 10-20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು:

1. ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು.

2. ಇಡೀ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ನೀವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕೇಳದಿದ್ದರೂ ಸಹ.

3. ಸರಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ...

ನಿಮಗೆ ಅನುಮಾನವಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಅನಿಸುತ್ತದೆ... ಸರಿ, ಸರಿ, ಸಮಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ! ಹೋಗು!

ಮೊದಲು, ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಮೊದಲು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದರ ನಂತರ, ಇತರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಗಮನಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು a c ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಇದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ c ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ a b=log a a c =c.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಿ = ಬಿ, ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನೀಡಿದಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಸೂಚಿಸಬಹುದು - ಇದು ಘಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗ್ 2 2 −3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಮತ್ತು ಇ 5,3 ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಲಾಗ್ 2 2 −3 =-3 ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು −3 ಪವರ್‌ಗೆ ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: lne 5.3 =5.3.

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 2 2 −3 =-3 ಮತ್ತು lne 5,3 =5,3.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿದಮ್‌ನ ಬೇಸ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಬೇಕು a c . ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1, ಅಥವಾ 2, ಅಥವಾ 3 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ...

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಲಾಗ್ 5 25 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ.

25=5 2 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಇದು ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 5 25=ಲಾಗ್ 5 5 2 =2.

ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೋಗೋಣ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 7 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಮೂರನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ. ಈಗ ನೀವು ಅದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು , ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ .

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 5 25=2 , ಮತ್ತು .

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಾಗ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಯಂತೆ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: ಲಾಗ್ 1 1=ಲಾಗ್ a a 0 =0 ಮತ್ತು ಲಾಗ್ a=log a a 1 =1. ಅಂದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಾಗ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0 ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು log10 ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ.

ರಿಂದ, ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ .

ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿದಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅದರ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹತ್ತರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, lg10=lg10 1 =1.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತು lg10=1.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು (ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ) ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ a a p =p ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. , ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಉತ್ತರ:

.

ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಇತರ ತಿಳಿದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಲಾಗ್ 2 3≈1.584963 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ಲಾಗ್ 2 6 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ: ಲಾಗ್ 2 6=ಲಾಗ್ 2 (2 3)=ಲಾಗ್ 2 2+ಲಾಗ್ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪದಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗ್ 60 2=a ಮತ್ತು ಲಾಗ್ 60 5=b ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ 27 ರಿಂದ ಬೇಸ್ 60 ರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಲಾಗ್ 60 27 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. 27 = 3 3 , ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು 3 · ಲಾಗ್ 60 3 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗ್ 60 3 ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ 60 60=1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಲಾಗ್ 60 60=log60(2 2 3 5)= ಲಾಗ್ 60 2 2 + ಲಾಗ್ 60 3+ ಲಾಗ್ 60 5= 2·ಲಾಗ್ 60 2+ಲಾಗ್ 60 3+ಲಾಗ್ 60 5 . ಹೀಗಾಗಿ, 2 ಲಾಗ್ 60 2+ಲಾಗ್ 60 3+ಲಾಗ್ 60 5=1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗ್ 60 3=1−2·ಲಾಗ್ 60 2−ಲಾಗ್ 60 5=1−2·a−b.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 60 27=3 ಲಾಗ್ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ರೂಪದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ . ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವು 2, ಇ ಅಥವಾ 10 ಬೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿವೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಿಖರತೆ. ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉಪಯೋಗಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಬೇಸ್ 2 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟೇಬಲ್, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟೇಬಲ್ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿದಮ್ ಟೇಬಲ್. ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಬೇಸ್ ಹತ್ತನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕವು 1,000 ರಿಂದ 9,999 ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳೊಂದಿಗೆ) ಹತ್ತು ಸಾವಿರದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವವನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ- ಇದು ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. log1.256 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಎಡ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು 1.256 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು 1.2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗಿದೆ). ಸಂಖ್ಯೆ 1.256 (ಅಂಕಿಯ 5) ನ ಮೂರನೇ ಅಂಕಿಯು ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಡಬಲ್ ಲೈನ್ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ). ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ 1.256 (ಅಂಕಿ 6) ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಿಯು ಡಬಲ್ ಲೈನ್ನ ಬಲಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಸಿರು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ). ಈಗ ನಾವು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಕಿತ್ತಳೆ) ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 9.999 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದು, ನೀನು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸೋಣ.

lg102.76332 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲು ನೀವು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ : 102.76332=1.0276332·10 2. ಇದರ ನಂತರ, ಮಂಟಿಸಾವನ್ನು ಮೂರನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ದುಂಡಾದ ಮಾಡಬೇಕು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ಮೂಲ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು log102.76332≈lg1.028·10 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ lg1.028 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು log3≈0.4771 ಮತ್ತು log2≈0.3010 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, .

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಅಬ್ರಮೊವ್ ಎ.ಎಮ್., ಡಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಯು.ಪಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ 10 - 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
• ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ).

ಲಾಗರಿಥಮ್, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಗ್ರಾಫ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವಿಕೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಬೇಸ್ ಎ ಜೊತೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ y ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (x) = ಲಾಗ್ ಎ x, ಬೇಸ್ a: x ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ (y) = a y.

ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ 10 : ಲಾಗ್ x ≡ ಲಾಗ್ 10 x.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ e ನ ತಳಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ: ln x ≡ ಲಾಗ್ ಇ x.

2,718281828459045... ;
.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ y = x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿವೆ (x) = ಲಾಗ್ ಎ xನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್ಗಳು: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ಮತ್ತು a = 1/8 . ಯಾವಾಗ a > ಎಂದು ಗ್ರಾಫ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ 1 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. x ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ನಿಧಾನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ 0 < a < 1 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಡೊಮೇನ್, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದು, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಖಾಸಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಬೇಸ್ 10 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟು ಬೇಸ್ ಇಎಂದು ಕರೆದರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ :

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಮೂಲ ಬದಲಿ ಸೂತ್ರ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಲಾಗರಿಥಮ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮರ್ಥ್ಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವಿಲೋಮ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀಡಿದ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ನಿರ್ವಹಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಪುರಾವೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.
ನಂತರ
.
ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ
:
.

ಮೂಲ ಬದಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
;
.
c = b ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ

a ಬೇಸ್ ಮಾಡಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವಿಲೋಮವು ಘಾತಾಂಕ a ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ವೇಳೆ, ನಂತರ

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ x ನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ >>>

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಇಳಿಸಬೇಕು ಇ.
;
.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ,

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z:
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ zಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಮತ್ತು ವಾದ φ :
.
ನಂತರ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಅಥವಾ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಾದ φ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನೀವು ಹಾಕಿದರೆ
, ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ,
ನಂತರ ಅದು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯವರಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ.

ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ

ವಿಸ್ತರಣೆ ಯಾವಾಗ ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಐ.ಎನ್. ಬ್ರಾನ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಕೆ.ಎ. ಸೆಮೆಂಡ್ಯಾವ್, ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೈಪಿಡಿ, "ಲ್ಯಾನ್", 2009.