ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x >

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಸಹ ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆಪ್ರದರ್ಶಕರು, ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.

3.

4. ಎಲ್ಲಿ .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಚನೆ: ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷಣಇಲ್ಲಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಬಹಳ ತನಕ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸೂತ್ರಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ​​ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಹ ನೋಡಿ:

a ಬೇಸ್ ಮಾಡಲು b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶಕ್ತಿ x () ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ (3.4) ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. ಉಳಿದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮೂಲವು ಹತ್ತು, ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹತ್ತರ ತಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ lg(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಮೂಲವು ಘಾತವಾಗಿದೆ (ln(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ ವಸ್ತು ಸಾಕು. ವಸ್ತುವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ

3.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ನೋಟದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಪದ 5 ಮತ್ತು 13 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ದುಃಖಿಸುತ್ತೇವೆ

ಆಧಾರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಮೊದಲ ಹಂತ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಚಯದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಕೃಷ್ಟಗೊಳಿಸಿ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮಗೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯ- ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು...

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log6 4 + log6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ​​ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಮಾಜವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಂತೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಂತೆ, ಗಣಿತವೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಸರಳದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಚಲನೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರದಿಂದ, ಅವರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಘಾತೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಯಿತು. ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ವರಸೇನರಿಂದ 8 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರಿಂದ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸ್ಕೆಚ್

16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯುರೋಪಿನ ಪುನರುಜ್ಜೀವನವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಿತು. ಟಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಪ್ರಾಚೀನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಉತ್ತಮ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದವು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವರು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿದರು - ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ. 1544 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮೈಕೆಲ್ ಸ್ಟೀಫೆಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಇದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಹ.

1614 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಕಾಟ್ಸ್‌ಮನ್ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್, ಈ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಹೊಸ ಪದ"ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್." ಹೊಸದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು. ಇದು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿತು.

ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು, ಇದನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರು ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳು. ಹಿಂದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಕಳೆದಿದೆ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದು ತನ್ನ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೇವಲ 20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ, 13 ನೇ ಶತಮಾನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮಾನವೀಯತೆಯು ತ್ಯಜಿಸಿತು.

ಇಂದು ನಾವು b ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದು b ಮಾಡಲು a ದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: x = log a(b).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 3(9) 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 3 ಅನ್ನು 2 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ: a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜವಾಗಿರಬೇಕು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ a x = b ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ಕೆ a = 1 ಗಡಿರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಗಮನ: ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 1 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ 0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು.

ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ಲೇ ಮಾಡಿ, ಅವುಗಳ ಬೇಸ್‌ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗುವುದು:

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಆಸ್ತಿ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್ ಎಬಿಪಿ = ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ) + ಲಾಗ್ ಎ (ಪಿ).

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ ಸಿ(ಬಿ/ಪಿ) = ಲಾಗ್ ಸಿ(ಬಿ) - ಲಾಗ್ ಸಿ(ಪಿ), ಅಂಶದ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: ಲಾಗ್ a(b p) = p * log a(b).

ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೇರಿವೆ:

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡಬೇಡಿ - ಮೊತ್ತದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್.

ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳವರೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲಸವಾಗಿತ್ತು. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಹುಪದೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ಅಲ್ಲಿ n - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬೇಸ್‌ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಕಷ್ಟ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪೂರ್ವ ಸಂಕಲನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇದು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು, ಆದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಿತು. y = log a(x) ಕಾರ್ಯದ ಕರ್ವ್, ಹಲವಾರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಇತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಯಮಿತ ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಜಿನಿಯರುಗಳು ತುಂಬಾ ಸಮಯಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗ್ರಾಫ್ ಪೇಪರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು.

17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಹಾಯಕ ಅನಲಾಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು 19 ನೇ ಶತಮಾನಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನೋಟವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ಸಾಧನವನ್ನು ಸ್ಲೈಡ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಸಾಧನದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದರ ನೋಟವು ಎಲ್ಲಾ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಿತು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಕೆಲವೇ ಜನರು ಈ ಸಾಧನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ.

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಾಧನಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಹೀನಗೊಳಿಸಿತು.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ನೆಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದು: ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ) = ಲಾಗ್ ಸಿ (ಬಿ) / ಲಾಗ್ ಸಿ (ಎ);
• ಹಿಂದಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ: ಲಾಗ್ a(b) = 1 / log b(a).

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

• ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಷರತ್ತು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೂಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪವರ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

• ಸಮಸ್ಯೆ 3. 25^ಲಾಗ್ 5(3) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪರಿಹಾರ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಮೂದು ಈ ಕೆಳಗಿನ (5^2)^log5(3) ಅಥವಾ 5^(2 * ಲಾಗ್ 5(3)) ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: 5^ಲಾಗ್ 5(3*2), ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು (5^ಲಾಗ್ 5(3))^2. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3^2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆ

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಾಧನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ದೂರವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ನಿಜ ಜೀವನಲಾಗರಿಥಮ್ ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಿಜ ಪ್ರಪಂಚ. ಅದನ್ನು ಬಳಸದ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮಾನವೀಯ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆಗಳ ಕೇವಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಭೌತಿಕ ಕಾನೂನುಗಳುಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಳಸಿ.

ರಾಕೆಟ್‌ನ ವೇಗದಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಿಯೋಲ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಿಶೋಧನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿತು:

V = I * ln (M1/M2), ಅಲ್ಲಿ

• V ಎಂಬುದು ವಿಮಾನದ ಅಂತಿಮ ವೇಗವಾಗಿದೆ.
• I - ಎಂಜಿನ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಚೋದನೆ.
• M 1 - ರಾಕೆಟ್ನ ಆರಂಭಿಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.
• ಎಂ 2 - ಅಂತಿಮ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆ - ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಅವರ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

S = k * ln (Ω), ಅಲ್ಲಿ

• ಎಸ್ - ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಆಸ್ತಿ.
• ಕೆ - ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರ.
• Ω ವಿವಿಧ ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೂಕವಾಗಿದೆ.

ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

• ನೆರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸಮೀಕರಣ, ವಸ್ತುಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಧ್ಯಮದ ರೆಡಾಕ್ಸ್ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.
• ಆಟೋಲಿಸಿಸ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ದ್ರಾವಣದ ಆಮ್ಲೀಯತೆಯಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ

ಮತ್ತು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏನು ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರಚೋದಕ ತೀವ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತವು ಕಡಿಮೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಂವೇದನೆಯ ಬಲವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸುರುಳಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಜೈವಿಕ ರೂಪಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳು

ಈ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಪಂಚದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಆಳುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ. ಇದು MatProfi ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗೆ ತಿರುಗುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಹಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

ಪಟ್ಟಿ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಅನಂತ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಧುಮುಕಬಹುದು.

ಈ ಲೇಖನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿವಿಲೋಮ, ನೀವು ಘಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಪದವಿ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಆಧಾರ.

ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮುನ್ನುಡಿಗಳು, "ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು? ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಂದ a ಬೇಸ್, ಇಲ್ಲಿ a>0, a≠1 ಮತ್ತು b>0 ಎಂಬುದು ಘಾತವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ b ಪಡೆಯಲು ನೀವು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾತನಾಡುವ ಪದ "ಲಾಗರಿದಮ್" ತಕ್ಷಣವೇ ಎರಡು ಅನುಸರಣಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: "ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ" ಮತ್ತು "ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ." ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮಾತ್ರ.

ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಪ್ರವೇಶಿಸೋಣ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಕೇತ: a ವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗ್ a b ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ b ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಬೇಸ್ e ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ 10 ನೇ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ಪದನಾಮಗಳು lnb ಮತ್ತು logb, ಅಂದರೆ, ಅವರು log e b ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ lnb ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ 10 b ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ lgb.

ಈಗ ನಾವು ನೀಡಬಹುದು: .
ಮತ್ತು ದಾಖಲೆಗಳು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ತಳದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟಕವಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡೋಣ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಓದುವ ನಿಯಮಗಳು. ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ ಅನ್ನು "ಬಿ ಆಫ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟು ಬೇಸ್ ಎ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 3 ಎಂಬುದು ಮೂರರಿಂದ ಬೇಸ್ 2 ರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬೇಸ್ 2 ಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂರನೇ ಎರಡರಷ್ಟು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಮೂಲಐದರಲ್ಲಿ. e ಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಮತ್ತು lnb ನಮೂದು " ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಬಿ". ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ln7 ಏಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು pi ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ. ಬೇಸ್ 10 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೂಡ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಮತ್ತು lgb ಅನ್ನು "b ನ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, lg1 ಎಂಬುದು ಒಂದರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಮತ್ತು lg2.75 ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್ ಏಳು ಐನೂರರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದ a>0, a≠1 ಮತ್ತು b>0 ಷರತ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸಮಾನತೆಯು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

a≠1 ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯು b=1 ಆಗ ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಲಾಗ್ 1 1 ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, a≠1 ಅನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಯ a>0 ನ ಅನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಮರ್ಥಿಸೋಣ. a=0 ನೊಂದಿಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು b=0 ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ನಂತರ ಲಾಗ್ 0 0 ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿ a≠0 ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, b>0 ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಸಮಾನತೆ a>0 ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ರಿಂದ , ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತವನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸಲು, ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಲಾಗರಿದಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೇಸ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವಾಗ ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು b=a p ಆಗಿದ್ದರೆ, b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ a ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ a a p =p ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 3 =8, ನಂತರ ಲಾಗ್ 2 8=3 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು?

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು? ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಅನೇಕ ಪದವೀಧರರನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ, ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಭಯಾನಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ! ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಫೈನ್. ಈಗ, ಕೇವಲ 10-20 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು:

1. ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು.

2. ಇಡೀ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ನೀವು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಕೇಳದಿದ್ದರೂ ಸಹ.

3. ಸರಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ...

ನಿಮಗೆ ಅನುಮಾನವಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಅನಿಸುತ್ತದೆ... ಸರಿ, ಸರಿ, ಸಮಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ! ಹೋಗು!

ಮೊದಲು, ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

(ಗ್ರೀಕ್‌ನಿಂದ λόγος - "ಪದ", "ಸಂಬಂಧ" ಮತ್ತು ἀριθμός - "ಸಂಖ್ಯೆ") ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿಆಧಾರಿತ ಎ(ಲಾಗ್ α ಬಿ) ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ, ಮತ್ತು ಬಿ= ಒಂದು ಸಿ, ಅಂದರೆ, ದಾಖಲೆಗಳ ಲಾಗ್ α ಬಿ=ಸಿಮತ್ತು b=aಸಿಸಮಾನವಾಗಿವೆ. a > 0, a ≠ 1, b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಘಾತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ(ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ).

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ x= ಲಾಗ್ α ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ, a x =b ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಲಾಗ್ 2 8 = 3 ಏಕೆಂದರೆ 8 = 2 3 .

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳೋಣ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೇಸ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ b=a c, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ವಿಷಯವು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಸಾಮರ್ಥ್ಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವಿಲೋಮ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನೀಡಿದ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ನಿರ್ವಹಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ನೈಜ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ 2 (ಬೈನರಿ), ಯೂಲರ್‌ನ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ≈ 2.718 (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಮತ್ತು 10 (ದಶಮಾಂಶ) ನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆನ್ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮಾದರಿಗಳುಲಾಗ್ 7 2 , ಎಲ್ಎನ್ √ 5, lg0.0001.

ಮತ್ತು ನಮೂದುಗಳು lg (-3), ಲಾಗ್ -3 3.2, ಲಾಗ್ -1 -4.3 ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ತಳದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ತಳದಲ್ಲಿ ಘಟಕವಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಷರತ್ತುಗಳು.

ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ a > 0, a ≠ 1, b > 0. ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಏಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. x = ಲಾಗ್ α ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಬಿ, ಮೂಲಭೂತ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಷರತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ a≠1. ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆ x=log α ಬಿಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು b=1, ಆದರೆ ಲಾಗ್ 1 1 ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ a≠1.

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ a>0. ನಲ್ಲಿ a=0ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು b=0. ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗ್ 0 0ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು a≠0. ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎ<0 ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಾವು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ a>0.

ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ b>0ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a>0, x=log α ರಿಂದ ಬಿ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯ ಎಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು, ಇದು ಶ್ರಮದಾಯಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಅವರ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. "ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ" ಚಲಿಸುವಾಗ, ಗುಣಾಕಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ವಿಭಜನೆಯು ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಘಾತದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1614 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಟಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಿದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯವರೆಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ.