ಥಿಯರಿ ಆಟದ ತಂತ್ರ ಮಿಶ್ರಿತ

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಟದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಆಟದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮೀರಿದ ಗೆಲುವನ್ನು ಆಟಗಾರ 1 ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 1 ಕಡಿಮೆ ಆಟದ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಗೆಲುವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಆಟಗಾರನ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವು ಅವನ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ನೀಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಟದ ಬಹು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಏನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಳಕೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ. ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು:

• * ತಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲದೆ ಆಟವಾಡಿ;
• * ಆಟಗಾರರು ನೀಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ;
• * ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಟವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• * ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ತಂತ್ರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
• * ಆಟದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಟಗಾರ 1 ಗಾಗಿ, ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ A 1, A 2, ..., A m ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ p 1, p 2, ..., p m.

ಆಟಗಾರ 2 ಕ್ಕೆ

q j ಎಂಬುದು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರ B j ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

р i = 1 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರ 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಆಟಗಾರನ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯ ಅಸಂಗತ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಇದು ಆಟಗಾರ 1 ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 2 ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲ ( ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಪರಿಣಾಮ) ಆಟಗಾರ 1:

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು;

p i ಮತ್ತು q i ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಅವನ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಆಟಗಾರ 1 ತನ್ನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ 2 - ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತರಲು. ಆಟಗಾರ 1 ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ

ಪ್ಲೇಯರ್ 2 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ

1 ಮತ್ತು 2 ಆಟಗಾರರ ಸೂಕ್ತ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಾನತೆ

ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರು ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ ಆಟದ ಬೆಲೆ ಆಟಗಾರ 1 ರ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

• - ಆಟಗಾರ 1 ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ;
• - ಆಟಗಾರ 2 ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ;

ಆಟದ ಬೆಲೆ.

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು) ಅವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ತಡಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಅಂದರೆ.

ಗಣಿತದ ಆಟಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಜೊತೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಗಳು

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: = =.

ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ಆಟಗಾರ 2 ರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ (ಮತ್ತು, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಆಟಗಾರ 2 ಕ್ಕೆ) ಆಟದ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಆಟಗಾರ 1 ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. 1 ಮತ್ತು 2 ಆಟಗಾರರ ಸಕ್ರಿಯ ತಂತ್ರಗಳು ಶೂನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಟಗಾರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಆಟಗಾರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಆದ್ಯತೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆಟವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಆಟದ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳ ನಮ್ಮ ಪರಿಗಣನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳವಾದ ಆಟಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 22 ರಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಟಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ತಡಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬೇಕು. ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ

a 11 p 1 + a 21 p 2 =; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 =; (1.17)

p 1 + p 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1, (1.20)

ಎಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸೂಕ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು:

ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು:

a 11 q 1 + a 12 q 2 =; q 1 + q 2 = 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) =. (1.25)

11 ರಿಂದ 12 ಕ್ಕೆ. (1.26)

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆಟದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾವತಿಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ (Fig. 2.1).

• 1. ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.
• 2. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ತಂತ್ರ A 1 ಗೆ ಗೆಲುವುಗಳು.
• 3. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ನಲ್ಲಿ, ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ತಂತ್ರ a 2 ನೊಂದಿಗೆ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
• 4. ವಿಭಾಗಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು 11 -b 11 ಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, a 12 -b 21, a 22 -b 22, a 21 -b 12 ಮತ್ತು ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು b 11 b 12 ಮತ್ತು b 21 b 22 ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
• 5. ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ c ನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು p 2 (p 1 = 1 - p 2) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 1.1.

ಈ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಆಟಗಳು mn, ಇದು ಯಾವುದೇ ಆಟದಲ್ಲಿ mn ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ನಿಮಿಷ (m, n) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ಯಾವುದೇ ಆಟದಲ್ಲಿ 2n ಮತ್ತು m2, ಪ್ರತಿ ಸೂಕ್ತ ತಂತ್ರವು ಎರಡು ಸಕ್ರಿಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಆಟ 2n ಮತ್ತು m2 ಅನ್ನು ಆಟ 22 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, 2n ಮತ್ತು m2 ಆಟಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಆಟದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ mn ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ m> 2 ಮತ್ತು n> 2, ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಆಟಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

5.1 ಶೂನ್ಯ ಮೊತ್ತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟ

ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿಶ್ಚಿತಗಳು;

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳು.

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಮಾಣಕ ಡೇಟಾ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್, ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಣೆ) ಲಭ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅಪಾಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ (ರಿಗ್ರೆಶನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಸ್ಥಾಪಿತ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮುಖಾಂತರ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ಡೇಟಾ (ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ).

ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಂಘರ್ಷದ ಸಂದರ್ಭಗಳುಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ತಂತ್ರ;

ವಿಜೇತ ಕಾರ್ಯ.

ಕೋರ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಆಟದ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆಟಗಾರನ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ತಂತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ.

ವಿನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಸೋತ ಆಟಗಾರನ ಪಾವತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಪಾವತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ :

ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಟಗಾರ I ಗೆ, ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಟಗಾರ II ಗೆ ಪಾವತಿಯ ಮೊತ್ತ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂತಹ ಜೋಡಿ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರ ಪಾವತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಈ ಆಟವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯ ಮೊತ್ತ .

"ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವ" ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಪ್ಲೇಯರ್ I, ಪ್ಲೇಯರ್ II ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇ;

ಪ್ಲೇಯರ್ II, ಆಟಗಾರ I ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, - ನೇ;

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶವು ನಾನು ಆಟಗಾರ II ರಿಂದ ಎಷ್ಟು ಆಟಗಾರನನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ವೇಳೆ, ನಂತರ ಅದು ಬರುತ್ತದೆಆಟಗಾರ I ರ ನಿಜವಾದ ನಷ್ಟದ ಬಗ್ಗೆ.

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವಿರೋಧಿ ಜೋಡಿ ಆಟವನ್ನು ಆಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಒಂದು ಆಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ:

.

ಪ್ಲೇಯರ್ I, ಪ್ಲೇಯರ್ II ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ 3 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇಯರ್ II, ಪ್ಲೇಯರ್ I ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ 2 ನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ನಂತರ ಆಟಗಾರ ನಾನು ಪ್ಲೇಯರ್ II ನಿಂದ 9 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇನೆ.

5.2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಕ್ಲೀನ್ ತಂತ್ರ

ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ತಂತ್ರ ಆಟಗಾರ I ರ ತಂತ್ರವು ಆಟಗಾರ II ರ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯ ತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಅವನು ತನ್ನ ಲಾಭವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ I ರ ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರದ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ ಅವನು ತನ್ನ ನಷ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸದಿರುವ ಆಟಗಾರ II ರ ತಂತ್ರ.

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನೇ ಸಾಲನ್ನು ತನ್ನ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಆಟಗಾರ I ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಆಟಗಾರನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ, ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ಪಾವತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಟಗಾರನು ಅವನಿಗೆ ಒದಗಿಸುವ ಅಂತಹ ಸಾಲನ್ನು ನಾನು ಆರಿಸುತ್ತೇನೆ ಗರಿಷ್ಠ ಗೆಲುವು:

.

ಪ್ಲೇಯರ್ II ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಾದಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ನಷ್ಟವನ್ನು ಭದ್ರಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

.

ಅಸಮಾನತೆ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜ:

ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೆಲೆಆಟಗಳು .

ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಟದ ಉನ್ನತ ಬೆಲೆ .

ಸೂಕ್ತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶುದ್ಧ ಅವರು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:

,

.

ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಟದ ಶುದ್ಧ ಬೆಲೆ , ವೇಳೆ .

ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪ ತಡಿ ಬಿಂದು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ, ಅಂಶವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ತಡಿ ಬಿಂದು ನಂತರ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ಲೀನ್ ತಂತ್ರಗಳು ಆಟಗಾರರು.

ಪ್ಲೇಯರ್ I ನ ಶುದ್ಧ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್) ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ಲೇಯರ್ II ರ ಶುದ್ಧ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್) ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

.

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲನ್ನು ತನ್ನ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಆಟಗಾರನು ಸೂಚಿಸಿದ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯದ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಪಾವತಿಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಟಗಾರನು ನಾನು ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ 2 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಆಟಗಾರ II ರ ನಡೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವರು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಆಟಗಾರ II ಇದೇ ರೀತಿ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು 1 ನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ತನ್ನ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇದೆ:

ಪ್ಲೇಯರ್ I ಮತ್ತು ಪ್ಲೇಯರ್ II ಗಾಗಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರನು I ಆಟಗಾರನ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಆಟಗಾರನು ಅವನ ಲಾಭವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ I ನಿಂದ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಆಟಗಾರನು ಅವನ ನಷ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

5.3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರನು ಒಂದು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ "ಸಂಭವನೀಯ ಮಿಶ್ರಣಗಳು" ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು. ನಂತರ, ಈಗಾಗಲೇ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದವುಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ ಈ ಆಟಗಾರನ ಚಲನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಆಟಗಾರನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಆಟಗಾರ I ರ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವು ಅಂತಹ ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ವೆಕ್ಟರ್) ಇದು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

1) ಫಾರ್, ಅಂದರೆ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ;

2), ಅಂದರೆ, ಒಟ್ಟು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪುಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು.

ಪ್ಲೇಯರ್ II ರ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವು ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ವೆಕ್ಟರ್) ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು:

ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಹಣ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಟಗಾರ I ಗೆ

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಟಗಾರ II ರಿಂದ

,

ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ

.

ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ,

ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ:

ಅಂದರೆ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರ I ನ ಪಾವತಿಯು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ II ನಷ್ಟವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ

,

ಅಂದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ( ಹಂಚಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ )

- ³ 0,

ಮತ್ತು ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಪರವಾಗಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಾಲನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಪಡೆಯಲು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಿದ ಆಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

.

ತಡಿ ಬಿಂದು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

, .

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹಂಚಿಕೆ ಮಾಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

.

5.4 ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

2 × 2 ಆಟಗಳಿಗೆ

ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾನು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಆಟಗಾರನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ

ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಆಟಗಾರ II ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಪ್ಲೇಯರ್ II ಮೂಲಕ ಆಟಗಾರ I ಗೆ ಪಾವತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಟಗಾರ I ನ ಲಾಭದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ II ನಷ್ಟವು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

;

.

ಹೀಗಾಗಿ, I ಮತ್ತು II ಆಟಗಾರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

5.5 ಆಟಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರ 2 ×ಎನ್

ಗೆ ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಕೇವಲ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಆಟಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮುಖ್ಯ ಹಂತಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.

ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ತುದಿಗಳಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಯೂನಿಟ್ ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ತುದಿಗಳು ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ I ಗೆ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಆಟಗಾರನ ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ

ಒಂದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ ಆಟಗಾರ I ನ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಫಲಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು.

ಪ್ಲೇಯರ್ II ರ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಟಗಾರ I ನ ಪಾವತಿಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. ನಂತರ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮುರಿದ ರೇಖೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆಟಗಾರ I ರ ಪಾವತಿಯ ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಟಗಾರ I ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

,

ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಆಟಗಾರ I ನ ಪಾವತಿಯ ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ I ನ ಪಾವತಿಯ ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಆಟಗಾರ I ಆಟಗಾರನು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ತಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಆಟವನ್ನು ಆಟಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರ II ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ

,

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆಟದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

5.6. ಆಟದ ಪರಿಹಾರಮೀ× ಎನ್

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಆಯಾಮದಿಂದಾಗಿ, ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಬಳಸಿ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಧಾನ .

ಆಯಾಮದ ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ:

.

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು , ಆಟಗಾರ II ರ ಚಲನೆಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಅವನಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಈ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ನಾನು ಯಾವ ಆಟಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಅವನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಆಟಗಾರ II ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಪ್ರತಿ ನಡೆಯಿಗೆ, ಆಟಗಾರ I ನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆ

ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಆಟಗಾರನು ನಾನು ಸಂಭಾವನೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ನಾನು ಆಟಗಾರನಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ

ಅಂತೆಯೇ, ಆಟಗಾರ II ರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ

ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

,

5.7. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು

ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು:

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ;

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಂದಿದೆಯೇ.

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಾನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವ ಆಟಗಾರನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಗೆಲುವು, ನಂತರ ನೀವು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ನೇ ಸಾಲನ್ನು ದಾಟಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಾಲಿಗೆ ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವನು ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ:

ಅದೇ ರೀತಿ, ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನಷ್ಟಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾ, ಆಟಗಾರ II ಎಂದಿಗೂ ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ith ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಚಲನೆಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ith ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ದಾಟಬಹುದು:

ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಪರಿಹಾರಆಟವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ) ಪೂರೈಸುವ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಸರಳೀಕೃತ ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

.

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸರಳೀಕರಣ:

ತಡಿ ಬಿಂದು:

5.8 ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡುವುದು

ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಂಘರ್ಷದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ವಾಸ್ತವತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಪ್ರಕೃತಿ" .

ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರ II ಅನ್ನು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ಆಟಗಾರ II ತನ್ನ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಾನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಪಾಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ :

ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಆಟಗಾರ I ರ ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಪಾವತಿಯ ನಡುವೆ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಿದ್ದೆ, ಅಂದರೆ. , ಮತ್ತು ಅವರು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಗೆಲುವುಗಳು, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುವುದು ಎಂದು ನಡೆಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ ತಿಳಿಯದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ರಿಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಿವರ್ಸ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್:

.

ರಿಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್:

ಸಾಧ್ಯ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ :

ನಿಮ್ಮ ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು;

ಅಪಾಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು.

ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಬಹುದು:

- ಅಪಾಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಭಾವಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ;

- ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮುಖಾಂತರ ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ.

5.9 ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅಪಾಯದಲ್ಲಿ

ಅಪಾಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಆಟಗಾರನು ನನಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇನೆ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ.

ನಂತರ ಆಟಗಾರ I ಗೆ ಯಾವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಗೆಲುವುಗಳು, ಗರಿಷ್ಠ :

.

ರಿಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ಅಪಾಯ :

.

5.10. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮುಖಾಂತರ

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮಾನದಂಡ :

ವಾಲ್ಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಿನ್ ಮಾನದಂಡ;

ಮಾನದಂಡ ಕನಿಷ್ಠ ಅಪಾಯಸೇವಿಜಾ;

ನಿರಾಶಾವಾದದ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್‌ನ ಆಶಾವಾದ;

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಧಾರಗಳ ತತ್ವ.

ಪರಿಗಣಿಸಿ ವಾಲ್ಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಿನ್ ಪರೀಕ್ಷೆ .

ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಆಟವನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ಎದುರಾಳಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ತೀವ್ರ ನಿರಾಶಾವಾದದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಮರುವಿಮೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸ್ಯಾವೇಜ್ ಕನಿಷ್ಠ ಅಪಾಯದ ಮಾನದಂಡ .

ಅಪಾಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ತೀವ್ರ ನಿರಾಶಾವಾದದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ವಿಧಾನ:

.

ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಿರಾಶಾವಾದದ ಮಾನದಂಡ - ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಆಶಾವಾದ .

ವಿಪರೀತ ನಿರಾಶಾವಾದ ಅಥವಾ ತೀವ್ರ ಆಶಾವಾದದಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಮಾಡದಿರಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿರಾಶಾವಾದದ ಮಟ್ಟ ಎಲ್ಲಿದೆ;

ನಲ್ಲಿ - ತೀವ್ರ ಆಶಾವಾದ,

ನಲ್ಲಿ - ತೀವ್ರ ನಿರಾಶಾವಾದ.

ಪರಿಗಣಿಸಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಧಾರಗಳ ತತ್ವ .

ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ರಾಜ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ:

,

.

ಐದನೇ ವಿಭಾಗದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರು ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಿಜೇತರಿಗೆ ಸೋತ ಆಟಗಾರನ ಪಾವತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪೇಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟಗಾರ I ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ II ಅದರ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೇಯರ್ II ರಿಂದ ಪ್ಲೇಯರ್ I ಗೆ ಪಾವತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ (ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆಟಗಾರ ನಾನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಗೆದ್ದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆಟಗಾರ II ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗೆದ್ದಿದೆ).

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇದ್ದರೆ, ಆಟಗಾರರು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಅಂದರೆ, ಗೆಲ್ಲಲು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಮ್ಮ ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಗೆಲ್ಲಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಚಲನೆಗಳ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು.

ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂಕ್ತ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ 2 × 2 ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಹಾರ 2 × n ಆಟಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು 2 × 2 ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. m × n ಆಟಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಲ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭರವಸೆಯಿಲ್ಲದ ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಆಯಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಟಗಾರ II ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ವಾಸ್ತವತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಂಘರ್ಷದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಆಟವನ್ನು ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೊತೆಗೆ, ರಿಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ಪಾವತಿಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಪಾಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು.

ಅಪಾಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಪಾವತಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆಟಗಾರ I ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸೂಕ್ತ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ (ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) ಅಪಾಯದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) , ಅಪಾಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಬಳಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡಗಳು: ವಾಲ್ಡ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾನದಂಡ, ಸೆವಿಡ್ಜ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಅಪಾಯದ ಮಾನದಂಡ, ಹರ್ವಿಟ್ಜ್‌ನ ನಿರಾಶಾವಾದ-ಆಶಾವಾದದ ಮಾನದಂಡ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಧಾರಗಳ ತತ್ವ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಚಲನೆ, ತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಪಾವತಿಯ ಕಾರ್ಯ?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಪಾವತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಯಾವ ಆಟವನ್ನು m × n ಆಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರ ಯಾವುದು?

ಶುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರ ಯಾವುದು?

ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅರ್ಥವೇನು?

ಮಿಶ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ತಂತ್ರ ಯಾವುದು?

ಆಟಗಾರನ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಪ್ಲೇಯರ್ II ರಿಂದ ಪ್ಲೇಯರ್ I ಗೆ ಪಾವತಿಯ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ಯಾವ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಹಂಚಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅರ್ಥವೇನು?

2 × 2 ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

2 × n ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ?

m × n ಆಟಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಯಾವುವು?

ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸರಳೀಕರಣದ ಅರ್ಥವೇನು ಮತ್ತು ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಯಾವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ?

ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಯಾವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ?

ಪಾವತಿಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಿಸ್ಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಹೇಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಯಾವ ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ?

ಪ್ರಕೃತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಿಗಾಗಿ ನಿರ್ಧಾರ-ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು?

ಅಪಾಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಆಟಗಾರನು ನಾನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲು ಯಾವ ತಂತ್ರವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ?

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಯಾವ ನಿರ್ಧಾರದ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು?

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವಾಗ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್‌ನ ಲಾಭದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಸ್ಥಿರ ಬೇಡಿಕೆ (ಸಾಲುಗಳು) ಅವಲಂಬಿಸಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಕಾಲಮ್ಗಳು). ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಉದ್ಯಮದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗರಿಷ್ಠ (ಸರಾಸರಿ) ಆದಾಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಾವು ನೀಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ವೆಕ್ಟರ್) ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ.

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ:

.

ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮಾರಾಟದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

2. "ಫಾರ್ಮಸಿಸ್ಟ್" ಸಂಸ್ಥೆಯು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಔಷಧಿಗಳು ಮತ್ತು ಬಯೋಮೆಡಿಕಲ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ತಯಾರಕ. ಕೆಲವು ಔಷಧಿಗಳಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆಯ ಉತ್ತುಂಗವು ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಬೇಸಿಗೆಯ ಅವಧಿ(ಹೃದಯರಕ್ತನಾಳದ ಗುಂಪಿನ ಔಷಧಗಳು, ನೋವು ನಿವಾರಕಗಳು), ಇತರರಿಗೆ - ಶರತ್ಕಾಲ ಮತ್ತು ವಸಂತ ಅವಧಿಗಳಿಗೆ (ಸೋಂಕು-ವಿರೋಧಿ, ಆಂಟಿಟಸ್ಸಿವ್).

1 ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ವೆಚ್ಚಗಳು ಘಟಕಗಳು ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್-ಅಕ್ಟೋಬರ್ಗಾಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು: ಮೊದಲ ಗುಂಪಿಗೆ (ಹೃದಯರಕ್ತನಾಳದ ಔಷಧಗಳು ಮತ್ತು ನೋವು ನಿವಾರಕಗಳು) - 20 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು; ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ವಿರೋಧಿ, ಉರಿಯೂತದ ಔಷಧಗಳು) - 15 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು.

ಹಲವಾರು ಅವಲೋಕನಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳುಕಂಪನಿಯ ಮಾರ್ಕೆಟಿಂಗ್ ಸೇವೆಯು ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಹವಾಮಾನ 3050 ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಘಟಕಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು 1100 ಪರಿವರ್ತನೆ. ಘಟಕಗಳು ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು; ಶೀತ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ - 1525 ಪರಿವರ್ತನೆ ಘಟಕಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು 3690 ಪರಿವರ್ತನೆ. ಘಟಕಗಳು ಎರಡನೇ ಗುಂಪು.

ಹವಾಮಾನದಲ್ಲಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಡ್ಡಲಾಗುತ್ತದೆ - 40 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಆದಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಪನಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. 1 ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಘಟಕಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು 30 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು. - ಎರಡನೇ ಗುಂಪು.

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ವರ್ಷ ಹವಾಮಾನವು ಬೆಚ್ಚಗಿರುತ್ತದೆ;

ವಾತಾವರಣ ತಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಂಪನಿಯು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಹವಾಮಾನ (ಪ್ರಕೃತಿಯ ತಂತ್ರ) ಇರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ತಯಾರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಔಷಧಿಗಳ 3050 ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ 1100 ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಘಟಕಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾರಾಟವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದಾಯವು ಎಂದು

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) = 77500 ಪು.

ತಂಪಾದ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಕೃತಿ ತಂತ್ರ), ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಔಷಧಗಳು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾರಾಟವಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗುಂಪು 1525 ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಔಷಧಗಳು ಅವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಆದಾಯ ಇರುತ್ತದೆ

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () = 16500 ಪು.

ಅಂತೆಯೇ, ರೂಪವು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆದಾಯವು ಇರುತ್ತದೆ

1525 × (40-20) + 3690 × (30-15) = 85850 ಪು.

ಬೆಚ್ಚನೆಯ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ, ಆದಾಯವು ಇರುತ್ತದೆ

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 = 8150 ಪು.

ಸಂಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನವನ್ನು ಎರಡು ಆಟಗಾರರಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಆಟದ ಬೆಲೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ

ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಸ್ಥೆಯ ಆದಾಯವು ಕನಿಷ್ಟ 16,500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ನಂತರ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಆದಾಯವು 77,500 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಆಟಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಸಂಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಅನ್ವಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ, ತಂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು. ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಆಟವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಆಟದ ಬೆಲೆ p.

ಸೂಕ್ತ ಔಷಧ ಉತ್ಪಾದನಾ ಯೋಜನೆ ಇರುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಂಪನಿಯು ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಟೋಬರ್ 2379 ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕಗಳು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಔಷಧಗಳು ಮತ್ತು 2239.6 ಪರಿವರ್ತನೆ. ಘಟಕಗಳು ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಔಷಧಗಳು, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಹವಾಮಾನದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕನಿಷ್ಠ 46986 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳ ಆದಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಸ್ಥೆಯು ಮಿಶ್ರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು (ಇತರ ಸಂಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಂದಗಳು) ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಸಂಸ್ಥೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ವಾಲ್ಡೆ ಮಾನದಂಡ:

ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಮಾನದಂಡ: ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ

ತಂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ

ಸಂಸ್ಥೆಯು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘೋರ ಮಾನದಂಡ. ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು 77500 ಆಗಿದೆ, ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದು 85850 ಆಗಿದೆ.

ಅಪಾಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ

,

ಎಲ್ಲಿ,,

ಅಪಾಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

,

ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಂಸ್ಥೆಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಕರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅಂತಿಮ ಆಯ್ಕೆನಿರ್ಧಾರಗಳು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಜಂಟಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಕೆಲವು ನಿರ್ವಾಹಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಾನದಂಡವು ಪಾವತಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಮತ್ತು ಶೀತ ಹವಾಮಾನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿ, ನಂತರ ಕಂಪನಿಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಂಸ್ಥೆಯು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ.

ಸ್ವಯಂ-ಅಧ್ಯಯನ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು

1. ಒಂದು ಉದ್ಯಮವು ಬೇಡಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ) ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಬೇಡಿಕೆಯು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ರಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (I, II, III ಮತ್ತು IV). ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, -ನೇ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆಯ -ನೇ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಾಗ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್ ಪಡೆಯುವ ಲಾಭವನ್ನು ಅಂಶಗಳು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, V * ≠ V * - ಯಾವುದೇ ತಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲ. ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿರೋಧಿ ಆಟಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಸಂಭವನೀಯ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನಿಗೆ, ಅವನಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳು) ಅಜ್ಞಾತ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು.

ಆಟಗಾರ A ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳು) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
P = (p 1, p 2, ..., p m),
ಇಲ್ಲಿ p i ≥ 0, p 1 + p 2 +... + p m = 1. ಮೌಲ್ಯ p i ಅನ್ನು ತಂತ್ರ A i ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಆಟಗಾರ B ಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನಗಳು) ಅಜ್ಞಾತ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ:
Q = (q 1, q 2, ..., q n),
ಅಲ್ಲಿ q j ≥ 0, q 1 + q 2 +… + q n = 1. q j ಪ್ರಮಾಣವು B j ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳ ಸೆಟ್ (ಸಂಯೋಜನೆ) A 1, A 2, ... A m ಮತ್ತು B 1, B 2, ... B n ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು.

ಸೀಮಿತ ವಿರೋಧಿ ಆಟಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ: ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವು ಹೊಂದಿದೆ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷ, ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರ, ಬಹುಶಃ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ನಡುವೆ.
ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಟವು ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವು P * ಮತ್ತು Q * ಜೋಡಿಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಅವರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳಲು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ.
A ಆಟಗಾರನ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವರ್ತನ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಕ್ರಿಯ.

P *, Q * ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರಣತಂತ್ರಗಳು M A (P, Q *) ≤ M A (P *, Q *) ≤ M A (P *, Q) (1)
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, M A (P *, Q *) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿಆಟ ಮತ್ತು V (V * ≤ V ≤ V *) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು (1) ಅಂದರೆ ಆಟಗಾರ A ಅವರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರದಿಂದ ವಿಚಲನಆಟಗಾರ ಬಿ ತನ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಪಾವತಿಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಆಟಗಾರ ಎ. ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ಎಂದರೆ ಅದು ಅವನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರದಿಂದ ಆಟಗಾರ B ಯ ವಿಚಲನಆಟಗಾರ ಎ ​​ತನ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಆಟಗಾರ ಬಿ ಯ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ.

1. ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ... ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ನಾವು ಆಟದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆಟಗಾರ I ತನ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ತನ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ I ನ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಆಟಗಾರ II ತನ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ.

ಗ್ಯಾರಂಟಿ ಪಾವತಿಯನ್ನು ನಾವು ಆಟದ ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ a = max (a i) = 2, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರ A 1 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಆಟದ ಮೇಲಿನ ಬೆಲೆ b = min (bj) = 7. ಇದು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a ≠ b, ನಂತರ ಆಟದ ಬೆಲೆ 2 ≤ y ≤ 7 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಆಟ. ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಶತ್ರುಗಳಿಗೆ ಘೋಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅವರು ತಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡಬೇಕು. ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಆಟವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ(ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡಿ).

2. ಪ್ರಬಲ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಬಲ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಪಾವತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಪೇಆಫ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಬಲ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಬಲ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಲ್ಲ.

3. ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಆಟಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಐ
4p 1 + 7p 2 + 2p 3 = y
7p 1 + 3p 2 + p 3 = y
2p 1 + 2p 2 + 8p 3 = y
p 1 + p 2 + p 3 = 1

ಆಟಗಾರ II ಗಾಗಿ
4q 1 + 7q 2 + 2q 3 = y
7q 1 + 3q 2 + 2q 3 = y
2q 1 + q 2 + 8q 3 = y
q 1 + q 2 + q 3 = 1

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y = 4 1/34
p 1 = 29/68 (1 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).
p 2 = 4/17 (2 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).
p 3 = 23/68 (3 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).

ಆಟಗಾರ I ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ: P = (29/68; 4/17; 23/68)
q 1 = 6/17 (1 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).
q 2 = 9/34 (2 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).
q 3 = 13/34 (3 ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ).

ಆಟಗಾರ II ರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ: Q = (6/17; 9/34; 13/34)
ಆಟದ ಬೆಲೆ: y = 4 1/34

ಆಟವು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಟದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಆಟವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಈ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು 4 ಗೆ ಸಮನಾದ ಗೆಲುವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಖಾತರಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯವನು ತನ್ನ ನಷ್ಟವನ್ನು 5 ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರಂತೆಯೇ, ಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. . ಹಾಗಾದರೆ ಆಟಗಾರರ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳು ಏನಾಗಿರಬೇಕು?

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ತಂತ್ರವನ್ನು (ಗಳನ್ನು) ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನ ಲಾಭ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದ ನಷ್ಟವು 5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಅನನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲನೆಯವನು ಅವನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಸ್ವತಃ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯ ಆಟಗಾರನು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದ್ದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರೆ, ಅವನು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯ ಲಾಭವನ್ನು 4 ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ನಿಜ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರೆ ಎರಡನೆಯದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಂತರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವನು ತನ್ನ ಲಾಭವನ್ನು 6 ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾನೆ, ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ತಾನು ಬಳಸಲಿರುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ರಹಸ್ಯವಾಗಿಡಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಆಟವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಆಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಎರಡನೆಯ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡನೆಯ ಆಟಗಾರನು ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಆಟದಲ್ಲಿ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವನು ಯಾವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯವರು ಊಹಿಸದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವನು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ, ಆಟಗಾರರ ಗೆಲುವುಗಳು ಮತ್ತು ನಷ್ಟಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ... ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಟದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 0.5 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ; 0.5, ನಂತರ ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ, ಅವನ ನಷ್ಟದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನ ತಂತ್ರದೊಂದಿಗೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಬಳಸಿದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವನ್ನು 4.5 ಕ್ಕೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸದೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರ, ವಿವರಿಸಿರುವ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು.

ನಾವು ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಲ್ಲದ ಆಟ ನಡೆಯಲಿ:

ನಾವು ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, (i-th ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ). ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, (ಜೆ-ನೇ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ). ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಟಕ್ಕೆ, ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಟಕ್ಕೆ, ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ತಂತ್ರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದಾಗ. ನಂತರ

ಸಾಕಷ್ಟು ಶುದ್ಧ 1 ನೇ ಆಟಗಾರ ತಂತ್ರಗಳು;

1 ನೇ ಆಟಗಾರನ ಅನೇಕ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು;

ಸಾಕಷ್ಟು ಶುದ್ಧ 2 ನೇ ಆಟಗಾರ ತಂತ್ರಗಳು;

ಸಾಕಷ್ಟು ಮಿಶ್ರ 2 ನೇ ಆಟಗಾರ ತಂತ್ರಗಳು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ನಾವು ಆಟವಾಡೋಣ

ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ... ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಸರಾಸರಿ ನಷ್ಟವನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ.

ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಕ್ಲೀನ್ ತಂತ್ರ
ಮೊದಲ ಆಟಗಾರ (ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರ
ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರ) ಮೊದಲ (ಎರಡನೇ) ಆಟಗಾರನ ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದನು.

ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು m ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು n ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆಟಗಾರರ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ, ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ
,
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆಟಗಾರರ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
,
... ಒಂದು ಜೋಡಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗಾಗಿ ,ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

,

.

ಪ್ರಮೇಯ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ನಿವ್ವಳ ಆಟದ ಬೆಲೆಯು ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ಆಟದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ ,ಆಟಗಾರರು A ಮತ್ತು B, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆ
, ನಂತರ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು ( ,) ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಶ i-th ಸಾಲು ಮತ್ತು j-th ಕಾಲಮ್‌ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪಾವತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ
- ಆಟದ ಶುದ್ಧ ಬೆಲೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟದ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

.

ಆಟದ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ :,,
.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (A 1; B 2), ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಅಂಶವು 5 ಆಗಿದೆ. ಈ ಅಂಶವು 1 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. A1 ನ ಗರಿಷ್ಠ ತಂತ್ರದಿಂದ ಆಟಗಾರ A ಯ ವಿಚಲನವು ಅವನ ಲಾಭದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು B 2 ನ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ತಂತ್ರದಿಂದ ಆಟಗಾರ B ನ ವಿಚಲನವು ಅವನ ನಷ್ಟದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಟಗಾರರಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳು ಅವರ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಈ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು, ಇದು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಟದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 12 = 5 ರ ಸ್ಯಾಡಲ್ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಆಟಗಾರರು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟವು ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಟದ ಪರಿಹಾರವು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ
... ಅಂತಹ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ತಂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲವು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ನಷ್ಟ ಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ ... ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನಿಗೆ, ಗೆಲುವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ (ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು). ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಮೊದಲ (ಎರಡನೇ) ಆಟಗಾರನ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ
, ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
(
, ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
).

ವೆಕ್ಟರ್ p (q) ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನಿಂದ i-th ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಎರಡನೆಯ ಆಟಗಾರನಿಂದ j-th ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರ).

ಆಟಗಾರರು ತಮ್ಮ ಶುದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಆಟವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಾಭದ ಪ್ರಮಾಣ (ನಷ್ಟ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಲಾಭ (ನಷ್ಟ) - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳು p, q:

.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: f (p, q) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಆಟದ ಪಾವತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ತಂತ್ರ
,
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
,
ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಆಟದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯು ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ನಷ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ, ಅವನು ಯಾವುದೇ ಇತರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ q.

ಅತ್ಯುತ್ತಮ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಆಟದ ಬೆಲೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಆಟದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.