Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Persamaan trigonometri bukanlah topik yang mudah. Mereka terlalu pelbagai.) Contohnya, ini:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = katil(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Dan lain-lain...
Tetapi raksasa trigonometri ini (dan semua yang lain) mempunyai dua ciri biasa dan wajib. Pertama - anda tidak akan percaya - terdapat fungsi trigonometri dalam persamaan.) Kedua: semua ungkapan dengan x ditemui dalam fungsi yang sama ini. Dan hanya di sana! Jika X muncul di suatu tempat di luar, Sebagai contoh, sin2x + 3x = 3, ini sudah menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian memerlukan pendekatan individu. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka di sini.
Kami tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini sama ada.) Di sini kita akan berurusan dengan persamaan trigonometri termudah. kenapa? Ya kerana penyelesaiannya mana-mana persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat. Pada peringkat pertama, persamaan jahat dikurangkan kepada yang mudah melalui pelbagai transformasi. Pada yang kedua, persamaan termudah ini diselesaikan. Tiada jalan lain.
Jadi, jika anda menghadapi masalah pada peringkat kedua, peringkat pertama tidak masuk akal.)
Apakah rupa persamaan trigonometri asas?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Di sini A bermaksud sebarang nombor. mana-mana.
Ngomong-ngomong, di dalam fungsi mungkin tidak ada X tulen, tetapi beberapa jenis ungkapan, seperti:
cos(3x+π /3) = 1/2
dan lain-lain. Ini merumitkan kehidupan, tetapi tidak menjejaskan kaedah menyelesaikan persamaan trigonometri.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
Persamaan trigonometri boleh diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logik dan bulatan trigonometri. Kami akan melihat laluan ini di sini. Cara kedua - menggunakan ingatan dan formula - akan dibincangkan dalam pelajaran seterusnya.
Cara pertama adalah jelas, boleh dipercayai dan sukar untuk dilupakan.) Ia bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ketaksamaan dan semua jenis contoh rumit bukan piawai. Logik lebih kuat daripada ingatan!)
Menyelesaikan persamaan menggunakan bulatan trigonometri.
Kami memasukkan logik asas dan keupayaan untuk menggunakan bulatan trigonometri. Tidakkah anda tahu bagaimana? Walau bagaimanapun... Anda akan mengalami kesukaran dalam trigonometri...) Tetapi tidak mengapa. Lihatlah pelajaran "Bulatan trigonometri...... Apakah itu?" dan "Mengukur sudut pada bulatan trigonometri." Semuanya mudah di sana. Tidak seperti buku teks...)
Oh, anda tahu!? Dan juga menguasai "Kerja amali dengan bulatan trigonometri"!? tahniah. Topik ini akan menjadi dekat dan boleh difahami oleh anda.) Apa yang menggembirakan adalah bahawa bulatan trigonometri tidak mengambil kira persamaan yang anda selesaikan. Sinus, kosinus, tangen, kotangen - semuanya sama untuknya. Hanya ada satu prinsip penyelesaian.
Jadi kita ambil sebarang persamaan trigonometri asas. Sekurang-kurangnya ini:
cosx = 0.5
Kita perlu mencari X. Jika kita bercakap bahasa manusia, perlu cari sudut (x) yang kosinusnya ialah 0.5.
Bagaimanakah kita menggunakan bulatan sebelum ini? Kami melukis sudut di atasnya. Dalam darjah atau radian. Dan segera melihat fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan sebaliknya. Mari kita lukis kosinus pada bulatan bersamaan dengan 0.5 dan serta-merta kita akan lihat sudut. Yang tinggal hanyalah menulis jawapannya.) Ya, ya!
Lukis bulatan dan tandakan kosinus sama dengan 0.5. Pada paksi kosinus, sudah tentu. seperti ini:
Sekarang mari kita lukiskan sudut yang diberikan oleh kosinus ini kepada kita. Tuding tetikus anda pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet anda), dan anda akan melihat sudut ini X.
Kosinus bagi sudut yang manakah ialah 0.5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Sesetengah orang akan ketawa ragu-ragu, ya... Seperti, adakah patut membuat bulatan apabila semuanya sudah jelas... Anda boleh, tentu saja, ketawa...) Tetapi hakikatnya ini adalah jawapan yang salah. Atau sebaliknya, tidak mencukupi. Ahli kalangan memahami bahawa terdapat sekumpulan sudut lain di sini yang juga memberikan kosinus 0.5.
Jika anda memusingkan bahagian bergerak OA giliran penuh, titik A akan kembali ke kedudukan asalnya. Dengan kosinus yang sama bersamaan dengan 0.5. Itu. sudut akan berubah dengan 360° atau 2π radian, dan kosinus - tidak. Sudut baharu 60° + 360° = 420° juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan kita, kerana
Bilangan tak terhingga revolusi lengkap sedemikian boleh dibuat... Dan semua sudut baharu ini akan menjadi penyelesaian kepada persamaan trigonometri kita. Dan mereka semua perlu ditulis entah bagaimana sebagai tindak balas. Semua. Jika tidak, keputusan tidak dikira, ya...)
Matematik boleh melakukan ini dengan mudah dan elegan. Tulis dalam satu jawapan ringkas set tak terhingga keputusan. Inilah yang kelihatan seperti persamaan kami:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Saya akan menguraikannya. Masih menulis secara bermakna Ia lebih menyenangkan daripada melukis beberapa huruf misteri secara bodoh, bukan?)
π /3 - ini adalah sudut yang sama yang kita melihat pada bulatan dan ditentukan mengikut jadual kosinus.
2π adalah satu revolusi lengkap dalam radian.
n - ini ialah bilangan yang lengkap, i.e. keseluruhan rpm Ia adalah jelas bahawa n boleh sama dengan 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri pendek:
n ∈ Z
n milik ( ∈ ) set integer ( Z ). By the way, bukannya surat n surat boleh digunakan dengan baik k, m, t dan lain-lain.
Notasi ini bermakna anda boleh mengambil sebarang integer n . Sekurang-kurangnya -3, sekurang-kurangnya 0, sekurang-kurangnya +55. Apa sahaja yang anda mahu. Jika anda menggantikan nombor ini ke dalam jawapan, anda akan mendapat sudut tertentu, yang pastinya akan menjadi penyelesaian kepada persamaan kasar kami.)
Atau, dengan kata lain, x = π /3 ialah satu-satunya punca bagi himpunan tak terhingga. Untuk mendapatkan semua punca lain, cukup untuk menambah sebarang bilangan pusingan penuh kepada π /3 ( n ) dalam radian. Itu. 2πn radian.
Semua? Tidak. Saya sengaja memanjangkan kenikmatan. Untuk mengingati dengan lebih baik.) Kami menerima hanya sebahagian daripada jawapan kepada persamaan kami. Saya akan menulis bahagian pertama penyelesaian seperti ini:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - bukan hanya satu punca, tetapi keseluruhan siri akar, ditulis dalam bentuk pendek.
Tetapi terdapat juga sudut yang turut memberikan kosinus 0.5!
Mari kembali ke gambar kami yang mana kami menulis jawapannya. Inilah dia:
Tuding tetikus anda pada imej dan kita lihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0.5. Pada pendapat anda, ia sama dengan apa? Segi tiga adalah sama... Ya! Dia sama dengan sudut X , hanya tertunda ke arah negatif. Ini adalah sudut -X. Tetapi kami telah mengira x. π /3 atau 60°. Oleh itu, kita boleh menulis dengan selamat:
x 2 = - π /3
Sudah tentu, kami menambah semua sudut yang diperoleh melalui revolusi penuh:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Itu sahaja sekarang.) Pada bulatan trigonometri kita melihat(yang faham, sudah tentu)) Semua sudut yang memberikan kosinus 0.5. Dan menulis sudut-sudut ini secara ringkas bentuk matematik. Jawapannya menghasilkan dua siri akar yang tidak terhingga:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawapan yang betul.
Harapan, prinsip am untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan bulatan adalah jelas. Kami menandakan kosinus (sinus, tangen, kotangen) daripada persamaan yang diberikan pada bulatan, lukis sudut yang sepadan dengannya dan tuliskan jawapannya. Sudah tentu, kita perlu memikirkan sudut mana kita berada melihat pada bulatan. Kadang-kadang ia tidak begitu jelas. Nah, saya katakan bahawa logik diperlukan di sini.)
Sebagai contoh, mari kita lihat persamaan trigonometri yang lain:
Sila ambil kira bahawa nombor 0.5 bukanlah satu-satunya nombor yang mungkin dalam persamaan!) Ia hanya lebih mudah bagi saya untuk menulisnya daripada punca dan pecahan.
Kami bekerja mengikut prinsip umum. Kami melukis bulatan, tandakan (pada paksi sinus, sudah tentu!) 0.5. Kami melukis semua sudut yang sepadan dengan sinus ini sekaligus. Kami mendapat gambar ini:
Mari kita berurusan dengan sudut dahulu X pada suku pertama. Kami mengingat semula jadual sinus dan menentukan nilai sudut ini. Ia adalah perkara yang mudah:
x = π /6
Kami ingat tentang pusingan penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, tuliskan siri jawapan pertama:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Separuh kerja sudah selesai. Tetapi sekarang kita perlu tentukan sudut kedua... Ia lebih rumit daripada menggunakan kosinus, ya... Tetapi logik akan menyelamatkan kita! Bagaimana untuk menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segi tiga dalam gambar adalah sama, dan sudut merah X sama dengan sudut X . Hanya ia dikira dari sudut π dalam arah negatif. Itulah sebabnya ia merah.) Dan untuk jawapannya kita memerlukan sudut, diukur dengan betul, dari OX separuh paksi positif, i.e. dari sudut 0 darjah.
Kami mengarahkan kursor ke atas lukisan dan melihat segala-galanya. Saya mengeluarkan sudut pertama supaya tidak merumitkan gambar. Sudut yang kita minati (dilukis dengan warna hijau) akan sama dengan:
π - x
X kita tahu ni π /6 . Oleh itu, sudut kedua ialah:
π - π /6 = 5π /6
Sekali lagi kita ingat tentang menambah revolusi penuh dan tuliskan siri kedua jawapan:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Itu sahaja. Jawapan lengkap terdiri daripada dua siri akar:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Persamaan tangen dan kotangen boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Jika, sudah tentu, anda tahu cara melukis tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri.
Dalam contoh di atas, saya menggunakan nilai jadual sinus dan kosinus: 0.5. Itu. salah satu makna yang diketahui oleh pelajar mesti. Sekarang mari kita kembangkan keupayaan kita untuk semua nilai lain. Tentukan, jadi putuskan!)
Jadi, katakan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri ini:
Nilai kosinus sedemikian dalam jadual ringkas Tidak. Kami dengan dingin mengabaikan fakta yang mengerikan ini. Lukis bulatan, tandakan 2/3 pada paksi kosinus dan lukis sudut yang sepadan. Kami mendapat gambar ini.
Mari kita lihat, pertama, pada sudut pada suku pertama. Sekiranya kita tahu apa yang sama dengan x, kita akan segera menulis jawapannya! Kami tidak tahu... Kegagalan!? Tenang! Matematik tidak meninggalkan rakyatnya sendiri dalam kesusahan! Dia menghasilkan kosinus arka untuk kes ini. Tak tahu? Sia-sia. Ketahui, Ia jauh lebih mudah daripada yang anda fikirkan. Pada pautan ini tidak ada satu mantera rumit tentang "terbalik fungsi trigonometri“Tidak... Ini berlebihan dalam topik ini.
Jika anda tahu, cuma katakan pada diri sendiri: "X ialah sudut yang kosinusnya bersamaan dengan 2/3." Dan dengan serta-merta, semata-mata dengan takrifan kosinus arka, kita boleh menulis:
Kami ingat tentang revolusi tambahan dan dengan tenang menuliskan siri pertama punca persamaan trigonometri kami:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Siri kedua akar untuk sudut kedua hampir secara automatik ditulis. Semuanya adalah sama, hanya X (arccos 2/3) akan mempunyai tolak:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Dan itu sahaja! Ini adalah jawapan yang betul. Malah lebih mudah daripada dengan nilai jadual. Tidak perlu mengingati apa-apa.) By the way, yang paling penuh perhatian akan melihat bahawa gambar ini menunjukkan penyelesaian melalui kosinus arka pada dasarnya, tidak berbeza dengan gambar untuk persamaan cosx = 0.5.
Tepat sekali! Prinsip umum Sebab itu perkara biasa! Saya sengaja melukis dua gambar yang hampir serupa. Bulatan menunjukkan kepada kita sudut X oleh kosinusnya. Sama ada ia kosinus jadual atau tidak tidak diketahui oleh semua orang. Apakah jenis sudut ini, π /3, atau apakah kosinus lengkok - itu terpulang kepada kita untuk membuat keputusan.
Lagu yang sama dengan sinus. Sebagai contoh:
Lukis bulatan sekali lagi, tandakan sinus sama dengan 1/3, lukis sudut. Ini gambar yang kami dapat:
Dan sekali lagi gambarnya hampir sama dengan persamaan sinx = 0.5. Sekali lagi kita bermula dari sudut pada suku pertama. Apakah X sama dengan jika sinusnya ialah 1/3? Tiada masalah!
Sekarang pek pertama akar sudah siap:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Mari kita berurusan dengan sudut kedua. Dalam contoh dengan nilai jadual 0.5, ia adalah sama dengan:
π - x
Ia akan menjadi sama di sini juga! Hanya x berbeza, arcsin 1/3. Jadi apa!? Anda boleh menulis pek akar kedua dengan selamat:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawapan yang betul sepenuhnya. Walaupun nampak macam tak familiar sangat. Tetapi ia jelas, saya harap.)
Beginilah cara persamaan trigonometri diselesaikan menggunakan bulatan. Jalan ini jelas dan boleh difahami. Dialah yang menyimpan dalam persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada selang tertentu, dalam ketaksamaan trigonometri - mereka biasanya diselesaikan hampir selalu dalam bulatan. Pendek kata, dalam mana-mana tugas yang lebih sukar sedikit daripada yang standard.
Jom amalkan ilmu dalam amalan?)
Selesaikan persamaan trigonometri:
Pertama, lebih mudah, terus dari pelajaran ini.
Sekarang ia lebih rumit.
Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan tentang bulatan. Secara peribadi.)
Dan sekarang mereka secara luarannya mudah... Mereka juga dipanggil kes khas.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan dalam bulatan di mana terdapat dua siri jawapan dan di mana terdapat satu... Dan cara menulis satu daripada dua siri jawapan. Ya, supaya tiada satu pun punca daripada nombor tak terhingga hilang!)
Nah, sangat mudah):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Petunjuk: di sini anda perlu tahu apa itu arcsine dan arccosine? Apakah arctangent, arccotangent? Paling banyak takrifan mudah. Tetapi anda tidak perlu mengingati sebarang nilai jadual!)
Jawapannya, sudah tentu, kucar-kacir):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Tidak semuanya berjaya? berlaku. Baca pelajaran sekali lagi. Sahaja secara termenung(ada begitu perkataan usang...) Dan ikuti pautan. Pautan utama adalah mengenai bulatan. Tanpanya, trigonometri ibarat melintas jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang ia berfungsi.)
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Memerlukan pengetahuan tentang formula asas trigonometri - jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, ungkapan tangen melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi mereka yang telah melupakannya atau tidak mengenali mereka, kami mengesyorkan membaca artikel "".
Jadi, kita tahu formula trigonometri asas, sudah tiba masanya untuk menggunakannya dalam amalan. Menyelesaikan persamaan trigonometri di pendekatan yang betul- cukup aktiviti yang menarik, seperti, contohnya, menyelesaikan kubus Rubik.
Berdasarkan nama itu sendiri, jelas bahawa persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Terdapat apa yang dipanggil persamaan trigonometri mudah. Inilah rupanya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk kejelasan, kami akan menggunakan bulatan trigonometri yang sudah biasa.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
katil bayi x = a
Mana-mana persamaan trigonometri diselesaikan dalam dua peringkat: kita mengurangkan persamaan kepada bentuk termudah dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri mudah.
Terdapat 7 kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Kaedah penggantian dan penggantian boleh ubah
Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui pemfaktoran
Pengurangan kepada persamaan homogen
Menyelesaikan persamaan melalui peralihan kepada setengah sudut
Pengenalan sudut bantu
Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Menggunakan formula pengurangan yang kita dapat:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Gantikan cos(x + /6) dengan y untuk memudahkan dan mendapatkan persamaan kuadratik biasa:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Punca-puncanya ialah y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sekarang mari kita pergi dalam urutan terbalik
Kami menggantikan nilai y yang ditemui dan mendapat dua pilihan jawapan:
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?
Mari kita gerakkan semuanya ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan:
sin x + cos x – 1 = 0
Mari kita gunakan identiti yang dibincangkan di atas untuk memudahkan persamaan:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Mari kita faktorkan:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Kami mendapat dua persamaan
Persamaan adalah homogen berkenaan dengan sinus dan kosinus jika semua sebutannya adalah relatif kepada sinus dan kosinus darjah yang sama bagi sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, teruskan seperti berikut:
a) memindahkan semua ahlinya ke sebelah kiri;
b) keluarkan semua faktor sepunya daripada kurungan;
c) samakan semua faktor dan kurungan kepada 0;
d) persamaan homogen darjah yang lebih rendah diperolehi dalam kurungan, yang seterusnya dibahagikan kepada sinus atau kosinus darjah yang lebih tinggi;
e) selesaikan persamaan yang terhasil untuk tg.
Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Mari kita gunakan formula sin 2 x + cos 2 x = 1 dan buang dua terbuka di sebelah kanan:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Bahagikan dengan cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadratik:
y 2 + 4y +3 = 0, yang puncanya ialah y 1 =1, y 2 = 3
Dari sini kita dapati dua penyelesaian kepada persamaan asal:
x 2 = arctan 3 + k
Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7
Mari kita beralih kepada x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Mari kita gerakkan semuanya ke kiri:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Bahagikan dengan cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,
di mana a, b, c ialah beberapa pekali arbitrari, dan x adalah tidak diketahui.
Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
Sekarang pekali persamaan mengikut rumus trigonometri mempunyai sifat sin dan cos, iaitu: modulus mereka tidak lebih daripada 1 dan hasil tambah kuasa dua = 1. Mari kita nyatakan mereka masing-masing sebagai cos dan sin, di mana - ini adalah sudut tambahan yang dipanggil. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:
cos * sin x + sin * cos x = C
atau sin(x + ) = C
Penyelesaian kepada persamaan trigonometri termudah ini ialah
x = (-1) k * arcsin C - + k, di mana
Perlu diingatkan bahawa notasi cos dan sin boleh ditukar ganti.
Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1
Pekali dalam persamaan ini ialah:
a = , b = -1, jadi bahagikan kedua-dua belah dengan = 2
Menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
Menyelesaikan persamaan trigonometri bagi sebarang tahap kerumitan akhirnya bermuara kepada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah. Dan dalam hal ini bulatan trigonometri sekali lagi ternyata menjadi pembantu terbaik.
Mari kita ingat semula definisi kosinus dan sinus.
Kosinus sudut ialah absis (iaitu, koordinat sepanjang paksi) titik pada bulatan unit sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Sinus suatu sudut ialah koordinat (iaitu, koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit yang sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Arah positif pergerakan pada bulatan trigonometri adalah lawan jam. Putaran 0 darjah (atau 0 radian) sepadan dengan titik dengan koordinat (1;0)
Kami menggunakan takrifan ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
1. Selesaikan persamaan
Persamaan ini dipenuhi dengan semua nilai sudut putaran yang sepadan dengan titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandakan titik dengan ordinat pada paksi ordinat:
Lukis garis mendatar selari dengan paksi-x sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai ordinat. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Jika kita, meninggalkan titik yang sepadan dengan sudut putaran per radian, mengelilingi bulatan penuh, maka kita akan tiba pada titik yang sepadan dengan sudut putaran per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Iaitu, sudut putaran ini juga memenuhi persamaan kami. Kita boleh membuat seberapa banyak revolusi "terbiar" yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Bilangan pusingan "terbiar" akan dilambangkan dengan huruf (atau). Memandangkan kita boleh membuat revolusi ini dalam kedua-dua arah positif dan negatif, (atau) boleh mengambil sebarang nilai integer.
Iaitu, siri pertama penyelesaian kepada persamaan asal mempunyai bentuk:
, , - set integer (1)
Begitu juga, siri kedua penyelesaian mempunyai bentuk:
, Di mana , . (2)
Seperti yang anda duga, siri penyelesaian ini adalah berdasarkan titik pada bulatan yang sepadan dengan sudut putaran dengan .
Kedua-dua siri penyelesaian ini boleh digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita ambil (iaitu, walaupun) dalam entri ini, maka kita akan mendapat penyelesaian siri pertama.
Jika kita ambil (iaitu, ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapat penyelesaian siri kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaan
Oleh kerana ini adalah absis titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan berputar melalui sudut, kami menandakan titik dengan absis pada paksi:
Lukis garis menegak selari dengan paksi sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami akan mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai abscissa. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian. Ingat bahawa apabila bergerak mengikut arah jam kita mendapat sudut putaran negatif:
Mari kita tulis dua siri penyelesaian:
,
,
(Kita sampai ke titik yang dikehendaki dengan pergi dari bulatan penuh utama, iaitu.
Mari gabungkan dua siri ini menjadi satu entri:
3. Selesaikan persamaan
Garis tangen melalui titik dengan koordinat (1,0) bulatan unit selari dengan paksi OY
Mari kita tandakan titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita sedang mencari tangen yang sudutnya sama dengan 1):
Mari kita sambungkan titik ini kepada asal koordinat dengan garis lurus dan tandakan titik persilangan garis dengan bulatan unit. Titik persilangan garis lurus dan bulatan sepadan dengan sudut putaran pada dan :
Oleh kerana titik yang sepadan dengan sudut putaran yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian antara satu sama lain, kita boleh menulis penyelesaiannya dengan cara ini:
4. Selesaikan persamaan
Garisan kotangen melalui titik dengan koordinat bulatan unit selari dengan paksi.
Mari kita tandakan titik dengan abscissa -1 pada garisan kotangen:
Mari kita sambungkan titik ini dengan asal garis lurus dan teruskan sehingga ia bersilang dengan bulatan. Garis lurus ini akan memotong bulatan pada titik yang sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Oleh kerana titik-titik ini dipisahkan antara satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka keputusan bersama Kita boleh menulis persamaan ini seperti ini:
Dalam contoh yang diberikan yang menggambarkan penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah, nilai jadual fungsi trigonometri telah digunakan.
Walau bagaimanapun, jika sebelah kanan persamaan mengandungi nilai bukan jadual, maka kita menggantikan nilai tersebut ke dalam penyelesaian umum persamaan:
PENYELESAIAN KHAS:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 0:
Tandakan pada bulatan satu-satunya titik, yang ordinatnya ialah 1:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan -1:
Oleh kerana kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang paling hampir dengan sifar, kami menulis penyelesaiannya seperti berikut:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 0:
5.
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 1:
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan -1:
Dan contoh yang lebih kompleks:
1.
Sinus adalah sama dengan satu jika hujahnya sama dengan
Hujah sinus kita adalah sama, jadi kita dapat:
Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 3:
Jawapan:
2.
Kosinus adalah sifar jika hujah kosinus ialah
Hujah kosinus kita adalah sama dengan , jadi kita dapat:
Mari kita nyatakan , untuk melakukan ini kita mula-mula bergerak ke kanan dengan tanda yang bertentangan:
Mari kita permudahkan bahagian kanan:
Bahagikan kedua belah pihak dengan -2:
Ambil perhatian bahawa tanda di hadapan istilah tidak berubah, kerana k boleh mengambil sebarang nilai integer.
Jawapan:
Dan akhirnya, tonton pelajaran video "Memilih punca dalam persamaan trigonometri menggunakan bulatan trigonometri"
Ini menyimpulkan perbualan kami tentang menyelesaikan persamaan trigonometri mudah. Lain kali kita akan bercakap tentang bagaimana untuk membuat keputusan.
