Untuk menentukan luas segi tiga, anda boleh menggunakan formula yang berbeza. Daripada semua kaedah, yang paling mudah dan paling kerap digunakan ialah mendarab ketinggian dengan panjang tapak dan kemudian membahagikan hasilnya dengan dua. Namun begitu kaedah ini jauh dari satu-satunya. Di bawah ini anda boleh membaca cara mencari luas segi tiga menggunakan formula yang berbeza.

Secara berasingan, kita akan melihat cara untuk mengira luas jenis segitiga tertentu - segi empat tepat, isosceles dan sama sisi. Kami mengiringi setiap formula dengan penjelasan ringkas yang akan membantu anda memahami intipatinya.

Kaedah universal untuk mencari luas segi tiga

Formula di bawah menggunakan tatatanda khas. Kami akan menguraikan setiap daripada mereka:

• a, b, c – panjang tiga sisi rajah yang sedang kita pertimbangkan;
• r ialah jejari bulatan yang boleh ditulis dalam segi tiga kita;
• R ialah jejari bulatan yang boleh diterangkan di sekelilingnya;
• α ialah magnitud sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
• β ialah magnitud sudut antara a dan c;
• γ ialah magnitud sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
• h ialah ketinggian segi tiga kami, diturunkan dari sudut α ke sisi a;
• p – separuh hasil tambah sisi a, b dan c.

Secara logiknya jelas mengapa anda boleh mencari luas segi tiga dengan cara ini. Segitiga dengan mudah boleh dilengkapkan menjadi segi empat selari, di mana satu sisi segitiga akan bertindak sebagai pepenjuru. Luas segi empat selari ditemui dengan mendarabkan panjang salah satu sisinya dengan nilai ketinggian yang dilukis padanya. Diagonal membahagikan segi empat selari bersyarat ini kepada 2 segi tiga yang sama. Oleh itu, agak jelas bahawa luas segi tiga asal kami mestilah sama dengan separuh luas segi empat selari tambahan ini.

S=½ a b sin γ

Menurut formula ini, luas segi tiga ditemui dengan mendarabkan panjang dua sisinya, iaitu, a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh mereka. Formula ini secara logik diperoleh daripada yang sebelumnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut β ke sisi b, maka, mengikut sifat segi tiga tepat, apabila kita mendarabkan panjang sisi a dengan sinus sudut γ, kita memperoleh ketinggian segi tiga, iaitu, h .

Luas rajah yang dimaksudkan didapati dengan mendarab separuh jejari bulatan yang boleh ditulis di dalamnya dengan perimeternya. Dengan kata lain, kita dapati hasil darab separuh perimeter dan jejari bulatan yang disebutkan.

S= a b c/4R

Mengikut formula ini, nilai yang kita perlukan boleh didapati dengan membahagikan hasil darab sisi rajah dengan 4 jejari bulatan yang diterangkan di sekelilingnya.

Formula ini adalah universal, kerana ia memungkinkan untuk menentukan luas mana-mana segitiga (skala, isosceles, sama sisi, segi empat tepat). Ini boleh dilakukan dengan menggunakan pengiraan yang lebih kompleks, yang tidak akan kami bincangkan secara terperinci.

Luas segi tiga dengan sifat tertentu

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga tepat? Keanehan angka ini ialah kedua-dua sisinya serentak ketinggiannya. Jika a dan b ialah kaki, dan c menjadi hipotenus, maka kita dapati kawasan seperti ini:

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Akibatnya, luasnya boleh ditentukan dengan membahagikan dengan 2 hasil darab segi empat sama sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisi adalah sama dengan a, dan magnitud semua sudut ialah α. Tingginya adalah sama dengan separuh hasil darab panjang sisi a dan punca kuasa dua bagi 3. Untuk mencari luas segi tiga biasa, anda perlu mendarab kuasa dua sisi a dengan punca kuasa dua 3 dan bahagi dengan 4.

Segitiga adalah angka yang biasa kepada semua orang. Dan ini walaupun pelbagai jenis bentuknya. Segi empat tepat, sama sisi, akut, sama kaki, tumpul. Setiap daripada mereka berbeza dalam beberapa cara. Tetapi bagi sesiapa sahaja anda perlu mengetahui luas segi tiga.

Formula biasa untuk semua segi tiga yang menggunakan panjang sisi atau ketinggian

Penamaan yang diterima pakai di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi yang sepadan pada a, n dalam, n dengan.

1. Luas segi tiga dikira sebagai hasil darab ½, sisi dan ketinggian ditolak daripadanya. S = ½ * a * n a. Formula untuk dua sisi yang lain harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Formula Heron, di mana separuh perimeter muncul (ia biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, berbeza dengan perimeter penuh). Separuh perimeter mesti dikira seperti berikut: tambah semua sisi dan bahagikannya dengan 2. Formula untuk separuh perimeter ialah: p = (a+b+c) / 2. Kemudian kesamaan untuk luas ​​rajahnya kelihatan seperti ini: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jika anda tidak mahu menggunakan separuh perimeter, maka formula yang mengandungi hanya panjang sisi akan berguna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ia lebih panjang sedikit daripada yang sebelumnya, tetapi ia akan membantu jika anda terlupa cara mencari separuh perimeter.

Formula am yang melibatkan sudut segitiga

Notasi yang diperlukan untuk membaca formula: α, β, γ - sudut. Mereka terletak bertentangan dengan sisi a, b, c, masing-masing.

1. Menurutnya, separuh hasil darab dua sisi dan sinus sudut di antara mereka adalah sama dengan luas segi tiga. Iaitu: S = ½ a * b * sin γ. Dengan cara yang sama anda harus menulis formula untuk dua kes yang lain.

2. Luas segi tiga boleh dikira dari satu sisi dan tiga sudut yang diketahui. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Terdapat juga formula dengan satu sisi yang diketahui dan dua sudut yang bersebelahan. Ia kelihatan seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua formula terakhir bukanlah yang paling mudah. Agak sukar untuk mengingati mereka.

Formula am untuk keadaan apabila jejari bulatan bersurat atau berhad diketahui

Penamaan tambahan: r, R - jejari. Yang pertama digunakan untuk jejari bulatan bertulis. Yang kedua adalah untuk yang diterangkan.

1. Formula pertama di mana luas segi tiga dikira adalah berkaitan dengan separuh perimeter. S = r * r. Cara lain untuk menulisnya ialah: S = ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kes kedua, anda perlu mendarab semua sisi segi tiga dan membahagikannya dengan empat kali ganda jejari bulatan yang dihadkan. DALAM ungkapan literal ia kelihatan seperti ini: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situasi ketiga membolehkan anda melakukan tanpa mengetahui sisi, tetapi anda memerlukan nilai ketiga-tiga sudut. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Kes khas: segi tiga tepat

Ini adalah keadaan paling mudah, kerana hanya panjang kedua-dua kaki diperlukan. Mereka ditetapkan dengan huruf Latin a dan c. Luas segi tiga tepat adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang ditambah kepadanya.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini: S = ½ a * b. Ia adalah yang paling mudah untuk diingati. Kerana ia kelihatan seperti formula untuk luas segi empat tepat, hanya pecahan yang muncul, menunjukkan separuh.

Kes khas: segi tiga sama kaki

Memandangkan ia mempunyai dua sisi yang sama, sesetengah formula untuk kawasannya kelihatan agak mudah. Sebagai contoh, formula Heron, yang mengira luas segi tiga sama kaki, mengambil bentuk berikut:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Jika anda mengubahnya, ia akan menjadi lebih pendek. Dalam kes ini, formula Heron untuk segi tiga sama kaki ditulis seperti berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Rumus luas kelihatan agak mudah daripada segi tiga sewenang-wenangnya jika sisi dan sudut di antara mereka diketahui. S = ½ a 2 * sin β.

Kes khas: segi tiga sama sisi

Biasanya dalam masalah, sisi mengenainya diketahui atau ia boleh diketahui dalam beberapa cara. Kemudian formula untuk mencari luas segi tiga tersebut adalah seperti berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Masalah untuk mencari kawasan jika segitiga digambarkan pada kertas berkotak-kotak

Situasi paling mudah ialah apabila segi tiga tepat dilukis supaya kakinya bertepatan dengan garisan kertas. Kemudian anda hanya perlu mengira bilangan sel yang sesuai dengan kaki. Kemudian darab dan bahagikan dengan dua.

Apabila segi tiga itu akut atau tumpul, ia perlu dilukis kepada segi empat tepat. Kemudian angka yang terhasil akan mempunyai 3 segi tiga. Satu adalah yang diberikan dalam masalah. Dan dua lagi adalah tambahan dan segi empat tepat. Bidang dua yang terakhir perlu ditentukan menggunakan kaedah yang diterangkan di atas. Kemudian hitung luas segi empat tepat dan tolak daripadanya yang dikira untuk yang tambahan. Luas segi tiga ditentukan.

Keadaan di mana tiada satu pun sisi segitiga bertepatan dengan garisan kertas ternyata menjadi lebih rumit. Kemudian ia perlu ditulis dalam segi empat tepat supaya bucu angka asal terletak di sisinya. Dalam kes ini, akan ada tiga segi tiga tegak tambahan.

Contoh masalah menggunakan formula Heron

keadaan. Beberapa segi tiga mempunyai sisi yang diketahui. Mereka adalah sama dengan 3, 5 dan 6 cm Anda perlu mengetahui luasnya.

Sekarang anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula di atas. Di bawah punca kuasa dua ialah hasil darab empat nombor: 7, 4, 2 dan 1. Iaitu, luasnya ialah √(4 * 14) = 2 √(14).

Jika ketepatan yang lebih besar tidak diperlukan, maka anda boleh mengambil punca kuasa dua 14. Ia bersamaan dengan 3.74. Maka luasnya ialah 7.48.

Jawab. S = 2 √14 cm 2 atau 7.48 cm 2.

Contoh masalah dengan segi tiga tepat

keadaan. Satu kaki segi tiga tepat adalah 31 cm lebih besar daripada yang kedua Anda perlu mengetahui panjangnya jika luas segi tiga itu ialah 180 cm 2.
Penyelesaian. Kita perlu menyelesaikan satu sistem dua persamaan. Yang pertama berkaitan dengan kawasan. Yang kedua adalah dengan nisbah kaki, yang diberikan dalam masalah.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pertama, nilai "a" mesti digantikan ke dalam persamaan pertama. Ternyata: 180 = ½ (dalam + 31) * dalam. Terdapat hanya satu kuantiti yang tidak diketahui, jadi ia mudah untuk diselesaikan. Selepas membuka kurungan kita dapat persamaan kuadratik: dalam 2 + 31 dalam - 360 = 0. Ia memberikan dua nilai untuk "dalam": 9 dan - 40. Nombor kedua tidak sesuai sebagai jawapan, kerana panjang sisi segitiga tidak boleh negatif nilai.

Ia kekal untuk mengira bahagian kedua: tambah 31 kepada nombor yang terhasil Ternyata 40. Ini adalah kuantiti yang dicari dalam masalah.

Jawab. Kaki segi tiga itu ialah 9 dan 40 cm.

Masalah mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut segitiga

keadaan. Luas segitiga tertentu ialah 60 cm 2. Adalah perlu untuk mengira salah satu sisinya jika sisi kedua ialah 15 cm dan sudut di antara mereka ialah 30º.

Penyelesaian. Berdasarkan tatatanda yang diterima, sisi yang dikehendaki "a", sisi yang diketahui "b", sudut yang ditentukan"γ". Kemudian formula kawasan boleh ditulis semula seperti berikut:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Di sini sinus 30 darjah ialah 0.5.

Selepas transformasi, "a" ternyata sama dengan 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Iaitu 16.

Jawab. Sisi yang diperlukan ialah 16 cm.

Masalah tentang segi empat sama yang ditulis dalam segi tiga tegak

keadaan. Puncak segi empat sama dengan sisi 24 cm bertepatan dengan sudut tegak segi tiga itu. Dua lagi berbaring di sisi. Yang ketiga tergolong dalam hipotenus. Panjang salah satu kaki ialah 42 cm Berapakah luas segi tiga tepat itu?

Penyelesaian. Pertimbangkan dua segi tiga tepat. Yang pertama adalah yang dinyatakan dalam tugasan. Yang kedua adalah berdasarkan kaki segitiga asal yang diketahui. Mereka serupa kerana mereka mempunyai sudut sepunya dan dibentuk oleh garis selari.

Kemudian nisbah kaki mereka adalah sama. Kaki segi tiga yang lebih kecil adalah sama dengan 24 cm (sisi segi empat sama) dan 18 cm (diberi kaki 42 cm tolak sisi segi empat sama 24 cm). Kaki yang sepadan bagi segitiga besar ialah 42 cm dan x cm Ini adalah "x" yang diperlukan untuk mengira luas segi tiga.

18/42 = 24/x, iaitu x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Maka luasnya adalah sama dengan hasil darab 56 dan 42 dibahagikan dengan dua, iaitu 1176 cm 2.

Jawab. Luas yang diperlukan ialah 1176 cm 2.

Segitiga adalah salah satu yang paling biasa bentuk geometri, yang sudah kita kenali dalam sekolah rendah. Setiap pelajar menghadapi persoalan bagaimana mencari luas segi tiga dalam pelajaran geometri. Jadi, apakah ciri mencari luas angka yang diberikan boleh dikenal pasti? Dalam artikel ini kita akan melihat formula asas yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas sedemikian, dan juga menganalisis jenis segitiga.

Jenis-jenis segitiga

Anda boleh mencari luas segi tiga sama sekali cara yang berbeza, kerana dalam geometri terdapat lebih daripada satu jenis rajah yang mengandungi tiga sudut. Jenis ini termasuk:

• Bodoh.
• Sama sisi (betul).
• Segitiga kanan.
• Sama kaki.

Mari kita lihat dengan lebih dekat setiap jenis segitiga yang sedia ada.

Angka geometri ini dianggap paling biasa apabila menyelesaikan masalah geometri. Apabila timbul keperluan untuk melukis segitiga sewenang-wenangnya, pilihan ini datang untuk menyelamatkan.

Dalam segi tiga akut, seperti namanya, semua sudut adalah akut dan ditambah sehingga 180°.

Jenis segi tiga ini juga sangat biasa, tetapi agak kurang biasa daripada segi tiga akut. Sebagai contoh, apabila menyelesaikan segi tiga (iaitu, beberapa sisi dan sudutnya diketahui dan anda perlu mencari elemen yang tinggal), kadangkala anda perlu menentukan sama ada sudut itu tumpul atau tidak. Kosinus ialah nombor negatif.

B, nilai salah satu sudut melebihi 90°, jadi dua sudut yang tinggal boleh mengambil nilai kecil (contohnya, 15° atau 3°).

Untuk mencari kawasan segitiga jenis ini, anda perlu mengetahui beberapa nuansa, yang akan kita bincangkan kemudian.

Segitiga sekata dan sama kaki

Poligon sekata ialah rajah yang merangkumi n sudut dan sisi dan sudutnya adalah sama. Ini adalah segi tiga biasa. Oleh kerana jumlah semua sudut segitiga ialah 180°, maka setiap tiga sudut ialah 60°.

Segi tiga sekata, kerana sifatnya, juga dipanggil angka sama sisi.

Ia juga perlu diperhatikan bahawa hanya satu bulatan boleh ditulis dalam segitiga biasa, dan hanya satu bulatan boleh diterangkan di sekelilingnya, dan pusatnya terletak pada titik yang sama.

Sebagai tambahan kepada jenis sama sisi, seseorang juga boleh membezakan segi tiga sama kaki, yang sedikit berbeza daripadanya. Dalam segi tiga sedemikian, dua sisi dan dua sudut adalah sama antara satu sama lain, dan sisi ketiga (yang bersebelahan sudut yang sama) ialah asas.

Rajah menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki DEF yang sudut D dan F adalah sama dan DF ialah tapaknya.

Segitiga kanan

Segitiga tegak dinamakan sedemikian kerana salah satu sudutnya adalah tegak, iaitu sama dengan 90°. Dua sudut yang lain menambah sehingga 90°.

Paling banyak sebelah besar bagi segi tiga sedemikian, yang terletak bertentangan dengan sudut 90° ialah hipotenus, manakala dua sisi yang tinggal ialah kaki. Untuk jenis segi tiga ini, teorem Pythagoras digunakan:

Jumlah kuasa dua panjang kaki adalah sama dengan kuasa dua panjang hipotenus.

Rajah menunjukkan sebuah segi tiga tepat BAC dengan hipotenus AC dan kaki AB dan BC.

Untuk mencari luas segi tiga dengan sudut tepat, anda perlu tahu nilai angka kakinya.

Mari kita beralih kepada formula untuk mencari luas angka yang diberikan.

Formula asas untuk mencari kawasan

Dalam geometri, dua formula boleh dibezakan yang sesuai untuk mencari luas kebanyakan jenis segitiga, iaitu untuk akut, tumpul, sekata dan segi tiga sama kaki. Mari lihat setiap daripada mereka.

Di sebelah dan ketinggian

Formula ini adalah universal untuk mencari luas angka yang sedang kita pertimbangkan. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengetahui panjang sisi dan panjang ketinggian yang ditarik kepadanya. Formula itu sendiri (separuh hasil darab tapak dan ketinggian) adalah seperti berikut:

di mana A ialah sisi segi tiga yang diberi, dan H ialah ketinggian segi tiga itu.

Sebagai contoh, untuk mencari kawasan segi tiga akut ACB, anda perlu mendarab sisi ABnya dengan CD ketinggian dan membahagikan nilai yang terhasil dengan dua.

Walau bagaimanapun, tidak selalu mudah untuk mencari luas segi tiga dengan cara ini. Sebagai contoh, untuk menggunakan formula ini untuk segi tiga tumpul, anda perlu memanjangkan salah satu sisinya dan kemudian melukis ketinggian kepadanya.

Dalam amalan, formula ini digunakan lebih kerap daripada yang lain.

Di kedua-dua belah dan sudut

Formula ini, seperti yang sebelumnya, sesuai untuk kebanyakan segi tiga dan dalam maksudnya adalah akibat daripada formula untuk mencari luas sisi dan ketinggian segi tiga. Iaitu, formula yang dimaksudkan boleh diperolehi dengan mudah daripada yang sebelumnya. Formulasinya kelihatan seperti ini:

S = ½*sinO*A*B,

di mana A dan B ialah sisi segi tiga, dan O ialah sudut antara sisi A dan B.

Mari kita ingat bahawa sinus sudut boleh dilihat dalam jadual khas yang dinamakan sempena ahli matematik Soviet yang cemerlang V. M. Bradis.

Sekarang mari kita beralih kepada formula lain yang hanya sesuai untuk jenis segitiga yang luar biasa.

Luas segi tiga tepat

Sebagai tambahan kepada formula universal, yang merangkumi keperluan untuk mencari ketinggian dalam segitiga, kawasan segitiga yang mengandungi sudut tegak boleh didapati dari kakinya.

Oleh itu, luas segi tiga yang mengandungi sudut tegak ialah separuh hasil darab kakinya, atau:

dengan a dan b ialah kaki bagi segi tiga tegak.

Segitiga biasa

Jenis rajah geometri ini berbeza kerana luasnya boleh didapati dengan nilai yang ditunjukkan hanya satu sisinya (kerana semua sisi segitiga sekata adalah sama). Oleh itu, apabila berhadapan dengan tugas "mencari luas segi tiga apabila sisinya sama", anda perlu menggunakan formula berikut:

S = A 2 *√3 / 4,

di mana A ialah sisi segi tiga sama sisi.

Formula Heron

Pilihan terakhir untuk mencari luas segi tiga ialah formula Heron. Untuk menggunakannya, anda perlu mengetahui panjang tiga sisi rajah. Formula Heron kelihatan seperti ini:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

dengan a, b dan c ialah sisi bagi segi tiga yang diberi.

Kadang-kadang masalah diberikan: "luas segitiga biasa adalah untuk mencari panjang sisinya." Dalam kes ini, kita perlu menggunakan formula yang telah kita ketahui untuk mencari luas segi tiga biasa dan memperolehi nilai sisi (atau segi empatnya):

A 2 = 4S / √3.

Tugas peperiksaan

Terdapat banyak formula dalam masalah GIA dalam matematik. Di samping itu, agak kerap adalah perlu untuk mencari kawasan segitiga pada kertas berkotak-kotak.

Dalam kes ini, adalah paling mudah untuk menarik ketinggian ke salah satu sisi rajah, tentukan panjangnya dari sel dan gunakan formula universal untuk mencari kawasan:

Oleh itu, selepas mengkaji formula yang dibentangkan dalam artikel itu, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah mencari luas segi tiga dalam apa jua bentuk.

Kawasan segitiga - formula dan contoh penyelesaian masalah

Di bawah adalah formula untuk mencari luas segi tiga sewenang-wenangnya yang sesuai untuk mencari luas mana-mana segi tiga, tanpa mengira sifat, sudut atau saiznya. Formula dibentangkan dalam bentuk gambar, dan penjelasan aplikasi atau justifikasi untuk ketepatannya juga disediakan di sini. Surat-menyurat juga ditunjukkan dalam angka yang berasingan sebutan surat dalam formula dan simbol grafik pada lukisan itu.

Catatan . Jika segi tiga mempunyai sifat istimewa (sama kaki, segi empat tepat, sama sisi), anda boleh menggunakan formula yang diberikan di bawah, serta formula khas tambahan yang hanya sah untuk segi tiga dengan sifat ini:

• "Rumus untuk luas segi tiga sama sisi"

Rumus luas segi tiga

Penjelasan untuk formula:
a, b, c- panjang sisi segi tiga yang luasnya kita ingin cari
r- jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga
R- jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga
h- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi
hlm- separuh perimeter segi tiga, 1/2 jumlah sisinya (perimeter)
α - sudut bertentangan dengan sisi a segitiga
β - sudut bertentangan dengan sisi b segi tiga itu
γ - sudut bertentangan dengan sisi c segitiga itu
h a, h b , h c- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi a, b, c

Sila ambil perhatian bahawa notasi di atas sepadan dengan rajah di atas, supaya apabila menyelesaikan masalah sebenar dalam geometri, lebih mudah bagi anda untuk menggantikan nilai yang betul di tempat yang betul dalam formula.

• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab ketinggian segi tiga dan panjang sisi yang mana ketinggian ini diturunkan(Formula 1). Ketepatan formula ini boleh difahami secara logik. Ketinggian yang diturunkan ke pangkal akan membelah segitiga sembarangan kepada dua segi empat tepat. Jika anda membina setiap daripada mereka menjadi segi empat tepat dengan dimensi b dan h, maka jelas luas segi tiga ini akan sama dengan tepat separuh luas segi empat tepat (Spr = bh)
• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab kedua-dua sisinya dan sinus sudut di antaranya(Formula 2) (lihat contoh penyelesaian masalah menggunakan formula ini di bawah). Walaupun pada hakikatnya ia kelihatan berbeza daripada yang sebelumnya, ia boleh dengan mudah diubah ke dalamnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut B ke sisi b, ternyata hasil darab sisi a dan sinus sudut γ, mengikut sifat sinus dalam segi tiga tepat sama dengan ketinggian segi tiga yang kita lukis, yang akan memberi kita formula sebelumnya
• Luas segi tiga sewenang-wenangnya boleh didapati melalui kerja separuh jejari bulatan yang tertulis di dalamnya dengan jumlah panjang semua sisinya(Formula 3), secara ringkasnya, anda perlu mendarab separuh perimeter segi tiga dengan jejari bulatan bertulis (ini lebih mudah diingati)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati dengan membahagikan hasil darab semua sisinya dengan 4 jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya (Formula 4)
• Formula 5 mencari luas segi tiga melalui panjang sisinya dan separuh perimeternya (separuh jumlah semua sisinya)
• Formula Heron(6) ialah perwakilan formula yang sama tanpa menggunakan konsep separuh perimeter, hanya melalui panjang sisi
• Luas segi tiga arbitrari adalah sama dengan hasil darab segi empat sama sisi segi tiga dan sinus sudut bersebelahan dengan sisi ini dibahagikan dengan sinus berganda sudut bertentangan dengan sisi ini (Formula 7)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati sebagai hasil darab dua segi empat sama bulatan yang dikelilingi oleh sinus setiap sudutnya. (Formula 8)
• Jika panjang satu sisi dan nilai dua sudut bersebelahan diketahui, maka luas segi tiga boleh didapati sebagai segi empat sama sisi ini dibahagikan dengan hasil tambah ganda kotangen sudut-sudut ini (Formula 9)
• Jika hanya panjang setiap ketinggian segi tiga diketahui (Formula 10), maka luas segi tiga tersebut adalah berkadar songsang dengan panjang ketinggian ini, seperti menurut Formula Heron.
• Formula 11 membolehkan anda mengira luas segi tiga berdasarkan koordinat bucunya, yang dinyatakan sebagai nilai (x;y) untuk setiap bucu. Sila ambil perhatian bahawa nilai yang terhasil mesti diambil modulo, kerana koordinat individu (atau semua) bucu mungkin berada dalam kawasan nilai negatif

Catatan. Berikut adalah contoh penyelesaian masalah geometri untuk mencari luas segi tiga. Jika anda perlu menyelesaikan masalah geometri yang tidak serupa di sini, tulis mengenainya dalam forum. Dalam penyelesaian, bukannya simbol " Punca kuasa dua"fungsi sqrt() boleh digunakan, di mana sqrt ialah simbol punca kuasa dua, dan ungkapan radikal ditunjukkan dalam kurungan.Kadang-kadang untuk ungkapan radikal mudah simbol boleh digunakan √

Tugasan. Cari luas yang diberi dua sisi dan sudut di antara mereka

Sisi segi tiga itu ialah 5 dan 6 cm Sudut di antaranya ialah 60 darjah. Cari luas segi tiga itu.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula nombor dua daripada bahagian teori pelajaran.
Luas segi tiga boleh didapati melalui panjang dua sisi dan sinus sudut di antara mereka dan akan sama dengan
S=1/2 ab sin γ

Oleh kerana kami mempunyai semua data yang diperlukan untuk penyelesaian (mengikut formula), kami hanya boleh menggantikan nilai dari keadaan masalah ke dalam formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Dalam jadual nilai fungsi trigonometri Mari cari dan gantikan nilai sinus 60 darjah ke dalam ungkapan. Ia akan sama dengan punca tiga kali dua.
S = 15 √3 / 2

Jawab: 7.5 √3 (bergantung kepada keperluan guru, anda mungkin boleh meninggalkan 15 √3/2)

Tugasan. Cari luas segi tiga sama sisi

Cari luas segi tiga sama sisi dengan sisi 3cm.

Penyelesaian .

Luas segi tiga boleh didapati menggunakan formula Heron:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Oleh kerana a = b = c, formula untuk luas segitiga sama sisi mengambil bentuk:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Jawab: 9 √3 / 4.

Tugasan. Tukar kawasan apabila menukar panjang sisi

Berapa kali luas segitiga akan bertambah jika sisinya ditambah 4 kali?

Penyelesaian.

Oleh kerana dimensi sisi segi tiga tidak diketahui oleh kami, untuk menyelesaikan masalah kami akan menganggap bahawa panjang sisi masing-masing sama dengan nombor arbitrari a, b, c. Kemudian, untuk menjawab persoalan masalah, kita akan mencari luas segitiga yang diberikan, dan kemudian kita akan mencari luas segitiga yang sisinya empat kali lebih besar. Nisbah luas segi tiga ini akan memberi kita jawapan kepada masalah tersebut.

Di bawah ini kami memberikan penjelasan teks mengenai penyelesaian masalah langkah demi langkah. Walau bagaimanapun, pada akhirnya, penyelesaian yang sama ini diberikan dalam bentuk yang lebih mudah dibaca. bentuk grafik. Mereka yang berminat boleh segera turun penyelesaian.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan formula Heron (lihat di atas dalam bahagian teori pelajaran). Ia kelihatan seperti ini:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris pertama gambar di bawah)

Panjang sisi segitiga arbitrari ditentukan oleh pembolehubah a, b, c.
Jika sisi ditambah sebanyak 4 kali, maka luas segitiga baru c ialah:

S 2 = 1/4 persegi((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(lihat baris kedua dalam gambar di bawah)

Seperti yang anda lihat, 4 ialah faktor biasa yang boleh diambil daripada kurungan daripada keempat-empat ungkapan mengikut peraturan umum matematik.
Kemudian

S 2 = 1/4 persegi(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pada baris ketiga gambar
S 2 = 1/4 persegi(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - baris keempat

Punca kuasa dua nombor 256 diekstrak dengan sempurna, jadi mari kita keluarkan dari bawah akar
S 2 = 16 * 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris kelima gambar di bawah)

Untuk menjawab soalan yang ditanya dalam masalah, kita hanya perlu membahagikan kawasan segitiga yang terhasil dengan luas segitiga asal.
Mari kita tentukan nisbah luas dengan membahagikan ungkapan dengan satu sama lain dan mengurangkan pecahan yang terhasil.