Mendarab ungkapan huruf. Ungkapan literal

Adalah diketahui bahawa dalam matematik tidak ada cara untuk dilakukan tanpa menyederhanakan ungkapan. Ini diperlukan untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah dengan betul dan cepat, serta pelbagai jenis persamaan. Penyederhanaan yang dibincangkan di sini membayangkan pengurangan dalam bilangan tindakan yang diperlukan untuk mencapai matlamat. Hasilnya, pengiraan dipermudahkan dengan ketara dan masa dijimatkan dengan ketara. Tetapi bagaimana untuk memudahkan ungkapan? Untuk ini, hubungan matematik yang mantap digunakan, sering dipanggil formula, atau undang-undang, yang membolehkan ungkapan dibuat lebih pendek, dengan itu memudahkan pengiraan.

Bukan rahsia lagi bahawa hari ini tidak sukar untuk memudahkan ungkapan dalam talian. Berikut ialah pautan kepada beberapa yang paling popular:

Walau bagaimanapun, ini tidak mungkin dengan setiap ungkapan. Oleh itu, mari kita lihat lebih dekat kaedah yang lebih tradisional.

Mengeluarkan pembahagi biasa

Dalam kes apabila satu ungkapan mengandungi monomial yang mempunyai faktor yang sama, anda boleh mencari jumlah pekalinya dan kemudian darab dengan faktor sepunya untuknya. Operasi ini juga dipanggil "membuang pembahagi biasa". Menggunakan secara konsisten kaedah ini, kadangkala anda boleh memudahkan ungkapan dengan ketara. Lagipun, algebra secara amnya, secara keseluruhan, dibina berdasarkan pengumpulan dan penyusunan semula faktor dan pembahagi.

Formula termudah untuk pendaraban singkatan

Salah satu akibat daripada kaedah yang diterangkan sebelum ini ialah formula pendaraban yang disingkatkan. Bagaimana untuk memudahkan ungkapan menggunakan banyak semakin jelas, yang tidak menghafal formula ini dengan hati, tetapi tahu bagaimana ia diperoleh, iaitu, dari mana asalnya, dan, dengan itu, sifat matematiknya. Pada dasarnya, pernyataan sebelumnya kekal sah dalam semua matematik moden, dari gred pertama hingga kursus yang lebih tinggi dalam fakulti mekanikal dan matematik. Perbezaan kuasa dua, kuasa dua beza dan hasil tambah, hasil tambah dan beza kubus - semua formula ini digunakan secara meluas dalam matematik asas dan lebih tinggi dalam kes di mana perlu untuk memudahkan ungkapan untuk menyelesaikan masalah. Contoh transformasi sedemikian boleh didapati dengan mudah di mana-mana buku teks sekolah dalam algebra, atau, lebih mudah lagi, mengenai keluasan World Wide Web.

Akar darjah

Matematik asas, jika anda melihatnya secara keseluruhan, tidak mempunyai banyak cara untuk memudahkan ungkapan. Ijazah dan operasi dengan mereka, sebagai peraturan, agak mudah untuk kebanyakan pelajar. Tetapi ramai pelajar sekolah moden dan pelajar mempunyai kesukaran yang besar apabila perlu untuk memudahkan ungkapan dengan akar. Dan ini sama sekali tidak berasas. Kerana sifat matematik akar tidak berbeza dengan sifat darjah yang sama, yang, sebagai peraturan, terdapat lebih sedikit kesukaran. Adalah diketahui bahawa Punca kuasa dua bagi suatu nombor, pembolehubah atau ungkapan tidak lebih daripada nombor, pembolehubah atau ungkapan yang sama kepada kuasa separuh, punca kubus adalah sama dengan kuasa satu pertiga, dan seterusnya mengikut surat-menyurat.

Mempermudahkan ungkapan dengan pecahan

Mari kita lihat juga contoh biasa tentang cara memudahkan ungkapan dengan pecahan. Dalam kes di mana ungkapan adalah pecahan semula jadi, anda harus mengasingkan faktor sepunya daripada penyebut dan pengangka, dan kemudian mengurangkan pecahan dengannya. Apabila monomial mempunyai faktor yang sama dinaikkan kepada kuasa, adalah perlu untuk memastikan bahawa kuasa adalah sama apabila menjumlahkan mereka.

Memudahkan ungkapan trigonometri asas

Apa yang menonjol bagi sesetengah orang ialah perbualan tentang cara memudahkan ungkapan trigonometri. Cabang trigonometri yang paling luas mungkin merupakan peringkat pertama di mana pelajar matematik akan menghadapi konsep, masalah dan kaedah yang agak abstrak untuk menyelesaikannya. Terdapat formula yang sepadan di sini, yang pertama ialah identiti trigonometri asas. Mempunyai minda matematik yang mencukupi, anda boleh mengesan terbitan sistematik daripada identiti ini semua identiti dan formula trigonometri asas, termasuk formula perbezaan dan jumlah hujah, hujah berganda, rangkap tiga, formula pengurangan dan lain-lain lagi. Sudah tentu, seseorang tidak sepatutnya melupakan kaedah pertama di sini, seperti menambah faktor biasa, yang digunakan sepenuhnya bersama kaedah dan formula baru.

Untuk meringkaskan, kami akan memberikan pembaca beberapa nasihat umum:

• Polinomial harus difaktorkan, iaitu, ia harus diwakili dalam bentuk hasil darab beberapa faktor - monomial dan polinomial. Sekiranya kemungkinan sedemikian wujud, adalah perlu untuk mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
• Adalah lebih baik untuk menghafal semua formula pendaraban yang disingkatkan tanpa pengecualian. Jumlahnya tidak begitu banyak, tetapi ia adalah asas untuk memudahkan ungkapan matematik. Kita juga tidak seharusnya melupakan kaedah mengasingkan kuasa dua sempurna dalam trinomial, iaitu tindakan songsang kepada salah satu formula pendaraban yang disingkatkan.
• Semua pecahan yang terdapat dalam ungkapan hendaklah dikurangkan sekerap mungkin. Walau bagaimanapun, jangan lupa bahawa hanya pengganda dikurangkan. Apabila penyebut dan pengangka bagi pecahan algebra didarab dengan nombor yang sama, yang berbeza daripada sifar, makna pecahan itu tidak berubah.
• Secara umum, semua ungkapan boleh diubah melalui tindakan, atau dalam rantai. Kaedah pertama lebih disukai, kerana keputusan tindakan perantaraan lebih mudah untuk disahkan.
• Selalunya dalam ungkapan matematik kita perlu mengekstrak akar. Perlu diingat bahawa punca kuasa genap boleh diekstrak hanya daripada nombor atau ungkapan bukan negatif, dan punca kuasa ganjil boleh diekstrak daripada sebarang ungkapan atau nombor sama sekali.

Kami berharap artikel kami akan membantu anda pada masa hadapan untuk memahami formula matematik dan mengajar anda cara mengaplikasikannya dalam amalan.

Nota 1

Fungsi Boolean boleh ditulis menggunakan ungkapan Boolean dan kemudiannya boleh dialihkan ke litar logik. Ia adalah perlu untuk memudahkan ungkapan logik untuk mendapatkan litar logik yang paling mudah (dan oleh itu lebih murah) yang mungkin. Sebenarnya, fungsi logik, ungkapan logik dan litar logik adalah tiga bahasa berbeza yang bercakap tentang satu entiti.

Untuk memudahkan penggunaan ungkapan logik hukum logik algebra.

Sesetengah penjelmaan adalah serupa dengan penjelmaan formula dalam algebra klasik (mengambil faktor sepunya daripada kurungan, menggunakan undang-undang komutatif dan gabungan, dsb.), manakala penjelmaan lain adalah berdasarkan sifat yang tidak ada pada operasi algebra klasik (menggunakan taburan hukum untuk kata hubung, undang-undang penyerapan, gluing, peraturan de Morgan, dll.).

Undang-undang algebra logik dirumus untuk asas operasi logik- “TIDAK” – penyongsangan (penafian), “DAN” – kata hubung (pendaraban logik) dan “ATAU” – disjungsi (tambahan logik).

Undang-undang penafian berganda bermaksud bahawa operasi "TIDAK" boleh diterbalikkan: jika anda menggunakannya dua kali, maka pada akhirnya nilai boolean tidak akan berubah.

Undang-undang tengah yang dikecualikan menyatakan bahawa sebarang ungkapan logik adalah sama ada benar atau salah ("tiada ketiga"). Oleh itu, jika $A=1$, maka $\bar(A)=0$ (dan sebaliknya), yang bermaksud bahawa konjungsi kuantiti ini sentiasa bersamaan dengan sifar, dan pemecahan sentiasa sama dengan satu.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Mari mudahkan formula ini:

Rajah 3.

Ia berikutan bahawa $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Jawapan: Pelajar $B$, $C$ dan $D$ bermain catur, tetapi pelajar $A$ tidak bermain.

Apabila memudahkan ungkapan logik, anda boleh melakukan urutan tindakan berikut:

1. Gantikan semua operasi "bukan asas" (kesetaraan, implikasi, eksklusif ATAU, dsb.) dengan ungkapannya melalui operasi asas penyongsangan, konjungsi dan pencacah.
2. Kembangkan penyongsangan ungkapan kompleks mengikut peraturan De Morgan sedemikian rupa sehingga operasi penolakan kekal hanya untuk pembolehubah individu.
3. Kemudian mudahkan ungkapan menggunakan kurungan pembuka, meletakkan faktor sepunya di luar kurungan dan undang-undang lain bagi algebra logik.

Contoh 2

Di sini, peraturan De Morgan, undang-undang pengagihan, undang-undang tengah yang dikecualikan, undang-undang komutatif, undang-undang pengulangan, sekali lagi undang-undang komutatif dan undang-undang penyerapan digunakan berturut-turut.

Selalunya tugas memerlukan jawapan yang dipermudahkan. Walaupun kedua-dua jawapan mudah dan tidak mudah adalah betul, pengajar anda mungkin menurunkan gred anda jika anda tidak memudahkan jawapan anda. Selain itu, ungkapan matematik yang dipermudahkan adalah lebih mudah untuk digunakan. Oleh itu, adalah sangat penting untuk belajar untuk memudahkan ungkapan.

Langkah-langkah

Susunan operasi matematik yang betul

1. Ingat susunan yang betul untuk melaksanakan operasi matematik. Apabila dipermudahkan ungkapan matematik Adalah perlu untuk mengikut susunan operasi tertentu, kerana sesetengah operasi matematik diutamakan daripada yang lain dan mesti dilakukan terlebih dahulu (sebenarnya, tidak mengikut susunan operasi yang betul akan membawa anda kepada keputusan yang salah). Ingat susunan operasi matematik berikut: ungkapan dalam kurungan, eksponen, darab, bahagi, tambah, tolak.

   • Ambil perhatian bahawa mengetahui susunan operasi yang betul akan membolehkan anda memudahkan kebanyakan ungkapan mudah, tetapi untuk memudahkan polinomial (ungkapan dengan pembolehubah) anda perlu mengetahui helah khas (lihat bahagian seterusnya).

2. Mulakan dengan menyelesaikan ungkapan dalam kurungan. Dalam matematik, kurungan menunjukkan bahawa ungkapan di dalamnya mesti dinilai terlebih dahulu. Oleh itu, apabila memudahkan sebarang ungkapan matematik, mulakan dengan menyelesaikan ungkapan yang disertakan dalam kurungan (tidak kira apa operasi yang anda perlu lakukan di dalam kurungan). Tetapi ingat bahawa apabila bekerja dengan ungkapan yang disertakan dalam kurungan, anda mesti mengikut susunan operasi, iaitu istilah dalam kurungan didarab, dibahagikan, ditambah, ditolak dan seterusnya.

   • Sebagai contoh, mari kita permudahkan ungkapan 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Di sini kita mulakan dengan ungkapan dalam kurungan: 5 + 2 = 7 dan 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Ungkapan dalam pasangan kurungan kedua dipermudahkan kepada 5 kerana 4/2 mesti dibahagikan terlebih dahulu (mengikut susunan operasi yang betul). Jika anda tidak mengikut perintah ini, anda akan mendapat jawapan yang salah: 3 + 4 = 7 dan 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jika terdapat sepasang kurungan lain dalam kurungan, mula permudahkan dengan menyelesaikan ungkapan dalam kurungan dalam dan kemudian teruskan untuk menyelesaikan ungkapan dalam kurungan luar.

3. Exponentiate. Setelah menyelesaikan ungkapan dalam kurungan, teruskan ke eksponen (ingat bahawa kuasa mempunyai eksponen dan asas). Naikkan ungkapan (atau nombor) yang sepadan kepada kuasa dan gantikan hasilnya ke dalam ungkapan yang diberikan kepada anda.

   • Dalam contoh kami, satu-satunya ungkapan (nombor) kepada kuasa ialah 3 2: 3 2 = 9. Dalam ungkapan yang diberikan kepada anda, gantikan 3 2 dengan 9 dan anda akan mendapat: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. gandakan. Ingat bahawa operasi pendaraban boleh diwakili oleh simbol berikut: "x", "∙" atau "*". Tetapi jika tiada simbol antara nombor dan pembolehubah (contohnya, 2x) atau antara nombor dan nombor dalam kurungan (contohnya, 4(7)), maka ini juga merupakan operasi pendaraban.

   • Dalam contoh kami, terdapat dua operasi pendaraban: 2x (dua didarab dengan pembolehubah “x”) dan 4(7) (empat didarab dengan tujuh). Kami tidak tahu nilai x, jadi kami akan meninggalkan ungkapan 2x seperti sedia ada. 4(7) = 4 x 7 = 28. Sekarang anda boleh menulis semula ungkapan yang diberikan kepada anda seperti berikut: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Bahagikan. Ingat bahawa operasi bahagi boleh diwakili oleh simbol berikut: “/”, “÷” atau “–” (anda boleh melihat aksara terakhir dalam pecahan). Sebagai contoh, 3/4 ialah tiga dibahagikan dengan empat.

   • Dalam contoh kami, tiada lagi operasi bahagi, kerana anda sudah membahagi 4 dengan 2 (4/2) apabila menyelesaikan ungkapan dalam kurungan. Jadi anda boleh meneruskan ke langkah seterusnya. Ingat bahawa kebanyakan ungkapan tidak mengandungi semua operasi matematik (hanya sebahagian daripadanya).

6. lipat. Apabila menambah istilah bagi sesuatu ungkapan, anda boleh mulakan dengan istilah di paling jauh (ke kiri), atau anda boleh menambah istilah yang ditambah dengan mudah dahulu. Sebagai contoh, dalam ungkapan 49 + 29 + 51 +71, mula-mula lebih mudah untuk menambah 49 + 51 = 100, kemudian 29 + 71 = 100 dan akhirnya 100 + 100 = 200. Ia adalah lebih sukar untuk menambah seperti ini: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Dalam contoh kami 2x + 28 + 9 + 5 terdapat dua operasi tambah. Mari kita mulakan dengan sebutan paling luar (kiri): 2x + 28; anda tidak boleh menambah 2x dan 28 kerana anda tidak tahu nilai pembolehubah "x". Oleh itu, tambah 28 + 9 = 37. Sekarang ungkapan itu boleh ditulis semula seperti berikut: 2x + 37 - 5.

7. Tolak. Ini adalah operasi terakhir dalam susunan yang betul untuk melaksanakan operasi matematik. Pada peringkat ini anda juga boleh menambah nombor negatif atau lakukan pada peringkat menambah ahli - ini tidak akan menjejaskan keputusan akhir dalam apa cara sekalipun.

   • Dalam contoh kami 2x + 37 - 5 hanya terdapat satu operasi tolak: 37 - 5 = 32.

8. Pada peringkat ini, selepas melakukan semua operasi matematik, anda harus mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan. Tetapi jika ungkapan yang diberikan kepada anda mengandungi satu atau lebih pembolehubah, maka ingat bahawa istilah dengan pembolehubah akan kekal seperti sedia ada. Menyelesaikan (tidak memudahkan) ungkapan dengan pembolehubah melibatkan mencari nilai pembolehubah itu. Kadangkala ungkapan berubah boleh dipermudahkan menggunakan kaedah khas(lihat bahagian seterusnya).

   • Dalam contoh kami, jawapan akhir ialah 2x + 32. Anda tidak boleh menambah dua istilah sehingga anda mengetahui nilai pembolehubah "x". Sebaik sahaja anda mengetahui nilai pembolehubah, anda boleh memudahkan binomial ini dengan mudah.

   Memudahkan ungkapan kompleks

   1. Penambahan istilah yang serupa. Ingat bahawa anda hanya boleh menolak dan menambah istilah yang serupa, iaitu istilah dengan pembolehubah yang sama dan eksponen yang sama. Sebagai contoh, anda boleh menambah 7x dan 5x, tetapi anda tidak boleh menambah 7x dan 5x 2 (kerana eksponen adalah berbeza).

      • Peraturan ini juga terpakai kepada ahli yang mempunyai berbilang pembolehubah. Sebagai contoh, anda boleh menambah 2xy 2 dan -3xy 2 , tetapi anda tidak boleh menambah 2xy 2 dan -3x 2 y atau 2xy 2 dan -3y 2 .
      • Mari kita lihat contoh: x 2 + 3x + 6 - 8x. Di sini istilah serupa ialah 3x dan 8x, jadi ia boleh ditambah bersama. Ungkapan yang dipermudahkan kelihatan seperti ini: x 2 - 5x + 6.

   2. Permudahkan pecahan nombor. Dalam pecahan sedemikian, kedua-dua pengangka dan penyebut mengandungi nombor (tanpa pembolehubah). Pecahan nombor boleh dipermudahkan dalam beberapa cara. Pertama, cukup bahagikan penyebut dengan pengangka. Kedua, faktorkan pengangka dan penyebut dan batalkan faktor yang serupa (kerana membahagikan nombor dengan sendirinya akan memberi anda 1). Dengan kata lain, jika kedua-dua pengangka dan penyebut mempunyai faktor yang sama, anda boleh menggugurkannya dan mendapatkan pecahan yang dipermudahkan.

      • Sebagai contoh, pertimbangkan pecahan 36/60. Dengan menggunakan kalkulator, bahagikan 36 dengan 60 untuk mendapatkan 0.6. Tetapi anda boleh memudahkan pecahan ini dengan cara lain dengan memfaktorkan pengangka dan penyebut: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Oleh kerana 6/6 = 1, pecahan yang dipermudahkan ialah: 1 x 6/10 = 6/10. Tetapi pecahan ini juga boleh dipermudahkan: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Jika pecahan mengandungi pembolehubah, anda boleh membatalkan faktor seperti dengan pembolehubah. Faktorkan kedua-dua pengangka dan penyebut dan batalkan faktor serupa, walaupun ia mengandungi pembolehubah (ingat bahawa faktor serupa di sini mungkin mengandungi pembolehubah atau tidak).

      • Mari kita lihat contoh: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ungkapan ini boleh ditulis semula (difaktorkan) dalam bentuk: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Oleh kerana sebutan 3x berada dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, anda boleh membatalkannya untuk memberikan ungkapan yang dipermudahkan: (x + 1)/(5 - x). Mari lihat contoh lain: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Sila ambil perhatian bahawa anda tidak boleh membatalkan sebarang istilah - hanya faktor yang sama yang terdapat dalam kedua-dua pengangka dan penyebut dibatalkan. Contohnya, dalam ungkapan (x(x + 2))/x, pembolehubah (faktor) “x” berada dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, jadi “x” boleh dikurangkan untuk mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan: (x + 2)/1 = x + 2. Walau bagaimanapun, dalam ungkapan (x + 2)/x, pembolehubah “x” tidak boleh dikurangkan (kerana “x” bukan faktor dalam pengangka).

   4. kurungan terbuka. Untuk melakukan ini, darabkan sebutan di luar kurungan dengan setiap sebutan dalam kurungan. Kadang-kadang ia membantu untuk memudahkan ungkapan kompleks. Ini terpakai kepada kedua-dua ahli yang nombor perdana, dan kepada ahli yang mengandungi pembolehubah.

      • Contohnya, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, dan 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Sila ambil perhatian bahawa dalam ungkapan pecahan Tidak perlu membuka kurungan jika faktor yang sama terdapat dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Sebagai contoh, dalam ungkapan (3(x 2 + 8))/3x tidak perlu mengembangkan kurungan, kerana di sini anda boleh membatalkan faktor 3 dan mendapatkan ungkapan yang dipermudahkan (x 2 + 8)/x. Ungkapan ini lebih mudah digunakan; jika anda membuka kurungan, anda akan mendapat ungkapan kompleks berikut: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Polinomial faktor. Menggunakan kaedah ini, anda boleh memudahkan beberapa ungkapan dan polinomial. Pemfaktoran ialah operasi berlawanan bagi membuka kurungan, iaitu, ungkapan ditulis sebagai hasil darab dua ungkapan, setiap satu disertakan dalam kurungan. Dalam sesetengah kes, pemfaktoran membolehkan anda mengurangkan ungkapan yang sama. Dalam kes khas (biasanya dengan persamaan kuadratik) pemfaktoran akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan.

      • Pertimbangkan ungkapan x 2 - 5x + 6. Ia difaktorkan: (x - 3)(x - 2). Oleh itu, jika, sebagai contoh, ungkapan diberikan (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maka anda boleh menulis semula sebagai (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), kurangkan ungkapan (x - 2) dan dapatkan ungkapan yang dipermudahkan (x - 3)/2.
      • Polinomial pemfaktoran digunakan untuk menyelesaikan (mencari punca) persamaan (persamaan ialah polinomial bersamaan dengan 0). Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 5x + 6 = 0. Dengan memfaktorkannya, anda mendapat (x - 3)(x - 2) = 0. Oleh kerana sebarang ungkapan yang didarab dengan 0 adalah sama dengan 0, kita boleh menulisnya seperti ini : x - 3 = 0 dan x - 2 = 0. Oleh itu, x = 3 dan x = 2, iaitu, anda telah menemui dua punca persamaan yang diberikan kepada anda.

Mana-mana bahasa boleh menyatakan maklumat yang sama dalam perkataan yang berbeza dan revolusi. Bahasa matematik tidak terkecuali. Tetapi ungkapan yang sama boleh ditulis secara sama dengan cara yang berbeza. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri adalah lebih mudah. Kita akan bercakap tentang memudahkan ungkapan dalam pelajaran ini.

Orang ramai berkomunikasi perbezaan bahasa. Bagi kami, perbandingan penting ialah pasangan "Bahasa Rusia - bahasa matematik". Maklumat yang sama boleh disampaikan dalam bahasa yang berbeza. Tetapi, selain ini, ia boleh disebut dengan cara yang berbeza dalam satu bahasa.

Contohnya: "Petya berkawan dengan Vasya", "Vasya berkawan dengan Petya", "Petya dan Vasya berkawan". Berkata berbeza, tetapi perkara yang sama. Daripada mana-mana frasa ini kita akan faham apa yang kita bincangkan.

Mari kita lihat frasa ini: "Anak lelaki Petya dan budak lelaki Vasya adalah kawan." Kami faham apa yang kami maksudkan kita bercakap tentang. Walau bagaimanapun, kami tidak suka bunyi frasa ini. Tidak bolehkah kita permudahkan, katakan perkara yang sama, tetapi lebih mudah? "Boy and boy" - anda boleh katakan sekali: "Boys Petya dan Vasya adalah kawan."

"Lelaki"... Bukankah jelas dari nama mereka bahawa mereka bukan perempuan? Kami mengeluarkan "lelaki": "Petya dan Vasya adalah kawan." Dan perkataan "kawan" boleh digantikan dengan "kawan": "Petya dan Vasya adalah kawan." Akibatnya, frasa pertama, panjang, hodoh digantikan dengan pernyataan setara yang lebih mudah untuk disebut dan lebih mudah difahami. Kami telah memudahkan frasa ini. Memudahkan bermaksud mengatakannya dengan lebih ringkas, tetapi tidak kehilangan atau memutarbelitkan maksudnya.

Dalam bahasa matematik, lebih kurang perkara yang sama berlaku. Satu dan perkara yang sama boleh dikatakan, ditulis secara berbeza. Apakah yang dimaksudkan untuk memudahkan ungkapan? Ini bermakna bahawa untuk ungkapan asal terdapat banyak ungkapan yang setara, iaitu, yang bermaksud perkara yang sama. Dan daripada semua jenis ini, kita mesti memilih yang paling mudah, pada pendapat kita, atau yang paling sesuai untuk tujuan kita selanjutnya.

Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan berangka . Ia akan bersamaan dengan .

Ia juga akan bersamaan dengan dua yang pertama: .

Ternyata kami telah mempermudahkan ungkapan kami dan menemui ungkapan setara terpendek.

Untuk ungkapan berangka, anda sentiasa perlu melakukan segala-galanya dan mendapatkan ungkapan yang setara sebagai nombor tunggal.

Mari kita lihat contoh ungkapan literal . Jelas sekali, ia akan menjadi lebih mudah.

Apabila memudahkan ungkapan literal, adalah perlu untuk melakukan semua tindakan yang mungkin.

Adakah ia sentiasa perlu untuk memudahkan ungkapan? Tidak, kadang-kadang lebih mudah untuk kita mempunyai entri yang setara tetapi lebih panjang.

Contoh: anda perlu menolak nombor daripada nombor.

Ia adalah mungkin untuk mengira, tetapi jika nombor pertama diwakili oleh tatatanda yang setara: , maka pengiraan akan menjadi serta-merta: .

Iaitu, ungkapan yang dipermudahkan tidak selalunya bermanfaat untuk kita untuk pengiraan selanjutnya.

Namun begitu, selalunya kita dihadapkan dengan tugasan yang kelihatan seperti "memudahkan ungkapan."

Permudahkan ungkapan: .

Penyelesaian

1) Lakukan tindakan dalam kurungan pertama dan kedua: .

2) Mari kita mengira produk: .

Jelas sekali, ungkapan terakhir mempunyai bentuk yang lebih mudah daripada yang awal. Kami telah memudahkannya.

Untuk memudahkan ungkapan, ia mesti digantikan dengan yang setara (sama).

Untuk menentukan ungkapan setara yang anda perlukan:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat tambah, tolak, darab dan bahagi untuk memudahkan pengiraan.

Sifat penambahan dan penolakan:

1. Sifat komutatif penambahan: penyusunan semula terma tidak mengubah jumlah.

2. Sifat gabungan penambahan: untuk menambah nombor ketiga kepada hasil tambah dua nombor, anda boleh menambah jumlah nombor kedua dan ketiga kepada nombor pertama.

3. Sifat menolak jumlah daripada nombor: untuk menolak jumlah daripada nombor, anda boleh menolak setiap sebutan secara berasingan.

Sifat darab dan bahagi

1. Sifat komutatif pendaraban: penyusunan semula faktor tidak mengubah hasil darab.

2. Sifat gabungan: untuk mendarab nombor dengan hasil darab dua nombor, anda boleh terlebih dahulu mendarabnya dengan faktor pertama, dan kemudian mendarab hasil darab dengan faktor kedua.

3. Sifat distributif pendaraban: untuk mendarab nombor dengan jumlah, anda perlu mendarabnya dengan setiap sebutan secara berasingan.

Mari kita lihat bagaimana kita sebenarnya melakukan pengiraan mental.

Kira:

Penyelesaian

1) Cuba kita bayangkan bagaimana

2) Mari kita bayangkan faktor pertama sebagai jumlah istilah bit dan lakukan pendaraban:

3) anda boleh bayangkan bagaimana dan melakukan pendaraban:

4) Gantikan faktor pertama dengan jumlah yang setara:

Undang-undang pengedaran juga boleh digunakan dalam sisi terbalik: .

Ikut langkah-langkah ini:

1) 2)

Penyelesaian

1) Untuk kemudahan, anda boleh menggunakan undang-undang pengedaran, hanya gunakannya dalam arah yang bertentangan - keluarkan faktor sepunya daripada kurungan.

2) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan

Ia adalah perlu untuk membeli linoleum untuk dapur dan lorong. Ruang dapur - , lorong - . Terdapat tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapakah kos setiap satu? tiga jenis linoleum? (Rajah 1)

nasi. 1. Ilustrasi untuk pernyataan masalah

Penyelesaian

Kaedah 1. Anda boleh mengetahui secara berasingan berapa banyak wang yang diperlukan untuk membeli linoleum untuk dapur, dan kemudian meletakkannya di lorong dan menambah produk yang dihasilkan.

Ungkapan algebra di mana, bersama-sama dengan operasi penambahan, penolakan dan pendaraban, juga menggunakan pembahagian kepada ungkapan huruf, dipanggil ungkapan algebra pecahan. Ini, sebagai contoh, ungkapan

Kami memanggil pecahan algebra sebagai ungkapan algebra yang mempunyai bentuk hasil bagi pembahagian dua ungkapan algebra integer (contohnya, monomial atau polinomial). Ini, sebagai contoh, ungkapan

Ungkapan ketiga).

Transformasi yang sama bagi ungkapan algebra pecahan kebanyakannya bertujuan untuk mewakilinya dalam bentuk pecahan algebra. Untuk mencari penyebut sepunya, pemfaktoran penyebut pecahan digunakan - sebutan untuk mencari gandaan sepunya terkecilnya. Apabila mengurangkan pecahan algebra, identiti ketat ungkapan mungkin dilanggar: adalah perlu untuk mengecualikan nilai kuantiti di mana faktor pengurangan dibuat menjadi sifar.

Mari kita berikan contoh transformasi yang sama bagi ungkapan algebra pecahan.

Contoh 1: Permudahkan ungkapan

Semua istilah boleh dikurangkan kepada penyebut biasa (adalah mudah untuk menukar tanda dalam penyebut sebutan terakhir dan tanda di hadapannya):

Ungkapan kami adalah sama dengan satu untuk semua nilai kecuali nilai ini; ia tidak ditentukan dan mengurangkan pecahan adalah haram).

Contoh 2. Wakilkan ungkapan sebagai pecahan algebra

Penyelesaian. Ungkapan itu boleh diambil sebagai penyebut biasa. Kami dapati secara berurutan:

Senaman

1. Cari nilai ungkapan algebra untuk nilai parameter yang ditentukan:

2. Memfaktorkan.