අකුරු ප්‍රකාශන ගුණ කිරීම. සාහිත්යමය ප්රකාශනයන්

ප්‍රකාශන සරල නොකර ගණිතයේ ක්‍රමයක් නැති බව දන්නා කරුණකි. විවිධාකාර ගැටළු මෙන්ම විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ නිවැරදිව හා ඉක්මනින් විසඳීම සඳහා මෙය අවශ්ය වේ. මෙහි සාකච්ඡා කෙරෙන සරලකරණයෙන් ගම්‍ය වන්නේ ඉලක්කයක් සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා අවශ්‍ය ක්‍රියාවන් සංඛ්‍යාව අඩු කිරීමයි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ගණනය කිරීම් සැලකිය යුතු ලෙස සරල කර ඇති අතර කාලය සැලකිය යුතු ලෙස ඉතිරි වේ. නමුත් ප්රකාශනය සරල කරන්නේ කෙසේද? මේ සඳහා, ස්ථාපිත ගණිතමය සම්බන්ධතා භාවිතා කරනු ලැබේ, බොහෝ විට සූත්‍ර හෝ නීති ලෙස හැඳින්වේ, එමඟින් ප්‍රකාශන වඩා කෙටි කිරීමට ඉඩ සලසයි, එමඟින් ගණනය කිරීම් සරල කරයි.

අද අන්තර්ජාලයේ ප්‍රකාශනය සරල කිරීම අපහසු නොවන බව රහසක් නොවේ. වඩාත්ම ජනප්‍රිය ඒවායින් කිහිපයක් සඳහා සබැඳි මෙන්න:

කෙසේ වෙතත්, සෑම ප්රකාශනයකින්ම මෙය කළ නොහැකිය. එමනිසා, වඩාත් සාම්ප්රදායික ක්රම දෙස සමීපව බලමු.

පොදු බෙදුම්කරු ඉවත් කිරීම

එක් ප්‍රකාශනයක එකම සාධක ඇති ඒකමතික අඩංගු වූ විට, ඔබට ඒවායේ සංගුණකවල එකතුව සොයා ගත හැකි අතර පසුව ඒවා සඳහා පොදු සාධකයෙන් ගුණ කළ හැක. මෙම මෙහෙයුම "පොදු බෙදුම්කරු ඉවත් කිරීම" ලෙසද හැඳින්වේ. අඛණ්ඩව භාවිතා කිරීම මෙම ක්රමය, සමහර විට ඔබට ප්රකාශනය සැලකිය යුතු ලෙස සරල කළ හැකිය. සියල්ලට පසු, සමස්තයක් ලෙස වීජ ගණිතය ගොඩනගා ඇත්තේ සාධක සහ බෙදුම්කරුවන් කණ්ඩායම් කිරීම සහ නැවත සකස් කිරීම මත ය.

සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීම සඳහා සරලම සූත්‍ර

කලින් විස්තර කළ ක්‍රමයේ එක් ප්‍රතිවිපාකයක් වන්නේ සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර වේ. ඒවා භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශන සරල කරන්නේ කෙසේද වඩා පැහැදිලිය, මෙම සූත්‍ර කටපාඩම් කර නැතත්, ඒවා ව්‍යුත්පන්න වී ඇති ආකාරය, එනම් ඒවා පැමිණෙන්නේ කොතැනින්ද යන්න සහ ඒ අනුව ඒවායේ ගණිතමය ස්වභාවය දනී. ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, පෙර ප්‍රකාශය සියලුම නවීන ගණිතයන්හි, පළමු ශ්‍රේණියේ සිට යාන්ත්‍රික හා ගණිත පීඨවල උසස් පාඨමාලා දක්වා වලංගු වේ. වර්ගවල වෙනස, වෙනස සහ එකතුවේ වර්ග, කැටවල එකතුව සහ වෙනස - මෙම සියලු සූත්‍ර ප්‍රාථමික මෙන්ම උසස් ගණිතයේ දී ගැටලු විසඳීම සඳහා ප්‍රකාශනය සරල කිරීමට අවශ්‍ය අවස්ථාවන්හිදී බහුලව භාවිතා වේ. එවැනි පරිවර්තනයන් සඳහා උදාහරණ ඕනෑම දෙයකින් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය පාසල් පෙළ පොතවීජ ගණිතයෙන්, හෝ, ඊටත් වඩා සරල, ලෝක ව්‍යාප්ත ජාලයේ විශාලත්වය මත.

උපාධි මූලයන්

මූලික ගණිතය, ඔබ එය සමස්තයක් ලෙස බැලුවහොත්, ප්රකාශනයක් සරල කිරීමට බොහෝ ක්රම නොමැත. ඔවුන් සමඟ උපාධි සහ මෙහෙයුම්, රීතියක් ලෙස, බොහෝ සිසුන්ට සාපේක්ෂව පහසුය. නමුත් බොහෝ නවීන පාසල් සිසුන් සහ සිසුන්ට මූලයන් සමඟ ප්රකාශනයක් සරල කිරීමට අවශ්ය වන විට සැලකිය යුතු දුෂ්කරතා ඇත. තවද මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම පදනම් විරහිත ය. මූලයන්ගේ ගණිතමය ස්වභාවය එකම අංශකවල ස්වභාවයට වඩා වෙනස් නොවන නිසා, රීතියක් ලෙස, දුෂ්කරතා අඩුය. බව දන්නා කරුණකි වර්ගමුලයසංඛ්‍යාවක, විචල්‍යයේ හෝ ප්‍රකාශනය යනු එකම සංඛ්‍යාවට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ, විචල්‍යය හෝ ප්‍රකාශනය අඩක බලයට, කියුබ් මූලය තුනෙන් එකක බලයට සමාන වේ, යනාදිය ලිපි හුවමාරුව අනුව.

භාග සමඟ ප්‍රකාශන සරල කිරීම

භාග සමඟ ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ පොදු උදාහරණයක් ද බලමු. ප්රකාශනයන් ඇති අවස්ථාවන්හිදී ස්වභාවික කොටස්, ඔබ පොදු සාධකය හරයෙන් සහ සංඛ්‍යායෙන් හුදකලා කළ යුතු අතර, ඉන් භාගය අඩු කරන්න. මොනොමියල්වලට සමාන සාධක බලය දක්වා ඉහළ නංවා ඇති විට, ඒවා සාරාංශ කිරීමේදී බලතල සමාන බව සහතික කිරීම අවශ්‍ය වේ.

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම

සමහරුන්ට කැපී පෙනෙන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ සංවාදයයි. ත්‍රිකෝණමිතියෙහි පුළුල්ම ශාඛාව සමහර විට ගණිතය හදාරන සිසුන්ට තරමක් වියුක්ත සංකල්ප, ගැටලු සහ ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම හමු වන පළමු අදියර විය හැකිය. මෙහි අනුරූප සූත්‍ර ඇත, ඉන් පළමුවැන්න මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයයි. ප්‍රමාණවත් ගණිතමය මනසක් තිබීම, ඔබට වෙනස්කම් සූත්‍ර සහ තර්ක එකතු කිරීම්, ද්විත්ව, ත්‍රිත්ව තර්ක, අඩු කිරීමේ සූත්‍ර සහ තවත් බොහෝ මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා සහ සූත්‍රවල මෙම අනන්‍යතාවයෙන් ක්‍රමානුකූල ව්‍යුත්පන්නය සොයාගත හැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, නව ක්‍රම සහ සූත්‍ර සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම භාවිතා වන පොදු සාධකයක් එකතු කිරීම වැනි පළමු ක්‍රම මෙහිදී අමතක නොකළ යුතුය.

සාරාංශ කිරීම සඳහා, අපි පාඨකයාට පොදු උපදෙස් කිහිපයක් ලබා දෙන්නෙමු:

• බහුපද සාධකකරණය කළ යුතුය, එනම්, ඒවා නිශ්චිත සාධක ගණනක නිෂ්පාදනයක් ලෙස නිරූපණය කළ යුතුය - ඒකපද සහ බහුපද. එවැනි හැකියාවක් තිබේ නම්, පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කිරීම අවශ්ය වේ.
• ව්යතිරේකයකින් තොරව සියලු සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්ර කටපාඩම් කිරීම වඩා හොඳය. ඒවායින් බොහොමයක් නැත, නමුත් ඒවා ගණිතමය ප්රකාශන සරල කිරීම සඳහා පදනම වේ. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍රවලින් එකකට ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාව වන ත්‍රිපදවල පරිපූර්ණ කොටු හුදකලා කිරීමේ ක්‍රමය ගැන ද අප අමතක නොකළ යුතුය.
• ප්‍රකාශනයේ ඇති සියලුම භාග හැකිතාක් දුරට අඩු කළ යුතුය. කෙසේ වෙතත්, ගුණකයන් පමණක් අඩු වන බව අමතක කරන්න එපා. වීජීය භාගවල හරය සහ සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ විට භාගවල අර්ථයන් වෙනස් නොවේ.
• පොදුවේ ගත් කල, සියලුම ප්රකාශනයන් ක්රියාවන් මගින් හෝ දම්වැලකින් පරිවර්තනය කළ හැකිය. පළමු ක්රමය වඩාත් යෝග්ය වේ, මන්ද අතරමැදි ක්‍රියාවන්හි ප්‍රතිඵල සත්‍යාපනය කිරීම පහසුය.
• බොහෝ විට ගණිතමය ප්‍රකාශන වලදී අපට මූලයන් උකහා ගත යුතුය. ඉරට්ටේ බලවල මූලයන් නිස්සාරණය කළ හැක්කේ සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවකින් හෝ ප්‍රකාශනයකින් පමණක් බවත්, ඔත්තේ බලවල මූලයන් ඕනෑම ප්‍රකාශනයකින් හෝ සංඛ්‍යාවකින් උපුටා ගත හැකි බවත් මතක තබා ගත යුතුය.

අපගේ ලිපිය අනාගතයේදී ගණිතමය සූත්‍ර තේරුම් ගැනීමට සහ ඒවා ප්‍රායෝගිකව යෙදිය යුතු ආකාරය ඔබට ඉගැන්වීමට උපකාරී වනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.

සටහන 1

බූලියන් ශ්‍රිතයක් බූලියන් ප්‍රකාශනයක් භාවිතයෙන් ලිවිය හැකි අතර පසුව තාර්කික පරිපථයකට ගෙන යා හැක. හැකි සරලම (සහ එබැවින් ලාභදායී) තාර්කික පරිපථය ලබා ගැනීම සඳහා තාර්කික ප්රකාශන සරල කිරීම අවශ්ය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, තාර්කික ශ්‍රිතයක්, තාර්කික ප්‍රකාශනයක් සහ තාර්කික පරිපථයක් යනු එක් ආයතනයක් ගැන කතා කරන විවිධ භාෂා තුනකි.

තාර්කික ප්‍රකාශන සරල කිරීමට භාවිතා කරන්න වීජ ගණිත තර්ක නීති.

සමහර පරිවර්තනයන් සම්භාව්‍ය වීජ ගණිතයේ සූත්‍රවල පරිවර්තනයන්ට සමාන වේ (පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කිරීම, සංක්‍රමණ සහ සංයෝජන නීති ආදිය භාවිතා කිරීම), අනෙකුත් පරිවර්තනයන් පදනම් වී ඇත්තේ සම්භාව්‍ය වීජ ගණිතයේ ක්‍රියාකාරිත්වයට නොමැති (බෙදාහැරීමේ භාවිතාව) සංයෝජන සඳහා නීතිය, අවශෝෂණ නීති, ඇලවීම, ඩි මෝගන්ගේ නීති, ආදිය).

තාර්කික වීජ ගණිතයේ නීති මූලික සඳහා සකස් කර ඇත තාර්කික මෙහෙයුම්- "නැහැ" - ප්‍රතිලෝම (නිෂේධනය), "AND" - සංයෝජන (තාර්කික ගුණ කිරීම) සහ "OR" - විසංයෝජනය (තාර්කික එකතු කිරීම).

ද්විත්ව නිෂේධනය පිළිබඳ නීතිය යනු "NOT" මෙහෙයුම ආපසු හැරවිය හැකි බවයි: ඔබ එය දෙවරක් යෙදුවහොත්, අවසානයේ දී බූලියන් අගයවෙනස් වෙන්නේ නැහැ.

ඕනෑම තාර්කික ප්‍රකාශනයක් සත්‍ය හෝ අසත්‍ය ("තුන්වැන්නක් නැත") බව බැහැර කරන ලද මධ්‍යයේ නියමය ප්‍රකාශ කරයි. එබැවින්, $A=1$ නම්, $\bar(A)=0$ (සහ ​​අනෙක් අතට), එනම් මෙම ප්‍රමාණවල සංයෝජන සෑම විටම ශුන්‍යයට සමාන වන අතර විසංයෝජනය සෑම විටම එකකට සමාන වේ.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

අපි මෙම සූත්‍රය සරල කරමු:

රූපය 3.

එය $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$ ලෙස පහත දැක්වේ.

පිළිතුර:සිසුන් $B$, $C$ සහ $D$ චෙස් ක්‍රීඩා කරයි, නමුත් $A$ ශිෂ්‍යයා ක්‍රීඩා නොකරයි.

තාර්කික ප්‍රකාශන සරල කරන විට, ඔබට පහත ක්‍රියා අනුපිළිවෙල සිදු කළ හැකිය:

1. සියලු "මූලික නොවන" මෙහෙයුම් (සමානතාව, ඇඟවුම්, සුවිශේෂී OR, ආදිය) ප්‍රතිලෝම, සංයෝජන සහ විසංයෝජනයේ මූලික මෙහෙයුම් හරහා ඒවායේ ප්‍රකාශන සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න.
2. නිෂේධන මෙහෙයුම් තනි විචල්‍යයන් සඳහා පමණක් පවතින පරිදි ඩි මෝගන්ගේ නීතිවලට අනුව සංකීර්ණ ප්‍රකාශනවල ප්‍රතිලෝම පුළුල් කරන්න.
3. ඉන්පසු විවෘත වරහන් භාවිතා කරමින් ප්‍රකාශනය සරල කරන්න, වරහන් වලින් පිටත පොදු සාධක තැබීම සහ තාර්කික වීජ ගණිතයේ වෙනත් නීති.

උදාහරණ 2

මෙහිදී De Morgan ගේ නියමය, බෙදාහැරීමේ නීතිය, බැහැර කරන ලද මැද නීතිය, සංක්‍රමණ නීතිය, පුනරාවර්තන නීතිය, නැවතත් සංක්‍රමණ නීතිය සහ අවශෝෂණ නියමය අනුක්‍රමිකව භාවිතා වේ.

බොහෝ විට කාර්යයන් සඳහා සරල පිළිතුරක් අවශ්ය වේ. සරල කළ සහ සරල නොකළ පිළිතුරු දෙකම නිවැරදි වුවද, ඔබ ඔබේ පිළිතුර සරල නොකළහොත් ඔබේ උපදේශකයාට ඔබේ ශ්‍රේණිය අඩු කළ හැක. එපමනක් නොව, සරල කළ ගණිතමය ප්රකාශනය සමඟ වැඩ කිරීම වඩාත් පහසු වේ. එමනිසා, ප්රකාශයන් සරල කිරීමට ඉගෙන ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.

පියවර

ගණිතමය මෙහෙයුම්වල නිවැරදි අනුපිළිවෙල

1. ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම සඳහා නිවැරදි අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න.සරල කරන විට ගණිතමය ප්රකාශනයසමහර ගණිතමය ක්‍රියා අනෙක් ඒවාට වඩා ප්‍රමුඛත්වය ගන්නා බැවින් සහ ප්‍රථමයෙන් කළ යුතු බැවින් යම් මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙලක් අනුගමනය කිරීම අවශ්‍ය වේ (ඇත්ත වශයෙන්ම, නිවැරදි මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙල අනුගමනය නොකිරීම ඔබව වැරදි ප්‍රතිඵලයකට ගෙන යනු ඇත). පහත දැක්වෙන ගණිතමය මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න: වරහන් තුළ ප්රකාශනය, ඝාතය, ගුණ කිරීම, බෙදීම, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම.

   • නිවැරදි මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙල දැන ගැනීමෙන් ඔබට බොහෝ සරල ප්‍රකාශන සරල කිරීමට ඉඩ සලසන බව සලකන්න, නමුත් බහුපදයක් (විචල්‍යයක් සහිත ප්‍රකාශනයක්) සරල කිරීමට ඔබ විශේෂ උපක්‍රම දැනගත යුතුය (ඊළඟ කොටස බලන්න).

2. වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය විසඳීමෙන් ආරම්භ කරන්න.ගණිතයේ දී, වරහන් මඟින් පෙන්නුම් කරන්නේ ඒවා තුළ ඇති ප්‍රකාශනය පළමුව ඇගයීමට ලක් කළ යුතු බවයි. එමනිසා, ඕනෑම ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් සරල කරන විට, වරහන් තුළ කොටා ඇති ප්‍රකාශනය විසඳීමෙන් ආරම්භ කරන්න (වරහන් තුළ ඔබ කළ යුතු මෙහෙයුම් මොනවාද යන්න ගැටළුවක් නොවේ). නමුත් වරහන් තුළ කොටා ඇති ප්‍රකාශනයක් සමඟ වැඩ කරන විට, ඔබ මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙල අනුගමනය කළ යුතු බව මතක තබා ගන්න, එනම් වරහන් වල නියමයන් පළමුව ගුණ කිරීම, බෙදීම, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම සහ යනාදිය.

   • උදාහරණයක් ලෙස, අපි ප්රකාශනය සරල කරමු 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). මෙන්න අපි වරහන් වල ප්රකාශන වලින් පටන් ගනිමු: 5 + 2 = 7 සහ 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • දෙවන වරහන් යුගලයේ ප්‍රකාශනය 5 දක්වා සරල වන්නේ 4/2 පළමුව බෙදිය යුතු බැවිනි (නිවැරදි මෙහෙයුම් අනුපිළිවෙලට අනුව). ඔබ මෙම නියෝගය අනුගමනය නොකරන්නේ නම්, ඔබට වැරදි පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත: 3 + 4 = 7 සහ 7 ÷ 2 = 7/2.
   • වරහන් තුළ තවත් වරහන් යුගලයක් තිබේ නම්, අභ්‍යන්තර වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය විසඳීමෙන් සරල කිරීම ආරම්භ කර පිටත වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය විසඳීමට ඉදිරියට යන්න.

3. විස්තාරණය කරන්න.වරහන් තුළ ඇති ප්‍රකාශන විසඳාගත් පසු, ඝාතීයකරණය වෙත යන්න (බලයකට ඝාතකයක් සහ පදනමක් ඇති බව මතක තබා ගන්න). අනුරූප ප්‍රකාශනය (හෝ අංකය) බලයකට ඔසවා ප්‍රතිඵලය ඔබට ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න.

   • අපගේ උදාහරණයේ, බලයට ඇති එකම ප්‍රකාශනය (අංකය) 3 2: 3 2 = 9 වේ. ඔබට ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනයේ, 3 2 වෙනුවට 9 යොදන්න, එවිට ඔබට ලැබෙන්නේ: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. ගුණ කරන්න.ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම පහත සඳහන් සංකේත මගින් නිරූපණය කළ හැකි බව මතක තබා ගන්න: "x", "∙" හෝ "*". නමුත් අංකය සහ විචල්‍යය අතර (උදාහරණයක් ලෙස, 2x) හෝ අංකය සහ වරහන් තුළ ඇති සංඛ්‍යාව අතර (උදාහරණයක් ලෙස, 4(7)) සංකේත නොමැති නම්, මෙයද ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුමකි.

   • අපගේ උදාහරණයේ, ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම් දෙකක් ඇත: 2x (දෙදෙනෙක් "x" විචල්‍යයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ) සහ 4(7) (හතරක් හතෙන් ගුණ කිරීම). අපි x හි අගය නොදනිමු, එබැවින් අපි 2x ප්‍රකාශනය එලෙසම තබමු. 4(7) = 4 x 7 = 28. දැන් ඔබට ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක: 2x + 28 + 9 - 5.

5. බෙදනවා.බෙදීමේ මෙහෙයුම පහත සංකේත මගින් නිරූපණය කළ හැකි බව මතක තබා ගන්න: "/", "÷" හෝ "-" (ඔබට භාගවල අවසාන අක්ෂරය දැකිය හැකිය). උදාහරණයක් ලෙස, 3/4 යනු තුනෙන් හතරෙන් බෙදනු ලැබේ.

   • අපගේ උදාහරණයේ, වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය විසඳන විට ඔබ දැනටමත් 4 න් 2 (4/2) න් බෙදූ බැවින්, තවදුරටත් බෙදීමේ මෙහෙයුමක් නොමැත. එබැවින් ඔබට ඊළඟ පියවරට යා හැකිය. බොහෝ ප්‍රකාශනවල සියලුම ගණිතමය මෙහෙයුම් අඩංගු නොවන බව මතක තබා ගන්න (ඒවායින් සමහරක් පමණි).

6. ගුණ කරන්න.ප්‍රකාශනයක නියමයන් එකතු කරන විට, ඔබට දුරම (වමේ) යන පදයෙන් ආරම්භ කළ හැක, නැතහොත් ඔබට පළමුව පහසුවෙන් එකතු කරන නියමයන් එකතු කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, 49 + 29 + 51 +71 ප්‍රකාශනයේ, පළමුව 49 + 51 = 100, පසුව 29 + 71 = 100 සහ අවසානයේ 100 + 100 = 200 එකතු කිරීම පහසුය. මේ ආකාරයට එකතු කිරීම වඩා දුෂ්කර ය: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • අපගේ උදාහරණයේ 2x + 28 + 9 + 5 එකතු කිරීමේ මෙහෙයුම් දෙකක් ඇත. අපි පිටතම (වම්) පදයෙන් පටන් ගනිමු: 2x + 28; "x" විචල්‍යයේ අගය ඔබ නොදන්නා නිසා ඔබට 2x සහ 28 එකතු කළ නොහැක. එබැවින්, 28 + 9 = 37 එකතු කරන්න. දැන් ප්රකාශනය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක: 2x + 37 - 5.

7. අඩු කරන්න.ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීමේ නිවැරදි අනුපිළිවෙලෙහි අවසාන මෙහෙයුම මෙයයි. මෙම අදියරේදී ඔබට එකතු කළ හැකිය සෘණ සංඛ්යාහෝ සාමාජිකයන් එකතු කිරීමේ අදියරේදී එය කරන්න - මෙය අවසන් ප්‍රතිඵලයට කිසිම ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත.

   • අපගේ උදාහරණය 2x + 37 - 5 හි ඇත්තේ එක් අඩු කිරීමේ මෙහෙයුමක් පමණි: 37 - 5 = 32.

8. මෙම අදියරේදී, සියලු ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීමෙන් පසු, ඔබට සරල කළ ප්රකාශනයක් ලබා ගත යුතුය.නමුත් ඔබට ලබා දී ඇති ප්‍රකාශනයේ විචල්‍ය එකක් හෝ කිහිපයක් තිබේ නම්, විචල්‍යය සමඟ පදය එලෙසම පවතින බව මතක තබා ගන්න. විචල්‍යයක් සමඟ ප්‍රකාශනයක් විසඳීම (සරල කිරීම නොවේ) එම විචල්‍යයේ අගය සොයා ගැනීම ඇතුළත් වේ. සමහර විට විචල්‍ය ප්‍රකාශන භාවිතයෙන් සරල කළ හැක විශේෂ ක්රම(ඊළඟ කොටස බලන්න).

   • අපගේ උදාහරණයේ, අවසාන පිළිතුර 2x + 32 වේ. "x" විචල්‍යයේ අගය ඔබ දන්නා තෙක් ඔබට පද දෙක එකතු කළ නොහැක. විචල්‍යයේ අගය ඔබ දැනගත් පසු, ඔබට මෙම ද්විපදය පහසුවෙන් සරල කළ හැකිය.

   සංකීර්ණ ප්රකාශන සරල කිරීම

   1. සමාන පද එකතු කිරීම.ඔබට එකම විචල්‍යයක් සහ එකම ඝාතකයක් සහිත පද පමණක් අඩු කර එකතු කළ හැකි බව මතක තබා ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට 7x සහ 5x එකතු කළ හැකිය, නමුත් ඔබට 7x සහ 5x 2 එකතු කළ නොහැක (ඝාතකයන් වෙනස් බැවින්).

      • මෙම රීතිය බහු විචල්‍යයන් සහිත සාමාජිකයින්ට ද අදාළ වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට 2xy 2 සහ -3xy 2 එකතු කළ හැක, නමුත් ඔබට 2xy 2 සහ -3x 2 y හෝ 2xy 2 සහ -3y 2 එකතු කළ නොහැක.
      • අපි උදාහරණයක් බලමු: x 2 + 3x + 6 - 8x. මෙහි සමාන පද 3x සහ 8x වේ, එබැවින් ඒවා එකට එකතු කළ හැක. සරල කළ ප්‍රකාශනයක් මේ ආකාරයට පෙනේ: x 2 - 5x + 6.

   2. සංඛ්‍යා කොටස සරල කරන්න.එවැනි භාගයක, numerator සහ denominator යන දෙකෙහිම සංඛ්‍යා (විචල්‍යයක් නොමැතිව) අඩංගු වේ. සංඛ්‍යා භාගයක් ආකාර කිහිපයකින් සරල කළ හැක. පළමුව, හරය සංඛ්‍යාවෙන් බෙදන්න. දෙවනුව, සංඛ්‍යාංකය සහ හරය සාධක කර සමාන සාධක අවලංගු කරන්න (සංඛ්‍යාවක් බෙදීමෙන් ඔබට 1 ලැබෙන බැවින්). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, numerator සහ denominator යන දෙකෙහිම එකම සාධකය තිබේ නම්, ඔබට එය අතහැර සරල කළ භාගයක් ලබා ගත හැකිය.

      • උදාහරණයක් ලෙස, 36/60 කොටස සලකා බලන්න. කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, 0.6 ලබා ගැනීමට 36 න් 60 න් බෙදන්න. නමුත් 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10) යන සංඛ්‍යා සහ හරය සාධක කිරීමෙන් ඔබට මෙම කොටස වෙනත් ආකාරයකින් සරල කළ හැකිය. 6/6 = 1 නිසා, සරල කළ කොටස: 1 x 6/10 = 6/10. නමුත් මෙම කොටසද සරල කළ හැක: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. කොටසක විචල්‍යයක් තිබේ නම්, ඔබට විචල්‍යය සමඟ ඇති සාධක මෙන් අවලංගු කළ හැක.සංඛ්‍යා සහ හරය යන දෙකම සාධක කර සමාන සාධක අවලංගු කරන්න, ඒවායේ විචල්‍යය අඩංගු වුවද (මෙහි සමාන සාධකවල විචල්‍යය අඩංගු විය හැකි හෝ නොතිබිය හැකි බව මතක තබා ගන්න).

      • අපි උදාහරණයක් බලමු: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). මෙම ප්‍රකාශනය නැවත ලිවිය හැක (සාධක) ආකෘතියෙන්: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x පදය numerator සහ denominator යන දෙකෙහිම ඇති බැවින්, ඔබට සරල කළ ප්‍රකාශනයක් ලබා දීම සඳහා එය අවලංගු කළ හැක: (x + 1)/(5 - x). අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • ඔබට කිසිදු නියමයක් අවලංගු කළ නොහැකි බව කරුණාවෙන් සලකන්න - අංකනය සහ හරය යන දෙකෙහිම පවතින සමාන සාධක පමණක් අවලංගු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, (x(x + 2))/x ප්‍රකාශනයේ, විචල්‍යය (සාධකය) “x” සංඛ්‍යා සහ හරය යන දෙකෙහිම ඇත, එබැවින් සරල ප්‍රකාශනයක් ලබා ගැනීමට “x” අඩු කළ හැක: (x + 2)/1 = x + 2. කෙසේ වෙතත්, (x + 2)/x ප්‍රකාශනයේ, “x” විචල්‍යය අඩු කළ නොහැක (“x” සංඛ්‍යාංකයේ සාධකයක් නොවන බැවින්).

   4. විවෘත වරහන්.මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වරහන් වලින් පිටත ඇති පදය වරහන් තුළ ඇති එක් එක් පදයෙන් ගුණ කරන්න. සමහර විට එය සරල කිරීමට උපකාරී වේ සංකීර්ණ ප්රකාශනය. සාමාජිකයන් දෙදෙනාටම මෙය අදාළ වේ ප්රථමක සංඛ්යා, සහ විචල්‍යය අඩංගු සාමාජිකයින්ට.

      • උදාහරණයක් ලෙස, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, සහ 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • දී බව කරුණාවෙන් සලකන්න භාගික ප්රකාශනයන්සංඛ්‍යාංකය සහ හරය යන දෙකෙහිම එකම සාධකය තිබේ නම් වරහන් විවෘත කිරීම අවශ්‍ය නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, (3(x 2 + 8))/3x ප්‍රකාශනයේ වරහන් පුළුල් කිරීමට අවශ්‍ය නැත, මන්ද මෙහිදී ඔබට 3 සාධකය අවලංගු කර සරල ප්‍රකාශනය (x 2 + 8)/x ලබා ගත හැක. මෙම ප්රකාශනය සමඟ වැඩ කිරීමට පහසුය; ඔබ වරහන් විවෘත කළහොත්, ඔබට පහත සංකීර්ණ ප්‍රකාශනය ලැබෙනු ඇත: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. සාධක බහුපද.මෙම ක්‍රමය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට සමහර ප්‍රකාශන සහ බහුපද සරල කළ හැක. Factoring යනු වරහන් විවෘත කිරීමේ ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රියාවයි, එනම් ප්‍රකාශනයක් ලියා ඇත්තේ ප්‍රකාශන දෙකක ප්‍රතිඵලයක් ලෙසයි, ඒ සෑම එකක්ම වරහන් තුළ කොටා ඇත. සමහර අවස්ථාවලදී, සාධකකරණය ඔබට එකම ප්රකාශනය අඩු කිරීමට ඉඩ සලසයි. විශේෂ අවස්ථා වලදී (සාමාන්‍යයෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණ) සාධකකරණය ඔබට සමීකරණය විසඳීමට ඉඩ සලසයි.

      • x 2 - 5x + 6 ප්‍රකාශනය සලකා බලන්න. එය සාධක කර ඇත: (x - 3)(x - 2). මේ අනුව, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රකාශනය ලබා දී ඇත්නම් (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), එවිට ඔබට එය (x - 3)(x - 2)/(2(x) ලෙස නැවත ලිවිය හැක. - 2)), ප්‍රකාශනය අඩු කරන්න (x - 2) සහ සරල කළ ප්‍රකාශනයක් (x - 3)/2 ලබා ගන්න.
      • සාධක බහුපද සමීකරණ විසඳීමට (මූලයන් සෙවීමට) භාවිතා කරයි (සමීකරණයක් යනු 0 ට සමාන බහුපදයකි). උදාහරණයක් ලෙස, x 2 - 5x + 6 = 0 සමීකරණය සලකා බලන්න. එය සාධක කිරීමෙන්, ඔබට (x - 3)(x - 2) = 0 ලැබේ. 0 න් ගුණ කරන ඕනෑම ප්‍රකාශනයක් 0 ට සමාන බැවින්, අපට එය ලිවිය හැකිය. මෙය : x - 3 = 0 සහ x - 2 = 0. මේ අනුව, x = 3 සහ x = 2, එනම්, ඔබට ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මූලයන් දෙකක් ඔබ සොයාගෙන ඇත.

ඕනෑම භාෂාවකට එකම තොරතුරු ප්රකාශ කළ හැකිය විවිධ වචන වලින්සහ විප්ලව. ගණිත භාෂාව ව්යතිරේකයක් නොවේ. නමුත් එකම ප්‍රකාශනය විවිධ ආකාරවලින් සමාන ලෙස ලිවිය හැකිය. සමහර අවස්ථා වලදී, ඇතුළත් කිරීම් වලින් එකක් සරල ය. අපි මෙම පාඩමේදී ප්‍රකාශන සරල කිරීම ගැන කතා කරමු.

මිනිසුන් සන්නිවේදනය කරයි විවිධ භාෂා. අපට වැදගත් සංසන්දනයක් වන්නේ "රුසියානු භාෂාව - ගණිතමය භාෂාව" යන යුගලයයි. එකම තොරතුරු විවිධ භාෂාවලින් සන්නිවේදනය කළ හැකිය. නමුත්, මෙයට අමතරව, එය එක් භාෂාවකින් විවිධ ආකාරවලින් උච්චාරණය කළ හැකිය.

උදාහරණයක් ලෙස: "Petya Vasya සමඟ මිතුරු වේ", "Vasya Petya සමඟ මිතුරු වේ", "Petya සහ Vasya මිතුරන්". වෙනස් විදියට කිව්වත් එකම දේ. මෙම ඕනෑම වාක්‍ය ඛණ්ඩයකින් අප කතා කරන්නේ කුමක් දැයි අපට වැටහෙනු ඇත.

අපි මෙම වාක්‍ය ඛණ්ඩය දෙස බලමු: "පෙටියා පිරිමි ළමයා සහ වාස්යා පිරිමි ළමයා මිතුරන්." අපි අදහස් කරන දේ අපි තේරුම් ගනිමු අපි කතා කරන්නේ. කෙසේ වෙතත්, අපි මෙම වාක්‍ය ඛණ්ඩයේ ශබ්දයට කැමති නැත. අපට එය සරල කළ නොහැකිද, එකම දේ කියන්න, නමුත් වඩා සරලද? “පිරිමි ළමයා සහ පිරිමි ළමයා” - ඔබට වරක් පැවසිය හැකිය: “පිරිමි පෙටියා සහ වාස්යා මිතුරන් ය.”

"පිරිමි" ... ඔවුන් ගැහැණු ළමයින් නොවන බව ඔවුන්ගේ නම් වලින් පැහැදිලි නොවේ ද? අපි "පිරිමි ළමයින්" ඉවත් කරමු: "Petya සහ Vasya මිතුරන්." “මිතුරන්” යන වචනය “මිතුරන්” ලෙස ආදේශ කළ හැකිය: “පෙටියා සහ වාස්යා මිතුරන්.” එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, පළමු, දිගු, අවලස්සන වාක්‍ය ඛණ්ඩය කීමට පහසු සහ තේරුම් ගැනීමට පහසු සමාන ප්‍රකාශයක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය විය. අපි මෙම වැකිය සරල කර ඇත. සරල කිරීම යනු එය වඩාත් සරලව පැවසීම මිස අර්ථය නැති කිරීම හෝ විකෘති කිරීම නොවේ.

ගණිතමය භාෂාවෙන්, දළ වශයෙන් එකම දේ සිදු වේ. එක හා එකම දේ වෙනස් ලෙස ලිවිය හැකිය. ප්‍රකාශනයක් සරල කිරීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? මෙයින් අදහස් කරන්නේ මුල් ප්‍රකාශනය සඳහා බොහෝ සමාන ප්‍රකාශන ඇති බවයි, එනම් එකම දේ අදහස් කරන ඒවා. මේ සියලු ප්‍රභේදවලින් අපි සරලම, අපගේ මතය අනුව හෝ අපගේ වැඩිදුර අරමුණු සඳහා වඩාත් සුදුසු දේ තෝරා ගත යුතුය.

උදාහරණයක් ලෙස, සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනය සලකා බලන්න. එය සමාන වනු ඇත.

එය පළමු දෙකට සමාන වනු ඇත: .

අපි අපගේ ප්‍රකාශන සරල කර ඇති අතර කෙටිම සමාන ප්‍රකාශනය සොයාගෙන ඇති බව පෙනේ.

සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශන සඳහා, ඔබ සැම විටම සෑම දෙයක්ම කළ යුතු අතර සමාන ප්‍රකාශනය තනි අංකයක් ලෙස ලබා ගත යුතුය.

වචනාර්ථ ප්‍රකාශනයක උදාහරණයක් බලමු . නිසැකවම, එය වඩාත් සරල වනු ඇත.

වචනාර්ථ ප්රකාශයන් සරල කරන විට, හැකි සෑම ක්රියාවක්ම සිදු කිරීම අවශ්ය වේ.

ප්‍රකාශනයක් සරල කිරීම සැමවිටම අවශ්‍යද? නැත, සමහර විට අපට සමාන නමුත් දිගු ප්‍රවේශයක් තිබීම වඩාත් පහසු වනු ඇත.

උදාහරණයක්: ඔබ අංකයකින් අංකයක් අඩු කළ යුතුය.

එය ගණනය කළ හැකි නමුත්, පළමු අංකය එහි සමාන අංකනය මගින් නිරූපණය කළේ නම්: , එවිට ගණනය කිරීම් ක්ෂණික වනු ඇත: .

එනම්, තවදුරටත් ගණනය කිරීම් සඳහා සරල කළ ප්රකාශනයක් සෑම විටම අපට ප්රයෝජනවත් නොවේ.

කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට අපට "ප්‍රකාශනය සරල කිරීම" වැනි කාර්යයකට මුහුණ දීමට සිදු වේ.

ප්රකාශනය සරල කරන්න: .

විසඳුමක්

1) පළමු සහ දෙවන වරහන් තුළ ක්රියා සිදු කරන්න: .

2) නිෂ්පාදන ගණනය කරමු: .

පැහැදිලිවම, අවසාන ප්‍රකාශනයට මුල් එකට වඩා සරල ස්වරූපයක් ඇත. අපි එය සරල කර ඇත.

ප්රකාශනය සරල කිරීම සඳහා, එය සමාන (සමාන) සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කළ යුතුය.

ඔබට අවශ්‍ය සමාන ප්‍රකාශනය තීරණය කිරීමට:

1) හැකි සියලුම ක්‍රියා සිදු කරන්න,

2) ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම යන ගුණාංග භාවිතා කරන්න.

එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ ගුණ:

1. එකතු කිරීමේ හුවමාරු දේපල: නියමයන් නැවත සකස් කිරීමෙන් එකතුව වෙනස් නොවේ.

2. එකතු කිරීමේ සංයුක්ත ගුණය: සංඛ්‍යා දෙකක එකතුවට තුන්වන අංකයක් එකතු කිරීම සඳහා, ඔබට පළමු අංකයට දෙවන සහ තුන්වන සංඛ්‍යා එකතු කළ හැක.

3. අංකයකින් එකතුවක් අඩු කිරීමේ ගුණය: අංකයකින් එකතුවක් අඩු කිරීමට, ඔබට එක් එක් පදය වෙන වෙනම අඩු කළ හැක.

ගුණ කිරීමේ සහ බෙදීමේ ගුණ

1. ගුණ කිරීමේ සංනිවේදන ගුණය: සාධක නැවත සකස් කිරීමෙන් නිෂ්පාදනය වෙනස් නොවේ.

2. සංයුක්ත ගුණය: සංඛ්‍යා දෙකක ගුණිතයෙන් සංඛ්‍යාවක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබට පළමුව එය පළමු සාධකයෙන් ගුණ කළ හැකි අතර, පසුව ලැබෙන ප්‍රතිඵලය දෙවන සාධකයෙන් ගුණ කළ හැක.

3. ගුණ කිරීමේ බෙදාහැරීමේ ගුණය: සංඛ්‍යාවක් එකතුවකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ එය එක් එක් පදයෙන් වෙන වෙනම ගුණ කළ යුතුය.

අපි ඇත්තටම මානසික ගණනය කිරීම් කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු.

ගණනය කරන්න:

විසඳුමක්

1) කොහොමද කියලා අපි හිතමු

2) අපි පළමු සාධකය බිට් පදවල එකතුවක් ලෙස සිතා ගුණ කිරීම සිදු කරමු:

3) ගුණ කිරීම සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි ඔබට සිතාගත හැකිය:

4) පළමු සාධකය සමාන එකතුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:

බෙදා හැරීමේ නීතිය ද භාවිතා කළ හැකිය ආපසු පැත්තේ: .

මෙම පියවර අනුගමනය කරන්න:

1) 2)

විසඳුමක්

1) පහසුව සඳහා, ඔබට බෙදාහැරීමේ නීතිය භාවිතා කළ හැකිය, එය ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට පමණක් භාවිතා කරන්න - වරහන් වලින් පොදු සාධකය ගන්න.

2) අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු

මුළුතැන්ගෙයි හා කොරිඩෝව සඳහා ලිෙනෝලියම් මිලදී ගැනීම අවශ්ය වේ. මුළුතැන්ගෙයි ප්රදේශය - , ශාලාව - . ලිෙනෝලියම් වර්ග තුනක් ඇත: සඳහා, සහ රූබල් සඳහා. එක් එක් සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය වේද? වර්ග තුනක්ලිෙනෝලියම්? (රූපය 1)

සහල්. 1. ගැටළු ප්රකාශය සඳහා නිදර්ශනය

විසඳුමක්

ක්රමය 1. කුස්සිය සඳහා ලිෙනෝලියම් මිලදී ගැනීමට කොපමණ මුදලක් වැය වේද යන්න ඔබට වෙන වෙනම සොයා ගත හැකි අතර, පසුව එය කොරිඩෝවේ තබා එහි ප්රතිඵලය නිෂ්පාදන එකතු කරන්න.

එකතු කිරීම, අඩු කිරීම සහ ගුණ කිරීම යන ක්‍රියාවන් සමඟ අකුරු ප්‍රකාශනවලට බෙදීම ද භාවිතා කරන වීජීය ප්‍රකාශනයක් භාගික වීජීය ප්‍රකාශනයක් ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, මේවා ප්‍රකාශන වේ

අපි වීජීය භාගයක් ලෙස හඳුන්වන්නේ පූර්ණ සංඛ්‍යා වීජීය ප්‍රකාශන දෙකක (උදාහරණයක් ලෙස, ඒකාධිකාරී හෝ බහුපද) බෙදීමේ ප්‍රමාණයක ස්වරූපයක් ඇති වීජීය ප්‍රකාශනයකි. උදාහරණයක් ලෙස, මේවා ප්‍රකාශන වේ

ප්‍රකාශනවලින් තෙවැන්න).

භාගික වීජීය ප්‍රකාශනවල අනන්‍ය පරිවර්තනයන් බොහෝ දුරට ඉලක්ක කර ඇත්තේ වීජීය භාගයක ස්වරූපයෙන් ඒවා නිරූපණය කිරීමයි. පොදු හරය සොයා ගැනීම සඳහා, භාගවල හරවල සාධකකරණය භාවිතා කරනු ලැබේ - ඒවායේ අවම පොදු ගුණිතය සොයා ගැනීම සඳහා නියමයන්. වීජීය භාග අඩු කිරීමේදී, ප්‍රකාශනවල දැඩි අනන්‍යතාවය උල්ලංඝනය විය හැකිය: අඩු කිරීම සිදු කරන සාධකය ශුන්‍ය වන ප්‍රමාණවල අගයන් බැහැර කිරීම අවශ්‍ය වේ.

භාගික වීජීය ප්‍රකාශනවල අනන්‍ය පරිවර්තනයන් සඳහා උදාහරණ දෙමු.

උදාහරණ 1: ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්න

සියලුම නියමයන් පොදු හරයකට අඩු කළ හැකිය (පසුගිය වාරයේ හරයේ ලකුණ සහ එය ඉදිරියෙන් ඇති ලකුණ වෙනස් කිරීම පහසුය):

මෙම අගයන් හැර අනෙකුත් සියලුම අගයන් සඳහා අපගේ ප්‍රකාශනය එකකට සමාන වේ; එය නිර්වචනය නොකළ අතර භාගය අඩු කිරීම නීති විරෝධී වේ).

උදාහරණ 2. ප්‍රකාශනය වීජීය භාගයක් ලෙස නිරූපණය කරන්න

විසඳුමක්. ප්රකාශනය පොදු හරයක් ලෙස ගත හැකිය. අපි අනුපිළිවෙලින් සොයා ගනිමු:

අභ්යාස

1. නිශ්චිත පරාමිති අගයන් සඳහා වීජීය ප්‍රකාශනවල අගයන් සොයන්න:

2. සාධකකරණය.