நிகழ்தகவுகளைத் தீர்மானிக்க உங்களுக்கு என்ன முறைகள் தெரியும். ஒரு சீரற்ற மாறியாக வாழ்நாள்

உண்மையில் அல்லது நம் கற்பனையில் நடக்கும் நிகழ்வுகளை 3 குழுக்களாக பிரிக்கலாம். இவை நிச்சயமாக நடக்கும் நம்பகமான நிகழ்வுகள், சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள் மற்றும் சீரற்ற நிகழ்வுகள். நிகழ்தகவு கோட்பாடு சீரற்ற நிகழ்வுகளை ஆய்வு செய்கிறது, அதாவது. நிகழக்கூடிய அல்லது நடக்காத நிகழ்வுகள். இந்த கட்டுரை வழங்கப்படும் குறுகிய வடிவம் நிகழ்தகவு கோட்பாடு சூத்திரங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இது கணிதத்தில் (சுயவிவர நிலை) தேர்வின் 4 வது பணியில் இருக்கும்.

நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஏன் தேவை

வரலாற்று ரீதியாக, சூதாட்டத்தின் வளர்ச்சி மற்றும் தொழில்மயமாக்கல் மற்றும் கேசினோக்களின் தோற்றம் தொடர்பாக 17 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த சிக்கல்களைப் படிக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. இது ஒரு உண்மையான நிகழ்வு, இது ஆய்வு மற்றும் ஆராய்ச்சி தேவை.

ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சமமான சாத்தியமான நிகழ்வுகள் ஏதேனும் நிகழும்போது கார்டுகள், கிராப்ஸ், சில்லி விளையாடுவது சூழ்நிலைகளை உருவாக்கியது. ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வு நிகழும் சாத்தியக்கூறு குறித்த எண்ணியல் மதிப்பீடுகளை வழங்க வேண்டிய தேவை எழுந்தது.

XX நூற்றாண்டில், இந்த அற்பமான விஞ்ஞானம் நுண்ணியத்தில் நடைபெறும் அடிப்படை செயல்முறைகளைப் புரிந்து கொள்வதில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது என்பது தெளிவாகியது. உருவாக்கப்பட்டது நவீன கோட்பாடு நிகழ்தகவுகள்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்துக்கள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் ஆய்வின் பொருள் நிகழ்வுகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள். நிகழ்வு சிக்கலானது என்றால், அதை எளிய கூறுகளாக உடைக்கலாம், அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் எளிதாகக் கண்டறியப்படுகின்றன.

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வு C என அழைக்கப்படுகிறது, இது நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B, அல்லது A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்ந்தன என்பதைக் கொண்டுள்ளது.

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு நிகழ்வு C என அழைக்கப்படுகிறது, இது நிகழ்வு A மற்றும் நிகழ்வு B இரண்டும் நிகழ்ந்தன என்பதைக் கொண்டுள்ளது.

A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நடக்க முடியாவிட்டால் அவை சீரற்றவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நிகழ்வு A நடக்க முடியாவிட்டால் அது சாத்தியமற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய நிகழ்வு ஒரு சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

நிகழ்வு A நம்பகமானதாக அழைக்கப்படுகிறது, அது அவசியம் நடந்தால். அத்தகைய நிகழ்வு ஒரு சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு நிகழ்வும் A (P) எண்ணுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கட்டும். இந்த கடிதத்திற்கு பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் இந்த எண் பி (ஏ) நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு முக்கியமான சிறப்பு நிகழ்வு, சமன்படுத்தக்கூடிய அடிப்படை முடிவுகள் இருக்கும்போது நிலைமை, மற்றும் இந்த விளைவுகளின் தன்னிச்சையானது நிகழ்வுகளை உருவாக்குகிறது. இந்த விஷயத்தில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவு உள்ளிடப்படலாம். இந்த வழியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட நிகழ்தகவு கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் 1-4 பண்புகள் திருப்தி அளிக்கின்றன என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

கணிதத்தில் தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் முக்கியமாக கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடையவை. இத்தகைய பணிகள் மிகவும் எளிமையானவை. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் குறிப்பாக எளிமையானவை ஆர்ப்பாட்டம் விருப்பங்கள்... சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுவது எளிது, எல்லா விளைவுகளின் எண்ணிக்கையும் நிலையில் சரியாக எழுதப்பட்டுள்ளது.

சூத்திரத்தின் மூலம் பதிலைப் பெறுகிறோம்.

நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க கணிதத்தில் தேர்வில் இருந்து ஒரு சிக்கலின் எடுத்துக்காட்டு

மேஜையில் 20 துண்டுகள் உள்ளன - 5 முட்டைக்கோசுடன், 7 ஆப்பிள்களுடன் மற்றும் 8 அரிசியுடன். மெரினா ஒரு பை எடுக்க விரும்புகிறார். அவள் அரிசி பை எடுக்கும் வாய்ப்பு என்ன?

முடிவு.

மொத்தம் 20 சமநிலைப்படுத்தக்கூடிய அடிப்படை முடிவுகள் உள்ளன, அதாவது மெரினா 20 பைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுக்கலாம். ஆனால் மெரினா அரிசியுடன் ஒரு பை எடுக்கும் வாய்ப்பை நாம் மதிப்பிட வேண்டும், அதாவது, A என்பது அரிசியுடன் ஒரு பை தேர்வு. எனவே நமக்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை (அரிசியுடன் கூடிய பைகளின் தேர்வுகள்) 8. மட்டுமே நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்:

சுயாதீனமான, எதிர் மற்றும் தன்னிச்சையான நிகழ்வுகள்

எனினும், இல் திறந்த வங்கி பணிகள் சந்திக்கத் தொடங்கின, மேலும் சிக்கலான பணிகள். எனவே, நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் படித்த பிற சிக்கல்களுக்கு வாசகரின் கவனத்தை ஈர்ப்போம்.

அவை ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவு மற்றொரு நிகழ்வு நிகழ்ந்ததா என்பதைப் பொறுத்து இல்லாவிட்டால் A மற்றும் B நிகழ்வுகள் சுயாதீனமாக அழைக்கப்படுகின்றன.

நிகழ்வு B என்றால் நிகழ்வு A நடக்கவில்லை, அதாவது. நிகழ்வு B நிகழ்வு A க்கு எதிரானது. எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒரு மைனஸுக்கு சமமானதாகும், இது நேரடி நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, அதாவது. ...

நிகழ்தகவுகள், சூத்திரங்களுக்கான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் கோட்பாடுகள்

தன்னிச்சையான நிகழ்வுகள் A மற்றும் B க்கு, இந்த நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தொகைக்கு சமம், அதாவது. ...

A மற்றும் B சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கு, இந்த நிகழ்வுகளின் உற்பத்தியின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம், அதாவது. இந்த வழக்கில்.

கடைசி 2 அறிக்கைகள் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் கோட்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவது எப்போதும் அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. சில சந்தர்ப்பங்களில், கூட்டு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். இந்த வழக்கில், மிக முக்கியமான விஷயம், சில நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவது. சில நேரங்களில் இந்த வகையான கணக்கீடுகள் சுயாதீனமான பணிகளாக மாறும்.

காலியாக உள்ள 6 இருக்கைகளில் 6 மாணவர்களை எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்க முடியும்? முதல் மாணவர் 6 இடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுப்பார். இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டாவது மாணவரின் இடத்தைப் பிடிக்க 5 வழிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. மூன்றாவது மாணவருக்கு 4 இலவச இடங்கள் உள்ளன, நான்காவது - 3 க்கு, ஐந்தாவது - 2 க்கு, ஆறாவது மீதமுள்ள இடத்தை எடுக்கும். அனைத்து விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது 6 சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது! அது "ஆறு காரணியாலானது" என்று கூறுகிறது.

பொதுவான விஷயத்தில், இந்த கேள்விக்கான பதில் n உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

இப்போது எங்கள் மாணவர்களுடன் மற்றொரு வழக்கைக் கவனியுங்கள். காலியாக உள்ள 6 இடங்களுக்கு 2 மாணவர்களை எத்தனை வழிகளில் அமர வைக்க முடியும்? முதல் மாணவர் 6 இடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுப்பார். இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டாவது மாணவரின் இடத்தைப் பிடிக்க 5 வழிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. எல்லா விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பொதுவான வழக்கில், இந்த கேள்விக்கான பதில் k உறுப்புகளுக்கான n உறுப்புகளின் இடங்களின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது

எங்கள் விஷயத்தில்.

மற்றும் கடைசி வழக்கு இந்த தொடரிலிருந்து. 6 பேரில் மூன்று மாணவர்கள் எத்தனை வழிகளில் உள்ளனர்? முதல் மாணவரை 6 வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம், இரண்டாவது 5 வழிகளில், மூன்றாவது நான்கில். ஆனால் இந்த விருப்பங்களில், அதே மூன்று மாணவர்கள் 6 முறை சந்திக்கப்படுகிறார்கள். எல்லா விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் :. பொது வழக்கில், இந்த கேள்விக்கான பதில் உறுப்புகளின் உறுப்புகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

எங்கள் விஷயத்தில்.

நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க கணிதத்தில் தேர்வில் இருந்து சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

சிக்கல் 1. தொகுப்பிலிருந்து, எட். யஷ்செங்கோ.

தட்டில் 30 துண்டுகள் உள்ளன: 3 இறைச்சியுடன், 18 முட்டைக்கோசு மற்றும் 9 செர்ரிகளுடன். சாஷா ஒரு பை ஒன்றை சீரற்ற முறையில் தேர்வு செய்கிறார். அவர் ஒரு செர்ரியுடன் முடிவடையும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

.

பதில்: 0.3.

சிக்கல் 2. தொகுப்பிலிருந்து, எட். யஷ்செங்கோ.

1000 பல்புகளின் ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் சராசரியாக 20 குறைபாடுள்ள பல்புகள் உள்ளன. ஒரு தொகுப்பிலிருந்து தோராயமாக வரையப்பட்ட விளக்கை வேலை செய்யும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: சேவை செய்யக்கூடிய பல்புகளின் எண்ணிக்கை 1000-20 \u003d 980. தொகுப்பிலிருந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட ஒளி விளக்கை சேவை செய்யக்கூடிய நிகழ்தகவு:

பதில்: 0.98.

கணித தேர்வில் 9 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை மாணவர் யு சரியாக தீர்க்கும் நிகழ்தகவு 0.67 ஆகும். யு. 8 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் நிகழ்தகவு 0.73 ஆகும். யு சரியாக 9 சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நாம் ஒரு எண் கோட்டைக் கற்பனை செய்து, அதில் 8 மற்றும் 9 புள்ளிகளைக் குறித்தால், அந்த நிலை “ஒய். சரியாக 9 சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் "நிபந்தனையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது" யு. 8 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் ", ஆனால்" W. "என்ற நிபந்தனைக்கு இது பொருந்தாது. 9 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் ”.

இருப்பினும், நிபந்தனை “டபிள்யூ. 9 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் "நிலையில் உள்ளது" W. 8 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் ”. எனவே, நாம் நிகழ்வுகளை நியமித்தால்: “டபிள்யூ. சரியாக 9 சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் "- A மூலம்," Y. 8 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும் "- பி மூலம்," யு. சி மூலம் 9 க்கும் மேற்பட்ட சிக்கல்களை சரியாக தீர்க்கும். அந்த தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பதில்: 0.06.

வடிவியல் தேர்வில், மாணவர் பரீட்சை கேள்விகளின் பட்டியலிலிருந்து ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பார். இது ஒரு முக்கோணவியல் கேள்வி என்ற நிகழ்தகவு 0.2 ஆகும். இது ஒரு வெளிப்புற கோண கேள்வி என்ற நிகழ்தகவு 0.15 ஆகும். இந்த இரண்டு தலைப்புகளுடன் ஒரே நேரத்தில் தொடர்புடைய கேள்விகள் எதுவும் இல்லை. தேர்வில் இந்த இரண்டு தலைப்புகளில் ஒன்றில் ஒரு மாணவர் கேள்வி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

நமக்கு என்ன மாதிரியான நிகழ்வுகள் உள்ளன என்பதைப் பற்றி சிந்திக்கலாம். பொருந்தாத இரண்டு நிகழ்வுகள் எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளன. அதாவது, கேள்வி "முக்கோணவியல்" என்ற தலைப்போடு அல்லது "கோணங்களுக்கு வெளியே" என்ற தலைப்போடு தொடர்புடையதாக இருக்கும். நிகழ்தகவு தேற்றத்தின் படி, சீரற்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது:

பதில்: 0.35.

அறை மூன்று விளக்குகள் கொண்ட ஒரு விளக்கு மூலம் ஒளிரும். ஒரு ஆண்டில் ஒரு விளக்கு எரியும் நிகழ்தகவு 0.29 ஆகும். ஒரு வருடத்திற்குள் குறைந்தது ஒரு விளக்கு எரியாது என்ற நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

சாத்தியமான நிகழ்வுகளை கருத்தில் கொள்வோம். எங்களிடம் மூன்று பல்புகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் வேறு எந்த விளக்கை விட சுயாதீனமாக எரியக்கூடாது அல்லது இருக்கலாம். இவை சுயாதீனமான நிகழ்வுகள்.

அத்தகைய நிகழ்வுகளுக்கான விருப்பங்களை நாங்கள் குறிப்பிடுவோம். பின்வரும் குறியீட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்: - ஒளி இயக்கத்தில் உள்ளது, - ஒளி எரிகிறது. அதற்கு அடுத்ததாக நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று சுயாதீன நிகழ்வுகள் “ஒளி விளக்கை எரித்துவிட்டன”, “ஒளி விளக்கை இயக்குகிறது”, “ஒளி விளக்கை இயக்குகிறது” நிகழ்ந்த நிகழ்தகவு: நிகழ்வின் நிகழ்தகவு “ஒளி விளக்கை இயக்குகிறது ”நிகழ்வுக்கு நேர்மாறான நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என கணக்கிடப்படுகிறது“ ஒளி விளக்கை முடக்கியுள்ளது ”, அதாவது: ...

எங்களுக்கு சாதகமான 7 சீரற்ற நிகழ்வுகள் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. இதுபோன்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தொகைக்கு சமம் :.

பதில்: 0.975608.

படத்தில் மேலும் ஒரு சிக்கலை நீங்கள் காணலாம்:

எனவே, சூத்திரத்தின் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் தேர்வின் பதிப்பில் நீங்கள் சந்திக்கக்கூடிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் என்ன என்பதை நீங்களும் நானும் புரிந்துகொண்டோம்.

அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சீரற்ற நிகழ்வுகளை கணக்கிட முடியுமா என்று பலர் சிந்திப்பது சாத்தியமில்லை. வெளிப்படுத்தியது எளிய வார்த்தைகளில், அடுத்த முறை இறப்பின் எந்தப் பக்கம் விழும் என்பதை அறிவது யதார்த்தமானதா? இந்த கேள்விதான் இரண்டு பெரிய விஞ்ஞானிகளால் கேட்கப்பட்டது, இது ஒரு விஞ்ஞானத்திற்கு நிகழ்தகவு கோட்பாடு போன்ற அடித்தளத்தை அமைத்தது, இதில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மிகவும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது.

ஆரம்பம்

நிகழ்தகவு கோட்பாடு போன்ற ஒரு கருத்தை நீங்கள் வரையறுக்க முயற்சித்தால், நீங்கள் பின்வருவனவற்றைப் பெறுவீர்கள்: இது சீரற்ற நிகழ்வுகளின் நிலைத்தன்மையைப் பற்றிய ஆய்வைக் கையாளும் கணிதத்தின் கிளைகளில் ஒன்றாகும். நிச்சயமாக, இந்த கருத்து முழு புள்ளியையும் உண்மையில் வெளிப்படுத்தாது, எனவே இதை இன்னும் விரிவாகக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

கோட்பாட்டின் படைப்பாளர்களுடன் தொடங்க விரும்புகிறேன். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அவற்றில் இரண்டு இருந்தன, இதுவும், ஒரு நிகழ்வின் முடிவைக் கணக்கிட சூத்திரங்கள் மற்றும் கணிதக் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி முதலில் முயற்சித்தவர்களில் அவர்கள்தான். பொதுவாக, இந்த அறிவியலின் அடிப்படைகள் இடைக்காலத்தில் வெளிப்பட்டன. அந்த நேரத்தில், பல்வேறு சிந்தனையாளர்களும் அறிஞர்களும் பகுப்பாய்வு செய்ய முயன்றனர் சூதாட்டம், ஒரு டேப் அளவீடு, பகடை மற்றும் பல போன்றவை, இதன் மூலம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் நிகழ்வின் வடிவத்தையும் சதவீதத்தையும் நிறுவுகின்றன. மேற்கூறிய விஞ்ஞானிகளால் பதினேழாம் நூற்றாண்டில் அடித்தளம் அமைக்கப்பட்டது.

முதலில், அவர்களின் படைப்புகள் இந்த பகுதியில் கிடைத்த பெரிய சாதனைகளுக்கு காரணமாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் அவர்கள் செய்த அனைத்தும் வெறுமனே அனுபவ உண்மைகள், மற்றும் சோதனைகள் பார்வைக்கு, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் அமைக்கப்பட்டன. காலப்போக்கில், சிறந்த முடிவுகள் எட்டப்பட்டன, இது எலும்புகளை வீசுவதைக் கவனித்ததன் விளைவாக தோன்றியது. இந்த கருவிதான் முதல் புரியக்கூடிய சூத்திரங்களைப் பெற உதவியது.

போன்ற எண்ணம் கொண்டவர்கள்

"நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தலைப்பைப் படிக்கும் செயல்பாட்டில் கிறிஸ்டியன் ஹ்யூஜென்ஸ் போன்ற ஒருவரைக் குறிப்பிட ஒருவர் தவற முடியாது (ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இந்த அறிவியலில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது). இந்த நபர் மிகவும் சுவாரஸ்யமானவர். அவர், மேலே வழங்கப்பட்ட விஞ்ஞானிகளைப் போலவே, கணித சூத்திரங்களின் வடிவத்தில் சீரற்ற நிகழ்வுகளின் வழக்கத்தை குறைக்க முயன்றார். பாஸ்கல் மற்றும் ஃபெர்மட் ஆகியோருடன் அவர் இதைச் செய்யவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது, அதாவது, அவரது படைப்புகள் அனைத்தும் இந்த மனங்களுடன் எந்த வகையிலும் ஒன்றிணைக்கவில்லை. ஹ்யூஜென்ஸ் கொண்டு வந்தார்

ஒரு சுவாரஸ்யமான உண்மை என்னவென்றால், அவரது படைப்புகள் கண்டுபிடிப்பாளர்களின் படைப்புகளின் முடிவுகளுக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே வெளிவந்தன, அல்லது மாறாக, இருபது ஆண்டுகளுக்கு முன்பே. நியமிக்கப்பட்ட கருத்துக்களில், மிகவும் பிரபலமானவை:

• ஒரு வாய்ப்பின் அளவாக நிகழ்தகவு கருத்து;
• தனித்துவமான நிகழ்வுகளுக்கான கணித எதிர்பார்ப்பு;
• நிகழ்தகவுகளுக்கான பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல் கோட்பாடுகள்.

சிக்கலைப் படிப்பதில் யார் குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்தார்கள் என்பதையும் நினைவுகூர முடியாது. தனது சொந்த, சுயாதீனமான சோதனைகளை மேற்கொண்டு, அவர் சட்டத்தின் ஆதாரங்களை வழங்க முடிந்தது பெரிய எண்கள்... இதையொட்டி, பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் பணியாற்றிய விஞ்ஞானிகள் பாய்சன் மற்றும் லாப்லேஸ் ஆகியோர் அசல் கோட்பாடுகளை நிரூபிக்க முடிந்தது. இந்த தருணத்திலிருந்தே நிகழ்தகவு கோட்பாடு அவதானிப்பின் போது பிழைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய பயன்படுத்தத் தொடங்கியது. ரஷ்ய விஞ்ஞானிகள், அல்லது மாறாக மார்கோவ், செபிஷேவ் மற்றும் தியாபுனோவ் ஆகியோரால் இந்த அறிவியலையும் புறக்கணிக்க முடியவில்லை. அவர்கள், சிறந்த மேதைகளால் செய்யப்பட்ட வேலையின் அடிப்படையில், இந்த விஷயத்தை கணிதத்தின் ஒரு கிளையாக ஒருங்கிணைத்தனர். இந்த புள்ளிவிவரங்கள் ஏற்கனவே பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் வேலை செய்தன, அவற்றின் பங்களிப்புக்கு நன்றி, இதுபோன்ற நிகழ்வுகள் பின்வருமாறு நிரூபிக்கப்பட்டன:

• பெரிய எண்ணிக்கையிலான சட்டம்;
• மார்கோவ் சங்கிலிகளின் கோட்பாடு;
• மத்திய வரம்பு தேற்றம்.

எனவே, அறிவியலின் தோற்றத்தின் வரலாறு மற்றும் அதைப் பாதித்த முக்கிய நபர்களுடன், அனைத்தும் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளன. இப்போது அனைத்து உண்மைகளையும் ஒருங்கிணைக்க வேண்டிய நேரம் இது.

அடிப்படை கருத்துக்கள்

சட்டங்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளைத் தொடும் முன், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துகளைப் படிப்பது மதிப்பு. நிகழ்வு அதில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இந்த தலைப்பு மிகவும் பெரியது, ஆனால் அது இல்லாமல் எல்லாவற்றையும் புரிந்து கொள்ள முடியாது.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் நிகழ்வு என்பது ஒரு பரிசோதனையின் விளைவுகளின் தொகுப்பாகும். இந்த நிகழ்வின் கருத்துக்கள் மிகக் குறைவு. எனவே, இந்த பகுதியில் பணிபுரியும் விஞ்ஞானி லோட்மேன் இந்த விஷயத்தில் கூறினார் அது வருகிறது "என்ன நடந்தது, அது நடந்திருக்கவில்லை என்றாலும்."

சீரற்ற நிகழ்வுகள் (நிகழ்தகவு கோட்பாடு அவர்களுக்கு அளிக்கிறது சிறப்பு கவனம்) என்பது நிகழும் திறனைக் கொண்ட எந்தவொரு நிகழ்வையும் குறிக்கும் ஒரு கருத்து. அல்லது, மாறாக, பல நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் இந்த சூழ்நிலை ஏற்படாது. இது நிகழ்ந்த நிகழ்வுகளின் முழு அளவையும் கைப்பற்றும் சீரற்ற நிகழ்வுகள் என்பதையும் அறிந்து கொள்வது மதிப்பு. நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு எல்லா நிலைகளையும் எல்லா நேரத்திலும் மீண்டும் செய்ய முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. அவர்களின் நடத்தைதான் "சோதனை" அல்லது "சோதனை" என்ற பெயரைப் பெற்றுள்ளது.

நம்பகமான நிகழ்வு என்பது கொடுக்கப்பட்ட சோதனையில் நூறு சதவீதம் நடக்கும். அதன்படி, சாத்தியமில்லாத நிகழ்வு நடக்காது.

ஒரு ஜோடி செயல்களின் கலவையானது (நிபந்தனைக்குட்பட்ட வழக்கு A மற்றும் வழக்கு B) ஒரே நேரத்தில் நிகழும் ஒரு நிகழ்வு ஆகும். அவை ஏபி என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன.

A மற்றும் B நிகழ்வுகளின் ஜோடிகளின் தொகை C ஆகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், அவற்றில் குறைந்தது ஒன்று நடந்தால் (A அல்லது B), அது C ஆக மாறும். விவரிக்கப்பட்ட நிகழ்வுக்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: C \u003d A + பி.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சீரற்ற நிகழ்வுகள் இரண்டு நிகழ்வுகள் பரஸ்பரம் என்று குறிக்கின்றன. அவை ஒரே நேரத்தில் நடக்காது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கூட்டு நிகழ்வுகள் அவற்றின் ஆன்டிபாட்கள். இது நடந்தால், அது பி உடன் தலையிடாது என்பதை இது குறிக்கிறது.

எதிர் நிகழ்வுகள் (நிகழ்தகவு கோட்பாடு அவற்றை மிக விரிவாகக் கருதுகிறது) புரிந்துகொள்வது எளிது. ஒப்பிடுவதன் மூலம் அவற்றைச் சமாளிக்க சிறந்த வழி. அவை நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சீரற்ற நிகழ்வுகளைப் போலவே இருக்கின்றன. ஆனால் அவற்றின் வேறுபாடு பல நிகழ்வுகளில் ஒன்று எந்தவொரு விஷயத்திலும் நடக்க வேண்டும் என்பதில் உள்ளது.

சமமாக சாத்தியமான நிகழ்வுகள் அந்த செயல்கள், அவை மீண்டும் நிகழும் வாய்ப்பு சமம். அதை தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு நாணயம் டாஸை நீங்கள் கற்பனை செய்யலாம்: அதன் ஒரு பக்கத்திலிருந்து வெளியே விழுவது மற்றொன்றிலிருந்து விழுவதற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு நல்ல நிகழ்வு ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பார்க்க எளிதானது. எபிசோட் பி மற்றும் எபிசோட் ஏ உள்ளன என்று சொல்லலாம். முதலாவது ஒற்றைப்படை எண்ணின் தோற்றத்துடன் பகடை உருட்டல், மற்றும் இரண்டாவது டைவில் ஐந்தாவது எண்ணின் தோற்றம். A ஆனது B ஐ ஆதரிக்கிறது என்று மாறிவிடும்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சுயாதீன நிகழ்வுகள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நிகழ்வுகளில் மட்டுமே திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் மற்றொரு செயலிலிருந்து ஒரு செயலின் சுதந்திரத்தை குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தை வீசும்போது A என்பது வால்கள், மற்றும் B டெக்கிலிருந்து ஒரு பலாவைப் பெறுகிறது. அவை நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சுயாதீனமான நிகழ்வுகள். இந்த தருணத்தில் அது தெளிவாகியது.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சார்பு நிகழ்வுகள் அவற்றின் தொகுப்பிற்கு மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன. அவை ஒன்றின் மீது மற்றொன்றைச் சார்ந்து இருப்பதைக் குறிக்கின்றன, அதாவது, B என்ற நிகழ்வு A ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால் மட்டுமே நிகழலாம் அல்லது மாறாக, நடக்கவில்லை, இது B இன் முக்கிய நிபந்தனையாக இருக்கும்போது.

ஒரு கூறுடன் ஒரு சீரற்ற பரிசோதனையின் விளைவு அடிப்படை நிகழ்வுகள். இது ஒரு முறை மட்டுமே நிகழ்ந்த ஒரு நிகழ்வு என்று நிகழ்தகவு கோட்பாடு விளக்குகிறது.

அடிப்படை சூத்திரங்கள்

எனவே, "நிகழ்வு", "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்ற கருத்துக்கள் மேலே கருதப்பட்டன, இந்த அறிவியலின் அடிப்படை சொற்களின் வரையறையும் வழங்கப்பட்டது. முக்கியமான சூத்திரங்களுடன் நேரடியாக அறிமுகம் செய்ய வேண்டிய நேரம் இது. இந்த வெளிப்பாடுகள் நிகழ்தகவு கோட்பாடு போன்ற சிக்கலான பாடத்தின் அனைத்து முக்கிய கருத்துகளையும் கணித ரீதியாக உறுதிப்படுத்துகின்றன. ஒரு நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு இங்கேயும் ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்கிறது.

முக்கியவற்றிலிருந்து தொடங்குவது நல்லது, அவற்றுடன் தொடர்வதற்கு முன், அவை என்ன என்பதைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு.

காம்பினேட்டரிக்ஸ் என்பது முதன்மையாக கணிதத்தின் ஒரு கிளையாகும், இது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான முழு எண்களின் ஆய்வையும், அதே போல் எண்களின் பல்வேறு வரிசைமாற்றங்களையும் அவற்றின் கூறுகள், பல்வேறு தரவு போன்றவற்றையும் கையாளுகிறது, இது பல சேர்க்கைகளின் தோற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டைத் தவிர, புள்ளிவிவரங்கள், கணினி அறிவியல் மற்றும் குறியாக்கவியல் ஆகியவற்றிற்கு இந்தத் தொழில் முக்கியமானது.

எனவே, இப்போது நீங்கள் சூத்திரங்களின் விளக்கக்காட்சி மற்றும் அவற்றின் வரையறைக்கு செல்லலாம்.

அவற்றில் முதலாவது வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் வெளிப்பாடாக இருக்கும், இது போல் தெரிகிறது:

P_n \u003d n (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 2 ⋅ 1 \u003d n!

உறுப்புகள் ஒழுங்கின் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபட்டால் மட்டுமே சமன்பாடு பொருந்தும்.

இப்போது வேலை வாய்ப்பு சூத்திரத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், இது போல் தெரிகிறது:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - மீ)!

இந்த வெளிப்பாடு உறுப்பு வைக்கப்பட்டுள்ள வரிசைக்கு மட்டுமல்ல, அதன் அமைப்புக்கும் பொருந்தும்.

இணைப்பிலிருந்து மூன்றாவது சமன்பாடு, அதுவும் கடைசியாக, சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - மீ))! : மீ!

ஒரு கலவையானது முறையே ஆர்டர் செய்யப்படாத தேர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த விதி அவர்களுக்கு பொருந்தும்.

காம்பினேட்டரிக்ஸின் சூத்திரங்களைக் கண்டறிவது எளிதானது என்று மாறியது, இப்போது நீங்கள் நிகழ்தகவுகளின் கிளாசிக்கல் வரையறைக்கு செல்லலாம். இந்த வெளிப்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

இந்த சூத்திரத்தில், m என்பது நிகழ்வு A க்கு சாதகமான நிலைமைகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் n என்பது முற்றிலும் சமமாக சாத்தியமான மற்றும் அடிப்படை விளைவுகளின் எண்ணிக்கை.

உள்ளது ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான வெளிப்பாடுகள், கட்டுரை அனைத்தையும் கருத்தில் கொள்ளாது, ஆனால் அவற்றில் மிக முக்கியமானவை தொடப்படும், எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்தகவு:

பி (ஏ + பி) \u003d பி (ஏ) + பி (பி) - இந்த தேற்றம் சீரற்ற நிகழ்வுகளை மட்டுமே சேர்ப்பதற்கானது;

பி (ஏ + பி) \u003d பி (ஏ) + பி (பி) - பி (ஏபி) - இது இணக்கமானவற்றை மட்டுமே சேர்ப்பதற்கானது.

நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவு:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - இந்த தேற்றம் சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கானது;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - இது சார்புடையது.

நிகழ்வு சூத்திரம் பட்டியலை முடிக்கும். பேயஸின் தேற்றத்தைப் பற்றி நிகழ்தகவு நமக்குக் கூறுகிறது, இது இதுபோல் தெரிகிறது:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

இந்த சூத்திரத்தில், H 1, H 2, ..., H n என்பது முழு குழு கருதுகோள்கள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

கணிதத்தின் எந்தவொரு பகுதியையும் நீங்கள் கவனமாகப் படித்தால், பயிற்சிகள் மற்றும் மாதிரி தீர்வுகள் இல்லாமல் அது முழுமையடையாது. நிகழ்தகவு கோட்பாடும் அப்படித்தான்: நிகழ்வுகள், எடுத்துக்காட்டுகள் விஞ்ஞான கணக்கீடுகளை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த கூறு.

வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம்

ஒரு அட்டை முகத்தில் முப்பது அட்டைகள் உள்ளன என்று சொல்லலாம், ஒன்றின் முக மதிப்பில் தொடங்கி. அடுத்த கேள்வி. ஒன்று மற்றும் இரண்டு மதிப்புள்ள அட்டைகள் அருகருகே இருக்காதபடி டெக்கை மடிக்க எத்தனை வழிகள் உள்ளன?

பணி அமைக்கப்பட்டுள்ளது, இப்போது அதைத் தீர்ப்பதற்கு செல்லலாம். முதலில் நீங்கள் முப்பது உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க வேண்டும், இதற்காக மேலே வழங்கப்பட்ட சூத்திரத்தை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம், இது P_30 \u003d 30!

இந்த விதியின் அடிப்படையில், டெக்கை வெவ்வேறு வழிகளில் மடிப்பதற்கு எத்தனை விருப்பங்கள் உள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், ஆனால் முதல் மற்றும் இரண்டாவது அட்டைகள் ஒருவருக்கொருவர் அடுத்ததாக இருப்பதை அவர்களிடமிருந்து நாம் கழிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, முதலாவது இரண்டாவது மேலே இருக்கும்போது விருப்பத்துடன் தொடங்குவோம். முதல் அட்டை இருபத்தொன்பது இடங்களையும் - முதல் முதல் இருபத்தி ஒன்பதாவது இடத்தையும், இரண்டாவது அட்டை இரண்டாவது முதல் முப்பது வரையிலும் எடுக்கலாம் என்று மாறிவிடும், இது ஒரு ஜோடி அட்டைகளுக்கு இருபத்தி ஒன்பது இடங்களை மட்டுமே மாற்றிவிடும். இதையொட்டி, மீதமுள்ள இருபத்தி எட்டு இடங்களை எடுக்க முடியும், எந்த குறிப்பிட்ட வரிசையிலும். அதாவது, இருபத்தி எட்டு அட்டைகளின் வரிசைமாற்றத்திற்கு, இருபத்தெட்டு விருப்பங்கள் P_28 \u003d 28 உள்ளன!

இதன் விளைவாக, முதல் அட்டை இரண்டாவதாக இருக்கும்போது தீர்வைக் கருத்தில் கொண்டால், 29 ⋅ 28 கூடுதல் வாய்ப்புகள் இருக்கும்! \u003d 29!

அதே முறையைப் பயன்படுத்தி, முதல் அட்டை இரண்டாவது கீழ் இருக்கும்போது வழக்குக்கான தேவையற்ற விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். இது 29 ⋅ 28 ஆகவும் மாறிவிடும்! \u003d 29!

இதிலிருந்து 2 ⋅ 29 கூடுதல் விருப்பங்கள் உள்ளன!, ஒரு டெக் கட்ட 30 தேவையான வழிகள் உள்ளன! - 2 ⋅ 29!. இது எண்ணுவதற்கு மட்டுமே உள்ளது.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

இப்போது நீங்கள் ஒன்று முதல் இருபத்தி ஒன்பது வரையிலான அனைத்து எண்களையும் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க வேண்டும், பின்னர் இறுதியில் அனைத்தையும் 28 ஆல் பெருக்க வேண்டும். பதில் 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

எடுத்துக்காட்டு தீர்வு. வேலை வாய்ப்பு எண்ணிற்கான சூத்திரம்

இந்த பணியில், ஒரு அலமாரியில் பதினைந்து தொகுதிகளை வைக்க எத்தனை வழிகள் உள்ளன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஆனால் மொத்தம் முப்பது தொகுதிகள் உள்ளன என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில்.

இந்த சிக்கலில், தீர்வு முந்தையதை விட சற்று எளிமையானது. ஏற்கனவே அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பதினைந்து முப்பது தொகுதிகளிலிருந்து மொத்த இருப்பிடங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 28⋅ ... (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

பதில் முறையே 202 843 204 931 727 360 000 க்கு சமமாக இருக்கும்.

இப்போது பணியை கொஞ்சம் கடினமாக எடுத்துக் கொள்வோம். இரண்டு புத்தக அலமாரிகளில் முப்பது புத்தகங்களை ஏற்பாடு செய்ய எத்தனை வழிகள் உள்ளன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஒரு அலமாரியில் பதினைந்து தொகுதிகள் மட்டுமே இருக்க முடியும்.

தீர்வைத் தொடங்குவதற்கு முன், சில சிக்கல்கள் பல வழிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நான் தெளிவுபடுத்த விரும்புகிறேன், இதில் இரண்டு வழிகள் உள்ளன, ஆனால் இரண்டிலும் ஒரே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த சிக்கலில், முந்தையவற்றிலிருந்து நீங்கள் பதிலை எடுக்கலாம், ஏனென்றால் பதினைந்து புத்தகங்களுக்கு ஒரு அலமாரியை எத்தனை முறை வெவ்வேறு வழிகளில் நிரப்பலாம் என்பதை நாங்கள் கணக்கிட்டோம். இது A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 28 ⋅ ... ⋅ 16 ஆனது.

வரிசைமாற்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது அலமாரியைக் கணக்கிடுவோம், ஏனென்றால் பதினைந்து புத்தகங்களை அதில் வைக்கலாம், அதே நேரத்தில் மொத்தம் பதினைந்து உள்ளன. P_15 \u003d 15! என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

மொத்தம் A_30 ^ 15 ⋅ P_15 வழிகளாக இருக்கும் என்று மாறிவிடும், ஆனால், கூடுதலாக, முப்பது முதல் பதினாறு வரையிலான அனைத்து எண்களின் உற்பத்தியும் ஒன்று முதல் பதினைந்து வரையிலான எண்களின் உற்பத்தியால் பெருக்கப்பட வேண்டும், இதன் விளைவாக, தயாரிப்பு ஒன்று முதல் முப்பது வரையிலான அனைத்து எண்களும் பெறப்படும், அதாவது பதில் 30 க்கு சமம்!

ஆனால் இந்த சிக்கலை வேறு வழியில் தீர்க்க முடியும் - எளிதானது. இதைச் செய்ய, முப்பது புத்தகங்களுக்கு ஒரு அலமாரி இருப்பதாக நீங்கள் கற்பனை செய்யலாம். அவை அனைத்தும் இந்த விமானத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் நிபந்தனைக்கு இரண்டு அலமாரிகள் இருக்க வேண்டும் என்பதால், ஒரு நீண்ட ஒன்றை பாதியில் பார்த்தோம், அது இரண்டு முதல் பதினைந்து வரை மாறிவிடும். இதிலிருந்து வேலை வாய்ப்பு விருப்பங்கள் P_30 \u003d 30 ஆக இருக்கலாம் என்று மாறிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு தீர்வு. சேர்க்கை எண்ணிற்கான சூத்திரம்

இப்போது இணைப்பாளர்களிடமிருந்து மூன்றாவது சிக்கலின் மாறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். பதினைந்து புத்தகங்களை ஒழுங்குபடுத்துவதற்கு எத்தனை வழிகள் உள்ளன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், நீங்கள் முப்பது முதல் தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

தீர்வுக்கு, நிச்சயமாக, சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையின் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படும். அதே பதினைந்து புத்தகங்களின் வரிசை முக்கியமல்ல என்பது நிபந்தனையிலிருந்து தெளிவாகிறது. எனவே, ஆரம்பத்தில் நீங்கள் பதினைந்து புத்தகங்களின் மொத்த எண்ணிக்கையை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

சி_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155 117 520

அவ்வளவுதான். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இல் குறுகிய நேரம் அத்தகைய சிக்கலை தீர்க்க முடிந்தது, பதில் முறையே 155 117 520 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு தீர்வு. நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறை

மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எளிய சிக்கலில் பதிலைக் காணலாம். ஆனால் இது செயல்பாட்டின் போக்கைக் காணவும் கண்டறியவும் உதவும்.

சிக்கலில், ஒரே மாதிரியான பத்து பந்துகள் உள்ளன. இவற்றில் நான்கு மஞ்சள் மற்றும் ஆறு நீலம். ஒரு பந்து சதுக்கத்திலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. நீல நிறத்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

சிக்கலைத் தீர்க்க, விநியோகத்தைக் குறிக்க வேண்டியது அவசியம் நீல பந்து நிகழ்வு A. இந்த அனுபவம் பத்து விளைவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம், அவை தொடக்க மற்றும் சமமாக சாத்தியமாகும். அதே நேரத்தில், பத்தில் ஆறு நிகழ்வு A க்கு சாதகமானது. நாங்கள் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கிறோம்:

பி (எ) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீல பந்தை அடையும் திறன் 0.6 என்று அறிந்தோம்.

எடுத்துக்காட்டு தீர்வு. நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்தகவு

இப்போது ஒரு மாறுபாடு வழங்கப்படும், இது நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும். எனவே, நிபந்தனையில் இரண்டு பெட்டிகள் உள்ளன, முதல் ஒரு சாம்பல் மற்றும் ஐந்து வெள்ளை பந்துகள் உள்ளன, இரண்டாவது எட்டு சாம்பல் மற்றும் நான்கு வெள்ளை பந்துகள் உள்ளன. இதன் விளைவாக, அவற்றில் ஒன்று முதல் மற்றும் இரண்டாவது பெட்டிகளில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது. நீங்கள் பெறும் பந்துகள் சாம்பல் மற்றும் வெள்ளை நிறமாக இருக்கும் வாய்ப்பு என்ன என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க, நிகழ்வுகளை நியமிப்பது அவசியம்.

• எனவே, ஏ - முதல் பெட்டியிலிருந்து சாம்பல் நிற பந்தை எடுத்தது: பி (ஏ) \u003d 1/6.
• A '- முதல் பெட்டியிலிருந்து ஒரு வெள்ளை பந்தையும் எடுத்தார்கள்: P (A ") \u003d 5/6.
• பி - சாம்பல் பந்து இரண்டாவது பெட்டியிலிருந்து அகற்றப்பட்டது: பி (பி) \u003d 2/3.
• பி '- இரண்டாவது பெட்டியிலிருந்து சாம்பல் நிற பந்தை எடுத்தார்: பி (பி ") \u003d 1/3.

சிக்கலின் நிலைக்கு ஏற்ப, நிகழ்வுகளில் ஒன்று நடக்க வேண்டியது அவசியம்: ஏபி 'அல்லது ஏபி. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்: பி (ஏபி ") \u003d 1/18, பி (ஏ" பி) \u003d 10/18.

நிகழ்தகவைப் பெருக்க சூத்திரம் இப்போது பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலும், பதிலைக் கண்டுபிடிக்க, அவற்றின் சேர்த்தலின் சமன்பாட்டை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இதேபோன்ற சிக்கல்களை நீங்கள் தீர்க்க முடியும்.

விளைவு

கட்டுரை "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்ற தலைப்பில் தகவல்களை வழங்கியது, இது ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு முக்கியமான பாத்திரம்... நிச்சயமாக, எல்லாவற்றையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஆனால், வழங்கப்பட்ட உரையின் அடிப்படையில், கணிதத்தின் இந்த பகுதியை நீங்கள் கோட்பாட்டளவில் அறிந்து கொள்ளலாம். கேள்விக்குரிய விஞ்ஞானம் தொழில்முறை வணிகத்தில் மட்டுமல்ல, பயனுள்ளதாக இருக்கும் அன்றாட வாழ்க்கை... அதன் உதவியுடன், எந்தவொரு நிகழ்வின் சாத்தியத்தையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம்.

உரையும் தொட்டது குறிப்பிடத்தக்க தேதிகள் ஒரு விஞ்ஞானமாக நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டை உருவாக்கிய வரலாற்றில், மற்றும் அதில் முதலீடு செய்யப்பட்ட நபர்களின் பெயர்கள். சீரற்ற நிகழ்வுகளைக் கூட கணக்கிட மக்கள் கற்றுக் கொண்டார்கள் என்பதற்கு மனித ஆர்வம் வழிவகுத்தது. ஒருமுறை அவர்கள் வெறுமனே ஆர்வமாக இருந்தனர், ஆனால் இன்று அனைவருக்கும் இது பற்றி ஏற்கனவே தெரியும். எதிர்காலத்தில் நமக்கு என்ன காத்திருக்கிறது என்பதை யாரும் சொல்ல மாட்டார்கள், கருத்தில் உள்ள கோட்பாட்டுடன் தொடர்புடைய பிற அற்புதமான கண்டுபிடிப்புகள் என்ன செய்யப்படும். ஆனால் ஒன்று நிச்சயம் - ஆராய்ச்சி இன்னும் நிற்கவில்லை!

பலர், "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" என்ற கருத்தை எதிர்கொண்டு, பயப்படுகிறார்கள், இது மிகப்பெரியது, மிகவும் கடினம் என்று நினைத்துக்கொள்கிறார்கள். ஆனால் எல்லாம் உண்மையில் அவ்வளவு சோகமானது அல்ல. இன்று நாம் அடிப்படைக் கருத்தை கருத்தில் கொண்டு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

அறிவியல்

"நிகழ்தகவு கோட்பாடு" போன்ற கணிதத்தின் ஒரு கிளை என்ன? அவர் வடிவங்களையும் அளவுகளையும் குறிப்பிடுகிறார். முதன்முறையாக, விஞ்ஞானிகள் பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில், சூதாட்டத்தைப் படித்தபோது, \u200b\u200bஇந்த விஷயத்தில் ஆர்வம் காட்டினர். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்து ஒரு நிகழ்வு. இது அனுபவம் அல்லது கவனிப்பால் கண்டறியப்பட்ட எந்த உண்மையும் ஆகும். ஆனால் அனுபவம் என்றால் என்ன? நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மற்றொரு அடிப்படை கருத்து. இந்த சூழ்நிலைகள் தற்செயலாக உருவாக்கப்படவில்லை, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்கத்திற்காக என்று பொருள். அவதானிப்பைப் பொறுத்தவரை, இங்கே ஆராய்ச்சியாளரே பரிசோதனையில் பங்கேற்கவில்லை, ஆனால் இந்த நிகழ்வுகளுக்கு வெறுமனே சாட்சியாக இருக்கிறார், அவர் என்ன நடக்கிறது என்பதை எந்த வகையிலும் பாதிக்கவில்லை.

நிகழ்வுகள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்து ஒரு நிகழ்வு என்பதை நாங்கள் அறிந்தோம், ஆனால் நாங்கள் வகைப்பாட்டைக் கருதவில்லை. அவை அனைத்தும் பின்வரும் வகைகளில் அடங்கும்:

• நம்பகமான.
• சாத்தியமற்றது.
• சீரற்ற.

சோதனையின் போது எந்த வகையான நிகழ்வுகள் காணப்படுகின்றன அல்லது உருவாக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், அவை அனைத்தும் இந்த வகைப்பாட்டிற்கு உட்பட்டவை. ஒவ்வொரு வகைகளையும் தனித்தனியாக அறிந்துகொள்ள உங்களை அழைக்கிறோம்.

நம்பகமான நிகழ்வு

இது போன்ற ஒரு சூழ்நிலை, அதற்கு முன்னால் தேவையான சிக்கலான நடவடிக்கைகள் எடுக்கப்பட்டுள்ளன. சாரத்தை நன்கு புரிந்து கொள்ள, சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவது நல்லது. இயற்பியல், வேதியியல், பொருளாதாரம் மற்றும் உயர் கணிதம் ஆகியவை இந்த சட்டத்திற்கு உட்பட்டவை. நிகழ்தகவு கோட்பாடு பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்கியது முக்கியமான கருத்துநம்பகமான நிகழ்வாக. இங்கே சில உதாரணங்கள்:

• நாங்கள் கூலி வடிவில் வேலை செய்கிறோம், ஊதியம் பெறுகிறோம்.
• நாங்கள் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றோம், போட்டியில் தேர்ச்சி பெற்றோம், இதற்காக நாங்கள் சேர்க்கை வடிவத்தில் வெகுமதியைப் பெறுகிறோம் கல்வி நிறுவனம்.
• நாங்கள் வங்கியில் பணத்தை முதலீடு செய்துள்ளோம், தேவைப்பட்டால் அதை திரும்பப் பெறுவோம்.

இத்தகைய நிகழ்வுகள் நம்பகமானவை. தேவையான அனைத்து நிபந்தனைகளையும் நாங்கள் பூர்த்தி செய்திருந்தால், நிச்சயமாக எதிர்பார்க்கப்படும் முடிவைப் பெறுவோம்.

சாத்தியமற்ற நிகழ்வுகள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கூறுகளை இப்போது பார்க்கிறோம். அடுத்த வகை நிகழ்வின் விளக்கத்திற்கு செல்ல நாங்கள் முன்மொழிகிறோம், அதாவது சாத்தியமற்றது. தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் மிகவும் நிபந்தனை செய்வோம் முக்கியமான விதி - சாத்தியமற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது ஒருவர் இந்த சூத்திரத்திலிருந்து விலக முடியாது. தெளிவுபடுத்த, இதுபோன்ற நிகழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

• பிளஸ் பத்து வெப்பநிலையில் நீர் உறைந்தது (இது சாத்தியமற்றது).
• மின்சாரம் பற்றாக்குறை எந்த வகையிலும் உற்பத்தியை பாதிக்காது (முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே சாத்தியமற்றது).

மேலே விவரிக்கப்பட்டவை இந்த வகையின் சாரத்தை மிக தெளிவாக பிரதிபலிப்பதால், கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவது மதிப்புக்குரியது அல்ல. எந்தவொரு சூழ்நிலையிலும் ஒரு அனுபவத்தின் போது ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு ஒருபோதும் நடக்காது.

சீரற்ற நிகழ்வுகள்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கூறுகளைப் படிப்பது, இந்த குறிப்பிட்ட வகை நிகழ்வுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும். அவர்கள்தான் அவர் படிக்கிறார் கொடுக்கப்பட்ட அறிவியல்... அனுபவத்தின் விளைவாக, ஏதாவது நடக்கலாம் அல்லது இல்லை. கூடுதலாக, சோதனை வரம்பற்ற எண்ணிக்கையில் மேற்கொள்ளப்படலாம். வேலைநிறுத்தம் செய்யும் எடுத்துக்காட்டுகள் சேவை செய்ய முடியும்:

• ஒரு நாணயத்தின் டாஸ் ஒரு அனுபவம், அல்லது ஒரு சோதனை; தலையில் விழுவது ஒரு நிகழ்வு.
• கண்மூடித்தனமாக பையில் இருந்து ஒரு பந்தை வெளியே இழுப்பது ஒரு சோதனை, ஒரு சிவப்பு பந்து பிடிபட்டது - இது ஒரு நிகழ்வு, மற்றும் பல.

அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகள் வரம்பற்ற எண்ணிக்கையில் இருக்கலாம், ஆனால், பொதுவாக, சாராம்சம் தெளிவாக இருக்க வேண்டும். நிகழ்வுகளைப் பற்றிய அறிவைச் சுருக்கமாகவும், முறைப்படுத்தவும், ஒரு அட்டவணை வழங்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு வழங்கப்பட்ட எல்லாவற்றின் கடைசி இனங்களை மட்டுமே ஆய்வு செய்கிறது.

சட்டங்கள்

நிகழ்தகவு கோட்பாடு என்பது ஒரு நிகழ்வு நிகழும் சாத்தியத்தை ஆய்வு செய்யும் ஒரு அறிவியல் ஆகும். மற்றவர்களைப் போலவே, இது சில விதிகளைக் கொண்டுள்ளது. உள்ளது பின்வரும் சட்டங்கள் நிகழ்தகவு கோட்பாடு:

• சீரற்ற மாறிகளின் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பு.
• பெரிய எண்ணிக்கையிலான சட்டம்.

ஒரு சிக்கலான சாத்தியத்தை கணக்கிடும்போது, \u200b\u200bஒரு முடிவை எளிதான மற்றும் விரைவான வழியில் அடைய எளிய நிகழ்வுகளின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தலாம். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் விதிகள் சில கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எளிதில் நிரூபிக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. நீங்கள் முதலில் முதல் சட்டத்தைப் பற்றி தெரிந்துகொள்ளுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

சீரற்ற மாறிகளின் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பு

பல வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க:

• சீரற்ற மாறிகளின் வரிசை நிகழ்தகவில் இணைகிறது.
• கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.
• ரூட்-சராசரி-சதுர குவிப்பு.
• விநியோக ஒருங்கிணைப்பு.

எனவே, பறக்கும்போது, \u200b\u200bசாரத்தை புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம். இந்த தலைப்பைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் சில வரையறைகள் இங்கே. தொடக்க நபர்களுக்கு, முதல் பார்வை. வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்தகவில் இணைகிறது, பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்: n முடிவிலிக்கு முனைகிறது, வரிசை முனைந்த எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் ஒன்றுக்கு நெருக்கமாகவும் இருக்கும்.

நோக்கி நகரும் பின்வரும் வகை, கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக... வரிசை குவிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு n என்பது முடிவிலிக்கு முனைகிறது, மற்றும் P ஒற்றுமைக்கு நெருக்கமான மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது.

அடுத்த வகை ஆர்.எம்.எஸ் குவிதல்... எஸ்.கே.-ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தும் போது, \u200b\u200bதிசையன் சீரற்ற செயல்முறைகளின் ஆய்வு அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சீரற்ற செயல்முறைகளின் ஆய்வுக்கு குறைக்கப்படுகிறது.

கடைசி வகை உள்ளது, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாகச் செல்ல அதை சுருக்கமாக பகுப்பாய்வு செய்வோம். விநியோகத்தில் ஒன்றிணைவதற்கு இன்னும் ஒரு பெயர் உள்ளது - “பலவீனமானது”, அதற்கான காரணத்தை கீழே விளக்குவோம். பலவீனமான குவிதல் விநியோகிக்கும் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான அனைத்து புள்ளிகளிலும் விநியோக செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

நாங்கள் நிச்சயமாக எங்கள் வாக்குறுதியைக் காப்பாற்றுவோம்: பலவீனமான குவிப்பு மேலே உள்ள எல்லாவற்றிலிருந்தும் வேறுபடுகிறது, இதில் சீரற்ற மாறி நிகழ்தகவு இடத்தில் வரையறுக்கப்படவில்லை. விநியோக செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த நிலை பிரத்தியேகமாக உருவாக்கப்படுவதால் இது சாத்தியமாகும்.

பெரிய எண்ணிக்கையிலான சட்டம்

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள், போன்றவை:

• செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை.
• செபிஷேவின் தேற்றம்.
• செபிஷேவின் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்தியது.
• மார்கோவின் தேற்றம்.

இந்த அனைத்து கோட்பாடுகளையும் நாம் கருத்தில் கொண்டால், இந்த கேள்வி பல பத்தாயிரம் பக்கங்களுக்கு இழுக்கப்படலாம். நடைமுறையில் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதே எங்கள் முக்கிய பணி. இதை இப்போதே செய்து அதைச் செய்யுமாறு நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம். ஆனால் அதற்கு முன், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளைக் கவனியுங்கள், அவர்கள் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் முக்கிய உதவியாளர்களாக இருப்பார்கள்.

அச்சுகள்

சாத்தியமற்ற ஒரு நிகழ்வைப் பற்றி பேசியபோது நாங்கள் ஏற்கனவே முதல்வரை சந்தித்தோம். நினைவில் கொள்வோம்: சாத்தியமற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும். நாங்கள் மிகவும் தெளிவான மற்றும் மறக்கமுடியாத உதாரணத்தைக் கொடுத்தோம்: அது முப்பது டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலையில் பனிமூட்டியது.

இரண்டாவது பின்வருமாறு: நம்பகமான நிகழ்வு ஒன்றுக்கு சமமான நிகழ்தகவுடன் நிகழ்கிறது. கணித மொழியைப் பயன்படுத்தி இதை எவ்வாறு எழுதுவது என்பதை இப்போது காண்பிப்போம்: பி (பி) \u003d 1.

மூன்றாவது: ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு நிகழலாம் அல்லது நடக்காது, ஆனால் சாத்தியம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு மாறுபடும். விட நெருக்கமான பொருள் ஒருவருக்கு, அதிக வாய்ப்புகள் உள்ளன; மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கினால், நிகழ்தகவு மிகச் சிறியது. இதை கணித மொழியில் எழுதுவோம்: 0<Р(С)<1.

கடைசி, நான்காவது கோட்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இது இப்படித் தெரிகிறது: இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தொகைக்கு சமம். நாம் கணித மொழியில் எழுதுகிறோம்: பி (ஏ + பி) \u003d பி (ஏ) + பி (பி).

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள் நினைவில் கொள்வது கடினம் அல்ல. ஏற்கனவே பெற்ற அறிவின் அடிப்படையில் சில சிக்கல்களை தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

லாட்டரி சீட்டு

ஒரு லாட்டரி - எளிய உதாரணத்தைப் பார்த்து ஆரம்பிக்கலாம். நல்ல அதிர்ஷ்டத்திற்காக நீங்கள் ஒரு லாட்டரி சீட்டை வாங்கினீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். நீங்கள் குறைந்தது இருபது ரூபிள் வெல்லும் நிகழ்தகவு என்ன? மொத்தத்தில், ஆயிரம் டிக்கெட்டுகள் டிராவில் பங்கேற்கின்றன, அவற்றில் ஒன்று ஐநூறு ரூபிள் பரிசு, நூறு ரூபிள் பத்து, இருபது ரூபிள் ஐம்பது, ஐந்தில் நூறு பரிசு. நிகழ்தகவு சிக்கல்கள் அதிர்ஷ்டத்திற்கான வாய்ப்பைக் கண்டுபிடிப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. மேலே வழங்கப்பட்ட பணியின் தீர்வை இப்போது ஒன்றாக பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

A எழுத்தின் மூலம் ஐநூறு ரூபிள் வெற்றியைக் குறித்தால், A ஐப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.001 ஆக இருக்கும். நாங்கள் அதை எவ்வாறு பெற்றோம்? "அதிர்ஷ்ட" டிக்கெட்டுகளின் எண்ணிக்கையை அவற்றின் மொத்த எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும் (இந்த விஷயத்தில்: 1/1000).

பி என்பது நூறு ரூபிள் வெற்றியாகும், நிகழ்தகவு 0.01 ஆக இருக்கும். முந்தைய செயலில் (10/1000) இருந்த அதே கொள்கையிலேயே இப்போது செயல்பட்டோம்

சி - வெற்றிகள் இருபது ரூபிள் சமம். நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம், அது 0.05 க்கு சமம்.

மீதமுள்ள டிக்கெட்டுகள் எங்களுக்கு ஆர்வமாக இல்லை, ஏனெனில் அவற்றின் பரிசு நிதி நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டதை விட குறைவாக உள்ளது. நான்காவது கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்: குறைந்தது இருபது ரூபிள் வெல்லும் நிகழ்தகவு பி (ஏ) + பி (பி) + பி (சி) ஆகும். பி கடிதம் இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது, முந்தைய செயல்களில் அவற்றை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம். தேவையான தரவைச் சேர்ப்பதற்கு மட்டுமே இது உள்ளது, பதிலில் 0.061 கிடைக்கும். இந்த எண் பணி கேள்விக்கான பதிலாக இருக்கும்.

அட்டை தளம்

நிகழ்தகவு கோட்பாடு சிக்கல்களும் மிகவும் சிக்கலானவை, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் பணியை மேற்கொள்வோம். முப்பத்தாறு அட்டைகளின் டெக் இங்கே. உங்கள் பணி குவியலைக் கலக்காமல் ஒரு வரிசையில் இரண்டு அட்டைகளை வரைய வேண்டும், முதல் மற்றும் இரண்டாவது அட்டைகள் ஏஸாக இருக்க வேண்டும், வழக்கு ஒரு பொருட்டல்ல.

முதலில், முதல் அட்டை ஒரு சீட்டு என்று நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக நான்கை முப்பத்தாறு ஆல் வகுக்கிறோம். அவர்கள் அதை ஒதுக்கி வைத்தார்கள். நாங்கள் இரண்டாவது அட்டையை எடுத்துக்கொள்கிறோம், இது மூன்று முப்பத்தைந்தில் ஒரு நிகழ்தகவு கொண்ட ஒரு சீட்டு இருக்கும். இரண்டாவது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நாம் முதலில் எந்த அட்டையை வரைகிறோம் என்பதைப் பொறுத்தது, இது ஒரு சீட்டு இல்லையா என்று நாங்கள் ஆச்சரியப்படுகிறோம். இதிலிருந்து பின் நிகழ்வு B நிகழ்வு A ஐப் பொறுத்தது.

அடுத்த கட்டம் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அதாவது, நாம் A மற்றும் B ஐ பெருக்குகிறோம். அவற்றின் தயாரிப்பு பின்வருமாறு காணப்படுகிறது: ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றொரு நிபந்தனை நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படுகிறது, இது நாம் கணக்கிடுகிறோம், முதல் நிகழ்வு நடந்தது, அதாவது, முதல் அட்டையுடன் ஒரு சீட்டு வரைந்தோம்.

எல்லாவற்றையும் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, நிகழ்வுகள் போன்ற ஒரு உறுப்புக்கு ஒரு பெயரைக் கொடுப்போம். இது ஒரு நிகழ்வு நிகழ்ந்ததாகக் கருதி கணக்கிடப்படுகிறது. பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது: பி (பி / ஏ).

எங்கள் சிக்கலைத் தீர்ப்போம்: பி (ஏ * பி) \u003d பி (ஏ) * பி (பி / ஏ) அல்லது பி (ஏ * பி) \u003d பி (பி) * பி (ஏ / பி). நிகழ்தகவு (4/36) * ((3/35) / (4/36). கணக்கிடுங்கள், அருகிலுள்ள நூறாவது இடத்திற்கு வட்டமிடுகிறது. எங்களிடம் உள்ளது: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 நிகழ்தகவு நாம் ஒரு வரிசையில் இரண்டு ஏஸ்கள் வரைவோம் என்பது ஒன்பது நூறில் சமம். மதிப்பு மிகச் சிறியது, அதாவது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மிகவும் சிறியது.

மறக்கப்பட்ட எண்

நிகழ்தகவு ஆய்வுகளின் கோட்பாடு பணிகளுக்கு இன்னும் பல விருப்பங்களை பகுப்பாய்வு செய்ய நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். இந்த கட்டுரையில் அவற்றில் சிலவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களை நீங்கள் ஏற்கனவே பார்த்துள்ளீர்கள், பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்: சிறுவன் தனது நண்பரின் தொலைபேசி எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை மறந்துவிட்டான், ஆனால் அழைப்பு மிகவும் முக்கியமானது என்பதால், எல்லாவற்றையும் டயல் செய்யத் தொடங்கினான். அவர் மூன்று முறைக்கு மேல் அழைக்காத நிகழ்தகவை நாம் கணக்கிட வேண்டும். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் விதிகள், சட்டங்கள் மற்றும் கோட்பாடுகள் தெரிந்தால் சிக்கலுக்கு தீர்வு எளிதானது.

தீர்வைப் பார்ப்பதற்கு முன், அதை நீங்களே தீர்க்க முயற்சி செய்யுங்கள். கடைசி இலக்கமானது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்பது வரை இருக்கக்கூடும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம், அதாவது பத்து மதிப்புகள் மட்டுமே உள்ளன. தேவையானதைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 1/10 ஆகும்.

அடுத்து, நிகழ்வின் தோற்றத்திற்கான விருப்பங்களை நாம் பரிசீலிக்க வேண்டும், சிறுவன் சரியாக யூகித்து, உடனடியாக விரும்பியதைத் தட்டச்சு செய்தான், அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 1/10 ஆகும். இரண்டாவது விருப்பம்: முதல் அழைப்பு ஒரு மிஸ், மற்றும் இரண்டாவது இலக்கு. அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம்: 9/10 ஐ 1/9 ஆல் பெருக்கவும், இறுதியில் 1/10 ஐப் பெறுவோம். மூன்றாவது விருப்பம்: முதல் மற்றும் இரண்டாவது அழைப்புகள் தவறான முகவரியில் இருந்தன, மூன்றில் இருந்து மட்டுமே சிறுவனுக்கு அவர் விரும்பிய இடத்தில் கிடைத்தது. அத்தகைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: 9/10 ஐ 8/9 ஆல் பெருக்கி 1/8 ஆல், இதன் விளைவாக 1/10 ஐப் பெறுகிறோம். சிக்கலின் நிலைக்கு ஏற்ப பிற விருப்பங்களில் நாங்கள் ஆர்வம் காட்டவில்லை, எனவே பெறப்பட்ட முடிவுகளைச் சேர்ப்பது எஞ்சியிருக்கிறது, முடிவில் நமக்கு 3/10 உள்ளது. பதில்: ஒரு சிறுவன் மூன்று முறைக்கு மேல் அழைக்காத நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும்.

எண் அட்டைகள்

உங்களுக்கு முன்னால் ஒன்பது அட்டைகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் ஒன்று முதல் ஒன்பது வரை எழுதப்பட்ட எண் உள்ளது, எண்கள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படவில்லை. அவை ஒரு பெட்டியில் வைக்கப்பட்டு நன்கு கலக்கப்பட்டன. நிகழ்தகவை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்

• ஒரு சம எண் கைவிடப்படும்;
• இரண்டு இலக்க.

தீர்வுக்குச் செல்வதற்கு முன், m என்பது வெற்றிகரமான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை என்றும், n என்பது மொத்த விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை என்றும் குறிப்பிடுவோம். எண் சமமாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம். நான்கு சம எண்கள் உள்ளன என்பதைக் கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல, இது எங்கள் மீ ஆகும், மொத்தத்தில் ஒன்பது விருப்பங்கள் உள்ளன, அதாவது மீ \u003d 9. பின்னர் நிகழ்தகவு 0.44 அல்லது 4/9 ஆகும்.

இரண்டாவது வழக்கைக் கவனியுங்கள்: விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்பது, ஆனால் வெற்றிகரமான முடிவுகள் எதுவும் இருக்க முடியாது, அதாவது மீ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். வரையப்பட்ட அட்டையில் இரண்டு இலக்க எண் இருக்கும் நிகழ்தகவும் பூஜ்ஜியமாகும்.

முதலில் டைஸ் விளையாட்டின் தகவல் மற்றும் அனுபவ அவதானிப்புகளின் தொகுப்பு, நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஒரு திட விஞ்ஞானமாக மாறியுள்ளது. இதற்கு முதலில் ஒரு கணித கட்டமைப்பை வழங்கியவர் ஃபெர்மட் மற்றும் பாஸ்கல்.

நித்தியத்தைப் பற்றி சிந்திப்பதில் இருந்து நிகழ்தகவு கோட்பாடு வரை

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு அதன் பல அடிப்படை சூத்திரங்களான பிளேஸ் பாஸ்கல் மற்றும் தாமஸ் பேயஸ் ஆகியோருக்கு கடன்பட்டிருக்கும் இரண்டு நபர்கள் ஆழ்ந்த மத மக்களாக அறியப்படுகிறார்கள், பிந்தையவர் ஒரு பிரஸ்பைடிரியன் பாதிரியார். வெளிப்படையாக, இந்த இரண்டு விஞ்ஞானிகளின் விருப்பமும் ஒரு குறிப்பிட்ட பார்ச்சூன் பற்றிய கருத்தின் தவறான தன்மையை நிரூபிக்க வேண்டும், அவர்களின் செல்லப்பிராணிகளுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டத்தை அளிக்கிறது, இந்த பகுதியில் ஆராய்ச்சிக்கு உத்வேகம் அளித்தது. உண்மையில், உண்மையில், எந்த சூதாட்ட விளையாட்டுகளும் அதன் வெற்றிகளையும் இழப்புகளையும் கொண்ட கணிதக் கொள்கைகளின் சிம்பொனி மட்டுமே.

சமமாக ஒரு வீரராகவும், அறிவியலில் அலட்சியமாக இல்லாத ஒரு நபராகவும் இருந்த காவலர் டி மேரேவின் உற்சாகத்திற்கு நன்றி, பாஸ்கல் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்பட்டது. டி மேரே பின்வரும் கேள்வியில் ஆர்வமாக இருந்தார்: "12 புள்ளிகள் 50% ஐத் தாண்டுவதற்கான நிகழ்தகவுக்காக நீங்கள் இரண்டு பகடைகளை ஜோடிகளாக எறிய வேண்டும்?" இரண்டாவது கேள்வி, அந்த மனிதருக்கு மிகுந்த ஆர்வமாக இருந்தது: "முடிக்கப்படாத விளையாட்டில் பங்கேற்பாளர்களிடையே பந்தயத்தை எவ்வாறு பிரிப்பது?" நிச்சயமாக, பாஸ்கல் இரண்டு கேள்விகளுக்கும் வெற்றிகரமாக பதிலளித்தார், அவர் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியின் அறியாத முன்னோடியாக ஆனார். சுவாரஸ்யமாக, டி மேரே என்ற ஆளுமை இந்தத் துறையில் பிரபலமாக இருந்தது, இலக்கியத்தில் அல்ல.

முன்னதாக, எந்த கணிதவியலாளரும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவில்லை, ஏனெனில் இது ஒரு யூகிக்கும் தீர்வு மட்டுமே என்று நம்பப்பட்டது. பிளேஸ் பாஸ்கல் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான முதல் வரையறையை அளித்தார், மேலும் இது கணித ரீதியாக உறுதிப்படுத்தப்படக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கை என்பதைக் காட்டியது. நிகழ்தகவு கோட்பாடு புள்ளிவிவரங்களுக்கான அடிப்படையாக மாறியுள்ளது மற்றும் நவீன அறிவியலில் பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சீரற்ற தன்மை என்ன

எண்ணற்ற முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யக்கூடிய ஒரு சோதனையை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு சீரற்ற நிகழ்வை வரையறுக்கலாம். இது அனுபவத்தின் சாத்தியமான விளைவுகளில் ஒன்றாகும்.

அனுபவம் என்பது நிலையான நிலைமைகளின் கீழ் உறுதியான நடவடிக்கைகளை செயல்படுத்துவதாகும்.

பரிசோதனையின் முடிவுகளுடன் பணிபுரிய, நிகழ்வுகள் பொதுவாக A, B, C, D, E ... என்ற எழுத்துக்களால் நியமிக்கப்படுகின்றன.

சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு

நிகழ்தகவின் கணித பகுதியைத் தொடங்க, அதன் அனைத்து கூறுகளுக்கும் வரையறைகளை வழங்க வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்பது அனுபவத்தின் விளைவாக நிகழும் நிகழ்வின் (ஏ அல்லது பி) நிகழ்தகவுக்கான எண்ணியல் அளவீடு ஆகும். நிகழ்தகவு பி (ஏ) அல்லது பி (பி) என குறிக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், பின்வருபவை வேறுபடுகின்றன:

• நம்பகமான பி (Ω) \u003d 1 பரிசோதனையின் விளைவாக நிகழ்வு நிகழும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது;
• சாத்தியமற்றது நிகழ்வு ஒருபோதும் நடக்காது Р () \u003d 0;
• தற்செயலானது ஒரு நிகழ்வு சில மற்றும் சாத்தியமற்றவற்றுக்கு இடையில் உள்ளது, அதாவது, அதன் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சாத்தியம், ஆனால் உத்தரவாதம் இல்லை (ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு எப்போதும் 0≤P (A) ≤ 1 வரம்பிற்குள் இருக்கும்).

நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள்

A அல்லது B, அல்லது A மற்றும் B இரண்டும் நிகழும் போது நிகழ்வு கணக்கிடப்படும்போது, \u200b\u200bA + B நிகழ்வுகளின் தொகை மற்றும் தொகை இரண்டையும் கவனியுங்கள்.

ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பாக, நிகழ்வுகள் பின்வருமாறு:

• சமமாக சாத்தியம்.
• இணக்கமானது.
• பொருந்தாது.
• எதிரெதிர் (பரஸ்பரம்).
• அடிமையானவர்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் சம நிகழ்தகவுடன் நடக்க முடிந்தால், அவை சமமாக சாத்தியம்.

நிகழ்வு A இன் நிகழ்வு பூஜ்ஜியமாகக் குறைக்கப்படாவிட்டால், நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு நிகழ்கிறது இணக்கமானது.

A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே அனுபவத்தில் ஒரே நேரத்தில் நிகழவில்லை என்றால், அவை அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாது... ஒரு நாணயத்தைத் தூக்கி எறிவது ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு: வால்கள் தானாகவே தலைகள் அல்ல.

இதுபோன்ற பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒவ்வொரு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது:

பி (எ + பி) \u003d பி (எ) + பி (பி)

ஒரு நிகழ்வின் தொடக்கமானது மற்றொரு நிகழ்வின் தொடக்கத்தை சாத்தியமற்றதாக மாற்றினால், அவை எதிர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பின்னர் அவற்றில் ஒன்று A ஆகவும், மற்றொன்று - Ā ("A அல்ல" எனவும் படிக்கவும்). நிகழ்வின் நிகழ்வு happen நடக்கவில்லை என்று பொருள். இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளும் 1 க்கு சமமான நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குகின்றன.

சார்பு நிகழ்வுகள் பரஸ்பர செல்வாக்கைக் கொண்டுள்ளன, ஒருவருக்கொருவர் குறைந்து அல்லது அதிகரிக்கின்றன.

நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள். எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, நிகழ்தகவு மற்றும் நிகழ்வுகளின் கலவையின் கோட்பாட்டின் கொள்கைகளைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் எளிதானது.

மேற்கொள்ளப்பட வேண்டிய சோதனை பெட்டியிலிருந்து பந்துகளை வெளியே எடுப்பதில் அடங்கும், மேலும் ஒவ்வொரு பரிசோதனையின் முடிவும் ஒரு அடிப்படை விளைவு.

ஒரு நிகழ்வு ஒரு பரிசோதனையின் சாத்தியமான விளைவுகளில் ஒன்றாகும் - ஒரு சிவப்பு பந்து, ஒரு நீல பந்து, பந்து எண் ஆறு போன்றவை.

சோதனை எண் 1. 6 பந்துகள் பங்கேற்கின்றன, அவற்றில் மூன்று ஒற்றைப்படை எண்களுடன் நீல நிறத்தில் உள்ளன, மேலும் மூன்று பந்துகள் சம எண்களுடன் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ளன.

சோதனை எண் 2. ஒன்று முதல் ஆறு வரையிலான எண்களுடன் நீல நிறத்தின் 6 பந்துகள் பங்கேற்கின்றன.

இந்த எடுத்துக்காட்டின் அடிப்படையில், நீங்கள் சேர்க்கைகளுக்கு பெயரிடலாம்:

• நம்பகமான நிகழ்வு. ISP இல். எண் 2, “நீல பந்தைப் பெறுவது” நிகழ்வு நம்பகமானது, ஏனெனில் அது நிகழும் நிகழ்தகவு 1 என்பதால், எல்லா பந்துகளும் நீல நிறத்தில் இருப்பதால் எந்த தவறும் இருக்க முடியாது. அதேசமயம் “பந்தை எண் 1 உடன் பெறுவது” சீரற்றதாகும்.
• சாத்தியமற்ற நிகழ்வு. ISP இல். நீல மற்றும் சிவப்பு பந்துகளுடன் №1, "ஊதா பந்தைப் பெறுவது" நிகழ்வு சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் அது நிகழும் நிகழ்தகவு 0 க்கு சமம்.
• சமமாக சாத்தியமான நிகழ்வுகள். ISP இல். நிகழ்வுகளின் நம்பர் 1 "பந்தை எண் 2 உடன் பெறுங்கள்" மற்றும் "பந்தை எண் 3 உடன் பெறுங்கள்" சமமாக சாத்தியமாகும், மேலும் நிகழ்வுகள் "பந்தை ஒரு சம எண்ணுடன் பெறுங்கள்" மற்றும் "பந்தை எண் 2 உடன் பெறுங்கள் "வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகள் உள்ளன.
• இணக்கமான நிகழ்வுகள். ஒரு வரிசையில் ஒரு சிக்ஸரை ஒரு வரிசையில் இரண்டு முறை பெறுவது இணக்கமான நிகழ்வுகள்.
• பொருந்தாத நிகழ்வுகள். அதே ஐ.எஸ்.பி. எண் 1, நிகழ்வுகள் "ஒரு சிவப்பு பந்தைப் பெறுங்கள்" மற்றும் "ஒற்றைப்படை எண்ணைக் கொண்ட பந்தைப் பெறுங்கள்" ஆகியவற்றை ஒரே பரிசோதனையில் இணைக்க முடியாது.
• எதிர் நிகழ்வுகள். இதற்கு மிக முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு ஒரு நாணயம் டாஸ் ஆகும், அங்கு தலைகளை வரைவது வால்களை வரையாததற்கு சமம், அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தொகை எப்போதும் 1 (முழு குழு) ஆகும்.
• சார்பு நிகழ்வுகள்... எனவே, isp இல். # 1, சிவப்பு பந்தை ஒரு வரிசையில் இரண்டு முறை பிரித்தெடுக்க நீங்கள் ஒரு இலக்கை அமைக்கலாம். இது மீட்டெடுக்கப்பட்டது அல்லது மீட்டெடுக்கப்படவில்லை முதல் முறையாக அதை மீட்டெடுப்பதற்கான வாய்ப்பை பாதிக்கிறது.

முதல் நிகழ்வு இரண்டாவது நிகழ்தகவை (40% மற்றும் 60%) கணிசமாக பாதிக்கிறது என்பதைக் காணலாம்.

நிகழ்வு நிகழ்தகவு சூத்திரம்

தலைப்பை ஒரு கணித விமானமாக மொழிபெயர்ப்பதன் மூலம் அதிர்ஷ்டம் சொல்லும் எண்ணங்களிலிருந்து துல்லியமான தரவுகளுக்கு மாற்றம் நிகழ்கிறது. அதாவது, "உயர் நிகழ்தகவு" அல்லது "குறைந்தபட்ச நிகழ்தகவு" போன்ற ஒரு சீரற்ற நிகழ்வைப் பற்றிய தீர்ப்புகள் குறிப்பிட்ட எண் தரவுகளுக்கு மொழிபெயர்க்கப்படலாம். மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளை மதிப்பீடு செய்ய, ஒப்பிட்டு, நுழைய இத்தகைய பொருள் ஏற்கனவே அனுமதிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணக்கீட்டின் பார்வையில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவின் வரையறை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வைப் பொறுத்து அனுபவத்தின் சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளின் எண்ணிக்கையிலும் அடிப்படை நேர்மறை விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாகும். நிகழ்தகவு பி (ஏ) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இங்கு பி என்பது "புரோபபிலைட்" என்ற வார்த்தையை குறிக்கிறது, இது பிரெஞ்சு மொழியில் இருந்து "நிகழ்தகவு" என்று மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரம்:

M என்பது நிகழ்வு A க்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை, n என்பது இந்த அனுபவத்திற்கு சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த வழக்கில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு எப்போதும் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்கும்:

0 ≤ பி (எ) ≤ 1.

நிகழ்வின் நிகழ்தகவு கணக்கீடு. உதாரணமாக

ஸ்பானிஷ் மொழியை எடுத்துக் கொள்வோம். முன்பு விவரித்தபடி பந்து # 1: 1/3/5 எண்களுடன் 3 நீல பந்துகள் மற்றும் 2/4/6 எண்களுடன் 3 சிவப்பு பந்துகள்.

இந்த சோதனையின் அடிப்படையில் பல்வேறு பணிகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்:

• ஒரு - சிவப்பு பந்து வெளியே விழுகிறது. 3 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன, மொத்தம் 6 வகைகள் உள்ளன. இது ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு, இதில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5 ஆகும்.
• பி - ஒரு சம எண் கைவிடப்பட்டது. மொத்தத்தில் 3 (2,4,6) எண்கள் கூட உள்ளன, மேலும் சாத்தியமான எண் விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை 6 ஆகும். இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பி (பி) \u003d 3/6 \u003d 0.5 ஆகும்.
• சி - 2 ஐ விட அதிகமான எண்ணிக்கையிலிருந்து வெளியேறுதல் சாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையில் இதுபோன்ற 4 விருப்பங்கள் (3,4,5,6) உள்ளன 6. நிகழ்வு சி இன் நிகழ்தகவு பி (சி) \u003d 4/6 \u003d 0.67.

கணக்கீடுகளில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், நிகழ்வு C க்கு அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது, ஏனெனில் சாத்தியமான நேர்மறையான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை A மற்றும் B ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

பொருந்தாத நிகழ்வுகள்

இத்தகைய நிகழ்வுகள் ஒரே அனுபவத்தில் ஒரே நேரத்தில் தோன்ற முடியாது. ISP இல் உள்ளது போல. நம்பர் 1 ஒரே நேரத்தில் நீல மற்றும் சிவப்பு பந்தை அடைய முடியாது. அதாவது, நீங்கள் ஒரு நீல அல்லது சிவப்பு பந்தைப் பெறலாம். அதேபோல், ஒரே நேரத்தில் ஒற்றைப்படை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண் இறக்க முடியாது.

இரண்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு அவற்றின் தொகை அல்லது தயாரிப்பின் நிகழ்தகவு எனக் கருதப்படுகிறது. அத்தகைய நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை A + B என்பது ஒரு நிகழ்வு A அல்லது B இன் தோற்றத்தைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் அவற்றின் தயாரிப்பு AB இரண்டின் தோற்றத்திலும் உள்ளது. உதாரணமாக, ஒரு ரோலில் இரண்டு பகடைகளின் விளிம்புகளில் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு சிக்ஸர்களின் தோற்றம்.

பல நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றில் குறைந்தது ஒன்றின் நிகழ்வை முன்வைக்கும் ஒரு நிகழ்வாகும். பல நிகழ்வுகளின் உற்பத்தி அவை அனைத்தினதும் கூட்டுத் தோற்றமாகும்.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு விதியாக, தொழிற்சங்கத்தின் பயன்பாடு "மற்றும்" என்பது கூட்டுத்தொகை, தொழிற்சங்கம் "அல்லது" - பெருக்கல். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் கூடிய சூத்திரங்கள் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் தர்க்கத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

சீரற்ற நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்தகவு

சீரற்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு கருதப்பட்டால், நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கு சமம்:

பி (எ + பி) \u003d பி (எ) + பி (பி)

எடுத்துக்காட்டாக: isp இல் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவோம். நீல மற்றும் சிவப்பு பந்துகளுடன் கூடிய எண் 1 மற்றும் 4 க்கு இடையில் ஒரு எண்ணைக் குறைக்கும். ஒரு செயலில் அல்ல, ஆரம்ப கூறுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தொகை. எனவே, அத்தகைய அனுபவத்தில் 6 பந்துகள் அல்லது சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளிலும் 6 மட்டுமே உள்ளன. நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் எண்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும். எண் 2 ஐப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 1/6, எண் 3 இன் நிகழ்தகவு 1/6 ஆகும். 1 முதல் 4 வரையிலான எண் கைவிடப்படும் நிகழ்தகவு:

முழுமையான குழுவின் பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும்.

எனவே, ஒரு கனசதுரத்துடன் பரிசோதனையில், எல்லா எண்களிலிருந்தும் விழும் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்த்தால், இதன் விளைவாக ஒன்றாகும்.

இது எதிர் நிகழ்வுகளுக்கும் பொருந்தும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தின் அனுபவத்தில், அதன் ஒரு பக்கம் நிகழ்வு A, மற்றொன்று எதிர் நிகழ்வு Ā, உங்களுக்குத் தெரியும்,

பி (எ) + பி (Ā) \u003d 1

சீரற்ற நிகழ்வுகளை உருவாக்கும் வாய்ப்பு

ஒரு கவனிப்பில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் தோற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது நிகழ்தகவு பெருக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. A மற்றும் B நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் தோன்றும் நிகழ்தகவு அவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புக்கு சமம், அல்லது:

பி (எ * பி) \u003d பி (எ) * பி (பி)

எடுத்துக்காட்டாக, isp இல் நிகழ்தகவு. இரண்டு முயற்சிகளின் விளைவாக №1, ஒரு நீல பந்து இரண்டு முறை தோன்றும், அதற்கு சமம்

அதாவது, பந்துகளை பிரித்தெடுப்பதில் இரண்டு முயற்சிகளின் விளைவாக, நீல பந்துகள் மட்டுமே பிரித்தெடுக்கப்படும் போது நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 25% க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த பணியில் நடைமுறை சோதனைகளை மேற்கொள்வது மிகவும் எளிதானது மற்றும் இது உண்மையில் இருக்கிறதா என்று பாருங்கள்.

கூட்டு நிகழ்வுகள்

அவற்றில் ஒன்றின் தோற்றம் மற்றொன்றின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகும்போது நிகழ்வுகள் கூட்டாகக் கருதப்படுகின்றன. அவை கூட்டு என்றாலும், சுயாதீன நிகழ்வுகளின் வாய்ப்பு கருதப்படுகிறது. உதாரணமாக, இரண்டு பகடைகளை எறிவது, அவை இரண்டும் 6 ஐப் பெறும்போது ஒரு முடிவைக் கொடுக்கும். நிகழ்வுகள் ஒன்றிணைந்து ஒரே நேரத்தில் தோன்றினாலும், அவை ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக இருக்கின்றன - ஒரு ஆறு மட்டுமே வெளியேறக்கூடும், இரண்டாவது பகடை அதில் எந்த விளைவையும் ஏற்படுத்தாது.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு அவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக கருதப்படுகிறது.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்தகவு. உதாரணமாக

ஒருவருக்கொருவர் இணைந்திருக்கும் நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, நிகழ்வின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அவற்றின் தயாரிப்பின் நிகழ்தகவு (அதாவது அவற்றின் கூட்டு செயல்படுத்தல்):

ஆர் கூட்டு (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

ஒரு ஷாட் மூலம் இலக்கை தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.4 என்று சொல்லலாம். பின்னர் நிகழ்வு A - முதல் முயற்சியில் இலக்கைத் தாக்கும், பி - இரண்டாவது. முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஷாட்களால் இலக்கை அடைய முடியும் என்பதால் இந்த நிகழ்வுகள் கூட்டு. ஆனால் நிகழ்வுகள் சார்ந்து இல்லை. இரண்டு காட்சிகளுடன் (குறைந்தது ஒன்று) இலக்கு தாக்கும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்ன? சூத்திரத்தின்படி:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

கேள்விக்கான பதில்: "இரண்டு காட்சிகளால் இலக்கை தாக்கும் நிகழ்தகவு 64% ஆகும்."

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கான இந்த சூத்திரம் சீரற்ற நிகழ்வுகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், அங்கு ஒரு நிகழ்வின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பி (ஏபி) \u003d 0. இதன் பொருள் சீரற்ற நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதலாம் முன்மொழியப்பட்ட சூத்திரத்தின்.

தெளிவுக்கான நிகழ்தகவின் வடிவியல்

சுவாரஸ்யமாக, கூட்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு பகுதிகளின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம், அவை ஒருவருக்கொருவர் வெட்டுகின்றன. படத்தில் இருந்து நீங்கள் பார்க்க முடிந்தபடி, அவற்றின் தொழிற்சங்கத்தின் பரப்பளவு அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் பரப்பைக் கழிக்கும் மொத்த பரப்பிற்கு சமம். இந்த வடிவியல் விளக்கங்கள் சூத்திரத்தை, முதல் பார்வையில் நியாயமற்றவை, தெளிவானவை. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் வடிவியல் தீர்வுகள் அசாதாரணமானது அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் தொகுப்பின் (இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட) தொகையின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிப்பது சிக்கலானது. அதைக் கணக்கிட, இந்த நிகழ்வுகளுக்கு வழங்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

சார்பு நிகழ்வுகள்

அவற்றில் ஒன்று (ஏ) நிகழ்வது மற்றொரு (பி) நிகழும் சாத்தியத்தை பாதித்தால் சார்பு நிகழ்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும், நிகழ்வு A இன் தோற்றம் மற்றும் அதன் தோற்றம் ஆகிய இரண்டின் செல்வாக்கும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. நிகழ்வுகள் வரையறையால் சார்பு என்று அழைக்கப்பட்டாலும், அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே சார்ந்தது (பி). வழக்கமான நிகழ்தகவு பி (பி) அல்லது சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு என குறிக்கப்பட்டது. சார்புடைய விஷயத்தில், ஒரு புதிய கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது - நிபந்தனை நிகழ்தகவு P A (B), இது நிகழ்வு A (கருதுகோள்) நிபந்தனையின் கீழ் சார்பு நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு ஆகும், இது சார்ந்துள்ளது.

ஆனால் நிகழ்வு A யும் சீரற்றது, எனவே இது ஒரு நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளது, இது கணக்கீடுகளில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு சார்பு நிகழ்வுகள் மற்றும் கருதுகோளுடன் எவ்வாறு செயல்படுவது என்பதைக் காண்பிக்கும்.

சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

சார்பு நிகழ்வுகளை கணக்கிடுவதற்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு அட்டைகளின் நிலையான தளம்.

36 அட்டைகளின் தளத்தை ஒரு உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி, சார்பு நிகழ்வுகளைக் கவனியுங்கள். முதல் அட்டை வரையப்பட்டால், டெக்கிலிருந்து வரையப்பட்ட இரண்டாவது அட்டை வைரங்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்:

1. வைரங்கள்.
2. மற்றொரு வழக்கு.

வெளிப்படையாக, இரண்டாவது நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு முதல் A ஐப் பொறுத்தது. எனவே, முதல் விருப்பம் உண்மையாக இருந்தால், டெக்கில் 1 அட்டை (35) மற்றும் 1 டம்போரின் (8) குறைவாக இருந்தால், நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு:

பி ஏ (பி) \u003d 8/35 \u003d 0.23

இரண்டாவது விருப்பம் செல்லுபடியாகும் என்றால், டெக்கில் 35 கார்டுகள் உள்ளன, மேலும் முழு எண்ணிக்கையிலான தம்பூரின்கள் (9) இன்னும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன, பின்னர் பின்வரும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு B:

பி ஏ (பி) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

நிகழ்வு A ஆனது முதல் அட்டை ஒரு டம்போரின் என்று ஒப்புக் கொண்டால், நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு குறைகிறது, மற்றும் நேர்மாறாக இருப்பதைக் காணலாம்.

சார்பு நிகழ்வுகளின் பெருக்கல்

முந்தைய அத்தியாயத்தால் வழிநடத்தப்பட்டு, முதல் நிகழ்வை (ஏ) உண்மையாக எடுத்துக்கொள்கிறோம், ஆனால் சாராம்சத்தில், இது சீரற்றது. இந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, அதாவது ஒரு டெக் கார்டுகளிலிருந்து ஒரு டம்போரைன் பிரித்தெடுப்பது, இதற்கு சமம்:

பி (எ) \u003d 9/36 \u003d 1/4

கோட்பாடு தானாகவே இல்லை, ஆனால் நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக சேவை செய்வதை நோக்கமாகக் கொண்டிருப்பதால், சார்பு நிகழ்வுகளை உருவாக்குவதற்கான நிகழ்தகவு பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது என்று சொல்வது நியாயமானது.

சார்பு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்பு பற்றிய தேற்றத்தின் படி, A மற்றும் B கூட்டாக சார்ந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம், இது நிகழ்வு B இன் நிபந்தனை நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படுகிறது (A ஐ சார்ந்தது):

பி (ஏபி) \u003d பி (எ) * பி எ (பி)

பின்னர், ஒரு டெக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டில், ஒரு தம்பூரி வழக்குடன் இரண்டு அட்டைகளை வரைவதற்கான நிகழ்தகவு:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, அல்லது 5.7%

முதலில் டம்போரைன்கள் அல்ல, பின்னர் டம்போரைன்கள் பிரித்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு இதற்கு சமம்:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, அல்லது 19%

தம்பூரைத் தவிர வேறு சூட்டின் அட்டை முதலில் வரையப்பட்டால், நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு அதிகமாக இருப்பதைக் காணலாம். இந்த முடிவு மிகவும் தர்க்கரீதியானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளத்தக்கது.

நிகழ்வின் முழு நிகழ்தகவு

நிபந்தனை நிகழ்தகவுகளில் சிக்கல் பன்முகத்தன்மை கொண்டதாக மாறும்போது, \u200b\u200bவழக்கமான முறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைக் கணக்கிட முடியாது. A1, A2, ..., மற்றும் n, ஆகிய இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கருதுகோள்கள் இருக்கும்போது, \u200b\u200bநிபந்தனையின் கீழ் நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குகிறது:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• K A k \u003d.

ஆகையால், நிகழ்வு B இன் மொத்த நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரம் A1, A2, ..., மற்றும் n ஆகியவற்றின் சீரற்ற நிகழ்வுகளின் முழு குழுவுடன் சமம்:

எதிர்காலத்தைப் பற்றிய ஒரு பார்வை

ஒரு சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அறிவியலின் பல துறைகளில் மிகவும் அவசியம்: சுற்றுச்சூழல் அளவீடுகள், புள்ளிவிவரங்கள், இயற்பியல் போன்றவை. சில செயல்முறைகளை நிர்ணயிப்பாக விவரிக்க முடியாது என்பதால், அவை நிகழ்தகவு தன்மையைக் கொண்டிருப்பதால், சிறப்பு வேலை முறைகள் தேவைப்படுகின்றன. நிகழ்தகவு கோட்பாடு எந்தவொரு தொழில்நுட்ப துறையிலும் பிழை அல்லது செயலிழப்புக்கான சாத்தியத்தை தீர்மானிக்க ஒரு வழியாக பயன்படுத்தப்படலாம்.

நிகழ்தகவை அங்கீகரிப்பதன் மூலம், எதிர்காலத்தில் ஒரு தத்துவார்த்த நடவடிக்கையை மேற்கொள்கிறோம், சூத்திரங்களின் ப்ரிஸம் மூலம் அதைப் பார்க்கிறோம்.

• நிகழ்தகவு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வு நிகழும் சாத்தியத்தின் அளவு (ஒப்பீட்டு நடவடிக்கை, அளவு மதிப்பீடு) ஆகும். சாத்தியமான சில நிகழ்வுகளுக்கான காரணங்கள் உண்மையில் எதிர் காரணங்களை விட அதிகமாக இருக்கும்போது, \u200b\u200bநிகழ்வு சாத்தியமானதாக அழைக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் சாத்தியமில்லை அல்லது சாத்தியமற்றது. எதிர்மறையானவற்றின் மீது நேர்மறையான காரணங்களின் முன்னுரிமை, மற்றும் நேர்மாறாக, மாறுபட்ட அளவுகளில் இருக்கலாம், இதன் விளைவாக நிகழ்தகவு (மற்றும் சாத்தியமற்றது) அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும். ஆகையால், நிகழ்தகவு பெரும்பாலும் ஒரு தரமான மட்டத்தில் மதிப்பிடப்படுகிறது, குறிப்பாக அதிக அல்லது குறைவான துல்லியமான அளவு மதிப்பீடு சாத்தியமற்றது அல்லது மிகவும் கடினம். நிகழ்தகவு "நிலைகள்" பல்வேறு தரநிலைகள் சாத்தியமாகும்.

  கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் நிகழ்தகவு பற்றிய ஆய்வு ஒரு சிறப்பு ஒழுக்கம் - நிகழ்தகவு கோட்பாடு. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்களில், நிகழ்தகவு என்ற கருத்து ஒரு நிகழ்வின் எண்ணியல் பண்புகளாக முறைப்படுத்தப்படுகிறது - ஒரு நிகழ்தகவு நடவடிக்கை (அல்லது அதன் மதிப்பு) - நிகழ்வுகளின் தொகுப்பில் ஒரு நடவடிக்கை (தொடக்க நிகழ்வுகளின் தொகுப்பின் துணைக்குழுக்கள்), மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது இருந்து

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  மதிப்பு

  (\\ displaystyle 1)

  செல்லுபடியாகும் நிகழ்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு 0 இன் நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளது (உரையாடல் பொதுவாக எப்போதும் உண்மை இல்லை). ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இருந்தால்

  (\\ displaystyle p)

  அதன் நிகழாத நிகழ்தகவு

  (\\ displaystyle 1-p)

  குறிப்பாக, நிகழ்தகவு

  (\\ displaystyle 1/2)

  நிகழ்வின் நிகழ்வு மற்றும் நிகழாத நிகழ்வுகளின் சம நிகழ்தகவு என்பதாகும்.

  நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறை விளைவுகளின் சம நிகழ்தகவு என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. நிகழ்தகவு என்பது கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வுக்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதமாகும், இது சமமாக சாத்தியமான விளைவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, சீரற்ற நாணயம் டாஸால் "தலைகள்" அல்லது "வால்கள்" பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 1/2 ஆகும், இந்த இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் மட்டுமே உள்ளன என்றும் அவை சமமாக சாத்தியம் என்றும் கருதினால். நிகழ்தகவின் இந்த கிளாசிக்கல் "வரையறை" எண்ணற்ற சாத்தியமான மதிப்புகளின் விஷயத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம் - எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியில் எந்த நேரத்திலும் (புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது) சம நிகழ்தகவுடன் சில நிகழ்வு நிகழலாம் என்றால் விண்வெளி (விமானம்), பின்னர் இந்த ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பகுதியின் ஒரு பகுதியில் அது நிகழும் நிகழ்தகவு இந்த பகுதியின் தொகுதி (பரப்பளவு) விகிதத்திற்கு சமமானதாகும். புள்ளிகள்.

  நிகழ்தகவின் அனுபவ "வரையறை" ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வின் அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடையது, இதன் அடிப்படையில் போதுமான எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள், அதிர்வெண் இந்த நிகழ்வின் சாத்தியத்தின் புறநிலை அளவிற்கு முனைகின்றன. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் நவீன விளக்கக்காட்சியில், நிகழ்தகவு ஒரு தொகுப்பின் அளவின் சுருக்கக் கோட்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக, அச்சுரீதியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆயினும்கூட, ஒரு நிகழ்வு நிகழும் சாத்தியக்கூறுகளின் அளவை வெளிப்படுத்தும் சுருக்க அளவிற்கும் நிகழ்தகவுக்கும் இடையிலான இணைப்பு துல்லியமாக அதன் அவதானிப்பின் அதிர்வெண் ஆகும்.

  நவீன விஞ்ஞானத்தில், குறிப்பாக சுற்றுச்சூழல் அளவியல், மேக்ரோஸ்கோபிக் (தெர்மோடைனமிக்) அமைப்புகளின் புள்ளிவிவர இயற்பியல், சில நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு விளக்கம் பரவலாகிவிட்டது, அங்கு துகள் இயக்கத்தின் கிளாசிக்கல் நிர்ணயிக்கும் விளக்கத்தின் விஷயத்திலும் கூட, துகள்களின் முழு அமைப்பின் நிர்ணயிக்கும் விளக்கம் நடைமுறையில் சாத்தியமில்லை மற்றும் பயனுள்ளது. குவாண்டம் இயற்பியலில், தங்களை விவரிக்கும் செயல்முறைகள் ஒரு நிகழ்தகவு தன்மை கொண்டவை.