Anong mga pamamaraan ang alam mo para sa pagtukoy ng mga posibilidad. Habambuhay bilang isang random variable

Ang mga pangyayaring nagaganap na makatotohanang o sa ating imahinasyon ay maaaring nahahati sa 3 pangkat. Ito ang maaasahang mga kaganapan na tiyak na mangyayari, imposibleng mga kaganapan at mga random na kaganapan. Pinag-aaralan ng teorya ng posibilidad ang mga random na kaganapan, ibig sabihin mga kaganapan na maaaring mangyari o hindi. Ipapakita ang artikulong ito sa maikling porma mga pormula ng teorya ng posibilidad at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa posibilidad na teorya, na magiging ika-4 na gawain ng pagsusulit sa matematika (antas ng profile).

Bakit kailangan ng teorya ng posibilidad

Kasaysayan, ang pangangailangan na pag-aralan ang mga problemang ito ay lumitaw noong ika-17 siglo na may kaugnayan sa pag-unlad at propesyonalisasyon ng pagsusugal at ang paglitaw ng mga casino. Ito ay isang totoong kababalaghan na nangangailangan ng pag-aaral at pagsasaliksik.

Naglalaro ng mga kard, dice, roulette ang mga sitwasyon kung kailan maaaring mangyari ang alinman sa isang may hangganan na bilang ng pantay na posibleng mga kaganapan. Ang pangangailangan ay lumitaw upang magbigay ng mga pagtatantya sa bilang ayon sa posibilidad ng paglitaw ng isang partikular na kaganapan.

Noong siglo na XX, naging malinaw na ang tila walang kabuluhang agham na ito ay may mahalagang papel sa pag-unawa sa mga pangunahing proseso na nagaganap sa microcosm. Ay nilikha modernong teorya mga probabilidad.

Pangunahing konsepto ng posibilidad na teorya

Ang object ng pag-aaral ng teorya ng posibilidad ay mga kaganapan at ang kanilang mga posibilidad. Kung ang kaganapan ay kumplikado, maaari itong hatiin sa mga simpleng bahagi, na ang mga posibilidad na madaling hanapin.

Ang kabuuan ng mga pangyayaring A at B ay tinawag na pangyayaring C, na binubuo ng katotohanang alinman sa kaganapan A, o pangyayari B, o mga pangyayaring A at B na naganap nang sabay-sabay.

Ang produkto ng mga pangyayaring A at B ay tinawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanang kapwa kaganapan A at pangyayaring B.

Ang mga Kaganapan A at B ay tinatawag na hindi pare-pareho kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay.

Ang Kaganapan A ay tinatawag na imposible kung hindi ito maaaring mangyari. Ang nasabing isang kaganapan ay ipinahiwatig ng isang simbolo.

Ang Kaganapan A ay tinawag na kapani-paniwala kung kinakailangan na mangyari. Ang nasabing isang kaganapan ay ipinahiwatig ng isang simbolo.

Hayaan ang bawat kaganapan A na maiugnay sa bilang P (A). Ang numerong P (A) na ito ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan A kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natupad para sa pagsusulat na ito.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kapag may mga equiprobable na kinalabasan ng elementarya, at di-makatwirang mga kinalabasan na ito ay bumubuo ng mga kaganapan A. Sa kasong ito, maaaring ipasok ang posibilidad na magamit ang formula. Ang posibilidad na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinawag na klasikal na posibilidad. Maaaring mapatunayan na sa kasong ito ang mga katangian ng 1-4 ay nasiyahan.

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad na nakatagpo sa pagsusulit sa matematika ay pangunahing nauugnay sa klasikal na posibilidad. Ang mga nasabing gawain ay maaaring maging napaka-simple. Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay lalong simple sa mga pagpipilian sa demonstrasyon... Madaling makalkula ang bilang ng mga kanais-nais na kinalabasan, ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nakasulat nang tama sa kundisyon.

Nakukuha namin ang sagot sa pamamagitan ng formula.

Isang halimbawa ng isang problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Mayroong 20 mga pie sa mesa - 5 na may repolyo, 7 na may mga mansanas at 8 na may bigas. Gusto ni Marina kumuha ng pie. Ano ang posibilidad na kunin niya ang rice pie?

Desisyon.

Mayroong 20 equiprobable na kinalabasan ng elementarya sa kabuuan, iyon ay, maaaring kumuha ng Marina ang alinman sa 20 mga pie. Ngunit kailangan nating tantyahin ang posibilidad na kumuha si Marina ng isang pie na may bigas, iyon ay, kung saan ang A ay pinili ng isang pie na may bigas. Kaya mayroon kaming bilang ng mga kanais-nais na kinalabasan (mga pagpipilian ng mga pie na may bigas) lamang 8. Pagkatapos ang posibilidad ay matutukoy ng pormula:

Independent, kabaligtaran at di-makatwirang mga kaganapan

Gayunpaman, sa buksan ang bangko nagsimulang matugunan ang mga gawain at mas kumplikadong mga gawain. Samakatuwid, iguhit natin ang pansin ng mambabasa sa iba pang mga isyu na pinag-aralan sa teorya ng posibilidad.

Ang mga Kaganapan A at B ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung may ibang pangyayaring naganap.

Nangangahulugan ang Kaganapan B na ang kaganapan A ay hindi nangyari, ibig sabihin ang kaganapan B ay ang kabaligtaran ng kaganapan A. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay katumbas ng isang binawas ang posibilidad ng direktang kaganapan, ibig sabihin ...

Mga teorem ng pagdaragdag at pagpaparami para sa mga posibilidad, mga formula

Para sa di-makatwirang mga kaganapan A at B, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga posibilidad na walang posibilidad ng kanilang pinagsamang kaganapan, ibig sabihin ...

Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang posibilidad ng produkto ng mga kaganapang ito ay katumbas ng produkto ng kanilang mga posibilidad, ibig sabihin sa kasong ito.

Ang huling 2 pahayag ay tinatawag na theorems ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga posibilidad.

Ang pagbibilang ng bilang ng mga kinalabasan ay hindi palaging napakadali. Sa ilang mga kaso, kinakailangan na gumamit ng mga combinatorial formula. Sa kasong ito, ang pinakamahalagang bagay ay bilangin ang bilang ng mga kaganapan na nakakatugon sa ilang mga kundisyon. Minsan ang ganitong uri ng mga kalkulasyon ay maaaring maging independiyenteng mga gawain.

Gaano karaming mga paraan ang 6 na mag-aaral ay makaupo para sa 6 na bakanteng puwesto? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na puwesto. Ang bawat isa sa mga pagpipiliang ito ay tumutugma sa 5 mga paraan upang mapalit ang pangalawang mag-aaral. Para sa pangatlong mag-aaral mayroong 4 na walang bayad na lugar, para sa pang-apat - 3, para sa ikalima - 2, ang pang-anim ang kukuha ng natitirang lugar lamang. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto, na ipinahiwatig ng simbolo 6! at binabasa nito ang "anim na factorial".

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa katanungang ito ay ibinibigay ng pormula para sa bilang ng mga permutasyon ng n elemento Sa aming kaso.

Isaalang-alang ngayon ang isa pang kaso sa aming mga mag-aaral. Sa ilang mga paraan maaaring makaupo ang 2 mag-aaral para sa 6 na bakanteng puwesto? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na puwesto. Ang bawat isa sa mga pagpipiliang ito ay tumutugma sa 5 mga paraan upang mapalit ang pangalawang mag-aaral. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto.

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa katanungang ito ay ibinibigay ng pormula para sa bilang ng mga pagkakalagay ng mga n elemento para sa mga elemento ng k

Sa kaso natin .

AT huling kaso mula sa seryeng ito. Sa ilang mga paraan mayroong tatlong mag-aaral mula sa 6? Ang unang mag-aaral ay maaaring mapili sa 6 na paraan, ang pangalawa sa 5 paraan, ang pangatlo sa apat. Ngunit sa mga pagpipiliang ito, ang parehong tatlong mag-aaral ay nakatagpo ng 6 na beses. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong kalkulahin ang halaga:. Sa pangkalahatan, ang sagot sa katanungang ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ayon sa mga elemento:

Sa kaso natin .

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Suliranin 1. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Mayroong 30 mga pie sa plato: 3 na may karne, 18 na may repolyo at 9 na may mga seresa. Pinili ni Sasha ang isang pie nang sapalaran. Hanapin ang posibilidad na magtapos siya sa isang seresa.

.

Sagot: 0.3.

Suliranin 2. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Ang bawat batch ng 1000 bombilya ay naglalaman ng average na 20 mga sira na bombilya. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na bombilya mula sa isang batch ay gagana.

Solusyon: Ang bilang ng mga gumaganang bombilya ay 1000-20 \u003d 980. Pagkatapos ang posibilidad na ang isang ilaw na bombilya na kinuha nang sapalaran mula sa batch ay magagamit:

Sagot: 0.98.

Ang posibilidad na ang mag-aaral na U. ay malulutas nang tama ang higit sa 9 na mga problema sa pagsubok sa matematika ay 0.67. Ang posibilidad na malutas nang tama ng U. ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malutas ng wasto ang 9 na problema nang tama.

Kung naiisip natin ang isang linya ng numero at minarkahan ang mga puntos na 8 at 9 dito, makikita natin na ang kundisyon na "Y. ay malulutas nang tama ang eksaktong 9 na mga problema "ay kasama sa kundisyon na" U. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema ", ngunit hindi nalalapat sa kondisyong" W. malulutas nang tama ang higit sa 9 na mga problema ”.

Gayunpaman, ang kondisyong “W. ay malulutas nang tama ang higit sa 9 mga problema "ay nakapaloob sa kundisyon na" W. malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema ”. Kung gayon, kung itatalaga natin ang mga kaganapan: “W. ay malulutas nang tama ang eksaktong 9 na mga problema "- sa pamamagitan ng A," Y. malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema "- sa pamamagitan ng B," U. ay malulutas nang tama ang higit sa 9 na mga problema "sa pamamagitan ng C. Ang solusyon na ito ay magiging ganito:

Sagot: 0.06.

Sa pagsusulit sa geometry, sinasagot ng mag-aaral ang isang tanong mula sa listahan ng mga katanungan sa pagsusulit. Ang posibilidad na ito ay isang tanong sa Trigonometry ay 0.2. Ang posibilidad na ito ay isang katanungan sa labas ng Mga Angles ay 0.15. Walang mga katanungan na sabay na nauugnay sa dalawang paksang ito. Hanapin ang posibilidad na ang isang mag-aaral ay makakakuha ng isang katanungan sa isa sa dalawang mga paksang ito sa pagsusulit.

Pag-isipan natin kung anong uri ng mga kaganapan ang mayroon tayo. Binibigyan kami ng dalawang hindi tugma na mga kaganapan. Iyon ay, alinman sa tanong ay maiuugnay sa paksang "Trigonometry", o sa paksang "Mga labas ng anggulo". Ayon sa teorama ng posibilidad, ang posibilidad ng hindi pantay na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat kaganapan, dapat nating hanapin ang kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito, iyon ay:

Sagot: 0.35.

Ang silid ay naiilawan ng isang parol na may tatlong mga ilawan. Ang posibilidad ng isang lampara na nasusunog sa isang taon ay 0.29. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masusunog sa loob ng isang taon.

Isaalang-alang natin ang mga posibleng kaganapan. Mayroon kaming tatlong mga bombilya, na ang bawat isa ay maaaring o hindi masusunog nang nakapag-iisa sa anumang iba pang bombilya. Ito ay mga independiyenteng kaganapan.

Pagkatapos ay isasaad namin ang mga pagpipilian para sa mga naturang kaganapan. Tanggapin natin ang notasyon: - ang ilaw ay nakabukas, - ang ilaw ay nasunog. At sa tabi mismo nito kinakalkula namin ang posibilidad ng kaganapan. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan tatlong independiyenteng kaganapan "ang ilaw bombilya ay nasunog", "ang ilaw bombilya", "ang ilaw bombilya" ay naganap: kung saan ang posibilidad ng kaganapan "ang ilaw bombilya ay nasa "Kinakalkula bilang posibilidad ng isang kaganapan sa tapat ng kaganapan" ang ilaw bombilya ay naka-off ", lalo:

Tandaan na mayroon lamang 7 hindi magkatugma na mga kaganapan na kanais-nais sa amin. Ang posibilidad ng mga naturang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan:

Sagot: 0.975608.

Maaari mong makita ang isa pang problema sa larawan:

Sa gayon, naintindihan namin at mo kung ano ang posibilidad na teorya ng pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema kung saan maaari kang makilala sa bersyon ng pagsusulit.

Malamang na maraming mga tao ang nag-iisip tungkol sa kung posible na kalkulahin ang mga kaganapan na higit pa o mas kaunti nang random. Naipahayag sa simpleng salita, makatotohanang malaman kung aling bahagi ng mamatay ang babagsak sa susunod. Ang katanungang ito ang tinanong ng dalawang dakilang siyentista na naglatag ng pundasyon para sa naturang agham bilang teorya ng posibilidad, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan napag-aralan nang malawakan.

Pagsisimula

Kung susubukan mong tukuyin ang tulad ng isang konsepto bilang teorya ng posibilidad, makuha mo ang sumusunod: ito ay isa sa mga sangay ng matematika na tumatalakay sa pag-aaral ng pagiging matatag ng mga random na kaganapan. Syempre, ang konseptong ito ay hindi talagang isiwalat ang buong punto, kaya kinakailangang isaalang-alang ito nang mas detalyado.

Nais kong magsimula sa mga tagalikha ng teorya. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong dalawa sa kanila, ito at Ito ang kabilang sa mga unang sumubok, gamit ang mga formula at pagkalkula sa matematika, upang makalkula ang kinalabasan ng isang kaganapan. Sa kabuuan, ang mga panimula sa agham na ito ay lumitaw noong Middle Ages. Sa oras na iyon, iba't ibang mga nag-iisip at iskolar ang sumubok na pag-aralan pagsusugal, tulad ng isang panukalang tape, dice, at iba pa, sa gayon maitaguyod ang pattern at porsyento ng paglitaw ng isang partikular na numero. Ang pundasyon ay inilatag noong ikalabimpito siglo ng nabanggit na mga siyentista.

Sa una, ang kanilang mga gawa ay hindi maiugnay sa magagandang mga nagawa sa lugar na ito, sapagkat ang lahat ng kanilang ginawa ay simpleng empirical na katotohanan, at ang mga eksperimento ay naitakda nang biswal, nang hindi gumagamit ng mga formula. Sa paglipas ng panahon, nagawa ito upang makamit ang mahusay na mga resulta, na lumitaw bilang isang resulta ng pagmamasid sa pagkahagis ng mga buto. Ang tool na ito ang tumulong upang makuha ang unang maunawaan na mga formula.

Mga taong may pag-iisip

Imposibleng banggitin ang ganoong tao bilang Christian Huygens sa proseso ng pag-aaral ng isang paksang tinatawag na "probabilidad na teorya" (ang posibilidad ng isang kaganapan ay sakop sa mismong agham na ito). Napakainteres ng taong ito. Siya, tulad ng mga siyentipiko na ipinakita sa itaas, ay sinubukang kunin ang pagiging regular ng mga random na kaganapan sa anyo ng mga pormula ng matematika. Kapansin-pansin na hindi niya ito ginawa kasama sina Pascal at Fermat, samakatuwid nga, ang lahat ng kanyang mga gawa ay hindi nagsalubong sa mga kaisipang ito. Dinala ni Huygens

Ang isang kagiliw-giliw na katotohanan ay ang kanyang trabaho ay lumabas nang matagal bago ang mga resulta ng gawain ng mga natuklasan, o sa halip, dalawampung taon na ang mas maaga. Kabilang sa mga itinalagang konsepto, ang pinakatanyag ay:

• ang konsepto ng posibilidad bilang isang magnitude ng isang pagkakataon;
• pag-asa sa matematika para sa mga discrete na kaso;
• mga teorya ng pagpaparami at pagdaragdag ng mga posibilidad.

Imposibleng hindi rin maalala kung sino ang nagbigay ng isang malaking kontribusyon sa pag-aaral ng problema. Pagsasagawa ng kanyang sarili, independiyenteng mga pagsubok, nakapagbigay siya ng katibayan ng batas malaking bilang... Kaugnay nito, ang mga siyentista na sina Poisson at Laplace, na nagtrabaho noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo, ay napatunayan ang mga orihinal na teorama. Ito ay mula sa sandaling ito na ang teorya ng posibilidad ay nagsimulang magamit upang pag-aralan ang mga pagkakamali sa kurso ng mga obserbasyon. Ang mga siyentipikong Ruso, o sa halip na sina Markov, Chebyshev at Dyapunov, ay hindi rin nakapaligid sa agham na ito. Sila, batay sa gawaing ginawa ng mga dakilang henyo, pinagsama ang paksang ito bilang isang sangay ng matematika. Ang mga figure na ito ay nagtrabaho na sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, at salamat sa kanilang kontribusyon, ang mga naturang phenomena ay napatunayan bilang:

• ang batas ng malalaking bilang;
• teorya ng mga kadena ng Markov;
• central limit theorem.

Kaya, sa kasaysayan ng kapanganakan ng agham at sa pangunahing mga tao na naimpluwensyahan ito, ang lahat ay mas malinaw o malinaw. Ngayon na ang oras upang ma-concretize ang lahat ng mga katotohanan.

Pangunahing konsepto

Bago ang pag-ugnay sa mga batas at teorya, sulit na pag-aralan ang pangunahing mga konsepto ng teorya ng posibilidad. Ang kaganapan ang siyang nangungunang papel dito. Ang paksang ito medyo napakalaki, ngunit kung wala ito ay hindi posible na maunawaan ang iba pa.

Ang isang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay anumang set ng mga kinalabasan ng isang eksperimento. Walang gaanong kaunting mga konsepto ng hindi pangkaraniwang bagay na ito. Kaya, sinabi ng siyentipikong si Lotman, na nagtatrabaho sa lugar na ito, sa kasong ito dumating na tungkol sa "nangyari, kahit na maaaring hindi ito nangyari."

Mga random na kaganapan (binibigyan sila ng teorya ng posibilidad espesyal na pansin) ay isang konsepto na nagpapahiwatig ng ganap na anumang kababalaghan na may kakayahang maganap. O, sa kabaligtaran, ang senaryong ito ay maaaring hindi mangyari kung maraming mga kondisyon ang natutugunan. Mahalaga rin na malaman na ito ay mga random na kaganapan na kumukuha ng buong dami ng mga phenomena na naganap. Ipinapahiwatig ng teorya ng posibilidad na ang lahat ng mga kundisyon ay maaaring ulitin sa lahat ng oras. Ang kanilang pag-uugali na tumanggap ng pangalang "eksperimento" o "pagsubok".

Ang isang kapanipaniwalang kaganapan ay magaganap na daang porsyento sa isang naibigay na pagsubok. Alinsunod dito, ang isang imposibleng kaganapan ay hindi mangyayari.

Ang pagsasama-sama ng isang pares ng mga aksyon (may kundisyon na kaso A at kaso B) ay isang hindi pangkaraniwang bagay na nangyayari nang sabay-sabay. Tinukoy sila bilang AB.

Ang kabuuan ng mga pares ng mga kaganapan A at B ay C, sa madaling salita, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang naganap (A o B), pagkatapos ito ay magiging C. Ang pormula para sa inilarawan na hindi pangkaraniwang bagay ay nakasulat sa mga sumusunod: C \u003d A + B.

Ang hindi magkatugma na mga kaganapan sa teorya ng posibilidad ay nagpapahiwatig na ang dalawang mga kaso ay magkasama. Hindi sila maaaring mangyari sa parehong oras. Pinagsamang mga kaganapan sa teorya ng posibilidad ay ang kanilang mga antipode. Ipinapahiwatig nito na kung nangyari ang A, kung gayon hindi ito makagambala sa B.

Ang kabaligtaran na mga kaganapan (ang teorya ng posibilidad na isinasaalang-alang ang mga ito nang detalyado) ay madaling maunawaan. Ang pinakamahusay na paraan upang makitungo sa kanila ay sa pamamagitan ng paghahambing. Pareho silang pareho sa mga hindi pantay na kaganapan sa teorya ng posibilidad. Ngunit ang kanilang pagkakaiba ay nakasalalay sa ang katunayan na ang isa sa maraming mga phenomena ay dapat mangyari sa anumang kaso.

Ang pantay na posibleng mga kaganapan ay ang mga aksyon na iyon, ang kakayahang umulit na kung saan ay pantay. Upang gawing mas malinaw ito, maaari mong isipin ang isang paghagis ng barya: ang pagkahulog ng isa sa mga panig nito ay pantay na malamang na mahulog ng isa pa.

Ang isang matagumpay na kaganapan ay mas madaling makita sa isang halimbawa. Sabihin nating mayroong episode B at episode A. Ang una ay ang roll ng dice na may hitsura ng isang kakaibang numero, at ang pangalawa ay ang hitsura ng bilang limang sa die. Pagkatapos ay lumalabas na ang isang pinapaboran ang B.

Ang mga independiyenteng kaganapan sa teorya ng posibilidad ay inaasahan lamang sa dalawa o higit pang mga kaso at nagpapahiwatig ng kalayaan ng isang aksyon mula sa iba pa. Halimbawa, ang A ay mga buntot kapag binabalik ang isang barya, at si B ay nakakakuha ng isang jack mula sa deck. Malaya silang mga kaganapan sa teorya ng posibilidad. Sa sandaling ito ay naging mas malinaw.

Ang mga nakasalalay na kaganapan sa teorya ng posibilidad ay tatanggapin lamang para sa kanilang hanay. Ipinapahiwatig nila ang pagtitiwala ng isa sa isa pa, iyon ay, ang hindi pangkaraniwang bagay na B ay maaaring mangyari lamang kung ang A ay nangyari na o, sa kabaligtaran, ay hindi nangyari, kung ito ang pangunahing kondisyon para sa B.

Ang kinalabasan ng isang random na eksperimento na may isang sangkap ay mga kaganapan sa elementarya. Ipinapaliwanag ng teorya ng posibilidad na ito ay isang hindi pangkaraniwang bagay na nangyari nang isang beses lamang.

Pangunahing mga formula

Kaya, ang mga konseptong "kaganapan", "posibilidad na teorya" ay isinasaalang-alang sa itaas, ang kahulugan ng mga pangunahing term ng agham na ito ay ibinigay din. Ngayon na ang oras upang pamilyar nang direkta sa mga mahahalagang pormula. Ang mga ekspresyong ito sa matematiko ay nagpapatunay sa lahat ng mga pangunahing konsepto sa isang kumplikadong paksa bilang teorya ng posibilidad. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay may malaking papel din dito.

Mas mahusay na magsimula sa mga pangunahing mga bago At bago magpatuloy sa kanila, sulit na isaalang-alang kung ano sila.

Ang Combinatorics ay pangunahin na isang sangay ng matematika, nakikipag-usap ito sa pag-aaral ng isang malaking bilang ng mga integer, pati na rin ang iba't ibang mga permutasyon ng parehong mga numero mismo at kanilang mga elemento, iba't ibang data, atbp, na humahantong sa hitsura ng isang bilang ng mga kumbinasyon. Bukod sa teorya ng posibilidad, mahalaga ang industriya na ito para sa mga istatistika, computer science at cryptography.

Kaya, ngayon maaari kang magpatuloy sa pagtatanghal ng mga formula mismo at ang kanilang kahulugan.

Ang una sa kanila ay magiging expression para sa bilang ng mga permutasyon, ganito ang hitsura:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

Nalalapat lamang ang equation kung magkakaiba lamang ang mga elemento sa pagkakasunud-sunod ng pag-aayos.

Ngayon isasaalang-alang namin ang formula sa pagkakalagay, ganito ang hitsura:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

Ang expression na ito ay nalalapat hindi lamang sa pagkakasunud-sunod kung saan inilalagay ang elemento, kundi pati na rin sa komposisyon nito.

Ang pangatlong equation mula sa combinatorics, at ito rin ang huli, ay tinatawag na formula para sa bilang ng mga kombinasyon:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - m))! : m!

Ang isang kumbinasyon ay tumutukoy sa mga napili na hindi nakaayos, ayon sa pagkakabanggit, at nalalapat ang panuntunang ito sa kanila.

Ito ay naging madali upang malaman ang mga formula ng combinatorics, ngayon ay maaari kang pumunta sa klasikal na kahulugan ng mga posibilidad. Ganito ang expression na ito:

Sa pormulang ito, ang m ay ang bilang ng mga kundisyon na kanais-nais sa kaganapan A, at ang n ay ang bilang ng ganap na lahat ng pantay na posible at mga kinalabasang elementarya.

Umiiral malaking bilang ng expression, hindi isasaalang-alang ng artikulo ang lahat, ngunit ang pinakamahalaga sa mga ito ay maaantigahan, tulad ng, halimbawa, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - ang teoryang ito ay para sa pagdaragdag lamang ng mga hindi tugma na kaganapan;

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - at ito ay para sa pagdaragdag lamang ng mga katugmang.

Ang posibilidad ng paggawa ng mga kaganapan:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - ang teoryang ito ay para sa mga independiyenteng kaganapan;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - at ito ay para sa umaasa.

Tatapusin ng formula ng kaganapan ang listahan. Sinasabi sa atin ng posibilidad tungkol sa teorama ng Bayes, na ganito ang hitsura:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

Sa pormulang ito, ang H 1, H 2, ..., H n ay buong pangkat hipotesis.

Mga halimbawa ng

Kung pinag-aaralan mong mabuti ang anumang lugar ng matematika, hindi ito kumpleto nang walang ehersisyo at mga sample na solusyon. Gayundin ang teorya ng posibilidad: mga kaganapan, halimbawa dito ay isang mahalagang bahagi na nagpapatunay sa mga kalkulasyong pang-agham.

Formula para sa bilang ng mga permutasyon

Sabihin nating mayroong tatlumpung mga kard sa isang deck ng mga kard, nagsisimula sa isang halaga ng mukha ng isa. Susunod na tanong. Gaano karaming mga paraan upang maglatag ng isang deck upang ang mga kard na may denominasyon isa at dalawa ay hindi magkatabi?

Nakatakda ang gawain, ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas nito. Una kailangan mong matukoy ang bilang ng mga permutasyon ng tatlumpung elemento, para sa kinukuha namin ang pormula na ipinakita sa itaas, lumalabas na P_30 \u003d 30!.

Batay sa panuntunang ito, nalaman namin kung gaano karaming mga pagpipilian ang upang tiklupin ang deck sa iba't ibang paraan, ngunit kailangan naming ibawas mula sa kanila ang mga kung saan ang una at pangalawang mga kard ay magkatabi. Upang magawa ito, magsimula tayo sa pagpipilian kapag ang una ay nasa itaas ng pangalawa. Ito ay lumabas na ang unang kard ay maaaring tumagal ng dalawampu't siyam na mga lugar - mula sa una hanggang dalawampu't siyam, at ang pangalawang card mula sa pangalawa hanggang tatlumpung, dalawampu't siyam na lugar lamang para sa isang pares ng mga kard. Kaugnay nito, ang natitira ay maaaring tumagal ng dalawampu't walong upuan, at sa walang partikular na pagkakasunud-sunod. Iyon ay, para sa permutasyon ng dalawampu't walong mga kard, mayroong dalawampu't walong mga pagpipilian P_28 \u003d 28!

Bilang isang resulta, lumalabas na kung isasaalang-alang namin ang solusyon kapag ang unang kard ay nasa itaas ng pangalawa, magkakaroon ng 29 ⋅ 28 dagdag na mga pagkakataon! \u003d 29!

Gamit ang parehong pamamaraan, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga kalabisan na mga pagpipilian para sa kaso kapag ang unang kard ay nasa ilalim ng pangalawa. Ito rin ay 29 ⋅ 28! \u003d 29!

Sinusundan mula rito na mayroong 2 ⋅ 29 dagdag na mga pagpipilian!, Habang mayroong 30 kinakailangang mga paraan upang bumuo ng isang deck! - 2 ⋅ 29!. Nananatili lamang ito upang mabilang.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ngayon kailangan mong i-multiply sa bawat isa ang lahat ng mga numero mula isa hanggang dalawampu't siyam, at pagkatapos ay sa huli ay paramihin ang lahat sa pamamagitan ng 28. Ang sagot ay 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Halimbawa ng solusyon. Formula para sa numero ng pagkakalagay

Sa gawaing ito, kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang mailagay ang labinlimang mga volume sa isang istante, ngunit sa kundisyon na mayroong tatlumpung dami ng kabuuan.

Sa problemang ito, ang solusyon ay bahagyang mas simple kaysa sa naunang isa. Gamit ang alam na pormula, kinakailangan upang makalkula ang kabuuang bilang ng mga lokasyon mula sa tatlumpung dami ng labinlimang.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

Ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng 202 843 204 931 727 360 000.

Ngayon ay gawin nating mas mahirap ang problema. Kailangan mong alamin kung gaano karaming mga paraan upang mag-ayos ng tatlumpung mga libro sa dalawang mga talon ng libro, sa kondisyon na labinlimang mga volume lamang ang maaaring nasa isang istante.

Bago simulan ang solusyon, nais kong linawin na ang ilang mga problema ay nalulutas sa maraming paraan, at sa isang ito mayroong dalawang paraan, ngunit sa pareho ang parehong formula ay inilapat.

Sa problemang ito, maaari mong kunin ang sagot mula sa naunang isa, dahil doon kinakalkula namin kung gaano karaming beses na maaari mong punan ang isang istante para sa labinlimang mga libro sa iba't ibang paraan. Ito ay lumabas A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Kalkulahin namin ang pangalawang istante gamit ang formula ng permutation, dahil labinlimang mga libro ang maaaring mailagay dito, habang labinlimang lamang ang natitira. Ginagamit namin ang formula na P_15 \u003d 15!.

Ito ay lumalabas na ang kabuuan ay A_30 ^ 15 ⋅ P_15 na mga paraan, ngunit, bilang karagdagan, ang produkto ng lahat ng mga numero mula tatlumpung hanggang labing anim ay kailangang i-multiply ng produkto ng mga numero mula isa hanggang labing limang, bilang isang resulta, ang produkto sa lahat ng mga numero mula isa hanggang tatlumpung tatanggapin, iyon ay, ang sagot ay 30!

Ngunit ang problemang ito ay malulutas sa ibang paraan - mas madali. Upang magawa ito, maaari mong isipin na mayroong isang istante para sa tatlumpung libro. Ang lahat sa kanila ay nakalagay sa eroplano na ito, ngunit dahil ang kondisyon ay nangangailangan ng pagkakaroon ng dalawang mga istante, nakita namin ang isang mahaba sa kalahati, naging dalawa hanggang labinlimang. Mula dito lumalabas na ang mga pagpipilian sa pagkakalagay ay maaaring P_30 \u003d 30!.

Halimbawa ng solusyon. Formula para sa bilang ng kumbinasyon

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang variant ng pangatlong problema mula sa combinatorics. Kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang makapag-ayos ng labinlimang mga libro, sa kondisyon na kailangan mong pumili mula sa tatlumpung eksaktong eksaktong kapareho.

Para sa solusyon, syempre, ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ay ilalapat. Mula sa kundisyon nagiging malinaw na ang pagkakasunud-sunod ng parehong labing limang libro ay hindi mahalaga. Samakatuwid, sa una kailangan mong malaman ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ng tatlumpung mga libro ng labinlimang.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155 117 520

Yun lang Gamit ang formula na ito, sa pinakamaikling oras pinamamahalaang malutas ang gayong problema, ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay 155 117 520.

Halimbawa ng solusyon. Klasikal na kahulugan ng posibilidad

Gamit ang formula sa itaas, mahahanap mo ang sagot sa isang simpleng problema. Ngunit makakatulong ito upang makita at masubaybayan ang kurso ng pagkilos.

Sa problema ibinigay na mayroong sampung ganap na magkaparehong mga bola sa urn. Sa mga ito, apat ang dilaw at anim ang asul. Ang isang bola ay kinuha mula sa urn. Kailangan mong malaman ang posibilidad na maging asul.

Upang malutas ang problema, kinakailangan upang italaga ang pag-abot asul na bola kaganapan A. Ang karanasan na ito ay maaaring magkaroon ng sampung mga kinalabasan, kung saan, sa turn, ay elementarya at pantay na posible. Sa parehong oras, anim sa sampu ang kanais-nais para sa kaganapan A. Nagpapasya kami sa pamamagitan ng pormula:

P (A) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

Gamit ang formula na ito, nalaman namin na ang kakayahang maabot ang asul na bola ay 0.6.

Halimbawa ng solusyon. Ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan

Ngayon ang isang pagkakaiba-iba ay ipapakita, na malulutas gamit ang formula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan. Kaya, sa kondisyong ibinigay na mayroong dalawang mga kahon, ang una ay naglalaman ng isang kulay-abo at limang puting bola, at ang pangalawa ay naglalaman ng walong kulay-abo at apat na puting bola. Bilang isang resulta, ang isa sa kanila ay nakuha mula sa una at pangalawang kahon. Kailangan mong malaman kung ano ang mga pagkakataon na ang mga bola na makuha mo ay kulay-abo at puti.

Upang malutas ang problemang ito, kinakailangan upang magtalaga ng mga kaganapan.

• Kaya, A - kinuha ang kulay abong bola mula sa unang kahon: P (A) \u003d 1/6.
• A '- kumuha din sila ng puting bola mula sa unang kahon: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ang kulay abong bola ay tinanggal mula sa pangalawang kahon: P (B) \u003d 2/3.
• B '- kumuha ng isang kulay-abong bola mula sa pangalawang kahon: P (B ") \u003d 1/3.

Ayon sa kondisyon ng problema, kinakailangan na mangyari ang isa sa mga phenomena: AB 'o AB. Gamit ang formula, nakukuha namin ang: P (AB ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18.

Ginamit na ngayon ang formula para sa pagpaparami ng posibilidad. Dagdag dito, upang malaman ang sagot, kailangan mong ilapat ang equation ng kanilang karagdagan:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

Ito ay kung paano, gamit ang isang formula, maaari mong malutas ang mga katulad na problema.

Kinalabasan

Ang artikulo ay nagbigay ng impormasyon tungkol sa paksang "Probability theory", ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan naglalaro mahalagang papel... Siyempre, hindi lahat ay isinasaalang-alang, ngunit, batay sa ipinakitang teksto, maaari mong pamilyarin na pamilyar sa seksyong ito ng matematika. Ang agham na pinag-uusapan ay maaaring maging kapaki-pakinabang hindi lamang sa propesyonal na negosyo, kundi pati na rin sa araw-araw na buhay... Sa tulong nito, maaari mong kalkulahin ang anumang posibilidad ng anumang kaganapan.

Ang teksto ay hinawakan din makabuluhang mga petsa sa kasaysayan ng pagbuo ng teorya ng posibilidad bilang isang agham, at ang mga pangalan ng mga tao na ang mga gawa ay namuhunan dito. Ito ay kung paano humantong ang pag-usisa ng tao sa katotohanang natutunan ng mga tao na kalkulahin kahit na mga random na kaganapan. Sa sandaling simpleng interesado sila rito, ngunit ngayon alam na ng lahat ang tungkol dito. At walang sasabihin kung ano ang naghihintay sa atin sa hinaharap, kung ano ang iba pang mga makikinang na tuklas na nauugnay sa teorya na isinasaalang-alang ang gagawin. Ngunit isang bagay ang sigurado - ang pananaliksik ay hindi tumahimik!

Marami, nahaharap sa konsepto ng "posibilidad na teorya", ay natakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napakahirap. Ngunit ang lahat ay talagang hindi napakalungkot. Ngayon ay isasaalang-alang namin ang pangunahing konsepto at matutunan kung paano malutas ang mga problema sa paggamit ng mga tiyak na halimbawa.

Ang agham

Ano ang isang sangay ng matematika bilang pag-aaral na "teorya ng posibilidad"? Siya ay nagtatala ng mga pattern at dami. Sa kauna-unahang pagkakataon, naging interesado ang mga siyentista sa isyung ito noong ika-labing walong siglo, nang mapag-aralan nila ang pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad ay isang kaganapan. Ito ang anumang katotohanang natitiyak ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Isa pang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga pangyayaring ito ay hindi nilikha nang hindi sinasadya, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tulad ng para sa pagmamasid, dito mismo ang mananaliksik ay hindi lumahok sa eksperimento, ngunit simpleng nasasaksihan ang mga kaganapang ito, hindi siya nakakaapekto sa anumang paraan sa nangyayari.

Mga Kaganapan

Nalaman namin na ang pangunahing konsepto ng posibilidad na teorya ay isang kaganapan, ngunit hindi namin isinasaalang-alang ang pag-uuri. Nabibilang silang lahat sa mga sumusunod na kategorya:

• Kapani-paniwala.
• Imposible.
• Random.

Hindi alintana kung anong uri ng mga kaganapan ang sinusunod o nilikha sa kurso ng eksperimento, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Inaanyayahan ka naming pamilyar sa bawat uri ng magkahiwalay.

Kredibleng kaganapan

Ito ay tulad ng isang pangyayari, sa harap ng kung saan ang kinakailangang hanay ng mga hakbang ay kinuha. Upang higit na maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang physics, chemistry, economics, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Kasama sa teorya ng posibilidad ang mga sumusunod mahalagang konseptobilang isang maaasahang kaganapan. Narito ang ilang mga halimbawa:

• Nagtatrabaho kami at tumatanggap ng bayad sa anyo ng sahod.
• Naipasa namin nang maayos ang mga pagsusulit, naipasa ang kumpetisyon, para dito nakatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa institusyong pang-edukasyon.
• Namuhunan kami ng pera sa bangko, kung kinakailangan, babawiin namin ito.

Kapani-paniwala ang mga ganitong kaganapan. Kung natupad namin ang lahat ng kinakailangang mga kundisyon, tiyak na makukuha natin ang inaasahang resulta.

Imposibleng mga kaganapan

Tinitingnan namin ngayon ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Ipinapanukala naming magpatuloy sa isang paliwanag sa susunod na uri ng kaganapan, katulad, ng imposible. Upang magsimula, isasaad namin ang pinaka mahalagang tuntunin - ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.

Ang isa ay hindi maaaring lumihis mula sa pagbabalangkas na ito kapag lumulutas ng mga problema. Para sa paglilinaw, magbibigay kami ng mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:

• Ang tubig ay nagyelo sa temperatura na plus sampu (imposible ito).
• Ang kakulangan ng kuryente ay hindi nakakaapekto sa paggawa sa anumang paraan (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Hindi nagkakahalaga ng pagbibigay ng higit pang mga halimbawa, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay malinaw na malinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang isang imposibleng kaganapan ay hindi kailanman mangyayari sa panahon ng isang karanasan sa ilalim ng anumang mga pangyayari.

Mga random na kaganapan

Pag-aaral ng mga elemento ng teorya ng posibilidad, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa partikular na uri ng kaganapan. Sila ito ang pinag-aaralan niya binigyan ng agham... Bilang resulta ng karanasan, maaaring may mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring isagawa ng isang walang limitasyong bilang ng mga beses. Kapansin-pansin na mga halimbawa maaaring maghatid:

• Ang paghagis ng isang barya ay isang karanasan, o isang pagsubok; ang pagbagsak ng ulo ay isang kaganapan.
• Ang paghugot ng bola sa bag nang bulag ay isang pagsubok, isang pulang bola ang nahuli - ito ay isang kaganapan, at iba pa.

Maaaring may isang walang limitasyong bilang ng mga tulad halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, ang kakanyahan ay dapat na malinaw. Upang ibuod at gawing mabuti ang kaalamang nakuha tungkol sa mga kaganapan, isang mesa ang ibinibigay. Ang teorya ng posibilidad na pag-aralan lamang ang huling species ng lahat ng ipinakita.

Ang mga batas

Ang teorya ng posibilidad ay isang agham na pinag-aaralan ang posibilidad ng isang pangyayari na nagaganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Umiiral pagsunod sa mga batas teorya ng posibilidad:

• Pagtatagpo ng mga pagkakasunud-sunod ng mga random na variable.
• Ang batas ng malalaking bilang.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang kumplikadong, maaari mong gamitin ang isang hanay ng mga simpleng kaganapan upang makamit ang isang resulta sa isang mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ng teorya ng posibilidad ay madaling napatunayan gamit ang ilang mga teorya. Iminumungkahi namin na makilala mo muna ang unang batas.

Pagtatagpo ng mga pagkakasunud-sunod ng mga random na variable

Tandaan na maraming mga uri ng tagpo:

• Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad.
• Halos imposible.
• Root-mean-square na tagpo.
• Pagkakatatag ng pamamahagi.

Kaya, sa mabilisang, napakahirap maunawaan ang kakanyahan. Narito ang ilang mga kahulugan na makakatulong sa iyo na maunawaan ang paksang ito. Para sa mga nagsisimula, ang unang pagtingin. Tinawag ang pagkakasunud-sunod nagtatagpo sa posibilidad, kung ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: n ay may gawi sa kawalang-hanggan, ang bilang kung saan ang pagkakasunud-sunod ng pagkakasunud-sunod ay mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.

Ang paglipat sa ang sumusunod na uri, halos sigurado... Sinasabing magtatagpo ang pagkakasunud-sunod halos sigurado sa isang random variable habang ang kaugaliang sa infinity, at ang P ay may kaugaliang isang halagang malapit sa pagkakaisa.

Ang susunod na uri ay tagpo ng RMS... Kapag gumagamit ng SK-tagpo, ang pag-aaral ng mga proseso ng vector stochastic ay nabawasan sa pag-aaral ng kanilang mga coordinate na proseso ng stochastic.

Ang huling uri ay nananatili, maikling pag-aralan natin ito upang magpatuloy nang direkta sa paglutas ng mga problema. Ang tagpo sa pamamahagi ay may isa pang pangalan - "mahina", sa ibaba ay ipapaliwanag namin kung bakit. Mahina na tagpo Ay ang tagpo ng mga pagpapaandar ng pamamahagi sa lahat ng mga punto ng pagpapatuloy ng paglilimita function na pamamahagi.

Tiyak na tutuparin namin ang aming pangako: ang mahinang tagpo ay naiiba sa lahat ng nasa itaas na ang random na variable ay hindi tinukoy sa posibilidad na puwang. Posible ito dahil ang kondisyon ay nabuo ng eksklusibo gamit ang mga pagpapaandar sa pamamahagi.

Ang batas ng malalaking bilang

Mga teorya ng teorya ng posibilidad, tulad ng:

• Hindi pagkakapareho ni Chebyshev.
• Teorema ni Chebyshev.
• Pangkalahatang teorya ni Chebyshev.
• Teorya ni Markov.

Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng mga teoryang ito, maaaring mag-drag ang katanungang ito sa maraming mga sampung pahina. Ang aming pangunahing gawain ay upang ilapat ang teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Iminumungkahi namin na gawin mo ito ngayon at gawin ito. Ngunit bago ito, isaalang-alang ang mga axioms ng posibilidad na teorya, sila ang magiging pangunahing tumutulong sa paglutas ng mga problema.

Mga Taxiom

Nakilala na namin ang una nang pag-usapan namin ang tungkol sa isang imposibleng kaganapan. Tandaan natin: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng isang napakalinaw at hindi malilimutang halimbawa: nag-snow sa temperatura ng hangin na tatlumpung degree Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: ang isang maaasahang kaganapan ay nangyayari na may posibilidad na katumbas ng isa. Ipapakita namin ngayon kung paano isulat ito gamit ang wikang matematika: P (B) \u003d 1.

Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring o hindi maaaring mangyari, ngunit ang posibilidad na palaging nag-iiba mula sa zero hanggang sa isa. Kaysa mas malapit na kahulugan sa isa, mas maraming mga pagkakataon ay; kung ang halaga ay papalapit sa zero, ang posibilidad ay napakaliit. Isulat natin ito sa wikang matematika: 0<Р(С)<1.

Isaalang-alang ang huling, ika-apat na axiom, na katulad nito: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga posibilidad. Nagsusulat kami sa wikang matematika: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ang mga axiom ng teorya ng posibilidad ay ang pinakasimpleng mga panuntunan na hindi mahirap tandaan. Subukan nating malutas ang ilang mga problema, umaasa sa nakuha na kaalaman.

Ticket sa lottery

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa pinakasimpleng halimbawa - isang loterya. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa loterya para sa swerte. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong mga tiket ang lumahok sa pagguhit, ang isa sa mga ito ay may premyo na limang daang rubles, sampu para sa isang daang rubles, limampu para sa dalawampung rubles, at isang daan para sa lima. Ang mga problema sa posibilidad ay batay sa paghahanap ng pagkakataon para sa swerte. Ngayon ay susuriin namin ang solusyon ng ipinakita sa itaas na gawain nang magkakasama.

Kung tinukoy namin ang isang panalo ng limang daang rubles gamit ang letrang A, kung gayon ang posibilidad na makakuha ng A ay 0.001. Paano natin ito nakuha? Kailangan mo lamang hatiin ang bilang ng mga "masuwerteng" mga tiket sa kanilang kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Ang B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay 0.01. Kumilos kami ngayon sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang pagkilos (10/1000)

C - ang mga panalo ay katumbas ng dalawampung rubles. Nakita namin ang posibilidad, ito ay katumbas ng 0.05.

Ang natitirang mga tiket ay hindi interesado sa amin, dahil ang kanilang pondo ng premyo ay mas mababa kaysa sa isang tinukoy sa kundisyon. Ilapat natin ang ika-apat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P (A) + P (B) + P (C). Ang letrang P ay nagsasaad ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito, natagpuan na namin ang mga ito sa mga nakaraang pagkilos. Nananatili lamang ito upang idagdag ang kinakailangang data, sa sagot na nakukuha namin sa 0.061. Ang numerong ito ang magiging sagot sa tanong na gawain.

Card deck

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay maaaring maging mas kumplikado, halimbawa, gawin natin ang sumusunod na gawain. Narito ang isang deck ng tatlumpu't anim na kard. Ang iyong gawain ay upang gumuhit ng dalawang kard sa isang hilera nang hindi ihinahalo ang tumpok, ang una at pangalawang card ay dapat na aces, hindi mahalaga ang suit.

Una, hanapin natin ang posibilidad na ang unang kard ay magiging isang alas, para sa hati namin ang apat sa tatlumpu't anim. Itinabi nila ito. Inilalabas namin ang pangalawang card, ito ay magiging isang alas na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng isang pangalawang kaganapan ay nakasalalay sa kung aling card ang unang inilalabas namin, nagtataka kami kung ito ay isang alas o hindi. Sumusunod mula rito na ang pangyayaring B ay nakasalalay sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay na paglitaw, iyon ay, pinarami namin ang A at B. Ang kanilang produkto ay matatagpuan bilang mga sumusunod: ang posibilidad ng isang kaganapan ay pinarami ng may kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula namin, na ipinapalagay na ang una nangyari ang kaganapan, iyon ay, gumuhit kami ng isang alas na may unang kard.

Upang linawin ang lahat, bibigyan namin ng isang pagtatalaga ang isang sangkap tulad ng mga kaganapan. Kinakalkula ito, sa pag-aakalang naganap ang kaganapang A. Kinakalkula tulad ng sumusunod: P (B / A).

Ipagpatuloy natin ang paglutas ng ating problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) o P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ang posibilidad ay (4/36) * ((3/35) / (4/36). Kalkulahin, pag-ikot sa pinakamalapit na pang-isandaan. Mayroon kaming: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 Ang posibilidad na iguhit namin ang dalawang aces sa isang hilera ay katumbas ng siyam na sandaang halaga Ang napakaliit, na nangangahulugang ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ay napakaliit.

Nakalimutang numero

Iminumungkahi namin na pag-aralan ang maraming iba pang mga pagpipilian para sa mga gawain na ang teorya ng mga pag-aaral ng posibilidad. Nakita mo na ang mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito, subukan nating malutas ang sumusunod na problema: nakalimutan ng bata ang huling digit ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil ang tawag ay napakahalaga, sinimulan niyang i-dial ang lahat sa kanya-kanya. Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tumawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon sa problema ay ang pinakasimpleng kung ang mga patakaran, batas at axioms ng teorya ng posibilidad na malaman.

Bago tingnan ang solusyon, subukang lutasin ito mismo. Alam namin na ang huling digit ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, may sampung mga halaga lamang. Ang posibilidad na makuha ang kinakailangang isa ay 1/10.

Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga pagpipilian para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na tama ang hula ng bata at agad na nai-type ang nais, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Ang pangalawang pagpipilian: ang unang tawag ay isang miss, at ang pangalawa ay nasa target. Kalkulahin natin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 ng 1/9, sa huli nakakakuha rin tayo ng 1/10. Ang pangatlong pagpipilian: ang una at pangalawang mga tawag ay nasa maling address, mula lamang sa pangatlo nakuha ng bata ang gusto niya. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: i-multiply ang 9/10 ng 8/9 at ng 1/8, nakukuha namin ang 1/10 sa huli. Hindi kami interesado sa iba pang mga pagpipilian alinsunod sa kondisyon ng problema, kaya't nananatili sa amin upang idagdag ang mga resulta na nakuha, sa huli mayroon kaming 3/10. Sagot: Ang posibilidad na tumawag ang isang batang lalaki na hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.

Mga card ng numero

Mayroong siyam na mga kard sa harap mo, bawat isa ay may isang bilang mula isa hanggang siyam na nakasulat, ang mga numero ay hindi na inuulit. Ang mga ito ay inilagay sa isang kahon at halo-halong mabuti. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na

• isang pantay na numero ay mahuhulog;
• dalawang-digit.

Bago magpatuloy sa solusyon, tukuyin natin na ang m ay ang bilang ng mga matagumpay na kaso, at n ang kabuuang bilang ng mga pagpipilian. Hanapin natin ang posibilidad na maging pantay ang bilang. Hindi mahirap makalkula na mayroong apat na pantay na mga numero, ito ang magiging aming m, sa kabuuan mayroong siyam na mga pagpipilian, iyon ay, m \u003d 9. Pagkatapos ang posibilidad ay 0.44 o 4/9.

Isaalang-alang ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga pagpipilian ay siyam, ngunit maaaring walang matagumpay na kinalabasan sa lahat, iyon ay, katumbas ng zero. Ang posibilidad na ang iginuhit na kard ay maglalaman ng isang dalawang-digit na numero ay zero din.

Orihinal na isang koleksyon lamang ng impormasyon at empirical na pagmamasid sa dice, ang teorya ng posibilidad na naging isang solidong agham. Ang unang nagbigay dito ng isang balangkas ng matematika ay sina Fermat at Pascal.

Mula sa pag-iisip tungkol sa walang hanggan hanggang sa teorya ng posibilidad

Dalawang indibidwal na kung saan ang teorya ng posibilidad ay umutang sa marami sa mga pangunahing pormula, sina Blaise Pascal at Thomas Bayes, ay kilala bilang mga taong malalim sa relihiyon, ang huli ay isang pari ng Presbyterian. Maliwanag, ang pagnanais ng dalawang siyentipikong ito na patunayan ang pagkakamali ng opinyon tungkol sa isang tiyak na Fortune, na nagbigay ng suwerte sa kanilang mga alaga, nagbigay lakas sa pagsasaliksik sa lugar na ito. Sa katunayan, sa katunayan, ang anumang laro sa pagsusugal na may mga panalo at pagkalugi ay isang symphony lamang ng mga prinsipyong matematika.

Salamat sa kaguluhan ng cavalier de Mere, na pantay na sugarol at isang taong walang pakialam sa agham, napilitan si Pascal na maghanap ng paraan upang makalkula ang posibilidad. Si De Mere ay interesado sa sumusunod na katanungan: "Ilang beses mo kailangan magtapon ng dalawang dice nang pares upang ang posibilidad na makakuha ng 12 puntos na lumampas sa 50%?" Ang pangalawang tanong na naging interesado sa ginoo: "Paano hahatiin ang pusta sa pagitan ng mga kalahok sa hindi natapos na laro?" Siyempre, matagumpay na sinagot ni Pascal ang parehong mga katanungan ni de Mere, na naging hindi sinasadya na tagapanguna ng pagbuo ng teorya ng posibilidad. Nakatutuwa na ang persona de Mere ay nanatiling sikat sa larangang ito, at hindi sa panitikan.

Dati, walang matematiko na kailanman ang nagtangkang kalkulahin ang mga posibilidad ng mga kaganapan, dahil pinaniniwalaan na ito ay isang solusyon sa paghula lamang. Ibinigay ni Blaise Pascal ang unang kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan at ipinakita na ito ay isang tukoy na pigura na maaaring mapatunayan sa matematika. Ang teorya ng posibilidad ay naging batayan ng mga istatistika at malawakang ginagamit sa modernong agham.

Ano ang randomness

Kung isasaalang-alang namin ang isang pagsubok na maaaring ulitin ng isang walang katapusang bilang ng mga oras, maaari naming tukuyin ang isang random na kaganapan. Ito ang isa sa mga maaaring maging resulta ng karanasan.

Ang karanasan ay ang pagpapatupad ng mga tukoy na aksyon sa ilalim ng patuloy na kundisyon.

Upang makapagtrabaho sa mga resulta ng eksperimento, ang mga kaganapan ay karaniwang itinalaga ng mga letrang A, B, C, D, E ...

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan

Upang masimulan ang bahagi ng matematika ng posibilidad, kinakailangan upang tukuyin ang lahat ng mga bahagi nito.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang panukalang bilang ayon sa posibilidad ng isang kaganapan (A o B) na nagaganap bilang isang resulta ng karanasan. Ang posibilidad ay tinukoy bilang P (A) o P (B).

Sa teorya ng posibilidad, ang mga sumusunod ay nakikilala:

• maaasahan ang kaganapan ay garantisadong maganap bilang isang resulta ng eksperimento P (Ω) \u003d 1;
• imposible ang kaganapan ay hindi maaaring mangyari Р (Ø) \u003d 0;
• hindi sinasadya ang isang kaganapan ay namamalagi sa pagitan ng tiyak at imposible, iyon ay, ang posibilidad ng paglitaw nito ay posible, ngunit hindi garantisado (ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay palaging nasa loob ng saklaw ng 0≤P (A) ≤ 1).

Mga ugnayan sa pagitan ng mga kaganapan

Isaalang-alang ang parehong isa at ang kabuuan ng mga kaganapan A + B, kapag ang kaganapan ay binibilang kapag hindi bababa sa isa sa mga bahagi, A o B, o parehong A at B.

Kaugnay sa bawat isa, ang mga kaganapan ay maaaring:

• Pantay na posible.
• Katugmang
• Hindi tugma
• Kabaligtaran (kapwa eksklusibo).
• Adik na

Kung ang dalawang mga kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad, pagkatapos ito pantay na posible.

Kung ang paglitaw ng kaganapan A ay hindi nagpapawalang bisa ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan B, kung gayon sila katugma

Kung ang mga pangyayaring A at B ay hindi kailanman naganap nang sabay-sabay sa parehong karanasan, tinawag sila hindi tugma... Ang paghagis ng isang barya ay isang magandang halimbawa: ang mga buntot ay awtomatikong hindi ulo.

Ang posibilidad para sa kabuuan ng mga hindi tugmang kaganapan ay binubuo ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Kung ang simula ng isang kaganapan ay ginagawang imposible ang pagsisimula ng isa pang, pagkatapos ay tinatawag silang kabaligtaran. Pagkatapos ang isa sa kanila ay itinalaga bilang A, at ang isa pa - Ā (basahin bilang "hindi A"). Ang kaganapan ng kaganapan A ay nangangahulugang hindi nangyari si Ā. Ang dalawang kaganapan na ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat na may kabuuan ng mga posibilidad na katumbas ng 1.

Ang mga nakasalalay na kaganapan ay may isang impluwensya sa isa't isa, pagbawas o pagtaas ng posibilidad ng bawat isa.

Mga ugnayan sa pagitan ng mga kaganapan. Mga halimbawa ng

Gamit ang mga halimbawa, mas madaling maunawaan ang mga prinsipyo ng posibilidad na teorya at pagsasama-sama ng mga kaganapan.

Ang eksperimento na isasagawa ay binubuo sa pagkuha ng mga bola sa kahon, at ang resulta ng bawat eksperimento ay isang kinalabasang elementarya.

Ang isang kaganapan ay isa sa mga posibleng resulta ng isang eksperimento - isang pulang bola, isang asul na bola, bola bilang anim, atbp.

Pagsubok Blg 1. 6 na bola ang lumahok, tatlo sa mga ito ay may kulay na asul na may mga kakaibang numero, at tatlong iba pa ay pula na may pantay na mga numero.

Bilang ng pagsubok 2. 6 na bola ng asul na kulay na may mga numero mula isa hanggang anim ang lumahok.

Batay sa halimbawang ito, maaari mong pangalanan ang mga kumbinasyon:

• Isang kapanipaniwalang kaganapan. Sa isp. Hindi. 2, ang kaganapan na "upang makuha ang asul na bola" ay maaasahan, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay 1, dahil ang lahat ng mga bola ay asul at hindi maaaring makaligtaan. Samantalang ang kaganapan na "upang makuha ang bola na may bilang 1" ay random.
• Imposibleng kaganapan. Sa isp. №1 na may asul at pulang mga bola, ang kaganapan na "upang makuha ang lila na bola" ay imposible, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay katumbas ng 0.
• Pantay na posibleng mga kaganapan. Sa isp. Ang numero 1 sa mga kaganapan na "makuha ang bola sa bilang 2" at "makuha ang bola na may bilang 3" ay pantay na posible, at ang mga pangyayaring "makuha ang bola na may pantay na numero" at "kunin ang bola sa bilang "may magkakaibang probabilidad.
• Mga katugmang kaganapan. Pagkuha ng anim sa isang hilera ng dalawang beses sa isang hilera ay magkatugma na mga kaganapan.
• Mga hindi tugma na kaganapan. Sa parehong isp. Hindi. 1, ang mga kaganapan na "kumuha ng isang pulang bola" at "kumuha ng bola na may isang kakaibang numero" ay hindi maaaring pagsamahin sa parehong eksperimento.
• Kabaligtaran ng mga kaganapan. Ang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa nito ay ang paghuhugas ng mga barya, kapag ang pagguhit ng mga ulo ay katulad ng hindi pagguhit ng mga buntot, at ang kabuuan ng kanilang mga posibilidad ay palaging 1 (buong pangkat).
• Nakasalalay na mga kaganapan... Kaya, sa isp. # 1, maaari kang magtakda ng isang layunin upang makuha ang pulang bola dalawang beses sa isang hilera. Nakuha ito o hindi nakuha sa unang pagkakataon ay nakakaapekto sa posibilidad na makuha ito sa pangalawang pagkakataon.

Makikita na ang unang kaganapan ay makabuluhang nakakaapekto sa posibilidad ng pangalawa (40% at 60%).

Form ng posibilidad ng kaganapan

Ang paglipat mula sa mga saloobin na nagsasabi ng kapalaran sa tumpak na data ay nangyayari sa pamamagitan ng pagsasalin ng paksa sa isang eroplano ng matematika. Iyon ay, ang mga paghuhusga tungkol sa isang random na kaganapan tulad ng "mataas na posibilidad" o "minimum na posibilidad" ay maaaring isalin sa tiyak na data na may bilang. Pinapayagan na ang nasabing materyal na suriin, ihambing at ipasok ang mas kumplikadong mga kalkulasyon.

Mula sa pananaw ng pagkalkula, ang kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga positibong kinalabasang elementarya sa bilang ng lahat ng mga posibleng kinalabasan ng karanasan hinggil sa isang partikular na kaganapan. Ang posibilidad ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng P (A), kung saan ang P ay nangangahulugang salitang "probabilite", na isinalin mula sa Pranses bilang "posibilidad".

Kaya, ang formula para sa posibilidad ng isang kaganapan:

Kung saan ang bilang ng mga kanais-nais na kinalabasan para sa kaganapan A, n ang kabuuan ng lahat ng mga kinalabasan na posible para sa karanasang ito. Sa kasong ito, ang posibilidad ng isang kaganapan ay laging namamalagi sa pagitan ng 0 at 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan. Halimbawa

Kumuha tayo ng Espanyol. Bola # 1 tulad ng inilarawan nang mas maaga: 3 mga asul na bola na may mga numero 1/3/5 at 3 pulang bola na may mga numero 2/4/6.

Maraming iba't ibang mga gawain ang maaaring isaalang-alang batay sa pagsubok na ito:

• A - pulang bola na nahuhulog. Mayroong 3 pulang bola, at mayroong 6 na iba-iba. Ito ang pinakasimpleng halimbawa, kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan ay P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• B - isang pantay na numero ang bumagsak. Mayroong 3 (2,4,6) kahit na mga numero sa kabuuan, at ang kabuuang bilang ng mga posibleng variant na bilang ay 6. Ang posibilidad ng kaganapang ito ay P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• C - nahuhulog sa isang bilang na mas malaki sa 2. Mayroong 4 na mga pagpipilian (3,4,5,6) mula sa kabuuang bilang ng mga posibleng kalalabasan 6. Ang posibilidad ng kaganapan C ay P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67.

Tulad ng makikita mula sa mga kalkulasyon, ang kaganapan C ay may mataas na posibilidad, dahil ang bilang ng mga maaaring positibong kinalabasan ay mas mataas kaysa sa A at B.

Mga hindi tugma na kaganapan

Ang mga nasabing kaganapan ay hindi maaaring lumitaw nang sabay-sabay sa parehong karanasan. Tulad ng sa isp. Hindi. 1 imposibleng abutin nang sabay-sabay ang asul at pulang bola. Iyon ay, maaari kang makakuha ng alinman sa isang asul o isang pulang bola. Gayundin, ang isang pantay at isang kakaibang numero ay hindi maaaring lumitaw sa die sa parehong oras.

Ang posibilidad ng dalawang mga kaganapan ay isinasaalang-alang bilang posibilidad ng kanilang kabuuan o produkto. Ang kabuuan ng naturang mga kaganapan na A + B ay itinuturing na isang kaganapan na binubuo sa hitsura ng isang kaganapan A o B, at ang kanilang produkto na AB ay nasa hitsura ng pareho. Halimbawa, ang hitsura ng dalawang anim nang sabay-sabay sa mga gilid ng dalawang dice sa isang rolyo.

Ang kabuuan ng maraming mga kaganapan ay isang kaganapan na presuppose ang hitsura ng hindi bababa sa isa sa mga ito. Ang paggawa ng maraming mga kaganapan ay ang magkasanib na hitsura ng kanilang lahat.

Sa teorya ng posibilidad, bilang isang panuntunan, ang paggamit ng unyon "at" nagsasaad ng kabuuan, unyon "o" - pagpaparami. Ang mga formula na may mga halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang lohika ng pagdaragdag at pagpaparami sa teorya ng posibilidad.

Ang posibilidad ng kabuuan ng hindi magkatugma na mga kaganapan

Kung isinasaalang-alang ang posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan, kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay katumbas ng pagdaragdag ng kanilang mga posibilidad:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Halimbawa: kalkulahin ang posibilidad na nasa isp. Ang No. 1 na may asul at pula na mga bola ay mahuhulog ang isang numero sa pagitan ng 1 at 4. Kalkulahin natin hindi sa isang aksyon, ngunit ang kabuuan ng mga posibilidad ng mga pangunahing sangkap. Kaya, sa ganoong karanasan mayroong 6 na bola o 6 lamang sa lahat ng posibleng mga kinalabasan. Ang mga bilang na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon ay 2 at 3. Ang posibilidad na makuha ang bilang 2 ay 1/6, ang posibilidad ng bilang 3 ay 1/6 din. Ang posibilidad na ang isang numero sa pagitan ng 1 at 4 ay mahuhulog ay:

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga hindi tugmang kaganapan ng kumpletong pangkat ay 1.

Kaya, kung, sa eksperimento na may isang kubo, idagdag ang mga posibilidad na mahulog sa lahat ng mga numero, kung gayon ang resulta ay iisa.

Totoo rin ito para sa kabaligtaran ng mga kaganapan, halimbawa, sa karanasan na may isang barya, kung saan ang isang panig nito ay kaganapan A, at ang iba pa ay ang kabaligtaran na kaganapan na Ā, tulad ng alam mo,

P (A) + P (Ā) \u003d 1

Ang posibilidad na makabuo ng hindi magkatugma na mga kaganapan

Ginagamit ang posibilidad ng pagpaparami kapag isinasaalang-alang ang hitsura ng dalawa o higit pang hindi tugmang mga kaganapan sa isang pagmamasid. Ang posibilidad na ang mga kaganapang A at B ay lilitaw dito nang sabay-sabay ay katumbas ng produkto ng kanilang mga posibilidad, o:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

Halimbawa, ang posibilidad na sa Espanyol. №1 bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka, isang asul na bola ay lilitaw ng dalawang beses, katumbas ng

Iyon ay, ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap kapag, bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka sa pagkuha ng mga bola, ang mga bughaw na bola lamang ang makukuha, ay katumbas ng 25%. Napakadali na gumawa ng mga praktikal na eksperimento sa gawaing ito at tingnan kung ito talaga ang kaso.

Pinagsamang mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay itinuturing na magkakasama kapag ang hitsura ng isa sa mga ito ay maaaring magkasabay sa hitsura ng iba pa. Bagaman magkakasama sila, isinasaalang-alang ang posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Halimbawa, ang pagkahagis ng dalawang dice ay maaaring magbigay ng isang resulta kapag pareho silang nakakuha ng bilang 6. Kahit na ang mga kaganapan ay nagkasabay at lumitaw nang sabay-sabay, sila ay independyente sa bawat isa - isang anim lamang ang maaaring mahulog, ang pangalawang dice ay walang epekto dito.

Ang posibilidad ng magkasanib na kaganapan ay isinasaalang-alang bilang posibilidad ng kanilang kabuuan.

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga pinagsamang kaganapan. Halimbawa

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan A at B, na magkakasama na may kaugnayan sa bawat isa, ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng kaganapan na minus ang posibilidad ng kanilang produkto (iyon ay, ang kanilang pinagsamang pagpapatupad):

R magkasanib (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Sabihin nating ang posibilidad na maabot ang isang target sa isang pagbaril ay 0.4. Pagkatapos ang kaganapan A - pagpindot sa target sa unang pagtatangka, B - sa pangalawa. Ang mga kaganapang ito ay magkakasama, dahil posible na posible na maabot ang target sa parehong una at pangalawang pag-shot. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi nakasalalay. Ano ang posibilidad ng isang target na hit hit na may dalawang shot (hindi bababa sa isa)? Ayon sa pormula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ang sagot sa tanong ay: "Ang posibilidad na maabot ang target na may dalawang pag-shot ay 64%."

Ang pormulang ito para sa posibilidad ng isang kaganapan ay maaari ring mailapat sa hindi magkatugma na mga kaganapan, kung saan ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng isang kaganapan P (AB) \u003d 0. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng kabuuan ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay maaaring maituring na isang espesyal na kaso ng ipinanukalang pormula.

Geometry ng posibilidad para sa kalinawan

Kapansin-pansin, ang posibilidad ng kabuuan ng magkasanib na mga kaganapan ay maaaring kinatawan sa anyo ng dalawang rehiyon A at B, na sumalungat sa bawat isa. Tulad ng nakikita mo mula sa larawan, ang lugar ng kanilang pagsasama ay katumbas ng kabuuang lugar na binawasan ang lugar ng kanilang intersection. Ang mga geometrical na paliwanag na ito ay ginagawang mas malinaw ang pormula, hindi malinaw. Tandaan na ang mga solusyon sa geometriko ay hindi pangkaraniwan sa teorya ng posibilidad.

Ang pagtukoy ng posibilidad ng kabuuan ng isang hanay (higit sa dalawa) ng magkasanib na kaganapan ay masalimuot. Upang makalkula ito, kailangan mong gamitin ang mga formula na ibinibigay para sa mga kasong ito.

Nakasalalay na mga kaganapan

Ang mga nakasalalay na kaganapan ay tinatawag kung ang paglitaw ng isa (A) sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa (B). Bukod dito, isinasaalang-alang ang impluwensya ng parehong hitsura ng kaganapan A at ang hindi hitsura nito. Bagaman ang mga kaganapan ay tinawag na umaasa ayon sa kahulugan, isa lamang sa mga ito ang nakasalalay (B). Ang karaniwang posibilidad ay tinukoy bilang P (B) o ang posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan. Sa kaso ng umaasa, isang bagong konsepto ang ipinakilala - ang kondisyunal na posibilidad na P A (B), na kung saan ay ang posibilidad ng umaasang kaganapan B sa ilalim ng kundisyon ng kaganapan A (teorya) kung saan ito nakasalalay.

Ngunit ang kaganapan A ay random din, kaya mayroon din itong posibilidad na dapat at maaaring isaalang-alang sa mga kalkulasyon. Ipapakita sa iyo ng sumusunod na halimbawa kung paano gumana sa mga umaasang kaganapan at teorya.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng posibilidad ng mga umaasang kaganapan

Ang isang mahusay na halimbawa para sa pagkalkula ng mga umaasang kaganapan ay isang karaniwang deck ng mga kard.

Paggamit ng isang deck ng 36 card bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang mga umaasang kaganapan. Kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na ang pangalawang kard na iginuhit mula sa kubyerta ay magiging mga brilyante, kung ang unang kard ay iginuhit:

1. Mga diamante.
2. Isa pang suit.

Malinaw na, ang posibilidad ng pangalawang kaganapan B ay nakasalalay sa unang A. Kaya, kung ang unang pagpipilian ay totoo, na mayroong 1 card (35) sa deck at 1 tambourine (8) na mas kaunti, ang posibilidad ng kaganapan B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0.23

Kung ang pangalawang pagpipilian ay wasto, pagkatapos ay mayroong 35 card sa deck, at ang buong bilang ng mga tambourine (9) ay napanatili pa rin, pagkatapos ay ang posibilidad ng sumusunod na kaganapan B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Maaari itong makita na kung ang kaganapan A ay napagkasunduan na ang unang card ay isang tamborin, pagkatapos ay ang posibilidad ng kaganapan B ay bumababa, at sa kabaligtaran.

Pagpaparami ng mga umaasang kaganapan

Sa paggabay ng nakaraang kabanata, isinasaalang-alang namin ang unang kaganapan (A) bilang katotohanan, ngunit sa esensya, ito ay random. Ang posibilidad ng kaganapang ito, katulad ng pagkuha ng isang tamburin mula sa isang deck ng mga kard, ay katumbas ng:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Dahil ang isang teorya ay hindi umiiral nang mag-isa, ngunit inilaan upang maghatid para sa mga praktikal na layunin, makatarungang sabihin na madalas na ang posibilidad ng paggawa ng mga umaasang kaganapan ay kinakailangan.

Ayon sa teorama sa produkto ng mga posibilidad ng mga umaasang kaganapan, ang posibilidad ng paglitaw ng magkakasamang umaasang mga pangyayaring A at B ay katumbas ng posibilidad ng isang kaganapan A, na pinarami ng may kondisyon na posibilidad ng kaganapan B (umaasa sa A)

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Pagkatapos, sa halimbawa na may isang deck, ang posibilidad na gumuhit ng dalawang kard na may isang rebolber suit ay:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, o 5.7%

At ang posibilidad na kumuha ng una ay hindi mga tamborin, at pagkatapos ay mga tamborin, ay katumbas ng:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, o 19%

Maaaring makita na ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan B ay mas malaki, sa kondisyon na ang kard ng suit na iba sa tamburin ay iginuhit muna. Ang resulta na ito ay lubos na lohikal at naiintindihan.

Buong posibilidad ng kaganapan

Kapag ang isang problema sa mga kondisyonal na posibilidad na maging multifaceted, hindi ito makakalkula gamit ang maginoo na pamamaraan. Kapag mayroong higit sa dalawang mga pagpapalagay, katulad ng A1, A2, ..., At n, .. bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan sa ilalim ng kundisyon:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• Σ k A k \u003d Ω.

Kaya, ang pormula para sa kabuuang posibilidad para sa kaganapan B na may isang buong pangkat ng mga random na kaganapan A1, A2, ..., At n ay katumbas ng:

Isang pagtingin sa hinaharap

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay lubhang kinakailangan sa maraming mga lugar ng agham: econometric, istatistika, pisika, atbp Dahil ang ilang mga proseso ay hindi mailalarawan nang deterministiko, dahil sila mismo ay may isang likas na probabilistic, kailangan ng mga espesyal na pamamaraan ng trabaho. Ang teorya ng probabilidad ay maaaring magamit sa anumang larangan ng teknolohikal bilang isang paraan upang matukoy ang posibilidad ng pagkakamali o hindi paggana.

Maaari nating sabihin na, pagkilala sa posibilidad, gumawa tayo sa ilang paraan ng isang teoretikal na hakbang sa hinaharap, tinitingnan ito sa pamamagitan ng prisma ng mga formula.

• Ang posibilidad ay ang degree (kamag-anak na sukat, dami ng pagtatasa) ng posibilidad ng isang tiyak na kaganapan na nagaganap. Kapag ang mga dahilan para sa ilang posibleng kaganapan na aktwal na maganap kaysa sa kabaligtaran ng mga kadahilanan, kung gayon ang kaganapan ay tinatawag na maaaring mangyari, kung hindi man ay malamang o hindi mangyari. Ang preponderance ng mga positibong batayan sa mga negatibong, at kabaligtaran, ay maaaring magkakaiba-iba ng mga degree, bilang isang resulta kung saan ang posibilidad (at imposible) ay mas malaki o mas kaunti. Samakatuwid, ang posibilidad ay madalas na tasahin sa isang antas na husay, lalo na sa mga kaso kung saan imposible o labis na mahirap ang isang mas marami o mas tumpak na dami na pagtatasa. Ang iba't ibang mga gradasyon ng posibilidad na "mga antas" ay posible.

  Ang pag-aaral ng posibilidad mula sa isang matematika na pananaw ay isang espesyal na disiplina - ang teorya ng posibilidad. Sa posibilidad ng teorya at mga istatistika ng matematika, ang konsepto ng posibilidad ay gawing pormal bilang isang katangian na bilang ng isang kaganapan - isang probabilistic na panukalang (o ang halaga nito) - isang panukala sa isang hanay ng mga kaganapan (mga subset ng isang hanay ng mga pambansang kaganapan), kumukuha ng mga halaga Mula sa

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  Halaga

  (\\ displaystyle 1)

  Naaayon sa isang wastong kaganapan. Ang isang imposibleng kaganapan ay may posibilidad na 0 (ang pakikipag-usap sa pangkalahatan ay hindi palaging totoo). Kung ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap ay

  (\\ displaystyle p)

  Pagkatapos ang posibilidad ng hindi paglitaw nito ay

  (\\ displaystyle 1-p)

  Sa partikular, ang posibilidad

  (\\ displaystyle 1/2)

  Nangangahulugan ng pantay na posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng kaganapan.

  Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay batay sa paniwala ng pantay na posibilidad ng mga kinalabasan. Ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na kanais-nais sa isang naibigay na kaganapan sa kabuuang bilang ng pantay na posibleng mga kinalabasan ay gumaganap bilang isang posibilidad. Halimbawa, ang posibilidad na makakuha ng "ulo" o "buntot" ng isang random na paghagis ng barya ay 1/2 kung ipinapalagay na ang dalawang posibilidad lamang na ito ang mayroon at pareho silang posible. Ang klasikal na "kahulugan" ng posibilidad na ito ay maaaring maisaayos sa kaso ng isang walang katapusang bilang ng mga posibleng halaga - halimbawa, kung ang ilang mga kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad sa anumang punto (ang bilang ng mga puntos ay walang katapusan) sa isang tiyak na limitadong lugar ng puwang (eroplano), kung gayon ang posibilidad na maganap ito sa isang tiyak na bahagi ng tanggap na lugar na ito ay katumbas ng ratio ng dami (lugar) ng bahaging ito sa dami (lugar) ng lugar ng lahat mga posibleng punto.

  Ang empirical na "pagpapasiya" ng posibilidad ay nauugnay sa dalas ng paglitaw ng kaganapan sa batayan na may isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ang dalas ay dapat na may posibilidad na ang degree degree ng posibilidad ng kaganapang ito. Sa modernong pagtatanghal ng teorya ng posibilidad, ang probabilidad ay tinukoy axiomatically, bilang isang espesyal na kaso ng abstract na teorya ng sukat ng isang set. Gayunpaman, ang ugnayan sa pagitan ng abstract na panukala at ang posibilidad, na nagpapahiwatig ng antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan, ay tiyak na dalas ng pagmamasid nito.

  Ang probabilistic na paglalarawan ng ilang mga phenomena ay naging laganap sa modernong agham, lalo na sa econometric, ang statistic physics ng macroscopic (thermodynamic) system, kung saan kahit na sa kaso ng klasikal na deterministikong paglalarawan ng paggalaw ng mga particle, ang deterministikong paglalarawan ng buong ang sistema ng mga maliit na butil ay tila praktikal na posible at kapaki-pakinabang. Sa dami ng pisika, ang mga proseso na inilarawan ang kanilang mga sarili ay may likas na probabilistic.