ضرب عبارات الحروف. التعبيرات الحرفية

من المعروف أنه في الرياضيات لا توجد طريقة للاستغناء عن تبسيط التعبيرات. يعد ذلك ضروريًا لحل مجموعة متنوعة من المشكلات بشكل صحيح وسريع، بالإضافة إلى أنواع مختلفة من المعادلات. التبسيط الذي تمت مناقشته هنا يعني تقليل عدد الإجراءات المطلوبة لتحقيق الهدف. ونتيجة لذلك، يتم تبسيط العمليات الحسابية بشكل ملحوظ وتوفير الوقت بشكل كبير. ولكن كيف يمكن تبسيط التعبير؟ ولهذا الغرض، يتم استخدام العلاقات الرياضية الراسخة، والتي تسمى غالبًا الصيغ أو القوانين، والتي تسمح بتعابير أقصر بكثير، وبالتالي تبسيط العمليات الحسابية.

ليس سراً أنه ليس من الصعب اليوم تبسيط التعبير عبر الإنترنت. فيما يلي روابط لبعض أشهرها:

لكن هذا غير ممكن مع كل تعبير. لذلك، دعونا نلقي نظرة فاحصة على الأساليب التقليدية.

إخراج القاسم المشترك

في حالة احتواء تعبير واحد على وحيدات الحد التي لها نفس العوامل، يمكنك إيجاد مجموع معاملاتها ثم ضربها في العامل المشترك لها. وتسمى هذه العملية أيضًا "إزالة القاسم المشترك". باستخدام باستمرار هذه الطريقة، في بعض الأحيان يمكنك تبسيط التعبير بشكل ملحوظ. بعد كل شيء، الجبر بشكل عام، ككل، مبني على تجميع وإعادة ترتيب العوامل والمقسومات.

أبسط الصيغ للضرب المختصرة

إحدى نتائج الطريقة الموصوفة سابقًا هي صيغ الضرب المختصرة. كيفية تبسيط التعبيرات باستخدامها كثيرًا كلما كان أوضح، الذي لم يحفظ حتى هذه الصيغ عن ظهر قلب، لكنه يعرف كيف يتم اشتقاقها، أي من أين أتت، وبالتالي طبيعتها الرياضية. ومن حيث المبدأ، تظل العبارة السابقة صالحة في جميع الرياضيات الحديثة، من الصف الأول إلى المقررات العليا في الكليات الميكانيكية والرياضية. الفرق بين المربعات ومربع الفرق ومجموع ومجموع وفرق المكعبات - كل هذه الصيغ تستخدم على نطاق واسع في الرياضيات الابتدائية وكذلك العليا في الحالات التي يكون فيها من الضروري تبسيط التعبير لحل المشكلات. يمكن العثور بسهولة على أمثلة لهذه التحولات في أي منها الكتاب المدرسيفي الجبر، أو حتى بشكل أبسط، على اتساع شبكة الويب العالمية.

جذور الدرجة

الرياضيات الابتدائية، إذا نظرت إليها ككل، ليس لديها طرق عديدة لتبسيط التعبير. عادة ما تكون الدرجات والعمليات معهم سهلة نسبيًا بالنسبة لمعظم الطلاب. لكن العديد من تلاميذ المدارس والطلاب المعاصرين يواجهون صعوبات كبيرة عندما يكون من الضروري تبسيط عبارة ذات جذور. وهذا لا أساس له من الصحة على الإطلاق. لأن الطبيعة الرياضية للجذور لا تختلف عن طبيعة نفس الدرجات، والتي عادة ما تكون بها صعوبات أقل بكثير. ومن المعروف أن الجذر التربيعيرقم أو متغير أو تعبير ليس أكثر من نفس الرقم أو المتغير أو التعبير أس النصف، والجذر التكعيبي هو نفسه أس الثلث، وهكذا حسب المراسلات.

تبسيط التعبيرات مع الكسور

دعونا نلقي نظرة أيضًا على مثال شائع لكيفية تبسيط التعبير بالكسور. في الحالات التي تكون فيها التعبيرات الكسور الطبيعية، يجب عليك عزل العامل المشترك عن المقام والبسط، ثم تقليل الكسر به. عندما يكون لدى أحاديات الحد عوامل متطابقة مرفوعة إلى القوى، فمن الضروري التأكد من أن القوى متساوية عند جمعها.

تبسيط التعابير المثلثية الأساسية

ما يبرز بالنسبة للبعض هو المحادثة حول كيفية تبسيط التعبير المثلثي. ربما يكون الفرع الأوسع لعلم المثلثات هو المرحلة الأولى التي سيواجه فيها طلاب الرياضيات مفاهيم ومشكلات وطرق حلها مجردة إلى حد ما. توجد صيغ مقابلة هنا، أولها الهوية المثلثية الأساسية. بوجود عقل رياضي كافٍ، يمكنك تتبع الاشتقاق المنهجي من هذه الهوية لجميع الهويات والصيغ المثلثية الأساسية، بما في ذلك صيغ الفرق ومجموع الحجج، والوسائط المزدوجة والثلاثية، وصيغ الاختزال وغيرها الكثير. بالطبع، لا ينبغي للمرء أن ينسى هنا الطرق الأولى، مثل إضافة عامل مشترك، والتي يتم استخدامها بالكامل مع الطرق والصيغ الجديدة.

وخلاصة القول، سنقدم للقارئ بعض النصائح العامة:

• يجب تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، أي أنه ينبغي تمثيلها في شكل منتج لعدد معين من العوامل - أحاديات الحد ومتعددات الحدود. فإذا كان هذا الاحتمال موجودا، فمن الضروري إخراج العامل المشترك من بين القوسين.
• ومن الأفضل حفظ جميع صيغ الضرب المختصرة دون استثناء. لا يوجد الكثير منهم، لكنهم الأساس لتبسيط التعبيرات الرياضية. ويجب ألا ننسى أيضًا طريقة عزل المربعات الكاملة في ثلاثية الحدود، وهي العمل العكسي لإحدى صيغ الضرب المختصرة.
• يجب تقليل جميع الكسور الموجودة في التعبير قدر الإمكان. ومع ذلك، لا تنس أنه يتم تقليل المضاعفات فقط. عند ضرب مقام وبسط الكسور الجبرية في نفس العدد الذي يختلف عن الصفر فإن معاني الكسور لا تتغير.
• بشكل عام، يمكن تحويل جميع التعبيرات عن طريق الإجراءات، أو في سلسلة. الطريقة الأولى هي الأفضل، لأن يسهل التحقق من نتائج الإجراءات الوسيطة.
• في كثير من الأحيان، في التعبيرات الرياضية، يتعين علينا استخراج الجذور. يجب أن نتذكر أنه لا يمكن استخلاص جذور القوى الزوجية إلا من عدد أو تعبير غير سالب، ويمكن استخلاص جذور القوى الفردية من أي تعبيرات أو أرقام على الإطلاق.

نأمل أن تساعدك مقالتنا في المستقبل على فهم الصيغ الرياضية وتعليمك كيفية تطبيقها عمليًا.

ملاحظة 1

يمكن كتابة دالة منطقية باستخدام تعبير منطقي ويمكن بعد ذلك نقلها إلى دائرة منطقية. من الضروري تبسيط التعبيرات المنطقية للحصول على أبسط دائرة منطقية (وبالتالي أرخص). في الواقع، الوظيفة المنطقية والتعبير المنطقي والدائرة المنطقية هي ثلاث لغات مختلفة تتحدث عن كيان واحد.

لتبسيط استخدام التعبيرات المنطقية قوانين منطق الجبر.

تشبه بعض التحويلات تحويلات الصيغ في الجبر الكلاسيكي (إخراج العامل المشترك بين قوسين، واستخدام قوانين التبادل والتركيب، وما إلى ذلك)، بينما تعتمد التحويلات الأخرى على خصائص لا تمتلكها عمليات الجبر الكلاسيكي (باستخدام طريقة التوزيع قانون الاقتران، قوانين الامتصاص، الإلتصاق، قواعد دي مورغان، الخ).

تمت صياغة قوانين الجبر المنطقية للأساسيات العمليات المنطقية- "NOT" - الانقلاب (النفي)، "AND" - الربط (الضرب المنطقي) و"OR" - الانفصال (الإضافة المنطقية).

قانون النفي المزدوج يعني أن العملية "NOT" قابلة للعكس: إذا قمت بتطبيقها مرتين، ففي النهاية قيمة منطقيةلن تتغير.

ينص قانون الوسط المستبعد على أن أي تعبير منطقي يكون صحيحًا أو خاطئًا ("لا يوجد ثالث"). لذلك، إذا كان $A=1$، فإن $\bar(A)=0$ (والعكس صحيح)، مما يعني أن اقتران هذه الكميات يساوي دائمًا الصفر، والانفصال دائمًا يساوي واحدًا.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

دعونا نبسط هذه الصيغة:

الشكل 3.

ويترتب على ذلك أن $A = 0$، $B = 1$، $C = 1$، $D = 1$.

إجابة:الطلاب $B$ و$C$ و$D$ يلعبون الشطرنج، لكن الطالب $A$ لا يلعب.

عند تبسيط التعبيرات المنطقية، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:

1. استبدال جميع العمليات "غير الأساسية" (التكافؤ، التضمين، الحصري أو، إلخ) بعباراتها من خلال العمليات الأساسية للقلب والربط والانفصال.
2. قم بتوسيع انقلابات التعبيرات المعقدة وفقًا لقواعد De Morgan بحيث تظل عمليات النفي للمتغيرات الفردية فقط.
3. ثم قم بتبسيط التعبير باستخدام الأقواس المفتوحة، مع وضع العوامل المشتركة خارج الأقواس وقوانين الجبر المنطقي الأخرى.

مثال 2

وهنا يتم استخدام قاعدة دي مورغان، وقانون التوزيع، وقانون الوسط المستبعد، والقانون التبادلي، وقانون التكرار، ومرة ​​أخرى القانون التبادلي وقانون الامتصاص على التوالي.

في كثير من الأحيان تتطلب المهام إجابة مبسطة. على الرغم من أن الإجابات المبسطة وغير المبسطة صحيحة، إلا أن معلمك قد يخفض درجتك إذا لم تقم بتبسيط إجابتك. علاوة على ذلك، فإن التعامل مع التعبير الرياضي المبسط أسهل بكثير. لذلك، من المهم جدًا تعلم كيفية تبسيط التعبيرات.

خطوات

الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

1. تذكر الترتيب الصحيح لإجراء العمليات الحسابية.عند التبسيط التعبير الرياضيمن الضروري اتباع ترتيب معين للعمليات، حيث أن بعض العمليات الحسابية لها الأسبقية على غيرها ويجب إجراؤها أولاً (في الواقع، عدم اتباع الترتيب الصحيح للعمليات سيؤدي إلى نتيجة خاطئة). تذكر الترتيب التالي للعمليات الرياضية: التعبير بين قوسين، الأس، الضرب، القسمة، الجمع، الطرح.

   • لاحظ أن معرفة الترتيب الصحيح للعمليات سيسمح لك بتبسيط معظم التعبيرات البسيطة، ولكن لتبسيط كثير الحدود (تعبير بمتغير) تحتاج إلى معرفة حيل خاصة (انظر القسم التالي).

2. ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين.في الرياضيات، تشير الأقواس إلى أنه يجب تقييم التعبير الموجود داخلها أولاً. لذلك، عند تبسيط أي تعبير رياضي، ابدأ بحل التعبير الموجود بين قوسين (لا يهم العمليات التي تحتاج إلى تنفيذها داخل القوسين). لكن تذكر أنه عند التعامل مع تعبير بين قوسين، يجب عليك اتباع ترتيب العمليات، أي أن المصطلحات الموجودة بين قوسين يتم أولاً ضربها وتقسيمها وإضافتها وطرحها وما إلى ذلك.

   • على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2س + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). هنا نبدأ بالتعبيرات الموجودة بين قوسين: 5 + 2 = 7 و 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • يتم تبسيط التعبير الموجود في الزوج الثاني من الأقواس إلى 5 لأنه يجب تقسيم 4/2 أولاً (وفقًا للترتيب الصحيح للعمليات). إذا لم تتبع هذا الترتيب، فستحصل على الإجابة الخاطئة: 3 + 4 = 7 و7 ÷ 2 = 7/2.
   • إذا كان هناك زوج آخر من الأقواس، ابدأ في التبسيط عن طريق حل التعبير الموجود بين القوسين الداخليين ثم انتقل إلى حل التعبير الموجود بين القوسين الخارجيين.

3. الأس.بعد حل التعبيرات الموجودة بين قوسين، انتقل إلى الأسي (تذكر أن القوة لها أس وقاعدة). ارفع التعبير (أو الرقم) المقابل إلى قوة واستبدل النتيجة بالتعبير المعطى لك.

   • في مثالنا، التعبير (الرقم) الوحيد للأس هو 3 2: 3 2 = 9. في التعبير المعطى لك، استبدل 3 2 بـ 9 وستحصل على: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. تتضاعف.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية الضرب بالرموز التالية: "x" أو "∙" أو "*". ولكن إذا لم تكن هناك رموز بين الرقم والمتغير (على سبيل المثال، 2x) أو بين الرقم والرقم الموجود بين قوسين (على سبيل المثال، 4(7))، فهذه أيضًا عملية ضرب.

   • في مثالنا، هناك عمليتان للضرب: 2x (اثنتان مضروبتان في المتغير "x") و4(7) (أربعة مضروبة في سبعة). نحن لا نعرف قيمة x، لذلك سنترك التعبير 2x كما هو. 4(7) = 4 × 7 = 28. الآن يمكنك إعادة كتابة التعبير المعطى لك على النحو التالي: 2x + 28 + 9 - 5.

5. يقسم.تذكر أنه يمكن تمثيل عملية القسمة بالرموز التالية: "/" أو "÷" أو "-" (قد ترى هذا الحرف الأخير في صورة كسور). على سبيل المثال، 3/4 يساوي ثلاثة مقسومًا على أربعة.

   • في مثالنا، لم تعد هناك عملية قسمة، لأنك قمت بالفعل بقسمة 4 على 2 (4/2) عند حل التعبير بين قوسين. لذلك يمكنك الانتقال إلى الخطوة التالية. تذكر أن معظم التعبيرات لا تحتوي على جميع العمليات الرياضية (بعضها فقط).

6. يطوى.عند إضافة مصطلحات تعبير، يمكنك البدء بالمصطلح الموجود في الأبعد (إلى اليسار)، أو يمكنك إضافة المصطلحات التي يمكن إضافتها بسهولة أولاً. على سبيل المثال، في التعبير 49 + 29 + 51 +71، من الأسهل أولاً إضافة 49 + 51 = 100، ثم 29 + 71 = 100 وأخيرًا 100 + 100 = 200. ومن الأصعب بكثير إضافة مثل هذا: 49 + 29 = 78؛ 78 + 51 = 129؛ 129 + 71 = 200.

   • في مثالنا 2x + 28 + 9 + 5 هناك عمليتان جمع. لنبدأ بالحد الخارجي (الأيسر): 2x + 28؛ لا يمكنك إضافة 2x و28 لأنك لا تعرف قيمة المتغير "x". لذلك، أضف 28 + 9 = 37. الآن يمكن إعادة كتابة التعبير على النحو التالي: 2x + 37 - 5.

7. طرح او خصم.هذه هي العملية الأخيرة بالترتيب الصحيح لإجراء العمليات الحسابية. في هذه المرحلة يمكنك أيضا إضافة أرقام سلبيةأو قم بذلك في مرحلة إضافة الأعضاء - وهذا لن يؤثر على النتيجة النهائية بأي شكل من الأشكال.

   • في مثالنا 2x + 37 - 5 توجد عملية طرح واحدة فقط: 37 - 5 = 32.

8. في هذه المرحلة، بعد إجراء جميع العمليات الحسابية، يجب أن تحصل على تعبير مبسط.أما إذا كان التعبير المعطى لك يحتوي على متغير واحد أو أكثر، فتذكر أن الحد ذو المتغير سيبقى كما هو. يتضمن حل (وليس تبسيط) تعبير بمتغير إيجاد قيمة هذا المتغير. في بعض الأحيان يمكن تبسيط التعبيرات المتغيرة باستخدام طرق خاصة(انظر القسم التالي).

   • في مثالنا، الإجابة النهائية هي 2x + 32. لا يمكنك إضافة الحدين حتى تعرف قيمة المتغير "x". بمجرد معرفة قيمة المتغير، يمكنك بسهولة تبسيط هذه ذات الحدين.

   تبسيط التعبيرات المعقدة

   1. إضافة مصطلحات مماثلة.تذكر أنه يمكنك فقط طرح وإضافة الحدود المتشابهة، أي الحدود التي لها نفس المتغير ونفس الأس. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 7x و5x، لكن لا يمكنك إضافة 7x و5x2 (نظرًا لاختلاف الأسس).

      • تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعضاء ذوي المتغيرات المتعددة. على سبيل المثال، يمكنك إضافة 2xy 2 و -3xy 2 ، لكن لا يمكنك إضافة 2xy 2 و -3x 2 y أو 2xy 2 و -3y 2 .
      • لننظر إلى مثال: x 2 + 3x + 6 - 8x. الحدود المتشابهة هنا هي 3x و8x، لذا يمكن جمعهما معًا. التعبير المبسط يبدو كالتالي: x 2 - 5x + 6.

   2. تبسيط الكسر العددي.في مثل هذا الكسر، يحتوي كل من البسط والمقام على أرقام (بدون متغير). يمكن تبسيط الكسر الرقمي بعدة طرق. أولاً، قم ببساطة بتقسيم المقام على البسط. ثانيًا، قم بتحليل البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة (نظرًا لأن قسمة الرقم على نفسه سيعطيك 1). بمعنى آخر، إذا كان لكل من البسط والمقام نفس العامل، فيمكنك إسقاطه والحصول على كسر مبسط.

      • على سبيل المثال، النظر في الكسر 36/60. باستخدام الآلة الحاسبة، اقسم 36 على 60 لتحصل على 0.6. لكن يمكنك تبسيط هذا الكسر بطريقة أخرى عن طريق تحليل البسط والمقام: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). بما أن 6/6 = 1، فإن الكسر المبسط هو: 1 × 6/10 = 6/10. لكن يمكن أيضًا تبسيط هذا الكسر: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. إذا كان الكسر يحتوي على متغير، فيمكنك إلغاء العوامل المتشابهة مع المتغير.قم بتحليل كل من البسط والمقام وألغي العوامل المتشابهة، حتى لو كانت تحتوي على متغير (تذكر أن العوامل المتشابهة هنا قد تحتوي أو لا تحتوي على متغير).

      • لننظر إلى مثال: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). يمكن إعادة كتابة هذا التعبير (تحليله) بالشكل: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). بما أن الحد 3x موجود في كل من البسط والمقام، فيمكنك حذفه للحصول على تعبير مبسط: (x + 1)/(5 - x). لننظر إلى مثال آخر: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك إلغاء أي حدود - يتم إلغاء العوامل المتطابقة فقط الموجودة في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (x(x + 2))/x، المتغير (العامل) "x" موجود في كل من البسط والمقام، لذا يمكن تبسيط "x" للحصول على تعبير مبسط: (x + 2)/1 = x + 2. ومع ذلك، في التعبير (x + 2)/x، لا يمكن تبسيط المتغير "x" (نظرًا لأن "x" ليس عاملاً في البسط).

   4. فتح قوسين.للقيام بذلك، اضرب الحد الموجود خارج الأقواس في كل حد داخل الأقواس. في بعض الأحيان يساعد على التبسيط تعبير معقد. وهذا ينطبق على كلا الأعضاء الذين هم الأعداد الأوليةوإلى الأعضاء التي تحتوي على المتغير.

      • على سبيل المثال، 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24، و3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • يرجى ملاحظة أنه في التعبيرات الكسريةليست هناك حاجة لفتح الأقواس إذا كان العامل نفسه موجودًا في كل من البسط والمقام. على سبيل المثال، في التعبير (3(x 2 + 8))/3x ليست هناك حاجة لفك الأقواس، حيث يمكنك هنا إلغاء العامل 3 والحصول على التعبير المبسط (x 2 + 8)/x. هذا التعبير أسهل في العمل؛ إذا فتحت الأقواس، فستحصل على التعبير المعقد التالي: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. عامل كثيرات الحدود.باستخدام هذه الطريقة، يمكنك تبسيط بعض التعبيرات ومتعددات الحدود. التخصيم هو العملية المعاكسة لفتح الأقواس، أي أنه يتم كتابة التعبير كحاصل ضرب تعبيرين، كل منهما محاط بين قوسين. في بعض الحالات، يتيح لك التخصيم تقليل نفس التعبير. في حالات خاصة (عادة مع المعادلات التربيعية) سيسمح لك التخصيم بحل المعادلة.

      • خذ بعين الاعتبار التعبير x 2 - 5x + 6. وقد تم تحليله إلى عوامل: (x - 3)(x - 2). وبالتالي، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء التعبير (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2))، فيمكنك إعادة كتابته بالشكل (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)))، اختصر التعبير (x - 2) واحصل على تعبير مبسط (x - 3)/2.
      • يتم استخدام كثيرات الحدود إلى العوامل لحل معادلات (العثور على الجذور) (المعادلة هي كثيرة الحدود تساوي 0). على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المعادلة x 2 - 5x + 6 = 0. وبتحليلها إلى عوامل، تحصل على (x - 3)(x - 2) = 0. بما أن أي تعبير مضروب في 0 يساوي 0، يمكننا كتابته هكذا هذا: x - 3 = 0 و x - 2 = 0. وبالتالي، x = 3 و x = 2، أي أنك وجدت جذرين للمعادلة المعطاة لك.

يمكن لأي لغة التعبير عن نفس المعلومات بكلمات مختلفةوالثورات. اللغة الرياضية ليست استثناء. ولكن يمكن كتابة نفس التعبير بشكل متكافئ بطرق مختلفة. وفي بعض الحالات، يكون أحد الإدخالات أبسط. سنتحدث عن تبسيط التعبيرات في هذا الدرس.

يتواصل الناس على لغات مختلفة. بالنسبة لنا، المقارنة المهمة هي زوج "اللغة الروسية - اللغة الرياضية". ويمكن توصيل نفس المعلومات بلغات مختلفة. ولكن، إلى جانب ذلك، يمكن نطقها بطرق مختلفة في لغة واحدة.

على سبيل المثال: "بيتيا صديقة لفاسيا"، "فاسيا صديقة لبيتيا"، "بيتيا وفاسيا صديقتان". قال بشكل مختلف، ولكن نفس الشيء. من أي من هذه العبارات سوف نفهم ما نتحدث عنه.

دعونا نلقي نظرة على هذه العبارة: "الصبي بيتيا والصبي فاسيا صديقان". نحن نفهم ما نعنيه نحن نتحدث عن. ومع ذلك، نحن لا نحب صوت هذه العبارة. ألا يمكننا تبسيط الأمر، ونقول نفس الشيء، ولكن بشكل أبسط؟ "الصبي والصبي" - يمكنك أن تقول مرة واحدة: "الأولاد بيتيا وفاسيا صديقان".

«أولاد».. أليس واضحاً من أسمائهم أنهم ليسوا فتيات؟ نقوم بإزالة "الأولاد": "بيتيا وفاسيا صديقان". ويمكن استبدال كلمة "أصدقاء" بكلمة "أصدقاء": "بيتيا وفاسيا صديقان". ونتيجة لذلك، تم استبدال العبارة الأولى الطويلة والقبيحة بعبارة مكافئة أسهل في القول وأسهل في الفهم. لقد قمنا بتبسيط هذه العبارة. التبسيط يعني قول الأمر بشكل أكثر بساطة، ولكن دون فقدان المعنى أو تشويهه.

وفي لغة الرياضيات، يحدث نفس الشيء تقريبًا. ويمكن قول نفس الشيء، ولكن بطريقة مختلفة. ماذا يعني تبسيط التعبير؟ وهذا يعني أنه بالنسبة للتعبير الأصلي هناك العديد من التعبيرات المتكافئة، أي تلك التي تعني نفس الشيء. ومن بين كل هذا التنوع يجب علينا أن نختار الأبسط، في رأينا، أو الأكثر ملاءمة لأغراضنا الإضافية.

على سبيل المثال، النظر في التعبير الرقمي. سيكون معادلاً لـ .

وسيكون أيضًا معادلاً للأولين: .

اتضح أننا بسطنا التعبيرات ووجدنا أقصر تعبير مكافئ.

بالنسبة للتعبيرات الرقمية، تحتاج دائمًا إلى القيام بكل شيء والحصول على التعبير المكافئ كرقم واحد.

دعونا نلقي نظرة على مثال للتعبير الحرفي . من الواضح أن الأمر سيكون أسهل.

عند تبسيط التعبيرات الحرفية، من الضروري تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة.

هل من الضروري دائمًا تبسيط التعبير؟ لا، في بعض الأحيان سيكون من الأفضل بالنسبة لنا أن يكون لدينا دخول مكافئ ولكن لفترة أطول.

مثال: تحتاج إلى طرح رقم من رقم.

من الممكن الحساب، لكن إذا تم تمثيل الرقم الأول بالرمز المكافئ له: فإن الحسابات ستكون فورية: .

وهذا يعني أن التعبير المبسط ليس مفيدًا دائمًا لإجراء المزيد من الحسابات.

ومع ذلك، فإننا في كثير من الأحيان نواجه مهمة تبدو مثل "تبسيط التعبير".

تبسيط التعبير: .

حل

1) نفذ الإجراءات الواردة في القوسين الأول والثاني: .

2) دعونا نحسب المنتجات: .

من الواضح أن التعبير الأخير له شكل أبسط من التعبير الأولي. لقد قمنا بتبسيط الأمر.

لتبسيط التعبير يجب استبداله بما يعادله (يساوي).

لتحديد التعبير المكافئ الذي تحتاجه:

1) تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة،

2) استخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة لتبسيط العمليات الحسابية.

خصائص الجمع والطرح:

1. الخاصية التبادلية للجمع: إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع.

2. خاصية الجمع التجميعية: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع رقمين، يمكنك إضافة مجموع الرقمين الثاني والثالث إلى الرقم الأول.

3. خاصية طرح مجموع من رقم: لطرح مجموع من رقم، يمكنك طرح كل حد على حدة.

خواص الضرب والقسمة

1. الخاصية التبادلية للضرب: إعادة ترتيب العوامل لا يغير حاصل الضرب.

2. الخاصية التجميعية: لضرب رقم في حاصل ضرب رقمين، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول، ثم ضرب الناتج الناتج في العامل الثاني.

3. خاصية التوزيع للضرب: لكي تقوم بضرب رقم في مجموع، عليك أن تضربه في كل حد على حدة.

دعونا نرى كيف نقوم بالفعل بالحسابات الذهنية.

احسب:

حل

1) دعونا نتخيل كيف

2) لنتخيل العامل الأول كمجموع لمصطلحات البت ونجري عملية الضرب:

3) يمكنك تخيل كيفية إجراء الضرب:

4) استبدل العامل الأول بمبلغ معادل:

يمكن أيضًا استخدام قانون التوزيع في الجانب المعاكس: .

اتبع الخطوات التالية:

1) 2)

حل

1) من أجل التيسير، يمكنك استخدام قانون التوزيع، استخدمه فقط في الاتجاه المعاكس - أخرج العامل المشترك من الأقواس.

2) لنخرج العامل المشترك من الأقواس

من الضروري شراء مشمع للمطبخ والممر. منطقة المطبخ - المدخل - . هناك ثلاثة أنواع من المشمع: ل، وروبل ل. كم سيكلف كل منهما؟ ثلاثة أنواعمشمع؟ (رسم بياني 1)

أرز. 1. رسم توضيحي لبيان المشكلة

حل

الطريقة الأولى. يمكنك بشكل منفصل معرفة مقدار الأموال التي ستستغرقها لشراء مشمع للمطبخ، ثم وضعه في الردهة وإضافة المنتجات الناتجة.

يُطلق على التعبير الجبري الذي يستخدم فيه أيضًا القسمة إلى تعبيرات حرفية، إلى جانب عمليات الجمع والطرح والضرب، تعبيرًا جبريًا كسريًا. هذه هي، على سبيل المثال، التعبيرات

نحن نسمي الكسر الجبري تعبيرًا جبريًا له شكل حاصل قسمة تعبيرين جبريين صحيحين (على سبيل المثال، أحاديات الحد أو كثيرات الحدود). هذه هي، على سبيل المثال، التعبيرات

الثالث من الألفاظ).

تهدف التحويلات المتطابقة للتعبيرات الجبرية الكسرية في الغالب إلى تمثيلها في صورة كسر جبري. للعثور على القاسم المشترك، يتم استخدام تحليل مقامات الكسور - وهي مصطلحات من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لها. عند تقليل الكسور الجبرية، قد يتم انتهاك الهوية الصارمة للتعبيرات: من الضروري استبعاد قيم الكميات التي يصبح عندها العامل الذي يتم من خلاله التخفيض صفرًا.

دعونا نعطي أمثلة على التحولات المتطابقة للتعبيرات الجبرية الكسرية.

مثال 1: تبسيط التعبير

يمكن اختزال جميع الحدود إلى قاسم مشترك (من الملائم تغيير العلامة الموجودة في مقام الحد الأخير والعلامة التي أمامه):

تعبيرنا يساوي واحدًا لجميع القيم ما عدا هذه القيم، فهو غير محدد وتقليل الكسر غير قانوني).

مثال 2. تمثيل التعبير ككسر جبري

حل. يمكن اعتبار التعبير قاسمًا مشتركًا. نجد بالتسلسل:

تمارين

1. ابحث عن قيم التعبيرات الجبرية لقيم المعلمات المحددة:

2. التخصيم.