Hvis oscillationen er beskrevet efter sinusloven. Oscillationer

>>Harmoniske vibrationer

§ 22 HARMONISKE VIBRATIONER

Ved at vide, hvordan et oscillerende legemes acceleration og koordinat er relateret til hinanden, er det muligt, baseret på matematisk analyse, at finde koordinatens afhængighed af tid.

Acceleration er den anden afledede af en koordinat med hensyn til tid. Den øjeblikkelige hastighed af et punkt, som du kender fra et matematikkursus, er den afledte af punktets koordinater i forhold til tid. Accelerationen af ​​et punkt er den afledede af dets hastighed i forhold til tid, eller den anden afledede af koordinaten i forhold til tid. Derfor kan ligning (3.4) skrives som følger:

hvor x " - anden afledet af koordinaten med hensyn til tid. Ifølge ligning (3.11) ændres koordinaten x under frie svingninger med tiden, så den anden afledede af koordinaten med hensyn til tiden er direkte proportional med selve koordinaten og er modsat fortegn.

Det er kendt fra et matematikkursus, at de anden afledede af sinus og cosinus med hensyn til deres argument er proportionale med selve funktionerne, taget fra modsat fortegn. Matematisk analyse viser, at ingen andre funktioner har denne egenskab. Alt dette giver dig mulighed for med god grund hævde, at kroppens koordinater udfører frie vibrationer, ændres over tid i henhold til loven om sinus eller pasine. Figur 3.6 viser ændringen i et punkts koordinat over tid ifølge cosinusloven.

Periodiske ændringer i en fysisk størrelse afhængig af tid, der forekommer i henhold til loven om sinus eller cosinus, kaldes harmoniske svingninger.

Amplitude af svingninger. Amplituden af ​​harmoniske svingninger er modulet for den største forskydning af et legeme fra dets ligevægtsposition.

Amplituden kan have forskellige betydninger afhængigt af, hvor meget vi forskyder kroppen fra ligevægtspositionen i det indledende tidspunkt, eller af hvilken hastighed, kroppen får. Amplituden bestemmes af begyndelsesbetingelserne, eller mere præcist af den energi, der tilføres kroppen. Men de maksimale værdier af sinusmodulet og cosinusmodulet er lig med én. Derfor kan løsningen til ligning (3.11) ikke udtrykkes blot som en sinus eller cosinus. Det skal have form af produktet af oscillationsamplituden x m ved sinus eller cosinus.

Løsning af ligningen, der beskriver frie vibrationer. Lad os skrive løsningen til ligning (3.11) på følgende form:

og den anden afledede vil være lig med:

Vi har fået ligning (3.11). Følgelig er funktion (3.12) en løsning på den oprindelige ligning (3.11). Løsningen til denne ligning vil også være funktionen

Grafen over kropskoordinaten kontra tid ifølge (3.14) er en cosinusbølge (se fig. 3.6).

Periode og frekvens af harmoniske svingninger. Ved oscillering gentages kroppens bevægelser periodisk. Tidsperioden T, i hvilken systemet fuldfører en komplet cyklus af svingninger, kaldes svingningsperioden.

Ved at kende perioden kan du bestemme frekvensen af ​​svingninger, dvs. antallet af svingninger per tidsenhed, for eksempel per sekund. Hvis der opstår én svingning i tiden T, så er antallet af svingninger pr. sekund

I Internationalt system enheder (SI) er oscillationsfrekvensen lig med én, hvis der sker én svingning pr. sekund. Frekvensenheden kaldes hertz (forkortet: Hz) til ære for den tyske fysiker G. Hertz.

Antallet af svingninger i 2 s er lig med:

Størrelsen er den cykliske eller cirkulære frekvens af svingninger. Hvis tiden t i ligning (3.14) er lig med én periode, så er T = 2. Således, hvis på tidspunktet t = 0 x = x m, så til tidspunktet t = T x = x m, dvs. gennem et tidsrum lig med én periode, gentages svingningerne.

Frekvensen af ​​frie vibrationer er bestemt af den naturlige frekvens af det oscillerende system 1.

Afhængighed af frekvensen og perioden for frie svingninger af systemets egenskaber. Den naturlige vibrationsfrekvens for et legeme fastgjort til en fjeder, ifølge ligning (3.13), er lig med:

Jo større fjederstivhed k, jo større er den, og jo mindre, jo større kropsmasse m. Dette er let at forstå: En stiv fjeder giver større acceleration til kroppen og ændrer kroppens hastighed hurtigere. Og jo mere massiv kroppen er, jo langsommere ændrer den hastighed under påvirkning af kraft. Oscillationsperioden er lig med:

Med et sæt fjedre med forskellig stivhed og kroppe af forskellig masse, er det let at verificere af erfaring, at formlerne (3.13) og (3.18) korrekt beskriver arten af ​​afhængigheden af ​​og T af k og m.

Det er bemærkelsesværdigt, at perioden for oscillation af et legeme på en fjeder og perioden for oscillation af et pendul ved små afbøjningsvinkler ikke afhænger af svingningsamplituden.

Modulet for proportionalitetskoefficienten mellem accelerationen t og forskydningen x i ligning (3.10), som beskriver pendulets svingninger, er som i ligning (3.11) kvadratet på den cykliske frekvens. Følgelig afhænger den naturlige frekvens af oscillation af et matematisk pendul ved små vinkler af afvigelse af tråden fra lodret af længden af ​​pendulet og tyngdeaccelerationen:

Denne formel blev først opnået og testet eksperimentelt af den hollandske videnskabsmand G. Huygens, en samtidig med I. Newton. Den er kun gyldig for små gevindafbøjningsvinkler.

1 Ofte i det følgende vil vi for kortheds skyld blot henvise til den cykliske frekvens som frekvensen. Du kan skelne den cykliske frekvens fra den normale frekvens ved hjælp af notation.

Oscillationsperioden stiger med stigende længde af pendulet. Det afhænger ikke af pendulets masse. Dette kan let verificeres eksperimentelt med forskellige penduler. Oscillationsperiodens afhængighed af tyngdeaccelerationen kan også detekteres. Jo mindre g, jo længere er pendulets svingningsperiode, og derfor går penduluret langsommere. Således vil et ur med et pendul i form af en vægt på en stang komme bagud med næsten 3 s om dagen, hvis det løftes fra kælderen til øverste etage på Moskva Universitet (højde 200 m). Og dette skyldes kun faldet i accelerationen af ​​frit fald med højden.

Afhængigheden af ​​oscillationsperioden for et pendul af værdien af ​​g bruges i praksis. Ved at måle oscillationsperioden kan g bestemmes meget nøjagtigt. Tyngdeaccelerationen ændres med geografisk breddegrad. Men selv på en given breddegrad er det ikke det samme alle steder. Jordskorpens tæthed er jo ikke den samme overalt. I områder, hvor der forekommer tætte bjergarter, er accelerationen g noget større. Dette tages i betragtning, når man søger efter mineraler.

Jernmalm har således en højere densitet sammenlignet med almindelige bjergarter. Målinger af tyngdeaccelerationen nær Kursk, udført under ledelse af akademiker A. A. Mikhailov, gjorde det muligt at afklare placeringen af ​​jernmalm. De blev først opdaget gennem magnetiske målinger.

Egenskaberne ved mekaniske vibrationer bruges i de fleste elektroniske vægtes enheder. Kroppen, der skal vejes, placeres på en platform, hvorunder der er installeret en stiv fjeder. Som følge heraf er der mekaniske vibrationer, hvis frekvens måles af den tilsvarende sensor. Mikroprocessoren, der er knyttet til denne sensor, konverterer oscillationsfrekvensen til massen af ​​den krop, der vejes, da denne frekvens afhænger af massen.

De resulterende formler (3.18) og (3.20) for svingningsperioden indikerer, at perioden for harmoniske svingninger afhænger af systemparametrene (fjederstivhed, gevindlængde osv.)

Myakishev G. Ya., Fysik. 11. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / G. Ya Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin. redigeret af V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. udg., revideret. og yderligere - M.: Uddannelse, 2008. - 399 s.: ill.

En komplet liste over emner efter klasse, kalenderplan ifølge skolepensum i fysik online, videomateriale om fysik til 11 klasse download

Maksimal hastighed og accelerationsværdier

Efter at have analyseret ligningerne for afhængighed v(t) og a(t), kan vi gætte på, at hastighed og acceleration tager maksimale værdier i det tilfælde, hvor den trigonometriske faktor er lig med 1 eller -1. Bestemt af formlen

Sådan får du afhængigheder v(t) og a(t)

7. Frie vibrationer. Hastighed, acceleration og energi af oscillerende bevægelse. Tilføjelse af vibrationer

Frie vibrationer(eller naturlige vibrationer) er svingninger i et oscillerende system, der kun opstår på grund af den oprindeligt tilførte energi (potentielle eller kinetiske) i fravær af ydre påvirkninger.

Potentiel eller kinetisk energi kan for eksempel bibringes i mekaniske systemer gennem initial forskydning eller initial hastighed.

Frit oscillerende legemer interagerer altid med andre legemer og danner sammen med dem et system af legemer kaldet oscillerende system.

For eksempel er en fjeder, en kugle og en lodret stolpe, hvortil den øverste ende af fjederen er fastgjort (se figuren nedenfor), inkluderet i svingningssystemet. Her glider kuglen frit langs strengen (friktionskræfterne er ubetydelige). Hvis du flytter bolden til højre og overlader den til sig selv, vil den svinge frit rundt i ligevægtspositionen (punkt OM) på grund af virkningen af ​​fjederens elastiske kraft rettet mod ligevægtspositionen.

Til andre klassisk eksempel Det mekaniske svingningssystem er et matematisk pendul (se figuren nedenfor). I dette tilfælde udfører bolden frie svingninger under påvirkning af to kræfter: tyngdekraften og trådens elastiske kraft (Jorden er også inkluderet i det oscillerende system). Deres resultant er rettet mod ligevægtspositionen.

De kræfter, der virker mellem oscillatorsystemets kroppe, kaldes indre kræfter. Af ydre kræfter kaldes kræfter, der virker på et system fra kroppe uden for det. Fra dette synspunkt kan frie vibrationer defineres som vibrationer i et system under påvirkning indre kræfter efter at systemet er bragt ud af ligevægt.

Betingelserne for forekomsten af ​​frie svingninger er:

1) fremkomsten i dem af en kraft, der returnerer systemet til en position med stabil ligevægt, efter at det er blevet fjernet fra denne tilstand;

2) manglende friktion i systemet.

Dynamik af frie vibrationer.

Vibrationer af en krop under påvirkning af elastiske kræfter. Ligning for oscillerende bevægelse af et legeme under påvirkning af elastisk kraft F(se figur) kan opnås under hensyntagen til Newtons anden lov ( F = ma) og Hookes lov ( F kontrol= -kx), Hvor m er boldens masse, og er den acceleration, bolden erhverver under påvirkning af elastisk kraft, k- fjederstivhedskoefficient, x- forskydning af kroppen fra ligevægtspositionen (begge ligninger er skrevet i projektion på den vandrette akse Åh). Sæt lighedstegn mellem højre side af disse ligninger og tager højde for, at accelerationen EN er den anden afledede af koordinaten x(forskydning), får vi:

.

Dette er differentialligningen for bevægelse af et legeme, der svinger under påvirkning af en elastisk kraft: den anden afledede af koordinaten med hensyn til tid (kropsacceleration) er direkte proportional med dens koordinat, taget med det modsatte fortegn.

Svingninger af et matematisk pendul. For at opnå oscillationsligningen for et matematisk pendul (figur) er det nødvendigt at udvide tyngdekraften F T= mg til normal Fn(rettet langs tråden) og tangential F τ(tangens til boldens bane - cirkel) komponenter. Normal komponent af tyngdekraften Fn og trådens elastiske kraft Fynp i alt give pendulet centripetalacceleration, som ikke påvirker størrelsen af ​​hastigheden, men kun ændrer dens retning, og den tangentielle komponent F τ er den kraft, der bringer bolden tilbage til dens ligevægtsposition og får den til at udføre oscillerende bevægelser. Bruger, som i det foregående tilfælde, Newtons lov for tangentiel acceleration ma τ = F τ og givet det F τ= -mg sinα, vi får:

en τ= -g sinα,

Minustegnet dukkede op, fordi kraften og vinklen for afvigelse fra ligevægtspositionen α har modsatte fortegn. Til små afbøjningsvinkler sin α ≈ α. Til gengæld α = s/l, Hvor s- bue O.A., jeg- trådlængde. Overvejer det og τ= s", vi får endelig:

Formen af ​​ligningen ligner ligningen . Kun her er systemets parametre længden af ​​tråden og accelerationen af ​​frit fald, og ikke fjederstivheden og kuglens masse; koordinatens rolle spilles af længden af ​​buen (dvs. den tilbagelagte afstand, som i det første tilfælde).

Frie vibrationer beskrives således ved ligninger af samme type (underlagt de samme love) uanset den fysiske natur af de kræfter, der forårsager disse vibrationer.

Løsning af ligninger og er en funktion af formen:

x = xmcos ω 0t(eller x = xmsin ω 0t).

Det vil sige, at koordinaten for et legeme, der udfører frie svingninger, ændres over tid i henhold til loven om cosinus eller sinus, og derfor er disse svingninger harmoniske:

I lign. x = xmcos ω 0t(eller x = xmsin ω 0t), x m- vibrationsamplitude, ω 0 - egen cyklisk (cirkulær) frekvens af svingninger.

Den cykliske frekvens og periode af frie harmoniske svingninger bestemmes af systemets egenskaber. For vibrationer af et legeme, der er fastgjort til en fjeder, er følgende forhold gyldige:

.

Jo større fjederstivhed eller jo mindre belastningens masse, jo større er egenfrekvensen, hvilket er fuldt ud bekræftet af erfaring.

For et matematisk pendul er følgende ligheder opfyldt:

.

Denne formel blev først opnået og testet eksperimentelt af den hollandske videnskabsmand Huygens (en samtid med Newton).

Oscillationsperioden stiger med stigende længde af pendulet og afhænger ikke af dets masse.

Der bør lægges særlig vægt på det faktum, at harmoniske svingninger er strengt periodiske (da de overholder loven om sinus eller cosinus), og selv for et matematisk pendul, som er en idealisering af et reelt (fysisk) pendul, er kun mulige ved små svingninger vinkler. Hvis afbøjningsvinklerne er store, vil forskydningen af ​​lasten ikke være proportional med afbøjningsvinklen (vinklens sinus), og accelerationen vil ikke være proportional med forskydningen.

Hastigheden og accelerationen af ​​en krop, der svinger frit, vil også undergå harmoniske svingninger. Ved at tage den tidsafledede af funktionen ( x = xmcos ω 0t(eller x = xmsin ω 0t)), får vi et udtryk for hastighed:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Hvor v m= ω 0 x m- hastighedsamplitude.

Lignende udtryk for acceleration EN vi opnår ved at differentiere ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Hvor en m= ω 2 0x m- amplitude af acceleration. Således er amplituden af ​​hastigheden af ​​harmoniske svingninger proportional med frekvensen, og amplituden af ​​accelerationen er proportional med kvadratet af oscillationsfrekvensen.

HARMONISKE VIBRATIONER
Oscillationer, hvor ændringer i fysiske størrelser sker i henhold til loven om cosinus eller sinus (harmonisk lov), kaldes. harmoniske vibrationer. For eksempel, i tilfælde af mekaniske harmoniske vibrationer:. I disse formler er ω svingningsfrekvensen, x m er oscillationens amplitude, φ 0 og φ 0 ' er de indledende faser af oscillationen. Ovenstående formler adskiller sig i definitionen af ​​den indledende fase og ved φ 0 ’ = φ 0 +π/2 er fuldstændig sammenfaldende.
Det her enkleste form periodiske svingninger. Funktionens specifikke form (sinus eller cosinus) afhænger af metoden til at fjerne systemet fra dets ligevægtsposition. Hvis fjernelsen sker ved et tryk (kinetisk energi kommunikeres), så ved t = 0 er forskydningen x = 0, derfor er det mere bekvemt at bruge funktion synd, ved at sætte φ 0 '=0; når man afviger fra ligevægtspositionen (potentiel energi rapporteres) ved t = 0, er forskydningen x = x m, derfor er det mere bekvemt at bruge cos-funktionen og φ 0 = 0.
Udtrykket under tegnet cos eller sin kaldes. oscillationsfase:. Svingningens fase måles i radianer og bestemmer værdien af ​​forskydningen (oscillerende mængde) i dette øjeblik tid.
Amplituden af ​​oscillationen afhænger kun af den indledende afvigelse (den initiale energi, der tildeles oscillatorsystemet).
Hastighed og acceleration under harmoniske svingninger.
Ifølge definitionen af ​​hastighed er hastighed den afledede af en position i forhold til tid
Således ser vi, at hastigheden under harmonisk svingningsbevægelse også ændrer sig i henhold til den harmoniske lov, men hastighedssvingningerne er foran faseforskydningssvingningerne med π/2.
Værdi - maksimal hastighed oscillerende bevægelse (amplitude af hastighedsudsving).
Derfor har vi for hastigheden under harmonisk svingning: , og i tilfælde af nul begyndelsesfase (se graf).
Ifølge definitionen af ​​acceleration er acceleration afledt af hastighed med hensyn til tid: er den anden afledede af koordinaten med hensyn til tid. Derefter: . Acceleration under harmoniske svingningsbevægelser ændres også i henhold til den harmoniske lov, men accelerationsoscillationer er forud for hastighedssvingninger med π/2 og forskydningsoscillationer med π (svingninger siges at forekomme i modfase).
Værdi - maksimal acceleration (amplitude af accelerationsudsving). Derfor har vi til acceleration: , og i tilfælde af nul indledende fase: (se diagrammet).
Fra analysen af ​​processen med oscillerende bevægelse, grafer og tilsvarende matematiske udtryk det er klart, at når et oscillerende legeme passerer gennem ligevægtspositionen (forskydningen er nul), er accelerationen nul, og kroppens hastighed er maksimal (legemet passerer gennem ligevægtspositionen ved inerti), og når amplitudeværdien af ​​forskydningen er nået, hastigheden er nul, og accelerationen er maksimal i absolut værdi (kroppen ændrer retning af sin bevægelse).
Lad os sammenligne udtrykkene for forskydning og acceleration under harmoniske vibrationer: og .
Du kan skrive: - dvs. den anden afledede af forskydningen er direkte proportional (med det modsatte fortegn) med forskydningen. Denne ligning kaldes ligning harmonisk vibration. Denne afhængighed gælder for enhver harmonisk svingning, uanset dens natur. Da vi aldrig har brugt parametrene for et specifikt oscillerende system, kan kun den cykliske frekvens afhænge af dem.
Det er ofte praktisk at skrive ligningerne for vibrationer i formen: , hvor T er oscillationsperioden. Så hvis tiden er udtrykt i brøkdele af en periode, vil beregningerne blive forenklet. Skal vi for eksempel finde forskydningen efter 1/8 af perioden, får vi:. Samme for hastighed og acceleration.

Der er ofte tilfælde, hvor et system samtidigt deltager i to eller flere svingninger uafhængigt af hinanden. I disse tilfælde dannes en kompleks oscillerende bevægelse, som skabes ved at overlejre (tilføje) svingninger på hinanden. Det er klart, at tilfælde af tilføjelse af svingninger kan være meget forskellige. De afhænger ikke kun af antallet af tilføjede svingninger, men også af parametrene for oscillationerne, på deres frekvenser, faser, amplituder og retninger. Det er ikke muligt at gennemgå alle mulige forskellige tilfælde af tilføjelse af svingninger, så vi vil begrænse os til kun at overveje individuelle eksempler.
1. Tilføjelse af svingninger i én retning. Lad os tilføje to svingninger af samme frekvens, men forskellige faser og amplituder.

(4.40)
Når svingninger er overlejret på hinanden


Lad os introducere nye parametre A og j ifølge ligningerne:

(4.42)
Ligningssystem (4.42) er let at løse.

(4.43)

(4.44)
For x får vi altså endelig ligningen

(4.45)
Så som et resultat af tilføjelsen af ​​ensrettede svingninger med samme frekvens opnår vi en harmonisk (sinusformet) oscillation, hvis amplitude og fase bestemmes af formlerne (4.43) og (4.44).
Lad os overveje specielle tilfælde, hvor forholdet mellem faserne af to tilføjede svingninger er forskellige:


(4.46)
Lad os nu sammenlægge ensrettede svingninger med samme amplitude, identiske faser, men forskellige frekvenser.


(4.47)
Lad os overveje tilfældet, når frekvenserne er tæt på hinanden, dvs. w1~w2=w
Så vil vi omtrent antage, at (w1+w2)/2= w, og (w2-w1)/2 er en lille værdi. Ligningen for den resulterende oscillation vil se sådan ud:

(4.48)
Dens graf er vist i fig. 4.5 Denne svingning kaldes slag. Den forekommer med en frekvens w, men dens amplitude svinger med en stor periode.

2. Tilføjelse af to indbyrdes vinkelrette svingninger. Lad os antage, at den ene svingning sker langs x-aksen, den anden langs y-aksen. Den resulterende bevægelse er naturligvis placeret i xy-planet.
1. Lad os antage, at oscillationsfrekvenserne og -faserne er de samme, men at amplituderne er forskellige.

(4.49)
For at finde banen for den resulterende bevægelse skal du eliminere tid fra ligningerne (4.49). For at gøre dette er det nok at dividere et ligningsled for led med et andet, som et resultat af hvilket vi får

(4.50)
Ligning (4.50) viser, at i dette tilfælde fører tilføjelsen af ​​svingninger til oscillation i en lige linje, hvis hældning er bestemt af forholdet mellem amplituderne.
2. Lad faserne af de tilføjede svingninger adskille sig fra hinanden med /2 og ligningerne har formen:

(4.51)
For at finde banen for den resulterende bevægelse, ekskl. tid, skal du kvadratiske ligninger (4.51), først dividere dem i henholdsvis A1 og A2 og derefter tilføje dem. Baneligningen vil have formen:

(4.52)
Dette er ligningen for en ellipse. Det kan bevises, at for alle indledende faser og enhver amplituder af to tilføjede indbyrdes vinkelrette svingninger af samme frekvens, vil den resulterende svingning forekomme langs en ellipse. Dens orientering vil afhænge af faserne og amplituderne af de tilføjede oscillationer.
Hvis de tilføjede oscillationer har forskellige frekvenser, viser banerne for de resulterende bevægelser sig at være meget forskellige. Kun hvis oscillationsfrekvenserne i x og y er multipla af hinanden, opnås lukkede baner. Sådanne bevægelser kan klassificeres som periodiske. I dette tilfælde kaldes bevægelsesbanerne for Lissajous-figurer. Lad os overveje en af ​​Lissajous-figurerne, som opnås ved at tilføje oscillationer med frekvensforhold på 1:2, med identiske amplituder og faser i begyndelsen af ​​bevægelsen.

(4.53)
Vibrationer langs y-aksen forekommer dobbelt så ofte som langs x-aksen. Tilføjelsen af ​​sådanne svingninger vil føre til en bevægelsesbane i form af et ottetal (fig. 4.7).

8. Dæmpede svingninger og deres parametre: formindskelse og oscillationskoefficient, afslapningstid

)Periode med dæmpede svingninger:

T = (58)

På δ << ω o vibrationer adskiller sig ikke fra harmoniske: T = 2π/ ω o.

2) Amplitude af dæmpede svingninger er udtrykt ved formel (119).

3) Reduktion af dæmpning, lig med forholdet mellem to på hinanden følgende vibrationsamplituder EN(t) Og EN(t+T), karakteriserer hastigheden af ​​fald i amplitude over en periode:

= e d T (59)

4) Logaritmisk dæmpningsreduktion- naturlig logaritme af forholdet mellem amplituderne af to på hinanden følgende svingninger svarende til tidspunkter, der er forskellige med en periode

q = ln = ln e d Т =dT(60)

Den logaritmiske dæmpningsdekrement er en konstant værdi for et givet oscillerende system.

5) Afslapningstid det er sædvanligt at kalde tidsrummet ( t) hvor amplituden af ​​dæmpede svingninger falder e gange:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Fra en sammenligning af udtryk (60) og (61) får vi:

q= = , (62)

Hvor N e - antallet af svingninger udført under afslapning.

Hvis i løbet af tiden t systemet forpligter sig Ν tøven altså t = Ν . Τ og ligningen for dæmpede svingninger kan repræsenteres som:

S = Ao e -d N T cos(w t+j)= Ao e -q N cos(w t+j).

6)Kvalitetsfaktor for det oscillerende system(Q) kaldes normalt den mængde, der karakteriserer tabet af energi i systemet under oscillationsperioden:

Q= 2s , (63)

Hvor W- systemets samlede energi, ΔW- energi spredes over en periode. Jo mindre energi der spredes, jo større kvalitetsfaktor har systemet. Det viser beregninger

Q = = pN e = =. (64)

Kvalitetsfaktoren er imidlertid omvendt proportional med den logaritmiske dæmpningsreduktion. Af formel (64) følger, at kvalitetsfaktoren er proportional med antallet af svingninger N e udføres af systemet under afslapning.

7) Potentiel energi system til tidspunkt t, kan udtrykkes i form af potentiel energi W 0 ved største afvigelse:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Det er normalt konventionelt anset, at svingningerne praktisk talt er stoppet, hvis deres energi er faldet med 100 gange (amplituden er faldet med 10 gange). Herfra kan vi få et udtryk til beregning af antallet af svingninger udført af systemet:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Forcerede vibrationer. Resonans. Aperiodiske svingninger. Selvsvingninger.

For at systemet kan udføre udæmpede svingninger, er det nødvendigt at kompensere for tabet af svingningsenergi på grund af friktion udefra. For at sikre, at systemets oscillationsenergi ikke falder, indføres der normalt en kraft, der periodisk virker på systemet (vi vil kalde en sådan kraft tvinge, og oscillationerne tvinges).

DEFINITION: tvunget Disse er de svingninger, der forekommer i et oscillerende system under påvirkning af en ekstern periodisk skiftende kraft.

Denne kraft spiller normalt en dobbelt rolle:

for det første ryster det systemet og giver det en vis mængde energi;

for det andet genopbygger den periodisk energitab (energiforbrug) for at overvinde modstands- og friktionskræfterne.

Lad drivkraften ændre sig over tid i henhold til loven:

.

Lad os sammensætte en bevægelsesligning for et system, der svinger under påvirkning af en sådan kraft. Vi antager, at systemet også er påvirket af en kvasi-elastisk kraft og mediets modstandskraft (hvilket er sandt under antagelsen om små svingninger). Så vil systemets bevægelsesligning se ud:

Eller .

Efter at have foretaget substitutionerne , , – den naturlige frekvens af oscillationer af systemet, opnår vi en inhomogen lineær differentialligning 2 th bestille:

Fra teorien om differentialligninger er det kendt, at den generelle løsning af en inhomogen ligning er lig med summen af ​​den generelle løsning af en homogen ligning og en bestemt løsning af en inhomogen ligning.

Den generelle løsning af den homogene ligning er kendt:

,

Hvor ; -en 0 og -en– vilkårlig konst.

.

Ved hjælp af et vektordiagram kan du verificere, at denne antagelse er sand, og også bestemme værdierne af " -en"og" j”.

Amplituden af ​​oscillationer bestemmes af følgende udtryk:

.

Betyder " j”, som er størrelsen af ​​faseforsinkelsen af ​​den tvungne oscillation ud fra den drivkraft, der bestemte det, bestemmes også ud fra vektordiagrammet og svarer til:

.

Endelig vil en bestemt løsning til den inhomogene ligning have formen:

(8.18)

Denne funktion kombineret med

(8.19)

giver en generel løsning på en inhomogen differentialligning, der beskriver opførselen af ​​et system under forcerede oscillationer. Udtrykket (8.19) spiller en væsentlig rolle i den indledende fase af processen, under den såkaldte etablering af svingninger (fig. 8.10). Over tid, på grund af den eksponentielle faktor, falder rollen for det andet led (8.19) mere og mere, og efter tilstrækkelig tid kan det negligeres, idet kun termen (8.18) bevares i løsningen.

Funktion (8.18) beskriver således steady-state forcerede svingninger. De repræsenterer harmoniske svingninger med en frekvens svarende til frekvensen af ​​drivkraften. Amplituden af ​​tvangssvingninger er proportional med amplituden af ​​drivkraften. For et givet oscillatorisk system (defineret ved w 0 og b) afhænger amplituden af ​​frekvensen af ​​drivkraften. Tvungne svingninger halter efter drivkraften i fase, og størrelsen af ​​lag "j" afhænger også af frekvensen af ​​drivkraften.

Afhængigheden af ​​amplituden af ​​tvungne svingninger af frekvensen af ​​drivkraften fører til, at ved en bestemt frekvens bestemt for et givet system når amplituden af ​​oscillationer en maksimal værdi. Det oscillerende system viser sig at være særligt følsomt over for drivkraftens påvirkning ved denne frekvens. Dette fænomen kaldes resonans, og den tilsvarende frekvens er resonansfrekvens.

DEFINITION: fænomenet, hvor der observeres en kraftig stigning i amplituden af ​​tvungne oscillationer, kaldes resonans.

Resonansfrekvensen bestemmes ud fra den maksimale betingelse for amplituden af ​​tvungne oscillationer:

. (8.20)

Hvis vi derefter erstatter denne værdi i udtrykket for amplituden, får vi:

. (8.21)

I fravær af middel modstand ville amplituden af ​​oscillationer ved resonans vende sig til uendelig; resonansfrekvensen under de samme betingelser (b=0) falder sammen med den naturlige frekvens af svingninger.

Afhængigheden af ​​amplituden af ​​tvungne svingninger af frekvensen af ​​drivkraften (eller, hvad der er det samme, af oscillationsfrekvensen) kan repræsenteres grafisk (fig. 8.11). De individuelle kurver svarer til forskellige værdier af "b". Jo mindre "b", jo højere og til højre ligger maksimum af denne kurve (se udtrykket for w res.). Ved meget høj dæmpning observeres resonans ikke - med stigende frekvens falder amplituden af ​​tvungne svingninger monotont (nedre kurve i fig. 8.11).

Sættet af præsenterede grafer, der svarer til forskellige værdier af b, kaldes resonanskurver.

Noter vedrørende resonanskurver:

som w®0 har tendens, kommer alle kurver til den samme værdi, der ikke er nul, lig med . Denne værdi repræsenterer forskydningen fra ligevægtspositionen, som systemet modtager under påvirkning af en konstant kraft F 0 .

som w®¥ alle kurver asymptotisk tendens til nul, fordi ved høje frekvenser ændrer kraften sin retning så hurtigt, at systemet ikke når mærkbart at skifte fra sin ligevægtsposition.

jo mindre b, jo mere amplituden nærresonans ændrer sig med frekvensen, jo "skarpere" er maksimum.

Fænomenet resonans viser sig ofte at være nyttigt, især inden for akustik og radioteknik.

Selvsvingninger- udæmpede svingninger i et dissipativt dynamisk system med ikke-lineær feedback, understøttet af konstant energi, dvs. ikke-periodisk ydre påvirkning.

Selvsvingninger adskiller sig fra tvangssvingninger fordi sidstnævnte er forårsaget periodisk ydre påvirkning og opstår med hyppigheden af ​​denne påvirkning, mens forekomsten af ​​selvsvingninger og deres hyppighed bestemmes af selvsvingningssystemets indre egenskaber.

Semester selvsvingninger introduceret i russisk terminologi af A. A. Andronov i 1928.

Eksempler[

Eksempler på selvsvingninger omfatter:

· udæmpede svingninger af urpendulet på grund af den konstante virkning af tyngdekraften af ​​viklingsvægten;

violinstrengsvibrationer under påvirkning af en ensartet bevægelig bue

· forekomsten af ​​vekselstrøm i multivibratorkredsløb og andre elektroniske generatorer ved en konstant forsyningsspænding;

· svingning af luftsøjlen i orglets pibe, med en ensartet tilførsel af luft ind i den. (se også stående bølge)

· rotationsvibrationer af et urgear af messing med en stålakse ophængt i en magnet og snoet (Gamazkovs eksperiment) (hjulets kinetiske energi, som i en unipolær generator, omdannes til den potentielle energi af et elektrisk felt, den potentielle energi af det elektriske felt, som i en unipolær motor, omdannes til hjulets kinetiske energi osv.)

Maklakovs hammer

En hammer, der slår ved hjælp af vekselstrømsenergi med en frekvens, der er mange gange lavere end frekvensen af ​​strømmen i et elektrisk kredsløb.

Spolen L i det oscillerende kredsløb er placeret over bordet (eller en anden genstand, der skal rammes). Et jernrør kommer ind nedefra, hvis nederste ende er den slagende del af hammeren. Røret har en lodret spalte for at reducere Foucault-strømme. Parametrene for det oscillerende kredsløb er sådan, at den naturlige frekvens af dets svingninger falder sammen med frekvensen af ​​strømmen i kredsløbet (for eksempel vekselbystrøm, 50 hertz).

Efter at have tændt for strømmen og etableret svingninger, observeres en resonans af strømmene i kredsløbet og det eksterne kredsløb, og jernrøret trækkes ind i spolen. Spolens induktans stiger, oscillerende kredsløb går ud af resonans, og amplituden af ​​strømsvingninger i spolen falder. Derfor vender røret tilbage til sin oprindelige position - uden for spolen - under påvirkning af tyngdekraften. Så begynder strømsvingningerne inde i kredsløbet at stige, og resonans opstår igen: røret trækkes igen ind i spolen.

Røret laver selvsvingninger, det vil sige periodiske bevægelser op og ned, og samtidig banker højt i bordet, som en hammer. Perioden for disse mekaniske selvsvingninger er titusindvis længere end perioden for den vekselstrøm, der understøtter dem.

Hammeren er opkaldt efter M.I. Maklakov, en forelæsningsassistent ved Moskva Institut for Fysik og Teknologi, som foreslog og udførte et sådant eksperiment for at demonstrere selvsvingninger.

Selvsvingningsmekanisme

Fig 1. Selvsvingningsmekanisme

Selvsvingninger kan have en anden karakter: mekaniske, termiske, elektromagnetiske, kemiske. Mekanismen for forekomsten og opretholdelsen af ​​selvsvingninger i forskellige systemer kan være baseret på forskellige love i fysik eller kemi. For en nøjagtig kvantitativ beskrivelse af selvsvingninger af forskellige systemer kan der være behov for forskellige matematiske apparater. Ikke desto mindre er det muligt at forestille sig et diagram, der er fælles for alle selvoscillerende systemer, der kvalitativt beskriver denne mekanisme (fig. 1).

På diagrammet: S- kilde til konstant (ikke-periodisk) påvirkning; R- en ikke-lineær controller, der konverterer en konstant effekt til en variabel (for eksempel til en intermitterende i tid), som "svinger" oscillator V- oscillerende element(er) i systemet og oscillatoroscillationer gennem feedback B kontrollere driften af ​​regulatoren R, spørger fase Og frekvens hans handlinger. Dissipation (energidissipation) i et selvoscillerende system kompenseres af energistrømmen ind i det fra en kilde med konstant påvirkning, på grund af hvilken selvsvingningerne ikke dør ud.

Ris. 2 Diagram af skraldemekanismen til et pendulur

Hvis systemets oscillerende element er i stand til at klare sig selv dæmpede svingninger(såkaldt harmonisk dissipativ oscillator), etableres selvsvingninger (med samme dissipation og energitilførsel til systemet i perioden) med en frekvens tæt på resonans for denne oscillator bliver deres form tæt på harmonisk, og amplituden, i et bestemt værdiområde, desto større er størrelsen af ​​den konstante ydre påvirkning.

Et eksempel på denne type system er skraldemekanismen i et pendulur, hvis diagram er vist i fig. 2. På skraldehjulets aksel EN(som i dette system udfører funktionen som en ikke-lineær regulator) er der et konstant kraftmoment M, transmitteret gennem et geartog fra en hovedfjeder eller fra en vægt. Når hjulet roterer EN dens tænder giver kortvarige kraftimpulser til pendulet P(oscillator), takket være hvilken dens svingninger ikke falmer. Mekanismens kinematik spiller rollen som feedback i systemet og synkroniserer hjulets rotation med pendulets svingninger på en sådan måde, at hjulet under hele oscillationsperioden roterer gennem en vinkel svarende til en tand.

Selvsvingende systemer, der ikke indeholder harmoniske oscillatorer, kaldes lempelse. Vibrationerne i dem kan være meget forskellige fra harmoniske og har en rektangulær, trekantet eller trapezformet form. Amplituden og perioden for afslapning af selvsvingninger bestemmes af forholdet mellem størrelsen af ​​den konstante påvirkning og karakteristikaene for inerti og dissipation af systemet.

Ris. 3 Elektrisk klokke

Det enkleste eksempel på afslapningsselvsvingninger er betjeningen af ​​en elektrisk klokke, vist i fig. 3. Kilden til konstant (ikke-periodisk) eksponering her er et elektrisk batteri U; Rollen som en ikke-lineær regulator udføres af en chopper T, lukning og åbning af et elektrisk kredsløb, som et resultat af hvilket en intermitterende strøm vises i det; oscillerende elementer er et magnetfelt, der periodisk induceres i kernen af ​​en elektromagnet E, og anker EN, der bevæger sig under påvirkning af et vekslende magnetfelt. Armaturets svingninger aktiverer afbryderen, som danner feedback.

Inertien af ​​dette system bestemmes af to forskellige fysiske størrelser: inertimomentet for ankeret EN og induktans af elektromagnetviklingen E. En stigning i nogen af ​​disse parametre fører til en stigning i perioden med selvsvingninger.

Hvis der er flere elementer i systemet, som svinger uafhængigt af hinanden og samtidig påvirker en eller flere ikke-lineære regulatorer (som der også kan være flere af), kan selvsvingninger få en mere kompleks karakter, f.eks. aperiodisk, eller dynamisk kaos.

I natur og teknologi

Selvsvingninger ligger til grund for mange naturfænomener:

· vibrationer af planteblade under påvirkning af en ensartet luftstrøm;

· dannelse af turbulente strømme på flodspalter og strømfald;

· handling af almindelige gejsere mv.

Driftsprincippet for et stort antal forskellige tekniske enheder og enheder er baseret på selvsvingninger, herunder:

· drift af alle slags ure, både mekaniske og elektriske;

· lyden af ​​alle blæse- og strengemusikinstrumenter;

©2015-2019 websted
Alle rettigheder tilhører deres forfattere. Dette websted gør ikke krav på forfatterskab, men giver gratis brug.
Sidens oprettelsesdato: 2017-04-04

Oscillerende bevægelse- periodisk eller næsten periodisk bevægelse af et legeme, hvis koordinater, hastighed og acceleration med lige store tidsintervaller antager omtrent samme værdier.

Mekaniske vibrationer opstår, når der, når et legeme fjernes fra en ligevægtsposition, opstår en kraft, der har en tendens til at returnere kroppen tilbage.

Forskydning x er kroppens afvigelse fra ligevægtspositionen.

Amplitude A er modulet for den maksimale forskydning af kroppen.

Oscillationsperiode T - tid for en svingning:

Oscillationsfrekvens

Antallet af svingninger udført af et legeme pr. tidsenhed: Under svingninger ændres hastigheden og accelerationen periodisk. I ligevægtspositionen er hastigheden maksimal, og accelerationen er nul. Ved punkterne med maksimal forskydning når accelerationen et maksimum, og hastigheden bliver nul.

HARMONISK VIBRATIONSSKEMA

Harmonisk vibrationer, der opstår i henhold til sinus- eller cosinusloven, kaldes:

hvor x(t) er forskydningen af ​​systemet på tidspunktet t, A er amplituden, ω er den cykliske frekvens af svingninger.

Hvis du plotter kroppens afvigelse fra ligevægtspositionen langs den lodrette akse og tiden langs den vandrette akse, vil du få en graf over oscillationen x = x(t) - afhængigheden af ​​kroppens forskydning af tid. For frie harmoniske svingninger er det en sinusbølge eller cosinusbølge. Figuren viser grafer over afhængigheden af ​​forskydning x, projektioner af hastighed V x og acceleration a x på tid.

Som det kan ses af graferne, er hastigheden V for det oscillerende legeme ved maksimal forskydning x nul, accelerationen a, og derfor kraften, der virker på kroppen, er maksimal og rettet modsat forskydningen. I ligevægtspositionen bliver forskydningen og accelerationen nul, og hastigheden er maksimal. Accelerationsprojektionen har altid det modsatte fortegn til forskydningen.

ENERGI AF VIBRATIONSBEVÆGELSE

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er lig med summen af ​​dets kinetiske og potentielle energier og forbliver konstant i fravær af friktion:

I det øjeblik, hvor forskydningen når et maksimum x = A, går hastigheden og dermed den kinetiske energi til nul.

I dette tilfælde er den samlede energi lig med den potentielle energi:

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er proportional med kvadratet på amplituden af ​​dets svingninger.

Når systemet passerer ligevægtspositionen, er forskydningen og den potentielle energi nul: x = 0, E p = 0. Derfor er den samlede energi lig med den kinetiske energi:

Den samlede mekaniske energi af et oscillerende legeme er proportional med kvadratet på dets hastighed i ligevægtspositionen. Derfor:

MATEMATISK PENDUL

1. Matematik pendul er en materialespids ophængt på en vægtløs uudvidelig tråd.

I ligevægtspositionen kompenseres tyngdekraften af ​​trådens spænding. Hvis pendulet afbøjes og udløses, vil kræfterne ophøre med at kompensere hinanden, og en resulterende kraft vil opstå rettet mod ligevægtspositionen. Newtons anden lov:

For små svingninger, når forskydningen x er meget mindre end l, vil materialepunktet bevæge sig næsten langs den vandrette x-akse. Så fra trekanten MAB får vi:

Fordi sin a = x/l, så er projektionen af ​​den resulterende kraft R på x-aksen lig med

Minustegnet viser, at kraften R altid er rettet mod forskydningen x.

2. Så under svingninger af et matematisk pendul, såvel som under svingninger af et fjederpendul, er gendannelseskraften proportional med forskydningen og er rettet i den modsatte retning.

Lad os sammenligne udtrykkene for genoprettelseskraften af ​​matematiske og fjederpenduler:

Det kan ses, at mg/l er en analog til k. Udskiftning af k med mg/l i formlen for perioden for et fjederpendul

vi får formlen for perioden for et matematisk pendul:

Perioden med små svingninger af et matematisk pendul afhænger ikke af amplituden.

Et matematisk pendul bruges til at måle tid og bestemme tyngdeaccelerationen på et givet sted på jordens overflade.

Frie svingninger af et matematisk pendul ved små afbøjningsvinkler er harmoniske. De opstår på grund af den resulterende tyngdekraft og trådens spændingskraft samt belastningens inerti. Resultatet af disse kræfter er den genoprettende kraft.

Eksempel. Bestem tyngdeaccelerationen på en planet, hvor et pendul på 6,25 m har en fri svingningsperiode på 3,14 s.

Svingningsperioden for et matematisk pendul afhænger af længden af ​​tråden og tyngdeaccelerationen:

Ved at kvadrere begge sider af ligheden får vi:

Svar: tyngdeaccelerationen er 25 m/s 2 .

Problemer og test om emnet "Emne 4. "Mekanik. Oscillationer og bølger."

• Tværgående og langsgående bølger. Bølgelængde

  Lektioner: 3 opgaver: 9 prøver: 1

• Lydbølger. Lydhastighed - Mekaniske vibrationer og bølger. Lyd 9. klasse

Vi undersøgte flere fysisk helt forskellige systemer og sikrede os, at bevægelsesligningerne er reduceret til samme form

Forskelle mellem fysiske systemer optræder kun i forskellige definitioner af mængden og i forskellige fysiske betydninger af variablen x: dette kan være en koordinat, vinkel, ladning, strøm osv. Bemærk, at i dette tilfælde, som det følger af selve opbygningen af ​​ligning (1.18), har størrelsen altid dimensionen invers tid.

Ligning (1.18) beskriver den såkaldte harmoniske vibrationer.

Den harmoniske vibrationsligning (1.18) er en andenordens lineær differentialligning (da den indeholder den anden afledede af variablen x). Det betyder lineariteten af ​​ligningen

hvis en eller anden funktion x(t) er en løsning på denne ligning, så funktionen Cx(t) vil også være hans løsning ( C– vilkårlig konstant);

hvis funktioner x 1(t) Og x 2(t) er løsninger til denne ligning, så deres sum x 1 (t) + x 2 (t) vil også være en løsning på samme ligning.

Der er også bevist en matematisk sætning, ifølge hvilken en andenordens ligning har to uafhængige løsninger. Alle andre løsninger, i henhold til egenskaberne ved linearitet, kan opnås som deres lineære kombinationer. Det er let at verificere ved direkte differentiering, at de uafhængige fungerer og opfylder ligning (1.18). Det betyder, at den generelle løsning til denne ligning har formen:

Hvor C 1,C 2- vilkårlige konstanter. Denne løsning kan præsenteres i en anden form. Lad os indtaste værdien

og bestem vinklen ved relationerne:

Så skrives den generelle løsning (1.19) som

Ifølge trigonometriformler er udtrykket i parentes lig med

Vi kommer endelig til generel løsning af den harmoniske vibrationsligning som:

Ikke-negativ værdi EN hedder vibrations amplitude, - indledende fase af oscillation. Hele cosinusargumentet - kombinationen - kaldes svingningsfase.

Udtryk (1.19) og (1.23) er fuldstændig ækvivalente, så vi kan bruge et hvilket som helst af dem ud fra overvejelser om enkelhed. Begge løsninger er periodiske funktioner af tid. Faktisk er sinus og cosinus periodiske med en periode . Derfor gentages forskellige tilstande af et system, der udfører harmoniske svingninger, efter et stykke tid t*, hvorunder oscillationsfasen modtager en stigning, der er et multiplum af :

Den følger det

Mindst af disse tider

hedder svingningsperiode (Fig. 1.8), og - hans cirkulær (cyklisk) frekvens.

Ris. 1.8.

De bruger også frekvens udsving

Følgelig er den cirkulære frekvens lig med antallet af svingninger pr sekunder

Så hvis systemet på tidspunktet t karakteriseret ved værdien af ​​variablen x(t), så vil variablen have samme værdi efter en periode (fig. 1.9), dvs

Den samme betydning vil naturligvis blive gentaget over tid 2T, ZT etc.

Ris. 1.9. Oscillationsperiode

Den generelle løsning inkluderer to vilkårlige konstanter ( C1, C2 eller EN, -en), hvis værdier skal bestemmes af to begyndelsesbetingelser. Normalt (men ikke nødvendigvis) spilles deres rolle af variabelens begyndelsesværdier x(0) og dets afledte.

Lad os give et eksempel. Lad løsningen (1.19) af ligningen for harmoniske svingninger beskrive bevægelsen af ​​et fjederpendul. Værdierne af vilkårlige konstanter afhænger af den måde, hvorpå vi bragte pendulet ud af ligevægt. For eksempel trak vi fjederen på afstand og slap bolden uden starthastighed. I dette tilfælde

Erstatning t = 0 i (1.19) finder vi værdien af ​​konstanten C 2

Løsningen ser således ud:

Vi finder hastigheden af ​​lasten ved differentiering i forhold til tid

Erstatter her t = 0, find konstanten C 1:

Endelig

Sammenligner vi med (1.23), finder vi det er amplituden af ​​oscillationerne, og dens indledende fase er nul:.

Lad os nu ubalancere pendulet på en anden måde. Lad os ramme belastningen, så den opnår en begyndelseshastighed, men praktisk talt ikke bevæger sig under sammenstødet. Så har vi andre startbetingelser:

vores løsning ser ud

Lastens hastighed vil ændre sig i henhold til loven:

Lad os erstatte her:

Enhver periodisk gentagne bevægelse kaldes oscillerende. Derfor er afhængighederne af koordinaterne og hastigheden af ​​en krop til tiden under svingninger beskrevet af periodiske funktioner af tid. I skolens fysikkursus overvejes vibrationer, hvor kroppens afhængigheder og hastigheder er trigonometriske funktioner , eller en kombination heraf, hvor er et vist tal. Sådanne svingninger kaldes harmoniske (funktioner Og ofte kaldet harmoniske funktioner). For at løse problemer med svingninger, der er inkluderet i programmet for unified state-eksamen i fysik, skal du kende definitionerne af de vigtigste egenskaber ved oscillerende bevægelse: amplitude, periode, frekvens, cirkulær (eller cyklisk) frekvens og fase af oscillationer. Lad os give disse definitioner og forbinde de anførte mængder med parametrene for kroppens koordinaters afhængighed til tiden, som i tilfælde af harmoniske svingninger altid kan repræsenteres i formen

hvor , og er nogle tal.

Amplituden af ​​oscillationer er den maksimale afvigelse af et oscillerende legeme fra dets ligevægtsposition. Da de maksimale og minimale værdier af cosinus i (11.1) er lig med ±1, er amplituden af ​​oscillation af kroppens oscillerende (11.1) lig med . Oscillationsperioden er den minimale tid, hvorefter en krops bevægelse gentages. For afhængighed (11.1) kan perioden fastsættes ud fra følgende betragtninger. Cosinus er en periodisk funktion med periode. Derfor gentages bevægelsen fuldstændig gennem en sådan værdi, at . Herfra får vi

Den cirkulære (eller cykliske) frekvens af oscillationer er antallet af svingninger udført pr. tidsenhed. Ud fra formel (11.3) konkluderer vi, at den cirkulære frekvens er størrelsen fra formel (11.1).

Oscillationsfasen er argumentet for en trigonometrisk funktion, der beskriver koordinatens afhængighed af tid. Af formel (11.1) ser vi, at kroppens svingningers fase, hvis bevægelse er beskrevet ved afhængighed (11.1), er lig med . Værdien af ​​oscillationsfasen på tidspunktet = 0 kaldes den indledende fase. For afhængighed (11.1) er den indledende fase af oscillationer lig med . Den indledende fase af oscillationer afhænger naturligvis af valget af tidsreferencepunktet (moment = 0), som altid er betinget. Ved at ændre tidens oprindelse kan den indledende fase af svingninger altid "gøres" lig med nul, og sinusen i formlen (11.1) kan "vendes" til en cosinus eller omvendt.

Programmet for den unified state-eksamen inkluderer også viden om formler for frekvensen af ​​svingninger af fjeder og matematiske penduler. Et fjederpendul kaldes normalt et legeme, der kan svinge på en glat vandret overflade under påvirkning af en fjeder, hvis anden ende er fastgjort (venstre figur). Et matematisk pendul er en massiv krop, hvis dimensioner kan forsømmes, svingende på en lang, vægtløs og uudvidelig tråd (højre figur). Navnet på dette system - "matematisk pendul" - skyldes det faktum, at det repræsenterer et abstrakt matematisk model af ægte ( fysisk) pendul. Det er nødvendigt at huske formlerne for perioden (eller frekvensen) af svingninger af fjeder og matematiske penduler. Til et fjederpendul

hvor er længden af ​​tråden, er tyngdeaccelerationen. Lad os overveje anvendelsen af ​​disse definitioner og love ved at bruge eksemplet med problemløsning.

For at finde den cykliske frekvens af svingninger af belastningen i opgave 11.1.1 Lad os først finde oscillationsperioden og derefter bruge formlen (11.2). Da 10 m 28 s er 628 s, og i løbet af denne tid svinger belastningen 100 gange, er belastningens svingningsperiode 6,28 s. Derfor er den cykliske frekvens af oscillationer 1 s -1 (svar 2 ). I problem 11.1.2 belastningen lavede 60 svingninger på 600 s, så oscillationsfrekvensen er 0,1 s -1 (svar 1 ).

For at forstå, hvor langt lasten vil rejse på 2,5 perioder ( problem 11.1.3), lad os følge hans bevægelse. Efter en periode vil belastningen vende tilbage til punktet med maksimal afbøjning, hvilket afslutter en komplet svingning. Derfor vil belastningen i løbet af denne tid rejse en afstand svarende til fire amplituder: til ligevægtspositionen - en amplitude, fra ligevægtspositionen til punktet med maksimal afvigelse i den anden retning - den anden tilbage til ligevægtspositionen - den tredje, fra ligevægtspositionen til udgangspunktet - den fjerde. I løbet af den anden periode vil belastningen igen passere fire amplituder, og i den resterende halvdel af perioden - to amplituder. Derfor er den tilbagelagte afstand lig med ti amplituder (svar 4 ).

Kroppens bevægelsesmængde er afstanden fra startpunktet til slutpunktet. Over 2,5 perioder i opgave 11.1.4 kroppen vil nå at gennemføre to hele og en halv hel svingning, dvs. vil være ved den maksimale afvigelse, men på den anden side af ligevægtspositionen. Derfor er størrelsen af ​​forskydningen lig med to amplituder (svar 3 ).

Per definition er oscillationsfasen argumentet for en trigonometrisk funktion, der beskriver afhængigheden af ​​et oscillerende legemes koordinater på tid. Derfor er det rigtige svar problem 11.1.5 - 3 .

En periode er tidspunktet for fuldstændig oscillation. Det betyder, at et legemes tilbagevenden til det samme punkt, hvorfra kroppen begyndte at bevæge sig, ikke betyder, at der er gået en periode: Kroppen skal vende tilbage til det samme punkt med samme hastighed. For eksempel vil et legeme, der har startet svingninger fra en ligevægtsposition, have tid til at afvige maksimalt i den ene retning, vende tilbage, afvige med et maksimum i den anden retning og vende tilbage igen. Derfor vil kroppen i løbet af perioden have tid til at afvige med den maksimale mængde fra ligevægtspositionen to gange og vende tilbage. Følgelig vil passagen fra ligevægtspositionen til punktet med maksimal afvigelse ( problem 11.1.6) kroppen bruger en fjerdedel af perioden (svar 3 ).

Harmoniske svingninger er dem, hvor afhængigheden af ​​det oscillerende legemes koordinater af tid er beskrevet af en trigonometrisk (sinus eller cosinus) funktion af tiden. I opgave 11.1.7 disse er funktionerne, og på trods af at parametrene i dem er betegnet som 2 og 2. Funktionen er en trigonometrisk funktion af kvadratet af tid. Derfor er kun vibrationer af mængder og harmoniske (svar 4 ).

Under harmoniske vibrationer ændres kroppens hastighed efter loven , hvor er amplituden af ​​hastighedsoscillationerne (tidsreferencepunktet er valgt således, at den indledende fase af svingningerne er lig nul). Herfra finder vi afhængigheden af ​​kroppens kinetiske energi til tiden
(problem 11.1.8). Ved at bruge yderligere den velkendte trigonometriske formel opnår vi

Af denne formel følger det, at et legemes kinetiske energi ændres under harmoniske svingninger også i henhold til den harmoniske lov, men med dobbelt frekvens (svar 2 ).

Bag forholdet mellem belastningens kinetiske energi og fjederens potentielle energi ( problem 11.1.9) er let at følge ud fra følgende betragtninger. Når kroppen afbøjes med den maksimale mængde fra ligevægtspositionen, er kroppens hastighed nul, og derfor er fjederens potentielle energi større end belastningens kinetiske energi. Tværtimod, når kroppen passerer gennem ligevægtspositionen, er fjederens potentielle energi nul, og derfor er den kinetiske energi større end den potentielle energi. Derfor sammenlignes den kinetiske og potentielle energi en gang mellem passagen af ​​ligevægtspositionen og den maksimale afbøjning. Og da kroppen i løbet af en periode går fire gange fra ligevægtspositionen til den maksimale afbøjning eller tilbage, så sammenlignes den kinetiske energi af belastningen og fjederens potentielle energi med hinanden fire gange i perioden (svar 2 ).

Amplitude af hastighedsudsving ( opgave 11.1.10) er nemmest at finde ved hjælp af loven om energibevarelse. Ved punktet for maksimal afbøjning er energien i det oscillerende system lig med fjederens potentielle energi , hvor er fjederstivhedskoefficienten, er vibrationsamplituden. Når man passerer gennem ligevægtspositionen, er kroppens energi lig med den kinetiske energi , hvor er kroppens masse, er kroppens hastighed, når den passerer gennem ligevægtspositionen, som er kroppens maksimale hastighed under oscillationsprocessen og derfor repræsenterer amplituden af ​​hastighedsoscillationerne. At sidestille disse energier, finder vi

(svar 4 ).

Ud fra formel (11.5) konkluderer vi ( problem 11.2.2), at dens periode ikke afhænger af massen af ​​et matematisk pendul, og med en stigning i længden med 4 gange øges svingningsperioden med 2 gange (svar 1 ).

Et ur er en oscillerende proces, der bruges til at måle tidsintervaller ( problem 11.2.3). Ordene "ur har travlt" betyder, at varigheden af ​​denne proces er mindre, end den burde være. For at afklare disse ures fremskridt er det derfor nødvendigt at øge processens periode. Ifølge formel (11.5), for at øge svingningsperioden for et matematisk pendul, er det nødvendigt at øge dets længde (svar 3 ).

For at finde amplituden af ​​oscillationer i problem 11.2.4, er det nødvendigt at repræsentere kroppens koordinaters afhængighed af tid i form af en enkelt trigonometrisk funktion. For den funktion, der er givet i betingelsen, kan dette gøres ved at indføre en ekstra vinkel. Multiplicere og dividere denne funktion med og ved at bruge formlen til at tilføje trigonometriske funktioner får vi

hvor er vinklen sådan at . Af denne formel følger det, at amplituden af ​​kropssvingninger er (svar 4 ).