Escher-vesiputous tee-se-itse piirustuksia. Maurits Escher - Optisten illuusioiden mestari

Koti / Psykologia

Maurits Escher on erinomainen hollantilainen graafikko, joka tunnetaan työstään ympäri maailmaa. Keskustassa, vuonna 2002 avatussa museossa, joka on nimetty hänen mukaansa "Escher in het Paleis", on pysyvä näyttely 130 mestarin teosta. Sanoisitko, että grafiikka on tylsää? Ehkä ... ehkä tämä voidaan sanoa graafikoiden työstä, mutta ei Escheristä. Taiteilija tunnetaan epätavallisesta maailmannäkemyksestään ja leikkimisestä tilan logiikan kanssa.

Escherin upeat tulosteet voidaan pitää kirjaimellisesti graafinen kuva suhteellisuusteoria. Teoksia kuvaavat mahdottomia lukuja ja reinkarnaatiot ovat kirjaimellisesti lumoavia, ne eivät ole kuin mikään muu.

Maurits Escher oli todellinen pulmien mestari, ja hänen optiset illuusionsa paljastavat jotain, mitä ei todellisuudessa ole olemassa. Hänen maalauksissaan kaikki muuttuu, virtaa sujuvasti muodosta toiseen, portailla ei ole alkua ja loppua, ja vesi virtaa ylöspäin. Joku huudahtaa - näin ei voi olla! Katso itse.
Kuuluisa maalaus "Päivä ja yö"

"Nouseva ja laskeva", jossa ihmiset menevät portaita ylös koko ajan ... vai alas?

"Matelijat" - täällä piirretyistä alligaattorit muuttuvat tilavuuksiksi ...

"Piirtokädet" - joihin kaksi kättä piirtävät toisiaan.

"Kokous"

"Käsi, jossa on heijastava pallo"

Museon päähelmi on Escherin 7-metrinen teos ”Metamorfoosit”. Tämä kaiverrus antaa sinun kokea ikuisuuden ja äärettömän yhteyden, jossa aika ja tila yhdistyvät yhdeksi kokonaisuudeksi.

Museo, joka sijaitsee entisessä Talvipalatsi Kuningatar Emma - nykyisen hallitsevan kuningatar Beatrixin isoäiti. Emma osti palatsin vuonna 1896 ja asui siellä kuolemaansa asti, toukokuussa 1934. Museon kahdessa salissa, joita kutsutaan "kuninkaallisiksi huoneiksi", on säilytetty huonekaluja ja valokuvia kuningatar Emmasta, ja verhoissa - tietoa tuon ajan palatsin sisustuksesta.

Museon ylimmässä kerroksessa on interaktiivinen näyttely "Katso kuinka Escher". Tämä on todellista Maaginen maailma illuusioita. Taikapallossa maailmat ilmestyvät ja katoavat, seinät liikkuvat ja muuttuvat, ja lapset näyttävät vanhempiaan pitemmiltä. Hieman kauempana on epätavallinen lattia, joka putoaa optisesti jokaisen askelman alta ja hopeapallossa näet itsesi Escherin silmin.

Kaarevat valkoiset viivat, jotka ylittävät, jakavat toisensa osiin; jokainen on yhtä suuri kuin kalan pituus, äärettömän pienestä suurimpaan ja jälleen suurimmasta äärettömän pieneen. Jokainen rivi on yksivärinen. Täytyy käyttää vähintään neljä väriä saavuttaaksesi näiden sarjojen sävykontrastit. Tekniseltä kannalta katsottuna tarvitaan viisi lankkua: yksi mustille elementeille ja neljä värillisille elementeille. Ympyrän täyttämiseksi jokaista suorakulmaisen ympyrän muotoista lankkua tulee vetää neljä kertaa. joten valmis tuloste vaatisi 4x5 = 20 näyttökertaa. Tässä on yksi kahdesta "ei-euklidisen" avaruuden tyypistä, jonka kuvailee ranskalainen matemaatikko Poincaré. Ymmärtääksesi tämän tilan erityispiirteet, kuvittele olevasi itse kuvan sisällä. Kun siirryt ympyrän keskustasta sen reunalle, kasvusi hidastuu samalla tavalla kuin tämän kuvan kalat. Näin ollen polku, joka sinun on mentävä ympyrän rajalle, näyttää sinusta loputtomalta. Itse asiassa, kun olet sellaisessa tilassa, et ensi silmäyksellä huomaa siinä mitään epätavallista verrattuna tavalliseen euklidiseen avaruuteen. Esimerkiksi päästäksesi euklidisen avaruuden rajoihin, sinun on myös kuljettava loputon polku. Kuitenkin, jos katsot tarkasti, huomaat joitain eroja, esimerkiksi kaikilla sellaisilla kolmioilla on tässä tilassa saman kokoinen, etkä voi piirtää sinne muotoja, joissa on neljä oikeaa kulmaa, jotka on yhdistetty suorilla viivoilla.

Maurits Cornelis Escher, hollantilainen graafikko

Escher Maurits Cornelis(Maurits Cornelis Escher) (17. kesäkuuta 1898, Leeuwarden, Alankomaat - 27. maaliskuuta 1972, Hilversum, Alankomaat) hollantilainen graafikko, teki kuvituksia kirjoille, postimerkkejä ja freskoja, suunniteltuja kuvakudoksia. Hänet tunnetaan ensisijaisesti käsitteellisistä litografioistaan, puupiirroksistaan ja metallikaiverruksistaan, joissa hän tutki mestarillisesti äärettömyyden ja symmetrian käsitteiden plastisia puolia sekä monimutkaisten kolmiulotteisten esineiden psykologisen havainnoinnin erityispiirteitä. valoisa edustaja imp-art. Escher valitsi aivan tarkoituksella kaivertajan uran, ei maalarin (öljymaalarin). Hänen työnsä tutkijan Hans Laucherin mukaan Escheriä houkutteli mahdollisuus saada erilaisia vedoksia, jotka tarjosivat graafiset tekniikat, koska hän oli jo varhainen ikä kiinnostunut kuvien toistamisen mahdollisuudesta. Yksi Escherin työn merkittävimmistä piirteistä on "metamorfoosien" kuvaus, joka esiintyy monissa teoksissa eri muodoissa. Taiteilija tutkii yksityiskohtaisesti asteittaista siirtymistä yhdestä geometrinen muoto toiselle pienten muodonmuutosten kautta. Lisäksi Escher maalasi toistuvasti muodonmuutoksia, joita esiintyy elävien olentojen kanssa (linnut muuttuvat kaloiksi jne.) ja jopa "eläviksi" elottomia esineitä metamorfoosien aikana muuttaen ne eläviksi olennoiksi. Escher tuotti 448 litografiaa, grafiikkaa ja puupiirroksia sekä yli 2000 piirustusta ja luonnosta. Hänen työnsä tekee edelleen vaikutuksen ja hämmästyttää miljoonia ihmisiä ympäri maailmaa. V viime vuodet Escherin elämä heikentää terveyttä ja hän ei käytännössä tee työtä. Hänelle tehdään useita leikkauksia ja lopulta hän kuolee sairaalassa suolistosyöpään. Escher jätti jälkeensä upeat litografiansa, maalauksensa, piirustuksensa ja kolme poikaansa.

Tärkeimmät päivämäärät

1898 - Moritz Cornelis Escher syntyi 17. kesäkuuta Liverdenissä (Alankomaat), nuorempi poika hydrauliinsinööri G.A. Escherin ja Sarah Glichmanin perheessä.
1903 - Perhe muuttaa Arnhemiin.
1912–1918 - Ansaitsee lukion ja epäonnistuu loppukokeissa.
1919 - Isänsä pyynnöstä Escher alkaa opiskella arkkitehtuuria Haarlemissa, mutta muutaman kuukauden kuluttua hän siirtyy graafisen suunnittelun luokkaan Jeseran de Mesquitan johdolla.
1921 - Ensimmäinen matka Italiaan. Ensimmäinen julkaisu lehdessä teoksen "Pääsiäiskukat" (puupiirros)
1922 - Päättää taidekoulun ja matkustaa Keski-Italiaan; tekee paljon luonnoksia. Syyskuussa hän vierailee Alhambrassa Espanjassa pitäen sitä mielenkiintoisimpana, erityisesti sen valtavia mosaiikkeja, joissa on "kolossaalista monimutkaisuutta ja matemaattis-taiteellista merkitystä".
1923 - Matka Italiaan; tapaa hänen tuleva vaimo Jetta Umiker. Ammentaa elämästä, hänen ensimmäinen näyttelynsä Sienassa.
1924 - Ensimmäinen näyttely Haagissa, Alankomaissa. 12. kesäkuuta hän meni naimisiin Jettan kanssa Viareggiossa; muuttaa Roomaan.
1926 - Hyvin onnistunut näyttely toukokuuta Roomassa. Myöhemmin Escherillä on pysyvä näyttely Hollannissa ja pääasiassa positiivisia arvosteluja... Kesäkuun 23. päivänä Escherin perheeseen syntyy heidän ensimmäinen poikansa Georg. Seuraavina vuosina Moritz Escher matkustaa jatkuvasti (esimerkiksi Tunisiaan), myös jalkaisin Arbuzissa; tekee monia maisema- ja arkkitehtonisia luonnoksia.
1928 - Poika Arthur syntyi 8. joulukuuta.
1929 - Ensimmäinen litografia "Näkymä Goriano Sicolista", Arbuzzi
1931 - Ensimmäinen puupiirros, mutta pohjimmiltaan puinen matriisi kutsujen painamiseen Haagin näyttelyyn. Escheristä tulee Graafisten taiteilijoiden liiton jäsen, hieman myöhemmin - Pulchi-studion jäsen. Häntä arvostetaan suuresti "kärsivällisenä, rauhallisena, kylmänä piirtäjänä", ja hänen töitään arvostellaan "liiallisesta älykkyydestään".
1932 - Hänen puupiirroksensa painetaan almanakkaan XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden.
1933 - The Horrible Adventures of Scholasticism julkaistaan Escherin esittämien puupiirrosten kera.
1934 - Hänen työnsä Chicagon nykyaikaisen grafiikan Centenary of Progress -näyttelyssä saa vain myönteisiä arvosteluja.
1935 - sortopolitiikka fasistinen Italia pakottaa Escherin muuttamaan Sveitsiin.
1936 - Matka Espanjaan, jossa hän harjoitti jälleen aktiivisesti maurilaisten laattojen koristelua (Alhambra). Niiden uudelleenpiirtäminen inspiroi Escheriä luomaan maalauksia, joissa hän käyttää oikeaa jaksollista tasojen jakoa.
1938 - Toinen poika Yang syntyi 6. maaliskuuta. Ja Escher keskittyy "sisäisiin kuviin" ja hylkää melkein kokonaan piirtämisen luonnosta.
1939 - Isänsä kuoli 96-vuotiaana.
1940 - "M.C. Escher en zijn experimenten" julkaistaan. Hänen äitinsä kuolee.
1941 - Escherin perhe palaa kotimaahansa Hollantiin, Baarniin (Burn)
1948 Escher alkaa luennoi työstään mielenosoituksen ohella.
1954 - Suuri Escher-näyttely suuren matematiikan kongressin yhteydessä. Sen jälkeen - näyttely Washingtonissa.
1955 - 30. huhtikuuta saa suuren kuninkaallisen palkinnon.
1958 - "Regelmatige vlakverdeling" (Koneiden oikea jako) julkaistaan.
1959 - "Grafik en Tekeningen" (Grafiikkateokset) julkaistaan
1960 - Näyttely ja luento Crystallographic Congressissa Cambridgessa, Massachusettsissa
1962 - Ensiapuleikkaus ja pidennetty sairaalahoito.
1964 - Lähtee Kanadaan toiseen leikkaukseen.
1965 - Hilversumin taidepalkinto. "Symmetry Aspect" on painettu.
1967 - Toinen kuninkaallinen palkinto.
1968 - Valtava 70-vuotispäivän retrospektiivi Haagissa. Vuoden lopussa Jetta palaa Sveitsiin.
1969 - Heinäkuussa Escher luo viimeisen puupiirrosnsa, Snakes.
1970 - Leikkaus ja jälleen pitkä sairaalahoito. Escher muuttaa Rosa-Spier-Foundation Laareniin taiteilijoiden vanhainkotiin.
1971 – De werelden van M.C. Escher julkaistaan.
1972 – M.S. Escher kuoli Hilversumin luterilaisessa sairaalassa.

Vesiputous. Litografia. 38 × 30 cm K: Litografioita vuodelta 1961

Tässä Escherin teoksessa kuvataan paradoksi - vesiputouksen putoava vesi ajaa pyörää, joka ohjaa veden vesiputouksen huipulle. Vesiputouksella on "mahdottoman" Penrosen kolmion rakenne: litografia luotiin British Journal of Psychology -lehdessä julkaistun artikkelin perusteella.

Rakenne koostuu kolmesta poikkipalkista, jotka on asetettu suorassa kulmassa päällekkäin. Litografian vesiputous toimii kuin ikuinen liikekone. Katseliikkeestä riippuen näyttää vuorotellen, että molemmat tornit ovat samat ja että oikeanpuoleinen torni on kerrosta alempana kuin vasen torni.

Kirjoita arvio artikkelista "Vesiputous (litografia)"

Huomautuksia (muokkaa)

Linkit

Virallinen sivusto: (englanniksi)

Ote vesiputouksesta (litografia)

- Ei ole yhtään; annetaan taistelukäskyjä.
Prinssi Andrew meni ovelle, jonka takaa kuului ääniä. Mutta kun hän oli avaamassa ovea, äänet huoneessa vaikenivat, ovi avautui itsestään, ja Kutuzov, kiiltävä nenä pulleilla kasvoillaan, ilmestyi kynnykselle.
Prinssi Andrei seisoi suoraan Kutuzovia vastapäätä; mutta ylipäällikön ainoan näkevän silmän ilmeestä oli ilmeistä, että ajatukset ja huoli valtasivat hänet niin voimakkaasti, että se näytti hämärtävän hänen näkemyksensä. Hän katsoi suoraan adjutanttinsa kasvoihin eikä tunnistanut häntä.
- No, oletko lopettanut? - hän kääntyi Kozlovskyn puoleen.
"Tämä toinen, teidän ylhäisyytenne.
Bagration, matala, kanssa itämainen tyyppi kovat ja liikkumattomat kasvot, kuivat, ei vielä vanha mies, meni ulos ylipäällikkö.
"Minulla on kunnia esiintyä", toisti prinssi Andrey melko äänekkäästi ojentaen kirjekuoren.
- Ai, Wienistä? Hyvä. Jälkeen, jälkeen!
Kutuzov meni ulos Bagrationin kanssa kuistille.
"No, prinssi, hyvästi", hän sanoi Bagrationille. - Kristus on kanssasi. Siunaan sinua hienosta suorituksesta.
Kutuzovin kasvot pehmenivät yhtäkkiä ja kyyneleet ilmestyivät hänen silmiinsä. Hän veti Bagrationin puoleensa vasemmalla kädellä ja oikealla kädellä, jossa oli sormus, ilmeisesti tavallisella eleellä hän ristisi hänet ja tarjosi hänelle pullea poskea, jonka sijaan Bagration suuteli häntä niskaan.

Moritz Escherin matemaattinen taide 28. helmikuuta 2014

Alkuperäinen otettu imit_omsu Moritz Escherin matemaattisessa taiteessa

”Matemaatikot avasivat oven toiseen maailmaan, mutta he eivät itse uskaltaneet astua tähän maailmaan. Heitä kiinnostaa enemmän polku, jolla ovi seisoo, kuin puutarha sen takana."
(M.C. Escher)

Litografia "Käsi peilipallo", omakuva.

Maurits Cornelius Escher on hollantilainen graafikko, jonka jokainen matemaatikko tuntee.
Escherin teosten juoneille on ominaista loogisten ja plastisten paradoksien nokkela ymmärtäminen.
Hänet tunnetaan ennen kaikkea teoksista, joissa hän käytti erilaisia matemaattisia käsitteitä - rajasta ja Mobius-nauhasta Lobatševskin geometriaan.

Puupiirros "Punaiset muurahaiset".

Maurits Escher ei saanut erityistä matemaattista koulutusta. Mutta heti alusta luova ura kiinnostunut avaruuden ominaisuuksista, tutki sen odottamattomia puolia.

"Yhteisyyden siteet".

Escher harrasti usein 2-D- ja 3-D-maailmojen yhdistelmiä.

Litografia "Piirrä kädet".

Litografia "Matelijat".

Laatoitukset.

Laatoitus on tason jakamista identtisiksi kuvioiksi. Tällaisten väliseinien tutkimiseen käytetään perinteisesti symmetriaryhmän käsitettä. Kuvittele taso, johon on piirretty laatoitus. Tasoa voidaan pyörittää mielivaltaisen akselin ympäri ja siirtää. Siirtymä määritellään offset-vektorilla, ja kierto määritellään keskipisteellä ja kulmalla. Tällaisia muutoksia kutsutaan liikkeiksi. Sanotaan, että tämä tai tuo liike on symmetriaa, jos sen jälkeen laatoitus siirtyy itsestään.

Harkitse esimerkiksi tasoa, joka on jaettu yhtä suuriin neliöihin - muistikirjan loputon arkki solussa kaikkiin suuntiin. Jos tällaista tasoa käännetään 90 astetta (180, 270 tai 360 astetta) minkä tahansa neliön keskipisteen ympärillä, laatoitus muuttuu itsestään. Se myös muuttuu itsestään, kun sitä siirretään vektorilla, joka on yhdensuuntainen neliöiden toisen sivun kanssa. Vektorin pituuden on oltava neliön sivun kerrannainen.

Vuonna 1924 geometri George Polia (ennen Yhdysvaltoihin muuttoa Gyorgy Polya) julkaisi laattojen symmetriaryhmistä artikkelin, jossa hän osoitti merkittävän tosiasian (vaikka venäläinen matemaatikko Evgraf Fedorov löysi sen jo vuonna 1891 ja joka myöhemmin turvallisesti unohdettiin): on vain 17 ryhmäsymmetriaa, jotka sisältävät siirtymiä vähintään kahdessa eri suuntiin... Vuonna 1936 Escher oli kiinnostunut maurilaisista koristeista (al geometrinen piste näkymä, laatoitusvaihtoehto), lue Polian teos. Huolimatta siitä, että hän ei oman tunnustuksensa mukaan ymmärtänyt kaikkea työn takana olevaa matematiikkaa, Escher pystyi ymmärtämään sen geometrisen olemuksen. Tämän seurauksena Escher loi kaikkien 17 ryhmän perusteella yli 40 teosta.

Mosaiikki.

Puupiirros "Päivä ja yö".

"Koneen IV säännöllinen päällystys".

Puupiirros "Taivas ja vesi".

Laatoitukset. Ryhmä on jotain yksinkertaista, generaattorit: liukuva symmetria ja rinnakkaissiirto. Mutta päällystyslaatat ovat ihania. Ja yhdessä Mobius-nauhan kanssa, siinä se.

Puupiirros "Hevosmiehet".

Toinen muunnelma tasaisen ja kolmiulotteisen maailman ja laatoitusten teemasta.

Litografia "Maagic Mirror".

Escher oli ystävä fyysikon Roger Penrosen kanssa. Vapaa-ajallaan fysiikasta Penrose ratkaisi matemaattisia pulmia. Eräänä päivänä hän keksi tämän idean: jos kuvittelet laatoituksen, joka koostuu useammasta kuin yhdestä hahmosta, eroaako sen symmetriaryhmä Polian kuvaamista? Kuten kävi ilmi, vastaus tähän kysymykseen on myönteinen - näin Penrose-mosaiikki syntyi. 1980-luvulla kävi ilmi, että se liittyy kvasikiteisiin ( Nobel palkinto kemiassa 2011).

Escherillä ei kuitenkaan ollut aikaa (tai ei ehkä halunnut) käyttää tätä mosaiikkia työssään. (Mutta siellä on Penrosen aivan upea mosaiikki "Penrose Chickens", ei Escher maalannut niitä.)

Lobatševskin lentokone.

Viides Heibergin rekonstruktion Eukleideen "periaatteiden" aksioomien luettelossa on seuraava väite: jos kahden suoran leikkaava suora muodostaa sisäisiä yksipuolisia kulmia, jotka ovat pienempiä kuin kaksi suoraa, niin loputtomasti jatkuen nämä kaksi suoraa viivat kohtaavat sillä sivulla, jossa kulmat ovat pienempiä kuin kaksi suoraa... V nykykirjallisuus mieluummin vastaava ja tyylikkäämpi muotoilu: sellaisen pisteen kautta, joka ei ole suoralla viivalla, kulkee annetun kanssa yhdensuuntainen suora ja lisäksi vain yksi. Mutta jopa tässä muotoilussa aksiooma, toisin kuin muut Eukleideen postulaatit, näyttää hankalalta ja hämmentävältä - siksi tiedemiehet ovat yrittäneet kahden tuhannen vuoden ajan päätellä tämän väitteen muista aksioomeista. Tämä tarkoittaa itse asiassa postulaatin muuttamista lauseeksi.

1800-luvulla matemaatikko Nikolai Lobatševski yritti tehdä sen ristiriitaisesti: hän oletti, että postulaatti oli väärä ja yritti löytää ristiriidan. Mutta häntä ei löydetty - ja seurauksena Lobachevsky rakensi uuden geometrian. Siinä pisteen kautta, joka ei sijaitse suoralla, on ääretön joukko erilaisia suoria, jotka eivät leikkaa annettua. Lobatševski ei ollut ensimmäinen, joka löysi tämän uuden geometrian. Mutta hän oli ensimmäinen, joka uskalsi julistaa hänet julkisesti - mistä häntä tietysti naurettiin.

Lobatševskin työn postuumi tunnustaminen tapahtui muun muassa hänen geometriaan liittyvien mallien syntymisen ansiosta - tavallisen euklidisen tason esinejärjestelmät, jotka täyttivät kaikki euklidiset aksioomit, lukuun ottamatta viidettä postulaattia. Yhtä näistä malleista ehdotti matemaatikko ja fyysikko Henri Poincaré vuonna 1882 - funktionaalisen ja monimutkaisen analyysin tarpeisiin.

Olkoon ympyrä, jonka rajaa kutsumme absoluuttiseksi. Mallimme "pisteet" ovat ympyrän sisäpisteitä. "Suorien viivojen" roolia esittävät ympyrät tai suorat viivat, jotka ovat kohtisuorassa absoluuttiseen suuntaan (tarkemmin sanottuna niiden kaaret ympyrän sisällä). Se tosiasia, että tällaisten "suorien linjojen" viides postulaatti ei täyty, on käytännössä ilmeistä. Se tosiasia, että loput postulaatit täyttyvät näille objekteille, on hieman vähemmän ilmeistä, mutta näin on.

Osoittautuu, että Poincarén mallissa on mahdollista määrittää pisteiden välinen etäisyys. Pituuden laskemiseksi tarvitaan Riemannin metriikan käsite. Sen ominaisuudet ovat seuraavat: mitä lähempänä "suoran" pistepari on absoluuttista, sitä suurempi on niiden välinen etäisyys. Kulmat määritellään myös "suorien viivojen" välille - nämä ovat tangenttien välisiä kulmia "suorien viivojen" leikkauspisteessä.

Palataanpa nyt laatoituksiin. Miltä ne näyttävät, jos ne jaetaan samoihin säännöllisiin polygoneihin (eli monikulmioihin, joissa on kaikki tasapuoliset puolet ja kulmat) jo Poincarén malli? Esimerkiksi polygonien tulisi pienentyä, mitä lähempänä absoluuttista arvoa ne ovat. Tämän idean toteutti Escher teossarjassa "Limit-circle". Hollantilainen ei kuitenkaan käyttänyt oikeita osioita, vaan niiden symmetrisempiä versioita. Tapaus, jossa kauneus osoittautui tärkeämmäksi kuin matemaattinen tarkkuus.

Puupiirros "Limit - Circle II".

Puupiirros "Limit - Circle III".

Puupiirros "Taivas ja helvetti".

Mahdottomat luvut.

On tapana kutsua mahdottomia hahmoja erityisiksi optisiksi illuusioiksi - ne näyttävät olevan kuva jostain kolmiulotteisesta kohteesta tasossa. Mutta tarkkaan tarkasteltuna niiden rakenteessa paljastuu geometriset ristiriidat. Mahdottomat luvut ovat mielenkiintoisia paitsi matemaatikoille - myös psykologit ja suunnitteluasiantuntijat ovat mukana.

Mahdottomien hahmojen isoisoisä on ns. Necker-kuutio, tuttu kuva kuutiosta lentokoneessa. Sen ehdotti ruotsalainen kristallografi Louis Necker vuonna 1832. Tämän kuvan erikoisuus on, että sitä voidaan tulkita eri tavoin... Esimerkiksi tässä kuvassa punaisella ympyrällä merkitty kulma voi olla joko lähimpänä meitä kuution kaikista kulmista tai päinvastoin kauimpana.

Ensimmäiset todelliset mahdottomat hahmot sellaisenaan loi toinen ruotsalainen tiedemies Oskar Ruthersvard 1930-luvulla. Erityisesti hän keksi idean koota kolmio kuutioista, joita ei voi olla luonnossa. Rutherswardista riippumatta edellä mainittu Roger Penrose julkaisi yhdessä isänsä Lionel Penrosen kanssa British Journal of Psychology -julkaisussa teoksen nimeltä " Mahdottomat esineet: Erikoistyyppi optisia illuusioita"(1956). Siinä Penrose ehdotti kahta tällaista esinettä - Penrose-kolmiota (kiinteä versio Rutherswardin kuutioiden rakenteesta) ja Penrose-portaikkoa. He nimesivät Maurits Escherin työnsä inspiraation lähteeksi.

Molemmat esineet - kolmio ja portaat - esiintyivät myöhemmin Escherin maalauksissa.

Litografia "Suhteellisuusteoria".