Mahdoton ominaisuus on hyvin pieni esine. Projekti "Mahdottomia hahmoja"

Mahdoton on mitä
jota ei voi olla olemassa...
tai tapahtua...

Oppitunnin tarkoitus: opiskelijoiden kolmiulotteisen näkemyksen kehittäminen; kyky selittää tietyn hahmon olemassaolon mahdottomuus geometrian näkökulmasta; kiinnostuksen kehittyminen aihetta kohtaan.

Laitteet: sanomalehti sivuston materiaalien perusteella" Mahdoton maailma" (Internet), työkalut kuvioiden rakentamiseen, geometriset kuviot, mahdottomien kuvioiden kuvitus.

Tuntien aikana:

Esittely:
Kautta historian ihmiset ovat kohdanneet jonkinlaisia ​​optisia illuusioita. Riittää, kun muistetaan autiomaassa tehty mirage, valon ja varjon luomat illuusiot sekä suhteellinen liike. Seuraava esimerkki tunnetaan laajalti: horisontista nouseva kuu näyttää paljon suuremmalta kuin se on korkealla taivaalla. Kaikki nämä ovat vain muutamia mielenkiintoisia ilmiöitä, joita esiintyy luonnossa. Kun nämä silmiä ja mieltä pettävät ilmiöt ensimmäisen kerran havaittiin, ne alkoivat herättää ihmisten mielikuvitusta.

Muinaisista ajoista lähtien optisia illuusioita on käytetty tehostamaan taideteosten vaikutusta tai parantamaan sitä ulkomuoto arkkitehtonisia luomuksia. Muinaiset kreikkalaiset käyttivät optisia illuusioita hienostellakseen mahtavien temppeliensä ulkonäköä. Keskiajalla maalauksessa käytettiin joskus siirrettyä perspektiiviä. Myöhemmin grafiikassa käytettiin monia muita illuusioita. Niistä ainoa laatuaan ja suhteellisen uudenlainen optinen illuusio tunnetaan "mahdottomina esineinä".

Yksi teknisillä aloilla työskentelevien tärkeistä taidoista on kyky havaita kolmiulotteisia esineitä kaksiulotteisessa tasossa. "Impossible Objects" on rakennettu perspektiivin ja syvyyden temppujen käyttöön kaksiulotteisessa tilassa. Ne ovat mahdottomia todellisessa kolmiulotteisessa avaruudessa, ne vaikuttavat näkemyksiimme siirtyneen perspektiivin, syvyyden ja tason manipuloinnin, petollisten optisten vihjeiden, suunnitelmien epäjohdonmukaisuuksien, valon ja varjon leikin, epäselvien yhteyksien, väärien ja ristiriitaisten suuntien ja yhteyksien, muuttuneen koodin kautta. pisteitä ja muita "temppuja", joihin graafikko turvautuu.

Mahdottomien esineiden tahallinen käyttö suunnittelussa juontaa juurensa muinaisista ajoista ennen klassisen perspektiivin tuloa. Taiteilijat yrittivät löytää uusia ratkaisuja. Esimerkkinä on 1400-luvun esitys Marian ilmestyksestä hollantilaisen Bredan kaupungin Pyhän Marian katedraalin freskolla. Maalaus kuvaa arkkienkeli Gabrielia tuomassa Marialle uutisia tulevasta Pojastaan. Freskon kehystää kaksi kaaria, joita tukee puolestaan ​​kolme pylvästä. Keskimmäiseen sarakkeeseen kannattaa kuitenkin kiinnittää huomiota. Toisin kuin muut, hän katoaa taustalle takan taakse. Käytännön näkökulmasta taiteilija käytti tätä "mahdottomuutta" erikoistekniikkana välttääkseen kohtauksen jakamisen kahteen osaan.

Esimerkki tällaisesta kaaresta on esitetty kuvassa. 1

"Mahdottomat luvut"on jaettu 4 ryhmään. Yritetään nyt selvittää kunkin ryhmän pääluvut. Joten ensimmäinen:

Opiskelija 1:

Hämmästyttävä kolmio - tribar.

Tämä luku on ehkä ensimmäinen painettu versio. mahdoton kohde. Se ilmestyi vuonna 1958. Sen kirjoittajat, isä ja poika Lionell ja Roger Penrose, geneetikko ja matemaatikko, määrittelivät kohteen "kolmiulotteiseksi suorakaiteen muotoiseksi rakenteeksi". Sitä kutsuttiin myös "heimoksi".

Selvitä mikä on geometrisesti mahdotonta.

(Ensi silmäyksellä heimo näyttää yksinkertaisesti olevan tasasivuisen kolmion kuva. Mutta kuvan yläreunassa lähentyvät sivut näyttävät kohtisuorassa. Samanaikaisesti alla oleva vasen ja oikea reuna näyttävät myös kohtisuorassa. Jos tarkastellaan jokaista yksityiskohtaa erikseen, se näyttää todelliselta, mutta yleensä tätä kuvaa ei voi olla olemassa. Se ei ole vääntynyt, mutta oikeat elementit liitettiin väärin piirrettäessä.)

Tässä on lisää esimerkkejä mahdottomista hahmoista, jotka perustuvat heimoon. Yritä selittää niiden mahdottomuus.

Kolminkertainen vääntynyt tribar

12 kuution kolmio

Siivekäs Tribar

Kolminkertainen domino

Opiskelija 2:

Loputon portaikko

Tätä hahmoa kutsutaan useimmiten "Endless Staircase", "Eternal Staircase" tai "Penrose Staircase" - sen luojan mukaan. Sitä kutsutaan myös "jatkuvasti nousevaksi ja laskevaksi poluksi".

Tämä luku julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1958. Edessämme ilmestyy portaikko, joka näyttää johtavan ylös tai alas, mutta samalla sitä kävelevä ei nouse eikä laske. Suoritettuaan visuaalisen reittinsä hän löytää itsensä polun alusta.

Taiteilija Maurits K. Escher käytti "Endless Staircasea" menestyksekkäästi tällä kertaa vuonna 1960 luomassaan litografiassa "Ascent and Descend".

Portaikko, jossa on neljä tai seitsemän askelmaa.

Tämän suuren askelmamäärän hahmon luomiseen saattoi saada inspiraatiota tavallisten ratapölkkyjen kasasta. Kun aiot kiivetä näille tikkaille, sinun on valittava: kiipeätkö neljä vai seitsemän askelmaa.

Yritä selittää, mitä ominaisuuksia tämän portaikon luojat käyttivät.

(Tämän portaikon luojat käyttivät hyväkseen yhdensuuntaisia ​​linjoja suunnitellakseen tasaisin välein olevien lohkojen päätykappaleet; jotkut lohkot näyttävät olevan kierretty illuusioon sopivaksi).

On suositeltavaa tarkastella vielä yhtä kuvaa. Askel seinä.

Opiskelija 3:

Seuraavaa hahmoryhmää kutsutaan yhteisnimellä "avaruushaarukka". Tämän hahmon avulla astumme mahdottoman ytimeen ja olemukseen. Tämä voi olla mahdottomien kohteiden suurin luokka.

Tästä pahamaineisesta mahdottomasta esineestä, jossa on kolme (tai kaksi?) hammasta, tuli suosittu insinöörien ja palapelien harrastajien keskuudessa vuonna 1964. Ensimmäinen epätavalliselle hahmolle omistettu julkaisu ilmestyi joulukuussa 1964. Kirjoittaja kutsui sitä "kolmesta elementistä koostuvaksi tueksi". Tämän uudentyyppisen moniselitteisen hahmon epäjohdonmukaisuuden havaitseminen ja ratkaiseminen (jos mahdollista) vaatii todellista muutosta visuaaliseen kiinnitykseen. Käytännön näkökulmasta tämä outo kolmihampainen tai kiinnikemäinen mekanismi on täysin käyttökelvoton. Jotkut kutsuvat sitä yksinkertaisesti "valitettavaksi virheeksi". Yksi ilmailuteollisuuden edustajista ehdotti sen ominaisuuksien käyttöä moniulotteisen avaruusäänihaarukan rakentamisessa.

Torni neljällä kaksoispylväällä.

Opiskelija 4:

Toinen mahdoton esine ilmestyi vuonna 1966 Chicagossa valokuvaaja tohtori Charles F. Cochranin alkuperäisten kokeiden seurauksena. Monet mahdottomien hahmojen ystävät ovat kokeilleet Crazy Boxia. Kirjoittaja kutsui sitä alun perin "vapaaksi laatikoksi" ja totesi, että se oli "suunniteltu lähettämään mahdottomia esineitä suuria määriä".

"Hullu laatikko" on nurinpäin käännetyn kuution kehys. Crazy Boxin välitön edeltäjä oli Impossible Box (escher), ja sen edeltäjä puolestaan ​​oli Necker Cube.

Se ei ole mahdoton kohde, mutta se on kuvio, jossa syvyysparametri voidaan havaita moniselitteisesti.

Necker-kuution kuvasi ensimmäisen kerran vuonna 1832 sveitsiläinen kristallografi Lewis A. Necker, joka huomasi, että kiteet muuttavat joskus visuaalisesti muotoaan, kun niitä katsotaan. Kun katsomme Necker-kuutiota, huomaamme, että pisteellä varustettu kasvo on joko etu- tai taustalla, se hyppää paikasta toiseen.

Muutama mahdoton luku.

Opettaja:

Yritä nyt luoda itsellesi mahdoton hahmo.

Oppitunti päättyy siihen, että opiskelijat yrittävät piirtää itse mahdotonta hahmoa.

Mahdottomat luvut - erikoislaatuinen esineitä kuvataiteessa. Tyypillisesti niitä kutsutaan sellaisiksi, koska ne eivät voi olla olemassa todellista maailmaa.

Tarkemmin sanottuna mahdottomat hahmot ovat paperille piirrettyjä geometrisia esineitä, jotka antavat vaikutelman kolmiulotteisen esineen tavallisesta projektiosta, mutta huolellisessa tarkastelussa hahmon elementtien kytkennöissä näkyy ristiriitoja.

Mahdottomat luvut luokitellaan omaan luokkaan optisia illuusioita.

Mahdottomat rakenteet on tunnettu muinaisista ajoista lähtien. Niitä on löydetty ikoneista keskiajalta lähtien. Ruotsalaista taiteilijaa pidetään mahdottomien hahmojen "isänä". Oscar Reutersvard joka piirsi mahdoton kolmio, joka koostuu kuutioista vuonna 1934.

Mahdottomat hahmot tulivat suurelle yleisölle tunnetuiksi viime vuosisadan 50-luvulla, kun Roger Penrosen ja Lionel Penrosen artikkeli, jossa kuvattiin kaksi perusluvut- mahdoton kolmio (kutsutaan myös kolmioksiPenrose) ja loputon portaikko. Tämä artikkeli joutui kuuluisan käsiin hollantilainen taiteilija M.K. Escher, joka mahdottomien hahmojen idean innoittamana loi kuuluisat litografiansa "Vesiputous", "Ascent and Descent" ja "Belvedere". Hänen jälkeensä valtava määrä taiteilijoita ympäri maailmaa alkoi käyttää mahdottomia hahmoja työssään. Tunnetuimpia heistä ovat Jos de Mey, Sandro del Pre, Ostvan Oros. Näiden, kuten muidenkin taiteilijoiden teokset erottuvat omaan suuntaan Kuvataide - " imp-art" .

Saattaa vaikuttaa siltä, ​​että mahdottomia hahmoja ei todellakaan voi olla kolmiulotteisessa avaruudessa. On olemassa tiettyjä tapoja, joilla voit toistaa mahdottomia hahmoja todellisessa maailmassa, vaikka ne näyttävät mahdottomilta vain yhdestä näkökulmasta.

Tunnetuimpia mahdottomia hahmoja ovat: mahdoton kolmio, äärettömät portaat ja mahdoton kolmio.

Artikkeli Science and Life -lehdestä "Mahdoton todellisuus" ladata

Oscar Ruthersward(venäjänkielisessä kirjallisuudessa tavanomainen sukunimen kirjoitustapa; oikeammin Reuterswerd), ( 1 915 - 2002) on ruotsalainen taiteilija, joka on erikoistunut kuvaamaan mahdottomia hahmoja, eli sellaisia, joita voidaan kuvata, mutta joita ei voida luoda. Yksi hänen hahmoistaan ​​sai edelleen kehittäminen kuten Penrosen kolmio.

Vuodesta 1964 historian ja taiteen teorian professori Lundin yliopistossa.

Rutersvardiin vaikuttivat suuresti venäläisen maahanmuuttajan, Pietarin taideakatemian professorin Mikhail Katzin oppitunnit. Hän loi ensimmäisen mahdottoman hahmon - mahdoton kolmion, joka tehtiin joukosta kuutioita - vahingossa vuonna 1934. Myöhemmin hän piirsi luovuuden vuosien aikana yli 2 500 erilaista mahdotonta hahmoa. Kaikki ne on tehty rinnakkaisesta "japanilaisesta" näkökulmasta.

Vuonna 1980 Ruotsin hallitus julkaisi sarjan kolme Postimerkit taiteilijan maalauksilla.

Johdanto…………………………………………………………………………………..2

Pääosa. Mahdottomat luvut………………………………………………4

2.1. Hieman historiaa…………………………………………………………….4

2.2. Mahdottomien hahmojen tyypit……………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersward – mahdottoman hahmon isä…………………………..11

2.4. Mahdottomat luvut ovat mahdollisia!………………………………………..13

2.5. Mahdottomien lukujen soveltaminen………………………………………14

Johtopäätös……………………………………………………………………………………..15

Bibliografia………………………………………………………………16

Johdanto

Olen jo jonkin aikaa ollut kiinnostunut hahmoista, jotka ensi silmäyksellä näyttävät tavallisilta, mutta tarkemmin tarkasteltuna huomaa, että niissä on jotain vialla. Minua kiinnostivat lähinnä niin sanotut mahdottomat hahmot, joita katsoessa saa sellaisen vaikutelman, ettei niitä voi olla olemassa todellisessa maailmassa. Halusin tietää heistä enemmän.

"Mahdottomien hahmojen maailma" on yksi niistä mielenkiintoisimmat aiheet, joka sai nopean kehityksensä vasta 1900-luvun alussa. Kuitenkin paljon aikaisemmin monet tiedemiehet ja filosofit käsittelivät tätä asiaa. Jopa sellaiset yksinkertaiset tilavuusmuodot, kuten kuutio, pyramidi, suuntaissärmiö, voidaan esittää yhdistelmänä useista hahmoista, jotka sijaitsevat eri etäisyyksillä tarkkailijan silmästä. Aina tulee olla viiva, jota pitkin yksittäisten osien kuvat yhdistetään kokonaiseksi kuvaksi.

"Mahdoton hahmo on paperille tehty kolmiulotteinen esine, jota ei voi olla todellisuudessa, mutta joka voidaan kuitenkin nähdä kaksiulotteisena kuvana." Tämä on yksi tyypeistä optisia illuusioita, hahmo, joka ensi silmäyksellä näyttää olevan tavallisen kolmiulotteisen esineen projektio, jota tarkkaan tarkasteltaessa näkyy kuvion elementtien ristiriitaisia ​​yhteyksiä. Luodaan illuusio tällaisen hahmon olemassaolon mahdottomuudesta kolmiulotteisessa avaruudessa.

Minulle tuli kysymys: "Onko todellisessa maailmassa mahdottomia hahmoja?"

Projektin tavoitteet:

1. Selvitä mitä tehdäak luotuEpätodellisia hahmoja ilmestyy.

2. Etsi sovelluksiamahdottomia lukuja.

Projektin tavoitteet:

1. Tutki kirjallisuutta aiheesta "Mahdottomia hahmoja".

2 .Tee luokitusmahdottomia lukuja.

3.PHarkitse tapoja rakentaa mahdottomia lukuja.

4. On mahdotonta luodauusi hahmo.

Työni aihe on ajankohtainen, koska paradoksien ymmärtäminen on yksi tämän tyypin merkkejä luovaa potentiaalia, joka on parhaiden matemaatikoiden, tiedemiesten ja taiteilijoiden hallussa. Monet teokset, joissa on epätodellisia esineitä, voidaan luokitella "älyllisiksi" matemaattiset pelit" Simuloida samanlainen maailma Se on mahdollista vain matemaattisten kaavojen avulla, ihminen ei yksinkertaisesti pysty kuvittelemaan sitä. Ja mahdottomista hahmoista on hyötyä avaruudellisen mielikuvituksen kehittämisessä. Ihminen luo väsymättä henkisesti itselleen jotain, joka on hänelle yksinkertaista ja ymmärrettävää. Hän ei voi edes kuvitella, että jotkut hänen ympärillään olevat esineet voivat olla "mahdottomia". Itse asiassa maailma on yksi, mutta sitä voidaan tarkastella eri näkökulmista.

Mahdotontauusia lukuja

Hieman historiaa

Muinaisista kaiverruksista, maalauksista ja ikoneista löytyy melko usein mahdottomia hahmoja - joissain tapauksissa meillä on ilmeisiä virheitä perspektiivin siirrossa, toisissa - taiteellisen suunnittelun aiheuttamia tahallisia vääristymiä.

Keskiaikaisessa japanilaisessa ja persialaisessa maalauksessa mahdottomat esineet ovat olennainen osa itämaisuutta taiteellinen tyyli, joka antaa vain yleiskuvan kuvasta, jonka yksityiskohdat katsojan "täytyy" miettiä itsenäisesti, mieltymystensä mukaisesti. Tässä on koulu edessämme. Huomiomme kiinnittyy taustalla olevaan arkkitehtoniseen rakenteeseen, jonka geometrinen epäjohdonmukaisuus on ilmeinen. Se voidaan tulkita joko huoneen sisäseinäksi tai rakennuksen ulkoseinäksi, mutta molemmat tulkinnat ovat virheellisiä, koska kyseessä on taso, joka on sekä ulko- että ulkoseinä, eli kuva. kuvaa tyypillistä mahdotonta esinettä.

Vääristyneen perspektiivin maalauksia löytyy jo ensimmäisen vuosituhannen alussa. Pienoiskuvassa Henrik II:n kirjasta, luotu ennen vuotta 1025 ja säilytetty Baijerissa valtion kirjasto Münchenissä maalataan Madonna ja lapsi. Maalauksessa on kuvattu kolmesta pylväästä koostuva holvi, ja keskimmäisen pylvään tulisi perspektiivilakien mukaan sijaita Madonnan edessä, mutta sen takana, mikä antaa maalaukselle epätodellisuuden vaikutelman.

Erilaisiamahdottomia lukuja.

"Mahdottomia hahmoja" on jaettu 4 ryhmään. Eli ensimmäinen:

Hämmästyttävä kolmio - tribar.

Tämä luku on ehkä ensimmäinen mahdoton esine, joka on julkaistu painettuna. Se ilmestyi vuonna 1958. Sen kirjoittajat, isä ja poika Lionell ja Roger Penrose, geneetikko ja matemaatikko, määrittelivät kohteen "kolmiulotteiseksi suorakaiteen muotoiseksi rakenteeksi". Sitä kutsuttiin myös "heimoksi". Ensi silmäyksellä heimo näyttää yksinkertaisesti olevan tasasivuisen kolmion kuva. Mutta kuvan yläreunassa lähentyvät sivut näyttävät kohtisuorassa. Samanaikaisesti alla oleva vasen ja oikea reuna näyttävät myös kohtisuorassa. Jos tarkastellaan jokaista yksityiskohtaa erikseen, se näyttää todelliselta, mutta yleensä tätä kuvaa ei voi olla olemassa. Se ei ole vääntynyt, mutta oikeat elementit liitettiin väärin piirrettäessä.

Tässä on lisää esimerkkejä mahdottomista hahmoista, jotka perustuvat heimoon.

Loputon portaikko

Tätä hahmoa kutsutaan useimmiten "Endless Staircase", "Eternal Staircase" tai "Penrose Staircase" - sen luojan mukaan. Sitä kutsutaan myös "jatkuvasti nousevaksi ja laskevaksi poluksi".

Tämä luku julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1958. Edessämme ilmestyy portaikko, joka näyttää johtavan ylös tai alas, mutta samalla sitä kävelevä ei nouse eikä laske. Suoritettuaan visuaalisen reittinsä hän löytää itsensä polun alusta.

Taiteilija Maurits K. Escher käytti "Endless Staircasea" menestyksekkäästi tällä kertaa vuonna 1960 luomassaan litografiassa "Ascent and Descend".

Portaikko, jossa on neljä tai seitsemän askelmaa. Tämän suuren askelmamäärän sisältävän hahmon luomiseen olisi voinut saada inspiraatiota tavallisten ratapölkkyjen kasasta. Kun aiot kiivetä näille tikkaille, sinun on valittava: kiipeätkö neljä vai seitsemän askelmaa.

Tämän portaikon luojat käyttivät hyväkseen yhdensuuntaisia ​​linjoja suunnitellakseen tasaisin välein olevien lohkojen päätykappaleet; Jotkut lohkot näyttävät olevan kierretty illuusion mukaan.

Avaruushaarukka.

Seuraavaa hahmoryhmää kutsutaan yhteisnimellä "Space Fork". Tämän hahmon avulla astumme mahdottoman ytimeen ja olemukseen. Tämä voi olla mahdottomien kohteiden suurin luokka.

Tästä pahamaineisesta mahdottomasta esineestä, jossa on kolme (tai kaksi?) hammasta, tuli suosittu insinöörien ja palapelien harrastajien keskuudessa vuonna 1964. Ensimmäinen epätavalliselle hahmolle omistettu julkaisu ilmestyi joulukuussa 1964. Kirjoittaja kutsui sitä "kolmesta elementistä koostuvaksi aaltosulkeeksi".

Käytännön näkökulmasta tämä outo kolmihampainen tai kiinnikemäinen mekanismi on täysin käyttökelvoton. Jotkut ihmiset kutsuvat sitä yksinkertaisesti "valitettavaksi virheeksi". Yksi ilmailuteollisuuden edustajista ehdotti sen ominaisuuksien käyttöä moniulotteisen avaruusäänihaarukan rakentamisessa.

Mahdottomat laatikot

Toinen mahdoton esine ilmestyi vuonna 1966 Chicagossa valokuvaaja tohtori Charles F. Cochranin alkuperäisten kokeiden seurauksena. Monet mahdottomien hahmojen ystävät ovat kokeilleet "Crazy Boxia". Kirjoittaja kutsui sitä alun perin "vapaaksi laatikoksi" ja sanoi, että se oli "suunniteltu lähettämään mahdottomia esineitä suuria määriä".

"Hullu laatikko" on nurinpäin käännetyn kuution kehys. "Crazy Boxin" välitön edeltäjä oli "Impossible Box" (kirjoittaja Escher), ja sen edeltäjä puolestaan ​​oli Necker Cube.

Se ei ole mahdoton kohde, mutta se on kuvio, jossa syvyysparametri voidaan havaita moniselitteisesti.

Kun katsomme Necker-kuutiota, huomaamme, että pisteellä varustettu kasvo on joko etu- tai taustalla, se hyppää paikasta toiseen.

Oscar Ruthersvard - mahdottoman hahmon isä.

Mahdottomien hahmojen ”isä” on ruotsalainen taiteilija Oscar Rutersvard. Ruotsalainen taiteilija Oscar Ruthersvard, joka on asiantuntija kuvien luomisessa mahdottomista hahmoista, väitti, että hän oli huonosti perehtynyt matematiikkaan, mutta nosti kuitenkin taiteensa tieteen tasolle ja loi kokonaisen teorian mahdottomien hahmojen luomisesta tietyn määrän mukaan. kuviot.

Hän jakoi luvut kahteen pääryhmään. Hän kutsui yhtä heistä "todella mahdottomaksi hahmoksi". Nämä ovat kaksiulotteisia kuvia kolmiulotteisista kappaleista, jotka voidaan värittää ja varjostaa paperille, mutta niillä ei ole monoliittista ja vakaata syvyyttä.

Toinen tyyppi ovat epäilyttävät mahdottomat hahmot. Nämä luvut eivät edusta yksittäisiä kiinteitä kappaleita. Ne ovat yhdistelmä kahdesta tai lisää lukuja. Niitä ei voi maalata, eikä niihin voi levittää valoa ja varjoa.

Todellinen mahdoton hahmo koostuu kiinteästä määrästä mahdollisia elementtejä, kun taas epäilyttävä "menettää" tietyn määrän elementtejä, jos seuraa niitä silmilläsi.

Yksi versio näistä mahdottomista hahmoista on erittäin helppo suorittaa, ja monet niistä, jotka piirtävät automaattisesti geometrisia

puhelimessa puhuttaessa, tämä on tehty useammin kuin kerran. Sinun on piirrettävä viisi, kuusi tai seitsemän yhdensuuntaista viivaa, viimeisteltävä nämä viivat eri päissä eri tavoin - ja mahdoton kuvio on valmis. Jos esimerkiksi piirrät viisi yhdensuuntaista viivaa, ne voivat päätyä kahdeksi palkkiksi toiselle puolelle ja kolmeksi toiselle puolelle.

Kuvassa näemme kolme vaihtoehtoa kyseenalaisille mahdottomille luvuille. Vasemmalla on seitsemästä viivasta rakennettu kolmen seitsemän palkkirakenne, jossa kolme palkkia muuttuu seitsemäksi. Keskellä oleva hahmo, joka on rakennettu kolmesta viivasta, jossa yksi palkki muuttuu kahdeksi pyöreäksi palkiksi. Oikeanpuoleinen hahmo, joka on rakennettu neljästä viivasta, jossa kaksi pyöreää palkkia muuttuu kahdeksi palkiksi

Elämänsä aikana Ruthersvard maalasi noin 2500 hahmoa. Ruthersvardin kirjoja on julkaistu useilla kielillä, myös venäjäksi.

Mahdottomat luvut ovat mahdollisia!

Monet ihmiset uskovat, että mahdottomat hahmot ovat todella mahdottomia eikä niitä voida luoda todellisessa maailmassa. Mutta meidän on muistettava, että mikä tahansa piirustus paperille on kolmiulotteisen hahmon projektio. Siksi jokaisen paperille piirretyn hahmon on oltava kolmiulotteisessa avaruudessa. Maalauksissa mahdottomat esineet ovat kolmiulotteisten esineiden projektioita, mikä tarkoittaa, että esineet voidaan toteuttaa muodossa veistoksiset koostumukset. Niiden luomiseen on monia tapoja. Yksi niistä on kaarevien viivojen käyttö mahdottoman kolmion sivuina. Luotu veistos näyttää mahdottomalta vain katsottuna yksittäinen piste. Tästä pisteestä lähtien kaarevat sivut näyttävät suorilta, ja tavoite saavutetaan - luodaan todellinen "mahdoton" esine.

Venäläinen taiteilija Anatoli Konenko, nykyaikamme, jakoi mahdottomat hahmot kahteen luokkaan: joitain voidaan simuloida todellisuudessa, kun taas toisia ei. Mahdottomien hahmojen malleja kutsutaan Amesin malleiksi.

Tein Ames-mallin mahdottomasta laatikostani. Otin neljäkymmentäkaksi kuutiota ja liimasin ne yhteen kuutioksi, jonka reunasta puuttui osa. Huomaan, että täydellisen illuusion luomiseksi tarvitaan oikea kuvakulma ja oikea valaistus.

Tutkin mahdottomia lukuja käyttäen Eulerin lausetta ja päädyin seuraavaan johtopäätökseen: Eulerin lause, joka pätee mille tahansa kuperalle monitahoiselle, on epätosi mahdottomille kuvioille, mutta on totta niiden Ames-malleille.

Luon mahdottomat hahmoni O. Rutherswardin neuvojen avulla. Piirsin paperille seitsemän yhdensuuntaista viivaa. Yhdistin ne alhaalta katkoviivalla ja ylhäältä annoin niille suuntaissärmiön muodon. Katso ensin ylhäältä ja sitten alhaalta. Tällaisia ​​lukuja voi keksiä äärettömästi. Katso liite.

Mahdottomien lukujen soveltaminen

Mahdottomat hahmot löytävät joskus odottamattomia käyttötarkoituksia. Oscar Ruthersvard puhuu kirjassaan "Omojliga figurer" imp-art -piirustusten käytöstä psykoterapiassa. Hän kirjoittaa, että maalaukset paradokseineen herättävät yllätystä, keskittävät huomion ja halun tulkita. Psykologi Roger Shepard käytti kolmiharppauksen ideaa maalauksessaan mahdottomasta norsusta.

Ruotsissa niitä käytetään hammaslääkärissä: odotushuoneessa kuvia katsellen potilaiden huomio häiriintyy epämiellyttävistä ajatuksista hammaslääkärin vastaanoton edessä.

Mahdottomat hahmot inspiroivat taiteilijoita luomaan kokonaan uuden liikkeen maalauksessa nimeltä impossibilismi. Hollantilaista taiteilijaa Escheriä pidetään mahdottomana. Hän on kirjoittanut kuuluisat litografiat "Waterfall", "Ascent and Descent" ja "Belvedere". Taiteilija käytti Rooteswardin löytämää "loputon portaikko" -efektiä.

Ulkomailla kaupungin kaduilla voimme nähdä mahdottomien hahmojen arkkitehtonisia ilmentymiä.

Tunnetuin mahdottomien hahmojen käyttö on in populaarikulttuuria - autokonserni "Renault" logo

Matemaatikot väittävät, että voi olla olemassa palatseja, joissa voi mennä alas portaita pitkin. Tätä varten sinun tarvitsee vain rakentaa tällainen rakenne ei kolmiulotteiseen, vaan esimerkiksi neliulotteiseen tilaan. Ja sisään virtuaali maailma, jonka moderni tietokonetekniikka paljastaa meille, etkä voi tehdä niin. Näin toteutuvat nykypäivänä ideat miehestä, joka vuosisadan kynnyksellä uskoi mahdottomien maailmojen olemassaoloon.

Johtopäätös.

Mahdottomat hahmot pakottavat mielemme näkemään ensin, mitä ei pitäisi olla, ja sitten etsimään vastausta - mitä tehtiin väärin, mikä on paradoksien piilotettu ydin. Ja joskus ei ole niin helppoa löytää vastausta - se on piilotettu piirustusten optiseen, psykologiseen ja loogiseen havaintoon.

Tieteen kehitys, tarve ajatella uudella tavalla, kauneuden etsiminen - kaikki nämä vaatimukset moderni elämä Ne pakottavat meidät etsimään uusia menetelmiä, jotka voivat muuttaa spatiaalista ajattelua ja mielikuvitusta.

Tutkittuani aihetta käsittelevää kirjallisuutta pystyin vastaamaan kysymykseen "Onko todellisessa maailmassa mahdottomia hahmoja?" Tajusin, että mahdoton on mahdollista ja epätodellisia hahmoja voi tehdä omin käsin. Loin Amesin mallin "Mahdottomasta kuutiosta" ja testasin siinä Eulerin lausetta. Tarkastellessani tapoja rakentaa mahdottomia hahmoja pystyin piirtämään omat mahdottomat hahmoni. Pystyin näyttämään sen

Johtopäätös 1: Kaikki mahdottomat hahmot voivat olla olemassa todellisessa maailmassa.

Johtopäätös2: Eulerin lause, joka on totta mille tahansa kuperalle monitahoiselle, on epätosi mahdottomille lukuille, mutta totta heidän Ames-malleilleen.

Johtopäätös 3: On monia muita aloja, joilla käytetään mahdottomia lukuja.

Näin ollen voimme sanoa, että mahdottomien hahmojen maailma on erittäin mielenkiintoinen ja monipuolinen. Mahdottomien lukujen tutkiminen on varsin a tärkeä geometrian näkökulmasta. Teosta voidaan käyttää matematiikan tunneilla oppilaiden tila-ajattelun kehittämiseen. varten luovia ihmisiä Ne, jotka ovat taipuvaisia ​​keksimään, mahdottomia hahmoja ovat eräänlainen vipu luoda jotain uutta ja epätavallista.

Bibliografia

Levitin Karlin geometrinen rapsodia. – M.: Tieto, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. Impossible objects, Quantum, nro 5, 1971, s. 26

Reutersvard O. Mahdottomat luvut. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.

Tkacheva M.V. Pyörivät kuutiot. – M.: Bustard, 2002. – 168 s.

Mahdottomat hahmot ovat hahmoja, jotka on kuvattu perspektiivissä siten, että ne näyttävät ensi silmäyksellä tavalliselta hahmolta. Lähemmin tarkasteltuna katsoja kuitenkin ymmärtää, ettei sellaista hahmoa voi olla kolmiulotteisessa avaruudessa. Escher kuvasi mahdottomia hahmoja kuuluisissa maalauksissaan Belvedere (1958), Ascent and Descend (1960) ja Waterfall (1961). Yksi esimerkki mahdottomasta hahmosta on unkarilaisen nykytaiteilija István Oroszin maalaus.

Istvan Oros "Risteys" (1999). Metallikaiverruksen jäljentäminen. Maalaus kuvaa siltoja, joita ei voi olla kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkiksi vedessä on heijastuksia, jotka eivät voi olla alkuperäisiä siltoja.

Mobius-nauha

Möbius-nauha on kolmiulotteinen esine, jolla on vain yksi puoli. Tämän tyyppinen teippi voidaan helposti valmistaa paperinauhasta kiertämällä nauhan toista päätä ja liimaamalla sitten molemmat päät yhteen. Escher kuvasi Möbius-nauhaa teoksissa Riders (1946), Möbius Strip II:ssa (Red Ants) (1963) ja Knotsissa (1965).

"Knots" - Maurits Cornelis Escher 1965

Myöhemmin minimienergiapinnat inspiroivat monia matemaattisia taiteilijoita. Brent Collins käyttää kuvanveistossa Möbius-nauhoja ja minimienergiapintoja sekä muunlaisia ​​abstraktioita.

Vääristyneet ja epätavalliset näkökulmat

Epätavalliset perspektiivijärjestelmät, joissa on kaksi tai kolme katoamispistettä, ovat myös monien taiteilijoiden suosikkiteemoja. Niihin kuuluu myös liittyvä ala - anamorfinen taide. Escher käytti vääristynyttä perspektiiviä useissa teoksissaan, Above and Below (1947), House of Stairs (1951) ja The Picture Gallery (1956). Dick Termes käyttää kuuden pisteen perspektiiviä piirtääkseen kohtauksia palloille ja polyhedraille alla olevan esimerkin mukaisesti.

Dick Termes "A Cage for Man" (1978). Tämä on maalattu pallo, joka luotiin kuuden pisteen perspektiivillä. Se kuvaa geometristä rakennetta ruudukon muodossa, jonka läpi maisema näkyy. Kolme oksaa tunkeutuu häkkiin, ja matelijat ryömivät sitä pitkin. Kun jotkut tutkivat maailmaa, toiset joutuvat häkkiin.

Sana anamorfinen on muodostettu kahdesta kreikan sanasta "ana" (jälleen) ja morthe (muoto). Anamorfiset kuvat ovat kuvia, jotka ovat niin pahasti vääristyneitä, että niitä voi olla mahdotonta tehdä ilman erityistä peiliä. Tätä peiliä kutsutaan joskus anamorfoskoopiksi. Jos katsot anamorfoskoopin läpi, kuva "muodostuu jälleen" tunnistettavaksi kuvaksi. Varhaisen renessanssin eurooppalaiset taiteilijat kiehtoivat lineaarisia anamorfisia maalauksia, joissa pitkänomainen kuva muuttui taas normaaliksi kulmasta katsottuna. Kuuluisa esimerkki on Hans Holbeinin maalaus "Ambassadors" (1533), joka kuvaa pitkänomaista kalloa. Maalausta voi kallistaa portaiden yläpäässä niin, että portaissa kävelevät ihmiset säikähtyvät kallon kuvasta. Anamorfiset maalaukset, jotka vaativat sylinterimäisiä peilejä, olivat suosittuja Euroopassa ja idässä vuonna XVII-XVIII vuosisatoja. Usein tällaiset kuvat sisälsivät poliittisen protestin viestejä tai olivat eroottista sisältöä. Escher ei käyttänyt töissään klassisia anamorfisia peilejä, mutta joissakin maalauksissaan hän käytti pallomaisia ​​peilejä. Hänen tunnetuin työnsä tällä tyylillä on "Hand with a Reflecting Sphere" (1935). Alla olevassa esimerkissä on klassinen Istvan Oroszin anamorfinen kuva.

Istvan Oros "Kaivo" (1998). Maalaus "Well" painettiin metallikaiverruksesta. Teos luotiin M.K.:n syntymän satavuotisjuhlaksi. Escher. Escher kirjoitti matemaattisen taiteen retkistä kuin kävelemisen kauniissa puutarhassa, jossa mikään ei toistu. Kuvan vasemmalla puolella oleva portti erottaa Escherin aivoissa sijaitsevan matemaattisen puutarhan fyysisestä maailmasta. Maalauksen oikealla puolella oleva rikkinäinen peili näyttää näkymän pieneen Atranin kaupunkiin Amalfin rannikolla Italiassa. Escher rakasti paikkaa ja asui siellä jonkin aikaa. Hän kuvasi tätä kaupunkia Metamorphoses-sarjan toisessa ja kolmannessa maalauksessa. Jos asetat sylinterimäisen peilin kaivon tilalle, kuten oikealla näkyy, Escherin kasvot ilmestyvät siihen kuin taianomaisesti.

Monet ihmiset uskovat, että mahdottomat hahmot ovat todella mahdottomia eikä niitä voida luoda todellisessa maailmassa. Tiedämme kuitenkin koulun geometriakurssilta, että paperiarkille kuvattu piirustus on kolmiulotteisen hahmon projektio tasoon. Siksi jokaisen paperille piirretyn hahmon on oltava kolmiulotteisessa avaruudessa. Lisäksi kolmiulotteiset esineet tuottavat tasolle projisoituna tietyn litteän hahmon äärettömästä joukosta. Sama koskee mahdottomia lukuja.

Tietenkään mitään mahdottomista hahmoista ei voida luoda toimimalla suorassa linjassa. Jos esimerkiksi otat kolme identtistä puuta, et voi yhdistää niitä mahdottomaksi kolmioksi. Kuitenkin projisoitaessa kolmiulotteista kuvaa tasolle, jotkut viivat voivat muuttua näkymättömiksi, mennä päällekkäin, liittyä toisiinsa jne. Tämän perusteella voimme ottaa kolme erilaista palkkia ja tehdä alla olevassa kuvassa näkyvän kolmion (kuva 1). Tämän valokuvan loi kuuluisa M.K.:n teosten popularisoija. Escher, kirjailija Suuri määrä Bruno Ernstin kirjat. Päällä etualalla Valokuvassa näemme mahdottoman kolmion hahmon. Taustalla on peili, joka heijastaa samaa hahmoa eri näkökulmasta. Ja näemme, että itse asiassa mahdottoman kolmion kuvio ei ole suljettu, vaan avoin kuvio. Ja vain siitä kohdasta, josta katsomme kuvaa, näyttää siltä, ​​​​että hahmon pystypalkki ylittää vaakapalkin, minkä seurauksena kuvio näyttää mahdottomalta. Jos katselukulmaa hieman siirrettäisiin, näkisimme heti kuvassa aukon ja se menettäisi mahdottomuusvaikutuksensa. Se, että mahdoton hahmo näyttää mahdottomalta vain yhdestä näkökulmasta, on ominaista kaikille mahdottomille hahmoille.

Riisi. 1. Bruno Ernstin valokuva mahdottomasta kolmiosta.

Kuten edellä mainittiin, tiettyä projektiota vastaavien kuvien määrä on ääretön, joten yllä oleva esimerkki ei ole ainoa tapa mahdoton kolmion rakentaminen todellisuudessa. Belgialainen taiteilija Mathieu Hamaekers loi kuvassa näkyvän veistoksen. 2. Vasemmanpuoleisessa kuvassa näkyy kuva edestä, jolloin se näyttää mahdottomalta kolmiolta, keskellä oleva kuva esittää samaa kuvaa 45° kierrettynä ja oikealla oleva kuva 90° käännettynä.

Riisi. 2. Mathieu Hemakerzin valokuva mahdottomasta kolmiohahmosta.

Kuten näette, tässä kuvassa ei ole suoria viivoja, kaikki kuvion elementit ovat kaarevia tietyllä tavalla. Kuten edellisessä tapauksessa, mahdottomuuden vaikutus on kuitenkin havaittavissa vain yhdessä katselukulmassa, kun kaikki kaarevat viivat heijastetaan suoriksi viivoiksi, ja jos et kiinnitä huomiota joihinkin varjoihin, kuva näyttää mahdottomalta.

Venäläinen taiteilija ja suunnittelija Vjatšeslav Koleichuk ehdotti toista tapaa luoda mahdoton kolmio, ja se julkaistiin lehdessä "Technical Aesthetics" nro 9 (1974). Tämän mallin kaikki reunat ovat suoria viivoja, ja reunat ovat kaarevia, vaikka tämä kaarevuus ei näy kuvion edestä katsottuna. Hän loi tällaisen kolmion mallin puusta.

Riisi. 3. Vjatšeslav Koleichukin malli mahdottomasta kolmiosta.

Tämän mallin loi myöhemmin uudelleen Gershon Elber, Israelin Technion Instituten tietojenkäsittelytieteen osaston jäsen. Sen versio (katso kuva 4) suunniteltiin ensin tietokoneella ja luotiin sitten uudelleen todellisuudessa kolmiulotteisella tulostimella. Jos siirrämme hieman mahdottoman kolmion katselukulmaa, näemme kuvion, joka on samanlainen kuin kuvan 1 toinen valokuva. 4.

Riisi. 4. Elber Gershonin muunnelma mahdottoman kolmion rakentamisesta.

On syytä huomata, että jos katsoisimme nyt itse hahmoja, emme heidän valokuviaan, näkisimme heti, ettei mikään esitellyistä hahmoista ole mahdoton, ja mikä on jokaisen salaisuus. Emme yksinkertaisesti pysty näkemään näitä lukuja, koska meillä on stereoskooppinen näkö. Toisin sanoen silmämme, jotka sijaitsevat tietyllä etäisyydellä toisistaan, näkevät saman kohteen kahdesta läheisestä, mutta silti erilaisesta näkökulmasta, ja aivomme, saatuaan kaksi kuvaa silmistämme, yhdistävät ne yhdeksi kuvaksi. Aikaisemmin sanottiin, että mahdoton esine näyttää mahdottomalta vain yhdestä näkökulmasta, ja koska katsomme kohdetta kahdesta näkökulmasta, näemme heti temput, joiden avulla tämä tai tuo esine on luotu.

Tarkoittaako tämä, että todellisuudessa mahdotonta esinettä on edelleen mahdotonta nähdä? Ei, voit. Jos suljet yhden silmän ja katsot hahmoa, se näyttää mahdottomalta. Siksi museoissa mahdottomia hahmoja esitellessä vierailijat pakotetaan katsomaan niitä yhdellä silmällä seinässä olevan pienen reiän läpi.

On toinenkin tapa nähdä mahdoton hahmo molemmilla silmillä kerralla. Se koostuu seuraavista: on tarpeen luoda valtava hahmo, jonka korkeus on monikerroksinen rakennus, aseta se avoimeen tilaan ja katso sitä hyvin kaukaa. Tässä tapauksessa, vaikka katsot hahmoa molemmilla silmillä, huomaat sen mahdottomaksi, koska molemmat silmäsi saavat kuvia, jotka eivät käytännössä eroa toisistaan. Tällainen mahdoton hahmo luotiin Australian Perthin kaupungissa.

Vaikka mahdoton kolmio on suhteellisen helppo rakentaa todellisessa maailmassa, mahdoton kolmiulotteisen kolmion luominen kolmiulotteisessa avaruudessa ei ole niin helppoa. Tämän hahmon erikoisuus on ristiriita hahmon etualan ja taustan välillä, kun hahmon yksittäiset elementit sulautuvat sulavasti taustaan, jolla hahmo sijaitsee.

Riisi. 5. Muotoilu on samanlainen kuin mahdoton kolmijarka.

Aachenissa (Saksassa) sijaitseva silmäoptiikan instituutti pystyi ratkaisemaan tämän ongelman luomalla erityisen asennuksen. Suunnittelu koostuu kahdesta osasta. Edessä on kolme pyöreää pylvästä ja rakentaja. Tämä osa on valaistu vain alareunassa. Pylväiden takana on puoliläpäisevä peili, jonka edessä on heijastava kerros, eli katsoja ei näe peilin takana olevaa, vaan näkee vain siinä olevien pylväiden heijastuksen.

Riisi. 6. Asennuskaavio toistaa mahdoton kolmiharkka.