यहां आप पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी पा सकते हैं। उन सभी का अध्ययन एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए एक गणित शिक्षक के साथ किया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें , इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S, इसमें नहीं पड़ा हुआ है। आइए S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी बहुफलक को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व पसलियाँ कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n=3), चतुष्कोणीय (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। वैकल्पिक शीर्षकत्रिकोणीय पिरामिड - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार के तल तक उतरने वाला लंबवत है।

पिरामिड को नियमित यदि कहा जाता है एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

शिक्षक की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणाओं को भ्रमित न करें। दाहिने पिरामिड पर पार्श्व पसलियाँजरूरी नहीं कि वे आधार के किनारों के बराबर हों, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यही उसकी परिभाषा है. यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र P संपाती है आधार ऊंचाई के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोटेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊँचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो उसके सभी उपशीर्षक समान हैं। इसका विपरीत सत्य नहीं है.

एक गणित शिक्षक अपनी शब्दावली के बारे में: पिरामिड के साथ 80% काम दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से किया जाता है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA से युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित शिक्षक के लिए उनमें से पहले को कॉल करना अधिक सुविधाजनक है अपोथेमल, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहां है, और पिरामिड की ऊंचाई कहां है
2) , खुदे हुए गोले की त्रिज्या कहाँ है, और पिरामिड की कुल सतह का क्षेत्रफल है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों के बीच की दूरी है, और शेष चार किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

पिरामिड की ऊंचाई के आधार की संपत्ति:

बिंदु P (चित्र देखें) पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोथेम समान हैं
2) सभी पार्श्व चेहरेआधार की ओर समान रूप से झुका हुआ
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई पर समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पार्श्व सतहों पर समान रूप से झुकी हुई है

गणित शिक्षक की टिप्पणी: कृपया ध्यान दें कि सभी बिंदुओं में एक बात समान है सामान्य संपत्ति: किसी न किसी रूप में, पार्श्व फलक हर जगह शामिल होते हैं (एपोटेम उनके तत्व हैं)। इसलिए, शिक्षक कम सटीक, लेकिन सीखने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्रीकरण की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी, अंकित वृत्त के केंद्र, पिरामिड के आधार के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेम त्रिभुज समान हैं।

यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है, तो बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र के साथ संपाती होता है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियाँ आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी तरफ की पसलियां ऊंचाई पर समान रूप से झुकी हुई हैं

पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक बराबर होते हैं समद्विबाहु त्रिभुज. शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्र इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट घिरे एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड यह एक नियमित पिरामिड का हिस्सा है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

कारणकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1.एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (त्रिभुज के परिवृत्त और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंखंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। किसी समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढ लेंगे ए 1 ईएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति ए.सी. ए 1 ई= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डी.ईआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ओम– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों के योग और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. एक समतल आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है

हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल कार्यों पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही उन समस्याओं का अध्ययन कर चुके हैं जहां शर्त दी गई है और दो दिए गए बिंदुओं या कोण के बीच की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका आधार एक बहुभुज है, शेष फलक त्रिभुज हैं, और उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष है।

एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और इसका शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड - आधार एक वर्ग है। पिरामिड का शीर्ष आधार (वर्ग) के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित होता है।

एमएल - एपोथेम
∠MLO - पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण
∠MCO - पिरामिड के पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण

इस लेख में हम एक नियमित पिरामिड को हल करने के लिए समस्याओं पर गौर करेंगे। आपको कुछ तत्व, पार्श्व सतह क्षेत्र, आयतन, ऊंचाई खोजने की आवश्यकता है। बेशक, आपको पाइथागोरस प्रमेय, पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र और पिरामिड का आयतन ज्ञात करने का सूत्र जानना होगा।

लेख में "" वे सूत्र प्रस्तुत करता है जो स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक हैं। तो, कार्य:

एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र,एसशिखर, इसलिए = 51, ए.सी.= 136. पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिएअनुसूचित जाति।.

इस मामले में, आधार एक वर्ग है। इसका मतलब यह है कि विकर्ण AC और BD बराबर हैं, वे प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित होते हैं। ध्यान दें कि एक नियमित पिरामिड में उसके शीर्ष से गिरी हुई ऊंचाई पिरामिड के आधार के केंद्र से होकर गुजरती है। अतः SO ऊँचाई और त्रिभुज हैसमाजआयताकार. फिर पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

जड़ कैसे निकाले बड़ी संख्या.

उत्तर: 85

अपने लिए तय करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, इसलिए = 4, ए.सी.= 6. पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए अनुसूचित जाति।.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, अनुसूचित जाति। = 5, ए.सी.= 6. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए इसलिए.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीडॉट हे- आधार का केंद्र, एसशिखर, इसलिए = 4, अनुसूचित जाति।= 5. खंड की लंबाई ज्ञात करें ए.सी..

एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 7, ए एस.आर.= 16. पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है (एपोथेम इसके शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है):

या हम यह कह सकते हैं: पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में पार्श्व फलक समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज होते हैं। इस मामले में:

उत्तर: 168

अपने लिए तय करें:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 1, ए एस.आर.= 2. पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि अब= 1, और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एस.आर..

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी एल- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- शीर्ष। ह ज्ञात है कि क्र= 2, और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए अब.

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी एम. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 25 है, पिरामिड का आयतन 100 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एमएस.

पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है. इसीलिए एमआधार का केंद्र है, औरएमएस- एक नियमित पिरामिड की ऊंचाईएसएबीसी. पिरामिड का आयतन एसएबीसीबराबर: समाधान देखें

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार की माध्यिकाएं बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 3 के बराबर है, एमएस= 1. पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार की माध्यिकाएं बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. पिरामिड का आयतन 1 है, एमएस= 1. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये एबीसी.

आइए यहीं समाप्त करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं का समाधान एक या दो चरणों में हो जाता है। भविष्य में, हम इस भाग की अन्य समस्याओं पर विचार करेंगे, जहाँ क्रांति के शव दिए गए हैं, इसे देखने से न चूकें!

आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। सही पिरामिड. इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे। आइए विचार करें कि एक नियमित पिरामिड क्या है और इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे।

एक बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो α तल और बिंदु में स्थित है पी, जो α तल में स्थित नहीं है (चित्र 1)। आइए बिंदुओं को जोड़ें पीचोटियों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक. हम पाते हैं एनत्रिकोण: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरऔर इसी तरह।

परिभाषा. बहुतल आरए 1 ए 2 ...ए एन, से बना एन-वर्ग ए 1 ए 2...एकऔर एनत्रिकोण आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …आरए एन ए एन-1 कहा जाता है एन-कोयला पिरामिड. चावल। 1.

चावल। 1

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(अंक 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष.

ए बी सी डी- पिरामिड का आधार.

आरए- पार्श्व पसली.

अब- आधार पसली.

बिंदु से आरचलो लम्बवत को गिरा दें आर एनआधार तल तक ए बी सी डी. खींचा गया लंब पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पिरामिड की पूरी सतह में पार्श्व सतह, यानी सभी पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल शामिल है:

एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(चित्र 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष. पिरामिड का आधार ए बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। डॉट के बारे मेंविकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। मतलब, आरओपिरामिड की ऊंचाई है.

चावल। 3

स्पष्टीकरण:सही में एनएक त्रिभुज में, अंकित वृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र संपाती होता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी वे कहते हैं कि शीर्ष को केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेमऔर नामित किया गया है हा ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन गुणों का प्रमाण देंगे।

दिया गया: पीएबीसीडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ए बी सी डी- वर्ग,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई.

सिद्ध करना:

1. आरए = पीबी = आरएस = पीडी

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP चित्र देखें। 4.

चावल। 4

सबूत.

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाउसमें लेटा हुआ. तो त्रिकोण आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉड- आयताकार.

एक वर्ग पर विचार करें ए बी सी डी. वर्ग के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है एओ = वीओ = सीओ = करना।

फिर समकोण त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉडटांग आरओ- सामान्य और पैर जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाबराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ये त्रिभुज दो तरफ बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता से खंडों की समानता आती है, आरए = पीबी = आरएस = पीडी।बिंदु 1 सिद्ध हो चुका है.

सेगमेंट अबऔर सूरजबराबर हैं क्योंकि वे एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, आरए = पीबी = आरएस. तो त्रिकोण ए.वी.आरऔर वीएसआर -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार हम त्रिभुज पाते हैं एबीपी, वीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और समान हैं, जैसा कि पैराग्राफ 2 में सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है:

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड चुनें।

दिया गया: आरएवीएस- सही त्रिकोणीय पिरामिड.

एबी = बीसी = एसी.

आरओ- ऊंचाई।

सिद्ध करना: . चित्र देखें. 5.

चावल। 5

सबूत।

आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. वह है अब= एसी = बीसी. होने देना के बारे में-त्रिभुज का केंद्र एबीसी, तब आरओपिरामिड की ऊंचाई है. पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज स्थित है एबीसी. ध्यान दें कि .

त्रिकोण आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (संपत्ति द्वारा)। एक त्रिकोणीय पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए. इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

एस साइड = 3एस रॉ

प्रमेय सिद्ध है.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ए बी सी डी,

ए बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

खोजो: एस साइड. चित्र देखें. 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय के अनुसार,.

आइए सबसे पहले आधार का किनारा खोजें अब. हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिये ए बी सी डी 6 मीटर की भुजा के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी. होने देना एम- किनारे के बीच में डीसी. क्योंकि के बारे में- मध्य बी.डी, वह (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु. एम- मध्य डीसी. वह है, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी. तब आर एम- पिरामिड का एपोटेम।

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष ओम, उसमें लेटा हुआ। आइए एपोथेम खोजें आर एमसे सही त्रिकोण ROM.

अब हम पा सकते हैं पार्श्व सतहपिरामिड:

उत्तर: 60 एम2.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या m के बराबर है, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 18 m 2 है। एपोथेम की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = एसए,

आर= एम,

S भुजा = 18 m2.

खोजो: . चित्र देखें. 7.

चावल। 7

समाधान.

एक समकोण त्रिभुज में एबीसीपरिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबयह त्रिभुज ज्या प्रमेय का उपयोग करता है।

पक्ष जानना नियमित त्रिकोण(एम), आइए इसका परिमाप ज्ञात करें।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, जहां हा ए- पिरामिड का एपोटेम। तब:

उत्तर: 4 मी.

तो, हमने देखा कि पिरामिड क्या है, नियमित पिरामिड क्या है, और हमने नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे।

संदर्भ

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों(बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी.: बीमार।
2. ज्यामिति। 10-11 ग्रेड: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों/ शैरगिन आई.एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी.: बीमार।
3. ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित/ई के गहन और विशेष अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम.: बस्टर्ड, 008. - 233 पी.: बीमार।

1. इंटरनेट पोर्टल "याक्लास" ()
2. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षिक विचारों का त्योहार "सितंबर का पहला" ()
3. इंटरनेट पोर्टल "स्लाइडशेयर.नेट" ()

गृहकार्य

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के असंयुक्त किनारे लंबवत होते हैं।
3. यदि पिरामिड का एपोथेम उसके आधार की भुजा के बराबर है, तो एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार के किनारे पर डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात करें।
4. आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण की रचना करें।