बहुकोणीय आकृति

स्टीरियोमेट्री के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य है स्थानिक निकाय. शरीरएक निश्चित सतह द्वारा सीमित स्थान के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है।

बहुतलएक पिंड है जिसकी सतह पर सीमित संख्या में समतल बहुभुज होते हैं। एक बहुफलक को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपनी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित हो। ऐसे समतल के उभयनिष्ठ भाग और बहुफलक की सतह को कहा जाता है किनारा. उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारे कहलाते हैं बहुफलक के किनारे, और शीर्ष हैं बहुफलक के शीर्ष.

उदाहरण के लिए, एक घन में छह वर्ग होते हैं, जो उसके फलक होते हैं। इसमें 12 किनारे (वर्गों की भुजाएँ) और 8 शीर्ष (वर्गों के शीर्ष) हैं।

सबसे सरल पॉलीहेड्रा प्रिज्म और पिरामिड हैं, जिनका हम आगे अध्ययन करेंगे।

चश्मे

प्रिज्म की परिभाषा और गुण

चश्मेएक बहुफलक है जिसमें समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त समानांतर विमानों में स्थित दो सपाट बहुभुज होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म आधार, और बहुभुजों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के पार्श्व किनारे.

प्रिज्म की ऊंचाईइसके आधारों के तलों के बीच की दूरी कहलाती है ()। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला वह खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण(). प्रिज्म कहा जाता है एन-कार्बन, यदि इसके आधार में n-गॉन है।

किसी भी प्रिज्म में है निम्नलिखित गुण, इस तथ्य के परिणामस्वरूप कि प्रिज्म के आधार समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं:

1. प्रिज्म के आधार बराबर हैं।

2. प्रिज्म के पार्श्व किनारे समानांतर और बराबर होते हैं।

प्रिज्म की सतह में आधार और होते हैं पार्श्व सतह. प्रिज्म की पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं (यह प्रिज्म के गुणों से पता चलता है)। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहा जाता है सीधा, यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा प्रिज्म कहा जाता है इच्छुक.

लम्ब प्रिज्म के फलक आयताकार होते हैं। एक सीधे प्रिज्म की ऊँचाई उसके पार्श्व फलकों के बराबर होती है।

पूर्ण प्रिज्म सतहइसे पार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्रों का योग कहा जाता है।

सही प्रिज्म के साथइसे एक समकोण प्रिज्म कहा जाता है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है।

प्रमेय 13.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्रिज्म की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है (या, जो समान है, पार्श्व किनारे से)।

सबूत। एक समकोण प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं, जिनके आधार प्रिज्म के आधार पर बहुभुज की भुजाएँ होती हैं, और ऊँचाई प्रिज्म के पार्श्व किनारे होती हैं। फिर, परिभाषा के अनुसार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

,

सीधे प्रिज्म के आधार का परिमाप कहाँ है?

समानांतर खात

यदि समांतर चतुर्भुज किसी प्रिज्म के आधार पर स्थित हों, तो इसे कहा जाता है समानांतर खात. समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

प्रमेय 13.2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।

सबूत। उदाहरण के लिए, दो मनमाने विकर्णों पर विचार करें। क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज के फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं, फिर और, जिसका अर्थ है कि To के अनुसार तीसरे के समांतर दो सीधी रेखाएँ हैं। इसके अलावा, इसका मतलब यह है कि सीधी रेखाएं और एक ही तल (प्लेन) में स्थित हैं। यह तल समान्तर तलों को समान्तर रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार, इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार समांतर चतुर्भुज. यू आयताकार समांतर चतुर्भुजसभी फलक आयताकार हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई को इसके रैखिक आयाम (आयाम) कहा जाता है। ऐसे तीन आकार हैं (चौड़ाई, ऊंचाई, लंबाई)।

प्रमेय 13.3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, किसी भी विकर्ण का वर्ग योग के बराबरइसके तीन आयामों के वर्ग (पायथागॉरियन टी को दो बार लगाने से सिद्ध हुआ)।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है घनक्षेत्र.

कार्य

13.1 इसमें कितने विकर्ण हैं? एन-कार्बन प्रिज्म

13.2 एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म में, पार्श्व किनारों के बीच की दूरी 37, 13 और 40 है। बड़े पार्श्व किनारे और विपरीत पार्श्व किनारे के बीच की दूरी ज्ञात करें।

13.3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के निचले आधार के किनारे से होकर एक समतल खींचा गया है, जो प्रतिच्छेद करता है पार्श्व चेहरेखंडों के अनुदिश, जिनके बीच का कोण है। प्रिज्म के आधार से इस तल का झुकाव कोण ज्ञात कीजिए।

प्रिज्म. समानांतर खात

चश्मेएक बहुफलक है जिसके दो फलक समान n-गॉन हैं (आधार) , समानांतर तलों में स्थित है, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (पार्श्व चेहरे) . पार्श्व पसली प्रिज्म का पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है।

वह प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों, प्रिज्म कहलाता है सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत नहीं हैं, तो प्रिज्म कहा जाता है इच्छुक . सही प्रिज्म एक लम्ब प्रिज्म है जिसका आधार नियमित बहुभुज होता है।

ऊंचाईप्रिज्म आधारों के तलों के बीच की दूरी है। विकर्ण प्रिज्म दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं। विकर्ण खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा प्रिज्म का एक खंड कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं। लम्बवत अनुभाग प्रिज्म के किनारे के लंबवत समतल द्वारा प्रिज्म का एक खंड कहा जाता है।

पार्श्व सतह क्षेत्र एक प्रिज्म के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। कुल सतह क्षेत्रफल इसे प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है (अर्थात् पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।

एक मनमाने प्रिज्म के लिए निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं::

कहाँ एल- पार्श्व पसली की लंबाई;

एच- ऊंचाई;

पी

क्यू

एस ओर

एस भरा हुआ

एस आधार- आधारों का क्षेत्र;

वी– प्रिज्म का आयतन.

सीधे प्रिज्म के लिए निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

एल- पार्श्व पसली की लंबाई;

एच- ऊंचाई।

समानांतर खातप्रिज्म कहलाता है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज होता है। एक समान्तर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं प्रत्यक्ष (अंक 2)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज कहा जाता है इच्छुक . एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है घनक्षेत्र

समांतर चतुर्भुज के वे फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, कहलाते हैं विलोम . एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समान्तर चतुर्भुज चूँकि समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है, इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे वे प्रिज्म के लिए परिभाषित होते हैं।

प्रमेय.

1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसके द्वारा समद्विभाजित होते हैं।

2. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण की लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

कहाँ एल- पार्श्व पसली की लंबाई;

एच- ऊंचाई;

पी- लंबवत अनुभाग परिधि;

क्यू- लंबवत पार-अनुभागीय क्षेत्र;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस आधार- आधारों का क्षेत्र;

वी– प्रिज्म का आयतन.

एक समांतर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

एल- पार्श्व पसली की लंबाई;

एच- एक दाएँ समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

(3)

कहाँ पी- आधार परिधि;

एच- ऊंचाई;

डी- विकर्ण;

ए, बी, सी- एक समान्तर चतुर्भुज की माप।

घन के लिए निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ ए- पसली की लंबाई;

डी- घन का विकर्ण.

उदाहरण 1।एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण 33 डीएम है, और इसके आयाम 2: 6: 9 के अनुपात में हैं। समांतर चतुर्भुज के आयाम ज्ञात कीजिए।

समाधान।समांतर चतुर्भुज के आयाम ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात। इस तथ्य से कि एक घनाभ के कर्ण का वर्ग उसके आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आइए हम इसे निरूपित करें कआनुपातिकता कारक. तब समांतर चतुर्भुज के आयाम 2 के बराबर होंगे क, 6कऔर 9 क. आइए समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखें:

इस समीकरण को हल करने के लिए क, हम पाते हैं:

इसका मतलब है कि समांतर चतुर्भुज के आयाम 6 डीएम, 18 डीएम और 27 डीएम हैं।

उत्तर: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।

उदाहरण 2.एक झुके हुए त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका आधार 8 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि भुजा का किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।

समाधान . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 3)।

किसी झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको उसके आधार का क्षेत्रफल और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है आइए इसकी गणना करें:

किसी प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है। ऊपर से एऊपरी आधार के 1, निचले आधार के तल पर लंब को नीचे करें ए 1 डी. इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी. डी पर विचार करें ए 1 विज्ञापन: चूंकि यह पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण है ए 1 एआधार तल तक, ए 1 ए= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं ए 1 डी:

अब हम सूत्र (1) का उपयोग करके आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 192 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व किनारा 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)

सबसे बड़ा विकर्ण खंड एक आयत है ए.ए. 1 डीडी 1 विकर्ण से विज्ञापननियमित षट्कोण एबीसीडीईएफसबसे बडा। प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार की भुजा और पार्श्व किनारे की लंबाई जानना आवश्यक है।

विकर्ण खंड (आयत) का क्षेत्रफल जानने के बाद, हम आधार का विकर्ण ज्ञात करते हैं।

के बाद से

के बाद से अब= 6 सेमी.

फिर आधार की परिधि है:

आइए प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये:

उत्तर:

उदाहरण 4.एक समांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल 300 सेमी2 और 875 सेमी2 है। समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

आइए हम समचतुर्भुज की भुजा को इससे निरूपित करें ए, एक समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, समान्तर चतुर्भुज ऊंचाई एच. एक समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आधार की परिधि को ऊँचाई से गुणा करना आवश्यक है: (सूत्र (2))। आधार परिधि पी = एबी + बीसी + सीडी + डीए = 4एबी = 4ए, क्योंकि ए बी सी डी- रोम्बस एच = एए 1 = एच. वह। ढूंढना होगा एऔर एच.

आइए विकर्ण अनुभागों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - एक आयत, जिसकी एक भुजा एक समचतुर्भुज का विकर्ण है एसी = डी 1, दूसरा - पार्श्व किनारा आ 1 = एच, तब

इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:

एक समांतर चतुर्भुज के इस गुण का उपयोग करते हुए कि उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, हम समानता प्राप्त करते हैं। हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं।

परिभाषा 1. प्रिज्मीय सतह
प्रमेय 1. प्रिज्मीय सतह के समानांतर खंडों पर
परिभाषा 2. प्रिज्मीय सतह का लंबवत खंड
परिभाषा 3. प्रिज्म
परिभाषा 4. प्रिज्म की ऊंचाई
परिभाषा 5. दायां प्रिज्म
प्रमेय 2. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

समांतर चतुर्भुज:
परिभाषा 6. समांतर चतुर्भुज
प्रमेय 3. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर
परिभाषा 7. दायां समान्तर चतुर्भुज
परिभाषा 8. आयताकार समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 9. एक समान्तर चतुर्भुज का माप
परिभाषा 10. घन
परिभाषा 11. रॉम्बोहेड्रोन
प्रमेय 4. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्णों पर
प्रमेय 5. एक प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 6. एक सीधे प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 7. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन

चश्मेएक बहुफलक है जिसके दो फलक (आधार) समानांतर तलों में स्थित हैं, और जो किनारे इन फलकों में नहीं हैं वे एक दूसरे के समानांतर हैं।
आधारों के अतिरिक्त अन्य फलकों को कहा जाता है पार्श्व.
पार्श्व फलकों और आधारों की भुजाएँ कहलाती हैं प्रिज्म पसलियां, किनारों के सिरे कहलाते हैं प्रिज्म के शीर्ष. पार्श्व पसलियाँवे किनारे जो आधार से संबंधित नहीं होते, कहलाते हैं। पार्श्व फलकों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पार्श्व सतह, और सभी चेहरों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पूरी सतह. प्रिज्म की ऊंचाईऊपरी आधार के बिंदु से निचले आधार के तल पर गिराया गया लंब या इस लंब की लंबाई कहलाता है। प्रत्यक्ष प्रिज्मप्रिज्म कहलाता है जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत होते हैं। सहीइसे एक सीधा प्रिज्म कहा जाता है (चित्र 3), जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज स्थित है।

पदनाम:
एल - पार्श्व पसली;
पी - आधार परिधि;
एस ओ - आधार क्षेत्र;
एच - ऊंचाई;
पी^ - लंबवत खंड परिधि;
एस बी - पार्श्व सतह क्षेत्र;
वी - मात्रा;
एस पी प्रिज्म की कुल सतह का क्षेत्रफल है।

परिभाषा 2 . प्रिज्मीय सतह का एक लंबवत खंड इस सतह का एक खंड है जो इसके किनारों पर लंबवत होता है। पिछले प्रमेय के आधार पर, एक ही प्रिज्मीय सतह के सभी लंबवत खंड समान बहुभुज होंगे।

परिभाषा 3 . प्रिज्म एक बहुफलक है जो एक प्रिज्मीय सतह और एक दूसरे के समानांतर दो विमानों से घिरा होता है (लेकिन प्रिज्मीय सतह के किनारों के समानांतर नहीं)
इन अंतिम तलों में पड़े चेहरों को कहा जाता है प्रिज्म आधार; प्रिज्मीय सतह से संबंधित चेहरे - पार्श्व चेहरे; प्रिज्मीय सतह के किनारे - प्रिज्म की पार्श्व पसलियाँ. पिछले प्रमेय के आधार पर प्रिज्म का आधार है समान बहुभुज. प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक - समानांतर चतुर्भुज; सभी पार्श्व पसलियाँ एक दूसरे के बराबर हैं।
जाहिर है, यदि प्रिज्म का आधार ABCDE और किनारों में से एक AA" आकार और दिशा में दिया गया है, तो किनारों BB", CC", ... को किनारे AA के बराबर और समानांतर खींचकर एक प्रिज्म का निर्माण करना संभव है। .

परिभाषा 4 . किसी प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी (HH") होती है।

परिभाषा 5 . एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके आधार प्रिज्मीय सतह के लंबवत खंड हों। इस मामले में, प्रिज्म की ऊंचाई, निश्चित रूप से, इसकी है पार्श्व पसली; पार्श्व किनारे होंगे आयत.
प्रिज्म को बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर पार्श्व फलकों की संख्या के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है जो इसके आधार के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार, प्रिज्म त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय आदि हो सकते हैं।

प्रमेय 2 . प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व किनारे और लंबवत खंड की परिधि के उत्पाद के बराबर है।
मान लीजिए कि ABCDEA"B"C"D"E" एक दिया गया प्रिज्म है और इसका लंबवत खंड abcde है, ताकि खंड ab, bc, .. इसके पार्श्व किनारों पर लंबवत हों। फलक ABA"B" एक समांतर चतुर्भुज है; इसका क्षेत्रफल आधार AA के गुणनफल के बराबर है " उस ऊँचाई तक जो ab से मेल खाती है; चेहरे का क्षेत्रफल ВСВ "С" ऊँचाई bc आदि द्वारा आधार ВВ" के गुणनफल के बराबर है। नतीजतन, पार्श्व सतह(अर्थात्, पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग) पार्श्व किनारे के गुणनफल के बराबर है, दूसरे शब्दों में, खंड AA", BB", .. की कुल लंबाई, ab+bc+cd के योग से +डी+ईए.

सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी

प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) कहलाती है जोड़पार्श्व चेहरों के क्षेत्र. प्रिज्म की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होती है।

प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई, यानी पार्श्व किनारे की लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है।

सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई पार्श्व किनारों की लंबाई के बराबर है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रिज्म की पार्श्व सतह बराबर होती है

एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,

जहां a 1 और n आधार किनारों की लंबाई हैं, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व किनारों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

व्यावहारिक कार्य

समस्या (22) . इसे एक झुके हुए प्रिज्म में किया जाता है अनुभाग, पार्श्व पसलियों के लंबवत और सभी पार्श्व पसलियों को काटते हुए। प्रिज्म की पार्श्व सतह ज्ञात करें यदि अनुप्रस्थ काट की परिधि p के बराबर है और पार्श्व किनारे l के बराबर हैं।

समाधान। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को प्रिज्म के आधारों को मिलाकर समानांतर अनुवाद के अधीन करें। इस मामले में, हमें एक सीधा प्रिज्म मिलता है, जिसका आधार मूल प्रिज्म का क्रॉस-सेक्शन है, और साइड किनारे एल के बराबर हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह मूल प्रिज्म के समान ही है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर है।

कवर किए गए विषय का सारांश

आइए अब प्रिज्म के बारे में हमने जो विषय कवर किया है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में क्या गुण हैं।

प्रिज्म गुण

सबसे पहले, एक प्रिज्म के सभी आधार समान बहुभुज के रूप में होते हैं;
दूसरे, एक प्रिज्म में उसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;
तीसरा, प्रिज्म जैसी बहुआयामी आकृति में, सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रा सीधे या झुके हुए हो सकते हैं।

किस प्रिज्म को सीधा प्रिज्म कहा जाता है?

यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित है, तो ऐसे प्रिज्म को सीधा प्रिज्म कहा जाता है।

यह स्मरण करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।

किस प्रकार के प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है?

लेकिन यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।

किस प्रिज्म को सही कहा जाता है?

यदि एक नियमित बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म नियमित होता है।

आइए अब उन गुणों को याद करें जो एक नियमित प्रिज्म में होते हैं।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

सबसे पहले, हमेशा कारण सही प्रिज्मनियमित बहुभुज सेवा करते हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे हमेशा रहेंगे समान आयतें;
तीसरा, यदि आप पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो एक नियमित प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, एक सही प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पांचवां, यदि किसी नियमित प्रिज्म में पार्श्व फलकों का आकार वर्गों जैसा हो, तो ऐसी आकृति को आमतौर पर अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रिज्म क्रॉस सेक्शन

आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:

गृहकार्य

आइए अब समस्याओं को हल करके सीखे गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।

आइए एक झुका हुआ त्रिकोणीय प्रिज्म बनाएं, इसके किनारों के बीच की दूरी बराबर होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी2 के बराबर होगी। इन मापदंडों को ध्यान में रखते हुए, इस प्रिज्म का पार्श्व किनारा खोजें।

क्या आप जानते हैं कि ज्यामितीय आंकड़ेन केवल ज्यामिति पाठों में, बल्कि अंदर भी हमें लगातार घेरते रहते हैं रोजमर्रा की जिंदगीऐसी वस्तुएं हैं जो किसी न किसी ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती हैं।

घर, स्कूल या कार्यस्थल पर हर किसी के पास कंप्यूटर है, सिस्टम इकाईजिसका आकार सीधे प्रिज्म जैसा है।

यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाएंगे तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।

शहर की केंद्रीय सड़क पर चलते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल पड़ी है जिसका आकार षट्कोणीय प्रिज्म जैसा है।

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

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