आधुनिक मैकेनिकल इंजीनियरिंग में बहुत सारे तत्वों और स्पेयर पार्ट्स का उपयोग किया जाता है, जिनकी संरचना में बाहरी और आंतरिक दोनों वृत्त होते हैं। सबसे एक ज्वलंत उदाहरणबियरिंग हाउसिंग, मोटर पार्ट्स, हब असेंबली और बहुत कुछ के रूप में काम कर सकता है। उनके उत्पादन में, न केवल उच्च तकनीक वाले उपकरणों का उपयोग किया जाता है, बल्कि ज्यामिति का ज्ञान भी होता है, विशेष रूप से त्रिभुज के वृत्तों के बारे में जानकारी का। इस ज्ञान से हम नीचे और अधिक विस्तार से परिचित होंगे।

कौन सा वृत्त अंकित है और कौन सा परिचालित है?

सबसे पहले, याद रखें कि एक वृत्त एक अनंत है केंद्र से समान दूरी पर बिंदुओं का समूह. यदि किसी बहुभुज के अंदर एक ऐसा वृत्त बनाना संभव है जिसमें प्रत्येक पक्ष के साथ केवल एक उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन बिंदु हो, तो इसे उत्कीर्ण कहा जाएगा। एक परिबद्ध वृत्त (वृत्त नहीं, यह है विभिन्न अवधारणाएँ) बिंदुओं का एक स्थान है जैसे कि किसी दिए गए बहुभुज के साथ निर्मित आकृति सामान्य बिंदुवहाँ केवल बहुभुज के शीर्ष होंगे। आइए अधिक स्पष्ट उदाहरण का उपयोग करके इन दो अवधारणाओं से परिचित हों (चित्र 1 देखें)।

चित्र 1. एक त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्त

छवि बड़े और छोटे व्यास की दो आकृतियाँ दिखाती है, जिनके केंद्र G और I. वृत्त हैं अधिक मूल्यवर्णित पड़ोस को Δ ABC कहा जाता है, और छोटे को, इसके विपरीत, Δ ABC में अंकित कहा जाता है।

किसी त्रिभुज के चारों ओर के परिवेश का वर्णन करने के लिए, यह आवश्यक है प्रत्येक भुजा के मध्य से होकर एक लंब रेखा खींचें(अर्थात 90° के कोण पर) प्रतिच्छेदन बिंदु है, यह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह परिबद्ध वृत्त का केंद्र होगा। एक वृत्त खोजने से पहले, एक त्रिभुज में उसका केंद्र, आपको प्रत्येक कोण का निर्माण करना होगा, और फिर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का चयन करना होगा। यह, बदले में, अंकित पड़ोस का केंद्र होगा, और किसी भी परिस्थिति में इसका त्रिज्या किसी भी पक्ष के लंबवत होगा।

इस प्रश्न पर: "तीन वाले बहुभुज में कितने अंकित वृत्त हो सकते हैं?" आइए हम तुरंत उत्तर दें कि एक वृत्त को किसी भी त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है, और केवल एक ही। क्योंकि सभी समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु केवल एक होता है और भुजाओं के मध्य बिंदुओं से निकलने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी एक ही होता है।

वृत्त का वह गुण जिससे त्रिभुज के शीर्ष संबंधित होते हैं

परिचालित वृत्त, जो आधार पर भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करता है, के अपने गुण होते हैं। आइए हम परिबद्ध वृत्त के गुणों को इंगित करें:

परिचालित वृत्त के सिद्धांत को अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए एक सरल समस्या का समाधान करें। आइए मान लें कि हमें एक त्रिभुज Δ ABC दिया गया है, जिसकी भुजाएँ 10, 15 और 8.5 सेमी हैं। त्रिभुज (FB) के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या 7.9 सेमी है और उनके माध्यम से प्रत्येक कोण का डिग्री माप ज्ञात करें त्रिभुज का क्षेत्रफल.

चित्र 2. कोणों की भुजाओं और ज्याओं के अनुपात का उपयोग करके एक वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना

समाधान: पहले बताए गए ज्या प्रमेय के आधार पर, हम प्रत्येक कोण की ज्या का मान अलग से ज्ञात करते हैं। शर्त के अनुसार, यह ज्ञात है कि भुजा AB 10 सेमी है। आइए C का मान ज्ञात करें:

ब्रैडिस तालिका के मानों का उपयोग करके, हम पाते हैं कि कोण C का डिग्री माप 39° है। उसी विधि का उपयोग करके, हम कोणों के शेष माप ज्ञात कर सकते हैं:

हम कैसे जानते हैं कि CAB = 33°, और ABC = 108° है। अब, प्रत्येक कोण और त्रिज्या की ज्याओं का मान जानते हुए, आइए पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके क्षेत्रफल ज्ञात करें:

उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल 40.31 सेमी² है, और कोण क्रमशः 33°, 108° और 39° हैं।

महत्वपूर्ण!इस प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, आपके स्मार्टफ़ोन पर हमेशा ब्रैडिस टेबल या संबंधित एप्लिकेशन होना उपयोगी होगा, क्योंकि मैन्युअल प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है। लंबे समय तक. साथ ही, अधिक समय बचाने के लिए, लम्ब के सभी तीन मध्यबिंदुओं या तीन समद्विभाजकों का निर्माण करना आवश्यक नहीं है। उनमें से कोई भी तीसरा सदैव पहले दो के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा। और एक रूढ़िवादी निर्माण के लिए, तीसरा आमतौर पर पूरा हो जाता है। हो सकता है कि एल्गोरिथम के संदर्भ में यह गलत हो, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा या अन्य परीक्षाओं में यह बहुत समय बचाता है।

एक अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना

किसी वृत्त के सभी बिंदु उसके केंद्र से समान दूरी पर समान दूरी पर होते हैं। इस खंड की लंबाई (से और तक) त्रिज्या कहलाती है। हमारा पर्यावरण किस प्रकार का है, इसके आधार पर पर्यावरण दो प्रकार का होता है - आंतरिक और बाह्य। उनमें से प्रत्येक की गणना अपने स्वयं के सूत्र का उपयोग करके की जाती है और यह सीधे मापदंडों की गणना से संबंधित है जैसे:

• वर्ग;
• प्रत्येक कोण का डिग्री माप;
• पार्श्व की लंबाई और परिधि।

चित्र 3. त्रिभुज के अंदर अंकित वृत्त का स्थान

आप केंद्र से दोनों ओर संपर्क बिंदु तक की दूरी की लंबाई की गणना निम्नलिखित तरीकों से कर सकते हैं: एच किनारों, किनारों और कोनों के माध्यम से(एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए)।

अर्ध-परिधि का उपयोग करना

एक अर्धपरिधि सभी भुजाओं की लंबाई के योग का आधा होता है। यह विधि सर्वाधिक लोकप्रिय एवं सर्वमान्य मानी जाती है, क्योंकि परिस्थिति के अनुसार चाहे किसी भी प्रकार का त्रिभुज दिया गया हो, यह सभी के लिए उपयुक्त है। गणना प्रक्रिया इस प्रकार है:

यदि "सही" दिया गया है

"आदर्श" त्रिभुज का एक छोटा सा लाभ यह है अंकित और परिचालित वृत्तों का केंद्र एक ही बिंदु पर होता है. आकृतियाँ बनाते समय यह सुविधाजनक होता है। हालाँकि, 80% मामलों में उत्तर "बदसूरत" होता है। यहां अभिप्राय यह है कि बहुत कम ही अंकित पड़ोस का दायरा पूर्ण होगा, बल्कि विपरीत होगा। सरलीकृत गणना के लिए, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें:

यदि भुजाएँ समान लंबाई की हों

राज्य के लिए कार्यों के उपप्रकारों में से एक। परीक्षा में एक त्रिभुज के अंकित वृत्त की त्रिज्या का पता लगाना होगा, जिसकी दो भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर हैं और तीसरी नहीं। इस मामले में, हम इस एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह देते हैं, जिससे अंकित क्षेत्र के व्यास की खोज करने में काफी समय की बचत होगी। समान "भुजाओं" वाले त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

हम निम्नलिखित समस्या में इन सूत्रों का अधिक स्पष्ट अनुप्रयोग प्रदर्शित करेंगे। आइए हमारे पास एक त्रिभुज (Δ HJI) है, जिसमें बिंदु K पर पड़ोस अंकित है। भुजा HJ की लंबाई = 16 सेमी, JI = 9.5 सेमी और भुजा HI 19 सेमी है (चित्र 4)। भुजाओं को जानकर, अंकित पड़ोस की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

चित्र 4. अंकित वृत्त की त्रिज्या का मान ज्ञात करना

समाधान: उत्कीर्ण वातावरण की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम अर्ध-परिधि पाते हैं:

यहां से हम गणना तंत्र को जानकर निम्नलिखित मान ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको प्रत्येक पक्ष की लंबाई (शर्त के अनुसार दी गई), साथ ही आधी परिधि की आवश्यकता होगी, यह पता चलता है:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अभीष्ट त्रिज्या 3.63 सेमी है। शर्त के अनुसार, सभी भुजाएँ समान हैं, तो वांछित त्रिज्या बराबर होगी:

बशर्ते कि बहुभुज समद्विबाहु हो (उदाहरण के लिए, i = h = 10 सेमी, j = 8 सेमी), बिंदु K पर केन्द्रित आंतरिक वृत्त का व्यास इसके बराबर होगा:

समस्या में 90° के कोण वाला एक त्रिभुज हो सकता है, इस स्थिति में सूत्र को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। त्रिभुज का कर्ण व्यास के बराबर होगा। यह इस प्रकार अधिक स्पष्ट रूप से दिखता है:

महत्वपूर्ण!यदि कार्य आंतरिक त्रिज्या ज्ञात करना है, तो हम कोणों की ज्या और कोज्या के मानों का उपयोग करके गणना करने की अनुशंसा नहीं करते हैं, जिसका तालिका मान ठीक से ज्ञात नहीं है। यदि अन्यथा लंबाई ज्ञात करना असंभव है, तो मूल के नीचे से मान को "खींचने" का प्रयास न करें। 40% समस्याओं में, परिणामी मूल्य पारलौकिक (अर्थात अनंत) होगा, और आयोग इसकी अशुद्धि के कारण उत्तर की गणना नहीं कर सकता है (भले ही वह सही हो) या अनियमित आकारप्रस्तुतियाँ। विशेष ध्यानइस बात पर ध्यान दें कि प्रस्तावित डेटा के आधार पर त्रिभुज की परिधि के सूत्र को कैसे संशोधित किया जा सकता है। इस तरह के "रिक्त स्थान" आपको किसी समस्या को पहले से हल करने के परिदृश्य को "देखने" और सबसे किफायती समाधान चुनने की अनुमति देते हैं।

आंतरिक वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल

किसी वृत्त में अंकित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए केवल का प्रयोग करें बहुभुज की त्रिज्या और भुजाओं की लंबाई:

यदि समस्या कथन सीधे त्रिज्या का मान नहीं देता है, बल्कि केवल क्षेत्र देता है, तो संकेतित क्षेत्र सूत्र निम्नलिखित में परिवर्तित हो जाता है:

आइए अंतिम सूत्र के प्रभाव पर अधिक विचार करें विशिष्ट उदाहरण. मान लीजिए कि हमें एक त्रिभुज दिया गया है जिसमें पड़ोस अंकित है। पड़ोस का क्षेत्रफल 4π है, और भुजाएँ क्रमशः 4, 5 और 6 सेमी हैं। आइए अर्ध-परिधि की गणना करके किसी दिए गए बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

इस तथ्य के कारण कि किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, क्षेत्रफल ज्ञात करने में विविधताओं की संख्या काफी बढ़ जाती है। वे। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक भुजा की लंबाई, साथ ही त्रिज्या का मान जानने की आवश्यकता होती है।

एक वृत्त ज्यामिति ग्रेड 7 में अंकित त्रिभुज

एक वृत्त में अंकित समकोण त्रिभुज

निष्कर्ष

इन सूत्रों से आप निश्चिंत हो सकते हैं कि अंकित और परिबद्ध वृत्तों का उपयोग करने वाली किसी भी समस्या की जटिलता आवश्यक मानों को खोजने के लिए अतिरिक्त क्रियाओं में ही निहित है। इस प्रकार की समस्याओं के लिए केवल सूत्रों के सार की गहन समझ, साथ ही उनके अनुप्रयोग की तर्कसंगतता की आवश्यकता होती है। हल करने के अभ्यास से, हम ध्यान देते हैं कि भविष्य में परिचालित वृत्त का केंद्र आगे के ज्यामिति विषयों में दिखाई देगा, इसलिए इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। अन्यथा, अनावश्यक चालों और तार्किक निष्कर्षों का उपयोग करके समाधान में देरी हो सकती है।

निर्देश

यदि आपके पास निर्माण करते समय चांदे का उपयोग करने का अवसर है, तो वृत्त पर एक मनमाना बिंदु चुनकर शुरुआत करें, जो सही शीर्ष के शीर्षों में से एक बनना चाहिए। उदाहरण के लिए, इसे अक्षर A से लेबल करें।

A को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाला एक सहायक खंड बनाएं। इस खंड में एक चांदा जोड़ें ताकि शून्य विभाजन वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाए, और 120° के निशान पर एक सहायक बिंदु रखें। इस बिंदु के माध्यम से, चौराहे पर सर्कल के केंद्र में शुरुआत के साथ एक और सहायक खंड बनाएं परिधि. प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर B से चिह्नित करें - यह अंकित का दूसरा शीर्ष है त्रिकोण.

पिछले चरण को दोहराएं, लेकिन चांदा को दूसरे सहायक खंड और चौराहे के बिंदु पर लागू करें परिधिइसे अक्षर C से निर्दिष्ट करें। अब आपको चाँदे की आवश्यकता नहीं होगी।

यदि कोई चांदा नहीं है, लेकिन एक दिशा सूचक यंत्र है, तो भुजा की लंबाई की गणना करके प्रारंभ करें त्रिकोण. आप शायद जानते हैं कि इसे परिचालित वृत्त की त्रिज्या के रूप में, इसे तीन गुना से गुणा करके व्यक्त किया जा सकता है वर्गमूलतीन में से, यानी लगभग 1.732050807568877 तक। इसे अपनी वांछित सटीकता के अनुसार गोल करें और वृत्त की त्रिज्या से गुणा करें।

कम्पास पर पांचवें चरण में पाई गई साइड की लंबाई को अलग रखें। त्रिकोणऔर बिंदु A पर केंद्र के साथ एक सहायक वृत्त। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को B और C अक्षरों से निर्दिष्ट करें - ये वृत्त में अंकित नियमित वृत्त के अन्य दो शीर्ष हैं त्रिकोण.

बिंदु A और B, B और C, C और A को जोड़ें और निर्माण पूरा हो जाएगा।

यदि कोई वृत्त किसी दिए गए त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूता है और उसका केंद्र त्रिभुज के अंदर है, तो इसे त्रिभुज में अंकित कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• शासक, दिशा सूचक यंत्र

निर्देश

रूलर के अनुदिश चापों का प्रतिच्छेदन बिंदु विभाज्य कोण के शीर्ष से जुड़ा होता है;

किसी अन्य कोण के साथ भी ऐसा ही किया जाता है;

स्रोत:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

सही त्रिकोण- वह जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों। इस परिभाषा के आधार पर इस प्रकार की विविधता का निर्माण होता है त्रिकोणलेकिन यह कोई मुश्किल काम नहीं है.

आपको चाहिये होगा

• शासक, पंक्तिबद्ध कागज की शीट, पेंसिल

निर्देश

कृपया ध्यान

एक नियमित (समबाहु) त्रिभुज में सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं।

उपयोगी सलाह

एक समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज भी होता है। यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, तो इसका मतलब है कि इसकी 3 में से 2 भुजाएँ बराबर हैं, और तीसरी भुजा को आधार माना जाता है। कोई नियमित त्रिकोणसमद्विबाहु है, जबकि इसका विपरीत सत्य नहीं है।

टिप 4: एक वृत्त में अंकित त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कई तरीकों से की जा सकती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समस्या की स्थिति से क्या मान ज्ञात होता है। किसी त्रिभुज के आधार और ऊंचाई को देखते हुए, आधे आधार और ऊंचाई के गुणनफल की गणना करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। दूसरी विधि में त्रिभुज के परिवृत्त के माध्यम से क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

निर्देश

प्लैनिमेट्री समस्याओं में, आपको एक वृत्त में अंकित या उसके चारों ओर परिचालित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है। एक बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित माना जाता है यदि वह बाहर है और उसकी भुजाएँ वृत्त को छूती हैं। एक वृत्त के अंदर स्थित बहुभुज को उसमें अंकित माना जाता है यदि उसके वृत्त उस पर स्थित हों। यदि समस्या दी गई है, जो अंकित है, तो उसके तीनों शीर्ष वृत्त को स्पर्श करते हैं। किस प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जा रहा है, इसके आधार पर कार्य की विधि चुनी जाती है।

सबसे सरल मामला तब होता है जब एक नियमित त्रिभुज अंकित होता है। चूँकि ऐसे त्रिभुज में सब कुछ है, वृत्त की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के आधे के बराबर है। इसलिए, एक त्रिभुज का, आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस मामले में, आप इस क्षेत्र की गणना निम्न में से किसी भी तरीके से कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:
R=abc/4S, जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

दूसरी स्थिति तब उत्पन्न होती है जब त्रिभुज समद्विबाहु होता है। यदि त्रिभुज का आधार वृत्त के व्यास की रेखा से मेल खाता है या व्यास त्रिभुज की ऊंचाई भी है, तो क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
S=1/2h*AC, जहां AC त्रिभुज का आधार है
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या, उसके कोण, साथ ही वृत्त के व्यास के साथ मेल खाने वाला आधार ज्ञात है, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात ऊंचाई पाई जा सकती है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसका आधार वृत्त के व्यास से मेल खाता है:
एस=आर*एच
एक अन्य मामले में, जब ऊंचाई एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर घिरे वृत्त के व्यास के बराबर होती है, तो इसका क्षेत्रफल बराबर होता है:
एस=आर*एसी

कई समस्याओं में, एक वृत्त में एक समकोण त्रिभुज अंकित होता है। इस स्थिति में, वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य में स्थित होता है। किसी त्रिभुज के कोणों और आधार को जानकर, आप ऊपर वर्णित किसी भी विधि का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।
अन्य मामलों में, विशेषकर जब त्रिभुज न्यून या अधिक कोण हो, तो उपरोक्त सूत्रों में से केवल पहला ही लागू होता है।

कार्य फिट होना है घेरा बहुभुजअक्सर एक वयस्क को भ्रमित कर सकता है। उसके निर्णय को स्कूली बच्चे को समझाने की आवश्यकता है, इसलिए माता-पिता समाधान की तलाश में वर्ल्ड वाइड वेब पर सर्फिंग करते हैं।

निर्देश

खींचना घेरा. कम्पास सुई को वृत्त के किनारे पर रखें, लेकिन त्रिज्या न बदलें। क्रॉस करते हुए दो चाप बनाएं घेरा, कम्पास को दाएँ और बाएँ घुमाना।

कम्पास सुई को वृत्त के अनुदिश उस बिंदु तक ले जाएँ जहाँ चाप उसे काटता है। कम्पास को फिर से घुमाएँ और वृत्त की रूपरेखा को पार करते हुए दो और चाप बनाएँ। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएँ जब तक कि यह पहले बिंदु से प्रतिच्छेद न हो जाए।

खींचना घेरा. इसके केंद्र से व्यास खींचें, रेखा क्षैतिज होनी चाहिए। वृत्त के केंद्र से होकर एक लंबवत रेखा बनाएं (उदाहरण के लिए सीबी)।

त्रिज्या को आधे में विभाजित करें. इस बिंदु को व्यास रेखा पर चिह्नित करें (इसे ए लेबल करें)। निर्माण घेराबिंदु A पर केंद्र और AC त्रिज्या के साथ। जब यह एक क्षैतिज रेखा के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो आपको एक और बिंदु मिलेगा (उदाहरण के लिए डी)। परिणामस्वरूप, खंड सीडी पंचकोण का वह भाग होगा जिसे अंकित करने की आवश्यकता है।

वृत्त की रूपरेखा के अनुदिश अर्धवृत्त बिछाएं, जिसकी त्रिज्या सीडी के बराबर हो। इस प्रकार, मूल घेरापांच बराबर भागों में बांटा जाएगा. बिन्दुओं को रूलर से जोड़ें। पंचकोण अंकित करने की समस्या घेरापूरा भी हो गया.

निम्नलिखित को फिट करके वर्णित किया गया है घेरावर्ग। एक व्यास रेखा खींचिए. एक चांदा ले लो. इसे उस बिंदु पर रखें जहां व्यास वृत्त के किनारे को काटता है। कम्पास को त्रिज्या की लंबाई तक खोलें।

जब तक वे प्रतिच्छेद न करें तब तक दो चाप बनाएं घेरायू, कम्पास को एक दिशा या दूसरी दिशा में मोड़ना। कम्पास के पैर को विपरीत बिंदु पर ले जाएं और उसी समाधान से दो और चाप बनाएं। परिणामी बिंदुओं को कनेक्ट करें।

व्यास का वर्ग करें, दो से विभाजित करें और मूल लें। परिणामस्वरूप, आपको एक वर्ग की एक भुजा मिलेगी जो आसानी से फिट हो जाएगी घेरा. कम्पास को इस लंबाई तक खोलें। उसकी सुई लगाओ घेराऔर वृत्त की एक भुजा को काटते हुए एक चाप खींचिए। कम्पास के पैर को परिणामी बिंदु पर ले जाएँ। फिर से चाप बनाएं.

प्रक्रिया को दोहराएं और दो और बिंदु बनाएं। सभी चार बिंदुओं को कनेक्ट करें. यह एक वर्ग को फिट करने का एक आसान तरीका है घेरा.

में फिट होने के कार्य पर विचार करें घेरा. खींचना घेरा. वृत्त पर मनमाने ढंग से एक बिंदु लें - यह त्रिभुज का शीर्ष होगा। इस बिंदु से, एक कम्पास बनाए रखते हुए, एक चाप खींचें जब तक कि यह प्रतिच्छेद न हो जाए घेरायु. यह दूसरा शिखर होगा. इसी प्रकार इससे तीसरा शीर्ष भी बनाइये। बिन्दुओं को रूलर से जोड़ें। समाधान मिल गया है.

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अभिन्न अंगों में से एक होने के नाते स्कूल के पाठ्यक्रम, नियमित बहुभुजों के निर्माण के लिए ज्यामितीय समस्याएँ काफी मामूली हैं। एक नियम के रूप में, निर्माण बहुभुज अंकित करके किया जाता है घेरा, जो पहले खींचा जाता है। पर क्या अगर घेरादिया गया है, लेकिन आंकड़ा बहुत जटिल है?

आपको चाहिये होगा

• - शासक;
• - दिशा सूचक यंत्र;
• - पेंसिल;
• - कागज का टुकड़ा।

निर्देश

एबी पर लंबवत एक रेखा खंड बनाएं और इसे चौराहे बिंदु पर दो बराबर भागों में विभाजित करें। कम्पास सुई को बिंदु ए पर रखें। पैर को सीसे के साथ बिंदु बी पर रखें, या खंड पर किसी भी बिंदु पर रखें जो ए की तुलना में बी के करीब है। ड्रा करें घेरा. कम्पास के पैरों के कोण को बदले बिना, इसकी सुई को बिंदु बी पर सेट करें। दूसरा बनाएं घेरा.खींचे गए वृत्त दो भागों में प्रतिच्छेद करेंगे। उनके बीच से एक सीधी रेखा खींचिए. खंड AB के साथ इस खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु को C के रूप में निर्दिष्ट करें। मूल खंड के साथ इस खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु को निर्दिष्ट करें घेराआपको D और E पसंद है.

इसे आधे में विभाजित करते हुए एक रेखाखंड DE की रचना करें। खंड DE के संबंध में पिछले चरण में वर्णित कार्यों के समान कार्य करें। माना कि खींचा गया खंड DE को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है। यह बिंदु वृत्त का केंद्र होगा। मूल लम्ब के साथ निर्मित लम्ब के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को भी चिह्नित करें घेराआपको F और G पसंद हैं.

कम्पास के पैरों के उद्घाटन को इस प्रकार सेट करें कि उनके सिरों के बीच की दूरी मूल वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो। ऐसा करने के लिए, कम्पास की सुई को बिंदु A, B, D, E, F या G में से किसी एक पर रखें। पैर के सिरे को बिंदु O पर लीड के साथ रखें।

एक नियमित षट्भुज का निर्माण करें. कम्पास सुई को वृत्त रेखा पर किसी भी बिंदु पर रखें। इस बिंदु को H लेबल करें। दक्षिणावर्त दिशा में, कम्पास के साथ एक धनुषाकार पायदान बनाएं ताकि यह वृत्त रेखा को काट दे। इस बिंदु I को लेबल करें। कम्पास सुई को बिंदु I पर ले जाएं। सर्कल पर फिर से एक पायदान बनाएं और परिणामी बिंदु J को लेबल करें। इसी तरह, बिंदु K, L, M का निर्माण करें। बिंदुओं H, I, J, K, L को लगातार कनेक्ट करें। एम, एच जोड़े में .प्राप्त

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कई तरीकों से की जा सकती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समस्या की स्थिति से क्या मान ज्ञात होता है। किसी त्रिभुज के आधार और ऊंचाई को देखते हुए, आधे आधार और ऊंचाई के गुणनफल की गणना करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। दूसरी विधि में त्रिभुज के परिवृत्त के माध्यम से क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

निर्देश

• प्लैनिमेट्री समस्याओं में, आपको एक वृत्त में अंकित या उसके चारों ओर परिचालित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है। एक बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित माना जाता है यदि वह बाहर है और उसकी भुजाएँ वृत्त को छूती हैं। एक वृत्त के अंदर स्थित बहुभुज को अंकित माना जाता है यदि उसके शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित हों। यदि समस्या में एक त्रिभुज दिया गया है जो एक वृत्त में अंकित है, तो इसके तीनों शीर्ष वृत्त को स्पर्श करते हैं। किस प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जा रहा है, इसके आधार पर समस्या को हल करने की विधि चुनी जाती है।
• सबसे सरल मामला तब होता है जब एक वृत्त में एक नियमित त्रिभुज अंकित होता है। चूँकि ऐसे त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, वृत्त की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के आधे के बराबर होती है। इसलिए, किसी त्रिभुज की भुजाओं को जानकर आप उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस मामले में, आप इस क्षेत्र की गणना निम्न में से किसी भी तरीके से कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:
  R=abc/4S, जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, a, b, c त्रिभुज की भुजाएं हैं S=0.25(R/abc)
• दूसरी स्थिति तब उत्पन्न होती है जब त्रिभुज समद्विबाहु होता है। यदि त्रिभुज का आधार वृत्त के व्यास की रेखा से मेल खाता है या व्यास त्रिभुज की ऊंचाई भी है, तो क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
  S=1/2h*AC, जहां AC त्रिभुज का आधार है
  यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के वृत्त की त्रिज्या, उसके कोण और वृत्त के व्यास से मेल खाने वाला आधार ज्ञात हो, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात ऊंचाई पाई जा सकती है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसका आधार वृत्त के व्यास से मेल खाता है:
  एस=आर*एच
  एक अन्य मामले में, जब ऊंचाई एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर घिरे वृत्त के व्यास के बराबर होती है, तो इसका क्षेत्रफल बराबर होता है:
  एस=आर*एसी
• कई समस्याओं में, एक वृत्त में एक समकोण त्रिभुज अंकित होता है। इस स्थिति में, वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य में स्थित होता है। कोणों को जानकर और त्रिभुज का आधार ज्ञात करके, आप ऊपर वर्णित किसी भी विधि का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।
  अन्य मामलों में, विशेषकर जब त्रिभुज न्यून या अधिक कोण हो, तो उपरोक्त सूत्रों में से केवल पहला ही लागू होता है।