उपकरण:

• कंप्यूटर,
• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
• स्क्रीन,
• परिशिष्ट 1(पावरप्वाइंट स्लाइड प्रेजेंटेशन) "घातांकीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
• परिशिष्ट 2(वर्ड में "शक्तियों के तीन अलग-अलग आधार" जैसे समीकरण को हल करना)
• परिशिष्ट 3(वर्ड फॉर में हैंडआउट व्यावहारिक कार्य).
• परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

कक्षाओं के दौरान

• पाठ विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
• कक्षा 10-11 में एक सामान्य पाठ की आवश्यकता:

छात्रों को सक्रिय सीखने के लिए तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक घातांक के साथ एक चर होता है (छात्र के उत्तर)।

शिक्षक का नोट. घातांकीय समीकरण पारलौकिक समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह अप्राप्य नाम बताता है कि ऐसे समीकरणों को आम तौर पर सूत्रों के रूप में हल नहीं किया जा सकता है।

इन्हें लगभग कंप्यूटर पर संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा कार्यों के बारे में क्या? चाल यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से तैयार करता है कि यह एक विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देता है। दूसरे शब्दों में, आप समान परिवर्तन कर सकते हैं (और करना भी चाहिए!) जो इस घातीय समीकरण को सरलतम घातीय समीकरण में बदल देता है। इस सरलतम समीकरण को कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण. इसका समाधान किया जा रहा है लघुगणक द्वारा.

घातीय समीकरण को हल करने की स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से यात्रा की याद दिलाती है, जिसका आविष्कार विशेष रूप से समस्या के लेखक द्वारा किया गया था। इन सामान्य तर्कों से बहुत विशिष्ट सिफ़ारिशों का पालन होता है।

1. न केवल सभी घातांकीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानें, बल्कि उन चर मानों के सेट को भी ढूंढें जिन पर ये पहचान परिभाषित हैं, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय आप अनावश्यक जड़ें न प्राप्त करें, और इससे भी अधिक, समाधान न खोएं समीकरण के लिए.

2. सक्रिय रूप से सभी घातांकीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों का गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न बदलना न भूलें, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहा जाता है। उसी समय, गणना स्वयं हाथ से की जानी चाहिए, और प्रमुख को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तन यथासंभव सावधानी से और विस्तार से किए जाने चाहिए। केवल यही सही, त्रुटि रहित निर्णय की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि बस एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए हैं और भूलभुलैया की दीवार से टकरा गए हैं।

4. समस्याओं को हल करने के तरीके जानें (अर्थात् समाधान चक्रव्यूह से निकलने के सभी रास्ते जानें)। प्रत्येक चरण में सही ढंग से नेविगेट करने के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

• परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
• संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य.

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, कंप्यूटर का उपयोग करने वाले छात्रों के साथ मिलकर, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों की समीक्षा करता है, संकलित करता है सामान्य योजना. (प्रयुक्त प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्रामएल.या. बोरेव्स्की "गणित पाठ्यक्रम - 2000", पावरपॉइंट प्रेजेंटेशन के लेखक टी.एन. हैं। कुप्त्सोवा।)

चावल। 1.यह चित्र सभी प्रकार के घातीय समीकरणों का एक सामान्य आरेख दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति सबसे पहले दिए गए घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, डिग्रियों के समान आधार के साथ , और फिर - और समान डिग्री संकेतकों के साथ।

समान आधारों और घातांकों के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस घातांक को एक नए चर के साथ प्रतिस्थापित करते हैं और इस नए चर के संबंध में एक सरल बीजगणितीय समीकरण (आमतौर पर आंशिक-तर्कसंगत या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करने और विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, आपके पास सरल घातीय समीकरणों का एक सेट होगा जिसे हल किया जा सकता है सामान्य रूप से देखेंलघुगणक का उपयोग करना।

जिन समीकरणों में केवल (आंशिक) शक्तियों के उत्पाद पाए जाते हैं वे बाहर खड़े होते हैं। घातीय पहचानों का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर, विशेष रूप से, सबसे सरल घातीय समीकरण में कम करना संभव है।

आइए देखें कि तीन अलग-अलग आधारों वाले घातांकीय समीकरण को कैसे हल किया जाए।

(यदि शिक्षक के पास एल.वाई. बोरेव्स्की का शैक्षिक कंप्यूटर प्रोग्राम "गणित का पाठ्यक्रम - 2000" है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंटआउट बना सकते हैं, नीचे प्रस्तुत किया गया है।)

चावल। 2.समीकरण को हल करने की योजना बनाएं.

चावल। 3.समीकरण हल करना प्रारंभ करें

चावल। 4.समीकरण को हल करना समाप्त करें.

व्यावहारिक कार्य करना

समीकरण का प्रकार निर्धारित करें और उसे हल करें।

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

पाठ का सारांश

पाठ के लिए ग्रेडिंग.

पाठ का अंत

शिक्षक के लिए

उत्तर योजना का अभ्यास करें.

व्यायाम:समीकरणों की सूची से, निर्दिष्ट प्रकार के समीकरण चुनें (तालिका में उत्तर संख्या दर्ज करें):

1. तीन अलग-अलग डिग्री आधार
2. दो अलग-अलग आधार - विभिन्न संकेतकडिग्री
3. घातों का आधार - एक संख्या की घातें
4. समान आधार - अलग-अलग घातांक
5. डिग्रियों के वही आधार - डिग्रियों के वही सूचक
6. शक्तियों का उत्पाद
7. दो अलग-अलग डिग्री आधार - समान संकेतक
8. सबसे सरल घातीय समीकरण

1. (शक्तियों का उत्पाद)

2. (समान आधार - अलग-अलग घातांक)

व्याख्यान: "घातांकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।"

1 . घातीय समीकरण.

घातांकों में अज्ञात वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहा जाता है। उनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहां a > 0, a ≠ 1.

1) बी पर< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फ़ंक्शन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक अद्वितीय मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, аx = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा घातीय समीकरण मानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार पर कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर पेश करने की विधि;

5) गुणनखंडन विधि;

6) सांकेतिक – शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ प्रदर्शनात्मक।

2 . एक आधार पर घटाने की विधि.

विधि पर आधारित है निम्नलिखित संपत्तिडिग्री: यदि दो डिग्री बराबर हैं और उनके आधार बराबर हैं, तो उनके घातांक बराबर हैं, यानी, हमें समीकरण को फॉर्म में कम करने का प्रयास करना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x = 81;

आइए समीकरण के दाहिने पक्ष को 81 = 34 के रूप में निरूपित करें और मूल 3 x = 34 के समतुल्य समीकरण लिखें; x = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width=”52″ऊंचाई=”49″>और आइए घातांक 3x+1 = 3 – 5x; 8x = के समीकरण पर चलते हैं 4; x = 0.5 उत्तर: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width=”105” ऊंचाई=”47”>

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, √5 और 25, 5 की शक्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को निम्नानुसार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, जिससे हमें हल x = -1 मिलता है। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35. उत्तर: लॉग35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 के रूप में फिर से लिखें, यानी..png" width='181' ऊंचाई='49 src='> इसलिए x – 4 =0, x = 4. उत्तर: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 के रूप में लिखते हैं, फिर 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, यानी यानी x+1 = 2, x =1. उत्तर 1।

समस्या बैंक नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

टेस्ट नंबर 2

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फ़ंक्शन f(x) अंतराल I पर बढ़ता (घटता) है, तो संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f(x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल होता है।

अनुमान विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन की एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 – x.

समाधान। आइए समीकरण को 4x +x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x = 1, तो 41+1 = 5, 5 = 5 सत्य है, जिसका अर्थ है कि 1 समीकरण का मूल है।

फ़ंक्शन f(x) = 4x - R पर बढ़ता है, और g(x) = x - R पर बढ़ता है => h(x)= f(x)+g(x) R पर बढ़ता है, जैसे-जैसे कार्यों का योग बढ़ता है, तब x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

समाधान। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3 सत्य है, जिसका अर्थ है कि x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध करें कि वह अकेला है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है=> h(x) = f(x)+g(x) - R पर घटता है, जैसे कि योग घटते कार्य. इसका मतलब है, मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

समस्या बैंक नंबर 2. प्रश्न हल करें

ए) 4एक्स + 1 =6 – एक्स;

बी)

ग) 2x – 2 =1 – x;

4. नए वेरिएबल पेश करने की विधि।

विधि पैराग्राफ 2.1 में वर्णित है। एक नए चर (प्रतिस्थापन) का परिचय आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद किया जाता है। आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण। आरप्रश्न हल करें: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width=”128” ऊंचाई=”48 src=”> यानी..png” width=”210” ऊंचाई = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

आइए https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width='245' ऊंचाई='57'> निर्दिष्ट करें - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width=”268” ऊंचाई=”51”> - अपरिमेय समीकरण. हम ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 ≤ 4 है, जिसका अर्थ है कि 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर: 2.5.

समाधान। आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png' width='118' ऊंचाई='56'>

द्विघात समीकरण के मूल t1 = 1 और t2 हैं<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

आइये https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png' width='16' ऊँचाई='41 src='> को प्रतिस्थापित करें।

उत्तर: 0; 0.5.

समस्या बैंक क्रमांक 3. प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट नंबर 3 उत्तरों के विकल्प के साथ. न्यूनतम स्तर.

टेस्ट नंबर 4 उत्तरों के विकल्प के साथ. सामान्य स्तर.

5. गुणनखंडन विधि.

1. समीकरण हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24.

समाधान..png' width='169' ऊंचाई='69'> , कहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

समाधान। आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक में से 6x और दाईं ओर 2x रखें। हमें समीकरण मिलता है 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 मिलता है।

3.

समाधान। आइए गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

आइए द्विपद का वर्ग चुनें

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width=”500” ऊंचाई=”181”>

x = -2 समीकरण का मूल है.

समीकरण x + 1 = 0 " शैली = "बॉर्डर-पतन:पतन;सीमा:कोई नहीं">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट नंबर 6 सामान्य स्तर.

6. घातांकीय - शक्ति समीकरण।

घातीय समीकरणों के निकट तथाकथित घातीय-शक्ति समीकरण हैं, अर्थात, (f(x))g(x) = (f(x))h(x) के रूप के समीकरण।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) ≠ 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) को बराबर करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" width=”182″ ऊंचाई=”116 src=”>

2.

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि यह एक बहुपद है, जिसका अर्थ है कि समीकरण समग्रता के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width=”137” ऊंचाई=”35”>

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) है एकमात्र निर्णय?

समाधान। आइए प्रतिस्थापन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण का विभेदक (2) डी = (5पी – 3)2 – 4(4पी2 – 3पी) = 9(पी – 1)2.

यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है तो समीकरण (1) का एक अद्वितीय समाधान है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है.

1. यदि D = 0, यानी, p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय समाधान x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p – 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो अलग-अलग मूल हैं t1 = p, t2 = 4p – 3. समस्या की स्थितियाँ प्रणालियों के एक सेट से संतुष्ट होती हैं

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 - 6t - a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए पैरामीटर a का मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण (4) का कम से कम एक मूल शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए फलन f(t) = t2 – 6t – a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} द्विघात त्रिपदएफ(टी);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

केस 2. समीकरण (4) में एक अद्वितीयता है सकारात्मक निर्णय, अगर

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

स्थिति 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t > 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt='no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 के लिए, समीकरण (4) का एक ही धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय समाधान है

जब एक< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

यदि  0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय एक द्विघात समीकरण में बदल दिया गया था, जिसका विभेदक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके समीकरण (2) की जड़ों की तुरंत गणना की गई, और फिर इन जड़ों के संबंध में निष्कर्ष निकाले गए। समीकरण (3) को एक द्विघात समीकरण (4) में बदल दिया गया है, जिसका विभेदक एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए, समीकरण (3) को हल करते समय, द्विघात त्रिपद की जड़ों के स्थान पर प्रमेय का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। और एक ग्राफिकल मॉडल. ध्यान दें कि समीकरण (4) को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

समस्या 3: समीकरण हल करें

समाधान। ओडीजेड: x1, x2.

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, तो परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समीकरण t2 + 2t – 13 – a = 0 का रूप ले लेगा। (*) आइए a का मान ज्ञात करें जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > – 13, a 11, a 5, तो यदि a – 13,

a = 11, a = 5, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

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सबसे पहले, आइए शक्तियों और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद रखें।

किसी संख्या का गुणनफल एस्वयं n बार घटित होता है, हम इस अभिव्यक्ति को a a … a=a n के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए ≠ 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = ए एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम = ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घातों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातांकीय समीकरणों के उदाहरण:

में इस उदाहरण मेंसंख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर है एक्सडिग्री या सूचक.

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक सरल समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

यह उदाहरण आपके दिमाग में भी हल हो सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आख़िरकार, ताकि बाएँ और दाहिना भागबराबर थे, आपको x को संख्या 3 से बदलना होगा।
अब आइए देखें कि इस निर्णय को औपचारिक रूप कैसे दिया जाए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया समान आधार(अर्थात, दो) और जो बचा था उसे लिख लिया, ये डिग्रियाँ हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

आइए अब अपने निर्णय को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण का आधार दाएँ और बाएँ है। यदि कारण समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्प तलाश रहे हैं।
2. आधार एक समान हो जाने पर, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

आइए अब कुछ उदाहरण देखें:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें।

बायीं और दायीं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी शक्तियों को बराबर कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण प्राप्त होता है।
x=4 – 2
एक्स=2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं: 3 और 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

सबसे पहले, नौ को दाहिनी ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2. आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x = (3 2) x+8

हमें 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 मिलता है

3 3x = 3 2x+16 अब आप इसे बाईं ओर देख सकते हैं और दाहिनी ओरआधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री को बराबर कर सकते हैं।

3x=2x+16 हमें सबसे सरल समीकरण मिलता है
3x - 2x=16
एक्स=16
उत्तर: x=16.

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार। और हमें चाहिए कि वे भी वैसे ही हों। हम सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करके चारों को रूपांतरित करते हैं।

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य अंक 10 और 24 हमें परेशान करते हैं। उनका क्या करें? यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हमने 2 2x को दोहराया है, यहां उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

आइए कल्पना करें 4=2 2:

2 2x = 2 2 आधार समान हैं, हम उन्हें त्याग देते हैं और डिग्री को बराबर करते हैं।
2x = 2 सबसे सरल समीकरण है. इसे 2 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1.

आइए समीकरण हल करें:

9 x – 12*3 x +27= 0

आइए परिवर्तित करें:
9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि पहले तीन की डिग्री दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दोगुनी (2x) है। इस मामले में, आप हल कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. हम संख्या को सबसे छोटी डिग्री से बदलते हैं:

तब 3 2x = (3 x) 2 = t 2

हम समीकरण में सभी x शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12टी+27 = 0
हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर लौटना एक्स.

टी 1 लें:
टी 1 = 9 = 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:
टी 2 = 3 = 3 एक्स
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 = 2; एक्स 2 = 1.

वेबसाइट पर आप हेल्प डिसाइड सेक्शन में अपना कोई भी प्रश्न पूछ सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

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घातांकीय समीकरणों को हल करना. उदाहरण।

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क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ भाव हैं संकेतककुछ डिग्री. और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x+3

टिप्पणी! डिग्रियों के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक एक्स दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। फिलहाल हम उन पर विचार नहीं करेंगे. यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों को हल करनाअपने शुद्धतम रूप में.

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन वहां थे ख़ास तरह केघातीय समीकरण जिन्हें हल किया जा सकता है और हल किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन पर हम विचार करेंगे।

सरल घातीय समीकरणों को हल करना।

सबसे पहले, आइए कुछ बहुत ही बुनियादी समाधान करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, ठीक!? X का कोई अन्य मान कार्य नहीं करता. आइए अब इस पेचीदा घातीय समीकरण के समाधान पर नजर डालें:

हमने क्या किया है? वास्तव में, हमने समान आधारों (ट्रिपल्स) को ही बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया गया. और, अच्छी ख़बर यह है कि हमने सही निर्णय लिया है!

दरअसल, यदि किसी घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ, इन संख्याओं को हटाया जा सकता है और घातांक को बराबर किया जा सकता है। गणित अनुमति देता है. अभी बहुत सरल समीकरण को हल करना बाकी है। बढ़िया, ठीक है?)

हालाँकि, आइए दृढ़ता से याद रखें: आप आधार केवल तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x+1 = 2 3, या

दो को हटाया नहीं जा सकता!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज़ में महारत हासिल कर ली है। दुष्ट घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"वह समय है!" - आप बताओ। "परीक्षाओं और परीक्षाओं पर इतना आदिम पाठ कौन देगा?"

मुझे सहमत होना होगा. कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि पेचीदा उदाहरणों को हल करते समय लक्ष्य कहाँ रखना है। इसे उस फॉर्म में लाना होगा जहां बाईं और दाईं ओर समान आधार संख्या हो। फिर सब कुछ आसान हो जाएगा. दरअसल, यह गणित का एक क्लासिक है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और उसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। निःसंदेह, गणित के नियमों के अनुसार।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिन्हें सरलतम बनाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलिए उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण.

सरल घातीय समीकरणों को हल करना। उदाहरण।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं डिग्री के साथ कार्रवाईइन क्रियाओं के ज्ञान के बिना कोई काम नहीं चलेगा।

डिग्री वाले कार्यों में व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता जोड़नी होगी। क्या हमें समान आधार संख्या की आवश्यकता है? इसलिए हम उदाहरण में उन्हें स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में देखते हैं।

आइए देखें कि व्यवहार में यह कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दिया जाए:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली पैनी नजर है मैदान.वे...वे अलग हैं! दो और आठ. लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम डिग्री के साथ संक्रियाओं के सूत्र को याद करें:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह बढ़िया काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखने लगा:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (x+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक संक्रियाओं को रद्द नहीं किया है!), हमें मिलता है:

2 2x = 2 3(x+1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को सुलझाते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में एक एन्क्रिप्टेड दो है। यह तकनीक (एन्क्रिप्शन सामान्य आधारअंतर्गत अलग-अलग नंबर) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय तकनीक है! हाँ, और लघुगणक में भी। आपको संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातांकीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

सच तो यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, कोई भी 3 से पाँचवीं घात तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 काम करेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अक्सर घात तक बढ़ाना आवश्यक नहीं होता है, लेकिन इसके विपरीत... पता लगाएं किस संख्या से किस डिग्री तकसंख्या 243, या कहें 343 के पीछे छिपा है... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, ठीक है... आइए अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि संख्याएँ कौन सी घातें और कौन सी संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं अजीब तथ्य. कार्यों से कहीं अधिक उत्तर हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6, 4 3, 8 2 - यह सब 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने के बारे में जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको यह भी याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए हम उपयोग करते हैं सभीगणितीय ज्ञान का भंडार. इनमें जूनियर और मिडिल क्लास के लोग भी शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?)

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (7वीं कक्षा को नमस्कार!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र नींव पर है! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं... तीन और नौ। लेकिन हम चाहते हैं कि वे वैसे ही रहें। खैर, इस मामले में इच्छा पूरी तरह से पूरी हो गई है!) क्योंकि:

9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

डिग्रियों से निपटने के लिए समान नियमों का उपयोग करना:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

यह बहुत अच्छा है, आप इसे लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? आप तीन को बाहर नहीं फेंक सकते... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम याद रखें सब लोगगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि आपको क्या चाहिए, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

देखिए, सब ठीक हो जाएगा)।

इस घातीय समीकरण में क्या है? कर सकनाकरना? हाँ, बाईं ओर इसे कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है! 3 2x का समग्र गुणक स्पष्ट रूप से इस ओर संकेत करता है। आइए प्रयास करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर से बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 का अंक हमें परेशान करता है. इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

उफ़! सब कुछ बेहतर हो गया!

यह अंतिम उत्तर है.

हालाँकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सिंग हासिल की जाती है, लेकिन उनका उन्मूलन संभव नहीं है। ऐसा अन्य प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार में महारत हासिल करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में एक चर को प्रतिस्थापित करना। उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह. आइए एक आधार पर चलते हैं। एक ड्यूस के लिए.

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहीं हम घूमते हैं। पिछली तरकीबेंकाम नहीं करेगा, चाहे आप कितनी भी कोशिश करें। हमें अपने शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और सार्वभौमिक विधि निकालनी होगी। यह कहा जाता है परिवर्तनशील प्रतिस्थापन.

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है. एक जटिल चिह्न (हमारे मामले में - 2 x) के बजाय हम दूसरा, सरल चिह्न लिखते हैं (उदाहरण के लिए - t)। ऐसा प्रतीत होने वाला निरर्थक प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

तब 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

हमारे समीकरण में हम x की सभी घातों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, क्या यह आप पर हावी हो रहा है?) द्विघातीय समीकरणक्या आप अभी तक भूल गए हैं? विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:

यहां मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है... यह अभी उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। आइए एक्स पर वापस आएं, यानी। हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं। टी 1 के लिए सबसे पहले:

वह है,

एक जड़ मिली. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:

हम्म... बाईं ओर 2 x, दाईं ओर 1... समस्या? बिल्कुल नहीं! यह याद रखना पर्याप्त है (शक्तियों के साथ संचालन से, हाँ...) कि एक इकाई है कोईशून्य शक्ति के लिए संख्या. कोई भी। जो भी जरूरत होगी हम लगा देंगे. हमें दो की जरूरत है. मतलब:

अब बस इतना ही. हमें 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है.

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में कभी-कभी आप किसी प्रकार की अजीब अभिव्यक्ति के साथ समाप्त हो जाते हैं। प्रकार:

सात बजे से दो बजे तक साधारण डिग्रीकाम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं... हम कैसे हो सकते हैं? कोई भ्रमित हो सकता है... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , बस संयम से मुस्कुराता है और दृढ़ता से बिल्कुल सही उत्तर लिखता है:

एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा उत्तर नहीं हो सकता। वहां एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता होती है. लेकिन कार्य "सी" में यह आसान है।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालें।

प्रायोगिक उपकरण:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री. हम सोच रहे हैं कि क्या इन्हें बनाना संभव है समान।आइए सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करें डिग्री के साथ कार्रवाईयह मत भूलिए कि x के बिना संख्याओं को भी घातों में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाईं ओर और दाईं ओर होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ। हम उपयोग करते हैं डिग्री के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडीकरण.जिसे संख्याओं में गिना जा सकता है, हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी टिप काम नहीं करती है, तो वेरिएबल रिप्लेसमेंट का उपयोग करने का प्रयास करें। परिणाम एक ऐसा समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्गाकार। या भिन्नात्मक, जो वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना आवश्यक है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा निर्णय लेने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक.

घातीय समीकरण हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद ज्ञात कीजिए:

2 3's + 2 x = 9

घटित?

तो ठीक है सबसे जटिल उदाहरण(हालाँकि, मन में निर्णय लिया...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो फिर यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है. बढ़ी हुई कठिनाई के लिए काफी आकर्षक। मैं संकेत देना चाहता हूं कि इस उदाहरण में, जो चीज़ आपको बचाती है वह है सरलता और सभी गणितीय समस्याओं को हल करने का सबसे सार्वभौमिक नियम।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक सरल उदाहरण):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। उन पर विचार क्यों करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, आपको सरलता की आवश्यकता है... और सातवीं कक्षा आपकी मदद कर सकती है (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल करती है। क्या, क्यों, और क्यों। और, निस्संदेह, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। सिर्फ ये ही नहीं।)

विचार करने योग्य एक आखिरी मज़ेदार प्रश्न। इस पाठ में हमने घातीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहां ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?वैसे समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है...

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अंतिम परीक्षा की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत में पूरी तरह से महारत हासिल करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्य से निपटना सीख लेने के बाद, स्नातक इस पर भरोसा कर सकेंगे उच्च अंकगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करते समय।

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संकेतकों वाले वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाई हुई, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। इस तरह आप उन्हें तुरंत ढूंढ सकते हैं और अपने शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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