घातांकीय समीकरणों के गुण. घातीय समीकरण क्या है और इसे कैसे हल करें?

व्याख्यान: “समाधान के तरीके घातीय समीकरण».

1 . घातीय समीकरण.

घातांकों में अज्ञात वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहा जाता है। उनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहां a > 0, a ≠ 1.

1) बी पर< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फ़ंक्शन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक अद्वितीय मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, аx = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा घातीय समीकरण मानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार पर कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर पेश करने की विधि;

5) गुणनखंडन विधि;

6) सांकेतिक – शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ प्रदर्शनात्मक।

2 . एक आधार पर घटाने की विधि.

विधि पर आधारित है निम्नलिखित संपत्तिडिग्री: यदि दो डिग्री बराबर हैं और उनके आधार बराबर हैं, तो उनके घातांक बराबर हैं, यानी, समीकरण को फॉर्म में घटाया जाना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x = 81;

आइए कल्पना करें दाहिनी ओर 81 = 34 के रूप में समीकरण और मूल 3 x = 34 के समतुल्य समीकरण लिखें; x = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width=”52″ ऊंचाई=”49″>और आइए घातांक 3x+1 = 3 – 5x; 8x = के समीकरण पर चलते हैं 4; एक्स = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width=”105” ऊंचाई=”47”>

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, √5 और 25, 5 की शक्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को निम्नानुसार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, जिससे हमें हल x = -1 मिलता है। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार x = log35. उत्तर: लॉग35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 के रूप में फिर से लिखें, यानी..png" width='181' ऊंचाई='49 src='> इसलिए x – 4 =0, x = 4. उत्तर: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 के रूप में लिखते हैं, फिर 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, यानी यानी x+1 = 2, x =1. उत्तर 1।

समस्या बैंक नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट नंबर 2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 0 4) -2;1
ए4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फ़ंक्शन f(x) अंतराल I पर बढ़ता (घटता) है, तो संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f(x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल होता है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन की एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 – x.

समाधान। आइए समीकरण को 4x +x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x = 1, तो 41+1 = 5, 5 = 5 सत्य है, जिसका अर्थ है कि 1 समीकरण का मूल है।

फलन f(x) = 4x - R पर बढ़ता है, और g(x) = x - R पर बढ़ता है => h(x)= f(x)+g(x) R पर बढ़ता है, जैसे-जैसे फलनों का योग बढ़ता है, तब x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

समाधान। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3 सत्य है, जिसका अर्थ है कि x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध करें कि वह अकेला है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है=> h(x) = f(x)+g(x) - R पर घटता है, जैसे कि योग घटते कार्य. इसका मतलब है, मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

समस्या बैंक नंबर 2. प्रश्न हल करें

ए) 4एक्स + 1 =6 – एक्स;

बी)

ग) 2x – 2 =1 – x;

4. नए वेरिएबल पेश करने की विधि।

विधि पैराग्राफ 2.1 में वर्णित है। एक नए चर (प्रतिस्थापन) का परिचय आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद किया जाता है। आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण। आरप्रश्न हल करें: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width=”128” ऊंचाई=”48 src=”> यानी..png” width=”210” ऊंचाई = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

आइए https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width='245' ऊंचाई='57'> निर्दिष्ट करें - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width=”268” ऊंचाई=”51”> - अपरिमेय समीकरण. हम ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 ≤ 4 है, जिसका अर्थ है कि 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर: 2.5.

समाधान। आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png' width='118' ऊंचाई='56'>

द्विघात समीकरण के मूल t1 = 1 और t2 हैं<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

आइये https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png' width='16' ऊँचाई='41 src='> को प्रतिस्थापित करें।

उत्तर: 0; 0.5.

समस्या बैंक क्रमांक 3. प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट नंबर 3 उत्तरों के विकल्प के साथ. न्यूनतम स्तर.

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
ए2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
ए4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट नंबर 4 उत्तरों के विकल्प के साथ. सामान्य स्तर.

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन विधि.

1. समीकरण हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24.

समाधान..png' width='169' ऊंचाई='69'> , कहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

समाधान। आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक में से 6x और दाईं ओर 2x रखें। हमें समीकरण मिलता है 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 मिलता है।

समाधान। आइए गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

आइए द्विपद का वर्ग चुनें

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width=”500” ऊंचाई=”181”>

x = -2 समीकरण का मूल है.

समीकरण x + 1 = 0 " शैली = "बॉर्डर-पतन:पतन;सीमा:कोई नहीं">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट नंबर 6 सामान्य स्तर.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातांकीय - शक्ति समीकरण।

घातीय समीकरणों के निकट तथाकथित घातीय-शक्ति समीकरण हैं, अर्थात, (f(x))g(x) = (f(x))h(x) के रूप के समीकरण।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) ≠ 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) को बराबर करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" width=”182″ ऊंचाई=”116 src=”>

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि यह एक बहुपद है, जिसका अर्थ है कि समीकरण समग्रता के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width='137' ऊंचाई='35'>

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) है एकमात्र निर्णय?

समाधान। आइए प्रतिस्थापन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण का विभेदक (2) डी = (5पी – 3)2 – 4(4पी2 – 3पी) = 9(पी – 1)2.

यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है तो समीकरण (1) का एक अद्वितीय समाधान है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है.

1. यदि D = 0, यानी, p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय समाधान x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p – 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो अलग-अलग मूल हैं t1 = p, t2 = 4p – 3. समस्या की स्थितियाँ प्रणालियों के एक सेट से संतुष्ट होती हैं

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 – 6t – a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए पैरामीटर a का मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण (4) का कम से कम एक मूल शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए फलन f(t) = t2 – 6t – a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} द्विघात त्रिपदएफ(टी);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

केस 2. समीकरण (4) में एक अद्वितीयता है सकारात्मक निर्णय, अगर

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

केस 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t > 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt='no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 के लिए, समीकरण (4) का एक ही धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय हल है

जब एक< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

यदि  0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय एक द्विघात समीकरण में बदल दिया गया था, जिसका विभेदक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके समीकरण (2) की जड़ों की तुरंत गणना की गई, और फिर इन जड़ों के संबंध में निष्कर्ष निकाले गए। समीकरण (3) को एक द्विघात समीकरण (4) में बदल दिया गया है, जिसका विभेदक एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए, समीकरण (3) को हल करते समय, द्विघात त्रिपद की जड़ों के स्थान पर प्रमेय का उपयोग करने की सलाह दी जाती है और एक ग्राफिकल मॉडल. ध्यान दें कि समीकरण (4) को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

समस्या 3: समीकरण हल करें

समाधान। ओडीजेड: x1, x2.

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, तो परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समीकरण t2 + 2t – 13 – a = 0 का रूप ले लेगा। (*) आइए a का मान ज्ञात करें जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt='http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > – 13, a 11, a 5, तो यदि a – 13,

a = 11, a = 5, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

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अंतिम परीक्षा की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत में पूरी तरह से महारत हासिल करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्य से निपटना सीख लेने के बाद, स्नातक इस पर भरोसा कर सकेंगे उच्च अंकगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करते समय।

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उदाहरण:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

किसी भी घातीय समीकरण को हल करते समय, हम इसे \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में लाने का प्रयास करते हैं, और फिर घातांक की समानता में परिवर्तन करते हैं, अर्थात:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

उदाहरण के लिए:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

महत्वपूर्ण! इसी तर्क से, ऐसे संक्रमण के लिए दो आवश्यकताएँ अनुसरण करती हैं:
- संख्या में बाएँ और दाएँ समान होने चाहिए;
- बाएँ और दाएँ की डिग्री "शुद्ध" होनी चाहिएअर्थात गुणा, भाग आदि नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

समीकरण को \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में छोटा करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
समाधान:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

हम जानते हैं कि \(27 = 3^3\). इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण को बदलते हैं।

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

मूल \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) के गुण से हम पाते हैं कि \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). इसके बाद, डिग्री \((a^b)^c=a^(bc)\) के गुण का उपयोग करके, हम \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ प्राप्त करते हैं (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

हम यह भी जानते हैं कि \(a^b·a^c=a^(b+c)\). इसे बाईं ओर लागू करने पर, हमें मिलता है: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

अब याद रखें कि: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). इस फॉर्मूले का उपयोग इसमें भी किया जा सकता है विपरीत पक्ष: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). फिर \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

संपत्ति \((a^b)^c=a^(bc)\) को दाईं ओर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

और अब हमारे आधार बराबर हैं और कोई हस्तक्षेप करने वाले गुणांक आदि नहीं हैं। तो हम परिवर्तन कर सकते हैं.

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
समाधान:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		हम फिर से विपरीत दिशा में पावर प्रॉपर्टी \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) का उपयोग करते हैं।
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		अब याद रखें कि \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम रूपांतरित करते हैं: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		हम समीकरण को ध्यान से देखते हैं और देखते हैं कि प्रतिस्थापन \(t=2^x\) स्वयं सुझाता है।

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		हालाँकि, हमें \(t\) का मान मिल गया है, और हमें \(x\) की आवश्यकता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए, एक्स पर लौटते हैं।
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		आइए नकारात्मक शक्ति गुण का उपयोग करके दूसरे समीकरण को रूपांतरित करें...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...और हम उत्तर तक निर्णय लेते हैं।
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

उत्तर : \(-1; 1\).

सवाल यह है कि कैसे समझें कि कब किस विधि का उपयोग करना है? यह अनुभव के साथ आता है। जब तक आप इस पर काम नहीं कर लेते, तब तक हल करने के लिए सामान्य अनुशंसा का उपयोग करें जटिल कार्य- "यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं।" अर्थात्, देखें कि आप समीकरण को सैद्धांतिक रूप से कैसे बदल सकते हैं, और इसे करने का प्रयास करें - यदि क्या होता है तो क्या होगा? मुख्य बात केवल गणितीय आधारित परिवर्तन करना है।

समाधान के बिना घातीय समीकरण

आइए दो और स्थितियों पर नजर डालें जो अक्सर छात्रों को भ्रमित करती हैं:
- सकारात्मक संख्याशून्य के बराबर घात के लिए, उदाहरण के लिए, \(2^x=0\);
- एक धनात्मक संख्या की घात बराबर होती है ऋणात्मक संख्या, उदाहरण के लिए, \(2^x=-4\).

आइए क्रूर बल से हल करने का प्रयास करें। यदि x एक धनात्मक संख्या है, तो जैसे-जैसे x बढ़ता है, संपूर्ण शक्ति \(2^x\) केवल बढ़ेगी:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

द्वारा भी. नकारात्मक एक्स रहता है. संपत्ति \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ को याद करते हुए, हम जांचते हैं:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक चरण के साथ संख्या छोटी होती जाती है, यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचेगी। इसलिए नकारात्मक डिग्री ने हमें नहीं बचाया। हम एक तार्किक निष्कर्ष पर आते हैं:

किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या ही रहेगी।

इस प्रकार, उपरोक्त दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है।

विभिन्न आधारों वाले घातांकीय समीकरण

व्यवहार में, कभी-कभी हम अलग-अलग आधारों वाले घातांकीय समीकरणों का सामना करते हैं जो एक-दूसरे के लिए कम करने योग्य नहीं होते हैं, और एक ही समय में समान घातांक वाले होते हैं। वे इस तरह दिखते हैं: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), जहां \(a\) और \(b\) धनात्मक संख्याएं हैं।

उदाहरण के लिए:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

ऐसे समीकरणों को समीकरण के किसी भी पक्ष से विभाजित करके आसानी से हल किया जा सकता है (आमतौर पर दाएं पक्ष से विभाजित किया जाता है, यानी \(b^(f(x))\) द्वारा। आप इस तरह से विभाजित कर सकते हैं क्योंकि एक सकारात्मक संख्या किसी भी घात के लिए धनात्मक है (अर्थात, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं)।

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
समाधान:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		यहां हम पांच को तीन में नहीं बदल पाएंगे, न ही इसके विपरीत (के अनुसार)। कम से कम, बिना उपयोग के )। इसका मतलब है कि हम \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में नहीं आ सकते। हालाँकि, संकेतक वही हैं। आइए समीकरण को दाईं ओर से विभाजित करें, अर्थात, \(3^(x+7)\) से (हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि हम जानते हैं कि तीन किसी भी डिग्री पर शून्य नहीं होगा)।
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		अब संपत्ति \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) को याद रखें और इसे बाईं ओर विपरीत दिशा में उपयोग करें। दाईं ओर, हम बस भिन्न को कम करते हैं।
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		ऐसा लगेगा कि चीजें बेहतर नहीं हुईं। लेकिन घात का एक और गुण याद रखें: \(a^0=1\), दूसरे शब्दों में: "शून्य घात की कोई भी संख्या \(1\) के बराबर होती है।" इसका विपरीत भी सत्य है: "किसी को शून्य घात तक किसी भी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।" आइए, दाईं ओर का आधार बाईं ओर के समान बनाकर इसका लाभ उठाएं।
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		वोइला! आइए आधारों से छुटकारा पाएं।
		हम प्रतिक्रिया लिख रहे हैं.

उत्तर : \(-7\).

कभी-कभी घातांकों की "समानता" स्पष्ट नहीं होती है, लेकिन घातांकों के गुणों का कुशल उपयोग इस समस्या को हल कर देता है।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
समाधान:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		समीकरण बहुत दुखद लगता है... न केवल आधारों को एक ही संख्या में घटाया जा सकता है (सात किसी भी तरह से \(\frac(1)(3)\) के बराबर नहीं होगा), बल्कि घातांक भी अलग-अलग हैं। .. हालाँकि, आइए बाएँ घातांक ड्यूस का उपयोग करें।
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		संपत्ति \((a^b)^c=a^(b·c)\) को याद करते हुए, हम बाईं ओर से बदलते हैं: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		अब, नकारात्मक डिग्री \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) के गुण को याद करते हुए, हम दाईं ओर से रूपांतरित करते हैं: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		हलेलूजाह! संकेतक वही हैं! पहले से ही परिचित योजना के अनुसार कार्य करते हुए, हम उत्तर से पहले हल करते हैं।

उत्तर : \(2\).

प्रथम स्तर

घातीय समीकरण. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

नमस्ते! आज हम आपके साथ चर्चा करेंगे कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए जो या तो प्राथमिक हो सकते हैं (और मुझे उम्मीद है कि इस लेख को पढ़ने के बाद, उनमें से लगभग सभी आपके लिए ऐसे ही होंगे), और जो आमतौर पर "भरने के लिए" दिए जाते हैं। जाहिर तौर पर अंततः सो जाना है। लेकिन मैं हर संभव प्रयास करूंगा ताकि अब इस प्रकार के समीकरणों का सामना करने पर आपको परेशानी न हो। मैं अब इधर-उधर नहीं घूमूंगा, लेकिन मैं इसे तुरंत खोल दूंगा छोटे सा रहस्य: आज हम अध्ययन करेंगे घातीय समीकरण.

उन्हें हल करने के तरीकों का विश्लेषण करने से पहले, मैं तुरंत आपके लिए प्रश्नों की एक श्रृंखला (काफी छोटे) की रूपरेखा तैयार करूंगा, जिन्हें आपको इस विषय पर हमला करने से पहले दोहराना चाहिए। तो, पाने के लिए सर्वोत्तम परिणाम, कृपया, दोहराना:

गुण और
समाधान और समीकरण

दोहराया गया? अद्भुत! तब आपके लिए यह नोटिस करना कठिन नहीं होगा कि समीकरण का मूल एक संख्या है। क्या आप ठीक से समझते हैं कि मैंने यह कैसे किया? क्या यह सच है? तो चलिए जारी रखते हैं। अब मेरे प्रश्न का उत्तर दीजिये, तीसरी शक्ति के बराबर क्या है? आप बिल्कुल सही कह रहे है: । दो की कौन सी घात आठ है? यह सही है - तीसरा! क्योंकि। खैर, अब आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: मुझे संख्या को एक बार स्वयं से गुणा करने दें और परिणाम प्राप्त करें। सवाल यह है कि मैंने अपने आप से कितनी बार गुणा किया? आप निश्चित रूप से इसे सीधे जांच सकते हैं:

\begin(संरेखित करें) और 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\end( संरेखित करें)

तब आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मैंने अपने आप को कई गुना बढ़ा दिया। आप इसे और कैसे जांच सकते हैं? यहां बताया गया है: सीधे डिग्री की परिभाषा से:। लेकिन, आपको स्वीकार करना होगा, अगर मैंने पूछा कि प्राप्त करने के लिए दो को कितनी बार गुणा करने की आवश्यकता है, तो आप मुझे बताएंगे: मैं खुद को मूर्ख नहीं बनाऊंगा और जब तक मेरा चेहरा नीला न हो जाए, तब तक खुद को गुणा नहीं करूंगा। और वह बिल्कुल सही होगा. क्योंकि आप कैसे कर सकते हैं सभी चरणों को संक्षेप में लिखें(और संक्षिप्तता प्रतिभा की बहन है)

कहाँ - ये वही हैं "समय", जब आप स्वयं से गुणा करते हैं।

मुझे लगता है कि आप जानते हैं (और यदि आप नहीं जानते हैं, तो तत्काल, बहुत तत्काल डिग्रियां दोहराएं!) तो मेरी समस्या इस रूप में लिखी जाएगी:

आप तर्कसंगत रूप से यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकते हैं:

तो, बिना ध्यान दिए, मैंने सबसे सरल लिख दिया घातीय समीकरण:

और मैंने उसे ढूंढ भी लिया जड़. क्या आपको नहीं लगता कि सब कुछ बिल्कुल तुच्छ है? मैं बिल्कुल वैसा ही सोचता हूं. यहां आपके लिए एक और उदाहरण है:

पर क्या करूँ! आख़िरकार, इसे किसी (उचित) संख्या की घात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। आइए निराश न हों और ध्यान दें कि ये दोनों संख्याएँ एक ही संख्या की शक्ति के माध्यम से पूरी तरह से व्यक्त की गई हैं। कौन सा? सही: । फिर मूल समीकरण इस रूप में परिवर्तित हो जाता है:

जहां, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, . आइए अब देर न करें और इसे लिखें परिभाषा:

हमारे मामले में: ।

इन समीकरणों को निम्न रूप में घटाकर हल किया जाता है:

इसके बाद समीकरण को हल करें

वास्तव में, हमने पिछले उदाहरण में ऐसा किया था: हमें निम्नलिखित मिला: और हमने सबसे सरल समीकरण हल किया।

ऐसा लगता है कि कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? आइए पहले सबसे सरल पर अभ्यास करें उदाहरण:

हम फिर से देखते हैं कि समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक संख्या की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। सच है, यह बाईं ओर पहले ही किया जा चुका है, लेकिन दाईं ओर एक संख्या है। लेकिन यह ठीक है, क्योंकि मेरा समीकरण है चमत्कारिक ढंग सेइसमें रूपांतरित हो जाएगा:

मुझे यहाँ क्या उपयोग करना था? कौन सा नियम? "डिग्री के भीतर डिग्री" का नियमजो पढ़ता है:

क्या हो अगर:

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आइए निम्नलिखित तालिका भरें:

हमारे लिए यह नोटिस करना आसान है कि जितना कम, उतना कम मूल्य, लेकिन फिर भी, ये सभी मान शून्य से अधिक हैं। और यह हमेशा ऐसा ही रहेगा!!! वही गुण किसी भी संकेतक के साथ किसी भी आधार पर सत्य है!! (किसी के लिए और)। तो फिर हम समीकरण के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? यहाँ यह है: यह कोई जड़ नहीं है! ठीक वैसे ही जैसे किसी भी समीकरण की कोई जड़ नहीं होती. आइए अब अभ्यास करें और आइए सरल उदाहरण हल करें:

की जाँच करें:

1. यहां आपको शक्तियों के गुणों के ज्ञान के अलावा किसी चीज़ की आवश्यकता नहीं होगी (जो, वैसे, मैंने आपको दोहराने के लिए कहा था!) एक नियम के रूप में, सब कुछ सबसे छोटे आधार की ओर ले जाता है: , । तब मूल समीकरण निम्नलिखित के बराबर होगा: मुझे केवल शक्तियों के गुणों का उपयोग करने की आवश्यकता है: संख्याओं को समान आधारों से गुणा करते समय घातें जोड़ी जाती हैं, और विभाजित करते समय उन्हें घटाया जाता है।तब मैं समझूंगा: ठीक है, अब स्पष्ट विवेक के साथ मैं घातीय समीकरण से रैखिक समीकरण की ओर बढ़ूंगा: \begin(संरेखित)
और 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
और 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(संरेखित करें)

2. दूसरे उदाहरण में, हमें अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है: समस्या यह है कि बाईं ओर हम संभवतः उसी संख्या को एक घात के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते हैं। ऐसे में यह कभी-कभी उपयोगी होता है विभिन्न आधारों वाली घातों के गुणनफल के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करें, लेकिन घातांक समान हों:

समीकरण का बायां भाग इस प्रकार दिखेगा: इससे हमें क्या मिला? यहाँ क्या है: विभिन्न आधारों वाली लेकिन समान घातांक वाली संख्याओं को गुणा किया जा सकता है।इस मामले में, आधारों को गुणा किया जाता है, लेकिन संकेतक नहीं बदलता है:

मेरी स्थिति में यह देगा:

\शुरू(संरेखित करें)
और 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
और 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
और ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
और ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(संरेखित करें)

बुरा नहीं है, है ना?

3. मुझे यह पसंद नहीं है जब, अनावश्यक रूप से, मेरे पास समीकरण के एक तरफ दो पद होते हैं और दूसरी तरफ कोई नहीं (कभी-कभी, निश्चित रूप से, यह उचित है, लेकिन अब ऐसा मामला नहीं है)। मैं माइनस टर्म को दाईं ओर ले जाऊंगा:

अब, पहले की तरह, मैं सब कुछ तीन की घातों के संदर्भ में लिखूंगा:

मैं बायीं ओर की डिग्रियों को जोड़ता हूं और एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करता हूं

आप इसकी जड़ आसानी से पा सकते हैं:

4. जैसा कि उदाहरण तीन में है, ऋणात्मक पद का दाहिनी ओर एक स्थान है!

मेरी बायीं ओर, लगभग सब कुछ ठीक है, सिवाय इसके कि क्या? हां, दोनों की "गलत डिग्री" मुझे परेशान कर रही है। लेकिन मैं इसे लिखकर आसानी से ठीक कर सकता हूं:। यूरेका - बाईं ओर सभी आधार अलग-अलग हैं, लेकिन सभी डिग्री समान हैं! आइए तुरंत गुणा करें!

यहां फिर से, सब कुछ स्पष्ट है: (यदि आप समझ नहीं पा रहे हैं कि मुझे जादुई तरीके से अंतिम समानता कैसे मिली, तो एक मिनट के लिए ब्रेक लें, सांस लें और डिग्री के गुणों को फिर से बहुत ध्यान से पढ़ें। किसने कहा कि आप एक को छोड़ सकते हैं एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री? ठीक है, यहाँ मैं लगभग किसी के समान ही हूँ)। अब मुझे मिलेगा:

\शुरू(संरेखित करें)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
और 4((x) -9)=-1 \\
और x=\frac(35)(4). \\
\end(संरेखित करें)

यहां आपके अभ्यास के लिए कुछ समस्याएं हैं, जिनका मैं केवल उत्तर दूंगा (लेकिन "मिश्रित" रूप में)। उन्हें हल करें, उनकी जांच करें, और आप और मैं अपना शोध जारी रखेंगे!

तैयार? जवाबइन जैसे:

कोई संख्या

ठीक है, ठीक है, मैं मज़ाक कर रहा था! यहां समाधानों के कुछ रेखाचित्र दिए गए हैं (कुछ बहुत संक्षिप्त!)

क्या आपको नहीं लगता कि यह कोई संयोग नहीं है कि बायीं ओर का एक अंश दूसरा "उलटा" है? इसका लाभ न उठाना पाप होगा:

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय इस नियम का अक्सर उपयोग किया जाता है, इसे अच्छी तरह याद रखें!

तब मूल समीकरण इस प्रकार बनेगा:

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर आपको निम्नलिखित मूल प्राप्त होंगे:

2. दूसरा समाधान: समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर (या दाईं ओर) अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित करना। दाहिनी ओर जो है उससे विभाजित करें, तो मुझे प्राप्त होता है:

कहाँ क्यों?!)

3. मैं खुद को दोहराना भी नहीं चाहता, सब कुछ पहले ही इतना "चबाया" जा चुका है।

4. द्विघात समीकरण के समतुल्य, मूल

5. आपको पहली समस्या में दिए गए सूत्र का उपयोग करना होगा, फिर आपको वह मिलेगा:

समीकरण एक तुच्छ पहचान में बदल गया है जो किसी के लिए भी सच है। तो उत्तर कोई भी वास्तविक संख्या है।

खैर, अब आपको हल करने का अभ्यास हो गया है सरल घातीय समीकरण.अब मैं तुम्हें कुछ देना चाहता हूं जीवन उदाहरण, जो आपको यह समझने में मदद करेगा कि सैद्धांतिक रूप से उनकी आवश्यकता क्यों है। यहां मैं दो उदाहरण दूंगा. उनमें से एक बिल्कुल रोजमर्रा का है, लेकिन दूसरा व्यावहारिक रुचि के बजाय वैज्ञानिक होने की अधिक संभावना है।

उदाहरण 1 (व्यापारिक)मान लीजिए आपके पास रूबल हैं, लेकिन आप इसे रूबल में बदलना चाहते हैं। बैंक आपको ब्याज के मासिक पूंजीकरण (मासिक संचय) के साथ वार्षिक दर पर यह पैसा लेने की पेशकश करता है। सवाल यह है कि आवश्यक अंतिम राशि तक पहुंचने के लिए आपको कितने महीनों तक जमा राशि खोलने की आवश्यकता है? यह बहुत ही साधारण कार्य है, है ना? फिर भी, इसका समाधान संबंधित घातीय समीकरण के निर्माण से जुड़ा है: मान लीजिए - प्रारंभिक राशि, - अंतिम राशि, - ब्याज दरप्रति अवधि, - अवधियों की संख्या। तब:

हमारे मामले में (यदि दर वार्षिक है, तो इसकी गणना प्रति माह की जाती है)। इसे किसलिए विभाजित किया गया है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर नहीं जानते हैं, तो विषय "" याद रखें! तब हमें यह समीकरण मिलता है:

इस घातीय समीकरण को केवल कैलकुलेटर का उपयोग करके हल किया जा सकता है उपस्थितिइस पर संकेत, और इसके लिए लघुगणक के ज्ञान की आवश्यकता है, जिससे हम थोड़ी देर बाद परिचित होंगे), जो मैं करूंगा: ... इस प्रकार, एक मिलियन प्राप्त करने के लिए, हमें एक महीने के लिए जमा करना होगा ( बहुत जल्दी नहीं, है ना?)

उदाहरण 2 (बल्कि वैज्ञानिक)।उसके निश्चित "अलगाव" के बावजूद, मेरा सुझाव है कि आप उस पर ध्यान दें: वह नियमित रूप से "एकीकृत राज्य परीक्षा में भाग लेता है!!" (समस्या "वास्तविक" संस्करण से ली गई है) एक रेडियोधर्मी आइसोटोप के क्षय के दौरान, इसका द्रव्यमान कानून के अनुसार घट जाता है, जहां (मिलीग्राम) आइसोटोप का प्रारंभिक द्रव्यमान है, (न्यूनतम) आइसोटोप से बीता हुआ समय है प्रारंभिक क्षण, (न्यूनतम) आधा जीवन है। समय के प्रारंभिक क्षण में, आइसोटोप का द्रव्यमान mg है। इसका आधा जीवन न्यूनतम है। कितने मिनट बाद आइसोटोप का द्रव्यमान mg के बराबर होगा? यह ठीक है: हम बस सारा डेटा लेते हैं और उसे हमारे प्रस्तावित फॉर्मूले में बदल देते हैं:

आइए दोनों भागों को "इस आशा में" विभाजित करें कि बाईं ओर हमें कुछ सुपाच्य मिलेगा:

खैर, हम बहुत भाग्यशाली हैं! यह बाईं ओर है, तो चलिए समतुल्य समीकरण पर चलते हैं:

मिन कहाँ है?

जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय समीकरणों का व्यवहार में बहुत वास्तविक अनुप्रयोग होता है। अब मैं आपको घातांकीय समीकरणों को हल करने का एक और (सरल) तरीका दिखाना चाहता हूं, जो सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने और फिर पदों को समूहीकृत करने पर आधारित है। मेरे शब्दों से डरो मत, आप इस विधि से 7वीं कक्षा में पहले ही परिचित हो चुके हैं जब आपने बहुपदों का अध्ययन किया था। उदाहरण के लिए, यदि आपको अभिव्यक्ति को कारक बनाने की आवश्यकता है:

आइए समूह बनाएं: पहला और तीसरा पद, साथ ही दूसरा और चौथा। यह स्पष्ट है कि प्रथम और तृतीय वर्गों का अंतर है:

और दूसरे और चौथे में तीन का एक सामान्य गुणनखंड है:

तब मूल अभिव्यक्ति इसके समतुल्य है:

सामान्य गुणनखंड कहाँ से प्राप्त करें यह अब कठिन नहीं है:

इस तरह,

घातीय समीकरणों को हल करते समय हम मोटे तौर पर यही करेंगे: पदों के बीच "समानता" की तलाश करें और इसे कोष्ठक से बाहर निकालें, और फिर - चाहे कुछ भी हो, मुझे विश्वास है कि हम भाग्यशाली होंगे =)) उदाहरण के लिए:

दाईं ओर सात की शक्ति होने से बहुत दूर है (मैंने जाँच की!) और बाईं ओर - यह थोड़ा बेहतर है, आप निश्चित रूप से, पहले पद से दूसरे से कारक को "काट" सकते हैं, और फिर निपट सकते हैं आपको जो मिला है, उसके साथ, लेकिन आइए आपके साथ अधिक विवेकपूर्ण रहें। मैं उन भिन्नों से निपटना नहीं चाहता जो "चयन" करते समय अनिवार्य रूप से बनते हैं, तो क्या मुझे इसे हटा नहीं देना चाहिए? तब मेरे पास कोई अंश नहीं होगा: जैसा कि वे कहते हैं, भेड़ियों को खाना खिलाया जाता है और भेड़ें सुरक्षित रहती हैं:

कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें. जादुई ढंग से, जादुई ढंग से, यह पता चलता है कि (आश्चर्य की बात है, हालाँकि हमें और क्या उम्मीद करनी चाहिए?)।

फिर हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस कारक से कम करते हैं। हमें मिलता है: , से।

यहां एक अधिक जटिल उदाहरण है (वास्तव में थोड़ा सा):

क्या समस्या है! हमारे यहाँ एक समान आधार नहीं है! यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि अब क्या करना है. आइए वह करें जो हम कर सकते हैं: सबसे पहले, "चारों" को एक तरफ और "पांचों" को दूसरी तरफ ले जाएं:

आइए अब बाएँ और दाएँ से "सामान्य" हटाएँ:

तो अब क्या? ऐसे मूर्ख समूह का क्या लाभ? पहली नज़र में यह बिल्कुल भी दिखाई नहीं देता है, लेकिन आइए गहराई से देखें:

खैर, अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि बाईं ओर हमारे पास केवल अभिव्यक्ति सी है, और दाईं ओर - बाकी सब कुछ। हम इसे कैसे करते हैं? यहां बताया गया है कि: पहले समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें (ताकि हम दाईं ओर के घातांक से छुटकारा पा सकें), और फिर दोनों पक्षों को विभाजित करें (ताकि हम बाईं ओर के संख्यात्मक कारक से छुटकारा पा सकें)। अंततः हमें मिलता है:

अविश्वसनीय! बाईं ओर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर हमारे पास एक सरल अभिव्यक्ति है। तब हम तुरंत यह निष्कर्ष निकालते हैं

आपके लिए इसे सुदृढ़ करने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

मैं उसका संक्षिप्त समाधान दूंगा (स्पष्टीकरण के साथ खुद को ज्यादा परेशान किए बिना), समाधान की सभी "सूक्ष्मताओं" को स्वयं समझने का प्रयास करूंगा।

अब कवर की गई सामग्री के अंतिम समेकन के लिए। निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करने का प्रयास करें। मैं उन्हें हल करने के लिए केवल संक्षिप्त अनुशंसाएँ और युक्तियाँ दूँगा:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें: कहाँ:
आइए पहली अभिव्यक्ति को इस रूप में प्रस्तुत करें: , दोनों पक्षों को विभाजित करें और वह प्राप्त करें
, तो मूल समीकरण इस रूप में बदल जाता है: खैर, अब एक संकेत - देखें कि आप और मैंने पहले ही इस समीकरण को कहाँ हल कर लिया है!
कल्पना करें कि कैसे, कैसे, आह, अच्छा, फिर दोनों पक्षों को विभाजित करें, ताकि आपको सबसे सरल घातीय समीकरण प्राप्त हो।
इसे कोष्ठक से बाहर लाओ.
इसे कोष्ठक से बाहर लाओ.

घातांकीय समीकरण. औसत स्तर

मैं यह मान रहा हूं कि पहला लेख पढ़ने के बाद, जिसके बारे में बात की गई थी घातांकीय समीकरण क्या हैं और उन्हें कैसे हल करें, आपने सरलतम उदाहरणों को हल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ज्ञान में महारत हासिल कर ली है।

अब मैं घातीय समीकरणों को हल करने की एक और विधि देखूंगा, यह है

"एक नया चर पेश करने की विधि" (या प्रतिस्थापन)।वह घातीय समीकरणों (और न केवल समीकरण) के विषय पर सबसे "कठिन" समस्याओं को हल करता है। यह विधि व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है। सबसे पहले, मेरा सुझाव है कि आप विषय से स्वयं को परिचित कर लें।

जैसा कि आप पहले ही नाम से समझ चुके हैं, इस पद्धति का सार चर में ऐसा परिवर्तन लाना है कि आपका घातीय समीकरण चमत्कारिक रूप से एक ऐसे समीकरण में बदल जाएगा जिसे आप आसानी से हल कर सकते हैं। इस "सरलीकृत समीकरण" को हल करने के बाद आपके लिए जो कुछ बचता है वह है "रिवर्स प्रतिस्थापन" करना: यानी, प्रतिस्थापित से प्रतिस्थापित पर लौटना। आइए एक बहुत ही सरल उदाहरण से स्पष्ट करें कि हमने अभी क्या कहा:

उदाहरण 1:

इस समीकरण को "सरल प्रतिस्थापन" का उपयोग करके हल किया जाता है, जैसा कि गणितज्ञ इसे अपमानजनक रूप से कहते हैं। वास्तव में, यहाँ प्रतिस्थापन सबसे स्पष्ट है। बस उसे ही देखना है

तब मूल समीकरण इस प्रकार बदल जाएगा:

यदि हम अतिरिक्त रूप से कल्पना करें कि कैसे, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्या प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है: बेशक,। फिर मूल समीकरण क्या बनता है? यहाँ क्या है:

आप स्वयं इसकी जड़ें आसानी से पा सकते हैं: . अब क्या करें? मूल चर पर लौटने का समय आ गया है। मैं क्या बताना भूल गया? अर्थात्: जब एक निश्चित डिग्री को एक नए चर के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है (अर्थात, एक प्रकार को प्रतिस्थापित करते समय), तो मुझे इसमें दिलचस्पी होगी केवल सकारात्मक जड़ें!आप स्वयं इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं कि ऐसा क्यों है। इस प्रकार, आपको और मुझे कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन दूसरी जड़ हमारे लिए काफी उपयुक्त है:

फिर कहाँ से.

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले उदाहरण में, एक प्रतिस्थापन केवल हमसे हाथ मांग रहा था। दुर्भाग्य से ऐसा हमेशा नहीं होता है। हालाँकि, आइए सीधे दुखद सामग्री पर न जाएं, बल्कि काफी सरल प्रतिस्थापन के साथ एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें

उदाहरण 2.

यह स्पष्ट है कि सबसे अधिक संभावना है कि हमें एक प्रतिस्थापन करना होगा (यह हमारे समीकरण में शामिल शक्तियों में से सबसे छोटी है), लेकिन प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, हमारे समीकरण को इसके लिए "तैयार" करने की आवश्यकता है, अर्थात्: , । फिर आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप मुझे निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

ओह डरावनी: इसे हल करने के लिए बिल्कुल भयानक सूत्रों वाला एक घन समीकरण (ठीक है, बोल रहा हूँ सामान्य रूप से देखें). लेकिन आइए तुरंत निराश न हों, बल्कि सोचें कि हमें क्या करना चाहिए। मैं धोखा देने का सुझाव दूंगा: हम जानते हैं कि एक "सुंदर" उत्तर पाने के लिए, हमें इसे तीन की शक्ति के रूप में प्राप्त करने की आवश्यकता है (ऐसा क्यों होगा, एह?)। आइए हमारे समीकरण के कम से कम एक मूल का अनुमान लगाने का प्रयास करें (मैं तीन की घातों से अनुमान लगाना शुरू करूंगा)।

पहला अनुमान. जड़ नहीं. अफ़सोस और आह...

.
बायां भाग बराबर है.
दायां भाग: !
खाओ! पहली जड़ का अनुमान लगाया. अब चीजें होंगी आसान!

क्या आप "कोने" विभाजन योजना के बारे में जानते हैं? बेशक आप ऐसा करते हैं, आप इसका उपयोग तब करते हैं जब आप एक संख्या को दूसरे से विभाजित करते हैं। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि बहुपदों के साथ भी ऐसा ही किया जा सकता है। एक अद्भुत प्रमेय है:

मेरी स्थिति पर लागू होने पर, यह मुझे बताता है कि यह शेषफल के बिना विभाज्य है। विभाजन कैसे किया जाता है? कि कैसे:

मैं देखता हूं कि स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए मुझे किस एकपदी से गुणा करना चाहिए:

मैं परिणामी अभिव्यक्ति को घटाता हूं, मुझे मिलता है:

अब, मुझे क्या प्राप्त करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता है? यह स्पष्ट है कि तब मुझे मिलेगा:

और फिर से परिणामी अभिव्यक्ति को शेष एक से घटाएं:

खैर, अंतिम चरण शेष अभिव्यक्ति से गुणा करना और घटाना है:

हुर्रे, विभाजन ख़त्म हो गया है! हमने अकेले में क्या जमा किया है? अपने आप में: ।

तब हमें मूल बहुपद का निम्नलिखित विस्तार मिला:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

इसकी जड़ें हैं:

फिर मूल समीकरण:

इसकी तीन जड़ें हैं:

निःसंदेह, हम अंतिम जड़ को त्याग देंगे, क्योंकि यह शून्य से भी कम. और रिवर्स प्रतिस्थापन के बाद पहले दो हमें दो जड़ें देंगे:

उत्तर: ..

इस उदाहरण के साथ, मैं आपको बिल्कुल भी डराना नहीं चाहता था, बल्कि मेरा लक्ष्य यह दिखाना था कि यद्यपि हमारे पास काफी सरल प्रतिस्थापन था, फिर भी इसने एक जटिल समीकरण को जन्म दिया, जिसके समाधान के लिए हमसे कुछ विशेष कौशल की आवश्यकता थी। खैर, इससे कोई भी अछूता नहीं है. लेकिन इस मामले में प्रतिस्थापन बिल्कुल स्पष्ट था।

यहां थोड़ा कम स्पष्ट प्रतिस्थापन वाला एक उदाहरण दिया गया है:

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि हमें क्या करना चाहिए: समस्या यह है कि हमारे समीकरण में दो अलग-अलग आधार हैं और एक आधार को दूसरे से किसी भी (उचित, स्वाभाविक रूप से) शक्ति तक बढ़ाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, हम क्या देखते हैं? दोनों आधार केवल चिह्न में भिन्न हैं, और उनका गुणनफल एक के बराबर वर्गों का अंतर है:

परिभाषा:

इस प्रकार, जो संख्याएँ हमारे उदाहरण में आधार हैं वे संयुग्मी हैं।

इस मामले में, स्मार्ट कदम होगा समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म संख्या से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, तब समीकरण का बायां भाग बराबर हो जाएगा और दायां पक्ष बराबर हो जाएगा। यदि हम प्रतिस्थापन करें तो हमारा मूल समीकरण इस प्रकार बनेगा:

तो, इसकी जड़ें, और उसे याद करने से, हमें वह मिल जाता है।

उत्तर: , ।

एक नियम के रूप में, अधिकांश "स्कूल" घातीय समीकरणों को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि पर्याप्त है। निम्नलिखित कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा C1 (कठिनाई का बढ़ा हुआ स्तर) से लिए गए हैं। आप पहले से ही इतने साक्षर हैं कि इन उदाहरणों को स्वयं हल कर सकते हैं। मैं केवल आवश्यक प्रतिस्थापन ही दूँगा।

प्रश्न हल करें:
समीकरण की जड़ें खोजें:
प्रश्न हल करें: । इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं:

और अब कुछ संक्षिप्त स्पष्टीकरण और उत्तर:

यहां हमारे लिए इतना ही नोट करना काफी है कि... तब मूल समीकरण इसके बराबर होगा: इस समीकरण को प्रतिस्थापित करके हल किया जा सकता है आगे की गणना स्वयं करें। अंत में, आपका कार्य सरल त्रिकोणमितीय समस्याओं (साइन या कोसाइन के आधार पर) को हल करने तक सीमित हो जाएगा। हम अन्य अनुभागों में समान उदाहरणों के समाधान देखेंगे।
यहां आप प्रतिस्थापन के बिना भी काम कर सकते हैं: बस सबट्रेंड को दाईं ओर ले जाएं और दोनों आधारों को दो की शक्तियों के माध्यम से निरूपित करें:, और फिर सीधे द्विघात समीकरण पर जाएं।
तीसरा समीकरण भी काफी मानक तरीके से हल किया गया है: आइए कल्पना करें कि कैसे। फिर, प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: फिर,
आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक क्या है, है ना? नहीं? तो फिर विषय को तुरंत पढ़ें!

पहली जड़ स्पष्ट रूप से खंड से संबंधित नहीं है, लेकिन दूसरी अस्पष्ट है! लेकिन हम जल्द ही पता लगा लेंगे! चूँकि, तब (यह लघुगणक का गुण है!) आइए तुलना करें:

दोनों ओर से घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

दोनों पक्षों को इससे गुणा करें:

तब से गुणा किया जा सकता है

फिर तुलना करें:

के बाद से:

फिर दूसरा मूल आवश्यक अंतराल से संबंधित है

उत्तर:

जैसा कि आप देख रहे हैं, घातांकीय समीकरणों की जड़ों के चयन के लिए लघुगणक के गुणों का काफी गहरा ज्ञान आवश्यक है, इसलिए मैं आपको सलाह देता हूं कि घातांकीय समीकरणों को हल करते समय यथासंभव सावधान रहें। जैसा कि आप समझते हैं, गणित में सब कुछ आपस में जुड़ा हुआ है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षक ने कहा: "गणित, इतिहास की तरह, रातोंरात नहीं पढ़ा जा सकता है।"

एक नियम के रूप में, सभी समस्या C1 को हल करने में कठिनाई वास्तव में समीकरण की जड़ों का चयन है।आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें:

यह स्पष्ट है कि समीकरण स्वयं ही काफी सरलता से हल हो गया है। प्रतिस्थापन करके हम अपने मूल समीकरण को निम्न तक घटा देते हैं:

सबसे पहले आइए पहली जड़ को देखें। आइए तुलना करें और: तब से। (संपत्ति लघुगणकीय कार्य, पर)। तब यह स्पष्ट है कि पहली जड़ हमारे अंतराल से संबंधित नहीं है। अब दूसरा मूल: . यह स्पष्ट है कि (चूंकि कार्य बढ़ रहा है)। जो कुछ बचा है वह तुलना करना है।

तब से, तब से, एक ही समय में। इस तरह मैं और के बीच "एक खूंटी गाड़" सकता हूं। यह खूंटी एक संख्या है. पहली अभिव्यक्ति कम है और दूसरी अधिक है। तब दूसरा व्यंजक पहले से बड़ा है और मूल अंतराल से संबंधित है।

उत्तर: ।

अंत में, आइए समीकरण का एक और उदाहरण देखें जहां प्रतिस्थापन काफी गैर-मानक है:

आइए तुरंत शुरू करें कि क्या किया जा सकता है, और क्या - सिद्धांत रूप में, किया जा सकता है, लेकिन इसे न करना ही बेहतर है। आप तीन, दो और छह की शक्तियों के माध्यम से हर चीज़ की कल्पना कर सकते हैं। यह कहाँ ले जाता है? इससे कुछ भी हासिल नहीं होगा: डिग्रियों की गड़बड़ी, जिनमें से कुछ से छुटकारा पाना काफी मुश्किल होगा। फिर क्या जरूरत है? आइए ध्यान दें कि ए और इससे हमें क्या मिलेगा? और तथ्य यह है कि हम निर्णय को कम कर सकते हैं यह उदाहरणहल करने के लिए एक सरल घातीय समीकरण पर्याप्त है! सबसे पहले, आइए अपने समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखें:

आइए अब परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:

यूरेका! अब हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है:

खैर, अब प्रदर्शन समस्याओं को हल करने की आपकी बारी है, और मैं उन पर केवल संक्षिप्त टिप्पणियाँ दूँगा ताकि आप भटक न जाएँ! आपको कामयाबी मिले!

1. सबसे कठिन! यहाँ किसी प्रतिस्थापन को देखना बहुत कठिन है! लेकिन फिर भी, इस उदाहरण का उपयोग करके पूरी तरह से हल किया जा सकता है एक पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करना. इसे हल करने के लिए, यह नोट करना पर्याप्त है कि:

तो फिर यहाँ आपका प्रतिस्थापन है:

(कृपया ध्यान दें कि यहां हमारे प्रतिस्थापन के दौरान हम नकारात्मक रूट को नहीं हटा सकते!!! आप ऐसा क्यों सोचते हैं?)

अब उदाहरण को हल करने के लिए आपको केवल दो समीकरण हल करने होंगे:

इन दोनों को "मानक प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया जा सकता है (लेकिन एक उदाहरण में दूसरा!)

2. उस पर ध्यान दें और प्रतिस्थापन करें।

3. संख्या को सहअभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

4. भिन्न के अंश और हर को (या, यदि आप चाहें तो) से विभाजित करें और प्रतिस्थापन करें।

5. ध्यान दें कि संख्याएँ संयुग्मी हैं।

घातांकीय समीकरण. अग्रवर्ती स्तर

इसके अलावा आइए एक और तरीका देखें - लघुगणक विधि का उपयोग करके घातांकीय समीकरणों को हल करना. मैं यह नहीं कह सकता कि इस पद्धति का उपयोग करके घातांकीय समीकरणों को हल करना बहुत लोकप्रिय है, लेकिन कुछ मामलों में ही यह हमें आगे ले जा सकता है सही निर्णयहमारा समीकरण. इसका उपयोग विशेष रूप से अक्सर तथाकथित "" को हल करने के लिए किया जाता है। मिश्रित समीकरण ": अर्थात वे, जहां विभिन्न प्रकार के कार्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रपत्र का एक समीकरण:

सामान्य स्थिति में, इसे केवल दोनों पक्षों के लघुगणक (उदाहरण के लिए, आधार तक) लेकर हल किया जा सकता है, जिसमें मूल समीकरण निम्नलिखित में बदल जाएगा:

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

यह स्पष्ट है कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ODZ के अनुसार, हम केवल रुचि रखते हैं। हालाँकि, यह न केवल लघुगणक के ODZ से, बल्कि एक और कारण से होता है। मुझे लगता है कि आपके लिए यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं होगा कि यह कौन सा है।

आइए हमारे समीकरण के दोनों पक्षों के लघुगणक को आधार पर लें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल समीकरण का लघुगणक लेने से हम तुरंत सही (और सुंदर!) उत्तर पर पहुंच गए। आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें:

यहां कुछ भी गलत नहीं है: आइए समीकरण के दोनों पक्षों के लघुगणक को आधार पर लें, फिर हमें मिलता है:

आइए एक प्रतिस्थापन करें:

हालाँकि, हम कुछ चूक गए! क्या आपने ध्यान दिया कि मैंने कहाँ गलती की? आख़िरकार, तो:

जो आवश्यकता को पूरा नहीं करता (सोचें कि यह कहाँ से आया है!)

उत्तर:

नीचे दिए गए घातांकीय समीकरणों का हल लिखने का प्रयास करें:

अब अपने निर्णय की तुलना इससे करें:

1. आइए इसे ध्यान में रखते हुए, आधार के दोनों पक्षों का लघुगणक लगाएं:

(प्रतिस्थापन के कारण दूसरी जड़ हमारे लिए उपयुक्त नहीं है)

2. आधार का लघुगणक:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में बदलें:

घातांकीय समीकरण. संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

घातीय समीकरण

फॉर्म का समीकरण:

बुलाया सबसे सरल घातीय समीकरण.

डिग्री के गुण

समाधान के लिए दृष्टिकोण

उसी आधार पर कटौती
एक ही घातांक में कमी
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन
अभिव्यक्ति को सरल बनाना और उपरोक्त में से किसी एक को लागू करना।

घातांकीय समीकरणों को हल करना. उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ भाव हैं संकेतककुछ डिग्री. और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x+3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ विभिन्न प्रकार के भाव। यदि, अचानक, एक संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक एक्स दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। फिलहाल हम उन पर विचार नहीं करेंगे. यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों को हल करनाअपने शुद्धतम रूप में.

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन वहां थे ख़ास तरह केघातीय समीकरण जिन्हें हल किया जा सकता है और हल किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन पर हम विचार करेंगे।

सरल घातीय समीकरणों को हल करना।

सबसे पहले, आइए कुछ बहुत ही बुनियादी समाधान करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, ठीक!? X का कोई अन्य मान कार्य नहीं करता. आइए अब इस पेचीदा घातीय समीकरण के समाधान पर नजर डालें:

हमने क्या किया है? वास्तव में, हमने बस उन्हीं आधारों (ट्रिपल्स) को बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया गया. और, अच्छी खबर यह है कि, हमने सही निर्णय लिया है!

दरअसल, यदि किसी घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ, इन संख्याओं को हटाया जा सकता है और घातांक को बराबर किया जा सकता है। गणित अनुमति देता है. अभी बहुत सरल समीकरण को हल करना बाकी है। बढ़िया, ठीक है?)

हालाँकि, आइए दृढ़ता से याद रखें: आप आधार केवल तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी या गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x+1 = 2 3, या

दो को हटाया नहीं जा सकता!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज़ में महारत हासिल कर ली है। दुष्ट घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"वह समय है!" - आप बताओ। "परीक्षाओं और परीक्षाओं पर इतना आदिम पाठ कौन देगा?"

मुझे सहमत होना होगा. कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि पेचीदा उदाहरणों को हल करते समय लक्ष्य कहाँ रखना है। इसे उस फॉर्म में लाना होगा जहां बाईं और दाईं ओर समान आधार संख्या हो। फिर सब कुछ आसान हो जाएगा. दरअसल, यह गणित का एक क्लासिक है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और उसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। निःसंदेह, गणित के नियमों के अनुसार।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिन्हें सरलतम बनाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलिए उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण.

सरल घातीय समीकरणों को हल करना। उदाहरण।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं डिग्री के साथ कार्रवाईइन क्रियाओं के ज्ञान के बिना कोई काम नहीं चलेगा।

डिग्री वाले कार्यों में व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता जोड़नी होगी। क्या हमें समान आधार संख्या की आवश्यकता है? इसलिए हम उदाहरण में उन्हें स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में देखते हैं।

आइए देखें कि व्यवहार में यह कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दिया जाए:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली पैनी नजर है मैदान.वे...वे अलग हैं! दो और आठ. लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम डिग्री के साथ संक्रियाओं के सूत्र को याद करें:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह बढ़िया काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखने लगा:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (x+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक संक्रियाओं को रद्द नहीं किया है!), हमें मिलता है:

2 2x = 2 3(x+1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में एक एन्क्रिप्टेड दो है। यह तकनीक (एन्क्रिप्शन सामान्य आधारअंतर्गत अलग-अलग नंबर) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय तकनीक है! हाँ, और लघुगणक में भी। आपको संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातांकीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

सच तो यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक कि कागज पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, कोई भी 3 से पाँचवीं घात तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन सारणी जानते हैं तो 243 काम करेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अक्सर घात तक बढ़ाना आवश्यक नहीं होता है, लेकिन इसके विपरीत... पता लगाएं, किस संख्या से किस डिग्री तकसंख्या 243, या कहें, 343 के पीछे छिपा है... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, ठीक है... आइए अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि संख्याएँ कौन सी घातें और कौन सी संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

यदि आप ध्यान से देखें तो आप देख सकते हैं अजीब तथ्य. कार्यों से कहीं अधिक उत्तर हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6, 4 3, 8 2 - यह सब 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने के बारे में जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको यह भी याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए हम उपयोग करते हैं सभीगणितीय ज्ञान का भंडार. इनमें जूनियर और मिडिल क्लास के लोग भी शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?)

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (7वीं कक्षा को नमस्ते!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र नींव पर है! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वैसे ही हों। खैर, इस मामले में इच्छा पूरी तरह से पूरी हो गई है!) क्योंकि:

9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

डिग्रियों से निपटने के लिए समान नियमों का उपयोग करना:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

यह बहुत अच्छा है, आप इसे लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? आप तीन को बाहर नहीं फेंक सकते... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम याद रखें सब लोगगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि आपको क्या चाहिए, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

देखिए, सब ठीक हो जाएगा)।

इस घातीय समीकरण में क्या है? कर सकनाकरना? हाँ, बायीं ओर इसे कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है! 3 2x का समग्र गुणक स्पष्ट रूप से इस ओर संकेत करता है। आइए प्रयास करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर से बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 का अंक हमें परेशान करता है. इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

उफ़! सब कुछ बेहतर हो गया!

यह अंतिम उत्तर है.

हालाँकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सिंग हासिल की जाती है, लेकिन उनका उन्मूलन संभव नहीं है। ऐसा अन्य प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार में महारत हासिल करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में एक चर को प्रतिस्थापित करना। उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह. आइए एक आधार पर चलते हैं। एक ड्यूस के लिए.

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहीं हम घूमते हैं। पिछली तरकीबेंकाम नहीं करेगा, चाहे आप कितनी भी कोशिश करें। हमें अपने शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और सार्वभौमिक विधि निकालनी होगी। यह कहा जाता है परिवर्तनशील प्रतिस्थापन.

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है. एक जटिल चिह्न (हमारे मामले में - 2 x) के बजाय हम दूसरा, सरल चिह्न लिखते हैं (उदाहरण के लिए - t)। ऐसा प्रतीत होने वाला निरर्थक प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

तब 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

हम अपने समीकरण में सभी शक्तियों को x से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, क्या यह आप पर हावी है?) द्विघातीय समीकरणक्या आप अभी तक भूल गए हैं? विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:

यहां मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। चलिए एक्स पर वापस आते हैं, यानी। हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं। टी 1 के लिए सबसे पहले:

वह है,

एक जड़ मिल गयी. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:

हम्म... बाईं ओर 2 x, दाईं ओर 1... समस्या? बिल्कुल नहीं! यह याद रखना पर्याप्त है (शक्तियों के साथ संचालन से, हाँ...) कि एक इकाई है कोईशून्य शक्ति के लिए संख्या. कोई भी। जो भी जरूरत होगी हम लगा देंगे. हमें दो की जरूरत है. मतलब:

अब बस इतना ही. हमें 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है.

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में कभी-कभी आप किसी प्रकार की अजीब अभिव्यक्ति के साथ समाप्त हो जाते हैं। प्रकार:

सात बजे से दो बजे तक साधारण डिग्रीकाम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं... हम कैसे हो सकते हैं? कोई भ्रमित हो सकता है... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , बस संयम से मुस्कुराता है और दृढ़ता से बिल्कुल सही उत्तर लिखता है:

एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता। वहां एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता होती है. लेकिन कार्य "सी" में यह आसान है।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालें।

प्रायोगिक उपकरण:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री. हम सोच रहे हैं कि क्या इन्हें बनाना संभव है समान।आइए सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करें डिग्री के साथ कार्रवाईयह मत भूलिए कि x के बिना संख्याओं को भी घातों में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाईं ओर और दाईं ओर होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ। हम उपयोग करते हैं डिग्री के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडीकरण.जिसे संख्याओं में गिना जा सकता है, हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरा टिप काम नहीं करता है, तो वेरिएबल प्रतिस्थापन का उपयोग करने का प्रयास करें। परिणाम एक ऐसा समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्गाकार। या भिन्नात्मक, जो वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा निर्णय लेने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक.

घातीय समीकरण हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद ज्ञात करें:

2 3's + 2 x = 9

घटित?

तो ठीक है सबसे जटिल उदाहरण(हालाँकि, मन में निर्णय लिया...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो फिर यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है. बढ़ी हुई कठिनाई के योग्य। मैं संकेत देना चाहता हूं कि इस उदाहरण में, जो चीज़ आपको बचाती है वह है सरलता और सभी गणितीय समस्याओं को हल करने का सबसे सार्वभौमिक नियम।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक सरल उदाहरण):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। उन पर विचार क्यों करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, आपको सरलता की आवश्यकता है... और सातवीं कक्षा आपकी मदद कर सकती है (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल करती है। क्या, क्यों, और क्यों। और, निस्संदेह, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। सिर्फ ये ही नहीं।)

विचार करने योग्य एक आखिरी मज़ेदार प्रश्न। इस पाठ में हमने घातीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहां ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?वैसे समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है...

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।