ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ. ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും നിർവ്വചനം: സിദ്ധാന്തവും പ്രശ്‌നപരിഹാരവും

പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ

ലോഗ്6 4 + ലോഗ്6 9.

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x >

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ഈ നിയമം അറിയുന്നത്, നിങ്ങൾ അറിയുകയും ചെയ്യും കൃത്യമായ മൂല്യംഎക്സിബിറ്റർമാർ, ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതി.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.

3.

4. എവിടെ .

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3. ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. കുറിപ്പ്: പ്രധാന നിമിഷംഇവിടെ - സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? വളരെ വരെ അവസാന നിമിഷംഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ.

അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. തീരുമാനിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഇതും കാണുക:

a അടിസ്ഥാനമാക്കാനുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം തുല്യത തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പവർ x () കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, മുകളിലുള്ള സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ ബാക്കിയുള്ള വിദേശ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ (3.4) തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയും ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണാറുണ്ട്. ബാക്കിയുള്ളവ കുറച്ച് സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നാൽ പല ജോലികളിലും സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും അവ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാധാരണ കേസുകൾ

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ചിലത് ബേസ് പത്തോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലോ രണ്ടോ ആണെങ്കിലും ഉള്ളവയാണ്.
അടിസ്ഥാന പത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം സാധാരണയായി ദശാംശ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

റെക്കോർഡിംഗിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് റെക്കോർഡിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നത് ഒരു ഘാതം (ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) ആണ്.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

അടിസ്ഥാന രണ്ടിലേക്കുള്ള മറ്റൊരു പ്രധാന ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

ഇൻ്റഗ്രൽ അല്ലെങ്കിൽ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബന്ധമാണ്

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ മതിയാകും. മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന്, അതിൽ നിന്നുള്ള കുറച്ച് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞാൻ നൽകും സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസർവകലാശാലകളും.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട്

3.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

4. എവിടെ .

നോട്ടം കൊണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ ആവിഷ്കാരംനിരവധി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപീകരിക്കുന്നതിന് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി, അവസാന ടേം 5, 13 പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ അത് രേഖപ്പെടുത്തുകയും വിലപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: അതിൻ്റെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വഴി ലോഗരിതം എഴുതാൻ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കാം.

ഇത് ലോഗരിതങ്ങളുമായും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമായും ഉള്ള നമ്മുടെ പരിചയത്തിൻ്റെ തുടക്കം മാത്രമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശീലിക്കുക, നിങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ സമ്പുഷ്ടമാക്കുക - ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നേടുന്ന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ആവശ്യമായി വരും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ പഠിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ അറിവ് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഷയം- ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ...

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log6 4 + log6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിൻ്റെയും വ്യവകലനത്തിൻ്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിൻ്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിൻ്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകൾ. പുരാതന ടേബിളുകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഫോമിലെ ഡിഗ്രികൾക്ക് മാത്രമല്ല ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഇത് സാധ്യമാക്കി പ്രധാന സംഖ്യകൾ, മാത്രമല്ല ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്ക്.

1614-ൽ സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു പുതിയ പദം"ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം." പുതിയത് സങ്കീർണ്ണമായ പട്ടികകൾസൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, അതുപോലെ സ്പർശനങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിന്. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അവ ഉടനീളം ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകൾ. മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി പുതിയ പ്രവർത്തനംബീജഗണിതത്തിൽ അത് അതിൻ്റെ പൂർത്തിയായ രൂപം കൈവരിച്ചു. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x എന്നത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദം എന്ന നിലയിൽ ഉണ്ടാകും: ലോഗ് സി(ബി/പി) = ലോഗ് സി(ബി) - ലോഗ് സി(പി), ക്വട്ടേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ചെയ്യരുത് - തുകയുടെ ലോഗരിതം അല്ല തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ലോഗരിതം.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോളിനോമിയൽ വികാസത്തിൻ്റെ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതൽ, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത്.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് എല്ലാ ജോലികളും ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രത്യേകം രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായുള്ള തിരയൽ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ നീണ്ട കാലംഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഉപകരണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷൻ്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷൻ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്തും ഇടത്തും പ്രയോഗിച്ചാൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് നേടിയെടുത്തത് വലിയ പ്രാധാന്യംവസ്തുക്കളെ വിവരിക്കാൻ യഥാർത്ഥ ലോകം. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മാനുഷിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്, അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിലാണ്. വിവരണങ്ങളുടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം ഭൗതിക നിയമങ്ങൾലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റോക്കറ്റിൻ്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിൻ്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ - എഞ്ചിൻ്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണ.
• M 1 - റോക്കറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊന്ന് പ്രധാനപ്പെട്ട ഉദാഹരണം - ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിൻ്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിൻ്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിൻ്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തന മേഖലകളിൽ അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

എന്നതാണ് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് ലോഗരിതം. ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ ഒരു നിർവചനം നൽകും, അംഗീകൃത നൊട്ടേഷൻ കാണിക്കും, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും പ്രകൃതിദത്തവും ദശാംശവുമായ ലോഗരിതങ്ങളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനം

ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ലോഗരിതം എന്ന ആശയം ഉണ്ടാകുന്നു ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽവിപരീതം, നിങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യംബിരുദവും അറിയപ്പെടുന്ന അടിസ്ഥാനവും.

എന്നാൽ മതിയായ ആമുഖങ്ങൾ, "ഒരു ലോഗരിതം എന്താണ്" എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ട സമയമാണിത്? നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

b യുടെ ലോഗരിതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ, ഇവിടെ a>0, a≠1, b>0 എന്നിവ ഘാതകമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി b ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ a സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, "ലോഗരിതം" എന്ന വാക്ക് ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് തുടർചോദ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: "ഏത് നമ്പർ", "ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിൽ." മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ലോഗരിതം ഇല്ല, പക്ഷേ ഒരു സംഖ്യയുടെ ചില അടിസ്ഥാനങ്ങളിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം മാത്രം.

നമുക്ക് ഉടനെ പ്രവേശിക്കാം ലോഗരിതം നൊട്ടേഷൻ: a യുടെ അടിസ്ഥാനം b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം സാധാരണയായി log a b ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ b മുതൽ അടിസ്ഥാന e വരെയുള്ള ലോഗരിതം, ബേസ് 10 വരെയുള്ള ലോഗരിതം എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം lnb, logb എന്നീ പ്രത്യേക പദവികളുണ്ട്, അതായത്, അവർ എഴുതുന്നത് log e b അല്ല, lnb, log 10 b അല്ല, lgb.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നൽകാം: .
ഒപ്പം റെക്കോർഡുകളും അർത്ഥമില്ല, കാരണം അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഉണ്ട് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, രണ്ടാമത്തേതിൽ ബേസിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, മൂന്നാമത്തേതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും അടിത്തറയിൽ ഒരു യൂണിറ്റും ഉണ്ട്.

ഇനി നമുക്ക് സംസാരിക്കാം ലോഗരിതം വായിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. ലോഗ് എ ബിയെ "ബി യുടെ ലോഗരിതം എ ടു ബേസ് എ" എന്നാണ് വായിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 3 എന്നത് മൂന്ന് മുതൽ ബേസ് 2 വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ ബേസ് 2 മുതൽ രണ്ട് പോയിൻ്റ് മൂന്നിൽ രണ്ട് വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആണ്. സ്ക്വയർ റൂട്ട്അഞ്ചിൽ നിന്ന്. e യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, കൂടാതെ lnb എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു " സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം b". ഉദാഹരണത്തിന്, ln7 എന്നത് ഏഴിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്, നമ്മൾ അതിനെ പൈയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയി വായിക്കും. അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതത്തിനും ഒരു പ്രത്യേക നാമമുണ്ട് - ദശാംശ ലോഗരിതം, കൂടാതെ lgb എന്നത് "b യുടെ ഡെസിമൽ ലോഗരിതം" ആയി വായിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, lg1 എന്നത് ഒന്നിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ lg2.75 എന്നത് രണ്ട് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏഴ് അഞ്ഞൂറിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകിയിട്ടുള്ള a>0, a≠1, b>0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളിൽ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ഫോമിൻ്റെ സമത്വം ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും.

a≠1-ൽ തുടങ്ങാം. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതൊരു ശക്തിയും ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, തുല്യത b=1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശരിയാകൂ, എന്നാൽ ലോഗ് 1 1 ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ആകാം. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ, a≠1 അനുമാനിക്കുന്നു.

a>0 എന്ന വ്യവസ്ഥയുടെ പ്രയോജനത്തെ നമുക്ക് ന്യായീകരിക്കാം. a=0 ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് b=0 കൊണ്ട് മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. എന്നാൽ പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത പവർ വരെ പൂജ്യമായതിനാൽ ലോഗ് 0 0 പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാകാം. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ a≠0 വ്യവസ്ഥ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. എപ്പോൾ എ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

അവസാനമായി, b>0 എന്ന അവസ്ഥ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു a>0, മുതൽ , കൂടാതെ a പോസിറ്റീവ് ബേസ് ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ പ്രഖ്യാപിത നിർവചനം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തി ആയിരിക്കുമ്പോൾ ലോഗരിതം മൂല്യം ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം, b=a p ആണെങ്കിൽ, b എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനം a p-ന് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതായത് സമത്വ ലോഗ് a a p =p ശരിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 =8, തുടർന്ന് ലോഗ് 2 8=3 എന്ന് നമുക്കറിയാം. ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ സംസാരിക്കും.

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, വെറും 10-20 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ:

1. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. ഒരു ക്ലാസ് മുഴുവൻ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് ഒന്നും കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഗുണനപ്പട്ടികയും ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്നും മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും...

നിങ്ങൾക്ക് സംശയമുണ്ടെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു... ശരി, സമയം അടയാളപ്പെടുത്തൂ! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

(ഗ്രീക്കിൽ നിന്ന് λόγος - "വാക്ക്", "ബന്ധം", ἀριθμός - "നമ്പർ") അക്കങ്ങൾ ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എ(ലോഗ് α ബി) അത്തരമൊരു നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു സി, ഒപ്പം ബി= ഒരു സി, അതായത്, റെക്കോർഡ്സ് ലോഗ് α ബി=സിഒപ്പം b=aസിതുല്യമാണ്. a > 0, a ≠ 1, b > 0 ആണെങ്കിൽ ലോഗരിതം അർത്ഥവത്താണ്.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ ലോഗരിതംസംഖ്യകൾ ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ആയി രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എനമ്പർ ലഭിക്കാൻ ബി(ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ ഉള്ളൂ).

ഈ ഫോർമുലേഷനിൽ നിന്ന് x= ലോഗ് α എന്ന കണക്കുകൂട്ടൽ പിന്തുടരുന്നു ബി, a x =b എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ലോഗ് 2 8 = 3 കാരണം 8 = 2 3 .

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സൂചിപ്പിച്ച രൂപീകരണം ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഊന്നിപ്പറയാം ലോഗരിതം മൂല്യം, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ. തീർച്ചയായും, ലോഗരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് അതിനെ ന്യായീകരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു ബി=എ സി, പിന്നെ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എതുല്യമാണ് കൂടെ. ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വിഷയവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ളതാണെന്നും വ്യക്തമാണ് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തികൾ.

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം. ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ് ലോഗരിതം. ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ, ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകകളായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

പൊട്ടൻഷ്യേഷൻലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത്, തന്നിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാനം ഏത് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ നടത്തപ്പെടുന്നു എന്നതിൻ്റെ വ്യാപ്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

മിക്കപ്പോഴും, യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം ബേസ് 2 (ബൈനറി), യൂലറുടെ നമ്പർ e ≈ 2.718 (സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം), 10 (ദശാംശം) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ഓൺ ഈ ഘട്ടത്തിൽപരിഗണിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം ലോഗരിതം സാമ്പിളുകൾലോഗ് 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

കൂടാതെ, lg (-3), ലോഗ് -3 3.2, ലോഗ് -1 -4.3 എന്ന എൻട്രികൾക്ക് അർത്ഥമില്ല, കാരണം അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്. അടിത്തറയിൽ, മൂന്നാമത്തേതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ബേസിൽ യൂണിറ്റും ഉണ്ട്.

ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ a > 0, a ≠ 1, b > 0 എന്നിവ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കേണ്ടതാണ്. ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം.എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ എടുത്തതെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. x = log α എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമത്വം ഇതിന് നമ്മെ സഹായിക്കും ബി, മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് വ്യവസ്ഥ എടുക്കാം a≠1. ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിൽ ഒന്ന് എന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, തുല്യത x=log α ബിഎപ്പോൾ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ b=1, എന്നാൽ ലോഗ് 1 1 ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കും. ഈ അവ്യക്തത ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു a≠1.

വ്യവസ്ഥയുടെ ആവശ്യകത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം a>0. ചെയ്തത് a=0ലോഗരിതം ഫോർമുലേഷൻ അനുസരിച്ച് എപ്പോൾ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ b=0. പിന്നെ അതനുസരിച്ച് ലോഗ് 0 0പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യം അല്ലാത്ത പവർ വരെ പൂജ്യമായതിനാൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ആകാം. ഈ അവ്യക്തത വ്യവസ്ഥയിലൂടെ ഇല്ലാതാക്കാം a≠0. പിന്നെ എപ്പോൾ എ<0 യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത അടിസ്ഥാനങ്ങൾക്കായി മാത്രം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ മൂല്യങ്ങളുടെ വിശകലനം ഞങ്ങൾ നിരസിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇക്കാരണത്താലാണ് നിബന്ധന വെച്ചിരിക്കുന്നത് a>0.

ഒപ്പം അവസാനത്തെ വ്യവസ്ഥയും b>0അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു a>0, x=ലോഗ് α മുതൽ ബി, കൂടാതെ ഒരു പോസിറ്റീവ് ബേസ് ഉള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം എഎപ്പോഴും പോസിറ്റീവ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ.

ലോഗരിതംസ്വ്യതിരിക്തമായ സ്വഭാവം ഫീച്ചറുകൾ, ഇത് കഠിനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഗണ്യമായി സുഗമമാക്കുന്നതിന് അവയുടെ വ്യാപകമായ ഉപയോഗത്തിലേക്ക് നയിച്ചു. "ലോഗരിതങ്ങളുടെ ലോകത്തേക്ക്" നീങ്ങുമ്പോൾ, ഗുണനം വളരെ എളുപ്പമുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു, വിഭജനം കുറയ്ക്കലായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഘാതകവും റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കലും യഥാക്രമം ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണനമായും ഹരിച്ചും രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ രൂപീകരണവും അവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയും (ഇതിനായി ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ) 1614-ൽ സ്കോട്ടിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ആദ്യമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. മറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞർ വലുതാക്കിയതും വിശദമാക്കിയതുമായ ലോഗരിതം ടേബിളുകൾ ശാസ്ത്രീയവും എഞ്ചിനീയറിംഗും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടു, കൂടാതെ ഇലക്ട്രോണിക് കാൽക്കുലേറ്ററുകളും കമ്പ്യൂട്ടറുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നത് വരെ പ്രസക്തമായി തുടർന്നു.