ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും. സമഗ്ര ഗൈഡ് (2019)

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് എ xഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x+ ലോഗ് എ വൈ= ലോഗ് എ (x · വൈ);
2. ലോഗ് എ x- ലോഗ് എ വൈ= ലോഗ് എ (x : വൈ).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. കുറിപ്പ്: പ്രധാന നിമിഷംഇവിടെ - സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻഅതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ കണക്കാക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: എ > 0, എ ≠ 1, x> 0. ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ ഫോർമുലകളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? വളരെ വരെ അവസാന നിമിഷംഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗ് നൽകട്ടെ എ x. പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും സിഅത്തരം സി> 0 ഒപ്പം സി≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ സി = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. തീരുമാനിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർ എൻവാദത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. നമ്പർ എൻതികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.

വാസ്തവത്തിൽ, നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ബിസംഖ്യയെ അത്തരം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക ബിഈ ശക്തിക്ക് നമ്പർ നൽകുന്നു എ? അത് ശരിയാണ്: നിങ്ങൾക്ക് ഇതേ നമ്പർ ലഭിക്കും എ. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ചുമതല. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതം നിർവചിച്ചതിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ എ= 1 ഒരു ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം എഇതിൽ നിന്ന് തന്നെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 = 0 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം എഎന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെന്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം എ 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിന്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

പ്രിമിറ്റീവ് ലെവൽ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നാണ് ലോഗരിതം. പേര് വന്നത് ഗ്രീക്ക് ഭാഷ"നമ്പർ" അല്ലെങ്കിൽ "പവർ" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നത് അന്തിമ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അടിത്തറയിലെ സംഖ്യ എത്രത്തോളം ഉയർത്തണം എന്നാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

• ലോഗ് a b - a യെ അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• ലോഗ് ബി - ഡെസിമൽ ലോഗരിതം (ലോഗരിതം മുതൽ ബേസ് 10, a = 10);
• ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം (ലോഗരിതം മുതൽ ബേസ് e, a = e).

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ബേസ് എയിലേക്കുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റാണ്, അതിന് b അടിസ്ഥാനം a ആയി ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ലഭിച്ച ഫലം ഇതുപോലെയാണ് ഉച്ചരിക്കുന്നത്: "b യുടെ ലോഗരിതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ." ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സംഖ്യകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ശക്തി നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ്. ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനോ പരിഹരിക്കുന്നതിനോ ചില അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളുണ്ട്, അതുപോലെ തന്നെ നൊട്ടേഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. അവ ഉപയോഗിച്ച്, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി, ഇന്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ലോഗരിതത്തിനുള്ള പരിഹാരം അതിന്റെ ലളിതമായ നൊട്ടേഷനാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ചുവടെ:

ഏതെങ്കിലും ഒരു എ ; a > 0; a ≠ 1 കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും x ന്; y > 0.

• a log a b = b - അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി
• ലോഗ് a 1 = 0
• ലോഗ a = 1
• ലോഗ് എ (x y) = ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ
• ലോഗ് എ x/ y = ലോഗ് എ x - ലോഗ് എ വൈ
• ലോഗ് എ 1/x = -ലോഗ് എ x
• log a x p = p log a x
• ലോഗ് a k x = 1/k ലോഗ് a x , k ≠ 0 ന്
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല
• ലോഗ് എ x = 1/ലോഗ് x എ

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം - പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ

• ആദ്യം, ആവശ്യമായ സമവാക്യം എഴുതുക.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം 10 ആണെങ്കിൽ, എൻട്രി ചുരുക്കി, ദശാംശ ലോഗരിതം ലഭിക്കും. അത് വിലപ്പെട്ടതാണെങ്കിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ e, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു, അത് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ ലോഗരിതംസിന്റെയും ഫലം b എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തുന്ന ശക്തിയാണ്.

നേരിട്ട്, ഈ ബിരുദം കണക്കാക്കുന്നതിലാണ് പരിഹാരം. ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് റൂൾ അനുസരിച്ച് ലളിതമാക്കണം, അതായത്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്. ലേഖനത്തിൽ അല്പം പിന്നോട്ട് പോയാൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റികൾ കണ്ടെത്താനാകും.

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളുള്ളതും എന്നാൽ ഒരേ ബേസുകളുള്ളതുമായ ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, യഥാക്രമം ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നമോ വിഭജനമോ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും (മുകളിൽ കാണുക).

ഒരു ലോഗരിതം ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഗണിക്കേണ്ട ചില പരിമിതികളുണ്ട്. അതായത്: ലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം മാത്രമാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, എന്നാൽ ഒന്നിന് തുല്യമല്ല. a പോലെ ബി എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യാപരമായി ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം പല ശക്തികളും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്. ഈ അവസ്ഥയിൽ, സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു ലോഗരിതം ആയി വിടുക.

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, വെറും 10-20 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ:

1. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. ഒരു ക്ലാസ് മുഴുവൻ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് ഒന്നും കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനപ്പട്ടികയും ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്നും മാത്രം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് സംശയമുണ്ടെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു... ശരി, സമയം അടയാളപ്പെടുത്തൂ! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കും ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം. ആദ്യം നമ്മൾ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ മനസ്സിലാക്കും. അടുത്തതായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം. ഇതിനുശേഷം, മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും. അവസാനമായി, ലോഗരിതം പട്ടികകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം. മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു

ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ വളരെ വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും നിർവഹിക്കാൻ സാധിക്കും നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അതിന്റെ സാരാംശം b എന്ന സംഖ്യയെ a c എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ്, അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സംഖ്യ c എന്നത് ലോഗരിതം മൂല്യമാണ്. അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖല ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമാനമാണ്: log a b=log a a c =c.

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് ഒരു c = b എന്ന സംഖ്യയെ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, കൂടാതെ c സംഖ്യ തന്നെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്.

മുൻ ഖണ്ഡികകളിലെ വിവരങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ലോഗരിതം അടിത്തറയുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയാൽ നൽകുമ്പോൾ, ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - ഇത് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 2 2 −3 കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ e 5,3 എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ലോഗ് 2 2 −3 =−3 എന്ന് ഉടനടി പറയാൻ ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ബേസ് 2-ന് −3 പവറിന് തുല്യമാണ്.

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു: lne 5.3 =5.3.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 2 2 −3 =-3, lne 5,3 =5,3.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള b എന്ന സംഖ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ ശക്തിയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, a c എന്ന രൂപത്തിൽ b എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രാതിനിധ്യം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും ഈ പ്രാതിനിധ്യം വളരെ വ്യക്തമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 1, അല്ലെങ്കിൽ 2, അല്ലെങ്കിൽ 3, ന്റെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ...

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതംസ് ലോഗ് 5 25 കണക്കാക്കുക, ഒപ്പം .

പരിഹാരം.

25=5 2, ഇത് ആദ്യ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ലോഗ് 5 25=ലോഗ് 5 5 2 =2.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സംഖ്യയെ 7 ന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: (ആവശ്യമെങ്കിൽ കാണുക). അതിനാൽ, .

നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതം വീണ്ടും എഴുതാം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് കാണാൻ കഴിയും , അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു . അതിനാൽ, ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം പ്രകാരം .

ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

ലോഗ് 5 25=2 , ഒപ്പം .

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ആവശ്യത്തിന് വലിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഉള്ളപ്പോൾ, അത് വികസിപ്പിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ. ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ ചില ശക്തിയായി അത്തരമൊരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ലോഗരിതത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും ഉൾപ്പെടുന്നു: log 1 1=log a a 0 =0, log a =log a a 1 =1. അതായത്, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു സംഖ്യ 1 അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ലോഗരിതം യഥാക്രമം 0, 1 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതങ്ങളും log10 ഉം എന്തിന് തുല്യമാണ്?

പരിഹാരം.

മുതൽ, ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു .

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 10 അതിന്റെ അടിത്തറയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ പത്തിന്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, lg10=lg10 1 =1.

ഉത്തരം:

ഒപ്പം lg10=1.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്തത്) സമത്വ ലോഗ് a a p =p ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ലോഗരിതം ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. , ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിനോട് യോജിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ഉത്തരം:

.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

അറിയപ്പെടുന്ന മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന വിഷയം തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രധാന വ്യത്യാസം, ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യം അറിയപ്പെടുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. ലോഗ് 2 3≈1.584963 എന്ന് നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗ് 2 6 കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചെറിയ പരിവർത്തനം നടത്തി: ലോഗ് 2 6=ലോഗ് 2 (2 3)=ലോഗ് 2 2+ലോഗ് 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയായിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, തന്നിരിക്കുന്നവയിലൂടെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ വിശാലമായ ആയുധശേഖരം ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 60 2=a, ലോഗ് 60 5=b എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ 27 മുതൽ ബേസ് 60 വരെയുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗ് 60 27 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 27 = 3 3 , ശക്തിയുടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ സ്വഭാവം കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം, 3·ലോഗ് 60 3 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലോഗ് 60 3 എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. 60 60=1 എന്ന സമത്വ ലോഗ് എഴുതാൻ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ലോഗ് 60 60=log60(2 2 3 5)= ലോഗ് 60 2 2 +ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5= 2·ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5 . അങ്ങനെ, 2 ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5=1. അതിനാൽ, ലോഗ് 60 3=1−2·ലോഗ് 60 2−ലോഗ് 60 5=1−2·a−b.

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു: ലോഗ് 60 27=3 ലോഗ് 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ഫോമിന്റെ ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥം പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്. . ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. സാധാരണയായി, യഥാർത്ഥ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന്, ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അവ 2, e അല്ലെങ്കിൽ 10 ബേസുകളിലൊന്നിൽ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, കാരണം ഈ ബേസുകൾക്ക് അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ലോഗരിതം പട്ടികകളുണ്ട്. കൃത്യത. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ലോഗരിതം പട്ടികകളും അവയുടെ ഉപയോഗങ്ങളും

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഉപയോഗിക്കാം ലോഗരിതം പട്ടികകൾ. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം പട്ടിക, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പട്ടിക, ഡെസിമൽ ലോഗരിതം പട്ടിക. ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാന പത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിന്റെ സഹായത്തോടെ ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ പഠിക്കും.

അവതരിപ്പിച്ച പട്ടിക 1,000 മുതൽ 9,999 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പതിനായിരത്തിലൊന്നിന്റെ കൃത്യതയോടെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (മൂന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളോടെ). ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള തത്വം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം- ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് log1.256 കണ്ടെത്താം.

ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ ഇടത് നിരയിൽ, 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്, 1.2 (വ്യക്തതയ്ക്കായി ഈ നമ്പർ നീല നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ അക്കം (അക്ക 5) ഇരട്ട വരിയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ നമ്പർ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായ 1.256 (അക്ക 6) ന്റെ നാലാമത്തെ അക്കം ഇരട്ട വരിയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ ഒരു പച്ച വര ഉപയോഗിച്ച് വൃത്താകൃതിയിലാണ്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ വരിയുടെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ നിരകളുടെയും കവലയിൽ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ സെല്ലുകളിലെ സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഈ സംഖ്യകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു ഓറഞ്ച്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ദശാംശ ലോഗരിതം നാലാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന് കൃത്യമായ മൂല്യം നൽകുന്നു, അതായത്, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

മുകളിലുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും അതുപോലെ തന്നെ 1 മുതൽ 9.999 വരെയുള്ള ശ്രേണിക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നവയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? അതെ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് കാണിക്കാം.

നമുക്ക് lg102.76332 കണക്കാക്കാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് നമ്പർ ഇൻ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം : 102.76332=1.0276332·10 2. ഇതിനുശേഷം, മാന്റിസയെ മൂന്നാം ദശാംശ സ്ഥാനത്തേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാക്കണം, നമുക്കുണ്ട് 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, യഥാർത്ഥ ദശാംശ ലോഗരിതം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, അതായത്, നമ്മൾ log102.76332≈lg1.028·10 2 എടുക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. അവസാനമായി, ദശാംശ ലോഗരിതം lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 എന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം lg1.028 ന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തൽഫലമായി, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ഉപസംഹാരമായി, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ലോഗരിതത്തിന്റെയും ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് പോകാനും പട്ടികയിൽ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും ശേഷിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ലോഗ് 2 3 കണക്കാക്കാം. ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് . ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ log3≈0.4771, log2≈0.3010 എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ, .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം ഗ്രാഫ്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, കൂടുന്നതും കുറയുന്നതും എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് പരിഗണിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇന്റഗ്രൽ, പവർ സീരീസ് വികാസവും പ്രാതിനിധ്യവും.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനം

അടിസ്ഥാന a ഉള്ള ലോഗരിതം y യുടെ ഒരു ചടങ്ങാണ് (x) = ലോഗ് എ x, ബേസ് a: x ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് വിപരീതം (y) = a y.

ദശാംശ ലോഗരിതംഒരു സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ് 10 : ലോഗ് x ≡ ലോഗ് 10 x.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം e യുടെ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്: ln x ≡ ലോഗ് ഇ x.

2,718281828459045... ;
.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്നാണ് ലോഗരിതം ഗ്രാഫ് ലഭിക്കുന്നത് പ്രതിബിംബം y = x എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ഇടതുവശത്ത് y ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫുകൾ ഉണ്ട് (x) = ലോഗ് എ xനാല് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ഒപ്പം a = 1/8 . എപ്പോൾ എന്ന് ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു > 1 ലോഗരിതം ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. x കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് വളർച്ച ഗണ്യമായി കുറയുന്നു. ചെയ്തത് 0 < a < 1 ലോഗരിതം ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.

ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഡൊമെയ്ൻ, മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം, വർദ്ധിക്കുന്നു, കുറയുന്നു

ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല. ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

സ്വകാര്യ മൂല്യങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ദശാംശ ലോഗരിതം കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇവിളിച്ചു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം :

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന ലോഗരിതം ഗുണങ്ങൾ:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രധാന സ്വത്തും അതിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും

അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല

ലോഗരിതംഒരു ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ, ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

പൊട്ടൻഷ്യേഷൻലോഗരിതത്തിന്റെ വിപരീത ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത്, തന്നിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാനം ഏത് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ നടത്തപ്പെടുന്നു എന്നതിന്റെ വ്യാപ്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവ്

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും വിപരീത ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ സ്വത്ത് പരിഗണിക്കുക
.
പിന്നെ
.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കാം
:
.

അടിസ്ഥാന മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഫോർമുല നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
;
.
c = b അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്കുണ്ട്:

വിപരീത പ്രവർത്തനം

a ബേസ് ചെയ്യാനുള്ള ഒരു ലോഗരിതം വിപരീതം ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

എങ്കിൽ, പിന്നെ

എങ്കിൽ, പിന്നെ

ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്

മോഡുലസ് x ന്റെ ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
Nth ഓർഡറിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

ഒരു ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അത് അടിത്തറയിലേക്ക് ചുരുക്കണം ഇ.
;
.

ഇന്റഗ്രൽ

ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നു: .
അതിനാൽ,

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക z:
.
നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ പ്രകടിപ്പിക്കാം zമൊഡ്യൂൾ വഴി ആർവാദവും φ :
.
തുടർന്ന്, ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
അഥവാ

എന്നിരുന്നാലും, വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഇട്ടാൽ
, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്,
അപ്പോൾ അത് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾക്ക് ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കും എൻ.

അതിനാൽ, ലോഗരിതം, ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ, ഒരൊറ്റ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനല്ല.

പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

വിപുലീകരണം നടക്കുമ്പോൾ:

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.