ലോഗരിതം കുറയ്ക്കാൻ സാധിക്കുമോ? ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചത് സ്വകാര്യ വിവരംനിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിയമം അനുസരിച്ച്, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ ഏജൻസികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. അങ്ങനെ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു എനമ്പർ ലഭിക്കാൻ ബി(ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ ഉള്ളൂ).

ഈ ഫോർമുലേഷനിൽ നിന്ന് കണക്കുകൂട്ടൽ പിന്തുടരുന്നു x=log a b, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് a x =b.ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 8 = 3കാരണം 8 = 2 3 . ലോഗരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് അത് ന്യായീകരിക്കാൻ സാധ്യമാക്കുന്നു ബി=എ സി, പിന്നെ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എതുല്യമാണ് കൂടെ. ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്ന വിഷയവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ളതാണെന്നും വ്യക്തമാണ്.

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ പോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയും കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾസാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക. എന്നാൽ ലോഗരിതം പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ല എന്ന വസ്തുത കാരണം, അവരുടെ സ്വന്തം പ്രത്യേക നിയമങ്ങൾ ഇവിടെ ബാധകമാണ്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും.

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം എടുക്കാം: ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുകഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. അപ്പോൾ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും:

ലോഗ് a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ലോഗ് എ(x 1 . x 2 . x 3 ... x കെ) = ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 1 + ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 2 + ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക 3 + ... + ലോഗ് a x k.

നിന്ന് ലോഗരിതം ഘടക സിദ്ധാന്തംലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി കൂടി ലഭിക്കും. ലോഗിൻ ചെയ്യുന്നത് പൊതുവിജ്ഞാനമാണ് എ 1= 0, അതിനാൽ

ലോഗ് എ 1 /ബി= ലോഗ് എ 1 - ലോഗ് ഒരു ബി= -ലോഗ് ഒരു ബി.

ഇതിനർത്ഥം ഒരു സമത്വം ഉണ്ടെന്നാണ്:

ലോഗ് എ 1 / ബി = - ലോഗ് എ ബി.

രണ്ട് പരസ്പര സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതംഒരേ കാരണത്താൽ അടയാളം കൊണ്ട് മാത്രം പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും. അതിനാൽ:

ലോഗ് 3 9= - ലോഗ് 3 1 / 9 ; ലോഗ് 5 1 / 125 = -ലോഗ് 5 125.

a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) a (a>0, a 1 ന് തുല്യമല്ല) ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം c ഒരു സംഖ്യയാണ്. > 0)       

ഒരു പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൂടാതെ, ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കണം പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, 1 ന് തുല്യമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ സ്ക്വയർ -2 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് നമ്പർ 4 ലഭിക്കും, എന്നാൽ ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് അടിസ്ഥാന -2 ൻ്റെ 4 ൻ്റെ ലോഗരിതം 2 ന് തുല്യമാണെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

ഈ ഫോർമുലയുടെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വ്യത്യസ്തമാണെന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഇടത് വശം b>0, a>0, a ≠ 1 എന്നിവയ്‌ക്ക് മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഏതൊരു bയ്‌ക്കും വലതുവശം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, മാത്രമല്ല a-യെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. അങ്ങനെ, സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് "ഐഡൻ്റിറ്റി" പ്രയോഗിക്കുന്നത് OD-യിൽ ഒരു മാറ്റത്തിന് ഇടയാക്കും.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ രണ്ട് വ്യക്തമായ അനന്തരഫലങ്ങൾ

വാസ്തവത്തിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതേ സംഖ്യ ലഭിക്കും, അത് പൂജ്യം പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒന്ന് ലഭിക്കും.

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം

ലോഗ് എ ബി സി = ലോഗ് എ ബി - ലോഗ് എ സി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0) (6)

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിന്താശൂന്യമായി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെതിരെ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും. അവ "ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്" ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ODZ ചുരുങ്ങുന്നു, കൂടാതെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയോ ഘടകത്തിൻ്റെയോ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ODZ വികസിക്കുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗ് a (f (x) g (x)) എന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളും കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ f(x), g(x) എന്നിവ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമ്പോൾ.

ഈ പദപ്രയോഗത്തെ സം ലോഗ് a f (x) + log a g (x) ആക്കി മാറ്റുന്നത്, f(x)>0, g(x)>0 എന്നിവയിൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി കുറയുന്നു, ഇത് പ്രത്യേകമായി അസ്വീകാര്യമാണ്, കാരണം ഇത് പരിഹാരങ്ങളുടെ നഷ്ടത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നം ഫോർമുലയ്ക്ക് (6) നിലവിലുണ്ട്.

ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുക്കാം

വീണ്ടും ഞാൻ കൃത്യതയ്ക്കായി വിളിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ലോഗ് a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള f(x) ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും തുല്യതയുടെ ഇടതുവശം വ്യക്തമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. വലതുഭാഗം f(x)>0-ന് മാത്രമുള്ളതാണ്! ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ODZ ചുരുക്കുന്നു. വിപരീത നടപടിക്രമം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുടെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ അഭിപ്രായങ്ങളെല്ലാം പവർ 2 ന് മാത്രമല്ല, ഏത് ഇരട്ട ശക്തിക്കും ബാധകമാണ്.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

പരിവർത്തന സമയത്ത് ODZ മാറാത്ത അപൂർവ സന്ദർഭം. നിങ്ങൾ ബേസ് c ബുദ്ധിപൂർവ്വം തിരഞ്ഞെടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (പോസിറ്റീവ്, 1 ന് തുല്യമല്ല), ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പൂർണ്ണമായും സുരക്ഷിതമാണ്.

പുതിയ ബേസ് സി ആയി ബി നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, നമുക്ക് ഒരു പ്രധാനം ലഭിക്കും പ്രത്യേക കേസ്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (8):

ലോഗ് a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

ലോഗരിതം ഉള്ള ചില ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1. കണക്കാക്കുക: log2 + log50.
പരിഹാരം. log2 + log50 = log100 = 2. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ഫോർമുലയുടെ ആകെത്തുകയും (5) ദശാംശ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനവും ഉപയോഗിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2. കണക്കാക്കുക: lg125/lg5.
പരിഹാരം. log125/log5 = ലോഗ് 5 125 = 3. ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് (8) നീങ്ങുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു.

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

274. അഭിപ്രായങ്ങൾ.

എ)നിങ്ങൾ വിലയിരുത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ തുകഅഥവാ വ്യത്യാസംഅക്കങ്ങൾ, തുടർന്ന് അവ പട്ടികകളുടെ സഹായമില്ലാതെ കണ്ടെത്തണം സാധാരണ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽഅല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കൽ വഴി. ഉദാ:

ലോഗ് (35 +7.24) 5 = 5 ലോഗ് (35 + 7.24) = 5 ലോഗ് 42.24.

b)എക്സ്പ്രഷനുകൾ എങ്ങനെ ലോഗരിതം ചെയ്യണമെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം ഫലം ഉപയോഗിച്ച് വിപരീതമായി, ഈ ഫലം ലഭിച്ച എക്സ്പ്രഷൻ കണ്ടെത്താനാകും; അങ്ങനെയാണെങ്കില്

ലോഗ് എക്സ്= ലോഗ് എ+ ലോഗ് ബി- 3 ലോഗ് കൂടെ,

അപ്പോൾ അത് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

വി)ലോഗരിഥമിക് പട്ടികകളുടെ ഘടന പരിഗണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ ചില സവിശേഷതകൾ സൂചിപ്പിക്കും ദശാംശ ലോഗരിതം, അതായത്. 10 എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കുന്നവ (അത്തരം ലോഗരിതം മാത്രമേ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ).

അധ്യായം രണ്ട്.

ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

275 . എ) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 മുതലായവ, തുടർന്ന് ലോഗ് 10 = 1, ലോഗ് 100 = 2, ലോഗ് 1000 = 3, ലോഗ് 10000 = 4, മുതലായവ.

അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ഒന്നിനെയും പൂജ്യങ്ങളെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, സംഖ്യയുടെ പ്രാതിനിധ്യത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളത്രയും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ: ലോഗ് 100,000 = 5, ലോഗ് 1000 000 = 6 , തുടങ്ങിയവ.

ബി) കാരണം

ലോഗ് 0.1 = -l; ലോഗ് 0.01 = - 2; ലോഗ് 0.001 == -3; ലോഗ് 0.0001 = - 4,തുടങ്ങിയവ.

അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ലോഗരിതം ദശാംശം, മുമ്പുള്ള പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്, 0 പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടെ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രാതിനിധ്യത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളത്ര നെഗറ്റീവ് യൂണിറ്റുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

അങ്ങനെ: ലോഗ് 0.00001= - 5, ലോഗ് 0.000001 = -6,തുടങ്ങിയവ.

വി)ഉദാഹരണമായി ഒന്ന്, പൂജ്യങ്ങൾ എന്നിവ പ്രതിനിധീകരിക്കാത്ത ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എടുക്കാം. 35, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ, ഉദാഹരണത്തിന്. 10.7 അത്തരമൊരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം 10 നെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം (പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ്) ഉള്ള ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് പൂജ്യങ്ങളുള്ള 1 ലഭിക്കും (1-ന് ശേഷം, അല്ലെങ്കിൽ അതിന് മുമ്പുള്ളത്). അത്തരമൊരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ചില ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അനുമാനിക്കാം എ / ബി . അപ്പോൾ നമുക്ക് സമത്വം ലഭിക്കും

എന്നാൽ ഈ തുല്യതകൾ അസാധ്യമാണ് 10എ പൂജ്യങ്ങളുള്ള 1 സെ ഉണ്ട്, അതേസമയം ഡിഗ്രികൾ 35ബി ഒപ്പം 10,7ബി ഏത് അളവിലും ബി പൂജ്യങ്ങൾക്കൊപ്പം 1 നൽകാനാവില്ല. ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് അനുവദിക്കാനാവില്ല എന്നാണ് ലോഗ് 35ഒപ്പം ലോഗ് 10.7ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമായിരുന്നു. എന്നാൽ വസ്തുവകകളിൽ നിന്ന് ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻഓരോ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് നമുക്കറിയാം; തൽഫലമായി, 35, 10.7 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് അതിൻ്റേതായ ലോഗരിതം ഉണ്ട്, ഇത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയോ ഭിന്നസംഖ്യയോ ആകാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഇത് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. യുക്തിരഹിതമായ ലോഗരിതം സാധാരണയായി നിരവധി ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുള്ള ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ (അത് "0 പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ" ആണെങ്കിൽ പോലും) വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവം, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം ലോഗരിഥത്തിൻ്റെ മാൻ്റിസയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ടെങ്കിൽ 1,5441 , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ സ്വഭാവം തുല്യമാണ് 1 , ഒപ്പം മാൻ്റിസയാണ് 0,5441 .

ജി)ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ മിക്സഡ് നമ്പർ എടുക്കാം. 623 അഥവാ 623,57 . അത്തരമൊരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ഒരു സ്വഭാവവും മാൻ്റിസയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് അതിനുള്ള സൗകര്യമുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു ഒരു തരം സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്താനാകും . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ എത്ര അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലോ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഈ അക്കങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ 3 . അതിനാൽ, ഓരോ സംഖ്യകളും 623 ഒപ്പം 623,57 100-ൽ കൂടുതൽ എന്നാൽ 1000-ൽ താഴെ; ഓരോന്നിൻ്റെയും ലോഗരിതം കൂടുതലാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം ലോഗ് 100, അതായത് കൂടുതൽ 2 , എന്നാൽ കുറവ് ലോഗ് 1000, അതായത് കുറവ് 3 (ഒരു വലിയ സംഖ്യയ്ക്കും വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക). അതിനാൽ, ലോഗ് 623 = 2,..., ഒപ്പം ലോഗ് 623.57 = 2,... (അജ്ഞാതമായ മാൻ്റിസകൾക്ക് പകരം ഡോട്ടുകൾ).

ഇതുപോലെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

പൊതുവായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ സംഖ്യ, അല്ലെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന മിശ്ര സംഖ്യയുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ, അടങ്ങിയിരിക്കട്ടെ എം സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യ മുതൽ എം അക്കങ്ങൾ, അതെ 1 കൂടെ എം - 1 അവസാനം പൂജ്യങ്ങൾ, തുടർന്ന് (ഈ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എൻ) നമുക്ക് അസമത്വങ്ങൾ എഴുതാം:

അതിനാൽ,

എം - 1 < log N < എം ,

ലോഗ് എൻ = ( എം- 1) + പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ.

അതിനാൽ സ്വഭാവം logN = എം - 1 .

അത് ഈ രീതിയിൽ നാം കാണുന്നു ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയോ മിക്സഡ് സംഖ്യയുടെയോ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം സംഖ്യയുടെ മൈനസ് ഒന്നിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗത്തുള്ള അക്കങ്ങളുടെ അത്രയും പോസിറ്റീവ് യൂണിറ്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഇത് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, നമുക്ക് നേരിട്ട് എഴുതാം:

ലോഗ് 7.205 = 0,...; ലോഗ് 83 = 1,...; ലോഗ് 720.4 = 2,...ഇത്യാദി.

d)നമുക്ക് കുറച്ച് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എടുക്കാം 1 (അതായത് ഉള്ളത് 0 മുഴുവൻ): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, ഇത്യാദി.

അങ്ങനെ, ഈ ലോഗരിതം ഓരോന്നും ഒരു യൂണിറ്റ് വ്യത്യാസമുള്ള രണ്ട് നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; അതിനാൽ അവ ഓരോന്നും ചില പോസിറ്റീവ് അംശങ്ങളാൽ വർദ്ധിപ്പിച്ച ഈ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ചെറിയതിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, log0.0056= -3 + പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ. ഈ ഭിന്നസംഖ്യ 0.7482 ആണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ അതിനർത്ഥം:

ലോഗ് 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

തുടങ്ങിയ തുകകൾ - 3 + 0,7482 , ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവ് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയും അടങ്ങുന്ന, ലോഗരിഥമിക് കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചുരുക്കി എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു: 3 ,7482 (ഈ സംഖ്യ ഇങ്ങനെയാണ്: 3 മൈനസ്, 7482 പതിനായിരത്തിലൊന്ന്.), അതായത്, പോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുന്ന മാൻ്റിസയുമായിട്ടല്ല, ഈ സ്വഭാവവുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കാൻ അവർ സ്വഭാവത്തിന് മുകളിൽ ഒരു മൈനസ് അടയാളം ഇടുന്നു. അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള പട്ടികയിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ്

ലോഗ് 0.35 == 1 ,....; ലോഗ് 0.07 = 2,....; ലോഗ് 0.0008 = 4 ,....

എല്ലാം അനുവദിക്കുക . ആദ്യത്തേതിന് മുമ്പ് ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട് കാര്യമായ കണക്ക് α ചെലവുകൾ എം പൂജ്യങ്ങൾ, 0 പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടെ. അപ്പോൾ അത് വ്യക്തമാണ്

- എം < log A < - (എം- 1).

രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്ന്:- എം ഒപ്പം - (എം- 1) കുറവാണ് - എം , അത്

ലോഗ് എ = - എം+ പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ,

അതുകൊണ്ട് സ്വഭാവവും ലോഗ് എ = - എം (പോസിറ്റീവ് മാൻ്റിസയോടൊപ്പം).

അങ്ങനെ, 1-ൽ താഴെയുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം, പൂജ്യം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടെ, ആദ്യത്തെ പ്രധാന അക്കത്തിന് മുമ്പുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ചിത്രത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളതുപോലെ നിരവധി നെഗറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; അത്തരമൊരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മാൻ്റിസ പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഇ)നമുക്ക് കുറച്ച് സംഖ്യ ഗുണിക്കാം എൻ(പൂർണ്ണസംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ - അത് പ്രശ്നമല്ല) 10 കൊണ്ട്, 100 കൊണ്ട് 1000..., പൊതുവെ 1 കൊണ്ട് പൂജ്യങ്ങൾ. ഇത് എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് നോക്കാം ലോഗ് എൻ. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം മുതൽ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം, പിന്നെ

ലോഗ് (N 10) = ലോഗ് എൻ + ലോഗ് 10 = ലോഗ് എൻ + 1;

ലോഗ് (N 100) = ലോഗ് എൻ + ലോഗ് 100 = ലോഗ് എൻ + 2;

ലോഗ് (N 1000) = ലോഗ് എൻ + ലോഗ് 1000 = ലോഗ് എൻ + 3;തുടങ്ങിയവ.

എപ്പോൾ ലോഗ് എൻഞങ്ങൾ കുറച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ സംഖ്യയെ സ്വഭാവത്തിലേക്ക് ചേർക്കാം, അല്ലാതെ മാൻ്റിസയിലേക്കല്ല.

അതിനാൽ, ലോഗ് N = 2.7804 ആണെങ്കിൽ, 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, മുതലായവ;

അല്ലെങ്കിൽ ലോഗ് N = 3.5649 ആണെങ്കിൽ, 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, മുതലായവ.

ഒരു സംഖ്യയെ 10, 100, 1000,..., സാധാരണയായി പൂജ്യങ്ങൾ കൊണ്ട് 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മാൻ്റിസ മാറില്ല, കൂടാതെ ഘടകത്തിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളിടത്തോളം സ്വഭാവം വർദ്ധിക്കുന്നു. .

അതുപോലെ, ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, വിഭജനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഇല്ലാതെ ലാഭവിഹിതത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗ് എൻ / 10 = ലോഗ് എൻ- ലോഗ് 10 = ലോഗ് എൻ -1;

ലോഗ് എൻ / 100 = ലോഗ് എൻ- ലോഗ് 100 = ലോഗ് എൻ -2;

ലോഗ് എൻ / 1000 = ലോഗ് എൻ- ലോഗ് 1000 = ലോഗ് എൻ -3;ഇത്യാദി.

ഒരു ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ സ്വഭാവത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാനും മാൻ്റിസ മാറ്റമില്ലാതെ വിടാനും ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇങ്ങനെ പറയാൻ കഴിയും:

പൂജ്യങ്ങൾ കൊണ്ട് ഒരു സംഖ്യയെ 1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മാൻ്റിസ മാറില്ല, എന്നാൽ ഡിവൈസറിൽ പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ളതുപോലെ സ്വഭാവം കുറയുന്നു.

276. അനന്തരഫലങ്ങൾ.വസ്തുവിൽ നിന്ന് ( ഇ) ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് അനുബന്ധങ്ങൾ ഊഹിക്കാവുന്നതാണ്:

എ) ഒരു ദശാംശ ബിന്ദുവിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ ഒരു ദശാംശ സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം മാറില്ല , ഒരു ദശാംശ ബിന്ദു നീക്കുന്നത് 10, 100, 1000 മുതലായവ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുണ്ട്, പക്ഷേ മാൻ്റിസകളിൽ അല്ല (എല്ലാ മാൻ്റിസകളും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ).

b) ഒരേ പ്രധാന ഭാഗമുള്ളതും എന്നാൽ പൂജ്യങ്ങൾ അവസാനിപ്പിച്ച് മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ളതുമായ സംഖ്യകളുടെ മാൻ്റിസകൾ സമാനമാണ്: അതിനാൽ, സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം: 23, 230, 2300, 23,000 സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

അഭിപ്രായം. ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന്, പട്ടികകളുടെ സഹായമില്ലാതെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ലോഗരിതം സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെന്ന് വ്യക്തമാണ് (ഇതാണ് ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വലിയ സൗകര്യം); തൽഫലമായി, ലോഗരിഥമിക് പട്ടികകളിൽ ഒരു മാൻ്റിസ മാത്രമേ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുള്ളൂ; കൂടാതെ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയതിനാൽ (ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം = ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ലോഗരിതം ഇല്ലാത്ത ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ലോഗരിതം), പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ മാത്രം ലോഗരിതങ്ങളുടെ മാൻ്റിസകൾ പട്ടികകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.

അധ്യായം മൂന്ന്.

നാലക്ക പട്ടികകളുടെ രൂപകൽപ്പനയും ഉപയോഗവും.

277. ലോഗരിതം സംവിധാനങ്ങൾ.ഒരേ ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായി നിരവധി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായി കണക്കാക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് ലോഗരിതം സിസ്റ്റം. രണ്ട് സിസ്റ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: സാധാരണ അല്ലെങ്കിൽ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം, അതിൽ നമ്പർ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കുന്നു 10 , കൂടാതെ അവിഭാജ്യ സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമായി കണക്കാക്കുന്ന പ്രകൃതിദത്ത ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം (ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മറ്റ് ശാഖകളിൽ വ്യക്തമായ ചില കാരണങ്ങളാൽ) 2,7182818 ... കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി, ദശാംശ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത്തരം ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തിയപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച സൗകര്യം കാരണം.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസ്കോട്ടിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലോഗരിതംസിൻ്റെ ഉപജ്ഞാതാവിൻ്റെ പേരിൽ നെപെറോവ്സ് എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു നേപ്പറ(1550-1617), ഡെസിമൽ ലോഗരിതം - പ്രൊഫസറുടെ പേരിലുള്ള ബ്രിഗ്സ് ബ്രിഗ്ഗ(നേപ്പിയറിൻ്റെ സമകാലികനും സുഹൃത്തും), ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ ആദ്യമായി സമാഹരിച്ചത്.

278. ഒരു നെഗറ്റീവ് ലോഗരിതം, മാൻ്റിസ പോസിറ്റീവ് ആയ ഒന്നാക്കി മാറ്റുന്നു, വിപരീത പരിവർത്തനം. 1-ൽ താഴെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടു. ഇതിനർത്ഥം അവ നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവവും നെഗറ്റീവ് മാൻ്റിസയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്നാണ്. അത്തരം ലോഗരിതങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടാം, അതിനാൽ അവയുടെ മാൻ്റിസ പോസിറ്റീവ് ആണ്, എന്നാൽ സ്വഭാവം നെഗറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മാൻ്റിസയിലേക്ക് പോസിറ്റീവ് ഒന്ന് ചേർത്താൽ മതി, സ്വഭാവത്തിന് നെഗറ്റീവ് ഒന്ന് (തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റില്ല).

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ടെങ്കിൽ - 2,0873 , അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

അല്ലെങ്കിൽ ചുരുക്കി:

നേരെമറിച്ച്, നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവവും പോസിറ്റീവ് മാൻ്റിസയുമുള്ള ഏത് ലോഗരിതം നെഗറ്റീവായി മാറ്റാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പോസിറ്റീവ് മാൻ്റിസയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് ഒന്ന് ചേർത്താൽ മതി, നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവത്തിന് പോസിറ്റീവ് ഒന്ന്: അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

279. നാലക്ക പട്ടികകളുടെ വിവരണം.മിക്ക പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നാല് അക്ക പട്ടികകൾ മതിയാകും, അവ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഈ പട്ടികകൾ (മുകളിൽ "ലോഗരിതംസ്" എന്ന ലിഖിതത്തോടുകൂടിയ) ഈ പുസ്തകത്തിൻ്റെ അവസാനം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം (ക്രമീകരണം വിശദീകരിക്കാൻ) ഈ പേജിൽ അച്ചടിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയിൽ മാൻ്റിസകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ലോഗരിതംസ്.

എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും ലോഗരിതം 1 മുമ്പ് 9999 ഉൾപ്പെടുത്തി, നാല് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് കണക്കാക്കുന്നു, ഈ സ്ഥലങ്ങളിൽ അവസാനത്തേത് വർദ്ധിച്ചു 1 5-ാം ദശാംശസ്ഥാനം 5 അല്ലെങ്കിൽ 5-ൽ കൂടുതൽ ആയിരിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലെല്ലാം; അതിനാൽ, 4-അക്ക പട്ടികകൾ വരെ ഏകദേശ മാൻ്റിസകൾ നൽകുന്നു 1 / 2 പതിനായിരത്തിലൊന്ന് ഭാഗം (ഒരു കുറവോ അധികമോ ഉള്ളത്).

ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയോ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയോ ലോഗരിതം നേരിട്ട് ചിത്രീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, പട്ടികകളിൽ നിന്ന് മാൻ്റിസകൾ മാത്രമേ എടുക്കാവൂ; അതേ സമയം, കോമയുടെ സ്ഥാനം ഇൻ ആണെന്ന് നാം ഓർക്കണം ദശാംശ സംഖ്യ, അതുപോലെ സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം, മാൻ്റിസയുടെ മൂല്യത്തെ ബാധിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയ്ക്കായി മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഈ സംഖ്യയിലെ കോമയും അതിൻ്റെ അവസാനത്തെ പൂജ്യങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുകയും അതിനുശേഷം രൂപംകൊണ്ട പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ ഉണ്ടാകാം.

1) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ 3 അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 536 എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ, അതായത് 53, ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ ലംബ നിരയിലെ പട്ടികകളിൽ കാണപ്പെടുന്നു (പട്ടിക കാണുക). നമ്പർ 53 കണ്ടെത്തി, മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന 0, 1, 2, 3,... 9 എന്ന അക്കങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലംബ നിരയുമായി ഈ രേഖ വിഭജിക്കുന്നത് വരെ ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് ഒരു തിരശ്ചീന രേഖയിലൂടെ വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു (കൂടാതെ. താഴെ) പട്ടികയുടെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ 3-ാമത്തെ അക്കമാണ്, അതായത് നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമ്പർ 6. കവലയിൽ നമുക്ക് മാൻ്റിസ 7292 (അതായത് 0.7292) ലഭിക്കുന്നു, അത് 536 എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിൽ പെടുന്നു. , 508 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് നമ്മൾ മാൻ്റിസ 0.7059, 500 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് 0.6990 മുതലായവ കണ്ടെത്തുന്നു.

2) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ 2 അല്ലെങ്കിൽ 1 അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.അപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് മാനസികമായി ഒന്നോ രണ്ടോ പൂജ്യങ്ങൾ നൽകുകയും അങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യയ്ക്ക് മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ 51 എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് ഒരു പൂജ്യം ചേർക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 510 ലഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ mantissa 7070 കണ്ടെത്തുന്നു; 5 എന്ന നമ്പറിലേക്ക് ഞങ്ങൾ 2 പൂജ്യങ്ങൾ നൽകുകയും മാൻ്റിസ 6990 മുതലായവ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

3) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ 4 അക്കങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ലോഗ് 5436 ൻ്റെ മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അപ്പോൾ ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഈ സംഖ്യയുടെ ആദ്യത്തെ 3 അക്കങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ മാൻ്റിസ, അതായത് 543 (ഈ മാൻ്റിസ 7348 ആയിരിക്കും) ; തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മാൻ്റിസയിൽ നിന്ന് തിരശ്ചീന രേഖയിലൂടെ വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു (ഇൻ വലത് വശംകട്ടിയുള്ള ലംബ രേഖയ്ക്ക് പിന്നിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പട്ടിക) അക്കങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലംബ നിരയുമായി വിഭജിക്കുന്നതുവരെ: 1, 2 3,... 9, പട്ടികയുടെ ഈ ഭാഗത്തിൻ്റെ മുകളിൽ (താഴെയും) നിൽക്കുന്നു, ഇത് ഈ സംഖ്യകളുടെ നാലാമത്തെ അക്കം, അതായത് നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമ്പർ 6. കവലയിൽ നാം തിരുത്തൽ (നമ്പർ 5) കണ്ടെത്തുന്നു, അത് 5436 എന്ന സംഖ്യയുടെ മാൻ്റിസ ലഭിക്കുന്നതിന് 7348 എന്ന മാൻ്റിസയിലേക്ക് മാനസികമായി പ്രയോഗിക്കണം; ഈ രീതിയിൽ നമുക്ക് മാൻ്റിസ 0.7353 ലഭിക്കും.

4) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ 5 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതൽ അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ 4 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും നിരസിക്കുകയും ഒരു ഏകദേശ നാലക്ക നമ്പർ എടുക്കുകയും ഈ സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കത്തെ ആ സംഖ്യയിൽ 1 കൊണ്ട് വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സംഖ്യയുടെ ഉപേക്ഷിച്ച അഞ്ചാമത്തെ അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ 5-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ. അതിനാൽ, 57842-ന് പകരം 5784, 30257-ന് പകരം 3026, 583263-ന് പകരം 5833, മുതലായവ എടുക്കുന്നു. ഈ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള നാലക്ക സംഖ്യയ്‌ക്കായി, ഇപ്പോൾ വിശദീകരിച്ചതുപോലെ ഞങ്ങൾ മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഈ നിർദ്ദേശങ്ങളാൽ നയിക്കപ്പെടുന്ന, നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

ഒന്നാമതായി, ഇപ്പോൾ പട്ടികകളിലേക്ക് തിരിയാതെ, ഞങ്ങൾ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ മാത്രം ഇടും, മാൻ്റിസകൾക്ക് ഇടം നൽകും, അത് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് എഴുതും:

ലോഗ് 36.5 = 1,.... ലോഗ് 0.00345 = 3,....

ലോഗ് 804.7 = 2,.... ലോഗ് 7.2634 = 0,....

ലോഗ് 0.26 = 1,.... ലോഗ് 3456.86 = 3,....

ലോഗ് 36.5 = 1.5623; ലോഗ് 0.00345 = 3.5378;

ലോഗ് 804.7 = 2.9057; ലോഗ് 7.2634 = 0.8611;

ലോഗ് 0.26 = 1.4150; ലോഗ് 3456.86 = 3.5387.

280. ശ്രദ്ധിക്കുക. ചില നാലക്ക പട്ടികകളിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, പട്ടികകളിൽ വി. ലോർചെങ്കോ, എൻ. ഒഗ്ലോബ്ലിന, എസ്. ഗ്ലാസെനാപ്, എൻ. കമെൻഷിക്കോവ) ഈ സംഖ്യയുടെ നാലാമത്തെ അക്കത്തിൻ്റെ തിരുത്തലുകൾ സ്ഥാപിച്ചിട്ടില്ല. അത്തരം പട്ടികകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന സത്യത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടൽ ഉപയോഗിച്ച് ഈ തിരുത്തലുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: അക്കങ്ങൾ 100 കവിയുകയും അവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 1 ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, ഒരു സെൻസിറ്റീവ് പിശക് കൂടാതെ അത് എന്ന് അനുമാനിക്കാം ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ അനുബന്ധ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണ് . ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 5367 എന്ന സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ മാൻ്റിസ തീർച്ചയായും 536.7 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. 536 എന്ന സംഖ്യയുടെ പട്ടികയിൽ മാൻ്റിസ 7292 ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഈ മാൻ്റിസയെ വലതുവശത്തുള്ള മാൻ്റിസ 7300 മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, 537 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് അനുസൃതമായി, 536 എന്ന സംഖ്യ 1 ആയി വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ മാൻ്റിസ 8 പത്തായി വർദ്ധിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. -ആയിരത്തിലൊന്ന് (8 ആണ് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് പട്ടിക വ്യത്യാസംഅടുത്തുള്ള രണ്ട് മാൻ്റിസകൾക്കിടയിൽ); 536 എന്ന സംഖ്യ 0.7 വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ മാൻ്റിസ 8 പതിനായിരത്തിലല്ല, മറിച്ച് കുറച്ച് ചെറിയ സംഖ്യയായി വർദ്ധിക്കും. എക്സ് പതിനായിരത്തിലൊന്ന്, അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന ആനുപാതികത അനുസരിച്ച്, അനുപാതങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

എക്സ് :8 = 0.7:1; എവിടെ എക്സ് = 8 07 = 5,6,

ഇത് 6 പതിനായിരത്തിലേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാണ്. ഇതിനർത്ഥം 536.7 എന്ന സംഖ്യയുടെ മാൻ്റിസ (അതിനാൽ 5367 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക്) ഇതായിരിക്കും: 7292 + 6 = 7298.

പട്ടികകളിൽ അടുത്തുള്ള രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് നമ്പർ കണ്ടെത്തുന്നത് വിളിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഇൻ്റർപോളേഷൻ.ഇവിടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ഇൻ്റർപോളേഷനെ വിളിക്കുന്നു ആനുപാതികമായ, ലോഗരിതത്തിലെ മാറ്റം സംഖ്യയിലെ മാറ്റത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതിനാൽ. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനിലെ മാറ്റം ഗ്രാഫിക്കലായി ഒരു നേർരേഖയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുമെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നതിനാൽ ഇതിനെ ലീനിയർ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

281. ഏകദേശ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പിശക് പരിധി.ലോഗരിതം അന്വേഷിക്കുന്ന നമ്പർ കൃത്യമായ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, 4-അക്ക പട്ടികകളിൽ കാണുന്ന അതിൻ്റെ ലോഗരിതം പിശകിൻ്റെ പരിധി, ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞതുപോലെ, എടുക്കാം. 1 / 2 പതിനായിരം ഭാഗം. ഈ സംഖ്യ കൃത്യമല്ലെങ്കിൽ, ഈ പിശക് പരിധിയിലേക്ക്, സംഖ്യയുടെ കൃത്യതയില്ലാത്തതിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മറ്റൊരു പിശകിൻ്റെ പരിധിയും ചേർക്കണം. അത്തരമൊരു പരിധി ഉൽപ്പന്നമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് (ഞങ്ങൾ ഈ തെളിവ് ഒഴിവാക്കുന്നു).

എ(ഡി +1) പതിനായിരം.,

അതിൽ എ ഏറ്റവും കൃത്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ പിശകിൻ്റെ മാർജിൻ ആണ്, എന്ന് അനുമാനിക്കാം അതിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ 3 അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു,എ ഡി തുടർച്ചയായി രണ്ട് മൂന്ന് അക്ക സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മാൻ്റിസകളുടെ പട്ടിക വ്യത്യാസം, അവയ്ക്കിടയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന കൃത്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കിടക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അന്തിമ പിശകിൻ്റെ പരിധി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കും:

1 / 2 + എ(ഡി +1) പതിനായിരത്തിലൊന്ന്

ഉദാഹരണം. ലോഗ് കണ്ടെത്തുക π , എടുക്കൽ π ഏകദേശ സംഖ്യ 3.14, കൃത്യമായി 1 / 2 നൂറാമത്.

3.14 എന്ന നമ്പറിലെ മൂന്നാം അക്കത്തിന് ശേഷം കോമ നീക്കുന്നതിലൂടെ, ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് എണ്ണുമ്പോൾ, നമുക്ക് കൃത്യമായി മൂന്ന് അക്ക നമ്പർ 314 ലഭിക്കും. 1 / 2 യൂണിറ്റുകൾ; കൃത്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയുടെ പിശകിൻ്റെ മാർജിൻ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം, അതായത്, ഞങ്ങൾ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത് എ , ഇതുണ്ട് 1 / 2 പട്ടികകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ലോഗ് 3.14 = 0.4969.

പട്ടിക വ്യത്യാസം ഡി 314, 315 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ മാൻ്റിസകൾക്കിടയിൽ 14 ന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ കണ്ടെത്തിയ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പിശക് കുറവായിരിക്കും

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 പതിനായിരം.

ലോഗരിതം 0.4969 കുറവാണോ അമിതമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാത്തതിനാൽ, കൃത്യമായ ലോഗരിതം മാത്രമേ നമുക്ക് ഉറപ്പുനൽകാൻ കഴിയൂ. π 0.4969 - 0.0008 നും 0.4969 + 0.0008 നും ഇടയിലാണ്, അതായത് 0.4961< log π < 0,4977.

282. തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക. തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ മാൻ്റിസകൾ കണ്ടെത്താൻ അതേ പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കാം; എന്നാൽ ആൻ്റിലോഗരിതങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന മറ്റ് പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതായത്, ഈ മാൻ്റിസകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യകൾ. മുകളിലെ "ആൻ്റിലോഗരിതംസ്" എന്ന ലിഖിതത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഈ പട്ടികകൾ ഈ പുസ്തകത്തിൻ്റെ അവസാനം ലോഗരിതം പട്ടികകൾക്ക് ശേഷം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു; അവയിൽ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം ഈ പേജിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു (വിശദീകരണത്തിനായി).

നിങ്ങൾക്ക് 4-അക്ക മാൻ്റിസ 2863 നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക (സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല) കൂടാതെ നിങ്ങൾ അനുബന്ധ പൂർണ്ണസംഖ്യ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന്, ആൻ്റിലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത നമ്പറിനായി മാൻ്റിസ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ് വിശദീകരിച്ച അതേ രീതിയിൽ നിങ്ങൾ അവ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്: ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ നിരയിൽ മാൻ്റിസയുടെ ആദ്യ 2 അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. മാന്തിസയുടെ മൂന്നാം അക്കത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന ലംബ നിരയുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് തിരശ്ചീന രേഖയിൽ നിന്ന് വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു, അത് മുകളിലെ വരിയിൽ (അല്ലെങ്കിൽ താഴെ) നോക്കണം. കവലയിൽ, മാൻ്റിസ 286 ന് അനുയോജ്യമായ 1932 എന്ന നാലക്ക നമ്പർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, മാൻ്റിസയുടെ നാലാമത്തെ അക്കത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന ലംബ നിരയുമായുള്ള കവല വരെ, ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് തിരശ്ചീന രേഖയിലൂടെ വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു. അവിടെ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന 1, 2 അക്കങ്ങൾക്കിടയിൽ മുകളിൽ (അല്ലെങ്കിൽ താഴെ) കണ്ടെത്തുക , 3,... 9. കവലയിൽ ഞങ്ങൾ തിരുത്തൽ 1 കണ്ടെത്തുന്നു, അത് മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയ 1032 എന്ന നമ്പറിലേക്ക് (മനസ്സിൽ) പ്രയോഗിക്കണം. മാൻ്റിസ 2863 ന് അനുയോജ്യമായ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന്.

അങ്ങനെ, നമ്പർ 1933 ആയിരിക്കും. ഇതിനുശേഷം, സ്വഭാവം ശ്രദ്ധിച്ച്, നിങ്ങൾ 1933 എന്ന നമ്പറിൽ ശരിയായ സ്ഥലത്ത് അധിനിവേശം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്:

എങ്കിൽ ലോഗ് x = 3.2863, അപ്പോൾ എക്സ് = 1933,

„ ലോഗ് x = 1,2863, „ എക്സ് = 19,33,

, ലോഗ് x = 0,2&63, „ എക്സ് = 1,933,

„ ലോഗ് x = 2 ,2863, „ എക്സ് = 0,01933

കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

ലോഗ് x = 0,2287, എക്സ് = 1,693,

ലോഗ് x = 1 ,7635, എക്സ് = 0,5801,

ലോഗ് x = 3,5029, എക്സ് = 3184,

ലോഗ് x = 2 ,0436, എക്സ് = 0,01106.

മാൻ്റിസയിൽ അഞ്ചോ അതിലധികമോ അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ 4 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ, ബാക്കിയുള്ളവ ഉപേക്ഷിച്ച് (അഞ്ചാമത്തെ അക്കത്തിന് അഞ്ചോ അതിലധികമോ ഉണ്ടെങ്കിൽ നാലാമത്തെ അക്കത്തെ 1 കൊണ്ട് വർദ്ധിപ്പിക്കും). ഉദാഹരണത്തിന്, mantissa 35478 ന് പകരം നമ്മൾ 3548 എടുക്കുന്നു, 47562 ന് പകരം 4756 എടുക്കുന്നു.

283. ശ്രദ്ധിക്കുക.മാൻ്റിസയുടെ നാലാമത്തെയും തുടർന്നുള്ളതുമായ അക്കങ്ങളുടെ തിരുത്തലും ഇൻ്റർപോളേഷനിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും. അതിനാൽ, മാൻ്റിസ 84357 ആണെങ്കിൽ, മാൻ്റിസ 843 ന് അനുയോജ്യമായ 6966 എന്ന നമ്പർ കണ്ടെത്തി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യാം: മാൻ്റിസ 1 (ആയിരത്തിൽ) വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, അത് 844 ആക്കുന്നു, തുടർന്ന് സംഖ്യ. പട്ടികകളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും, 16 യൂണിറ്റുകൾ വർദ്ധിക്കും; മാൻ്റിസ 1 (ആയിരത്തിൽ) അല്ല, 0.57 (ആയിരത്തിൽ) വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എണ്ണം വർദ്ധിക്കും. എക്സ് യൂണിറ്റുകൾ, ഒപ്പം എക്സ് അനുപാതങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

എക്സ് : 16 = 0.57: 1, എവിടെ നിന്ന് x = 16 0,57 = 9,12.

ഇതിനർത്ഥം ആവശ്യമുള്ള നമ്പർ 6966+ 9.12 = 6975.12 അല്ലെങ്കിൽ (നാല് അക്കങ്ങളിൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു) 6975 ആയിരിക്കും.

284. കണ്ടെത്തിയ നമ്പറിൻ്റെ പിശക് പരിധി.കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയിൽ കോമ ഇടതുവശത്ത് നിന്നുള്ള 3-ാം അക്കത്തിന് ശേഷമായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, തുക പിശക് പരിധിയായി കണക്കാക്കാമെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

എവിടെ എ സംഖ്യ കണ്ടെത്തിയ ലോഗരിതം (പതിനായിരത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്) പിശക് പരിധി, കൂടാതെ ഡി - കണ്ടെത്തിയ നമ്പർ കിടക്കുന്ന രണ്ട് മൂന്ന് അക്ക തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളുടെ മാൻ്റിസകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം (ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് 3-ാം അക്കത്തിന് ശേഷം കോമയോടെ). സ്വഭാവം 2 അല്ല, മറ്റു ചിലത് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, കണ്ടെത്തിയ നമ്പറിൽ കോമ ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ നീക്കേണ്ടിവരും, അതായത്, സംഖ്യയെ 10 ൻ്റെ കുറച്ച് ശക്തികൊണ്ട് ഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഗുണിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പിശക് ഫലത്തിൻ്റെ അതേ ശക്തി 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യും.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യ തിരയുകയാണ് 1,5950 , 3 പതിനായിരം വരെ കൃത്യതയുള്ളതായി അറിയപ്പെടുന്നു; അപ്പോൾ എന്നാണ് എ = 3 . ആൻ്റിലോഗരിതം പട്ടികയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തിയ ഈ ലോഗരിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യ 39,36 . ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് 3-ാം അക്കത്തിന് ശേഷം കോമ നീക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ ഉണ്ട് 393,6 , തമ്മിലുള്ള അടങ്ങുന്ന 393 ഒപ്പം 394 . ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മാൻ്റിസകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ലോഗരിതം പട്ടികകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കാണാം. 11 പതിനായിരം; അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഡി = 11 . 393.6 എന്ന സംഖ്യയുടെ പിശക് കുറവായിരിക്കും

സംഖ്യയിലെ പിശക് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം 39,36 കുറവായിരിക്കും 0,05 .

285. നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുള്ള ലോഗരിതത്തിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും ഒരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും:

ലോഗരിതം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിൽ ഒരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഇല്ല, ഉദാഹരണത്തിന്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, പോസിറ്റീവ് മാൻ്റിസയെ വെവ്വേറെ 34 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവം 34-ന്.

ഒരു നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവത്തിൻ്റെയും പോസിറ്റീവ് മാൻ്റിസയുടെയും ലോഗരിതം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, രണ്ട് തരത്തിൽ തുടരുക: ഒന്നുകിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം ആദ്യം നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ മാൻ്റിസയും സ്വഭാവവും വെവ്വേറെ ഗുണിച്ച് ഫലങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

വിഭജിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് കേസുകൾ ഉണ്ടാകാം: 1) നെഗറ്റീവ് സ്വഭാവം വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു 2) ഒരു വിഭജനം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സ്വഭാവവും മാൻ്റിസയും വെവ്വേറെ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വഭാവസവിശേഷതകളിലേക്ക് നിരവധി നെഗറ്റീവ് യൂണിറ്റുകൾ ചേർക്കുന്നു, അങ്ങനെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ വിഭജനം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു; മാൻ്റിസയിൽ അതേ എണ്ണം പോസിറ്റീവ് യൂണിറ്റുകൾ ചേർത്തിരിക്കുന്നു:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

ഈ പരിവർത്തനം മനസ്സിൽ ചെയ്യണം, അതിനാൽ പ്രവർത്തനം ഇപ്രകാരമാണ്:

286. കുറയ്ക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളെ നിബന്ധനകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.ചിലത് കണക്കാക്കുമ്പോൾ സങ്കീർണ്ണമായ ആവിഷ്കാരംലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ കുറച്ച് ലോഗരിതം ചേർക്കണം, മറ്റുള്ളവ കുറയ്ക്കണം; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാധാരണ രീതിയിൽ, അവർ കൂട്ടിച്ചേർത്ത ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, തുടർന്ന് കുറയ്ക്കുന്നവയുടെ ആകെത്തുക, ആദ്യ തുകയിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടെങ്കിൽ:

ലോഗ് എക്സ് = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

അപ്പോൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാധാരണ നിർവ്വഹണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

എന്നിരുന്നാലും, സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്. അതിനാൽ:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ ഇതുപോലെ ക്രമീകരിക്കാം:

287. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 1. എക്സ്പ്രഷൻ വിലയിരുത്തുക:

എങ്കിൽ A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127ഒപ്പം D = 7.246.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കാം:

ലോഗ് എക്സ്= 1/3 ലോഗ് എ + 4 ലോഗ് ബി - 3 ലോഗ് സി - 1/3 ലോഗ് ഡി

ഇപ്പോൾ, അനാവശ്യമായ സമയനഷ്ടം ഒഴിവാക്കുന്നതിനും പിശകുകളുടെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുന്നതിനും, ഒന്നാമതായി, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഇപ്പോൾ നടപ്പിലാക്കാതെ തന്നെ ഞങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കും, അതിനാൽ, പട്ടികകൾ പരാമർശിക്കാതെ:

ഇതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ പട്ടികകൾ എടുത്ത് ശേഷിക്കുന്ന ഇടങ്ങളിൽ ലോഗരിതം ഇടുന്നു:

പിശക് പരിധി.ആദ്യം, സംഖ്യയുടെ പിശകിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്താം x 1 = 194,5 , ഇതിന് തുല്യം:

അതിനാൽ, ആദ്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എ , അതായത്, ഏകദേശ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പിശക് പരിധി, പതിനായിരത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യകൾ എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം എ, ബി, സിഒപ്പം ഡിഎല്ലാം കൃത്യമാണ്. അപ്പോൾ വ്യക്തിഗത ലോഗരിതങ്ങളിലെ പിശകുകൾ ഇപ്രകാരമായിരിക്കും (പതിനായിരത്തിൽ):

വി ലോഗ്എ.......... 1 / 2

വി 1/3 ലോഗ് എ......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 1.9146 ൻ്റെ 3 ലോഗരിതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ അഞ്ചാമത്തെ അക്കം നിരസിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഘടകത്തെ റൗണ്ട് ചെയ്തു, അതിനാൽ, അതിലും ചെറിയ പിശക് വരുത്തി 1 / 2 പതിനായിരം).

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പിശക് പരിധി കണ്ടെത്തുന്നു:

എ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (പതിനായിരം).

നമുക്ക് കൂടുതൽ നിർവചിക്കാം ഡി . കാരണം x 1 = 194,5 , തുടർന്ന് 2 തുടർച്ചയായ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കിടക്കുന്നു x 1 ചെയ്യും 194 ഒപ്പം 195 . പട്ടിക വ്യത്യാസം ഡി ഈ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മാൻ്റിസകൾക്കിടയിൽ തുല്യമാണ് 22 . സംഖ്യയുടെ പിശകിൻ്റെ പരിധി എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം x 1 ഇതുണ്ട്:

കാരണം x = x 1 : 10, തുടർന്ന് നമ്പറിലെ പിശക് പരിധി x തുല്യമാണ് 0,3:10 = 0,03 . അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യ 19,45 കൃത്യമായ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറവ് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു 0,03 . ഞങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്ക് ഒരു കുറവുകൊണ്ടാണോ അധികമായാണോ കണ്ടെത്തിയത് എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുനൽകാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ.

19,45 + 0,03 > എക്സ് > 19,45 - 0,03 , അതായത്.

19,48 > എക്സ് > 19,42 ,

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അംഗീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ എക്സ് =19,4 , അപ്പോൾ നമുക്ക് 0.1 വരെ കൃത്യതയുള്ള ഒരു പോരായ്മയുള്ള ഒരു ഏകദേശ കണക്ക് ഉണ്ടാകും.

ഉദാഹരണം 2.കണക്കാക്കുക:

എക്സ് = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് ലോഗരിതം ഇല്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നത്:

X" = (2,31) 3 5 √72

വിഘടനം വഴി:

ലോഗ് X"= 3 ലോഗ് 2.31 + 1 / 5 ലോഗ്72.

കണക്കുകൂട്ടലിന് ശേഷം ഇത് മാറുന്നു:

X" = 28,99 ;

അതിനാൽ,

x = - 28,99 .

ഉദാഹരണം 3. കണക്കാക്കുക:

റൂട്ടിൻ്റെ അടയാളം c u m m a ആയതിനാൽ തുടർച്ചയായ ലോഗരിതമൈസേഷൻ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല. IN സമാനമായ കേസുകൾഭാഗങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഫോർമുല കണക്കാക്കുക.

ആദ്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എൻ = 5 √8 , പിന്നെ എൻ 1 = 4 √3 ; ലളിതമായ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലൂടെ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു എൻ+ എൻ 1 , ഒടുവിൽ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു 3 √എൻ+ എൻ 1 ; അത് മാറുന്നു:

N=1.514, എൻ 1 = 1,316 ; എൻ+ എൻ 1 = 2,830 .

ലോഗ് x= ലോഗ് 3 √ 2,830 = 1 / 3 ലോഗ് 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

അധ്യായം നാല്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

288. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അജ്ഞാതമായത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നവയാണ്, കൂടാതെ ലോഗരിഥമിക്- ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതർ പ്രവേശിക്കുന്നവ ലോഗ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ പരിഹരിക്കാനാകൂ, കൂടാതെ ഒരാൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെയും അക്കങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവയുടെ ലോഗരിതം തുല്യമാണെന്ന തത്വത്തെയും ആശ്രയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നേരെമറിച്ച്, ലോഗരിതം തുല്യമാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധം സംഖ്യകൾ തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 2 x = 1024 .

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ലോഗരിതം ചെയ്യാം:

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: എ 2x - എ x = 1 . ഇടുന്നു എ x = ചെയ്തത് , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം:

വൈ 2 - ചെയ്തത് - 1 = 0 ,

കാരണം 1-√5 < 0 , അപ്പോൾ അവസാന സമവാക്യം അസാധ്യമാണ് (പ്രവർത്തനം എ x എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്), ആദ്യത്തേത് നൽകുന്നു:

ഉദാഹരണം 3.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ലോഗ്( a + x) + ലോഗ് ( b + x) = ലോഗ് ( c + x) .

സമവാക്യം ഇതുപോലെ എഴുതാം:

ലോഗ് [( a + x) (b + x)] = ലോഗ് ( c + x) .

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുല്യതയിൽ നിന്ന്, അക്കങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു:

(a + x) (b + x) = c + x .

ഇതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്, ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

അദ്ധ്യായം അഞ്ച്.

സംയുക്ത പലിശ, ടേം പേയ്‌മെൻ്റുകൾ, ടേം പേയ്‌മെൻ്റുകൾ.

289. കൂട്ടുപലിശയിലെ അടിസ്ഥാന പ്രശ്നം.മൂലധനം എത്രയായി മാറും? എ റൂബിൾസ്, വളർച്ചയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു ആർ കൂട്ടുപലിശ, ശേഷം ടി വർഷങ്ങൾ ( ടി - പൂർണ്ണസംഖ്യ)?

"പലിശയുടെ പലിശ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ മൂലധനം കൂട്ടുപലിശയിൽ നൽകുമെന്ന് അവർ പറയുന്നു, അതായത്, മൂലധനത്തിന് നൽകേണ്ട പലിശ പണം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് ഓരോ വർഷവും മൂലധനത്തോട് ചേർത്താൽ. തുടർന്നുള്ള വർഷങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യത്തോടെ.

മൂലധനത്തിൻ്റെ ഓരോ റൂബിളും വിട്ടുകൊടുത്തു ആർ %, ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ ലാഭം കൊണ്ടുവരും പി / 100 റൂബിൾ, അതിനാൽ, 1 വർഷത്തിനുള്ളിൽ മൂലധനത്തിൻ്റെ ഓരോ റൂബിളും മാറും 1 + പി / 100 റൂബിൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, മൂലധനം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ 5 %, അപ്പോൾ ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ അതിൻ്റെ ഓരോ റൂബിളും മാറും 1 + 5 / 100 , അതായത് ഇൻ 1,05 റൂബിൾ).

സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഭിന്നസംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു പി / 100 ഒരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, ആർ , ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ മൂലധനത്തിൻ്റെ ഓരോ റൂബിളും മാറുമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം 1 + ആർ റൂബിൾസ്; അതിനാൽ, എ റൂബിൾസ് 1 വർഷത്തിനുള്ളിൽ തിരികെ നൽകും എ (1 + ആർ ) തടവുക. മറ്റൊരു വർഷത്തിനുശേഷം, അതായത് വളർച്ചയുടെ ആരംഭം മുതൽ 2 വർഷം, ഇവയുടെ ഓരോ റൂബിളും എ (1 + ആർ ) തടവുക. വീണ്ടും ബന്ധപ്പെടും 1 + ആർ തടവുക.; ഇതിനർത്ഥം എല്ലാ മൂലധനവും മാറും എന്നാണ് എ (1 + ആർ ) 2 തടവുക. അതുപോലെ തന്നെ മൂന്ന് വർഷത്തിന് ശേഷം മൂലധനം ആകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എ (1 + ആർ ) 3 , നാല് വർഷത്തിനുള്ളിൽ അത് ഉണ്ടാകും എ (1 + ആർ ) 4 ,... പൊതുവെ വഴി ടി വർഷങ്ങളാണെങ്കിൽ ടി ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, അത് തിരിയും എ (1 + ആർ ) ടിതടവുക. അങ്ങനെ, സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എഅന്തിമ മൂലധനം, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സംയുക്ത പലിശ ഫോർമുല ഉണ്ടാകും:

എ = എ (1 + ആർ ) ടിഎവിടെ ആർ = പി / 100 .

ഉദാഹരണം.അനുവദിക്കുക എ =2,300 റബ്. പി = 4, ടി=20 വർഷങ്ങൾ; അപ്പോൾ ഫോർമുല നൽകുന്നു:

ആർ = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.

കണക്കാക്കാൻ എ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ലോഗ് എ = ലോഗ് 2 300 + 20 ലോഗ് 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

എ = 5031റൂബിൾ.

അഭിപ്രായം.ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ചെയ്യേണ്ടി വന്നു ലോഗ് 1.04ഗുണിക്കുക 20 . നമ്പർ മുതൽ 0,0170 ഒരു ഏകദേശ മൂല്യമുണ്ട് ലോഗ് 1.04വരെ 1 / 2 പതിനായിരത്തിൻ്റെ ഭാഗം, തുടർന്ന് ഈ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലം 20 അതു വരെ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ 1 / 2 20, അതായത് 10 പതിനായിരം = 1 ആയിരം വരെ. അതിനാൽ മൊത്തത്തിൽ 3,7017 പതിനായിരത്തിൻ്റെ സംഖ്യ മാത്രമല്ല, ആയിരത്തിൻ്റെ എണ്ണവും നമുക്ക് ഉറപ്പുനൽകാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ കൂടുതൽ കൃത്യത ലഭിക്കുന്നതിന്, അത് നമ്പറിന് നല്ലതാണ് 1 + ആർ ലോഗരിതം എടുക്കുക 4-അക്കമല്ല, മറിച്ച് ഒരു വലിയ സംഖ്യസംഖ്യകൾ, ഉദാ. 7-അക്ക. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഏറ്റവും സാധാരണമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി 7-അക്ക ലോഗരിതം എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ പട്ടിക ഞങ്ങൾ ഇവിടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ആർ .

290. പ്രധാന ദൗത്യം അടിയന്തിര പണമടയ്ക്കൽ ആണ്.ആരോ എടുത്തു എ ഓരോ റൂബിൾസ് ആർ % കടം തിരിച്ചടക്കാനുള്ള വ്യവസ്ഥയും, അതിനുള്ള പലിശയും കൂടി ടി വർഷം, ഓരോ വർഷാവസാനത്തിലും ഒരേ തുക അടയ്ക്കുന്നു. ഈ തുക എന്തായിരിക്കണം?

തുക x , അത്തരം വ്യവസ്ഥകളിൽ വർഷം തോറും അടയ്ക്കുന്നതിനെ അടിയന്തിര പേയ്മെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് വീണ്ടും അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം ആർ 1 റബ്ബിൽ നിന്നുള്ള വാർഷിക പലിശ പണം, അതായത് നമ്പർ പി / 100 . പിന്നെ ആദ്യ വർഷാവസാനത്തോടെ കടം എ വരെ വർദ്ധിക്കുന്നു എ (1 + ആർ ), അടിസ്ഥാന പേയ്മെൻ്റ് എക്സ് ഇതിന് റൂബിൾസ് ചിലവാകും എ (1 + ആർ )-എക്സ് .

രണ്ടാം വർഷത്തിൻ്റെ അവസാനത്തോടെ, ഈ തുകയുടെ ഓരോ റൂബിളും വീണ്ടും മാറും 1 + ആർ റൂബിൾസ്, അതിനാൽ കടം [ എ (1 + ആർ )-എക്സ് ](1 + ആർ ) = എ (1 + ആർ ) 2 - x (1 + ആർ ), പേയ്‌മെൻ്റിനും x റൂബിൾസ് ഇതായിരിക്കും: എ (1 + ആർ ) 2 - x (1 + ആർ ) - എക്സ് . അതുപോലെ, 3-ാം വർഷത്തിൻ്റെ അവസാനത്തോടെ കടബാധ്യതയുണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും

എ (1 + ആർ ) 3 - x (1 + ആർ ) 2 - x (1 + ആർ ) - x ,

പൊതുവായും അവസാനം ടി വർഷം ഇതായിരിക്കും:

എ (1 + ആർ ) ടി - x (1 + ആർ ) t -1 - x (1 + ആർ ) t -2 ... - x (1 + ആർ ) - x , അഥവാ

എ (1 + ആർ ) ടി - x [ 1 + (1 + ആർ ) + (1 + ആർ ) 2 + ...+ (1 + ആർ ) t -2 + (1 + ആർ ) t -1 ]

പരാൻതീസിസിനുള്ളിലെ ബഹുപദം പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി; ആദ്യത്തെ അംഗം ഉള്ളത് 1 , അവസാനത്തെ ( 1 + ആർ ) t -1, ഡിനോമിനേറ്റർ ( 1 + ആർ ). ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് (വിഭാഗം 10, അധ്യായം 3, § 249), ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അതിനു ശേഷമുള്ള കടത്തിൻ്റെ തുകയും ടി പേയ്മെൻ്റ് ഇതായിരിക്കും:

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, കടം അവസാനത്തിലാണ് ടി -ആം വർഷം തുല്യമായിരിക്കണം 0 ; അതുകൊണ്ടാണ്:

എവിടെ

ഇത് കണക്കാക്കുമ്പോൾ അടിയന്തിര പേയ്മെൻ്റ് ഫോർമുലകൾലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ ആദ്യം സഹായ നമ്പർ കണ്ടെത്തണം എൻ = (1 + ആർ ) ടിലോഗരിതം പ്രകാരം: ലോഗ് N= ടിലോഗ്(1+ ആർ) ; കണ്ടെത്തി എൻ, അതിൽ നിന്ന് 1 കുറയ്ക്കുക, തുടർന്ന് നമുക്ക് ഫോർമുലയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ലഭിക്കും X, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ ദ്വിതീയ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

ലോഗ് എക്സ്= ലോഗ് എ+ ലോഗ് N + ലോഗ് r - ലോഗ് (N - 1).

291. ടേം സംഭാവനകൾക്കുള്ള പ്രധാന ചുമതല.ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ ഒരാൾ അതേ തുക ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്നു. എ തടവുക. ഈ സംഭാവനകളിൽ നിന്ന് എന്ത് മൂലധനം രൂപീകരിക്കുമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക ടി ബാങ്ക് അടച്ചാൽ വർഷങ്ങൾ ആർ കൂട്ടുപലിശ.

നിയുക്തമാക്കിയത് ആർ 1 റൂബിൾ മുതൽ വാർഷിക പലിശ പണം, അതായത്. പി / 100 , ഞങ്ങൾ ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു: ആദ്യ വർഷത്തിൻ്റെ അവസാനത്തോടെ മൂലധനം ആയിരിക്കും എ (1 + ആർ );

രണ്ടാം വർഷത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഈ തുകയിലേക്ക് ചേർക്കും എ റൂബിൾസ്; ഇതിനർത്ഥം ഈ സമയത്ത് മൂലധനം ആയിരിക്കും എന്നാണ് എ (1 + ആർ ) + എ . രണ്ടാം വർഷാവസാനത്തോടെ അവൻ ആകും എ (1 + ആർ ) 2 + എ (1 + ആർ );

മൂന്നാം വർഷത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ അത് വീണ്ടും പ്രവേശിക്കുന്നു എ റൂബിൾസ്; ഇതിനർത്ഥം ഈ സമയത്ത് മൂലധനം ഉണ്ടാകും എന്നാണ് എ (1 + ആർ ) 2 + എ (1 + ആർ ) + എ ; 3-ൻ്റെ അവസാനത്തോടെ അവൻ ആകും എ (1 + ആർ ) 3 + എ (1 + ആർ ) 2 + എ (1 + ആർ ) ഈ വാദങ്ങൾ കൂടുതൽ തുടരുമ്പോൾ, അവസാനത്തോടെ ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു ടി വർഷം ആവശ്യമായ മൂലധനം എചെയ്യും:

ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ നൽകുന്ന ടേം സംഭാവനകളുടെ ഫോർമുലയാണിത്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ന്യായവാദം വഴി സമാന ഫോർമുല ലഭിക്കും: ഡൗൺ പേയ്മെൻ്റ് എ ബാങ്കിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ റൂബിൾസ് ടി സംയുക്ത പലിശ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് വർഷങ്ങൾ മാറും എ (1 + ആർ ) ടിതടവുക. രണ്ടാമത്തെ ഗഡു, ബാങ്കിൽ ഒരു വർഷം കുറവ്, അതായത്. ടി - 1 വയസ്സ്, ബന്ധപ്പെടുക എ (1 + ആർ ) t- 1തടവുക. അതുപോലെ, മൂന്നാം ഗഡു നൽകും എ (1 + ആർ ) t-2മുതലായവ, ഒടുവിൽ 1 വർഷം മാത്രം ബാങ്കിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന അവസാന ഗഡു പോകും എ (1 + ആർ ) തടവുക. ഇതിനർത്ഥം അന്തിമ മൂലധനം എന്നാണ് എതടവുക. ചെയ്യും:

എ= എ (1 + ആർ ) ടി + എ (1 + ആർ ) t- 1 + എ (1 + ആർ ) t-2 + . . . + എ (1 + ആർ ),

ഇത്, ലളിതമാക്കിയ ശേഷം, മുകളിൽ കണ്ടെത്തിയ ഫോർമുല നൽകുന്നു.

ഈ ഫോർമുലയുടെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, അടിയന്തിര പേയ്‌മെൻ്റുകൾക്കുള്ള ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അതേ രീതിയിൽ തന്നെ മുന്നോട്ട് പോകണം, അതായത്, ആദ്യം നമ്പർ N = ( 1 + ആർ ) ടിഅതിൻ്റെ ലോഗരിതം പ്രകാരം: ലോഗ് N= ടിലോഗ്(1 + ആർ ), പിന്നെ നമ്പർ N- 1തുടർന്ന് ഫോർമുലയുടെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കുക:

ലോഗ് എ = ലോഗ് എ+ലോഗ്(1+ ആർ) + ലോഗ് (N - 1) - 1ogആർ

അഭിപ്രായം.ഒരു അടിയന്തിര സംഭാവനയാണെങ്കിൽ എ തടവുക. തുടക്കത്തിലല്ല, ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിലാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, അടിയന്തിര പേയ്‌മെൻ്റ് നടത്തുന്നത് പോലെ എക്സ് കടം വീട്ടാൻ), തുടർന്ന്, മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി ന്യായവാദം ചെയ്തുകൊണ്ട്, അവസാനത്തോടെ ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു ടി വർഷം ആവശ്യമായ മൂലധനം എ"തടവുക. ആയിരിക്കും (അവസാന ഗഡു ഉൾപ്പെടെ എ rub., പലിശ വഹിക്കുന്നില്ല):

എ"= എ (1 + ആർ ) t- 1 + എ (1 + ആർ ) t-2 + . . . + എ (1 + ആർ ) + എ

ഇത് തുല്യമാണ്:

അതായത് എ"അവസാനിക്കുന്നു ( 1 + ആർ ) തവണ കുറവ് എമൂലധനത്തിൻ്റെ ഓരോ റൂബിൾ മുതൽ, പ്രതീക്ഷിക്കേണ്ടതായിരുന്നു എ"മൂലധനത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ റൂബിളിനേക്കാൾ ഒരു വർഷത്തേക്ക് ബാങ്കിൽ കിടക്കുന്നു എ.

1. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളോ ഒന്നോ ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. ഈ രീതിഫോമിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷനുകൾക്ക് ബാധകമാണ് ലോഗ് ബി ⁡ (x) ലോഗ് ബി ⁡ (എ) (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (\ലോഗ് _(ബി)(x))(\ലോഗ് _(ബി)(എ)))). എന്നിരുന്നാലും, ചില പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് അനുയോജ്യമല്ല:

   • ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് നമ്പർഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിശ്ചയിച്ചിട്ടില്ല (ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് ⁡ (− 3) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \log(-3))അഥവാ ലോഗ് 4 ⁡ (− 5) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ \log _(4)(-5))). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "പരിഹാരമില്ല" എന്ന് എഴുതുക.
   • പൂജ്യത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഏതെങ്കിലും ബേസിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. പിടിക്കപ്പെട്ടാൽ ln ⁡ (0) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ln(0)), "ഒരു പരിഹാരവുമില്ല" എന്ന് എഴുതുക.
   • ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതം ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാനം ( ലോഗ് ⁡ (1) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ലോഗ്(1))) എപ്പോഴും പൂജ്യമാണ്, കാരണം x 0 = 1 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(0)=1)എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും x. ഈ ലോഗരിതത്തിന് പകരം 1 എഴുതുക, താഴെയുള്ള രീതി ഉപയോഗിക്കരുത്.
   • ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന് l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിട്ടില്ല, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം സ്വമേധയാ കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല.

2. എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.മുകളിലുള്ള പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ എക്സ്പ്രഷൻ ബാധകമല്ലെങ്കിൽ, അത് ഒരൊറ്റ ലോഗരിതം ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം. ഇതിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക: ലോഗ് ബി ⁡ (x) ലോഗ് ബി ⁡ (എ) = ലോഗ് എ ⁡ (x) (\ പ്രദർശന ശൈലി (\frac (\ലോഗ് _(ബി)(x))(\ലോഗ് _(ബി)(എ)))=\ log_(a)(x)).

   • ഉദാഹരണം 1: എക്സ്പ്രഷൻ പരിഗണിക്കുക ലോഗ് ⁡ 16 ലോഗ് ⁡ 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (\ലോഗ് (16))(\ലോഗ് (2)))).
     ആദ്യം, മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം ആയി പദപ്രയോഗത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: ലോഗ് ⁡ 16 ലോഗ് ⁡ 2 = ലോഗ് 2 ⁡ (16) (\ പ്രദർശന ശൈലി (\frac (\ലോഗ് (16))(\ലോഗ് (2))=\ലോഗ് _(2)(16)).
   • ഒരു ലോഗരിതം "ബേസ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള" ഈ ഫോർമുല ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

3. സാധ്യമെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം സ്വമേധയാ വിലയിരുത്തുക.കണ്ടുപിടിക്കാൻ ലോഗ് എ ⁡ (x) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \log _(a)(x)), പദപ്രയോഗം സങ്കൽപ്പിക്കുക " എ? = x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ a^(?)=x)", അതായത്, സ്വയം ചോദിക്കുക അടുത്ത ചോദ്യം: "ഏത് അധികാരത്തിലേക്കാണ് നമ്മൾ ഉയർത്തേണ്ടത് എ, ലഭിക്കാൻ x?. ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഭാഗ്യവാനാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് നേരിട്ട് കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞേക്കും.

   • ഉദാഹരണം 1 (തുടരും): ഇതായി വീണ്ടും എഴുതുക 2? = 16 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2^(?)=16). "?" ചിഹ്നത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഏത് നമ്പർ നിൽക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ട്രയലും പിശകും വഴി ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 2^(4)=8*2=16)
     അതിനാൽ ഞങ്ങൾ തിരയുന്ന നമ്പർ 4 ആണ്: ലോഗ് 2 ⁡ (16) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \log _(2)(16)) = 4 .

4. നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ലോഗരിഥമിക് രൂപത്തിൽ വിടുക.പല ലോഗരിതങ്ങളും കൈകൊണ്ട് കണക്കുകൂട്ടാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കൃത്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ക്ലാസിൽ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലോഗരിഥമിക് രൂപത്തിലുള്ള ഉത്തരത്തിൽ അധ്യാപകൻ മിക്കവാറും സംതൃപ്തനാകും. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാൻ ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

   • ഉദാഹരണം 2: എന്താണ് തുല്യം ലോഗ് 3 ⁡ (58) ലോഗ് 3 ⁡ (7) (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (\ലോഗ് _(3)(58))(\ലോഗ് _(3)(7))))?
   • നമുക്ക് ഈ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം: ലോഗ് 3 ⁡ (58) ലോഗ് 3 ⁡ (7) = ലോഗ് 7 ⁡ (58) (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (\ലോഗ് _(3)(58))(\ലോഗ് _(3)(7)))=\ ലോഗ്_(7)(58)). രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങൾക്കും പൊതുവായുള്ള അടിസ്ഥാന 3 അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക; ഏത് കാരണത്താലും ഇത് ശരിയാണ്.
   • ഫോമിൽ എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിയെഴുതാം 7? = 58 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 7^(?)=58)മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 7^(3)=49*7=343)
     58 ഈ രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കിടയിലുള്ളതിനാൽ, ഇത് ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല.
   • ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ലോഗരിഥമിക് രൂപത്തിൽ ഉപേക്ഷിക്കുന്നു: ലോഗ് 7 ⁡ (58) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \log _(7)(58)).