Antara pelbagai ungkapan, yang dianggap dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil istilah polinomial. Monomial juga dikelaskan sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Sebagai contoh, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.

Mari kita wakili semua istilah dalam bentuk monomials pandangan standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, yang kesemuanya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.

belakang darjah polinomial daripada bentuk standard mengambil kuasa tertinggi ahli-ahlinya. Oleh itu, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai darjah kedua.

Lazimnya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponen. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Jumlah beberapa polinomial boleh diubah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.

Kadangkala istilah polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Memandangkan melampirkan kurungan ialah penjelmaan songsang kurungan pembukaan, ia adalah mudah untuk dirumuskan peraturan untuk membuka kurungan:

Jika tanda “+” diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial

Menggunakan sifat taburan pendaraban, anda boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial itu.

Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.

Untuk mendarab monomial dengan polinomial, anda mesti mendarab monomial itu dengan setiap sebutan polinomial itu.

Kami telah menggunakan peraturan ini beberapa kali untuk mendarab dengan jumlah.

Hasil daripada polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial

Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.

Biasanya peraturan berikut digunakan.

Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.

Formula pendaraban yang disingkatkan. Jumlah kuasa dua, perbezaan dan perbezaan kuasa dua

Anda perlu berurusan dengan beberapa ungkapan dalam transformasi algebra dengan lebih kerap daripada yang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua bagi perbezaan dan perbezaan segi empat sama. Anda perasan bahawa nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, contohnya, \((a + b)^2 \) sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b . Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak berlaku terlalu kerap; sebagai peraturan, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadangkala agak kompleks, ungkapan.

Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) boleh ditukar dengan mudah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai; sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas ini apabila mendarab polinomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Adalah berguna untuk mengingati identiti yang terhasil dan menerapkannya tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan ringkas membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua jumlah sama dengan jumlah segi empat sama dan dua kali ganda hasil darab.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.

Ketiga-tiga identiti ini membolehkan seseorang menggantikan bahagian kirinya dengan tangan kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bahagian tangan kanan dengan tangan kiri. Perkara yang paling sukar ialah melihat ungkapan yang sepadan dan memahami bagaimana pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus pendaraban yang disingkatkan.

Apabila mengira polinomial algebra, untuk memudahkan pengiraan, gunakan rumus pendaraban yang disingkatkan . Terdapat tujuh formula sedemikian secara keseluruhan. Anda perlu mengenali mereka semua dengan hati.

Ia juga harus diingat bahawa bukannya a dan b dalam formula boleh terdapat sama ada nombor atau polinomial algebra lain.

Perbezaan segi empat sama

Perbezaan kuasa dua dua nombor adalah sama dengan hasil beza nombor ini dan hasil tambahnya.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Kuasa dua jumlah

Kuasa dua hasil tambah dua nombor adalah sama dengan kuasa dua nombor pertama ditambah dua kali hasil darab nombor pertama dan kedua ditambah kuasa dua nombor kedua.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Sila ambil perhatian bahawa dengan formula pendaraban yang disingkatkan ini adalah mudah cari petak bilangan yang besar tanpa menggunakan kalkulator atau pendaraban panjang. Mari kita jelaskan dengan contoh:

Cari 112 2.

Mari kita uraikan 112 kepada jumlah nombor yang kuasa duanya kita ingat dengan baik.2
112 = 100 + 1

Tulis jumlah nombor dalam kurungan dan letakkan segi empat sama di atas kurungan.
112 2 = (100 + 12) 2

Mari kita gunakan formula untuk kuasa dua jumlah:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Ingat bahawa formula jumlah kuasa dua juga sah untuk sebarang polinomial algebra.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Amaran!!!

(a + b) 2 tidak sama dengan a 2 + b 2

Perbezaan kuasa dua

Kuasa dua perbezaan dua nombor adalah sama dengan kuasa dua nombor pertama tolak dua kali ganda hasil darab nombor pertama dan kedua ditambah kuasa dua nombor kedua.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Ia juga bernilai mengingati transformasi yang sangat berguna:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Formula di atas boleh dibuktikan dengan hanya membuka kurungan:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Kubus jumlah

Kubus hasil tambah dua nombor adalah sama dengan kubus nombor pertama ditambah tiga kali ganda hasil darab kuasa dua nombor pertama dan tambah kedua tiga kali ganda hasil darab yang pertama dengan kuasa dua kedua ditambah dengan kubus kedua. .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Agak mudah untuk mengingati formula yang kelihatan "menakutkan" ini.

Ketahui bahawa 3 datang pada permulaan.

Dua polinomial di tengah mempunyai pekali 3.

DALAMingat bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar ialah 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam formula terdapat penurunan dalam darjah a dan peningkatan dalam darjah b. Anda boleh mengesahkan ini:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Amaran!!!

(a + b) 3 tidak sama dengan a 3 + b 3

Kubus perbezaan

Kubus perbezaan dua nombor adalah sama dengan kubus nombor pertama tolak tiga kali hasil darab kuasa dua nombor pertama dan kedua tambah tiga kali hasil darab nombor pertama dan kuasa dua tolak kubus. daripada yang kedua.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Formula ini diingati seperti yang sebelumnya, tetapi hanya mengambil kira pergantian tanda "+" dan "-". Sebutan pertama a 3 didahului dengan “+” (mengikut peraturan matematik, kami tidak menulisnya). Ini bermakna bahawa istilah seterusnya akan didahului dengan "-", kemudian sekali lagi dengan "+", dsb.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Jumlah kubus ( Jangan dikelirukan dengan kubus jumlah!)

Hasil tambah kubus adalah sama dengan hasil tambah dua nombor dan kuasa dua separa perbezaan itu.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Hasil tambah kubus ialah hasil darab dua kurungan.

Tanda kurung pertama ialah hasil tambah dua nombor.

Kurungan kedua ialah kuasa dua tidak lengkap bagi perbezaan antara nombor. Kuasa dua perbezaan yang tidak lengkap ialah ungkapan:

A 2 - ab + b 2
Petak ini tidak lengkap, kerana di tengah, bukannya hasil darab, terdapat hasil darab biasa nombor.

Perbezaan kiub (Jangan dikelirukan dengan kiub perbezaan !!!)

Perbezaan kubus adalah sama dengan hasil darab beza dua nombor dan separa kuasa dua hasil tambah.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Berhati-hati semasa menulis tanda.Perlu diingat bahawa semua formula yang diberikan di atas juga digunakan dari kanan ke kiri.

Cara mudah untuk mengingati formula pendaraban yang disingkatkan, atau... segitiga Pascal.

Menghadapi masalah mengingati formula pendaraban yang disingkatkan? Puncanya mudah dibantu. Anda hanya perlu ingat bagaimana ini digambarkan perkara yang mudah, seperti segi tiga Pascal. Kemudian anda akan ingat formula ini sentiasa dan di mana-mana, atau sebaliknya, tidak ingat, tetapi pulihkan.

Apakah segi tiga Pascal? Segitiga ini terdiri daripada pekali yang memasuki pengembangan mana-mana darjah binomial bentuk kepada polinomial.

Mari kembangkan, sebagai contoh:

Dalam entri ini mudah untuk diingat bahawa kubus nombor pertama adalah pada permulaan, dan kubus nombor kedua berada di hujung. Tetapi apa yang ada di tengah sukar untuk diingati. Malah hakikat bahawa dalam setiap istilah berikutnya tahap satu faktor berkurangan sepanjang masa, dan yang kedua meningkat - tidak sukar untuk diperhatikan dan diingati; keadaan lebih sukar dengan mengingati pekali dan tanda (adakah ia tambah atau tolak ?).

Jadi pertama, kemungkinan. Tidak perlu menghafalnya! Kami dengan cepat melukis segitiga Pascal di pinggir buku nota, dan inilah pekalinya, sudah ada di hadapan kami. Kami mula melukis dengan tiga unit, satu di atas, dua di bawah, ke kanan dan ke kiri - ya, ia sudah menjadi segi tiga:

Baris pertama, dengan satu 1, adalah sifar. Kemudian datang yang pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Untuk mendapatkan baris kedua, anda perlu menetapkan satu lagi ke tepi, dan di tengah tulis nombor yang diperoleh dengan menambah dua nombor di atasnya:

Kami menulis baris ketiga: sekali lagi di sepanjang tepi unit, dan sekali lagi, untuk mendapatkan nombor seterusnya dalam baris baharu, kami menambah nombor di atasnya pada yang sebelumnya:

Seperti yang anda mungkin telah meneka, kita mendapat dalam setiap baris pekali daripada pengembangan binomial kepada polinomial:

Nah, lebih mudah untuk mengingati tanda-tanda: yang pertama adalah sama seperti dalam binomial yang diperluas (kami mengembangkan jumlah - itu bermakna tambah, perbezaan - itu bermakna tolak), dan kemudian tanda-tanda itu silih berganti!

Ini adalah perkara yang berguna - segitiga Pascal. Gunakannya!

Salah satu topik pertama yang dipelajari dalam kursus algebra ialah formula pendaraban singkatan. Dalam gred 7, ia digunakan dalam situasi paling mudah, di mana anda perlu mengenali salah satu formula dalam ungkapan dan memfaktorkan polinomial atau, sebaliknya, dengan cepat kuasa dua atau kubus jumlah atau perbezaan. Pada masa hadapan, FSU digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan dan persamaan dengan cepat dan juga untuk mengira beberapa ungkapan berangka tanpa kalkulator.

Apakah rupa senarai formula?

Terdapat 7 formula asas yang membolehkan anda dengan cepat mendarab polinomial dalam kurungan.

Kadangkala senarai ini juga termasuk pengembangan untuk ijazah keempat, yang mengikuti daripada identiti yang dibentangkan dan mempunyai bentuk:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Semua kesamaan mempunyai pasangan (jumlah - perbezaan), kecuali perbezaan kuasa dua. Formula untuk jumlah kuasa dua tidak diberikan.

Baki persamaan mudah diingati:

Perlu diingat bahawa FSU berfungsi dalam apa jua keadaan dan untuk sebarang nilai a Dan b: ini boleh sama ada nombor arbitrari atau ungkapan integer.

Dalam situasi di mana anda tiba-tiba tidak dapat mengingati tanda yang berada di hadapan istilah tertentu dalam formula, anda boleh membuka kurungan dan mendapatkan hasil yang sama seperti selepas menggunakan formula. Sebagai contoh, jika masalah timbul semasa menggunakan kubus perbezaan FSU, anda perlu menulis ungkapan asal dan melakukan pendaraban satu persatu:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Hasilnya, selepas membawa semua istilah yang serupa, polinomial yang sama seperti dalam jadual diperolehi. Manipulasi yang sama boleh dilakukan dengan semua FSU lain.

Aplikasi FSU untuk menyelesaikan persamaan

Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan yang mengandungi polinomial darjah 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

DALAM kurikulum sekolah teknik sejagat untuk menyelesaikan persamaan padu tidak dipertimbangkan, dan tugas sedemikian paling kerap diselesaikan dalam lebih banyak lagi kaedah mudah(contohnya, dengan pemfaktoran). Jika kita perasan bahawa bahagian kiri identiti menyerupai kubus jumlah, maka persamaan boleh ditulis dalam bentuk yang lebih mudah:

(x + 1)³ = 0.

Punca persamaan tersebut dikira secara lisan: x = -1.

Ketaksamaan diselesaikan dengan cara yang sama. Sebagai contoh, anda boleh menyelesaikan ketidaksamaan x³ – 6x² + 9x > 0.

Pertama sekali, anda perlu memfaktorkan ungkapan. Mula-mula anda perlu kurungkan x. Selepas ini, ambil perhatian bahawa ungkapan dalam kurungan boleh ditukar kepada kuasa dua perbezaan.

Kemudian anda perlu mencari titik di mana ungkapan mengambil nilai sifar dan tandakannya pada garis nombor. DALAM kes tertentu ini akan menjadi 0 dan 3. Kemudian, dengan menggunakan kaedah selang, tentukan di mana selang x akan memenuhi syarat ketaksamaan.

FSU mungkin berguna semasa membuat persembahan beberapa pengiraan tanpa bantuan kalkulator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Selain itu, dengan memfaktorkan ungkapan, anda boleh mengurangkan pecahan dengan mudah dan memudahkan pelbagai ungkapan algebra.

Contoh masalah untuk darjah 7-8

Kesimpulannya, kami akan menganalisis dan menyelesaikan dua tugasan mengenai penggunaan rumus pendaraban yang disingkatkan dalam algebra.

Tugasan 1. Permudahkan ungkapan:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Penyelesaian. Keadaan tugas memerlukan memudahkan ungkapan, iaitu membuka kurungan, melaksanakan operasi pendaraban dan eksponen, dan juga membawa semua istilah yang serupa. Marilah kita membahagikan ungkapan kepada tiga bahagian (mengikut bilangan istilah) dan buka kurungan satu demi satu, menggunakan FSU jika boleh.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(jumlah kuasa dua);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(perbezaan segi empat sama);
• Dalam penggal terakhir anda perlu mendarab: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Mari kita gantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan asal:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Dengan mengambil kira tanda-tanda, kami akan membuka kurungan dan mengemukakan istilah yang serupa:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Masalah 2. Selesaikan persamaan yang mengandungi k yang tidak diketahui kepada kuasa ke-5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Penyelesaian. Dalam kes ini, perlu menggunakan FSU dan kaedah kumpulan. Ia adalah perlu untuk memindahkan istilah terakhir dan terakhir ke sebelah kanan identiti.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Faktor sepunya berasal dari sisi kanan dan kiri (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Semuanya dipindahkan ke sebelah kiri persamaan supaya 0 kekal di sebelah kanan:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Sekali lagi adalah perlu untuk mengambil faktor biasa:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Daripada faktor pertama yang diperoleh kita boleh terbitkan k. Mengikut formula pendaraban pendek, faktor kedua akan sama dengan (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Oleh kerana produk adalah sama dengan 0 jika sekurang-kurangnya satu daripada faktornya adalah sifar, mencari semua punca persamaan tidak sukar:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Berdasarkan contoh ilustrasi, anda boleh memahami cara mengingat formula, perbezaannya, dan juga menyelesaikan beberapa masalah praktikal menggunakan FSU. Tugasan adalah mudah dan tidak sepatutnya ada kesukaran untuk menyelesaikannya.

>>Matematik: Formula pendaraban singkatan

Rumus pendaraban yang disingkatkan

Terdapat beberapa kes di mana pendaraban satu polinomial dengan yang lain menghasilkan hasil yang padat dan mudah diingati. Dalam kes ini adalah lebih baik untuk tidak mendarab dengan satu setiap kali polinomial pada yang lain, dan gunakan hasil yang telah siap. Mari kita pertimbangkan kes-kes ini.

1. Jumlah kuasa dua dan perbezaan kuasa dua:

Contoh 1. Kembangkan kurungan dalam ungkapan:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Mari kita gunakan formula (1), mengambil kira bahawa peranan a ialah 3x, dan peranan b ialah nombor 2.
Kita mendapatkan:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Mari kita gunakan formula (2), mengambil kira bahawa dalam peranan A berdiri 5a 2, dan dalam peranan b berdiri 4b 3. Kita mendapatkan:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Apabila menggunakan jumlah kuasa dua atau formula perbezaan kuasa dua, perlu diingat bahawa
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Ini berikutan fakta bahawa (- a) 2 = a 2.

Ambil perhatian bahawa formula (1) dan (2) adalah berdasarkan beberapa helah matematik yang membolehkan anda melakukan pengiraan mental.

Sebagai contoh, anda boleh hampir secara lisan nombor kuasa dua berakhir dengan 1 dan 9. Memang

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Kadangkala anda boleh kuasa dua dengan cepat nombor yang berakhir dengan 2 atau 8. Contohnya,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Tetapi helah yang paling elegan melibatkan nombor kuasa dua yang berakhir dengan 5.
Mari kita jalankan penaakulan yang sepadan untuk 85 2 .

Kami ada:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Kami ambil perhatian bahawa untuk mengira 85 2 sudah cukup untuk mendarab 8 dengan 9 dan menambah 25 di sebelah kanan kepada hasil yang terhasil. Anda boleh melakukan perkara yang sama dalam kes lain. Sebagai contoh, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 dan 25 telah ditambah pada nombor yang terhasil di sebelah kanan);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 dan 25 telah ditambah pada nombor yang terhasil di sebelah kanan).

Oleh kerana kita bercakap tentang pelbagai keadaan ingin tahu yang berkaitan dengan formula yang membosankan (sepintas lalu) (1) dan (2), kami akan menambah perbualan ini dengan penaakulan geometri berikut. Biarkan a dan b menjadi nombor positif. Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi a + b dan potong dalam dua sudutnya segi empat sama dengan sisi yang sama dengan a dan b, masing-masing (Gamb. 4).

Luas segi empat sama dengan sisi a + b adalah sama dengan (a + b) 2. Tetapi kami memotong segi empat sama ini kepada empat bahagian: segi empat sama dengan sisi a (luasnya sama dengan a 2), segi empat sama dengan sisi b (luasnya sama dengan b 2), dua segi empat tepat dengan sisi a dan b (luas setiap segi empat sama adalah sama dengan ab). Ini bermakna (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, iaitu kita mendapat formula (1).

Darab binomial a + b dengan binomial a - b. Kita mendapatkan:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Jadi

Sebarang kesamaan dalam matematik digunakan dari kiri ke kanan (iaitu bahagian kiri kesamaan digantikan dengan sebelah kanan), dan dari kanan ke kiri (iaitu bahagian kanan kesamaan digantikan dengan bahagian kirinya). Jika formula C) digunakan dari kiri ke kanan, maka ia membolehkan anda menggantikan produk (a + b) (a - b) dengan hasil siap a 2 - b 2. Formula yang sama boleh digunakan dari kanan ke kiri, kemudian ia membolehkan anda menggantikan perbezaan petak a 2 - b 2 dengan hasil darab (a + b) (a - b). Formula (3) dalam matematik diberi nama khas - perbezaan kuasa dua.

Komen. Jangan mengelirukan istilah "perbezaan kuasa dua" dengan "perbezaan kuasa dua". Perbezaan segi empat sama ialah a 2 - b 2, yang bermaksud kita bercakap tentang mengenai formula (3); kuasa dua bezanya ialah (a- b) 2, yang bermaksud kita bercakap tentang formula (2). Dalam bahasa biasa, formula (3) dibaca "dari kanan ke kiri" seperti ini:

perbezaan kuasa dua dua nombor (ungkapan) adalah sama dengan hasil tambah nombor ini (ungkapan) dan perbezaannya,

Contoh 2. Lakukan pendaraban

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Penyelesaian. Kami ada:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Contoh 3. Ungkapkan binomial 16x 4 - 9 sebagai hasil darab binomial.

Penyelesaian. Kami mempunyai: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, yang bermaksud binomial yang diberi ialah perbezaan segi empat sama, i.e. formula (3) boleh digunakan padanya, baca dari kanan ke kiri. Kemudian kita dapat:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formula (3), seperti formula (1) dan (2), digunakan untuk helah matematik. Lihat:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Mari kita tamatkan perbualan tentang formula perbezaan segi empat sama dengan penaakulan geometri yang menarik. Biarkan a dan b ialah nombor positif, dan a > b. Pertimbangkan segi empat tepat dengan sisi a + b dan a - b (Gamb. 5). Luasnya ialah (a + b) (a - b). Mari kita potong segi empat tepat dengan sisi b dan a - b dan lekatkannya pada bahagian yang tinggal seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6. Jelas bahawa rajah yang terhasil mempunyai luas yang sama, iaitu (a + b) (a - b). Tetapi angka ini boleh
bina seperti ini: dari segi empat sama dengan sisi a, potong segi empat sama dengan sisi b (ini jelas kelihatan dalam Rajah 6). Jadi kawasan angka baru sama dengan a 2 - b 2. Jadi, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, iaitu kita mendapat formula (3).

3. Perbezaan kubus dan hasil tambah kubus

Darab binomial a - b dengan trinomial a 2 + ab + b 2 .
Kita mendapatkan:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

Begitu juga

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(semak sendiri). Jadi,

Formula (4) biasanya dipanggil perbezaan kubus, formula (5) - hasil tambah kubus. Mari cuba menterjemahkan formula (4) dan (5) ke dalam bahasa biasa. Sebelum melakukan ini, ambil perhatian bahawa ungkapan a 2 + ab + b 2 adalah serupa dengan ungkapan a 2 + 2ab + b 2, yang muncul dalam formula (1) dan memberikan (a + b) 2; ungkapan a 2 - ab + b 2 adalah serupa dengan ungkapan a 2 - 2ab + b 2, yang muncul dalam formula (2) dan memberikan (a - b) 2.

Untuk membezakan (dalam bahasa) pasangan ungkapan ini antara satu sama lain, setiap ungkapan a 2 + 2ab + b 2 dan a 2 - 2ab + b 2 dipanggil kuasa dua sempurna (jumlah atau perbezaan), dan setiap ungkapan a 2 + ab + b 2 dan a 2 - ab + b 2 dipanggil kuasa dua tidak lengkap (jumlah atau beza). Kemudian kita mendapat terjemahan formula (4) dan (5) berikut (baca "dari kanan ke kiri") ke dalam bahasa biasa:

perbezaan kubus dua nombor (ungkapan) adalah sama dengan hasil darab perbezaan nombor ini (ungkapan) dengan kuasa dua tidak lengkap jumlahnya; jumlah kubus dua nombor (ungkapan) adalah sama dengan hasil tambah nombor ini (ungkapan) dan kuasa dua tidak lengkap perbezaannya.

Komen. Semua formula (1)-(5) yang diperolehi dalam perenggan ini digunakan kedua-dua dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri, hanya dalam kes pertama (dari kiri ke kanan) mereka mengatakan bahawa (1)-(5) disingkatkan pendaraban formula, dan dalam kes kedua (dari kanan ke kiri) mereka mengatakan bahawa (1)-(5) ialah formula pemfaktoran.

Contoh 4. Lakukan pendaraban (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

Penyelesaian. Oleh kerana faktor pertama ialah perbezaan antara monomial 2x dan 1, dan faktor kedua ialah kuasa dua tidak lengkap jumlahnya, kita boleh menggunakan formula (4). Kita mendapatkan:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Contoh 5. Wakilkan binomial 27a 6 + 8b 3 sebagai hasil darab polinomial.

Penyelesaian. Kami ada: 27a 6 = (Untuk 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Ini bermakna binomial yang diberi ialah jumlah kubus, iaitu formula 95 boleh digunakan padanya, dibaca dari kanan ke kiri. Kemudian kita dapat:

27a 6 + 8b 3 = (Untuk 2) 3 + (2b) 3 = (Untuk 2 + 2b) ((Untuk 2) 2 - Untuk 2 2b + (2b) 2) = (Untuk 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Bantuan untuk murid sekolah dalam talian, muat turun Matematik untuk gred 7, kalendar dan perancangan tematik

A. V. Pogorelov, Geometri untuk gred 7-11, Buku Teks untuk institusi pendidikan

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.