கோட்பாடு விளையாட்டு உத்தி கலந்தது

கலப்பு உத்திகள்

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் தூய உத்திகளில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், விளையாட்டின் மேல் மற்றும் குறைந்த விலைகள் காணப்படுகின்றன. ப்ளேயர் 1 மேல் கேம் விலையை மீறும் வெற்றியைப் பெறாது என்றும், ப்ளேயர் 1 குறைந்த கேம் விலைக்குக் குறையாத வெற்றிக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கப்படும் என்றும் அவர்கள் காட்டுகிறார்கள்.

ஒரு வீரரின் கலப்பு உத்தி என்பது, கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுகளுடன் அதே நிலைமைகளின் கீழ் விளையாட்டின் பலமுறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் அவரது தூய உத்திகளின் முழுமையான தொகுப்பாகும். சொல்லப்பட்டதைச் சுருக்கி, பயன்பாட்டின் நிபந்தனைகளை பட்டியலிடுவோம். கலப்பு உத்திகள்:

• * சேணம் புள்ளி இல்லாமல் விளையாடுங்கள்;
• * வீரர்கள் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவுகளுடன் தூய உத்திகளின் சீரற்ற கலவையைப் பயன்படுத்துகின்றனர்;
• * விளையாட்டு இதே போன்ற நிலைமைகளில் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது;
• * ஒவ்வொரு அசைவிலும், மற்றொரு வீரரின் உத்தியின் தேர்வு குறித்து எந்த வீரருக்கும் தெரிவிக்கப்படுவதில்லை;
• * விளையாட்டு முடிவுகளின் சராசரி அனுமதிக்கப்படுகிறது.

கலப்பு உத்திகளுக்கு பின்வரும் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பிளேயர் 1 க்கு, A 1, A 2, ..., A m என்ற தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள ஒரு கலப்பு உத்தி.

வீரர் 2 க்கு

q j என்பது தூய மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு B j.

р i = 1 ஆக இருக்கும் போது, ​​பிளேயர் 1 க்கு ஒரு தூய உத்தி உள்ளது

வீரரின் தூய உத்திகள் மட்டுமே சாத்தியமான சீரற்ற நிகழ்வுகள். மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், மேட்ரிக்ஸ் A ஐ அறிந்துகொள்வது (இது பிளேயர் 1 மற்றும் பிளேயர் 2 ஆகிய இரண்டிற்கும் பொருந்தும்), அதை தீர்மானிக்க முடியும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள்மற்றும் சராசரி ஊதியம் ( எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புவிளைவு) வீரர் 1:

எங்கே மற்றும் திசையன்கள் உள்ளன;

p i மற்றும் q i ஆகியவை திசையன்களின் கூறுகள்.

அவரது கலவையான உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வீரர் 1 தனது சராசரி ஊதியத்தை அதிகரிக்க முற்படுகிறார், மேலும் பிளேயர் 2 - இந்த விளைவை குறைந்தபட்ச சாத்தியமான மதிப்பிற்குக் கொண்டுவருகிறார். வீரர் 1 அடைய முயல்கிறார்

பிளேயர் 2 நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுவதை உறுதிசெய்கிறது

1 மற்றும் 2 பிளேயர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகளுடன் தொடர்புடைய திசையன்களையும் குறிப்போம், அதாவது. அத்தகைய திசையன்கள் மற்றும் சமத்துவம்

இரண்டு வீரர்களும் கலப்பு உத்திகளைப் பயன்படுத்தும் போது விளையாட்டின் விலையானது பிளேயர் 1 இன் சராசரி ஊதியமாகும். எனவே, மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டிற்கான தீர்வு:

• - பிளேயர் 1 இன் உகந்த கலப்பு உத்தி;
• - பிளேயர் 2 இன் உகந்த கலப்பு உத்தி;

விளையாட்டின் விலை.

கலப்பு உத்திகள் சிறந்ததாக இருக்கும் (மற்றும்) அவை செயல்பாட்டிற்கான சேணம் புள்ளியை உருவாக்கினால், அதாவது.

கணித விளையாட்டுகளுக்கு ஒரு அடிப்படை தேற்றம் உள்ளது.

எந்த மேட்ரிக்ஸ் A உடன் மேட்ரிக்ஸ் கேமுக்கு, அளவுகள்

உள்ளன மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக உள்ளன: = =.

உகந்த உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​ப்ளேயர் 2 (மற்றும், மாறாக, பிளேயர் 2 க்கு) எந்த ஒரு நிலையான உத்திக்கும், கேம் விலையை விடக் குறையாத சராசரி ஊதியம் பிளேயர் 1க்கு எப்போதும் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். 1 மற்றும் 2 பிளேயர்களின் செயலில் உள்ள உத்திகள், பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவுகளுடன் தொடர்புடைய வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகளின் பகுதியாகும். இதன் பொருள், வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகளின் கலவையானது, அவர்களின் முன்கூட்டிய குறிப்பிட்ட உத்திகள் அனைத்தையும் உள்ளடக்காமல் இருக்கலாம்.

விளையாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது விளையாட்டின் விலை மற்றும் உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிவதாகும். மேட்ரிக்ஸ் கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிவதற்கான முறைகளை நாங்கள் பரிசீலிக்கத் தொடங்குகிறோம் எளிமையான விளையாட்டுமேட்ரிக்ஸ் 22 ஆல் விவரிக்கப்பட்டது. சேடில் பாயிண்ட் கேம்கள் சிறப்பாகக் கருதப்படாது. ஒரு சேணம் புள்ளி பெறப்பட்டால், கைவிடப்பட வேண்டிய லாபமற்ற உத்திகள் உள்ளன என்று அர்த்தம். சேணம் புள்ளி இல்லாத நிலையில், இரண்டு உகந்த கலப்பு உத்திகளைப் பெறலாம். குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த கலப்பு உத்திகள் இப்படி எழுதப்பட்டுள்ளன:

எனவே, கட்டணம் செலுத்தும் அணி உள்ளது

a 11 p 1 + a 21 p 2 =; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 =; (1.17)

ப 1 + ப 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1, (1.20)

எங்கிருந்து நாம் உகந்த மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம் மற்றும்:

தெரிந்துகொண்டு, நாம் காண்கிறோம்:

கணக்கிட்டு, நாங்கள் கண்டுபிடிப்போம்:

a 11 q 1 + a 12 q 2 =; q 1 + q 2 = 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) =. (1.25)

ஒரு 11 மற்றும் 12 க்கு. (1.26)

வெக்டர்கள் மற்றும் விளையாட்டின் விலை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டது. பணம் செலுத்தும் அணி A ஐக் கொண்டிருப்பதால், சிக்கலை வரைபடமாகத் தீர்க்க முடியும். இந்த முறை மூலம், தீர்வு வழிமுறை மிகவும் எளிமையானது (படம் 2.1).

• 1. அலகு நீளத்தின் ஒரு பகுதி abscissa அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.
• 2. ஆர்டினேட் என்பது உத்தி A 1க்கான வெற்றியாகும்.
• 3. ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையான ஒரு கோட்டில், புள்ளி 1 இல், வெற்றிகள் மூலோபாயம் a 2 உடன் டெபாசிட் செய்யப்படுகின்றன.
• 4. பிரிவுகளின் முனைகள் ஒரு 11 -b 11, a 12 -b 21, a 22 -b 22, a 21 -b 12 மற்றும் இரண்டு நேர் கோடுகள் b 11 b 12 மற்றும் b 21 b 22 வரையப்பட்டுள்ளன.
• 5. உடன் வெட்டும் புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது சமமானது. புள்ளி c இன் abscissa p 2 (p 1 = 1 - p 2) க்கு சமம்.

அரிசி. 1.1

இந்த முறையானது பயன்பாட்டின் பரந்த பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. இதை அடிப்படையாகக் கொண்டது பொதுவான சொத்துவிளையாட்டுகள் mn, எந்த விளையாட்டிலும் mn ஒவ்வொரு வீரரும் உகந்த கலப்பு உத்தியைக் கொண்டுள்ளனர், இதில் தூய உத்திகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் நிமிடம் (m, n) ஆகும். இந்தச் சொத்திலிருந்து, ஒருவர் நன்கு அறியப்பட்ட விளைவைப் பெறலாம்: எந்த விளையாட்டிலும் 2n மற்றும் m2, ஒவ்வொரு உகந்த உத்தியும் அதிகபட்சம் இரண்டு செயலில் உள்ள உத்திகளைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, எந்த கேம் 2n மற்றும் m2 ஐ கேம் 22 ஆக குறைக்கலாம். எனவே, கேம்கள் 2n மற்றும் m2 வரைகலை மூலம் தீர்க்க முடியும். வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டின் அணி mn பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால், அங்கு m> 2 மற்றும் n> 2, உகந்த கலப்பு உத்திகளைத் தீர்மானிக்க நேரியல் நிரலாக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5. விளையாட்டு மற்றும் புள்ளியியல் தீர்வுகளின் கோட்பாடு

5.1 ஜீரோ-சம் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு

பொருளாதார மற்றும் கணித மாதிரியாக்கம் பின்வரும் நிபந்தனைகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

உறுதிப்பாடுகள்;

நிச்சயமற்ற தன்மைகள்.

மாடலிங் உறுதியின் அடிப்படையில் தேவையான அனைத்து ஆரம்ப நெறிமுறை தரவுகள் (மேட்ரிக்ஸ் மாடலிங், நெட்வொர்க் திட்டமிடல் மற்றும் மேலாண்மை) கிடைக்கும் என்று கருதுகிறது.

மாடலிங் ஆபத்தில் சில ஆரம்ப தரவுகளின் மதிப்புகள் சீரற்றதாக இருக்கும் போது மற்றும் இந்த சீரற்ற மாறிகளின் நிகழ்தகவு விநியோக விதிகள் அறியப்படும் போது, ​​சீரற்ற நிச்சயமற்ற தன்மையுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது (பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, வரிசை கோட்பாடு).

மாடலிங் நிச்சயமற்ற நிலையில் ஒத்துள்ளது முழுமையான இல்லாமைஇதற்கு தேவையான சில தரவு (விளையாட்டு கோட்பாடு).

உகந்த முடிவுகளை எடுப்பதற்கான கணித மாதிரிகள் மோதல் சூழ்நிலைகள்நிச்சயமற்ற நிலையில் கட்டப்பட்டுள்ளன.

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில், பின்வரும் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

மூலோபாயம்;

வெற்றி செயல்பாடு.

பாடத்தின் மூலம் விளையாட்டின் விதிகளால் வழங்கப்பட்ட செயல்களில் ஒன்றை விளையாடுபவர் தேர்ந்தெடுத்து செயல்படுத்துவதை நாங்கள் அழைப்போம்.

மூலோபாயம் தற்போதைய சூழ்நிலையைப் பொறுத்து, ஒவ்வொரு நகர்விலும் ஒரு செயல்பாட்டின் போக்கைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான தொழில்நுட்பமாகும்.

வெற்றி செயல்பாடு தோல்வியுற்ற வீரர் வெற்றி பெற்றவருக்கு செலுத்த வேண்டிய தொகையை தீர்மானிக்க உதவுகிறது.

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில், செலுத்தும் செயல்பாடு இவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது கட்டண அணி :

நகர்வைத் தேர்ந்தெடுத்த வீரர் I, நகர்வைத் தேர்வு செய்த வீரர் II இலிருந்து செலுத்தும் தொகை எங்கே.

அத்தகைய ஜோடி விளையாட்டில், ஒவ்வொரு சூழ்நிலையிலும் இரு வீரர்களின் செலுத்தும் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் அளவு மற்றும் எதிரெதிர் அடையாளமாக இருக்கும், அதாவது. மற்றும் இந்த விளையாட்டு அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்ஜியத் தொகை .

"மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை விளையாடும்" செயல்முறை பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகிறது:

கட்டண அணி அமைக்கப்பட்டுள்ளது;

ப்ளேயர் I, பிளேயர் II இல் இருந்து சுயாதீனமாக, இந்த மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வது;

பிளேயர் II, பிளேயர் I ஐப் பொருட்படுத்தாமல், இந்த மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, - வது;

மேட்ரிக்ஸின் உறுப்பு நான் பிளேயர் II இலிருந்து எவ்வளவு பிளேயரைப் பெறுவேன் என்பதைத் தீர்மானிக்கிறது. நிச்சயமாக, என்றால், பின்னர் அது வருகிறதுவீரர் I இன் உண்மையான இழப்பு பற்றி.

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு முரண்பாடான ஜோடி விளையாட்டு விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக

ஒரு விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்.

கட்டண அணி அமைக்கப்பட்டுள்ளது:

.

ப்ளேயர் I ஐ, ப்ளேயர் II இல் இருந்து, இந்த மேட்ரிக்ஸின் 3 வது வரிசையைத் தேர்வு செய்யட்டும், மற்றும் பிளேயர் II, பிளேயர் I இலிருந்து சுயாதீனமாக, இந்த மேட்ரிக்ஸின் 2 வது நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

பின்னர் பிளேயர் II இலிருந்து 9 யூனிட்களைப் பெறுவேன்.

5.2 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் உகந்த சுத்தமான உத்தி

உகந்த உத்தி பிளேயர் I இன் ஒரு உத்தி, அதாவது பிளேயர் II இன் எந்தவொரு மூலோபாயத்திற்கும் அவர் தனது ஆதாயத்தைக் குறைக்காமல் இருக்க வேண்டும், மேலும் பிளேயர் II இன் உத்தி, அதாவது பிளேயர் I இன் எந்தவொரு உத்தியின் தேர்விலும் அவர் தனது இழப்பை அதிகரிக்காமல் இருக்க வேண்டும்.

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் வது வரிசையை தனது நகர்வாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், பிளேயர் II இந்த மதிப்பைக் குறைக்க முயற்சிக்கும் போது, ​​மோசமான நிலையில், குறைந்த பட்ச மதிப்பையாவது செலுத்துவதை வீரர் I உறுதிசெய்கிறார். எனவே, வீரர் அவருக்கு வழங்கும் அத்தகைய வரிசையை நான் தேர்வு செய்வேன் அதிகபட்ச வெற்றி:

.

ப்ளேயர் II இதே வழியில் வாதிடுகிறார், மேலும் குறைந்தபட்ச இழப்பை நிச்சயமாகப் பெற முடியும்:

.

சமத்துவமின்மை எப்போதும் உண்மை:

அளவு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்த விலைவிளையாட்டுகள் .

அளவு அழைக்கப்படுகிறது விளையாட்டின் மேல் விலை .

உகந்த உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன சுத்தமான அவர்கள் சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்தால்:

,

.

அளவு அழைக்கப்படுகிறது விளையாட்டின் தூய விலை , என்றால்.

உகந்த தூய உத்திகள் மற்றும் வடிவம் சேணம் புள்ளி கட்டண அணி.

சேணம் புள்ளிக்கு, பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

அதாவது, உறுப்பு வரிசையில் சிறியது மற்றும் நெடுவரிசையில் பெரியது.

இவ்வாறு, பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ் இருந்தால் சேணம் புள்ளி பின்னர் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியும் உகந்த சுத்தமான உத்திகள் வீரர்கள்.

ப்ளேயர் I இன் தூய மூலோபாயம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் (வெக்டார்) மூலம் குறிப்பிடப்படலாம், இதில் அனைத்து எண்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், வது இடத்தில் உள்ள எண்ணைத் தவிர, ஒன்றுக்கு சமம்.

பிளேயர் II இன் தூய மூலோபாயம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பால் (வெக்டார்) குறிப்பிடப்படலாம், இதில் அனைத்து எண்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், வது இடத்தில் உள்ள எண்ணைத் தவிர, இது ஒன்றுக்கு சமம்.

உதாரணமாக

.

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் ஏதேனும் ஒரு வரிசையை தனது நகர்வாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், வீரர் நான் குறிப்பிட்டுள்ள நெடுவரிசையில் குறைந்தபட்சம் மதிப்புக்கு மோசமான ஊதியத்தை உறுதிசெய்கிறார்:

எனவே, பிளேயர் நான் பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் 2வது வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பேன், இது பிளேயர் II இன் நகர்வைப் பொருட்படுத்தாமல் அவருக்கு அதிகபட்ச ஊதியத்தை வழங்குகிறது, அவர் இந்த மதிப்பைக் குறைக்க முயற்சிப்பார்:

ப்ளேயர் II இதேபோல் சிந்தித்து, 1வது நெடுவரிசையை தனது நகர்வாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறார்:

எனவே, கட்டண மேட்ரிக்ஸின் சேணம் புள்ளி உள்ளது:

பிளேயர் I மற்றும் பிளேயர் II க்கான உகந்த தூய மூலோபாயத்துடன் தொடர்புடையது, இதில் பிளேயர் II மூலம் வியூகத்தில் ஏற்படும் எந்த மாற்றத்திற்கும் வீரர் நான் தனது ஆதாயத்தைக் குறைக்கவில்லை மற்றும் பிளேயர் I மூலம் உத்தியில் எந்த மாற்றத்திற்கும் பிளேயர் தனது இழப்பை அதிகரிக்கவில்லை.

5.3 மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் உகந்த கலப்பு உத்தி

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், எந்தவொரு வீரரும் ஒரு தூய உத்தியைப் பயன்படுத்துவது பகுத்தறிவற்றது. பயன்படுத்தினால் அதிக லாபம் கிடைக்கும் "நிகழ்தகவு கலவைகள்" தூய உத்திகள். பின்னர், ஏற்கனவே கலப்பு உத்திகள் உகந்தவையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

கலப்பு உத்தி இந்த பிளேயரின் நகர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் உள்ள சீரற்ற நிகழ்வின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தால் ஒரு வீரரின் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

பிளேயர் I இன் கலப்பு உத்தி என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பாகும் (வெக்டார்) இது இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது:

1) அதாவது, கட்டண மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையையும் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு எதிர்மறையானது அல்ல;

2), அதாவது, மொத்தத்தில் உள்ள கட்டண மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையின் தேர்வும் குறிக்கிறது முழு குழுநிகழ்வுகள்.

பிளேயர் II இன் கலப்பு உத்தி என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பாகும் (திசையன்) நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தல்:

கட்டணம் செலுத்தும் தொகை ஒரு கலப்பு உத்தியை தேர்வு செய்த வீரர் I

ஒரு கலப்பு உத்தியை தேர்ந்தெடுத்த வீரர் II இலிருந்து

,

சராசரியைக் குறிக்கிறது

.

உகந்தது கலப்பு உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது

மற்றும் ,

ஏதேனும் தன்னிச்சையான கலப்பு உத்திகள் மற்றும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:

அதாவது, உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தின் கீழ், பிளேயர் I இன் ஊதியம் மிகப்பெரியது, மற்றும் பிளேயர் II இன் இழப்பு மிகச்சிறியது.

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், பிறகு

,

அதாவது, ஒரு நேர்மறையான வேறுபாடு உள்ளது ( ஒதுக்கப்படாத வேறுபாடு )

- ³ 0,

மேலும் இந்த வித்தியாசத்தில் அதிக பங்கை நம்பிக்கையுடன் தங்களுக்குச் சாதகமாகப் பெற வீரர்கள் கூடுதல் வாய்ப்புகளைத் தேட வேண்டும்.

உதாரணமாக

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ் வழங்கிய கேமைக் கவனியுங்கள்:

.

சேணம் புள்ளி இருந்தால் தீர்மானிக்கவும்:

, .

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இல்லை மற்றும் ஒதுக்கப்படாத வேறுபாடு இதற்கு சமம்:

.

5.4 உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிதல்

2 × 2 விளையாட்டுகளுக்கு

பரிமாணத்தில் கட்டண மேட்ரிக்ஸிற்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளைத் தீர்மானிப்பது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உகந்த புள்ளிகளைக் கண்டறியும் முறையால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸின் முதல் வரிசையை நான் தேர்ந்தெடுக்கும் பிளேயரின் நிகழ்தகவை அனுமதிக்கவும்

சமமாக உள்ளது. பின்னர் இரண்டாவது வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு.

பிளேயர் II முதல் நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கட்டும். இரண்டாவது நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு.

பிளேயர் II மூலம் பிளேயர் I க்கு செலுத்தும் தொகை இதற்கு சமம்:

பிளேயர் I இன் ஆதாயத்தின் தீவிர மதிப்பு மற்றும் பிளேயர் II இன் இழப்பு நிபந்தனைகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது:

;

.

எனவே, I மற்றும் II வீரர்களின் உகந்த கலப்பு உத்திகள் முறையே சமம்:

5.5 விளையாட்டுகளின் வடிவியல் தீர்வு 2 ×n

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணத்தில் இருந்து அதிகரிப்புடன், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உகந்ததைக் கண்டறிவதற்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளின் தீர்மானத்தை குறைக்க முடியாது. இருப்பினும், வீரர்களில் ஒருவருக்கு இரண்டு உத்திகள் மட்டுமே இருப்பதால், ஒரு வடிவியல் தீர்வு பயன்படுத்தப்படலாம்.

விளையாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முக்கிய கட்டங்கள் பின்வருமாறு.

விமானத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம். அச்சில் ஒரு பகுதியை வரையவும். இந்த பிரிவின் இடது மற்றும் வலது முனைகளில் இருந்து செங்குத்தாக வரையவும்.

யூனிட் பிரிவின் இடது மற்றும் வலது முனைகள் இரண்டு உத்திகளுக்கு ஒத்திருக்கும் மற்றும் பிளேயர் I க்கு கிடைக்கும். வரையப்பட்ட செங்குத்தாக இந்த பிளேயரின் வெற்றிகளை ஒத்திவைப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, கட்டண மேட்ரிக்ஸுக்கு

ஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது பிளேயர் I இன் இத்தகைய பலன்கள் மற்றும், மற்றும் ஒரு உத்தியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது மற்றும் இருக்கும்.

பிளேயர் II இன் உத்திகளுடன் தொடர்புடைய பிளேயர் I இன் செலுத்தும் புள்ளிகளை நேர் கோடு பிரிவுகளால் இணைப்போம். பின்னர் உருவாக்கப்பட்ட உடைந்த கோடு, வரைபடத்தை கீழே இருந்து கட்டுப்படுத்துகிறது, வீரர் I இன் செலுத்துதலின் கீழ் எல்லையை வரையறுக்கிறது.

பிளேயர் I இன் உகந்த கலப்பு உத்தியைக் கண்டறியவும்

,

இது அதிகபட்ச ஆர்டினேட்டுடன் பிளேயர் I இன் செலுத்துதலின் கீழ் எல்லையில் உள்ள புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், இரண்டு உத்திகளைப் பயன்படுத்தி, பிளேயர் I, பிளேயர் II இன் ஊதியத்தின் கீழ் எல்லையில் காணப்படும் புள்ளியில் வெட்டும் நேர் கோடுகளுடன் தொடர்புடையது, பிளேயர் I பெரிய ஊதியத்தைப் பெறுவதைத் தடுக்கலாம்.

எனவே, விளையாட்டு ஒரு விளையாட்டாக குறைக்கப்பட்டது மற்றும் கருதப்படும் உதாரணத்தில் பிளேயர் II இன் உகந்த கலப்பு உத்தியாக இருக்கும்

,

நிகழ்தகவு விளையாட்டில் உள்ள அதே வழியில் காணப்படுகிறது:

5.6 விளையாட்டு தீர்வுமீ× n

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் தூய உத்திகளில் தீர்வு இல்லை என்றால் (அதாவது, சேணம் புள்ளி இல்லை) மற்றும், பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் பெரிய பரிமாணத்தின் காரணமாக, வரைபட ரீதியாக தீர்க்க முடியாது, பின்னர் ஒரு தீர்வைப் பெற, பயன்படுத்தவும் நேரியல் நிரலாக்க முறை .

பரிமாணத்தின் பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ் கொடுக்கப்படட்டும்:

.

நிகழ்தகவுகள் கண்டறியப்பட வேண்டும் , எந்த வீரருடன் நான் அவரது நகர்வுகளைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், இந்தக் கலப்பு உத்திக்காக, பிளேயர் II-ன் நகர்வுகளைத் தேர்வு செய்தாலும், அவருக்கு குறைந்தபட்ச அளவு ஊதியத்தை உத்தரவாதம் அளிக்க வேண்டும்.

பிளேயர் II ஆல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு நகர்வுக்கும், வீரர் I இன் ஊதியம் சார்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் பிரித்து புதிய குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

சமத்துவம்

படிவத்தை எடுக்கும்:

பிளேயர் I ஊதியத்தை அதிகரிக்க முயல்வதால், பரஸ்பரம் குறைக்கப்பட வேண்டும். பிளேயருக்கான நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல் நான் வடிவத்தை எடுக்கும்:

கட்டுப்பாடுகளுடன்

இதேபோல், பிளேயர் II க்கான சிக்கல் இரட்டை ஒன்றாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது:

கட்டுப்பாடுகளுடன்

சிம்ப்ளக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

,

5.7 மேட்ரிக்ஸ் கேம்களைத் தீர்க்கும் அம்சங்கள்

உகந்த உத்திகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு முன், இரண்டு நிபந்தனைகளை சரிபார்க்க வேண்டும்:

கட்டண மேட்ரிக்ஸை எளிதாக்குவது சாத்தியமா;

பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி உள்ளதா.

கட்டண மேட்ரிக்ஸை எளிதாக்குவதற்கான வாய்ப்பைக் கவனியுங்கள்:

வீரர் நான் பெற முயல்கிறேன் என்ற உண்மையின் காரணமாக மிகப்பெரிய வெற்றி, பிறகு நீங்கள் பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து வது கோட்டைக் கடக்கலாம், ஏனெனில் பின்வரும் உறவு வேறு எந்த வரிசையிலும் திருப்தி அடைந்தால் அவர் இந்த நகர்வை ஒருபோதும் பயன்படுத்த மாட்டார்:

இதேபோல், மிகச்சிறிய இழப்பிற்காக பாடுபடுவதால், ஆட்டக்காரர் II, பேஅவுட் மேட்ரிக்ஸில் உள்ள ith நெடுவரிசையை ஒரு நகர்வாக தேர்வு செய்யமாட்டார், மேலும் பின்வரும் தொடர்பு வேறு ஏதேனும் ith நெடுவரிசையுடன் இருந்தால் இந்த நெடுவரிசையை கடக்க முடியும்:

பெரும்பாலானவை எளிய தீர்வுகேம் என்பது பின்வரும் நிபந்தனையை (வரையறையின்படி) சந்திக்கும் சேணம் புள்ளியின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட கட்டண மேட்ரிக்ஸில் இருப்பதே ஆகும்:

உதாரணமாக

கட்டணம் செலுத்தும் அணி வழங்கப்படுகிறது:

.

கட்டண மேட்ரிக்ஸின் எளிமைப்படுத்தல்:

சேணம் புள்ளி:

5.8 இயற்கையோடு விளையாடுவது

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களுக்கு மாறாக கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் புள்ளிவிவர முடிவுகள் ஒரு நிச்சயமற்ற சூழ்நிலைக்கு முரண்பாடான மோதல் வண்ணம் இல்லை மற்றும் புறநிலை யதார்த்தத்தைப் பொறுத்தது, இது பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது "இயற்கை" .

இயற்கையுடன் கூடிய மேட்ரிக்ஸ் கேம்களில், எடுக்கப்பட்ட முடிவுகளின் செயல்திறனை பாதிக்கும் நிச்சயமற்ற காரணிகளின் தொகுப்பால் பிளேயர் II விளையாடப்படுகிறது.

இயற்கையுடன் கூடிய மேட்ரிக்ஸ் கேம்கள் சாதாரண மேட்ரிக்ஸ் கேம்களில் இருந்து வேறுபடுகின்றன, பிளேயர் I மூலம் உகந்த உத்தியைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​ஆட்டக்காரர் II தனது இழப்பைக் குறைக்க முயற்சிப்பார் என்ற உண்மையால் வழிநடத்தப்பட முடியாது. எனவே, கட்டண மேட்ரிக்ஸுடன், நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம் ஆபத்து அணி :

வேறுபாட்டிற்கு சமமான நிபந்தனைகளின் கீழ் நகர்வைப் பயன்படுத்தும் போது பிளேயர் I இன் அபாயத்தின் மதிப்பு எங்கே அந்த ஆட்டக்காரருக்குத் தெரிந்திருந்தால் நான் பெற்ற ஊதியத்திற்கு இடையே, அந்த நிபந்தனை நிறுவப்படும், அதாவது. , மற்றும் அவர் பெறும் வெற்றிகள், ஒரு நகர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது தெரியாமல், நிபந்தனை நிறுவப்படும்.

இதனால், பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸாக மாற்றப்படுகிறது, மேலும் தலைகீழ் மாற்றம் தெளிவற்றது.

உதாரணமாக

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸ்:

.

ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸ்:

சாத்தியம் இரண்டு பிரச்சனை அறிக்கைகள் ஒரு தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பது பற்றி இயற்கையுடன் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் :

உங்கள் வெற்றிகளை அதிகப்படுத்துதல்;

அபாயத்தைக் குறைத்தல்.

முடிவெடுக்கும் பிரச்சனை இரண்டு நிபந்தனைகளில் ஒன்றுக்கு முன்வைக்கப்படலாம்:

- ஆபத்தில் இயற்கையின் உத்திகளின் நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு அறியப்படும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட பொருளாதார சூழ்நிலைகளின் நிகழ்வின் சீரற்ற மதிப்பு;

- நிச்சயமற்ற நிலையில் அத்தகைய நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு தெரியாத போது.

5.9 புள்ளியியல் முடிவுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

ஆபத்தில்

ஆபத்து நிலைமைகளின் கீழ் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நிகழ்தகவுகளை நான் அறிவேன் இயற்கையின் நிலைகளின் தொடக்கம்.

பின்னர், வீரர் நான் அதற்கான உத்தியைத் தேர்ந்தெடுப்பது பொருத்தமானது ஒரு வரிக்கு சராசரி வெற்றிகள், அதிகபட்சம் :

.

ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸுடன் இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, ​​அதனுடன் தொடர்புடைய அதே தீர்வைப் பெறுகிறோம் குறைந்தபட்ச சராசரி ஆபத்து :

.

5.10 புள்ளியியல் முடிவுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

நிச்சயமற்ற நிலையில்

நிச்சயமற்ற சூழ்நிலையில் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்தலாம் அளவுகோல்கள் :

வால்டின் மாக்சிமின் அளவுகோல்;

அளவுகோல் குறைந்தபட்ச ஆபத்துசெவிஜா;

அவநம்பிக்கைக்கான அளவுகோல் ஹர்விட்ஸின் நம்பிக்கை;

லாப்லேஸின் போதிய அடிப்படையின் கொள்கை.

கருத்தில் கொள்ளுங்கள் வால்டின் அதிகபட்ச சோதனை .

இயற்கையுடனான விளையாட்டு ஒரு நியாயமான ஆக்கிரமிப்பு எதிரியுடன் விளையாடப்படுகிறது, அதாவது, கட்டண மேட்ரிக்ஸிற்கான தீவிர அவநம்பிக்கை நிலையிலிருந்து மறுகாப்பீட்டு அணுகுமுறை மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

.

கருத்தில் கொள்ளுங்கள் காட்டுமிராண்டித்தனமான குறைந்தபட்ச ஆபத்து அளவுகோல் .

ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸிற்கான தீவிர அவநம்பிக்கை நிலையிலிருந்து முந்தையதைப் போன்ற அணுகுமுறை:

.

கருத்தில் கொள்ளுங்கள் அவநம்பிக்கையின் அளவுகோல் - ஹர்விட்ஸின் நம்பிக்கை .

தீவிர அவநம்பிக்கை அல்லது தீவிர நம்பிக்கையால் வழிநடத்தப்படாமல் இருக்க ஒரு வாய்ப்பு வழங்கப்படுகிறது:

அவநம்பிக்கையின் அளவு எங்கே;

மணிக்கு - தீவிர நம்பிக்கை,

at - தீவிர அவநம்பிக்கை.

கருத்தில் கொள்ளுங்கள் லாப்லேஸின் போதிய அடிப்படையின் கொள்கை .

இயற்கையின் அனைத்து நிலைகளும் சமமாக சாத்தியம் என்று நம்பப்படுகிறது:

,

.

ஐந்தாவது பிரிவில் முடிவுகள்

இரண்டு வீரர்கள் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் பங்கேற்கின்றனர், மேலும் தோல்வியுற்ற வீரரின் வெற்றியாளருக்கு செலுத்தும் தொகையை நிர்ணயிக்கும் பேஆஃப் செயல்பாடு, பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது. ப்ளேயர் I ஒரு நடவடிக்கையாக பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார், மேலும் பிளேயர் II அதன் நெடுவரிசைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். பின்னர், இந்த மேட்ரிக்ஸின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில், பிளேயர் II இலிருந்து பிளேயர் I க்கு செலுத்தப்பட்ட தொகையின் எண் மதிப்பு உள்ளது (இந்த மதிப்பு நேர்மறையாக இருந்தால், பிளேயர் நான் உண்மையில் வென்றேன், அது எதிர்மறையாக இருந்தால், பிளேயர் II அடிப்படையில் வென்றது).

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இருந்தால், வீரர்களுக்கு உகந்த தூய உத்திகள் உள்ளன, அதாவது வெற்றிபெற, அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் தனது ஒரு உகந்த நகர்வை மீண்டும் செய்ய வேண்டும். சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், வெற்றி பெற, அவை ஒவ்வொன்றும் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதாவது, நகர்வுகளின் கலவையைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அவை ஒவ்வொன்றும் உகந்த நிகழ்தகவுடன் செய்யப்பட வேண்டும்.

2 × 2 கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளுக்கான தேடல், அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி உகந்த நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. வழியாக வடிவியல் தீர்வு 2 × n கேம்களுக்கு, அவற்றில் உள்ள உகந்த கலப்பு உத்திகளின் வரையறை, 2 × 2 கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது. m × n கேம்களைத் தீர்க்க, அவற்றில் உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிய நேரியல் நிரலாக்க முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சில கட்டண மெட்ரிக்குகள் எளிமைப்படுத்தப்படுவதற்குக் கடன் கொடுக்கின்றன, இதன் விளைவாக சமரசமற்ற நகர்வுகளுடன் தொடர்புடைய வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை அகற்றுவதன் மூலம் அவற்றின் பரிமாணம் குறைக்கப்படுகிறது.

பிளேயர் II என்பது புறநிலை யதார்த்தத்தைப் பொறுத்து நிச்சயமற்ற காரணிகளின் தொகுப்பாக இருந்தால் மற்றும் முரண்பாடான மோதல் வண்ணம் இல்லை என்றால், அத்தகைய விளையாட்டு இயற்கையுடனான விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் புள்ளிவிவர முடிவுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் அதைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பின்னர், பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸுடன், ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸ் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் இயற்கையுடன் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் ஒரு தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் உள்ள சிக்கலின் இரண்டு அறிக்கைகள் சாத்தியமாகும்: ஊதியத்தை அதிகப்படுத்துதல் மற்றும் ஆபத்தைக் குறைத்தல்.

ஆபத்து நிலைமைகளின் கீழ் புள்ளியியல் முடிவுகளின் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களின் தீர்வு, பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஊதியத்தின் சராசரி மதிப்பு (கணித எதிர்பார்ப்பு) அதிகபட்சமாக இருக்கும் மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது வீரர் I க்கு அறிவுறுத்தப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. அல்லது (அதேதான்) ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸின் வரிசையால் எடுக்கப்பட்ட ஆபத்தின் சராசரி மதிப்பு (கணித எதிர்பார்ப்பு) குறைவாக உள்ளது. நிச்சயமற்ற நிலைமைகளின் கீழ் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​பயன்படுத்தவும் பின்வரும் அளவுகோல்கள்: வால்டின் அதிகபட்ச அளவுகோல், Sevidge இன் குறைந்தபட்ச ஆபத்து அளவுகோல், Hurwitz இன் அவநம்பிக்கை-நம்பிக்கை அளவுகோல், Laplace இன் போதிய அடிப்படையின் கொள்கை.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன: நகர்வு, உத்தி மற்றும் ஊதியச் செயல்பாடு?

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் செலுத்தும் செயல்பாடு எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது?

மேட்ரிக்ஸ் கேம் ஏன் பூஜ்ஜிய தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது?

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டை விளையாடும் செயல்முறை எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது?

எந்த விளையாட்டு m× n விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுக்கான உகந்த உத்தி என்ன?

பியூர் எனப்படும் மேட்ரிக்ஸ் கேமிற்கான உகந்த உத்தி என்ன?

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸின் சேணம் புள்ளியின் அர்த்தம் என்ன?

கலப்பு எனப்படும் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுக்கான உகந்த உத்தி என்ன?

வீரரின் கலப்பு உத்தி எவ்வாறு தோன்றும்?

கலப்பு உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுத்த ப்ளேயர் II இலிருந்து ப்ளேயர் Iக்கு செலுத்த வேண்டிய தொகை என்ன?

என்ன கலப்பு உத்திகள் உகந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

ஒதுக்கப்படாத வேறுபாடு என்றால் என்ன?

2 × 2 கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிய என்ன முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது?

2 × n கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகள் எவ்வாறு கண்டறியப்படுகின்றன?

m × n கேம்களுக்கான உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கண்டறிய என்ன முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது?

மேட்ரிக்ஸ் கேம்களைத் தீர்ப்பதன் அம்சங்கள் என்ன?

பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸின் எளிமைப்படுத்தல் என்றால் என்ன, எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் அதைச் செய்யலாம்?

பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி இருக்கும் அல்லது இல்லை என்பதைத் தீர்மானிக்க எந்த மேட்ரிக்ஸ் கேம் எளிதானது?

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில் என்ன சிக்கல்கள் புள்ளிவிவர முடிவுகளின் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களுடன் தொடர்புடையவை?

பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸ் எப்படி ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸாக மாற்றப்படுகிறது?

இயற்கையுடன் கூடிய மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் தீர்வுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் உள்ள பிரச்சனையின் இரண்டு சூத்திரங்கள் என்ன?

இயற்கையுடன் கூடிய மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் எந்த இரண்டு நிபந்தனைகளுக்கு முடிவெடுக்கும் சிக்கல்களை அமைக்கலாம்?

இடர் நிலைமைகளின் கீழ் புள்ளியியல் முடிவுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​பிளேயருக்கு நான் தேர்ந்தெடுக்கும் உத்தி எது பொருத்தமானது?

நிச்சயமற்ற நிலைமைகளின் கீழ் புள்ளிவிவர முடிவுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது என்ன முடிவு அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தலாம்?

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

1. கட்டண அணி நிறுவனம் விற்கும்போது அதன் லாபத்தின் அளவைக் காட்டுகிறது பல்வேறு வகையானநிலையான தேவை (வரிசைகள்) பொறுத்து பொருட்கள் (நெடுவரிசைகள்) பல்வேறு வகையான தயாரிப்புகளின் உற்பத்திக்கான நிறுவனத்தின் உகந்த மூலோபாயத்தையும் அவற்றின் விற்பனையிலிருந்து தொடர்புடைய அதிகபட்ச (சராசரியாக) வருமானத்தையும் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைக் குறிப்போம் மற்றும் மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். நாங்கள் ஒரு அணியையும் (வெக்டார்) பயன்படுத்துவோம். பின்னர் மற்றும், அதாவது.

தலைகீழ் அணி கணக்கிடப்படுகிறது:

மதிப்புகள் காணப்படுகின்றன:

.

நிகழ்தகவுகள் கணக்கிடப்படுகின்றன:

விற்பனையிலிருந்து சராசரி வருமானம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

.

2. "ஃபார்மசிஸ்ட்" நிறுவனம் இப்பகுதியில் மருந்துகள் மற்றும் உயிரியல் மருத்துவ தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்கிறது. சில மருந்துகளுக்கான தேவை உச்சத்தில் விழுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது கோடை காலம்(இருதய குழுவின் மருந்துகள், வலி ​​நிவாரணி மருந்துகள்), மற்றவர்களுக்கு - இலையுதிர் மற்றும் வசந்த காலத்திற்கு (தொற்று எதிர்ப்பு, ஆன்டிடூசிவ்).

1 மாற்றத்திற்கான செலவுகள். அலகுகள் செப்டம்பர்-அக்டோபருக்கான தயாரிப்புகள்: முதல் குழுவிற்கு (இருதய மருந்துகள் மற்றும் வலி நிவாரணி மருந்துகள்) - 20 ரூபிள்; இரண்டாவது குழுவில் (தொற்று எதிர்ப்பு, அழற்சி எதிர்ப்பு மருந்துகள்) - 15 ரூபிள்.

பலவற்றின் அவதானிப்புகளின்படி சமீபத்திய ஆண்டுகளில்நிறுவனத்தின் சந்தைப்படுத்தல் சேவையானது சூடான வானிலை 3050 மாற்றத்தில் பரிசீலனையில் உள்ள இரண்டு மாதங்களில் விற்க முடியும் என்று கண்டறிந்தது. அலகுகள் முதல் குழுவின் தயாரிப்புகள் மற்றும் 1100 மாற்றம். அலகுகள் இரண்டாவது குழுவின் தயாரிப்புகள்; குளிர் காலநிலையில் - 1525 மாற்றம். அலகுகள் முதல் குழுவின் தயாரிப்புகள் மற்றும் 3690 conv. அலகுகள் இரண்டாவது குழு.

வானிலையில் சாத்தியமான மாற்றங்கள் தொடர்பாக, பணி முன்வைக்கப்படுகிறது - 40 ரூபிள் விற்பனை விலையில் விற்பனையிலிருந்து அதிகபட்ச வருமானத்தை வழங்கும் தயாரிப்புகளின் உற்பத்தியில் நிறுவனத்தின் மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க. 1 மாற்றத்திற்கு அலகுகள் முதல் குழுவின் தயாரிப்புகள் மற்றும் 30 ரூபிள். - இரண்டாவது குழு.

தீர்வு. நிறுவனம் இரண்டு உத்திகளைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த ஆண்டு வானிலை வெப்பமாக இருக்கும்;

வானிலை குளிர்ச்சியாக இருக்கும்.

நிறுவனம் ஒரு மூலோபாயத்தை ஏற்றுக்கொண்டால், உண்மையில் சூடான வானிலை (இயற்கையின் உத்தி) இருக்கும், பின்னர் தயாரிக்கப்பட்ட தயாரிப்புகள் (முதல் குழுவின் 3050 வழக்கமான மருந்துகள் மற்றும் இரண்டாவது குழுவின் 1100 வழக்கமான அலகுகள்) முழுமையாக விற்கப்படும் மற்றும் வருமானம் கிடைக்கும். இரு

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) = 77500 ப.

குளிர்ந்த காலநிலையில் (இயற்கை மூலோபாயம்), இரண்டாவது குழுவின் மருந்துகள் முழுமையாக விற்கப்படும், மேலும் முதல் குழு 1525 மாற்றத்தின் அளவு மட்டுமே. அலகுகள் மற்றும் சில மருந்துகள் உணரப்படாமல் இருக்கும். வருமானம் இருக்கும்

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () = 16500 ப.

இதேபோல், வடிவம் ஒரு உத்தியைக் கடைப்பிடித்து, வானிலை உண்மையில் குளிராக இருந்தால், வருமானம் இருக்கும்

1525 × (40-20) + 3690 × (30-15) = 85850 ப.

வெப்பமான காலநிலையில், வருமானம் இருக்கும்

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 = 8150 பக்.

நிறுவனத்தையும் வானிலையையும் இரண்டு வீரர்களாகக் கருதி, பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்

,

விளையாட்டின் விலை வரம்பில் உள்ளது

அனைத்து நிபந்தனைகளின் கீழும், நிறுவனத்தின் வருமானம் குறைந்தது 16,500 ரூபிள் இருக்கும் என்பதை கட்டண மேட்ரிக்ஸிலிருந்து காணலாம், ஆனால் வானிலை நிலைமைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூலோபாயத்துடன் ஒத்துப்போனால், நிறுவனத்தின் வருமானம் 77,500 ரூபிள் ஆக இருக்கலாம்.

விளையாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு காண்போம்.

மூலோபாயத்தின் மூலம் நிறுவனத்தின் பயன்பாட்டின் நிகழ்தகவைக் குறிப்பிடுவோம், மூலோபாயம் மூலம், மற்றும். முறை மூலம் விளையாட்டை வரைபடமாகத் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம் , விளையாட்டின் விலை ப.

உகந்த மருந்து உற்பத்தி திட்டம் இருக்கும்

எனவே, நிறுவனம் செப்டம்பர் மற்றும் அக்டோபர் 2379 மாற்றத்தின் போது தயாரிப்பது நல்லது. அலகுகள் முதல் குழுவின் மருந்துகள் மற்றும் 2239.6 மாற்றம். அலகுகள் இரண்டாவது குழுவின் மருந்துகள், பின்னர் எந்த வானிலையிலும் அவள் குறைந்தபட்சம் 46986 ரூபிள் வருமானத்தைப் பெறுவாள்.

நிச்சயமற்ற சூழ்நிலையில், ஒரு நிறுவனம் கலப்பு மூலோபாயத்தை (பிற நிறுவனங்களுடனான ஒப்பந்தங்கள்) பயன்படுத்த முடியாவிட்டால், நிறுவனத்தின் உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க, பின்வரும் அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

வால்டே அளவுகோல்:

Hurwitz அளவுகோல்: உறுதியான தன்மைக்காக, நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்வோம், பின்னர் நிறுவனத்தின் மூலோபாயத்திற்கு

மூலோபாயத்திற்காக

நிறுவனம் ஒரு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது.

காட்டுமிராண்டித்தனமான அளவுகோல். முதல் நெடுவரிசையில் அதிகபட்ச உறுப்பு 77500, இரண்டாவது நெடுவரிசையில் இது 85850 ஆகும்.

ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் வெளிப்பாட்டிலிருந்து காணப்படுகின்றன

,

எங்கே , ,

ரிஸ்க் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் கொண்டது

,

மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது அல்லது.

எனவே, நிறுவனம் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு அறிவுறுத்தப்படுகிறது அல்லது.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட ஒவ்வொரு அளவுகோலும் முற்றிலும் திருப்திகரமாக கருத முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க இறுதி தேர்வுமுடிவுகள், இருப்பினும், அவற்றின் கூட்டு பகுப்பாய்வு சில நிர்வாக முடிவுகளை எடுப்பதால் ஏற்படும் விளைவுகளை இன்னும் தெளிவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது.

இயற்கையின் பல்வேறு நிலைகளுக்கான நிகழ்தகவுகளின் அறியப்பட்ட விநியோகத்துடன், முடிவெடுப்பதற்கான அளவுகோல் ஒரு ஊதியத்தின் அதிகபட்ச கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்.

சூடான மற்றும் குளிர்ந்த காலநிலையின் நிகழ்தகவுகள் சமமானவை மற்றும் 0.5 க்கு சமமானவை என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு சிக்கலுக்குத் தெரியப்படுத்துங்கள், பின்னர் நிறுவனத்தின் உகந்த உத்தி பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

நிறுவனம் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவது நல்லது அல்லது.

சுய படிப்பு பணிகள்

1. ஒரு நிறுவனம் மூன்று வகையான தயாரிப்புகளை (A, B மற்றும் C) உற்பத்தி செய்ய முடியும், அதே நேரத்தில் தேவையைப் பொறுத்து லாபத்தைப் பெறுகிறது. தேவை, நான்கு மாநிலங்களில் (I, II, III மற்றும் IV) ஒன்றை எடுக்கலாம். பின்வரும் மேட்ரிக்ஸில், -வது தயாரிப்பு மற்றும் தேவையின் -வது நிலையை உற்பத்தி செய்யும் போது நிறுவனம் பெறும் லாபத்தை கூறுகள் வகைப்படுத்துகின்றன:

பொது வழக்கில், V * ≠ V * - சேணம் புள்ளி இல்லை. தூய உத்திகளிலும் உகந்த தீர்வு இல்லை. இருப்பினும், கலப்பு மூலோபாயத்தின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தூய மூலோபாயத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்தினால், முழுமையடையாமல் வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு சிக்கலுக்கு உகந்த தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை செயல்படுத்த முடியும். அத்தகைய சூழ்நிலையில், ஒரு முரண்பாடான விளையாட்டுக்கு உகந்த தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான புள்ளிவிவர (நிகழ்தகவு) அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்த முன்மொழியப்பட்டது. ஒவ்வொரு வீரருக்கும், அவருக்கு சாத்தியமான உத்திகளின் தொகுப்புடன், நிகழ்தகவுகளின் அறியப்படாத திசையன் (உறவினர் அதிர்வெண்கள்) அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது, அதனுடன் ஒன்று அல்லது மற்றொரு உத்தி பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

பிளேயர் A இன் கொடுக்கப்பட்ட உத்திகளின் தேர்வின் நிகழ்தகவுகளின் திசையன் (உறவினர் அதிர்வெண்கள்) பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறோம்:
P = (p 1, p 2, ..., p m),
p i ≥ 0, p 1 + p 2 +… + p m = 1. p i என்பது மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு (ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்) என அழைக்கப்படுகிறது.

இதேபோல், பிளேயர் B க்கு, நிகழ்தகவுகளின் அறியப்படாத திசையன் (உறவினர் அதிர்வெண்கள்) பின்வருமாறு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது:
Q = (q 1, q 2, ..., q n),
இதில் q j ≥ 0, q 1 + q 2 +… + q n = 1. q j இன் அளவு B j மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு (ஒப்பீட்டு அதிர்வெண்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. A 1, A 2, ... A m மற்றும் B 1, B 2, ... B n ஆகிய தூய உத்திகளின் தொகுப்பு (கலவை) அவை ஒவ்வொன்றையும் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்தகவுகளின் திசையன்களுடன் இணைந்து அழைக்கப்படுகிறது. கலப்பு உத்திகள்.

வரையறுக்கப்பட்ட விரோத விளையாட்டுகளின் கோட்பாட்டின் முக்கிய தேற்றம் வான் நியூமனின் தேற்றம்: ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட அணி விளையாட்டு உள்ளது, மூலம் குறைந்தபட்சம், ஒரு உகந்த தீர்வு, கலப்பு உத்திகள் மத்தியில் இருக்கலாம்.
ஒரு முழுமையடையாமல் வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு கலப்பு உத்திகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உகந்த தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்பதை இந்தத் தேற்றத்திலிருந்து இது பின்பற்றுகிறது. அத்தகைய விளையாட்டுகளில், ஒரு ஜோடி உகந்த கலப்பு உத்திகள் P * மற்றும் Q * ஆகும், அதாவது வீரர்களில் ஒருவர் தனது உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்ற வீரர் தனது உகந்த மூலோபாயத்திலிருந்து விலகுவது லாபகரமானது அல்ல.
A வீரரின் சராசரி ஊதியம் கணித எதிர்பார்ப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

ஒரு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு (உறவினர் அதிர்வெண்) பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அத்தகைய உத்தி அழைக்கப்படுகிறது செயலில்.

உத்திகள் P *, Q * என்று அழைக்கப்படுகின்றன உகந்த கலவைஉத்திகள் என்றால் M A (P, Q *) ≤ M A (P *, Q *) ≤ M A (P *, Q) (1)
இந்த வழக்கில், M A (P *, Q *) அழைக்கப்படுகிறது செலவில்விளையாட்டு மற்றும் V (V * ≤ V ≤ V *) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஏற்றத்தாழ்வுகளில் முதன்மையானது (1) என்பதன் பொருள் A வீரர் தனது உகந்த கலப்பு உத்தியில் இருந்து விலகல்வீரர் B தனது உகந்த கலப்பு உத்தியை கடைபிடித்தால், சராசரி ஊதியம் குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறதுவீரர் ஏ. சமத்துவமின்மைகளில் இரண்டாவது என்று பொருள் அவரது உகந்த கலப்பு உத்தியில் இருந்து வீரர் B இன் விலகல் A வீரர் தனது உகந்த கலப்பு உத்தியை கடைபிடித்தால், பிளேயர் B இன் சராசரி இழப்பின் அதிகரிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது.

பொதுவாக, இத்தகைய பணிகள் இந்த கால்குலேட்டருடன் வெற்றிகரமாக தீர்க்கப்படுகின்றன.

ஒரு உதாரணம்.

1. பேமெண்ட் மேட்ரிக்ஸில் சேணம் புள்ளி உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்... ஆம் எனில், விளையாட்டின் தீர்வை தூய உத்திகளில் எழுதுவோம்.

வீரர் I தனது அதிகபட்ச ஊதியத்தைப் பெறுவதற்காக அவரது உத்தியைத் தேர்வு செய்கிறார் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம், மேலும் பிளேயர் I இன் ஊதியத்தைக் குறைக்கும் வகையில் பிளேயர் II தனது உத்தியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார்.

ஏ = அதிகபட்சம் (a i) = 2 என்ற விளையாட்டின் குறைந்த விலையால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட உத்தரவாதமான பலனைக் காண்கிறோம், இது அதிகபட்ச தூய மூலோபாயம் A 1 ஐக் குறிக்கிறது.
விளையாட்டின் மேல் விலை b = min (bj) = 7. இது சேணம் புள்ளி இல்லாததைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் a ≠ b, பின்னர் விளையாட்டின் விலை வரம்பில் 2 ≤ y ≤ 7. இதற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும் கலப்பு உத்திகளில் விளையாட்டு. வீரர்கள் தங்கள் தூய உத்திகளை எதிரிக்கு அறிவிக்க முடியாது என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது: அவர்கள் தங்கள் செயல்களை மறைக்க வேண்டும். விளையாட்டு வீரர்கள் தங்கள் உத்திகளை தேர்வு செய்ய அனுமதிப்பதன் மூலம் தீர்க்க முடியும் தோராயமாக(தூய உத்திகளை கலக்கவும்).

2. மேலாதிக்க வரிசைகள் மற்றும் மேலாதிக்க நெடுவரிசைகளுக்கான பேஅவுட் மேட்ரிக்ஸைச் சரிபார்க்கிறது.
பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் வரிசைகள் மற்றும் மேலாதிக்க நெடுவரிசைகள் இல்லை.

3. கலப்பு உத்திகளில் விளையாட்டிற்கு தீர்வு காணவும்.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எழுதுவோம்.
வீரருக்கு ஐ
4p 1 + 7p 2 + 2p 3 = y
7p 1 + 3p 2 + p 3 = y
2p 1 + 2p 2 + 8p 3 = y
ப 1 + ப 2 + ப 3 = 1

வீரர் II க்கு
4q 1 + 7q 2 + 2q 3 = y
7q 1 + 3q 2 + 2q 3 = y
2q 1 + q 2 + 8q 3 = y
q 1 + q 2 + q 3 = 1

காஸ் முறை மூலம் இந்த அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்:

y = 4 1/34
ப 1 = 29/68 (1வது உத்தியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).
ப 2 = 4/17 (2வது உத்தியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).
ப 3 = 23/68 (3வது உத்தியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).

பிளேயர் I இன் உகந்த கலப்பு உத்தி: P = (29/68; 4/17; 23/68)
q 1 = 6/17 (1வது மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).
q 2 = 9/34 (2வது உத்தியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).
q 3 = 13/34 (3வது உத்தியைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு).

பிளேயர் II இன் உகந்த கலப்பு உத்தி: Q = (6/17; 9/34; 13/34)
விளையாட்டின் விலை: y = 4 1/34

விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், விளையாட்டின் மதிப்பு மற்றும் வீரர்களின் உகந்த உத்திகளை தீர்மானிப்பதில் சிரமங்கள் எழுகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்:

இந்த விளையாட்டில், மற்றும். இதன் விளைவாக, முதல் வீரர் 4 க்கு சமமான வெற்றிக்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும், மேலும் இரண்டாவது அவரது இழப்பை 5 குறைக்க முடியும். இடையேயான பகுதி மற்றும் அது ஒரு டிரா ஆகும், மேலும் ஒவ்வொரு வீரரும் இந்த பகுதியின் இழப்பில் தனது முடிவை மேம்படுத்த முயற்சி செய்யலாம். . வீரர்களின் உகந்த உத்திகள் என்னவாக இருக்க வேண்டும்?

ஒவ்வொரு வீரரும் நட்சத்திரக் குறியிடப்பட்ட உத்தியை (களை) பயன்படுத்தினால், முதல் வீரரின் ஆதாயமும் இரண்டாவது ஆட்டக்காரரின் இழப்பும் 5 ஆக இருக்கும். இது இரண்டாவது வீரருக்கு பாதகமானது, ஏனெனில் அவர் உத்தரவாதம் அளிக்கக்கூடியதை விட அதிகமாக வெற்றி பெறுவார். தன்னை. இருப்பினும், இரண்டாவது ஆட்டக்காரர் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நோக்கத்தைப் பற்றி முதல் வீரரின் நோக்கத்தை ஏதேனும் ஒரு வகையில் வெளிப்படுத்தினால், அவர் அந்த உத்தியைப் பயன்படுத்தி முதல் ஆதாயத்தை 4 ஆகக் குறைக்கலாம். உண்மை, முதல் வீரர் அதன் நோக்கத்தை வெளிப்படுத்தினால். இரண்டாவது வியூகத்தைப் பயன்படுத்தினால், பின்னர் உத்தியைப் பயன்படுத்தி, அவர் தனது ஆதாயத்தை 6 ஆக உயர்த்துவார், இதனால், ஒவ்வொரு வீரரும் தான் பயன்படுத்தப் போகும் உத்தியை ரகசியமாக வைத்திருக்க வேண்டிய சூழ்நிலை ஏற்படுகிறது. இருப்பினும், இதை எப்படி செய்வது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, விளையாட்டை பல முறை விளையாடி, இரண்டாவது வீரர் எப்போதும் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தினால், முதல் வீரர் இரண்டாவது ஒருவரின் நோக்கத்தை விரைவில் கண்டுபிடித்து, மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தினால், கூடுதல் பலனைப் பெறுவார். வெளிப்படையாக, இரண்டாவது வீரர் ஒவ்வொரு புதிய விளையாட்டிலும் மூலோபாயத்தை மாற்ற வேண்டும், ஆனால் ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அவர் எந்த உத்தியைப் பயன்படுத்துவார் என்பதை முதலில் யூகிக்காத வகையில் அவர் இதைச் செய்ய வேண்டும்.

சீரற்ற தேர்வு பொறிமுறையைப் பொறுத்தவரை, வீரர்களின் வெற்றி மற்றும் இழப்புகள் இருக்கும் சீரற்ற மாறிகள்... இந்த வழக்கில் விளையாட்டின் முடிவை இரண்டாவது வீரரின் சராசரி இழப்பால் மதிப்பிடலாம். உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம். எனவே, இரண்டாவது வீரர் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தினால் மற்றும் தோராயமாக 0.5 நிகழ்தகவுகளுடன்; 0.5, பின்னர் முதல் வீரரின் உத்தியுடன், அவரது இழப்பின் சராசரி மதிப்பு:

மற்றும் முதல் வீரரின் உத்தியுடன்

எனவே, முதல் வீரர் பயன்படுத்திய உத்தியைப் பொருட்படுத்தாமல் இரண்டாவது வீரர் தனது சராசரி இழப்பை 4.5 ஆகக் கட்டுப்படுத்தலாம்.

எனவே, பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு மூலோபாயத்தை முன்கூட்டியே கோடிட்டுக் காட்டாமல், சீரற்ற தேர்வின் சில பொறிமுறையைப் பயன்படுத்தி, சீரற்ற முறையில் ஒன்று அல்லது மற்றொன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது நல்லது. சீரற்ற தேர்வின் அடிப்படையிலான உத்தி அழைக்கப்படுகிறது கலப்பு உத்தி, கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட உத்திகளுக்கு மாறாக, அவை அழைக்கப்படுகின்றன தூய உத்திகள்.

தூய மற்றும் கலப்பு உத்திகளுக்கு இன்னும் கடுமையான வரையறையை வழங்குவோம்.

சேணம் புள்ளி இல்லாமல் ஒரு விளையாட்டு இருக்கட்டும்:

முதல் வீரரின் தூய மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான அதிர்வெண்ணைக் குறிப்பிடுவோம், (i-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு). இதேபோல், இரண்டாவது பிளேயரின் தூய மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான அதிர்வெண்ணைக் குறிக்கிறோம், (j-th மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு). சேணம் புள்ளி விளையாட்டுக்கு, ஒரு தூய உத்தி தீர்வு உள்ளது. ஒரு சேணம் புள்ளி விளையாட்டுக்கு, கலப்பு உத்திகளில் ஒரு தீர்வு உள்ளது, அதாவது உத்தியின் தேர்வு நிகழ்தகவுகளின் அடிப்படையில் இருக்கும் போது. பிறகு

நிறைய தூய முதல் வீரர் உத்திகள்;

1 வது வீரரின் பல கலப்பு உத்திகள்;

நிறைய தூய 2வது வீரர் உத்திகள்;

நிறைய கலப்பு 2வது வீரர் உத்திகள்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: ஒரு விளையாட்டைப் பார்ப்போம்

இரண்டாவது வீரர் நிகழ்தகவை தேர்வு செய்கிறார் ... இரண்டாவது வீரரின் சராசரி இழப்பை அவர் உத்திகளைப் பயன்படுத்தும்போது, ​​அதற்கேற்ப மதிப்பிடுவோம்.

தூய மற்றும் கலப்பு உத்திகளை வேறுபடுத்துங்கள். சுத்தமான மூலோபாயம்
முதல் வீரர் (தூய உத்தி
இரண்டாவது வீரர்) என்பது முதல் (இரண்டாவது) வீரரின் சாத்தியமான நகர்வு, 1க்கு சமமான நிகழ்தகவுடன் அவரால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

முதல் வீரருக்கு m உத்திகள் இருந்தால், இரண்டாவது n உத்திகளைக் கொண்டிருந்தால், முதல் மற்றும் இரண்டாவது வீரர்களின் எந்த ஜோடி உத்திகளுக்கும், தூய உத்திகளை யூனிட் வெக்டார்களாகக் குறிப்பிடலாம். உதாரணமாக, ஒரு ஜோடி உத்திகளுக்கு
,
முதல் மற்றும் இரண்டாவது வீரர்களின் தூய உத்திகள் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
,
... ஒரு ஜோடி உத்திகளுக்கு ,தூய உத்திகளை இவ்வாறு எழுதலாம்:

,

.

தேற்றம்: மேட்ரிக்ஸ் கேமில், குறைந்த நிகர கேம் விலையானது மேல் நிகர விளையாட்டு விலையை விட அதிகமாக இருக்காது, அதாவது.
.

வரையறை:தூய உத்திகள் என்றால் ,வீரர்கள் A மற்றும் B, முறையே, சமத்துவம்
, பின்னர் ஒரு ஜோடி தூய உத்திகள் ( ,) அணி விளையாட்டின் சேணம் புள்ளி, உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஐ-வது வரிசை மற்றும் ஜே-வது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ள அணி என்பது கட்டண மேட்ரிக்ஸின் சேணம் உறுப்பு மற்றும் எண்
- விளையாட்டின் தூய விலை.

உதாரணமாக:குறைந்த மற்றும் மேல் நிகர விலைகளைக் கண்டறியவும், மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டின் சேணம் புள்ளிகள் இருப்பதை தீர்மானிக்கவும்

.

விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் நிகர விலைகளை நிர்ணயிப்போம்:,,
.

இந்த வழக்கில், எங்களிடம் ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது (A 1; B 2), மற்றும் சேணம் உறுப்பு 5. இந்த உறுப்பு 1 வது வரிசையில் சிறியது மற்றும் 2 வது நெடுவரிசையில் மிகப்பெரியது. A1 இன் அதிகபட்ச மூலோபாயத்தில் இருந்து வீரர் A இன் விலகல் அவரது ஆதாயத்தில் குறைவதற்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் B 2 இன் மினிமேக்ஸ் மூலோபாயத்திலிருந்து வீரர் B விலகுவது அவரது இழப்பை அதிகரிக்க வழிவகுக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் சேணம் உறுப்பு இருந்தால், வீரர்களுக்கான சிறந்த உத்திகள் அவர்களின் மினிமேக்ஸ் உத்திகள் ஆகும். இந்த தூய உத்திகள், ஒரு சேணம் புள்ளியை உருவாக்கி, கேம் மேட்ரிக்ஸில் ஒரு சேணம் உறுப்பு a 12 = 5 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கின்றன, இவை உகந்த தூய உத்திகளாகும். மற்றும் A மற்றும் B வீரர்கள் முறையே.

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டில் சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், விளையாட்டின் தீர்வு கடினமாகிவிடும். இந்த விளையாட்டுகளில்
... இத்தகைய விளையாட்டுகளில் மினிமேக்ஸ் உத்திகளைப் பயன்படுத்துவது ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஊதியம் அதிகமாக இல்லை என்பதற்கு வழிவகுக்கிறது. , மற்றும் இழப்பு குறைவாக இல்லை ... ஒவ்வொரு வீரருக்கும், வெற்றிகளை அதிகரிப்பது (இழப்பைக் குறைப்பது) பற்றிய கேள்வி எழுகிறது. கலப்பு உத்திகளைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காணப்படுகிறது.

வரையறை:முதல் (இரண்டாவது) வீரரின் கலப்பு உத்தி ஒரு திசையன் ஆகும்
, எங்கே
மற்றும்
(
, எங்கே
மற்றும்
).

திசையன் p (q) என்பது i-th தூய மூலோபாயத்தின் நிகழ்தகவை முதல் வீரரால் பயன்படுத்தப்படும் (இரண்டாவது வீரரின் j-th தூய உத்தி).

வீரர்கள் தங்கள் தூய உத்திகளை ஒருவருக்கொருவர் தோராயமாகவும் சுயாதீனமாகவும் தேர்வு செய்வதால், விளையாட்டு சீரற்ற தன்மையைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் ஆதாயத்தின் அளவு (இழப்பு) சீரற்றதாக மாறும். இந்த வழக்கில், சராசரி ஆதாயம் (இழப்பு) - கணித எதிர்பார்ப்பு - கலப்பு உத்திகள் p, q:

.

வரையறை: f (p, q) செயல்பாடு மேட்ரிக்ஸுடன் விளையாட்டின் செலுத்தும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
.

வரையறை:மூலோபாயம்
,
தன்னிச்சையான உத்திகளுக்கு உகந்தவை என அழைக்கப்படுகின்றன
,
நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது

விளையாட்டில் உகந்த கலப்பு உத்திகளைப் பயன்படுத்துவது, முதல் ஆட்டக்காரருக்கு அவர் வேறு எந்த மூலோபாயத்தையும் பயன்படுத்தும் போது குறைவான ஊதியத்தை வழங்குகிறது; இரண்டாவது ஆட்டக்காரருக்கு இழப்பு உள்ளது, அவர் வேறு எந்த மூலோபாயத்தையும் பயன்படுத்தினால் அதற்கு மேல் இல்லை q.

உகந்த உத்திகள் மற்றும் விளையாட்டு விலைகளின் கலவையானது விளையாட்டு தீர்வை உருவாக்குகிறது.