விளையாட்டுகள் மற்றும் புள்ளிவிவர தீர்வுகள் கோட்பாடு.

இந்த ஒரு வீரரின் தேர்வு அல்லது அந்த நடவடிக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது வழியில். தளிர்கள் உள்ளன தனிப்பட்ட (வீரர் வேண்டுமென்றே இந்த அல்லது அந்த முடிவை ஏற்றுக்கொள்கிறார்) மற்றும் சீரற்ற (விளையாட்டின் விளைவு வீரரின் விருப்பத்தை சார்ந்து இல்லை). வீரர் செய்யப்பட வேண்டிய பாடத்திட்டத்தை தீர்மானிக்கும் விதிகளின் தொகுப்பு மூலோபாயம். உத்திகள் உள்ளன சுத்தமான (அல்லாத சீரற்ற வீரர் தீர்வுகள்) மற்றும் கலப்பு (மூலோபாயம் ஒரு சீரற்ற அளவு கருதப்படுகிறது).

மயக்க நிலை

உள்ள விளையாட்டு கோட்பாடு எஸ். டி சேணம் உறுப்பு) - இது நெடுவரிசையின் மிகப்பெரிய உறுப்பு ஆகும் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுஇது அதே நேரத்தில் தொடர்புடைய வரியின் மிகச்சிறிய உறுப்பு (இல் ஜீரோ அளவு கொண்ட இரண்டு நபர்களின் விளையாட்டு). இந்த கட்டத்தில், எனவே, ஒரு வீரரின் அதிகபட்சம் மற்றொன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்; எஸ். டி. ஒரு புள்ளி சமநிலை.

மினிக்ஸ் தேற்றம்

மின்சிஸுடன் தொடர்புடைய மூலோபாயம் அழைக்கப்படுகிறது மினிமக்ஸ் மூலோபாயம்.

கொள்கை, ஆணையிடும் வீரர்கள், மிகவும் "எச்சரிக்கையான" அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமக்ஸ் உத்திகள் தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது minimax இன் கொள்கை. ஒவ்வொரு வீரரும் எதிரிகளின் இலக்குக்கு எதிரிடையான இலக்கை அடைய முற்படுவதற்கான நியாயமான ஊகத்தை இந்த கொள்கை பின்வருமாறு பின்பற்றுகிறது.

வீரர் தனது செயல்களைத் தேர்ந்தெடுப்பார், எதிரி சாதகமற்ற செயல்களைச் செய்வார் என்று கருதுகிறார், I.E. "தீங்கு" முயற்சிக்கும்.

இழப்பு செயல்பாடு

இழப்பு செயல்பாடு - புள்ளிவிவர தீர்வுகளின் கோட்பாட்டில் கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட தவறான முடிவெடுக்கும் இழப்பீட்டுத் தன்மையைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு. குறுக்கீட்டின் பின்னணியில் சமிக்ஞை அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்கான பணியானது தீர்ந்துவிட்டால், இழப்பு செயல்பாடு இடையே உள்ள முரண்பாடுகளின் அளவாகும் உண்மையான அர்த்தம் மதிப்பிடப்பட்ட அளவுரு மற்றும் அளவுரு மதிப்பீடு

உகந்த கலப்பு வீரர் மூலோபாயம் - இது குறிப்பிட்ட சாத்தியக்கூறுகளுடன் அதே நிலைமைகளில் விளையாட்டை மீண்டும் செய்வதில் அதன் சுத்தமான உத்திகளின் முழுமையான தொகுப்பு ஆகும்.

வீரர் கலவையான மூலோபாயம் குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுடன் அதே நிலைமைகளில் விளையாட்டை மீண்டும் மீண்டும் அதன் நிகர உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான முழுமையான தொகுப்பு ஆகும்.

1. சரத்தின் அனைத்து கூறுகளும் இன்னொரு வரியின் கூடுதல் பொருட்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், மூல சரம் கட்டண மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நீக்கப்படலாம். நெடுவரிசைகளைப் போலவே.

2. விளையாட்டின் விலை ஒரே ஒரு ஆகும்.

கப்பல்துறை: 2 விலைகள் உள்ளன என்று நினைக்கிறேன் வி. மற்றும், ஒரு ஜோடி மீது அடைய மற்றும், அதன்படி, பின்னர்

3. கட்டணம் மேட்ரிக்ஸ் அனைத்து கூறுகளும் அதே எண்ணை சேர்க்கினால், உகந்த கலவையான உத்திகள் மாறாது, மற்றும் விளையாட்டின் விலை இந்த எண்ணினால் அதிகரிக்கும்.

கப்பல்துறை:
எங்கே

4. பணம் மேட்ரிக்ஸ் அனைத்து உறுப்புகளும் அதே எண்ணை பெருக்கினால், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்றால், இந்த எண்ணில் விளையாட்டு பெருக்கம், மற்றும் உகந்த உத்திகள் மாறாது.

SA பிளேயர் ஒரு கலப்பு மூலோபாயம் A1, A2, ..., நிகழ்தகவுகள் P1, P2, ...,,,,,, பிளேயர் உத்திகள் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அல்லது ஒரு சரம் SA \u003d (P1, P2, ..., PI, ..., PM) வடிவத்தில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன, இதேபோல் கலப்பு வீரர் உத்திகள், அல்லது, எஸ்.பி. (Q1, Q2, ..., qi, qi, ..., qn), அங்கு உத்திகள் தோற்றத்தின் நிகழ்தகவுகளின் தொகை 1 ஆகும்: சுத்தமான உத்திகள் கலப்பு ஒரு தனிப்பட்ட வழக்கு கருதப்படுகிறது மற்றும் ஒரு சரம் அமைக்க இது ஒரு சுத்தமான மூலோபாயம் ஒத்துள்ளது. குறைந்தபட்ச கோட்பாட்டின் அடிப்படையில், விளையாட்டின் உகந்த தீர்வு (அல்லது முடிவு) தீர்மானிக்கப்படுகிறது: இது உகந்த உத்திகள் S * A, S * B கலவையான பொது விஷயத்தில் ஒரு ஜோடி ஆகும், இது பின்வரும் சொத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது: ஒன்று வீரர்கள் அதன் உகந்த மூலோபாயத்தை வைத்திருக்கிறார்கள், பின்னர் இன்னொருவர் தனது இருந்து சாதகமாக பின்வாங்க முடியாது. உகந்த தீர்வுக்கு தொடர்புடைய வெற்றிகள் விளையாட்டு V இன் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. விளையாட்டு விலை சமத்துவமின்மை திருப்தி:? ? வி? ? (3.5) எங்கே? மற்றும்? - குறைந்த மற்றும் மேல் விளையாட்டு விலை. விளையாட்டு கோட்பாட்டின் பின்வரும் அடிப்படை தேற்றம் Neuman தேற்றம் ஆகும். ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டு உள்ளது குறைந்தபட்சம் ஒரு உகந்த தீர்வு மத்தியில் இருக்கலாம் கலப்பு உத்திகள். S * a \u003d (p * 1, p * 2, ..., p * i, ..., p * m) மற்றும் s * b \u003d (q * 1, q * 2, ..., q * நான், ..., q * n) - ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகள். நிகர மூலோபாயம் ஒரு பூஜ்ய நிகழ்தகவு கொண்ட உகந்த கலவையான மூலோபாயத்தில் நுழைந்தால், அது செயலில் அழைக்கப்படுகிறது. செயலில் மூலோபாயம் தேற்றம் செல்லுபடியாகும்: வீரர்கள் ஒரு உகந்த கலவையான மூலோபாயத்தை பின்பற்றினால், இரண்டாவது வீரர் அதன் செயலில் உத்திகளுக்கு அப்பால் செல்லாவிட்டால், விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக மாறாமல் இருக்கிறார். இந்த கோட்பாடு பெரும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது - இது ஒரு சேணம் புள்ளியின் இல்லாத நிலையில் உகந்த உத்திகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் கொடுக்கிறது. இறுதி விளையாட்டு எளிய வழக்கு இது 2 × 2 விளையாட்டு அளவு கருதுகின்றனர். அத்தகைய விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி இருந்தால், உகந்த தீர்வு இந்த புள்ளியில் தொடர்புடைய தூய உத்திகள் ஒரு ஜோடி ஆகும். விளையாட்டு கோட்பாட்டின் முக்கிய கோட்பாட்டிற்கு இணங்க, எந்த சேணம் புள்ளி இல்லை இதில் விளையாட்டு, உகந்த தீர்வு மற்றும் ஒரு ஜோடி கலப்பு உத்திகள் S * a \u003d (P * 1, P * 2) மற்றும் S * ஒரு ஜோடி தீர்மானிக்கப்படுகிறது. B \u003d (q * 1, q * 2). அவர்களை கண்டுபிடிப்பதற்காக, நாம் உண்மையான மூலோபாயம் தேற்றத்தை பயன்படுத்துகிறோம். வீரர் மற்றும் அவரது உகந்த மூலோபாயம் கள் வைத்திருக்கும் என்றால், பின்னர் அவரது சராசரி வெற்றிகள் விளையாட்டு V விலையில் சமமாக இருக்கும் என்றால், வீரர் V க்கு செயலில் மூலோபாயம் 2 × 2 விளையாடுவதற்கு எந்த தூய எதிரி மூலோபாயம் செயலில் உள்ளது சேணம் புள்ளி. Win Player A (Player Losit) - சீரற்ற மதிப்பு, எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு (சராசரி மதிப்பு) இது விளையாட்டின் விலை ஆகும். எனவே, சராசரி வீரர் வெற்றி ஒரு (உகந்த மூலோபாயம்) V மற்றும் 1st க்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும் 2 வது எதிரி மூலோபாயம். சராசரியாக வீரரின் வெற்றியின் கட்டண மேட்ரிக்ஸால் ஆனது, இது உகந்த கலவையான மூலோபாயத்தை பயன்படுத்தினால், தூய மூலோபாய மூலோபாயத்தில் உள்ள வீரர் (இது பணம் மேட்ரிக்ஸ் பி 1 வது பத்தியில் பொருந்துகிறது) விளையாட்டு வி: A11 P * 1 + A21 P * 2 \u003d v. 2 வது வீரர் ஒரு B2 மூலோபாயம் பொருந்தும் என்றால் அதே சராசரி ஆதாயம் ஒரு வீரர் பெறுகிறது, i.e. A12 P * 1 + A22 P * 2 \u003d V. P * 1 + p * 2 \u003d 1 என்று கருதுகிறோம், உகந்த மூலோபாயத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பைப் பெறுகிறோம். இந்த முறையைத் தீர்ப்பதற்கு (3.6) இந்த அமைப்பை தீர்க்கும் போது, \u200b\u200bஉகந்த மூலோபாயம் (3.7) விளையாட்டு விலை (3.8) எஸ்.வி. * - உகந்த பிளேயரின் மூலோபாயத்தை கண்டுபிடிக்கும் போது செயலில் உத்திகள் பற்றி தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது, நாங்கள் வீரர் A (A1 அல்லது A2) எந்த சுத்தமான மூலோபாயத்துடன், சராசரி வீரர் இழப்பு விலைக்கு சமமாக உள்ளது விளையாட்டு வி, அதாவது (3.9) உகந்த மூலோபாயம் சூத்திரங்கள் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: (3.10)

பொருளாதாரம் கணித முறைகள் மற்றும் மாதிரிகள்

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு

அறிமுகம்

பொருளாதார நடைமுறையில், பல்வேறு பக்கங்களிலும் பல்வேறு இலக்குகளைத் தொடரும் சூழ்நிலைகள் பெரும்பாலும் உள்ளன. உதாரணமாக, விற்பனையாளர் மற்றும் வாங்குபவர், சப்ளையர் மற்றும் நுகர்வோர், வங்கி மற்றும் பங்களிப்பாளருக்கு இடையேயான உறவு. இத்தகைய மோதல்கள் சூழ்நிலைகள் பொருளாதாரம் மட்டுமல்ல, மற்ற நடவடிக்கைகளில் எழுகின்றன. உதாரணமாக, செஸ், செக்கர்ஸ், டோமினோ, லோட்டோ, முதலியன விளையாடும் போது

விளையாட்டு- இது கணித மாதிரி பல பயன்படுத்தி குறைந்தது இரண்டு நபர்கள் பங்கேற்பு மோதல் வெவ்வேறு வழிகள் உங்கள் இலக்குகளை அடைய. விளையாட்டு அழைக்கப்படுகிறது ஜோடி இரண்டு வீரர்கள் பங்கேற்க என்றால். விளையாட்டு அழைக்கப்படுகிறது முரண்பாடு ஒரு வீரரின் வெற்றி மற்றொரு இழப்புக்கு சமமாக இருந்தால். எனவே, விளையாட்டு பணி, அது பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் ஒரு வீரர் வெற்றி மதிப்புகள் குறிப்பிட போதும்.

தற்போதைய சூழ்நிலையைப் பொறுத்து வீரர்களின் நடவடிக்கை எடுப்பது அழைக்கப்படுகிறது மூலோபாயம். ஒவ்வொரு வீரரும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான உத்திகள் உள்ளன. நிச்சயமாக உத்திகள் எண்ணிக்கை என்றால், விளையாட்டு அழைக்கப்படுகிறது இறுதியாக இல்லையெனில் - எல்லையற்ற . உத்திகள் அழைக்கப்படுகின்றன சுத்தமான வீரர்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரே ஒரு மூலோபாயம் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டால், தோராயமாக அல்ல.

விளையாட்டு தீர்ப்பதுதிருப்திகரமான ஒரு மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுப்பதில் பொய்கள் உள்ளன உகந்த நிலை. இந்த நிலை ஒரு வீரர் பெறுகிறார் அதிகபட்ச வெற்றி, இரண்டாவது அதன் மூலோபாயத்தை பின்பற்றுகிறது என்றால். மற்றும் நேர்மாறாக, இரண்டாவது வீரர் பெறுகிறார் குறைந்தபட்ச இழப்பு, வீரர்கள் முதல் அதன் மூலோபாயம் வைத்திருந்தால். இத்தகைய உத்திகள் அழைக்கப்படுகின்றன உகந்த . இந்த வழியில், விளையாட்டின் இலக்கு ஒவ்வொரு வீரருக்கும் உகந்த மூலோபாயத்தின் வரையறை ஆகும்.

சுத்தமான மூலோபாயம் விளையாட்டு

இரண்டு வீரர்களுடன் விளையாட்டை கவனியுங்கள் ஆனாலும் மற்றும் உள்ளேஒரு வீரர் என்று நினைக்கிறேன் ஆனாலும்அது உள்ளது எம்.உத்திகள் ஒரு 1, மற்றும் 2, ..., மற்றும் மீ, ஒரு வீரர் உள்ளஅது உள்ளது என்உத்திகள் B 1, b 2, ..., b n.ஒரு வீரரின் தேர்வு என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் ஆனாலும்மூலோபாயம் நான்,ஒரு வீரர் உள்ளமூலோபாயம் பி ஜே.நிச்சயமாக விளையாட்டு விளைவு தீர்மானிக்கிறது, i.e. வெற்றி ஒரு IJ.ஆட்டக்காரர் ஆனாலும்மற்றும் வெற்றி B ij.ஆட்டக்காரர் உள்ளேஇங்கே i \u003d 1,2, ..., m, j \u003d 1,2, ..., n.

இரண்டு வீரர்கள் எளிய விளையாட்டு ஒரு விரோதமான விளையாட்டு ஆகும் , அந்த. வீரர்கள் நலன்களை நேரடியாக எதிர்க்கும் விளையாட்டு இதில் விளையாட்டு. இந்த வழக்கில், வீரர்கள் வெற்றி சமத்துவத்துடன் தொடர்புடையவர்கள்.

b ij \u003d -a ij.

இந்த சமத்துவம் என்பது வீரர்களில் ஒருவரை வென்றது மற்றொரு இழப்புக்கு சமமாக உள்ளது. இந்த விஷயத்தில், ஒரு வீரர் ஒரு வீரர் ஒரு வெற்றி மட்டுமே கருத்தில் போதும், உதாரணமாக, ஒரு வீரர் ஆனாலும்.

ஒவ்வொரு ஜோடி உத்திகள் ஒரு I.மற்றும் பி ஜே.வெற்றி பெற ஒத்துள்ளது ஒரு IJ.ஆட்டக்காரர் ஆனாலும்.இந்த வெற்றிகள் அனைத்தும் அழைக்கப்படும் வடிவத்தில் வசதியாக பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன கட்டணம் மேட்ரிக்ஸ்

இந்த மேட்ரிக்ஸ் சந்திப்பு வீரர் உத்திகள் வரிகள் ஆனாலும்,மற்றும் பத்திகள் - வீரர் உத்திகள் உள்ளேபொதுவாக, இந்த விளையாட்டு அழைக்கப்படுகிறது (M × n) -game.

உதாரணம் 1.இரண்டு வீரர்கள் ஆனாலும் மற்றும் உள்ளஒரு நாணயம் எறியுங்கள். நாணயத்தின் பக்கமாக இருந்தால், வெற்றி பெற்றால் ஆனாலும். ஆட்டக்காரர் உள்ளவீரர் செலுத்துகிறார். ஆனாலும்சில அளவு 1 சமமாக, மற்றும் அவர்கள் இணைந்தால், வீரர் வெற்றி, i.e. மாறாக, வீரர் ஆனாலும்வீரர் செலுத்துகிறார். உள்ளஅதே அளவு , சம 1. கட்டண மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவதற்கு.

முடிவு.பணியின் நிபந்தனையின் கீழ்

வீரர்களின் உகந்த நிகர உத்திகள் ஒரு கட்டாய அலகு p i \u003d 1, q i \u003d 1. உதாரணமாக: பி (1.0), q (1.0). இங்கே p 1 \u003d 1, q 1 \u003d 1.

பணி 1.
கட்டணம் மேட்ரிக்ஸ் மூலம், கடுமையான மேலாதிக்கத்தின் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி உகந்த சுத்தமான மூலோபாயங்களைக் கண்டறியவும். வெக்டார்கள் p *, q * எரிக்க ஒரு பதில் என.

அனைத்து பணிகளும் ஒரு கால்குலேட்டர் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுடன் தீர்க்கப்படுகின்றன.

அதன் அதிகபட்ச வெற்றியைப் பெறுவதற்கான அதன் மூலோபாயத்தை நான் தேர்ந்தெடுப்பதாக வீரர் நம்புகிறோம், மற்றும் வீரர் II வீரர் வெற்றியை குறைக்க அதன் மூலோபாயத்தை தேர்வு செய்கிறார்.

p 1 \u003d 1.
p 2 \u003d 0.
விலை விளையாட்டு, y \u003d 1.
இப்போது நீங்கள் ஒரு வீரரின் மினிமக்ஸ் மூலோபாயத்தைக் காணலாம், இதே போன்ற சமன்பாடுகளை எழுதுதல்
q 1 \u003d 1.
q 1 + q 2 \u003d 1.
இந்த அமைப்பை தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்:
q 1 \u003d 1.
பதில்:
விளையாட்டு விலை: Y \u003d 1, வீரர் வியூகம் வெக்டார்கள்:
கே (1, 0), ப (1, 0)

ΣA ij q j ≤ v.
Σa ij p i ≥ v.
M (p 1; q) \u003d (1 1) + (2 0) \u003d 1 \u003d v
M (p 2; q) \u003d (-2 1) + (-2 0) \u003d -2 ≤ v
M (p; q 1) \u003d (1 1) + (-2 0) \u003d 1 \u003d v
M (p; q 2) \u003d (2 1) + (-2 0) \u003d 2 ≥ v

அசல் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் அகற்றப்பட்டதால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு வெக்டர்கள் எழுதப்படலாம்:
பி (1,0,0,0)
Q (0,1,0,0)

பணி 2.
விளையாட்டு கீழே மற்றும் மேல் விலை கண்டுபிடிக்க பணம் மேட்ரிக்ஸ் மீது. ஒரு சேணம் புள்ளி இருந்தால், உகந்த சுத்திகரிப்பு உத்திகள் p *, q * இன் வெக்டர்களை எழுதுங்கள்.

பணி 3.
கட்டண மேட்ரிக்ஸ் மீது, உகந்த உத்திகள் p *, q * மற்றும் விளையாட்டின் விலை ஆகியவற்றைக் கண்டறிவது. எந்த வீரர்கள் வெற்றி பெறுகிறார்கள்?

Maximine உகந்த பிளேயரின் மூலோபாயம் ஒரு புள்ளி n க்கு பொருந்துகிறது, இதன் மூலம் நீங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளை எழுதலாம்:
p 1 \u003d 0.
p 2 \u003d 1.
விளையாட்டு விலை, Y \u003d -2.
இப்போது வீரரின் மினிமோக்ஸ் மூலோபாயத்தை நீங்கள் காணலாம், பொருள்களின் பொருத்தமான முறையை எழுதுவதன் மூலம், மூலோபாய பி 1, b 3, B 4 ஐ நீக்குவதன் மூலம், இது பிளேயர் பி ஒரு தெளிவாக பெரிய இழப்பு கொடுக்கிறது, எனவே, எனவே, Q 1 \u003d 0, Q 3 \u003d 0, q 4 \u003d 0.
-2Q 2 \u003d -2.
q 2 \u003d 1.
இந்த அமைப்பை தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்:
q 2 \u003d 1.
பதில்:
விளையாட்டு விலை: Y \u003d -2, வீரர் வியூகம் வெக்டார்கள்:
கே (0, 1, 0, 0), ப (0, 1)
4. மூலோபாய உகப்பியல் அளவுகோலின் உதவியுடன் விளையாட்டின் சரியானதை சரிபார்க்கவும்.
ΣA ij q j ≤ v.
Σa ij p i ≥ v.
M (p 1; q) \u003d (-6 0) + (-6 1) + (2 0) + (4 0) + (4 0) \u003d -6 ≤ v
M (p 2; q) \u003d (2 0) + (-2 1) + (7 0) + (-1 0) \u003d (-1 0) \u003d -2 \u003d வி
M (p; q 1) \u003d (-6 0) + (2 1) \u003d 2 ≥ v
M (p; q 2) \u003d (-6 0) + (-21) \u003d -2 \u003d v
M (p; q 3) \u003d (2 0) + (7 1) \u003d 7 ≥ v
M (p; q 4) \u003d (4 0) + (-1 1) \u003d -1 ≥ v
அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் சமத்துவம் அல்லது கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளாக நிகழ்கின்றன, எனவே, விளையாட்டின் தீர்வு உண்மைதான்.

பணி 4.
கேள்விக்கு ஒரு விரிவான பதிலை கொடுங்கள்

நான் இயற்பியல்-தொழில்நுட்ப ஆசிரியரை முடித்தபோதிலும், பல்கலைக்கழகத்தின் விளையாட்டுகளின் கோட்பாட்டைப் படிக்கவில்லை. ஆனால் நான் உள்ளே இருக்கிறேன் மாணவர் ஆண்டுகள் நான் முன்னுரிமை முதல் நிறைய நடித்தார், பின்னர் பாலம், நான் விளையாட்டுகள் தியரி ஆர்வமாக இருந்தது, நான் ஒரு சிறிய பயிற்சி மாஸ்டர். சமீபத்தில் விளையாட்டின் தத்துவத்தின் பணியைத் தீர்ப்பதற்கு Mikhail இன் வாசகர். நான் பணி எனக்கு வழங்கப்படவில்லை என்று உணர்ந்தேன், நான் விளையாட்டுகள் தியரி என் அறிவு புதுப்பிக்க முடிவு. நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய புத்தகத்தை வழங்குகிறேன் - விளையாட்டு கோட்பாட்டின் ஒரு பிரபலமான அறிக்கை மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் கேம்களை தீர்க்க சில வழிகளில் ஒரு பிரபலமான அறிக்கை. இது கிட்டத்தட்ட ஆதாரங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளின் முக்கிய விதிகளை விளக்குகிறது. புத்தகம் ஒரு கணிதவியலாளர் மற்றும் பிரபலமான எலெனா செர்வேவ்னா வென்டேஸை எழுதினார். சோவியத் பொறியியலாளர்களின் பல தலைமுறைகள் அதன் பாடநூல் "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" மீது ஆய்வு செய்தன. Elena Sergeevna மேலும் பல இலக்கிய படைப்புகளை புனைப்பெயர் I. Grekov எழுதினார்.

எலெனா வென்டெல். விளையாட்டு கோட்பாட்டின் கூறுகள். - எம்: Fizmatgiz, 1961. - 68 ப.

பதிவிறக்க Tamil குறுகிய சுருக்கம் வடிவம் அல்லது

§ 1. விளையாட்டு கோட்பாட்டின் பொருள். அடிப்படை கருத்துகள்

பல நடைமுறை பணிகளைத் தீர்க்கும் போது (பொருளாதாரம், இராணுவ வழக்கு, முதலியன) தீர்க்கும் போது, \u200b\u200bஇரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) போர்க்களக் கட்சிகள், எதிரெதிர் இலக்குகளைத் தொடரவும், ஒவ்வொரு நிகழ்வின் விளைவாகவும் இருக்கும் சூழ்நிலையை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும் கட்சிகளில் ஒன்று நடவடிக்கை எடுக்கும் படத்தை ஒரு எதிர்ப்பாளரைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது என்பதைப் பொறுத்தது. இத்தகைய சூழ்நிலைகளை "மோதல் சூழ்நிலைகளுக்கு" நாங்கள் அழைக்கிறோம்.

மோதல் சூழ்நிலைகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் பல்வேறு பயிற்சியாளர்களிடமிருந்து பெறப்படலாம். போராட்டங்கள் போது எழும் எந்த சூழ்நிலையிலும் மோதல் சூழ்நிலைகளுக்கு சொந்தமானது: ஒவ்வொரு சண்டை கட்சிகளும் வெற்றியை அடைய எதிரிகளைத் தடுக்க ஒவ்வொரு நடவடிக்கைகளையும் எடுக்கும். இராணுவ நடவடிக்கைகளைத் திட்டமிடுகையில், இராணுவ நடவடிக்கைகளைத் திட்டமிடுகையில், இராணுவ நடவடிக்கைகளைத் திட்டமிடுகையில், இராணுவ நடவடிக்கைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் இருந்து எழும் சூழ்நிலைகள் மற்றும் பொதுவாக, இந்த பகுதியில் உள்ள தீர்வுகள் எதிரிகளின் குறைந்த பயன்மிக்க நடவடிக்கைகளில் கணக்கில் எடுக்கப்பட வேண்டும். பொருளாதாரம் துறையில் பல சூழ்நிலைகளில் (குறிப்பாக இலவச போட்டியின் முன்னிலையில்) மோதல் சூழ்நிலைகளுக்கு சொந்தமானது; போராடும் கட்சிகளின் பாத்திரத்தில் வர்த்தக நிறுவனங்கள், தொழில்துறை நிறுவனங்கள், முதலியன.

இத்தகைய சூழ்நிலைகளை ஆய்வு செய்ய வேண்டிய அவசியம் ஒரு சிறப்பு கணித இயந்திரத்தை வாழ்க்கைக்கு ஏற்படுத்தியது. விளையாட்டுகள் கோட்பாடு அடிப்படையில் முரண்பாடான சூழ்நிலைகளில் ஒரு கணித கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் எதுவும் இல்லை. கோட்பாட்டின் குறிக்கோள் மோதல் சூழ்நிலையில் ஒவ்வொரு எதிர்ப்பாளர்களின் பகுத்தறிவு நடவடிக்கையின் மீதான பரிந்துரைகளின் வளர்ச்சி ஆகும். மோதல் நிலைமை நடைமுறையில் இருந்து நேரடியாக எடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு சிக்கலானது, அதன் பகுப்பாய்வு பல அணுகுமுறைகளால் பாதிக்கப்படும். நிலைமையை ஒரு சாத்தியமான கணித பகுப்பாய்வு செய்ய, இரண்டாம் நிலை இருந்து திசைதிருப்ப வேண்டும், காரணிகளை கொண்டு, ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட, முறையான சூழ்நிலையை உருவாக்க வேண்டும். நாம் ஒரு மாதிரி "விளையாட்டு" என்று அழைக்கிறோம்.

உண்மையான மோதல் நிலைமை இருந்து, விளையாட்டு மிகவும் திட்டவட்டமான விதிகள் படி நடத்தப்படுகிறது என்று உண்மையில் வகைப்படுத்தப்படும். மனிதகுல நீண்டகாலமாக முரண்பாடான மாதிரிகள் போன்ற வார்த்தைகளின் அர்த்தமுள்ள சூழ்நிலைகளில் நீண்டகாலமாக பயன்படுத்துகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் சதுரங்கம், செக்கர்ஸ், கார்டு கேம்களுக்கு சேவை செய்யலாம். இந்த விளையாட்டுகள் அனைத்தும் நன்கு அறியப்பட்ட விதிகள் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வீரரின் "வெற்றி" (வெற்றி) ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் பாய்கிறது போட்டியின் தன்மை ஆகும்.

இத்தகைய முறையாக ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட, செயற்கையாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட விளையாட்டுகள் மிகவும் உள்ளன பொருத்தமான பொருள் விளையாட்டு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்தாக்கங்களை விளக்கவும் மற்றும் மாஸ்டர் செய்யவும். இத்தகைய விளையாட்டுகளின் நடைமுறையில் இருந்து கடனளித்தல், பொருந்தும் மற்றும் பிற மோதல்களின் சூழ்நிலைகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது: அவற்றில் சம்பந்தப்பட்ட கட்சிகள் நிபந்தனைகளாக "வீரர்கள்" என குறிப்பிடப்படுகின்றன, மற்றும் மோதலின் விளைவாக "வெற்றிபெறும்" கட்சிகளில் ஒன்று "வெற்றி பெற்றது" ஆகும்.

விளையாட்டு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எதிரிகளை எதிர்கொள்ள இருக்கலாம்; முதல் வழக்கில், விளையாட்டு "ஜோடி" என்று அழைக்கப்படுகிறது, இரண்டாவது - "பல". பல விளையாட்டு பங்கேற்பாளர்கள் அதன் படிப்பில் கூட்டணிகளை உருவாக்கலாம் - நிரந்தர அல்லது தற்காலிக. இரண்டு நிரந்தர கூட்டணிகள் இருந்தால், பல விளையாட்டு ஜோடிக்கு ஈர்க்கிறது. மிகப்பெரிய நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளையாட்டுகள் ஜோடியாக உள்ளன; இங்கே நாம் போன்ற விளையாட்டுகள் கருத்தில் நம்மை கட்டுப்படுத்துவோம்.

சில அடிப்படை கருத்தாக்கங்களின் வார்த்தைகளுடன் விளையாட்டுகளின் அடிப்படை கோட்பாட்டின் விளக்கத்தை ஆரம்பிக்கலாம். இரண்டு வீரர்கள் ஏ மற்றும் பி எதிர் நலன்களைக் கொண்ட இரண்டு வீரர்களைப் பரிசீலிப்போம். "விளையாட்டு" கீழ் நாம் கட்சிகளின் A மற்றும் V ஆகியவற்றின் பல நடவடிக்கைகளை உள்ளடக்கிய நிகழ்வைப் புரிந்துகொள்வோம், விளையாட்டின் கணக்குகள் கணித பகுப்பாய்வுக்கு உட்படுத்தப்பட வேண்டும், விளையாட்டின் விதிகள் துல்லியமாக வடிவமைக்கப்பட வேண்டும். "விளையாட்டின் விதிகள்" கீழ், இரு கட்சிகளின் நடவடிக்கைக்கும் சாத்தியமான விருப்பங்களை ஒழுங்குபடுத்தும் நிலைமைகளின் ஒரு முறை, மற்றொரு நடத்தை ஒவ்வொரு பக்கத்தின் தகவலும், "நகர்வுகள்" மாற்றத்தின் வரிசை (எடுக்கப்பட்ட தனிப்பட்ட முடிவுகள் எடுக்கப்பட்டது விளையாட்டு செயல்முறை), அதே போல் இந்த நகர்வுகள் ஒரு தொகுப்பு எந்த விளையாட்டின் விளைவாக அல்லது விளைவு. இந்த முடிவு (வெற்றி அல்லது இழப்பு) எப்போதும் ஒரு அளவு வெளிப்பாடு இல்லை, ஆனால் பொதுவாக நீங்கள், சில அளவீட்டு அளவு அமைக்க முடியும், அதை வெளிப்படுத்த ஒரு குறிப்பிட்ட எண். உதாரணமாக, ஒரு சதுரங்கம் விளையாட்டில், வெற்றி பெற்றது +1, இழப்பு -1 க்கு உட்பட்டதாக இருக்கலாம், 0 வரையலாம்.

ஒரு வீரர் மற்ற இழந்து, i.e. என்ன வெற்றி என்றால் விளையாட்டு ஒரு பூஜ்யம் அளவு விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரு தரப்பினரும் வெற்றி பெற்ற தொகை பூஜ்ஜியமாகும். பூஜ்ய தொகையில், வீரர்களின் நலன்களை நேரடியாக எதிரொலிக்கின்றது. இங்கே நாம் போன்ற விளையாட்டுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

வீரர்கள் ஒரு வெற்றி ஒரு பூஜ்யம் தொகை விளையாட்டில் இருந்து மற்ற சமமாக உள்ளது எதிர்மறையானது, வெளிப்படையாக, அத்தகைய ஒரு விளையாட்டை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, \u200b\u200bநீங்கள் வீரர்களில் ஒருவரை மட்டுமே வென்றெடுக்கலாம். உதாரணமாக, வீரர் ஏ, எதிர்காலத்தில், நாம் பக்கத்தின் வசதிக்காக இருக்கிறோம், நாங்கள் மரபுவழியாக இருக்கிறோம், நாங்கள் "நாங்கள்" என்று அழைக்கிறோம், மற்றும் எதிரியின் பக்கமாக அழைக்கிறோம்.

அதே நேரத்தில், பக்க ஒரு ("நாங்கள்") எப்பொழுதும் "வெற்றி" என்று கருதப்படுவார்கள், "எதிர்ப்பாளர்") "இழப்பீடு" என்று கருதப்படும். இந்த முறையான நிலை, வெளிப்படையாக, முதல் வீரருக்கு எந்த உண்மையான நன்மையையும் அர்த்தப்படுத்துவதில்லை; வெற்றி அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறிவிட்டால், எதிர்மறையானதாக மாற்றப்படுவதைப் பார்ப்பது எளிது.

காலப்போக்கில் விளையாட்டின் வளர்ச்சி நாம் தொடர்ச்சியான நிலைகளையோ அல்லது "நகர்வுகளையோ" கொண்டிருக்க வேண்டும். விளையாட்டுகளின் கோட்பாட்டின் நகர்வானது விருப்பங்களின் விதிகளின் விதிகளின் விருப்பங்களில் ஒன்றின் தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நகர்வுகள் தனிப்பட்ட மற்றும் சீரற்ற முறையில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை இந்த சூழ்நிலையில் சாத்தியமான நகர்வுகள் ஒன்றில் வீரர்கள் ஒரு நனவான தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை ஒரு உதாரணம் - ஒரு சதுரங்கம் விளையாட்டு நகரும் எந்த. மற்றொரு நடவடிக்கையைச் செய்வதன் மூலம், வீரர் குழுவில் புள்ளிவிவரங்கள் இந்த இடத்தில் சாத்தியமான விருப்பங்களை ஒரு நனவான தேர்வு செய்கிறது. ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட முன்னேற்றத்திற்கும் சாத்தியமான விருப்பங்களின் தொகுப்பு விளையாட்டின் விதிகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்டு இரு கட்சிகளின் முந்தைய நகர்வுகளின் முழு மொத்தத்தையும் சார்ந்துள்ளது.

சீரற்ற முன்னேற்றம் என்பது பல வாய்ப்புகளிலிருந்து ஒரு தேர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒரு வீரரின் முடிவை எடுக்கவில்லை, ஆனால் எந்த சீரற்ற தேர்வு முறையால் (நாணயங்கள் எறிந்து, எலும்புகள், டஸ்டோவா மற்றும் வரைபடங்களின் விநியோகங்கள் போன்றவை. உதாரணமாக, முன்னுரிமையில் உள்ள வீரர்களில் ஒருவரான முதல் அட்டை 32 சமமான விருப்பங்களுடன் ஒரு சீரற்ற போக்கைக் கொண்டுள்ளது. விளையாட்டு கணித ரீதியாக வரையறுக்கப்பட வேண்டும், விளையாட்டு விதிகள் ஒவ்வொரு தற்செயலான பக்கவாதம் சாத்தியமான விளைவுகளை நிகழ்தகவுகளை விநியோகம் குறிக்க வேண்டும்.

சில விளையாட்டுகள் மட்டுமே சீரற்ற நகர்வுகள் (தூய சூதாட்டம் என்று அழைக்கப்படும்) அல்லது தனிப்பட்ட நகர்வுகள் (சதுரங்கம், செக்கர்ஸ்) ஆகியவற்றிலிருந்து மட்டுமே இருக்க முடியும். மிக அதிகமாக சீட்டாட்டம் விளையாட்டுகள் சொந்தமானது கலப்பு வகை. சீரற்ற மற்றும் தனிப்பட்ட நகர்வுகள் இரண்டும் உள்ளன.

விளையாட்டுகள் நகர்வுகள் (தனிப்பட்ட, சீரற்றவை) இயற்கையின் மூலம் மட்டுமல்லாமல், இயற்கையிலும், ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் கிடைக்கக்கூடிய தகவல்களால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. விளையாட்டுகள் சிறப்பு வர்க்கம் என்று அழைக்கப்படும் "விளையாட்டுகள் முழுமையான தகவல்" முழு தகவலுடன் விளையாட்டு ஒவ்வொரு வீரரும் ஒவ்வொரு நபரும் தனிப்பட்ட மற்றும் சீரற்ற இருவரும் முந்தைய நகர்வுகளின் முடிவுகளை அறிந்திருக்கிறார்கள். முழு தகவல் விளையாட்டுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் சதுரங்கம், செக்கர்ஸ் மற்றும் பிரபலமான விளையாட்டு "குறுக்கு மற்றும் நோலிகி" ஆகியவற்றை வழங்கலாம்.

நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளையாட்டுகளில் பெரும்பாலானவை முழு தகவல்களுடன் விளையாட்டுகளின் வர்க்கத்தை சேர்ந்தவை அல்ல, எதிரிகளின் செயல்களைப் பற்றிய தெரியாத தன்மை பொதுவாக மோதல் சூழ்நிலைகளில் குறிப்பிடத்தக்க அம்சமாகும்.

விளையாட்டு கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்தாக்கங்களில் ஒன்று "மூலோபாயத்தின்" கருத்தாகும். வீரர் மூலோபாயம் இந்த வீரர் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட முன்னேற்றத்தையும் தீர்மானிக்கும் விதிகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது விளையாட்டின் செயல்பாட்டில் நிலைமையைப் பொறுத்து. வழக்கமாக, ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட முன்னேற்றத்திற்கும் தீர்வு (சாய்ஸ்) தற்போதைய குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையைப் பொறுத்து, விளையாட்டின் போது வீரர் மூலம் எடுக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், கோட்பாட்டளவில் மாறவில்லை என்றால், இந்த முடிவுகளை முன்கூட்டியே வீரர் மூலம் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவதை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இதற்காக, வீரர் விளையாட்டின் போக்கில் அனைத்து சூழ்நிலைகளிலும் ஒரு பட்டியலை உருவாக்க வேண்டும் மற்றும் ஒவ்வொருவருக்கும் வழங்க வேண்டும். கொள்கை அடிப்படையில் (நடைமுறையில் இல்லை என்றால்) இது எந்த விளையாட்டிற்கும் சாத்தியமாகும். அத்தகைய தீர்வு அமைப்பு ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால், வீரர் ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுத்துள்ளார் என்று அர்த்தம்.

மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுத்த வீரர் இப்போது தனிப்பட்ட முறையில் விளையாட்டில் பங்கேற்கக்கூடாது, ஆனால் அவருக்கு எந்தவொரு அக்கறையற்ற நபருக்கும் (நீதிபதியை) பொருந்தும் விதிகளின் பட்டியலுக்கு தனது பங்கை மாற்றலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட திட்டத்தின் வடிவில் ஒரு இயந்திர இயந்திரத்தை மூலோபாயம் கேட்கலாம். இது தற்போது EMM செஸ்ஸில் விளையாடியது. "மூலோபாயம்" என்ற கருத்தை அர்த்தமுள்ளதாக, தனிப்பட்ட நகர்வுகளின் விளையாட்டில் இருப்பது அவசியம்; ஒரு சீரற்ற நகர்வுகள் கொண்ட விளையாட்டுகளில், எந்த உத்திகளும் இல்லை.

சாத்தியமான உத்திகள் எண்ணிக்கை பொறுத்து, விளையாட்டு "இறுதி" மற்றும் "முடிவற்ற" பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அல்டிமேட் ஒவ்வொரு வீரரும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மூலோபாயங்களை மட்டுமே கொண்டுள்ள விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வீரர் ஒரு உள்ளது இதில் இறுதி விளையாட்டு எம். உத்திகள், மற்றும் ஒரு வீரர் உள்ள - என் MXN விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படும் உத்திகள்.

இரண்டு வீரர்கள் A மற்றும் B ("நாங்கள்" மற்றும் "எதிர்ப்பாளர்") MXN விளையாட்டை கவனியுங்கள். நாங்கள் எங்கள் உத்திகள் ஒரு 1, மற்றும் 2, ..., மற்றும் எதிரி மூலோபாயம் பி 1, 2, ... என். ஒவ்வொரு பக்கமும் ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தோம்; எங்களுக்கு, அது ஒரு நான் இருக்கும், எதிரி பி ஜே. விளையாட்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகள் மட்டுமே கொண்டுள்ளது என்றால், மூலோபாயங்கள் தேர்வு ஒரு நான், பி ஜே தனிப்பட்ட விளையாட்டு விளைவு நிர்ணயிக்கும் - எங்கள் வெற்றி. அவரை மற்றும் ij ஐ குறிக்கவும். விளையாட்டு கொண்டிருந்தால், தனிப்பட்ட, சீரற்ற நகர்வுகள் தவிர, அப்படியானால், உத்திகள் வென்ற ஜோடி, ஒரு சீரற்ற நகர்வுகளின் விளைவுகளைப் பொறுத்து ஒரு சீரற்ற மதிப்பு ஆகும். இந்த வழக்கில், எதிர்பார்த்த வெற்றிகரமாக இயற்கை மதிப்பீடு அதன் சராசரி மதிப்பு (கணித எதிர்பார்ப்பு) ஆகும். வெற்றிகரமாக உங்களை (சீரற்ற நகர்வுகள் இல்லாமல் விளையாட்டில்) மற்றும் அதன் சராசரி மதிப்பு (சீரற்ற நகர்வுகளுடன் விளையாட்டில்) அதே அடையாளத்தை குறிக்கும்.

ஒவ்வொரு ஜோடி உத்திகளுடனும் வெற்றி பெறும் IJ இன் மதிப்புகளை எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்துங்கள். மதிப்புகள் ஒரு செவ்வக அட்டவணையாக (மேட்ரிக்ஸ்) என எழுதப்படலாம் (ஒரு I), மற்றும் நெடுவரிசைகள் - எதிரி உத்திகள் (பி J) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய சரங்கள். அத்தகைய ஒரு அட்டவணை ஒரு கட்டணம் மேட்ரிக்ஸ் அல்லது ஒரு விளையாட்டு அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. MXN விளையாட்டு அணி படத்தில் வழங்கப்படுகிறது. ஒன்று.

படம். 1. மெட்ரிக் MXN.

சுருக்கமாக நாங்கள் விளையாட்டின் மேட்ரிக்ஸை குறிக்கும் ‖a ij ‖. விளையாட்டுகள் பல அடிப்படை உதாரணங்கள் கருதுகின்றனர்.

உதாரணம் 1. இரண்டு வீரர்கள் ஒரு மற்றும் உள்ளே, ஒருவருக்கொருவர் பார்த்து இல்லாமல், சின்னம் மீது மேஜை மீது மான் மீது மேஜையில் அல்லது ஒரு பரந்த, தங்கள் விருப்பப்படி. வீரர்கள் அதே பக்கங்களைத் தேர்ந்தெடுத்திருந்தால் (ஆயுதங்கள் அல்லது இருவரும் அவசர இரண்டும்), பின்னர் வீரர் மற்றும் இரு நாணயங்களையும் எடுக்கிறார்கள்; இல்லையெனில், அவர்களது வீரர் அவர்களை விளையாட்டு பகுப்பாய்வு செய்து ஒரு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறார். முடிவு. விளையாட்டு இரண்டு நகர்வுகள் மட்டுமே கொண்டுள்ளது: எங்கள் நடவடிக்கை மற்றும் தனிப்பட்ட இருவரும் எதிரி நடவடிக்கை. விளையாட்டு தனது வீரர் நிகழும் போது அவர் மற்றொரு செய்தது தெரியாது என்பதால் விளையாட்டு முழு தகவல்களுடன் விளையாட்டுகள் சொந்தமானது அல்ல. வீரர்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரே ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கையாக இருப்பதால், வீரரின் மூலோபாயம் ஒரே நேரத்தில் ஒரு தேர்வாகும்.

எங்களுக்கு இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: மற்றும் 1 - ஒரு முடிவை தேர்வு செய்ய - ஆயுதங்கள் மற்றும் 2 கோட் தேர்வு; எதிர்ப்பாளர் அதே இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: 1-ல் கோட் கைகள் மற்றும் 2 - அவசரத்தில். எனவே, இந்த விளையாட்டு 2 × 2 விளையாட்டு ஆகும். +1 க்கு நாணயங்களை வென்றோம். மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு:

இந்த விளையாட்டின் உதாரணத்தில், இது போன்ற அடிப்படை, நீங்கள் விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டின் சில அத்தியாவசிய கருத்துக்களை புரிந்து கொள்ள முடியும். இந்த விளையாட்டு ஒரே ஒரு முறை மட்டுமே செய்யப்படுகிறது என்று முதலில் நினைக்கிறேன். பின்னர், வெளிப்படையாக, வீரர்கள் எந்த "உத்திகள்" பற்றி பேச அர்த்தமற்றது, மற்றவர்களை விட நியாயமான. அதே தளத்துடன் வீரர்கள் ஒவ்வொன்றும் எந்த தீர்வையும் எடுக்கலாம். எனினும், விளையாட்டின் மறுபடியும் போது, \u200b\u200bநிலை மாறும் போது.

உண்மையில், நாம் (வீரர் அ) சில வகையான மூலோபாயம் (நாம் சொல்லலாம், 1) மற்றும் அதை கடைபிடிக்கிறோம் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம். பின்னர், முதல் சில நகர்வுகளின் முடிவுகளின் படி, எதிர்ப்பாளர் நமது மூலோபாயத்தைப் பற்றி யூகிக்கிறார் மற்றும் எங்களுக்கு குறைந்தபட்சம் சாதகமானதாக இருப்பார், i.e. ஒரு பிடியைத் தேர்வுசெய்யவும். சில ஒரு மூலோபாயத்தை எப்போதும் எப்போதும் பயன்படுத்துவதற்கு நாங்கள் தெளிவாகத் தகுதியற்றவர்கள்; இழப்பு இருக்க முடியாது பொருட்டு, நாம் சில நேரங்களில் கைகள் கோட் தேர்வு செய்ய வேண்டும், சில நேரங்களில் - ஒரு வைத்திருக்கும். எவ்வாறாயினும், சில குறிப்பிட்ட காட்சியில் கைகளால் கைகளால் கட்டப்பட்டு, ripes (உதாரணமாக, ஒரு பிறகு), எதிரி இந்த யூகிக்க முடியும் மற்றும் எங்களுக்கு மோசமான இந்த மூலோபாயம் பதிலளிக்க முடியும். வெளிப்படையாக, எதிரி எங்கள் மூலோபாயம் தெரியாது என்று உத்தரவாதம் என்று ஒரு பாதுகாப்பான வழி, ஒவ்வொரு முறையும் தெரிவு போன்ற ஒரு அமைப்பு இருக்கும், நாம் அதை தெரியாது போது (இது உறுதி செய்ய முடியும், உதாரணமாக, ஒரு நாணயம் எறிந்து). இதனால், நாம், உள்ளுணர்வு காரணம் மூலம், விளையாட்டு கோட்பாட்டின் அத்தியாவசிய கருத்தாக்கங்களில் ஒன்றை அணுகுங்கள் - ஒரு "கலப்பு மூலோபாயம்" என்ற கருத்துக்கு, i.e. இத்தகைய "தூய" உத்திகள் - இந்த வழக்கில், ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2 - சில அதிர்வெண்களுடன் தற்செயலாக மாற்று. இந்த எடுத்துக்காட்டில், சமச்சீர் பரிசீலனைகள் முன்கூட்டியே தெளிவாக உள்ளன, இது உத்திகள் ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2 அதே அதிர்வெண் மூலம் மாற்றியமைக்க வேண்டும்; மேலும் சிக்கலான விளையாட்டுகளில், இந்த முடிவை அற்பமானதாக இருக்கலாம்.

உதாரணம் 2. வீரர்கள் ஒரு மற்றும் இரண்டு எண்கள் இருவரும் ஒருவருக்கொருவர் சுதந்திரமாக: 1, 2 அல்லது 3. எழுதப்பட்ட எண்களின் தொகை கூட கூட, பின்னர் ரூபிள் இந்த அளவு செலுத்துகிறது; அது ஒரு ஒற்றைப்படை என்றால், பின்னர், மாறாக, மற்றும் இந்த அளவு செலுத்துகிறது. இது விளையாட்டு பகுப்பாய்வு மற்றும் ஒரு அணி செய்ய வேண்டும்.

முடிவு. விளையாட்டு இரண்டு நகர்வுகள் கொண்டுள்ளது; இருவரும் தனிப்பட்டவர்கள். நாங்கள் (அ) மூன்று உத்திகள்: ஒரு 1 - எழுது 1; மற்றும் 2 - 2 எழுதுங்கள்; மற்றும் 3 - எழுது 3. எதிர்ப்பாளர் (ஆ) அதே மூன்று உத்திகள் ஆகும். விளையாட்டு ஒரு 3 × 3 விளையாட்டு:

வெளிப்படையாக, முந்தைய வழக்கில் போலவே, எங்களால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எதிர்ப்பாளரின் எதிரி நமக்கு மிக மோசமான பதிலளிக்க முடியும். உண்மையில், நாம் தேர்வு செய்தால், உதாரணமாக, ஒரு மூலோபாயம் 1, எதிரி எப்போதும் 2 ல் ஒரு மூலோபாயத்திற்கு பதிலளிக்கும்; ஒரு மூலோபாயம் ஒரு 2 - 3 ல் மூலோபாயம்; 2 ல் ஒரு 3 மூலோபாயம் மூலோபாயம்; எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தின் எந்தத் தேர்வு தவிர்க்க முடியாமல் நம்மை இழப்புக்கு வழிவகுக்கும் (அவசியமில்லை, இருப்பினும், ஒரு எதிர்ப்பாளர் அதே சதி கூட அமைந்துள்ளது என்பதை மறந்து விடுங்கள்). இந்த விளையாட்டை தீர்ப்பது (i.e. செட் மிக உயர்ந்த உத்திகள் இரண்டு வீரர்கள்) § 5 இல் வழங்கப்படும்.

உதாரணம் 3.எங்கள் வசம் மூன்று வகையான ஆயுதங்கள் உள்ளன: 1, ஒரு 2, ஒரு 3; எதிர்ப்பாளருக்கு மூன்று வகையான விமானங்கள் உள்ளன: பி 1, 2, 3 இல். எங்கள் பணி விமானத்தை அடிக்க வேண்டும்; எதிர்ப்பாளரின் பணி அதை பாதிக்கப்படாமல் பராமரிக்க வேண்டும். ஆயுதங்கள் ஒரு 1, விமானம் B 1, B 2, 3 இல் 3 இல் நிகழ்தகவுகள் 0.9, 0.4 மற்றும் 0.2 ஆகியவற்றால் பாதிக்கப்படுகின்றன; 2 உடன் சேவையில் - நிகழ்தகவுகள் 0.3, 0.6 மற்றும் 0.8; ஆயுதமேந்திய மற்றும் 3 - நிகழ்தகவுகளுடன் 0.5, 0.7 மற்றும் 0.2. இது விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் நிலைமையை உருவாக்க வேண்டும்.

முடிவு. நிலைமை இரண்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகள் மற்றும் ஒரு சீரற்ற 3 × 3 ஒரு விளையாட்டு கருதப்படுகிறது. எங்கள் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை ஆயுதங்கள் வகை தேர்வு ஆகும்; எதிர்ப்பாளரின் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை - போரில் பங்கேற்க விமானத்தின் தேர்வு. சீரற்ற நடவடிக்கை - ஆயுதங்களின் பயன்பாடு; இந்த நடவடிக்கை விமானத்தின் தோல்வி அல்லது கருத்து வேறுபாடு முடிவடையும். விமானம் வியப்பாக இருந்தால் எங்கள் வெற்றி ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், இல்லையெனில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எங்கள் உத்திகள் மூன்று ஆயுதங்கள்; எதிரி உத்திகள் விமானம் மூன்று விருப்பங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட ஜோடி உத்திகளுக்கான வெற்றியின் சராசரி மதிப்பும் இந்த ஆயுதத்துடன் இந்த விமானத்தை சேதப்படுத்தும் வாய்ப்பு அல்ல. மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு:

விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டின் நோக்கம் பரிந்துரைகளை உருவாக்க வேண்டும் நியாயமான நடத்தை வீரர்கள் பி மோதல் சூழ்நிலைகள். அவர்கள் ஒவ்வொரு "உகந்த மூலோபாயம்" வரையறை. விளையாட்டின் கோட்பாட்டின் உகந்த வீரர் மூலோபாயம் போன்ற ஒரு மூலோபாயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது விளையாட்டின் தொடர்ச்சியான மறுபடியும், இந்த வீரரை மிக உயர்ந்த சராசரி வெற்றிக்கு (அல்லது குறைந்தபட்ச சாத்தியம் இழப்பு) வழங்குகிறது. இந்த மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுக்கும்போது, \u200b\u200bநியாயத்தின் அடிப்படையில், எதிரி குறைந்தபட்சம் நாம் நம்மைப் போலவே நியாயமானதாக இருப்பதாகவும், நம்மை தங்கள் இலக்கை அடைவதிலிருந்து நம்மைத் தடுக்கவும் எல்லாவற்றையும் செய்கிறது.

விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டில், இந்த கொள்கைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட அனைத்து பரிந்துரைகளும் உருவாக்கப்படுகின்றன; ஆகையால், ஒவ்வொரு உண்மையான மூலோபாயத்திலும், ஒவ்வொரு வீரர்களின் ஒவ்வொருவரின் பிழைகளிலும் தவிர்க்க முடியாமல் இருக்கும், இது அபாயகரமான கூறுகளை எடுத்துக் கொள்ளாது. ஒரு சிக்கலான நிகழ்வு எந்த கணித மாதிரி போன்ற விளையாட்டுகள் கோட்பாடு அதன் வரம்புகள் உள்ளன. அவர்களில் மிக முக்கியமானது வெற்றிகள் செயற்கையாக ஒரு குறைக்கப்படுவதாகும் ஒற்றை எண். மிகவும் நடைமுறை மோதல்களில், ஒரு நியாயமான மூலோபாயத்தை வளர்ப்பதில், ஒரு நியாயமான மூலோபாயத்தை உருவாக்கும் போது, \u200b\u200bஅது ஒரு கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டியது அவசியம், ஆனால் பல எண் அளவுருக்கள் - நிகழ்வின் வெற்றிக்கான அளவுகோல்கள். உகந்த ஒரு அளவுகோல் ஒரு மூலோபாயம் அவசியம் மற்றவர்களுக்கு உகந்ததாக இருக்காது. எனினும், இந்த கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் எனவே, விளையாட்டு முறைகள் பெறப்பட்ட குருட்டு பரிந்துரைகள் பின்பற்றுவதன் மூலம், அது சரியாக "உகந்த" இல்லை என்றால், பின்னர், எந்த விஷயத்தில், பின்னர், சரியாக "உகந்த" என்றால் உருவாக்கும் விளையாட்டு கோட்பாட்டின் கணித இயந்திரத்தை பயன்படுத்த முடியும் " ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்க "மூலோபாயம்.

§ 2. குறைந்த மற்றும் மேல் விலை விளையாட்டு. "MiniMax" இன் கொள்கை

படத்தில் MXN விளையாட்டை கவனியுங்கள், படம் போலவே. 1. நாங்கள் எங்கள் மூலோபாயத்தின் கடிதத்தை குறிக்கும்; ஜே கடிதம் எதிரி மூலோபாயம் எண். உங்களுடைய உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க நாங்கள் ஒரு பணியைச் செய்வோம். நாங்கள் ஒரு 1 தொடங்கி, எங்கள் உத்திகள் ஒவ்வொரு தொடர்ந்து பகுப்பாய்வு.

ஒரு மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், எமது வெற்றிகள் மற்றும் ஐ.ஜே. ஆகியவை ஜே, j இல் உள்ள உத்திகள் என்று எதிரி பதிலளிக்கும் என்ற உண்மையை நாம் எப்போதும் நம்ப வேண்டும். நாம் இந்த மதிப்பை வெற்றிகரமாக வரையறுக்கிறோம், i.e. குறைந்தபட்சம் எண்கள் மற்றும் IJ இல் நான்.வரி. அதன் α i i:

இங்கே Min Sign (j இல் குறைந்தபட்சம் J) இந்த அளவுருவின் மதிப்புகள் குறைந்தபட்சமாக J. எண்கள் α நான்; ஒரு கூடுதல் நெடுவரிசையின் வடிவத்தில் வலதுபுறத்தில் மேட்ரிக்ஸ் அடுத்து:

எந்தவொரு மூலோபாயத்தையும் நான் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், எதிரியின் நியாயமான செயல்களின் விளைவாக நாம் எதிர்பார்க்க வேண்டும், நாம் α ஐ விட அதிகமாக வெற்றி பெற மாட்டோம். இயற்கையாகவே, மிகவும் நியாயமான எதிரி (I.E. எந்த அபாயத்தை தவிர்ப்பது) மீது மிகவும் கவனமாகவும் எண்ணும் செயல்படும் (I.E. எந்த அபாயத்தை தவிர்க்கவும்), நாம் அந்த மூலோபாயத்தில் வாழ்க வேண்டும். இந்த அதிகபட்ச மதிப்பு α ஐ குறிக்கவும்:

அல்லது, கணக்கை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (2.1)

Α இன் மதிப்பு விளையாட்டின் கீழ் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் - அதிகபட்ச வெற்றிகள் அல்லது வெறுமனே அதிகபட்சம். அணி ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் உள்ளது எண் α உள்ளது; அந்த வீரர் மூலோபாயம் ஒரு, இந்த வரி ஒத்துள்ளது, அதிகபட்ச மூலோபாயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, நாம் அதிகபட்ச மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், எந்த எதிரி நடத்தையுடனும், வெற்றிபெறுவது, எந்த விஷயத்திலும், குறைவான α அல்ல. எனவே, α இன் மதிப்பு மற்றும் "விளையாட்டின் கீழ் விலை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு உத்தரவாதம் குறைந்தபட்சமாகும், நாங்கள் தங்களை வழங்க முடியும், மிகவும் கவனமாக ("மறுகாப்பீட்டு") மூலோபாயத்திற்கு ஒத்துப்போகலாம்.

வெளிப்படையாக, இதேபோன்ற நியாயத்தை எதிரி V க்கு மேற்கொள்ளப்படலாம். எதிரி ஒரு குறைந்தபட்சம் எங்கள் வெற்றியை செலுத்துவதில் ஆர்வமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு மூலோபாயத்தையும் அவர் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் அதிகபட்ச வெற்றி இந்த மூலோபாயத்துடன். எனவே, மேட்ரிக்ஸ் கீழே, நாம் ஒவ்வொரு பத்தியில் அதிகபட்ச மதிப்புகள் தடுக்க:

மற்றும் குறைந்தபட்சம் β j:

Β மதிப்பு விளையாட்டின் மேல் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் - "MiniMax". எதிரிகளின் தொடர்புடைய மினிமக்ஸ் மூலோபாயம் அதன் "மினிமக்ஸ் மூலோபாயம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் மிகவும் கவனமான மினிமையான மூலோபாயத்தை ஒத்துப்போகிறது, எதிரி தன்னை பின்வருமாறு உத்தரவாதம் அளிக்கிறார்: நாம் அவருக்கு எதிராக எடுத்துள்ளோம், அவர் எந்த விஷயத்திலும் β க்கும் அதிகமான அளவு இழக்க மாட்டார். எச்சரிக்கை கொள்கையானது, வீரர்களை கட்டாயப்படுத்திய வீரர்கள், விளையாட்டுகள் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் அதன் பயன்பாடுகளிலும் அதன் பயன்பாடுகளிலும் "அதிகபட்ச மற்றும் மினிமாக்ஸ்) தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். வீரர்கள் மிகவும் கவனமாக அதிகபட்ச மற்றும் மினிமக்ஸ் உத்திகள் சில நேரங்களில் குறிக்கின்றன பொதுவான சொல் "மினிமக்ஸ் உத்திகள்".

உதாரணங்களாக, விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை மற்றும் எடுத்துக்காட்டாக 1, 2 மற்றும் 3 × 1 ஆகியவற்றிற்கான மினிமக்ஸ் உத்திகள் ஆகியவற்றை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்.

உதாரணம் 1.உதாரணமாக 1 × 1 டானா விளையாட்டு அடுத்த மேட்ரிக்ஸ்:

Α i மற்றும் β j மதிப்புகள் நிலையான மற்றும் சமமாக, முறையே, -1 மற்றும் +1, விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை -1 மற்றும் +1: α \u003d -1: α \u003d -1, β \u003d + 1. எந்த வீரர் மூலோபாயம் அதன் maximin உள்ளது, எந்த வீரர் மூலோபாயம் அதன் miniMax மூலோபாயம் உள்ளது. ட்ரிவிலென் திரும்பப் பெறுதல்: அதன் மூலோபாயங்கள், ஒரு வீரர், ஒரு வீரர் மற்றும் 1 ஐ விட அதிகமாக இழக்க நேரிடும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்; அதே வீரர் V க்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்.

உதாரணம் 2. உதாரணமாக 2 × 1 டானா விளையாட்டு ஒரு மேட்ரிக்ஸ்:

விளையாட்டு α \u003d -3 இன் குறைந்த விலை; மேல் விலை விளையாட்டு β \u003d 4. எங்கள் அதிகபட்ச மூலோபாயம் 1; முறையாக அதைப் பயன்படுத்துவது, குறைந்தபட்சம் -3 (3 க்கும் அதிகமானதை இழக்கவில்லை) வெற்றிபெற முடியாது. எதிரிகளின் மினிமக்ஸ் மூலோபாயம் 1 மற்றும் 2 இல் உள்ள மூலோபாயங்கள் ஆகும்; அவற்றை முறையாக பயன்படுத்துவதன் மூலம், அவர் எந்த விஷயத்திலும், அவர் 4 ஐ இழக்க மாட்டார் என்று உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும். உங்கள் மாக்சிமின் மூலோபாயத்திலிருந்து பின்வாங்கினால் (உதாரணமாக, ஒரு மூலோபாயம் ஒரு 2 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும்), எதிரி ஒரு விண்ணப்பிப்பதன் மூலம் "தண்டிக்க முடியும்" மூலோபாயம் 3 மற்றும் நமது வெற்றிகளை -5 க்கு குறைக்கவும்; சமமாக, அதன் மினிமோக்ஸ் மூலோபாயத்தின் எதிரியின் அடக்குமுறை அதன் இழப்பு 6 ஆக அதிகரிக்கும்.

உதாரணம் 3.உதாரணமாக 3 × 1 டானா விளையாட்டு ஒரு மேட்ரிக்ஸ்:

விளையாட்டு α \u003d 0.3 இன் குறைந்த விலை; மேல் மதிப்பு விளையாட்டுகள் β \u003d 0.7. எங்கள் மிகவும் கவனமாக (அதிகபட்சம்) மூலோபாயம் ஒரு 2 ஆகும்; ஆயுதமேந்திய ஒரு 2 ஐப் பயன்படுத்தி, எல்லா நேரங்களிலும் 0.3 க்கும் குறைவாக சராசரியாக விமானத்தை பாதிக்கும் என்று நாங்கள் உத்தரவாதம் செய்கிறோம். எதிரிகளின் மிகவும் எச்சரிக்கையாக (மினிமக்ஸ்) மூலோபாயம் 2 ல் உள்ளது; இந்த விமானத்தை பயன்படுத்துவதன் மூலம், எதிரி அது 0.7 க்கும் மேற்பட்ட எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பாதிக்கப்படுவதாக உறுதியாக இருக்க முடியும்.

கடைசி உதாரணத்தில், அதை நிரூபிக்க வசதியாக உள்ளது முக்கிய சொத்து மினிமக்ஸ் உத்திகள் அவற்றின் உறுதியற்றவை. நாங்கள் எங்கள் மிகவும் எச்சரிக்கையாக (அதிகபட்சம்) மூலோபாயம் ஒரு 2 விண்ணப்பிக்க, மற்றும் எதிரி 2 ல் அதன் மிகவும் எச்சரிக்கையாக (MiniMax) மூலோபாயம் உள்ளது. எதிரிகள் இருவரும் இந்த உத்திகளை கடைபிடிக்கும் வரை, சராசரி வெற்றி 0.6 ஆகும்; இது நீண்டது, ஆனால் குறைவாக உள்ளது மேல் விலை விளையாட்டுகள். இப்போது எதிரி ஒரு மூலோபாயம் ஒரு 2 விண்ணப்பிக்க வேண்டும் என்று அறியலாம் என்று சொல்லலாம்; அவர் உடனடியாக தனது மூலோபாயத்திற்கு பதிலளிப்பார், மேலும் 0.3 க்கு வெற்றி பெறுவார். இதையொட்டி, மூலோபாயத்தில் B 1 நாம் ஒரு நல்ல பதில்: மூலோபாயம் ஒரு 1, எங்களுக்கு ஒரு வெற்றி 0.9, முதலியன

இதனால், இரண்டு வீரர்களும் தங்கள் மினிமக்ஸ் உத்திகளைப் பெறுகின்ற நிலையில், எதிர்ப்பாளரின் எதிர்ப்பாளரின் மூலோபாயத்தைப் பற்றிய தகவல்களால் மீறலாம். எனினும், மினிமக்ஸ் உத்திகள் நிலையானதாக இருக்கும் சில விளையாட்டுகள் உள்ளன. இந்த குறைந்த விலை மேல் சமமாக இருக்கும் அந்த விளையாட்டுகள் உள்ளன: α \u003d β. விளையாட்டின் குறைந்த விலை மேல் சமமாக இருந்தால், பின்னர் அவர்கள் பொதுவான மதிப்பு விளையாட்டின் நிகர விலை (சில நேரங்களில் விளையாட்டின் விலை) என்று அழைக்கப்படுகிறது, நாங்கள் கடிதத்துடன் அதை குறிக்கும்.

ஒரு உதாரணம் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். விளையாட்டு 4 × 4 மேட்ரிக்ஸ் மூலம் அமைக்கட்டும்:

விளையாட்டு குறைந்த விலை கண்டுபிடிக்க: α \u003d 0.6. விளையாட்டு மேல் விலை கண்டுபிடிக்க: β \u003d 0.6. அவர்கள் அதே, எனவே, விளையாட்டு α \u003d β \u003d ν \u003d 0.6 க்கு சமமாக ஒரு தூய விலை உள்ளது. செலுத்தும் மேட்ரிக்ஸில் உயர்த்தப்பட்ட உறுப்பு 0.6, அதன் வரிசையில் அதன் வரிசையில் குறைந்தபட்சமாகவும், அதன் நெடுவரிசையில் அதிகபட்சமாகவும் உள்ளது. வடிவவியலில், இதேபோன்ற சொத்துடனான மேற்பரப்பில் உள்ள புள்ளி (ஒரே ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதிகபட்சமாக ஒரே நேரத்தில்) ஒரு சேணம் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒப்புமை மூலம் ஒரு சேணம் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இந்த வார்த்தை விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டில் பொருந்தும். இந்த சொத்து ஒரு அணி ஒரு உறுப்பு மேட்ரிக்ஸ் ஒரு சேணம் புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் அவர்கள் ஒரு சேணம் புள்ளி என்று விளையாட்டு பற்றி விளையாட்டு பற்றி.

சேணம் புள்ளி ஒரு ஜோடி மினிமக்ஸ் உத்திகள் (இந்த எடுத்துக்காட்டாக மற்றும் 3 மற்றும் 2 மற்றும் 2) ஒத்துள்ளது. இந்த உத்திகள் உகந்ததாக அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் மொத்தம் விளையாட்டை தீர்க்க வேண்டும். விளையாட்டின் முடிவு பின்வருமாறு உள்ளது அற்புதமான சொத்து. வீரர்கள் ஒருவர் (உதாரணமாக, ஒரு) அதன் உகந்த மூலோபாயத்தை பின்பற்றினால், மற்றொரு வீரர் (சி) அதன் உகந்த மூலோபாயத்திலிருந்து விலகிச் செல்ல எந்தவொரு விதத்திலும் விலகிவிடும், பின்னர் ஒரு விலகலைச் செய்த ஒரு வீரருக்கு, அது ஒருபோதும் சாதகமானதாக இருக்க முடியாது, வீரர் போன்ற ஒரு நிராகரிப்பு சிறந்த விடுப்பு வெற்றிகள் மாறாமல், மற்றும் மோசமான வழக்கில் முடியும் - அதை அதிகரிக்க. மாறாக, அவரது உகந்த மூலோபாயத்தில், ஆனால் அதன் சொந்த இருந்து விலகி என்றால், இது ஒரு பயனுள்ளதாக இருக்க முடியாது என்றால்.

இந்த அறிக்கை சேணம் புள்ளியுடன் கருத்தில் கொண்டு விளையாட்டின் உதாரணத்தை சரிபார்க்க எளிதானது. ஒரு சேணம் புள்ளி கொண்ட ஒரு விளையாட்டு விஷயத்தில், மினிமக்ஸ் உத்திகள் விசித்திரமான "ஸ்திரத்தன்மை": ஒரு பக்கமானது அதன் மினிமக்ஸ் மூலோபாயத்தை பின்பற்றினால், இன்னொருவருக்கு மட்டுமே மற்றொன்று விலக்கப்படலாம். இந்த விஷயத்தில், எதிரி தனது உகந்த மூலோபாயத்தை தேர்ந்தெடுத்த எந்த வீரரின் முன்னிலையிலும் வீரர் சொந்த நடத்தை மாற்ற முடியாது என்று எந்த வீரர் தகவல் முன்னிலையில்: அவர் தனது சொந்த நலன்களுக்கு எதிராக செயல்பட விரும்பவில்லை என்றால், அவர் அதன் உகந்த மூலோபாயம் கடைபிடிக்க வேண்டும். ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் விளையாட்டில் உகந்த உத்திகள் ஜோடி, அது "சமநிலை நிலை" என்று இருந்தது: உகந்த மூலோபாயத்தில் இருந்து எந்த ஒரு விலகல் அதன் அசல் நிலைக்கு திரும்ப கட்டாயப்படுத்தி தீங்கிழைக்கும் விளைவுகளை ஒரு திசைதிருப்பல் வீரர் வழிவகுக்கிறது .

எனவே, ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் ஒவ்வொரு விளையாட்டிற்கும் பின்வரும் பண்புகளால் வகைப்படுத்தப்படும் இரு கட்சிகளின் உகந்த உத்திகள் ஒரு ஜோடி வரையறுக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது.

1) இருபுறமும் தங்கள் உகந்த உத்திகளை கடைபிடித்தால், சராசரியான வெற்றி விளையாட்டின் நிகர விலைக்கு சமமாக இருக்கும், இது அதன் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை ஆகும்.

2) கட்சிகளில் ஒருவரான அதன் உகந்த மூலோபாயத்தை வைத்திருந்தால், மற்றொன்று அதன் சொந்தத்திலிருந்து விலகியிருந்தால், மாறும் பக்கத்தை மட்டுமே இழக்க முடியாது, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அதன் ஆதாயத்தை அதிகரிக்க முடியாது.

ஒரு சேணம் புள்ளி கொண்ட விளையாட்டுகள் வர்க்கம் தத்துவார்த்த மற்றும் ஒரு நடைமுறை புள்ளி இருந்து இருவரும் பெரும் ஆர்வம் உள்ளது. விளையாட்டுகள் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, குறிப்பாக, முழு தகவல்களை ஒவ்வொரு விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது என்று நிரூபித்தது, எனவே, ஒவ்வொரு விளையாட்டு போன்ற ஒரு தீர்வு உள்ளது, i.e. மறுபுறம் ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகள் உள்ளன, விளையாட்டிற்கு சமமான சராசரியான ஆதாயம் கொடுக்கும். முழு தகவலுடனான விளையாட்டு மட்டுமே தனிப்பட்ட நகர்வுகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தால், அதன் உகந்த மூலோபாயத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் பயன்படுத்துகையில், அது எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவுகளை எப்போதும் தொடர்பு கொள்ள வேண்டும், அதாவது, விளையாட்டின் சரியான விலை.

இங்கே முழு தகவல்களுடன் விளையாட்டின் ஒரு உதாரணம் பிரபலமான விளையாட்டு நாணயங்களை வைப்பது வட்ட மேசை. இரண்டு வீரர்கள் மாறி மாறி மாறி மேஜையில் அதே நாணயங்களை வைத்து, ஒவ்வொரு முறையும் நாணயத்தின் மையத்தின் ஒரு தன்னிச்சையான நிலைப்பாட்டை தேர்ந்தெடுப்பது; நாணயங்களின் பரஸ்பர உள்ளடக்கம் அனுமதிக்கப்படவில்லை. கடைசி நாணயத்தை (மற்றவர்களுக்கு இடமில்லாமல் இருக்கும்போது) போட்டியிடும் வீரர்களில் ஒருவர் வெற்றி பெறுகிறார். இந்த விளையாட்டின் விளைவு எப்போதுமே முன்னரே தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாக உள்ளது, மேலும் முதலில் நாணயத்தை வைத்திருக்கும் வீரர்களிடமிருந்து இது ஒரு நம்பகமான ஆதாயத்தை வழங்கும் முற்றிலும் திட்டவட்டமான மூலோபாயம் உள்ளது. அதாவது, அவர் முதலில் மேஜையின் மையத்தில் நாணயத்தை வைத்துக் கொள்ள வேண்டும், பின்னர் எதிரிகளின் ஒவ்வொரு நடவடிக்கையிலும் ஒரு சமச்சீர் நடவடிக்கையுடன் பதிலளிக்க வேண்டும். அதே நேரத்தில், இரண்டாவது வீரர் விளையாட்டின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட முடிவை மாற்றாமல், எதையும் நடத்துவார். எனவே, இந்த விளையாட்டு உகந்த மூலோபாயம் தெரியாது யார் வீரர்கள் மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக. நிலைமை சதுரங்கங்களுக்கும் பிற விளையாட்டுகளுக்கும் ஒத்திருக்கிறது; அத்தகைய விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி மற்றும் வீரர்கள் ஒவ்வொரு அதன் உகந்த மூலோபாயம் ஒவ்வொரு குறிக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது; சதுரங்க விளையாட்டின் முடிவு மட்டுமே செஸ்ஸில் சாத்தியமான நகர்வுகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை மட்டுமே காணப்படவில்லை, ஏனென்றால் நீங்கள் பணம் செலுத்தும் மேட்ரிக்ஸ் ஒன்றை உருவாக்கலாம் மற்றும் அதில் ஒரு சேணம் புள்ளியைக் கண்டறிந்து கொள்ளலாம்.

§ 3. சுத்தமான மற்றும் கலப்பு உத்திகள். கலப்பு உத்திகள் விளையாட்டின் தீர்வு

நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த இறுதி விளையாட்டுகளில், ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் ஒப்பீட்டளவில் அரிதான விளையாட்டுகள் உள்ளன; விளையாட்டின் கீழ் மற்றும் மேல் விலை வித்தியாசமாக இருக்கும் போது மேலும் பொதுவானது. அத்தகைய விளையாட்டுகளின் மேட்ரிக்ஸை பகுப்பாய்வு செய்வது, ஒவ்வொரு வீரரும் ஒரு மூலோபாயத்தின் தேர்வு வழங்கப்பட்டிருந்தால், ஒவ்வொரு வீரரிலும் மினிஸின் கொள்கையால் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும் என்று முடிவு செய்தோம். எதிரிகளின் எந்த நடத்தையிலும் அதன் அதிகபட்ச மூலோபாயத்தை ஒத்துக்கொள்வது, விளையாட்டு α இன் குறைந்த விலைக்கு சமமான வெற்றிக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. ஒரு இயற்கை கேள்வி உள்ளது: நீங்கள் ஒரு ஒற்றை "சுத்தமான" மூலோபாயம் பொருந்தவில்லை என்றால், ஒரு ஒற்றை "சுத்தமான" மூலோபாயம் பொருந்தும் என்றால், சராசரி winnings, அதிக α உத்தரவாதம் சாத்தியமற்றது என்பதை, ஒரு தோராயமாக பல உத்திகள் மாற்று? விளையாட்டுகள் தத்துவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் விகிதத்தில் மாறும் பல தூய உத்திகள் விண்ணப்பிக்கும் பல தூய உத்திகள் விண்ணப்பிக்கும் அத்தகைய ஒருங்கிணைந்த உத்திகள் கலப்பு உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு நிகர மூலோபாயமும் கலப்பு ஒரு சிறப்பு நிகழ்ச்சியாகும், இதில் அனைத்து உத்திகளும், ஒன்றைத் தவிர, பூஜ்ஜிய அலைவரிசைகளுடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் இது ஒரு அதிர்வெண் 1. இது மாறிவிடும், இது சுத்தமான மட்டுமல்ல, கலப்பு உத்திகளும் பொருந்தும் ஒவ்வொரு இறுதியில் விளையாட்டு முடிவை பெற முடியும், i.e. அத்தகைய ஒரு ஜோடி (பொதுவாக, கலப்பு) உத்திகள் இரண்டு வீரர்கள் அவற்றை விண்ணப்பிக்கும் போது, \u200b\u200bவெற்றிகள் விளையாட்டின் விலை சமமாக இருக்கும், மற்றும் உகந்த மூலோபாயம் இருந்து எந்த ஒரு பக்க விலகல், வெற்றி மட்டுமே மாற்ற முடியும் பக்க, draiating unprofiable.

விளையாட்டின் கோட்பாட்டின் அடிப்படை தேற்றத்தின்மை என்று அழைக்கப்படும் உள்ளடக்கம் செய்யப்பட்ட ஒப்புதல் ஆகும். 1928 ஆம் ஆண்டில் நேமனனின் பின்னணியால் இந்த தேற்றம் முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டது, கோட்பாட்டின் நன்கு அறியப்பட்ட சான்றுகள் ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலானவை; ஆகையால், நாம் அதன் வார்த்தைகளை மட்டுமே கொடுக்கிறோம்.

ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டுக்கும் குறைந்தது ஒரு தீர்வு (ஒருவேளை கலப்பு உத்திகள் துறையில்) உள்ளது.

தீர்வின் விளைவாக பெறப்பட்ட வெற்றிகள் விளையாட்டின் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. முக்கிய தேற்றம் இருந்து ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டு ஒரு விலை என்று பின்வருமாறு. வெளிப்படையாக, விளையாட்டின் விலை ν எப்போதும் விளையாட்டு α மற்றும் விளையாட்டு மேல் விலை குறைந்த விலை இடையே உள்ளது:

(3.1) α ≤ ν ≤ β

உண்மையில், α அதிகபட்ச உத்தரவாதமான ஆதாயம், நாங்கள் உங்களை வழங்க முடியும், உங்கள் தூய உத்திகள் மட்டுமே விண்ணப்பிக்கும். கலப்பு உத்திகள் ஒரு தனியார் வழக்கு மற்றும் அனைத்து சுத்தமான ஆக இருப்பதால், பின்னர் சுத்தமான, கலப்பு உத்திகள் தவிர, நாம் எந்த விஷயத்திலும், தங்கள் திறன்களை மோசமாக்குவதில்லை; இதன் விளைவாக, ν ≥ α. இதேபோல், எதிரியின் சாத்தியக்கூறுகளை கருத்தில் கொண்டு, நாம் ν ≤ β, சமத்துவமின்மை ஆதாரமாக இருக்க வேண்டும் (3.1).

கலப்பு உத்திகளுக்கு ஒரு சிறப்பு பதவியை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். உதாரணமாக, எமது கலவையான மூலோபாயம் ஒரு 1, ஒரு 2, மற்றும் 3 அதிர்வெண்கள் P 1, P 2, P 3 உடன், P 1 + P 2 + P 3 \u003d 1 உடன், இந்த மூலோபாயத்தை குறிக்க வேண்டும்

இதேபோல், கலப்பு எதிரி மூலோபாயம் குறிக்கப்படும்:

q 1, Q 2, Q 3 - எந்த உத்திகள் பி 1, 2 இல் உள்ள அதிர்வெண்கள், 3 இல் கலந்திருக்கும்; Q 1 + Q 2 + Q 3 \u003d 1.

நாங்கள் இரண்டு உகந்த கலவையான உத்திகள் கள் ஒரு *, எஸ் b * கொண்ட விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வை கண்டுபிடித்துள்ளோம். பொதுவாக, இந்த வீரருக்கு கிடைக்கும் அனைத்து தூய உத்திகளும் அதன் உகந்த கலவையான மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை, சிலவற்றை மட்டுமே சேர்க்கின்றன. உகந்த கலவையான வீரரின் மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்பட்ட உத்திகளை நாங்கள் அழைக்கிறோம், அதன் "பயனுள்ள" உத்திகள். விளையாட்டின் முடிவை மற்றொரு அற்புதமான சொத்து கொண்டிருக்கிறது என்று மாறிவிடும்: வீரர்கள் ஒரு உகந்த கலவையான SA * மூலோபாயம் (SB *) வைத்திருந்தால், பின்னர் வெற்றி மாறாமல் மற்றும் விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக உள்ளது, என்ன விஷயம் இல்லை மற்ற வீரர், அது மட்டும் அதன் "பயனுள்ள" உத்திகளுக்கு அப்பால் செல்கிறது என்றால். உதாரணமாக, அதன் "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களை அதன் தூய வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம், மேலும் எந்தவொரு விகிதாச்சாரத்திலும் அவற்றை கலக்கலாம்.

§ 4. விளையாட்டுகள் தீர்க்கும் அடிப்படை முறைகள். விளையாட்டு 2.எக்ஸ்.2 மற்றும் 2.எக்ஸ்.என்

MXN விளையாட்டில் ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், ஒரு தீர்வு கண்டுபிடித்து பொதுவாக ஒரு கடினமான பணி, குறிப்பாக பெரிய m மற்றும் n உடன். சில நேரங்களில் இந்த பணி எளிமைப்படுத்த முடியும், நீங்கள் முதலில் சில தேவையற்ற கடக்கும் மூலம் உத்திகள் எண்ணிக்கை குறைக்க என்றால். தேவையற்ற உத்திகள் ஒரு) நகல் மற்றும் b) வெளிப்படையாக இலாபமற்றது. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸுடன் விளையாட்டு:

மூலோபாயம் ஒரு 3 மீண்டும் மீண்டும் ("நகல்களை") ஒரு மூலோபாயம் ஒரு 1, எனவே இந்த இரண்டு உத்திகள் எந்த நீக்க முடியும் என்பதை உறுதி செய்ய எளிது. மேலும், கோடுகள் ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2 ஒப்பிட்டு, நாம் சரம் ஒரு 2 ஒவ்வொரு உறுப்பு ஒரு சரம் ஒரு தொடர்புடைய உறுப்பு குறைவாக (அல்லது சமமாக) என்று பார்க்கிறோம். வெளிப்படையாக, நாம் A2 மூலோபாயம் பயன்படுத்த கூடாது, அது வெளிப்படையாக தீமைகளை உள்ளது. 3 மற்றும் ஒரு 2 வெளியே வரைதல், மேலும் மேட்ரிக்ஸ் கொண்டு எளிமை. அடுத்து, எதிரி, 3 தெரிந்தே தெரியாத மூலோபாயம் என்று நாம் கவனிக்கிறோம்; அதை இழுத்து, அணி இறுதி படிவத்தை கொண்டு வாருங்கள்:

இதனால், விளையாட்டு 4 × 4 நகல் மற்றும் தெரிந்தே இலாபமற்ற உத்திகள் விளையாட்டு 2 × 3 குறைக்கப்படுகிறது.

நகல் மற்றும் தெரிந்தே சாதகமற்ற உத்திகளை மீறுவதற்கான நடைமுறை எப்போதும் விளையாட்டு முடிவை முன்னெடுக்க வேண்டும். எப்போதும் அடிப்படை வழிகளில் மிகவும் எளிமையான நிகழ்வுகள் எப்போதும் அடிப்படை வழிகளில் தீர்க்க முடியும் 2 × 2 மற்றும் 2xn விளையாட்டுகள்.

விளையாட்டு 2 × 2 ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கருத்தில்:

இரண்டு வழக்குகள் இங்கே சந்திக்க முடியும்: 1) விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது; 2) விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை. முதல் வழக்கில், தீர்வு தெளிவாக உள்ளது: இது சேணம் புள்ளியில் குறுக்கிடும் ஒரு ஜோடி உத்திகள் ஆகும். வழியில் குறிப்பு, விளையாட்டில் 2 × 2, ஒரு சேணம் புள்ளி முன்னிலையில் எப்போதும் ஆரம்ப பகுப்பாய்வு உள்ள நீக்கப்படும் என்று வெளிப்படையாக சாதகமற்ற உத்திகள் இருப்பது ஒத்துள்ளது.

சேணம் புள்ளி மற்றும், எனவே, விளையாட்டின் குறைந்த விலை மேல் சமமாக இல்லை: α ≠ β. இது உகந்த கலப்பு வீரர் மூலோபாயம் ஒரு கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

இது சொத்து மூலம் வகைப்படுத்தப்படும், எதிரிகளின் செயல்கள் என்னவாக இருக்கும் (அதன் "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களுக்கு அப்பால் செல்லவில்லை என்றால்), வெற்றி விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும். விளையாட்டில் 2 × 2 இல், எதிரி உத்திகள் இருவரும் "பயனுள்ள" ஆகும் - இல்லையெனில் விளையாட்டு தூய உத்திகள் துறையில் ஒரு தீர்வு வேண்டும் (சேணம் புள்ளி) துறையில் ஒரு தீர்வு வேண்டும். அதாவது நமது உகந்த மூலோபாயத்தை (4.1) கடைபிடித்தால், எதிரி அதன் தூய உத்திகள் B 1 ஐப் பயன்படுத்தலாம், சராசரியாக வெற்றி பெறாமல். இங்கிருந்து இரண்டு சமன்பாடுகள் உள்ளன:

இதில், p 1 + p 2 \u003d 1 கணக்கில் எடுத்து, நாம் பெறுகிறோம்:

விளையாட்டு விலை P1, P 2 இன் மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் காணப்படுகிறது (4.2).

விளையாட்டு அறியப்பட்டால், உகந்த எதிரி மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க

உதாரணமாக போதுமான சமன்பாடு உள்ளன:

எங்கே இருந்து, Q 1 + q 2 \u003d 1 என்று கருத்தில், நாம்:

உதாரணம் 1. நாங்கள் 2 × 2 தீர்வு காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக 1 × 1, மேட்ரிக்ஸ் மூலம்:

விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை (α \u003d -1; β \u003d +1), மற்றும், எனவே, தீர்வு கலப்பு உத்திகள் துறையில் பொய் வேண்டும்:

P 1, p 2, q 1 மற்றும் q 2 ஆகியவற்றைக் கண்டறிவது அவசியம். P 1 க்கு ஒரு சமன்பாடு உள்ளது

1 * P 1 + (-1) (1 - பி 1) \u003d (-1) ப 1 + 1 (1 - பி 1)

p 1 \u003d 1/2, p 2 \u003d 1/2 எங்கே இருந்து.

இதேபோல், நாம் காண்கிறோம்: q 1 \u003d 1/2, q 2 \u003d 1/2, ν \u003d 0.

இதன் விளைவாக, வீரர்கள் ஒவ்வொன்றிற்கான உகந்த மூலோபாயம் அதன் நிகர உத்திகள் இரண்டையும் தோராயமாக மாற்றுவதாகும்; இந்த வழக்கில், சராசரி வெற்றிகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக வெளியீடு முன்கூட்டியே தெளிவாக இருந்தது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், நாம் இன்னும் அதிகமாக இருப்போம் சிக்கலான விளையாட்டு, இது மிகவும் தெளிவாக இல்லை தீர்வு. ஒரு உதாரணம் "மோசடி" அல்லது "தவறான வழி" என்ற விளையாட்டுகளாக அறியப்படும் விளையாட்டுகளின் ஒரு அடிப்படை மாதிரி. நடைமுறையில், மோதல் சூழ்நிலைகள் பெரும்பாலும் பொருந்தும் பல்வேறு முறைகள் ஒரு எதிரியின் அறிமுகம் தவறாக வழிநடத்துகிறது (தவறான நோக்கங்களுக்காக, தவறான நோக்கங்களுக்காக, முதலியன). ஒரு உதாரணம், அதன் எளிமை, அழகான போதனை போதிலும்.

உதாரணம் 2. விளையாட்டு அடுத்துள்ளது. இரண்டு அட்டைகள் உள்ளன: ஏஸ் மற்றும் இருமுறை. வீரர் மற்றும் சீரற்ற முறையில் அவர்களில் ஒருவர் எடுக்கும்; அவர் என்ன வரைபடம் எடுத்தார் என்பதைக் காணவில்லை. நான் ஏஸ் எடுத்துக்கொண்டால், அவர் அறிவிக்கிறார்: "எனக்கு ஏஸ் இருக்கிறது," என்று ஒரு எதிரி 1 ரூபிள் தேவை. நான் ஒரு டூஸை எடுத்துக் கொண்டால், அது 1) "எனக்கு ஏஸ் வைத்திருப்பது" என்றும், எதிரி 1 ரூபிள் அல்லது 2) என்று கூறவும், அவர் ஒரு இருமுறை வைத்திருப்பதாகவும், எதிரி 1 ரூபிளையும் செலுத்துங்கள்.

எதிரி, அவர் தானாகவே 1 ரூபிள் செலுத்தினால், அதை எடுத்துக்கொள்ள முடியும். அவர் 1 ரூபிள் தேவை என்றால், அவர் 1 ல் இருக்க முடியும்) வீரர் நம்புவதற்கு, ஆனால் அவர் ஒரு tuz உள்ளது, மற்றும் அவரை 1 roble அல்லது 2) ஏ.இ. அறிக்கை என்பதை உறுதி செய்ய காசோலைகளை கோர வேண்டும். இதன் விளைவாக சரிபார்க்கிறது என்றால் சரிபார்க்கிறது u உண்மையில் ஏஸ் என்று மாறிவிடும், 2 ரூபிள் செலுத்த வேண்டும். அவர் ஏமாற்றுகிறார் என்று அவர் மாறிவிடும் மற்றும் அவர் ஒரு இரண்டு முறை, ஒரு வீரர் மற்றும் 2 ரூபிள் வீரர் செலுத்துகிறது. இது விளையாட்டு பகுப்பாய்வு மற்றும் வீரர்கள் ஒவ்வொரு உகந்த மூலோபாயம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

முடிவு. விளையாட்டு ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலான அமைப்பு உள்ளது; இது ஒரு கட்டாயமான சீரற்ற நடவடிக்கையாகும் - ஒரு வீரர் மற்றும் இரண்டு கார்டுகளில் ஒன்றை தேர்ந்தெடுத்து - இரண்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகள், இது அவசியம் நடைமுறைப்படுத்தப்படவில்லை. உண்மையில், நான் ஏஸை எடுத்துக் கொண்டால், அவர் எந்த தனிப்பட்ட நடவடிக்கையும் செய்யவில்லை: அவர் ஒரே ஒரு வாய்ப்பை வழங்கவில்லை - 1 ரூபிளைக் கோருவதற்கு, அவர் செய்யும். இந்த வழக்கில், ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை - நம்ப அல்லது நம்ப அல்லது நம்புவதற்கு (அதாவது ஊதியம் அல்லது 1 ரூபிள் செலுத்த முடியாது,) - வீரர் V க்கு அனுப்பப்படுகிறது - முதல் சீரற்ற நடவடிக்கையின் விளைவாக, அவர் ஒரு முறை ஒரு முறை பெற்றார் அவர் ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கைக்கு வழங்கப்படுகிறார்: 1 ரூபிள் செலுத்த அல்லது எதிரிகளை ஏமாற்றவும், 1 ரூபிளையும் ஏமாற்ற முயற்சிக்கவும் (சுருக்கமாக "அல்லது" ஏமாற்ற வேண்டாம் "அல்லது" ஏமாற்ற வேண்டாம் "). முதலில் தேர்ந்தெடுத்தால், அது 1 ரூபிள் எடுக்க மட்டுமே உள்ளது; நான் இரண்டாவது தேர்வு செய்தால், வீரர் ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை மூலம் வழங்கப்படுகிறது: அதை நம்ப அல்லது ஒரு (I.E., 1 ரூபிள் செலுத்த அல்லது சரிபார்ப்பு தேவை) நம்ப முடியாது.

வீரர்கள் ஒவ்வொரு உத்திகள் ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை வழங்கப்படும் போது வீரர் நுழைய எப்படி குறிக்கும் விதிகள் உள்ளன. வெளிப்படையாக, இரண்டு உத்திகள் மட்டுமே: 1 - ஏமாற்ற, மற்றும் 2 - ஏமாற்ற முடியாது. B - இரண்டு உத்திகள்: B 1 - 2 நம்புவதற்கு - நம்ப வேண்டாம். ஒரு விளையாட்டு அணி உருவாக்க. இதற்காக, ஒவ்வொரு மூலோபாயங்களிலும் சராசரியான வெற்றியை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்.

1. 1 இல் 1 (மற்றும் ஏமாற்றும், நம்புகிறது). நான் ஏஸ் கிடைத்தால் (இந்த ½ இன் நிகழ்தகவு, பின்னர் அது ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை கொடுக்கப்படவில்லை, அது 1 ரூபிள் தேவை, மற்றும் வீரர் அவரை நம்புகிறார்; வெற்றி மற்றும் ரூபிள் ஆகிய இருவர் சமமாக இருக்க வேண்டும். கூட, அவர் தனது மூலோபாயம் படி ஏமாற்றி 1 ரூபிள் தேவைப்படுகிறது; அது அவரை நம்புகிறது; அது அவரை நம்புகிறது; வெற்றி மற்றும் சமமாக 1. சராசரி வின்னிங்: ஒரு 11 \u003d ½ * 1 + ½ * 1 \u003d 1.

2. 2 இல் 1 (மற்றும் ஏமாற்றும், நம்பவில்லை). எனக்கு ஏஸ் கிடைத்தால், அவர் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை இல்லை; அது 1 ரூபிள் தேவை; அதன் மூலோபாயத்திற்கு ஏற்ப, அது நம்பவில்லை மற்றும் ஆய்வு விளைவாக 2 ரூபிள் (வெற்றி +2 +2) செலுத்துகிறது. நான் ஒரு இரண்டு கிடைத்தால், அது அவரது மூலோபாயத்தின் படி 1 ரூபிள் தேவைப்படுகிறது; இல், அவரது சொந்த படி, அது நம்பவில்லை; இதன் விளைவாக, அது 2 ரூபிள் (ஒரு சமமாக -2 க்கு சமமாக) செலுத்துகிறது. சராசரி வெற்றி சமமாக உள்ளது: ஒரு 12 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 2) \u003d 0.

3. ஒரு 2 இல் 1 (மற்றும் ஏமாற்றுவதில்லை, நம்பவில்லை). நான் ஏஸ் வெளியே சென்றால், அது 1 ரூபிள் தேவை; அதன் மூலோபாயத்தின் படி, செலுத்துகிறது; ஒரு வெற்றி +1 ஆகும். நான் ஒரு இருமுறை எடுத்துக்கொண்டால், அவர் தனது மூலோபாயத்தின் படி 1 ரூபிள் செலுத்துகிறார்; அதை ஏற்க மட்டுமே உள்ளது (ஒரு வெற்றி -1 சமமாக உள்ளது). சராசரி வெற்றிகள்: ஒரு 21 \u003d ½ * (+ 1) + ½ * (- 1) \u003d 0.

4. மற்றும் 2 இல் 2 (மற்றும் ஏமாற்றாதே, ப) நம்பவில்லை). நான் ஏஸ் வெளியே சென்றால், அது 1 ரூபிள் தேவை; காசோலைகள் மற்றும் சோதனை விளைவாக, 2 ரூபிள் செலுத்துகிறது (வெற்றி +2). நான் இரண்டு முறை எடுத்துக்கொண்டால், அது 1 ரூபிள் செலுத்துகிறது; இது ஏற்க மட்டுமே உள்ளது (வெற்றி 1). சராசரியான வெற்றி சமமாக உள்ளது: 22 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 1) \u003d ½.

விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸ் உருவாக்க:

அணி ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை. விளையாட்டு α \u003d 0, விளையாட்டு α \u003d ½ β \u003d ½ இன் குறைந்த விலை. கலப்பு உத்திகள் துறையில் விளையாட்டு ஒரு தீர்வு கண்டுபிடிக்க. சூத்திரம் (4.3) பயன்படுத்தி, நாம் கிடைக்கும்:

அந்த. வீரர் ஒரு மூன்றில் ஒரு மூன்றில் ஒரு மூன்றில் ஒரு பங்கு அதன் முதல் மூலோபாயம் (ஏமாற்ற), மற்றும் மூன்றில் இரண்டு பங்கு - இரண்டாவது (ஏமாற்ற முடியாது). அதே நேரத்தில், அது சராசரியாக விளையாட்டு ν \u003d 1/3 என்ற விலை சராசரியாக வெற்றி பெறும்.

Ν \u003d 1/3 இன் மதிப்பு இந்த நிலைமைகளில் இந்த சூழ்நிலையில் பி.ஏ. மற்றும் இலாபம் இல்லாததால், அதன் உகந்த மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி, எப்போதும் ஒரு நேர்மறையான நடுத்தர ஆதாயத்தை வழங்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. நான் என் மிகவும் கவனமாக (அதிகபட்சம்) மூலோபாயம் (இந்த வழக்கில், இரண்டு உத்திகள் ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2 அதிகபட்சம்) பயன்படுத்தினால், அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான சராசரியான ஆதாயம் இருக்கும். எனவே, ஒரு கலவையான மூலோபாயத்தின் பயன்பாடு மற்றும் பி மீது அதன் நன்மைகளை உணரக்கூடிய திறன், இது விளையாட்டின் தரவு விதிகள் போது ஏற்படுகிறது.

நாங்கள் உகந்த மூலோபாயம் V. நாம் வரையறுக்கிறோம்: Q 1 * 1 + Q 2 * 0 \u003d 1/3, q 1 \u003d 1/3, q 2 \u003d 2/3. இருந்து

டீ. வீரர் அனைத்து சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு மூன்றில் ஒரு பங்கு நம்ப வேண்டும் மற்றும் சோதனை இல்லாமல் 1 ரூபிள் செலுத்த வேண்டும், மற்றும் இரண்டு மூன்றில் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில் - சோதனை. பின்னர் அவர் 1/3 இழக்க ஒவ்வொரு விளையாட்டிற்கும் சராசரியாக இருப்பார். அவர் தனது MiniMax தூய மூலோபாயம் 2 (நம்பவில்லை), அவர் சராசரியாக 1/2 ஒவ்வொரு விளையாட்டிலும் இழக்க நேரிடும்.

விளையாட்டு தீர்வு 2 × 2 ஒரு எளிய வடிவியல் விளக்கம் வழங்கப்படும். ஒரு அணி 2 × 2 இருக்கட்டும்

Abscissa Axis பிரிவு 1 (படம் 4.1) எடுத்து. பிரிவின் இடது முடிவை (abscissa x \u003d 0 உடன் புள்ளி) மூலோபாயம் ஒரு 1 ஐ சித்தரிக்கிறது; தளத்தின் சரியான முடிவு (x \u003d 1) ஒரு மூலோபாயம் 2 ஆகும். புள்ளிகள் ஒரு 1 மற்றும் abscissa அச்சில் ஒரு 2 இரண்டு செங்குத்து மூலம் வெட்டு: அச்சு நான்.-நான். மற்றும் அச்சு II-II.. அச்சு மீது நான்.-நான். மூலோபாயம் ஒரு 1 வயதில் வெற்றிபெறுவோம்; அச்சு மீது II-II. - மூலோபாயம் ஒரு 2 வழிகள். எதிரி மூலோபாயம் பி 1 ஐ கருதுங்கள்; இது அச்சுகளில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கிறது நான்.-நான். மற்றும் II-II. முறைகள், முறையே, 11 மற்றும் ஒரு 21. இந்த புள்ளிகளால் நேரடியாக நேரடியாக நேரடியாக நேரடியாக நேரடியாக செலவிடுவோம். வெளிப்படையாக, நாம், எதிரி மூலோபாயம் பி 1, நாம் ஒரு கலப்பு மூலோபாயம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் என்றால்

இந்த வழக்கில் நமது சராசரி வெற்றிகள் ஒரு 11 ப 1 + ஒரு 21 பி 2 1 பி 1 இல் ஒரு கோட்டில் ஒரு புள்ளி மீ மூலம் சித்தரிக்கப்படுகிறது; இந்த புள்ளியின் abscissa p 2 க்கு சமமாக உள்ளது. 1 இல் 1 இல் நேரடி 1, 1-ல் உள்ள வனப்பகுதியை சித்தரிக்கும், "1 ல் மூலோபாயம்" என்று அழைக்கப்படுவீர்கள்.

வெளிப்படையாக, 2 இல் ஒரு மூலோபாயம் சரியாக அதே வழியில் கட்டப்படலாம் (படம் 4.2).

நாம் உகந்த மூலோபாயம் எஸ் ஒரு *, I.E., குறைந்தபட்ச வெற்றிகள் (B இன் எந்த நடத்தையுடனும்) அதிகபட்சமாக வழங்கப்படும். இதை செய்ய, நாம் 1 ல் உள்ள உத்திகள் கீழ் வின்னிங் கீழ் எல்லை நிர்மாணிக்கிறோம், 2, I.E. உடைந்த பி 1 nb 2 படம் குறிக்கப்பட்டது. 4.2 கொழுப்பு வரி. இந்த குறைந்த வரம்பு குறைந்தபட்ச வீரர் எந்த கலவையான உத்திகளுடனும் வெற்றி பெறும்; புள்ளி n, இதில் இந்த குறைந்தபட்ச வெற்றிகள் அதிகபட்சமாக அடையும், மற்றும் விளையாட்டு தீர்வு மற்றும் விலை தீர்மானிக்கிறது. இது புள்ளி n இன் ஒழுங்குமுறை விளையாட்டு விலை என்று உறுதி செய்ய எளிது, மற்றும் அதன் abscissa p 2 சமமாக உள்ளது - உகந்த கலப்பு மூலோபாயம் S ஒரு 2 ல் ஒரு 2 பயன்பாடு அதிர்வெண் பயன்பாடு அதிர்வெண்.

எங்கள் விஷயத்தில், விளையாட்டின் தீர்வு மூலோபாயங்களின் வெட்டும் புள்ளியால் தீர்மானிக்கப்பட்டது. எனினும், அது எப்போதும் இருக்காது; படம் 4.3 போது, \u200b\u200bஉத்திகள் வெட்டும் முன்னிலையில் இருந்த போதிலும், தீர்வு இரண்டு வீரர்கள் (ஒரு 2 மற்றும் 2), மற்றும் விளையாட்டு ν \u003d ஒரு 22 விலை சுத்தமான உத்திகள் கொடுக்கிறது. இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸ் ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது, மற்றும் மூலோபாயம் ஒரு 1 வெளிப்படையாக இலாபமற்ற உள்ளது, ஏனெனில் எந்த தூய எதிரி மூலோபாயம் கொண்டு, அது ஒரு சிறிய ஆதாயம் மற்றும் 2 விட ஒரு சிறிய ஆதாயம் கொடுக்கிறது.

ஒரு வெளிப்படையாக சாதகமற்ற மூலோபாயம் ஒரு எதிர்ப்பாளர் போது வழக்கில், வடிவியல் விளக்கம் படம் வழங்கப்படும் தோற்றத்தை கொண்டுள்ளது. 4.4.

இந்த வழக்கில், வெற்றியின் கீழ் எல்லை 1 ல் மூலோபாயத்துடன் இணைந்திருக்கிறது, எதிரிக்கு 2 உள்ள மூலோபாயம் வெளிப்படையாக தீமையாகும்.

வடிவியல் விளக்கம் விளையாட்டின் பார்வை மற்றும் மேல் விலை கற்பனை செய்யலாம் (படம் 4.5).

உதாரணமாக, உதாரணமாக 1 மற்றும் 2 (படம் 4.6 மற்றும் 4.7) ஆகியவற்றில் விவாதிக்கப்படும் 2 × 2 விளையாட்டுகளின் வடிவியல் விளக்கங்களை நாம் நிர்மாணிப்போம்.

நாம் 2 × 2 விளையாட்டு அடிப்படை நுட்பங்களை தீர்க்க முடியும் என்று உறுதி. எந்த 2xn விளையாட்டு முற்றிலும் இதேபோல் தீர்க்கப்பட முடியும். நாம் இரண்டு உத்திகள் மட்டுமே எங்கே, எதிர்ப்பாளர் ஒரு தன்னிச்சையான எண் உள்ளது.

நாம் இரண்டு உத்திகள் இருக்கட்டும்: ஒரு 1, ஒரு 2, மற்றும் எதிர்ப்பாளர் - N மூலோபாயங்கள்: 1 இல், 2 இல், ... இல் n. மேட்ரிக்ஸ் ‖A ij ‖ அமைக்கப்படுகிறது; இது இரண்டு கோடுகள் மற்றும் n நெடுவரிசைகள் கொண்டிருக்கிறது. இரண்டு உத்திகளைப் போலவே, நாம் ஒரு வடிவியல் விளக்கப் பிரச்சினையை வழங்குவோம்; N எதிரி உத்திகள் n நேராக (படம் 4.8) மூலம் காட்டப்படுகின்றன. நாம் வெற்றிகரமாக (உடைந்த பி 1 MNB 2) குறைந்த வரம்பை கட்டி வருகிறோம், மேலும் அதிகபட்சமாக வதிவிடத்துடன் புள்ளி n ஐ கண்டுபிடிப்போம். இந்த புள்ளி விளையாட்டு ஒரு விளையாட்டு (மூலோபாயம் ) ஒழுங்குமுறை புள்ளி n என்பது விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக உள்ளது, மற்றும் abscissa மூலோபாயம் ஒரு 2 p 2 அதிர்வெண் சமமாக உள்ளது.

இந்த வழக்கில், உகந்த எதிரி மூலோபாயம் இரண்டு "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களின் கலவையைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது: 2 மற்றும் 4 இல் உள்ள 4-ல் உள்ள மூலோபாயம் 3 இல் உள்ள மூலோபாயம் வெளிப்படையாக இலாபமற்றது, மற்றும் மூலோபாயம் B 1 ஒரு உகந்த மூலோபாயத்துடன் Sa *. அது உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், வெற்றிபெறாது, அதன் "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களை எவ்வளவு அளவிடுவது, எனினும், அது மூலோபாயங்கள் பி 1 அல்லது 3 க்கு சென்றால் அது மாறும். கோட்பாடு கோட்பாட்டில், எந்த அல்டிமேட் MXN விளையாட்டிலும் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருப்பதாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் மற்ற பக்கங்களின் "பயனுள்ள" உத்திகள் எண்ணிக்கை இரண்டு எண்கள் எம் மற்றும் என் ஆகியவற்றை விட அதிகமாக இல்லை என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பாக, இது 2xm விளையாட்டு எப்போதும் மற்ற பக்கத்தில் இருந்து இரண்டு "பயனுள்ள" உத்திகள் இல்லை இதில் ஒரு தீர்வு இதில் இருந்து பின்வருமாறு.

வடிவியல் விளக்கம் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எந்த 2xm விளையாட்டு தீர்க்க ஒரு எளிய வழி கொடுக்க முடியும். நேரடியாக வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, எதிரிகளின் பி.ஜி. மற்றும் கே மற்றும் கே ஆகியவற்றின் ஒரு ஜோடியை நாம் காண்கிறோம், புள்ளி n இல் குறுக்கிடுவது (புள்ளியில் n இரண்டு உத்திகளை விட அதிகமாக இருந்தால், அவற்றில் இருவர் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்). ஒரு வீரர் மற்றும் அதன் உகந்த மூலோபாயத்திற்கு ஒரு வீரர் என்றால், வெற்றி பெறும் விகிதத்தை "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களுக்கு பொருந்தும் சார்ந்து இல்லை என்று எங்களுக்குத் தெரியும்.

இந்த சமன்பாடுகள் மற்றும் நிபந்தனைகள் p 2 \u003d 1 - P 1, நாம் P1, P2 மற்றும் விளையாட்டின் விலை கண்டுபிடிக்கிறோம். விளையாட்டின் விலை தெரிந்துகொள்வது உடனடியாக உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க முடியும் Player V. இதை செய்ய, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு: QJA 1 J + QKA 1 K \u003d ν, QJ + qk \u003d 1. வழக்கில் நாம் எம் உத்திகள் இருக்கும்போது, \u200b\u200bஎதிரி இரண்டு, வெளிப்படையாக , பணி முற்றிலும் இதே வழியில் தீர்க்கப்பட உள்ளது.; எதிர்ப்பை வென்ற அடையாளம் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் வீரர் மற்றும் "இழந்து" "வெற்றி" இருந்து நீங்கள் மாற்ற முடியும் போதும் போதும். நீங்கள் விளையாட்டு தீர்க்க மற்றும் சனிக்கிழமை அடையாளம் மாறாமல் இல்லாமல்; பின்னர் பணி P க்கு நேரடியாக தீர்ந்துவிட்டது, ஆனால் குறைந்த அல்ல, ஆனால் வெற்றிகளின் மேல் எல்லை (படம் 4.9). எல்லை மீது ஒரு புள்ளி n தேடும் குறைந்த அளவீடு, இது விளையாட்டு விலை இது.

நடைமுறையில் இருக்கும் விளையாட்டுகள் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மாதிரி மாதிரிகள் 2x 2 மற்றும் 2xM விளையாட்டுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு தீர்க்கவும்.

உதாரணம் 3.கட்சி மற்றும் இரண்டு பாம்பர் ஒரு எதிரி அனுப்புகிறது நான். மற்றும் II.; நான். முன் பறக்கிறது II. - பின்புறம். குண்டுவீச்சில் ஒன்று - இது முன்கூட்டியே அறியப்படவில்லை - ஒரு குண்டு இருக்க வேண்டும், மற்றொன்று சேர்ந்து செயல்படும் செயல்பாடு செய்கிறது. எதிர்ப்பாளரின் பகுதியில், பாம்பர் வேறுபட்ட வேகத்தன்மையின் துப்பாக்கிகளுடன் ஆயுதமயமாக்கப்பட்ட V. குண்டுவெடிப்பாளர்களின் போராளியால் பாம்பர் தாக்கப்படுகிறார். போர் பின்னால் பாம்பெர்பெர் தாக்குகிறது என்றால் II., பின்னர் இந்த குண்டுவீச்சின் நெருப்பு அது மீது வழிவகுக்கிறது; அவர் முன்னணி குண்டுதாரி தாக்கியிருந்தால், இரண்டு குண்டுவீச்சின் துப்பாக்கிகளும் அதில் வழிவகுக்கின்றன. முதல் வழக்கில் போர் காயத்தின் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும், இரண்டாவது 0.7 இல்.

போர் குண்டுவீச்சின் தற்காப்பு நெருப்பால் சுடப்படாவிட்டால், அவர் 0.6 இன் நிகழ்தகவுடன் அவர்களுக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இலக்கை தாக்குகிறார். குண்டுவீச்சின் பணி - இலக்கை ஒரு குண்டு வெளிப்படுத்த; போராளத்தின் பணி இதை தடுக்கிறது, i.e. கேரியர் குண்டுதலை ஏற்றவும். கட்சிகளின் உகந்த உத்திகளை தேர்வு செய்ய வேண்டும்:

ஒரு) கட்சி ஒரு: ஒரு கேரியர் செய்ய குண்டு என்ன?

b) கட்சி கே: என்ன பாம்பர் தாக்குதல்?

முடிவு. 2 × 2 விளையாடும் ஒரு எளிய வழக்கு உள்ளது; வெற்றிகரமாக வெற்றி பெற்றது செலவழிப்பு கேரியர். எங்கள் உத்திகள்: 1 - கேரியர் - பாம்பர் நான்.; மற்றும் 2 - கேரியர் - பாம்பர் II.. Entridary மூலோபாயம்: 1 இல் - தாக்குதல்கள் பாம்பர் நான்.; 2-கற்று பாம்பர் II.. விளையாட்டின் ஒரு அணி செய்வோம், i.e. மூலோபாயங்களின் ஒவ்வொரு கலவையுடனும் சராசரியான ஆதாயத்தைக் காண்கிறோம்.

1. 1 இல் 1 (கேரியர் நான்.தாக்குதல் நான்.). குண்டுவீச்சாளர்கள் ஒரு போராளியை சேகரித்தால் அல்லது வெளியேற்றப்படாவிட்டால், கேரியர் ஆச்சரியப்பட மாட்டாது, அல்லது வெளியேற்ற வேண்டாம், ஆனால் அது அவரது இலக்கை தாக்காது: ஒரு 11 \u003d 0.7 + 0.3 * 0.4 \u003d 0.82.

2. ஒரு 2 இல் 1 (கேரியர் II.தாக்குதல் நான்.). ஒரு 21 \u003d 1.

3. ஒரு 1 இல் 2 (கேரியர் நான்.தாக்குதல் II.). ஒரு 12 \u003d 1.

4. 2 இல் 2 (கேரியர் II.தாக்குதல் II.). ஒரு 22 \u003d 0.3 + 0.7 * 0.4 \u003d 0.58

விளையாட்டின் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் உள்ளது:

விளையாட்டு 0.82 குறைந்த விலை; மேல் விலை 1. அணி ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை; தீர்வு நாம் கலப்பு உத்திகள் துறையில் தேடும். எங்களுக்கு:

p 1 * 0.82 + பி 2 * 1 \u003d ν

p 1 * 1 + p 2 * 0,58 \u003d ν

p 1 \u003d 0.7; P 2 \u003d 0.3.

எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் i.e. ஒரு கேரியர் என நீங்கள் இன்னும் தேர்வு செய்ய வேண்டும் நான்.விட II.. விளையாட்டின் விலை ν \u003d 0.874 க்கு சமமாக உள்ளது. தெரிந்து கொள்ளுங்கள் ν, நாம் Q 1 மற்றும் Q 2 தீர்மானிக்க - 1 மற்றும் உகந்த எதிரி மூலோபாயம் S B * இல் 2 இல் உள்ள உத்திகள் அதிர்வெண்கள். நாம்: Q 1 * 0.82 + Q 2 * 1 \u003d 0.874 மற்றும் q 2 \u003d 1 - q 1, Q 1 \u003d 0.7 எங்கே இருந்து; q 2 \u003d 0.3, a.e., உகந்த எதிரி மூலோபாயம் .

உதாரணம் 4.கட்சி ஒரு பொருள் தாக்குதல்களை தாக்குகிறது, கட்சி - அவரை பாதுகாக்கிறது. பக்கத்தில் இருந்து - இரண்டு விமானம்; பி பக்கத்தில் - மூன்று ஜெனித் துப்பாக்கிகள். ஒவ்வொரு விமானமும் ஒரு சக்திவாய்ந்த பாசத்தின் ஒரு கேரியர் ஆகும்; பொருள் ஆச்சரியப்படுவதற்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானத்தை உடைக்க போதுமானதாக இருக்கும். விமானம் கட்சி மற்றும் பொருள் அணுக மூன்று திசைகளில் எந்த தேர்வு செய்யலாம்: நான்., II., Iii. (படம் 4.10). எதிரி (பக்க சி) எந்த திசையில் அதன் துப்பாக்கிகள் எந்த இடமளிக்கும்; இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு கருவியும் இந்த பகுதியில் தொடர்புடைய இடத்தை மட்டுமே எடுக்கும், மற்றும் அண்டை திசைகளை சுட முடியாது. ஒவ்வொரு ஆயுதமும் ஒரே ஒரு விமானத்தை சுட முடியும்; துப்பாக்கி சூடு விமானம் ஒரு நிகழ்தகவு மூலம் வியப்பாகவும் 1. கட்சி மற்றும் துப்பாக்கிகள் வைக்கப்படும் எங்கே தெரியாது; விமானம் எங்கிருந்து வரும் என்று கட்சி தெரியாது. ஒரு பகுதியின் பணி பொருள் அடிக்க வேண்டும்; கட்சிகளின் நோக்கம் - அதன் தோல்வியைத் தடுக்கிறது. விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வு காணலாம்.

முடிவு. விளையாட்டு 2 × 3 விளையாட்டு. வெற்றி என்பது பொருள் சேதத்தின் சாத்தியம். எங்கள் சாத்தியமான உத்திகள்: ஒரு 1 - ஒரு விமானத்தை இரண்டு வெவ்வேறு திசைகளில் அனுப்பவும். ஒரு 2 - ஒரு திசையில் இரு விமானங்களையும் அனுப்புங்கள். Endariary மூலோபாயம்: 1 இல் - ஒவ்வொரு திசையில் ஒரு கருவிக்கு ஒரு கருவி; 2 - ஒரு திசையில் இரண்டு துப்பாக்கிகள் வைத்து - மற்றொரு; 3 ல் - ஒரு திசையில் மூன்று துப்பாக்கிகளையும் வைத்து. விளையாட்டின் ஒரு அணி உருவாக்கவும்.

1. மற்றும் 1 இல் 1 (விமானம் பறக்க பல்வேறு பகுதிகளில்; துப்பாக்கிகள் ஒன்று ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளன). வெளிப்படையாக, எந்த விமானம் பொருள் மீது உடைக்கிறது: ஒரு 11 \u003d 0.

2. ஒரு 2 இல் ஒரு 2 (விமானம் ஒரு திசையில் ஒன்றாக பறக்க; துப்பாக்கிகள் ஒன்று ஒன்று வைக்கப்படுகின்றன). வெளிப்படையாக, அதே நேரத்தில் ஒரே நேரத்தில் ஒரு விமானம் ஆர்வமில்லாமல் பொருள் கடந்து: ஒரு 21 \u003d 1.

3. மற்றும் 1 முதல் 2 வரை (விமானம் ஒன்று ஒரு பறக்க; எதிர்ப்பாளர் இரண்டு திசைகளை பாதுகாக்கிறது மற்றும் பாதுகாப்பற்ற மூன்றாவது விட்டு). குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானம் பொருள் வரை உடைக்கக்கூடிய சாத்தியக்கூறுகள், அவற்றில் ஒன்று ஒரு பாதுகாப்பற்ற திசையைத் தேர்ந்தெடுப்பது: 12 \u003d 2/3.

4. 2 இல் 2 (விமானம் ஒரு திசையில் ஒன்றாக பறக்க; எதிரி இரண்டு கருவிகள் மற்றும் ஒரு ஒரு திசையில் பாதுகாக்கிறது - ஒரு, என்று, உண்மையில் ஒரு திசையில் பாதுகாக்கிறது மற்றும் பாதுகாப்பற்ற இரண்டு விட்டு). குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானம் பொருள் வரை உடைக்கக்கூடிய சாத்தியக்கூறுகள் ஒரு ஜோடி விமானம் உண்மையில் பாதுகாப்பற்ற திசையில் சாத்தியமாகும்: ஒரு 22 \u003d 2/3.

5. மற்றும் 1 முதல் 3 (விமானம் ஒன்று பறக்கிறது; எதிர்ப்பாளர் மூன்று ஆயுதங்களை ஒரே ஒரு திசையை பாதுகாக்கிறது): ஒரு 13 \u003d 1.

6. மற்றும் 2 இல் 3 (விமானம் ஒன்றாக பறக்க; எதிர்ப்பாளர் மூன்று ஆயுதங்களை ஒரே ஒரு திசையை பாதுகாக்கிறது). பொருள் ஆச்சரியப்படுவதற்கு பொருட்டு, விமானம் ஒரு பாதுகாப்பற்ற திசையைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும்: 23 \u003d 2/3.

மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டு:

மேட்ரிக்ஸ் இருந்து 3 இன் மூலோபாயம் B 2 உடன் ஒப்பிடும்போது வெளிப்படையாக சாதகமற்றதாக இருப்பது தெளிவாக உள்ளது (இது முன்கூட்டியே தீர்க்கப்பட முடியும்). 3 விளையாட்டில் மூலோபாயம் வெளிப்படுத்தும் விளையாட்டு 2 × 2 கீழே வரும்:

மேட்ரிக்ஸ் ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது: விளையாட்டு குறைந்த விலை 2/3 மேல் கொண்டு coincides. அதே நேரத்தில், எங்களுக்கு (அ), மூலோபாயம் ஒரு 1 வெளிப்படையாக தீமைகளை என்று கவனிக்கிறோம். தீர்மானம்: இரு கட்சிகளும் A மற்றும் B எப்போதும் தங்கள் தூய உத்திகள் ஒரு 2 மற்றும் பி 2, i.e. பயன்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் விமானத்தை அனுப்ப வேண்டும், நீராவி அனுப்பப்படும் ஒரு சீரற்ற திசையைத் தேர்ந்தெடுப்பது; எதிரி இந்த போன்ற துப்பாக்கிகள் வைக்க வேண்டும்: இரண்டு - ஒரு திசையில், ஒரு - மற்றொன்று, மற்றும் இந்த பகுதிகளில் தேர்வு வாய்ப்பு மூலம் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும் (இங்கே, நாம் பார்க்கும் போது, \u200b\u200bஏற்கனவே "தூய உத்திகள்" ஒரு உறுப்பு அடங்கும் வாய்ப்பு). இந்த உகந்த உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் எப்போதும் ஒரு நிரந்தர சராசரி வின்னிங்ஸ் 2/3 (I.E. ஒரு பொருளை 2/3 ஒரு நிகழ்தகவுடன் பாதிக்கப்படும்) பெறுவோம். தீர்வு காணப்படவில்லை என்பது மட்டும் அல்ல; தூய உத்திகளைத் தீர்ப்பதற்கு கூடுதலாக, PAR 1 \u003d 0 முதல் p 1 \u003d 1/3 (படம் 4.11) இருந்து உகந்ததாக இருக்கும் வீரர் A, கலப்பு உத்திகள் ஒரு பகுதி உள்ளது.

உதாரணமாக, எடுத்துக்காட்டாக, அதே சராசரியான வெற்றிகள் 2/3 வெற்றிபெறும் என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் 1/3 மற்றும் 2/3 விகிதத்தில் ஒரு 2 உத்திகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

உதாரணம் 5. முந்தைய உதாரணத்தில் அதே நிலைமைகள், ஆனால் எங்களுக்கு நான்கு திசைகளில் தாக்கம் உள்ளன, மற்றும் எதிரி நான்கு துப்பாக்கிகள் உள்ளன.

முடிவு.நாங்கள் இன்னும் இரண்டு சாத்தியமான உத்திகள் உள்ளன: ஒரு 1 - ஒரு விமானம் ஒன்று ஒன்று ஒன்று, மற்றும் 2 - ஒன்றாக இரண்டு விமானம் அனுப்ப. எதிர்ப்பாளருக்கு ஐந்து சாத்தியமான உத்திகள் உள்ளன: 1 இல் - ஒவ்வொரு திசையிலும் கருவிக்கு ஒரு கருவி; 2 இல் - இரண்டு துப்பாக்கிகள் இரண்டு வெவ்வேறு திசைகளில் வைக்க; 3 - இரண்டு துப்பாக்கிகள் ஒரு திசையில் மற்றும் ஒன்று ஒன்று - இரண்டு மற்றவர்கள்; 4 இல் ஒரு திசையில் மூன்று துப்பாக்கிகளையும், ஒருவருக்கும் ஒன்று; 5 இல் - ஒரு திசையில் நான்கு துப்பாக்கிகளையும் வைத்து. 4 ல் உள்ள உத்திகள், 5-ல் 5 முன்கூட்டியே எறிந்துவிட்டு வெளிப்படையாக சாதகமற்றதாக இருக்கும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டுக்கு இதேபோல் வாதிடுகிறோம், விளையாட்டின் ஒரு மேட்ரிக் ஒன்றை உருவாக்குகிறோம்:

1/2 விளையாட்டு குறைந்த விலை, மேல் 3/4. அணி ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை; இந்த முடிவை கலப்பு உத்திகள் துறையில் உள்ளது. வடிவியல் விளக்கத்தை பயன்படுத்தி (படம் 4.12) பயன்படுத்தி, நாம் "பயனுள்ள" எதிரி உத்திகள் முன்னிலைப்படுத்த: 1 மற்றும் 2 ல்.

அதிர்வெண்கள் P 1 மற்றும் P 2 நாம் சமன்பாடுகள் இருந்து வரையறுக்கிறோம்: P 1 * 0 + (1 - P 1) * 1 \u003d ν மற்றும் P 1 * 5/6 + (1 - பி 1) * 1/2 \u003d ν; எங்கே p 1 \u003d 3/8; P 2 \u003d 5/8; ν \u003d 5/8, i.e. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் உள்ளது . அதைப் பயன்படுத்தி, சராசரியாக Winnings 5/8 உங்களை உத்தரவாதம் செய்கிறோம். விளையாட்டு ν \u003d 5/8 விலையை அறிந்துகொள்வது, அதிர்வெண் Q 1 மற்றும் Q 2 "பயனுள்ள" எதிரி உத்திகள்: Q 1 * 0 + (1 - Q 1) * 5/6 \u003d 5/8, q 1 \u003d ¼, q 2 \u003d ¾. உகந்த எதிரி மூலோபாயம் இருக்கும்: .

உதாரணம் 6. கட்சி ஒரு இரண்டு உத்திகள் ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2, பக்க பி 1, 2, 3 மற்றும் 4 மற்றும் 4 இல் உள்ளது. விளையாட்டின் மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் உள்ளது:

விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வு காணலாம்.

முடிவு. விளையாட்டு குறைந்த விலை 3; மேல் 4. வடிவியல் விளக்கம் (படம் 4.13) வீரர் பயனுள்ள உத்திகள் 1 மற்றும் 2 அல்லது 2 மற்றும் 4 இல் உள்ளன என்று காட்டுகிறது:

வீரர் ஒரு எண்ணற்ற பல உகந்த கலப்பு உத்திகள் உள்ளன: உகந்த மூலோபாயம் பி 1 இல், அது 1/5 முதல் 4/5 வரை மாறுபடலாம். விளையாட்டு விலை ν \u003d 4. வீரர் 2 ல் ஒரு சுத்தமான உகந்த மூலோபாயம் உள்ளது.

§ ஐந்து. பொது முறைகள் இறுதி விளையாட்டு முடிவுகளை

நாங்கள் மிகவும் எளிமையான வகை 2xn இன் மிக அடிப்படையான விளையாட்டுகளைக் கொண்டிருக்கிறோம், இது மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்பட முடியும் மற்றும் வசதியான மற்றும் காட்சி வடிவியல் விளக்கத்தை அனுமதிக்கலாம். பொது விஷயத்தில், MXN விளையாட்டு தீர்வு ஒரு கடினமான பணியை பிரதிபலிக்கிறது, சிக்கலான சிக்கலான தன்மையை பிரதிபலிக்கிறது, மேலும் M மற்றும் N. உடன் கணக்கீடு அதிகரிப்பதைத் தீர்க்க தேவையான கணக்கீட்டு அளவைக் குறிக்கிறது. எனினும், இந்த கஷ்டங்கள் ஒரு அடிப்படை இயல்பு தாங்கவில்லை மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் சில சந்தர்ப்பங்களில் நடைமுறையில் சாத்தியமற்றதாக இருக்கலாம், இது மிகப்பெரிய அளவில் மட்டுமே தொடர்புடையது. முடிவின் முடிவின் முக்கியப் பகுதி எந்த எமுக்கும் ஒரே மாதிரியாகவும் உள்ளது.

விளையாட்டு 3xn இன் உதாரணத்தில் இதை விளக்குகிறோம். அவளுக்கு ஜியோமெட்ரிக் விளக்கத்தை வழங்குவோம் - ஏற்கனவே ஸ்பேடியா. மூன்று எங்கள் உத்திகள் மற்றும் 1, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 விமானம் மூன்று புள்ளிகள் இருக்கும் ஹோ; அச்சுப்பொறிகளில் (படம் 5.1), இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது அடிப்படையில் முதல் பொய்கள் ஓ மற்றும் ஓ தொடக்கத்தில் இருந்து தொலைவில் 1 தொலைவில்.

புள்ளிகள் ஒரு 1, மற்றும் 2 மற்றும் 3 மற்றும் 3 ஆக அச்சிடப்படுகிறது நான். – நான்., II. – II. மற்றும் Iii. – Iii.விமானம் செங்குத்தாக ஹோ. அச்சு மீது நான். – நான். அச்சுகளில் 1 மூலோபாயம் ஒரு 1 போது winnings தள்ளி II. – II. மற்றும் Iii. – Iii. - உத்திகள் ஒரு 2, மற்றும் 3 உடன் வென்றது. ஒவ்வொரு எதிரி மூலோபாயம் பி J அச்சுகள் மீது வெட்டுகிறது என்று ஒரு விமானத்தை காட்டுகிறது நான். – நான்., II. – II. மற்றும் Iii. – Iii. பொருத்தமான உத்திகள் ஒரு 1, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 மற்றும் மூலோபாயத்துடன் வெற்றி பெறும் பகுதிகள். இதனால், அனைத்து எதிரி உத்திகளையும் கட்டியெழுப்ப, நாம் ஒரு 1, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 (படம் 5.2) மீது விமானங்கள் ஒரு குடும்பத்தை பெற. இந்த குடும்பத்திற்கு, நீங்கள் 2xn விஷயத்தில் செய்ததைப் போல, இந்த எல்லைப் பற்றிய புள்ளியைக் கண்டறிந்து, இந்த குடும்பத்திற்கு ஒரு குறைந்த எல்லையை உருவாக்கலாம். அதிகபட்ச உயரம் விமானம் மேலே ஹோ. இந்த உயரம் விளையாட்டின் விலை ஆகும்.

அதிர்வெண்கள் பி 1, பி 2, பி 3 உத்திகள் ஒரு 1, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 மற்றும் ஒரு 3 உகந்த SA * மூலோபாயத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் (எக்ஸ், y) மூலம் தீர்மானிக்கப்படும், அதாவது P 2 \u003d x, p 3 \u003d y, p 1 \u003d 1 - p 2 - p 3. இருப்பினும், 3xn இன் வழக்குக்காக அத்தகைய ஒரு வடிவியல் கட்டுமானம் நடைமுறைப்படுத்த எளிதானது அல்ல, உயர்ந்த நேரம் மற்றும் கற்பனையின் முயற்சிகளுக்கு தேவைப்படுகிறது. விளையாட்டின் பொது விஷயத்தில், இது எம்டி-பரிமாண இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டு, சில சந்தர்ப்பங்களில் வடிவியல் சொற்களஞ்சியத்தின் பயன்பாடு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்றாலும், அனைத்து பார்வையும் இழக்கப்படுகிறது. MXN விளையாட்டுகளை நடைமுறையில் தீர்க்கும் போது அது வடிவியல் ஒப்புமைகளை பயன்படுத்த மிகவும் வசதியாக உள்ளது, ஆனால் கணக்கிடப்படுகிறது பகுப்பாய்வு முறைகள் மூலம், குறிப்பாக இருந்து, கணினி கணினிகளில் சிக்கலை தீர்க்க, இந்த முறைகள் முற்றிலும் பொருத்தமானது.

இந்த முறைகள் அனைத்தும் தொடர்ச்சியான மாதிரிகள் மூலம் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் மாதிரியின் வரிசையை வரிசைப்படுத்தும் ஒரு வழிமுறையை நீங்கள் மிகவும் சிக்கனமான வழிமுறையைத் தீர்ப்பதற்கு வழிவகுக்கும் ஒரு வழிமுறையை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. இங்கே "நேரியல் நிரலாக்க" முறை என்று அழைக்கப்படும் - MXN விளையாட்டுகளை தீர்ப்பதற்கான அதே கணக்கிடப்பட்ட முறைகளில் கவனம் செலுத்துகிறோம். இதை செய்ய, நாம் முதலில் MXN விளையாட்டின் முடிவை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலின் ஒட்டுமொத்த அமைப்பை வழங்குவோம். எம் உத்திகள் MXN விளையாட்டு ஒரு 1, ஒரு 2, ..., மற்றும் எம் வீரர் A மற்றும் N மூலோபாயங்கள் பி 1, b 2, ..., பி N வீரர் மற்றும் அமைக்க Metress ‖a i j ‖. இது விளையாட்டின் ஒரு முடிவை கண்டுபிடிக்க வேண்டும், i.e. வீரர்கள் ஒரு மற்றும் உள்ளே இரண்டு உகந்த கலப்பு உத்திகள்

ப 1 + பி 2 + ... + பி M \u003d 1; q 1 + q 2 + ... + q n \u003d 1 (எண்கள் P I மற்றும் Q J பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்).

எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் எஸ் ஒரு * ஒரு வெற்றியை வழங்க வேண்டும், குறைந்த ν, எதிரி எந்த நடத்தை, மற்றும் ν சமமாக ஒரு ஆதாயம், அதன் உகந்த நடத்தை (மூலோபாயம் எஸ் பி *). இதேபோல், மூலோபாயம் எஸ் பி * ஒரு எதிர்ப்பாளரை இழப்புடன் வழங்க வேண்டும், ν ஐ விட அதிகமாக இல்லை, எமது நடத்தை எவருடனும், எமது உகந்த நடத்தை (மூலோபாயம் S A *) உடன் சமமாக இருக்கும்.

விளையாட்டின் விலையின் அளவு இந்த வழக்கில் எங்களுக்கு தெரியவில்லை; அது சிலருக்கு சமமாக இருப்பதாக நாங்கள் கருதுகிறோம் நேர்மறை எண்.. விசுவாசிப்பது, நியாயத்தீர்ப்பின் பொதுவான தன்மையை நாம் மீறுவதில்லை; Ν\u003e 0 ஆக இருப்பதற்கு, மேட்ரிக்ஸ் ‖A I J ‖ நான் அல்லாத எதிர்மறையாக இருந்தது என்று தெளிவாக உள்ளது. இது எப்போதுமே ‖a i j ‖ ஒரு நேர்மறையான மதிப்பை சேர்ப்பதன் மூலம் அடைய முடியும் எல்; அதே நேரத்தில் விளையாட்டின் விலை அதிகரிக்கும் எல்மற்றும் முடிவு மாறாது.

நாங்கள் எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் S ஒரு * ஐ தேர்வு செய்யலாம். பின்னர் மூலோபாயங்கள் B ஜே எதிரி மூலம் நமது சராசரி வெற்றிகள்: ஒரு j \u003d p 1 1j + p 2 a 2j + ... + p m a mj. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் எஸ் ஒரு * எதிரி எந்த நடத்தை கொண்ட சொத்து உள்ளது என்று சொத்து ν க்கும் குறைவாக இல்லை என்று உறுதி; இதன் விளைவாக, எண்களில் ஏதேனும் ஒரு j குறைவாக இருக்க முடியாது. பல நிபந்தனைகளைப் பெறுகிறோம்:

Ν இன் நேர்மறையான மதிப்பில் நாங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளை (5.1) பிரித்து விடுவோம்

பின்னர் நிபந்தனைகள் (5.1) வடிவத்தில் பதிவு செய்யப்படும்

எங்கே ξ 1, ξ 2, ..., ξ மீ அல்லாத எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. பி 1 + பி 2 + ... + பி M \u003d 1, மதிப்புகள் ξ 1, ξ 2, ..., ξ மீ நிலைமையை திருப்தி

(5.3) ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ m \u003d 1 / ν.

நாம் முடிந்தவரை தங்கள் உத்தரவாத வெற்றியை செய்ய வேண்டும்; வெளிப்படையாக, அதே நேரத்தில் சரியான பகுதி சமத்துவம் (5.3) குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். எனவே, விளையாட்டின் தீர்வு கண்டுபிடிப்பதற்கான பணி பின்வரும் கணித சிக்கலுக்கு குறைகிறது: ξ 1, ξ 2, ξ மீ, திருப்திகரமான நிலைமைகள் (5.2) ஆகியவற்றின் அல்லாத எதிர்மறையான மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க, அவற்றின் தொகை φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ M இது குறைவாக இருந்தது.

வழக்கமாக, தீவிர மதிப்புகள் (அதிகபட்சம் மற்றும் மினிமா) கண்டுபிடிப்பதில் தொடர்புடைய பிரச்சினைகளை தீர்க்கும் போது, \u200b\u200bசெயல்பாடு வேறுபட்டது மற்றும் பூஜ்ஜிய பங்குகள் மூலம் சமமாக உள்ளது. ஆனால் இந்த நுட்பம் இந்த வழக்கில் பயனற்றது, செயல்பாடு φ, இது மாற்றப்பட வேண்டும், நேரியல், மற்றும் அனைத்து வாதங்கள் உள்ள அதன் பங்குகள் ஒரு சமமாக இருக்கும், i.e. எங்கும் பூஜ்யம் இல்லை. எனவே, அதிகபட்ச செயல்பாடு வாதங்கள் மாற்றத்தின் பகுதியின் எல்லையில் எங்காவது எங்காவது அடையப்படுகிறது, இது வாதங்கள் மற்றும் நிலைமைகளின் (5.2) எதிர்மறையான தன்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீவிர மதிப்புகளை ஏற்றுக்கொள்வது பொருத்தமானது அல்ல, வழக்குகளில் வெற்றிகரமாக (அல்லது குறைந்தது மேல் மேலே) எல்லைக்கு விளையாட்டுகளைத் தீர்க்க தீர்மானிக்கப்படுகிறது, உதாரணமாக, உதாரணமாக, 2xn விளையாட்டுகளை தீர்க்கும் போது தீர்மானிக்கப்பட்டது. உண்மையில், குறைந்த வரம்பு நேராக கோடுகள் பகுதிகளில் உருவாக்கப்படுகிறது, மற்றும் அதிகபட்சம் derivative பூஜ்யம் (அத்தகைய புள்ளி இல்லை), மற்றும் இடைவெளி எல்லை அல்லது நேர்த்தியான சந்திப்பு புள்ளியில் ஒரு கட்டத்தில் அடைய முடியாது தளங்கள்.

அத்தகைய பணிகளை தீர்க்க, பெரும்பாலும் நடைமுறையில் நிகழும், ஒரு சிறப்பு நேரியல் நிரலாக்க இயந்திரம் கணிதத்தில் உருவாக்கப்பட்டது. நேரியல் நிரலாக்கத்தின் பணி பின்வருமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளது. டானா அமைப்பு நேரியல் சமன்பாடுகள்:

Ξ 1, ξ 2, ξ, ξ மீ, திருப்திகரமான நிலைமைகள் (5.4) அல்லாத எதிர்மறையான மதிப்புகள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் மற்றும் அதே நேரத்தில் மதிப்புகள் ஒரு கொடுக்கப்பட்ட ஒரே ஒரு நேரியல் செயல்பாடு குறைந்தபட்ச செலுத்தும் ξ 1, ξ 2, ξ, ξ M (நேரியல் வடிவம்): φ \u003d c 1 × 1 + c 2 × 2 + ... + செ.மீ.

விளையாட்டு கோட்பாட்டின் மேலே பணி C 1 \u003d c 2 \u003d ... \u003d cm \u003d 1. ஒரு பார்வையில் ஒரு நேரியல் நிரலாக்க பிரச்சனையின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்று உறுதி செய்ய எளிதானது. இது நிலைமைகளாக தோன்றலாம் (5.2) நிலைமைகளுக்கு சமமானதாக இல்லை (5.4), அதற்கு பதிலாக சமத்துவம் அறிகுறிகள் சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. எனினும், சமத்துவமின்மை அறிகுறிகள் இருந்து பெற எளிதானது, புதிய கற்பனையான அல்லாத எதிர்மறை மாறிகள் z 1, Z 2, ..., z n மற்றும் பதிவு நிலைமைகள் (5.2) அறிமுகப்படுத்துவது எளிது.

படிவம் φ, ஒரு குறைந்தபட்ச தலைகீழாக வேண்டும், φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ மீ. நேரியல் நிரலாக்க சாதனம் மதிப்பு ξ 1, ξ 2, ..., ξ மீ தேவைகளை திருப்திப்படுத்துவதற்கு ஒப்பீட்டளவில் சிறிய எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகள் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகள் அனுமதிக்கிறது. கிரேட்டர் கிளர்ச்சிக்கு, குறிப்பிட்ட விளையாட்டுக்களை தீர்க்கும் பொருட்களில் நேரடியாக இந்த சாதனத்தை நேரடியாக விண்ணப்பிக்க இங்கே காண்பிப்போம்.

உதாரணம் 1. இது விளையாட்டின் தீர்வு கண்டுபிடிக்க வேண்டும் 3 × 3 எடுத்துக்காட்டாக 2 × 1, ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கொண்டு:

எல்லாவற்றையும் மற்றும் IJ அல்லாத எதிர்மறையான செய்ய, மேட்ரிக்ஸ் எல் \u003d 5 இன் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் சேர்க்கவும். நாங்கள் மேட்ரிக்ஸ் பெறுகிறோம்:

அதே நேரத்தில், விளையாட்டின் விலை 5 ஆல் அதிகரிக்கும், மேலும் முடிவு மாறாது.

நாங்கள் உகந்த மூலோபாயம் S ஐ வரையறுக்கிறோம். நிபந்தனைகள் (5.2) படிவம்:

எங்கே ξ 1 \u003d p 1 / ν, ξ 2 \u003d p 2 / ν, ξ 3 \u003d p 3 / ν. சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளை அகற்றுவதற்கு, கற்பனையான மாறிகள் Z 1, Z 2, Z 3 அறிமுகப்படுத்துகிறோம்; நிபந்தனைகள் (5.6) வடிவத்தில் பதிவு செய்யப்படும்:

நேரியல் படிவம் φ உள்ளது: φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 மற்றும் முடிந்தவரை சிறிய செய்ய வேண்டும். அனைத்து மூன்று உத்திகளும் "பயனுள்ளதாக" இருந்தால், பின்னர் மூன்று கற்பனையான மாறிகள் Z 1, Z 2, Z 3 பூஜ்ஜியமாக மாறும் (அதாவது, விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும் ν ஒவ்வொரு B ஜே மூலோபாயத்துடன் அடையலாம்). ஆனால் மூன்று மூலோபாயங்களும் "பயனுள்ளதாக இருக்கும்" என்று வாதிடுவதற்கு இன்னும் காரணம் இல்லை. அதை சோதிக்க, நாம் கற்பனை மாறிகள் z 1, Z 2, Z 3 மூலம் வடிவம் φ வெளிப்படுத்த முயற்சி செய்வோம் மற்றும் நாம் பார்க்க, நாம் பூஜ்ஜிய சமமாக, குறைந்தது வடிவம் சமமாக நம்புகிறோம். இதை செய்ய, சமன்பாடுகள் (5.7) மாறிகள் (5.7) மாறிகள் ξ 1, ξ 2, ξ 3 (i.e., எக்ஸ்பிரஸ் ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 3 கற்பனை மாறிகள் Z 1, Z 2, Z 3) பொறுத்து:

மடிப்பு ξ 1, ξ 2, ξ 3, நாம் பெறுகிறோம்: φ \u003d 1/5 + z 1/20 + Z 2/10 + z 3/2 20. இங்கே அனைத்து z இல் உள்ள குணகங்களும் நேர்மறையானவை; அதாவது Z 1, Z 2 இல் எந்த அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு மேலே உள்ள z 3 என்பது படிவத்தில் அதிகரிப்புக்கு மட்டுமே வழிவகுக்கும், அது குறைந்ததாக இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் விரும்புகிறோம். இதன் விளைவாக, Z 1, Z 2, Z 3, ஒரு குறைந்தபட்ச மதிப்புகள் ஒரு குறைந்தபட்ச, z 1 \u003d z 2 \u003d z 3 \u003d 0. எனவே, படிவத்தின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு φ: 1 / ν \u003d 1 / 5, விளையாட்டின் விலை எங்கிருந்து ν \u003d 5. ஜீரோ மதிப்புகள் Z 1, Z 2, Z 3 க்கு மாற்றுதல் (5.8), நாங்கள் காண்கிறோம்: ξ 1 \u003d 1/20, ξ 2 \u003d 1/10, ξ 3 \u003d 1/20, அல்லது, அவர்களை பெருக்குவது ν, p 1 \u003d 1/4, p 2 \u003d 1/2, p 3 \u003d 1/4. இதனால், உகந்த மூலோபாயம் மற்றும் காணப்படும்: . நாம் ஒரு காலாண்டில் ஒரு காலாண்டில் படம் 1, அரை சந்தர்ப்பங்களில் 2 மற்றும் பிற காலாண்டுகளின் பிற பகுதிகளில் 3.

விளையாட்டு ν \u003d 5 விலை தெரிந்தும், நீங்கள் ஏற்கனவே முடியும் அறியப்பட்ட முறைகள் உகந்த எதிரி மூலோபாயம் கண்டுபிடிக்க . இதை செய்ய, எங்களது இரண்டு "பயனுள்ள" மூலோபாயங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் (உதாரணமாகவும், 2 மற்றும் ஒரு 3) மற்றும் சமன்பாடுகளை எழுதவும்:

9Q 1 + 11 (1-q 2 -q 1) \u003d 5,

q 1 \u003d Q3 \u003d 1/4 எங்கிருந்து; q 2 \u003d 1/2. உகந்த எதிரி மூலோபாயம் எங்கள் அதே இருக்கும்: . இப்போது ஆரம்பத்தில் மீண்டும் (மாற்றம் இல்லை) விளையாட்டு. இதை செய்ய, அது எல் \u003d 5 அளவு எடுக்க விளையாட்டு ν \u003d 5 விலை மட்டுமே தேவை, மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் சேர்க்க. நாம் அசல் விளையாட்டு V 0 \u003d 0. விலை பெறுவோம். இதன் விளைவாக, இரு கட்சிகளின் உகந்த உத்திகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான சராசரியான ஆதாயத்தை வழங்குகின்றன; விளையாட்டு இரு பக்கங்களிலும் சமமாக அல்லது பயனற்றதாக உள்ளது.

உதாரணம் 2. விளையாட்டு கிளப் ஒரு குழு ஒரு 1, மற்றும் 2 மற்றும் ஒரு 3 குழு அமைப்பு மூன்று வகைகளில் உள்ளது. கிளப் B என்பது மூன்று எகிப்திமெண்ட்டுகள் b 1, 2 மற்றும் 3 இல் உள்ளது. போட்டியில் பங்கேற்பிற்கான விண்ணப்பத்தைப் பயன்படுத்துதல், கிளப்புகள் எதுவும் ஒரு எதிர்ப்பாளரைத் தேர்ந்தெடுப்பது என்னவென்பது தெரியாது. கிளப் ஏ வென்ற நிகழ்தகவு வெவ்வேறு விருப்பங்கள் கடந்த கூட்டங்களின் அனுபவத்திலிருந்து சுமார் அறியப்பட்ட அணியின் பாடல்கள் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் அமைக்கப்பட்டுள்ளன:

சில அதிர்வெண் கிளப்புகளுடன், கூட்டங்களில் ஒவ்வொருவரும் வெற்றிகரமாக வெற்றிகரமாக வெற்றி பெற வேண்டும்.

முடிவு. விளையாட்டு 0.4 குறைந்த விலை; மேல் 0.6; தீர்வு நாம் கலப்பு உத்திகள் துறையில் தேடும். உரையாடல்களை சமாளிக்க வேண்டாம் பொருட்டு, மேட்ரிக்ஸ் அனைத்து கூறுகளையும் பெருக்கலாம்; அதே நேரத்தில், விளையாட்டின் விலை 10 முறை அதிகரிக்கும், மேலும் முடிவு மாறாது. நாம் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கிடைக்கும்:

நிபந்தனைகள் (5.5) படிவம்:

மற்றும் குறைந்தபட்ச நிலை φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 \u003d நிமிடம்.

அனைத்து மூன்று எதிரி உத்திகளும் "பயனுள்ள" என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம். கருதுகோள் என, நாம் முதல் கற்பனை மாறிகள் z 1, Z 2, z 3 பூஜ்யம் என்று கருதுகிறோம், மற்றும் சமன்பாடு (5.10) ξ 1, ξ 2, ξ 3 உடன் சமன்பாடு (5.10) சோதிக்க.

(5.12) 136} 30 + 13z 1 + 18z 2 - 51z 3

ஃபார்முலா (5.12) அவற்றின் மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்புடன் ஒப்பிடுகையில் மாறிகள் Z 1 மற்றும் Z 2 இன் அதிகரிப்பு φ அதிகரிக்க முடியும் என்று காட்டுகிறது φ அதிகரிக்க முடியும், அதேசமயம் Z 3 இன் அதிகரிப்பு φ குறைக்க முடியும். இருப்பினும், Z 3 இன் அதிகரிப்பு கவனமாக மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும், மதிப்புகள் ξ 1, ξ 2, ξ 3 Z 3 இல் சார்ந்து எதிர்மறையாக இல்லை என்று கவனமாக மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும். எனவே, நாம் சமநிலைகளின் சரியான பகுதிகளில் (5.11) Z 1 மற்றும் Z 2 இன் மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானவை, மற்றும் மதிப்பு Z 3 அனுமதிக்கப்படும் வரம்புகள் (இதுவரை மதிப்புகள் ξ 1, ξ 2, ξ 3 பூஜ்ஜியமாக மாறாது). இரண்டாவது சமத்துவம் (5.11) இருந்து z 2 இன் மதிப்புக்கு z 3 "பாதுகாப்பாக" அதிகரிப்பு என்று காணலாம் - அது மட்டுமே அதிகரிக்கிறது. மதிப்புகள் என ξ 1, மற்றும் ξ 3, இங்கே Z 3 அதிகரிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பை மட்டுமே சாத்தியம். Z 3 \u003d 10/23 இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு ξ 1 முறையீடுகளின் மதிப்பு; Ξ 3 முறைகளின் மதிப்பு பூஜ்யத்திற்கு முன்பே, ஏற்கனவே Z 3 \u003d 1/4 இல். எனவே, z 3 அதன் அதிகபட்ச அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்பு Z 3 \u003d 1/4 கொடுக்கும் போது, \u200b\u200bநாம் பூஜ்யம் மதிப்பு ξ 3 திரும்ப போது.

படிவம் φ z 1 \u003d 0, z 2 \u003d 0, ξ 3 \u003d 0 இல் குறைந்தபட்சம் தோன்றுகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும், சமமான பூஜ்யம் Z 1, Z 2, ξ 3 இல் மீதமுள்ள (சம பூஜ்யம் இல்லை) மாறிகள் வெளிப்படுத்தும். Ξ 1, ξ 2 மற்றும் Z 3 ஆகியவற்றை பொறுத்து சமன்பாடுகள் (5.10) தீர்ப்பது: நாம் பெறுகிறோம்:

(5.13) 32φ \u003d 7 + ZZ 1 + 4z 2 + ξ 3

ஃபார்முலா (5.13) இருந்து Z 1, Z 2, ξ 3 இன் அதிகரிப்பு அவற்றின் நோக்கம் பூஜ்ய மதிப்புகள் மீது மட்டுமே வடிவத்தை அதிகரிக்க முடியும் என்று காணலாம். இதன் விளைவாக, விளையாட்டின் முடிவு காணப்படுகிறது; இது மதிப்புகள் z 1 \u003d z 2 \u003d ξ 3 \u003d 0, எங்கிருந்து 1 \u003d 1/32, ξ 2 \u003d 3/16, z 3 \u003d 1/4 இலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சூத்திரத்தில் மாற்றுதல் (5.13), விளையாட்டின் விலை கண்டுபிடிப்போம் ν: 32φ \u003d 7 \u003d 32 / ν; ν \u003d 32/7. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம்: . "பயனுள்ள" உத்திகள் (ஒரு 1 மற்றும் ஒரு 2) அதிர்வெண்களுடன் 1/7 மற்றும் 6/7 உடன் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்; கலவை ஒரு 3 - ஒருபோதும் விண்ணப்பிக்க வேண்டாம்.

உகந்த எதிரி மூலோபாயம் கண்டுபிடிக்க, பொதுவாக, நீங்கள் இதை செய்ய முடியும்: தலைகீழ் வென்ற அறிகுறி மாற்ற, அவர்கள் அல்லாத எதிர்மறை செய்ய எல் மேட்ரிக்ஸ் நிலையான மதிப்பின் கூறுகளை சேர்க்க, மற்றும் போன்ற எதிரி பணி தீர்க்க நாம் தங்களைத் தாங்களே தீர்த்தோம். எனினும், விளையாட்டு விலை ஏற்கனவே எங்களுக்கு தெரியும் என்று உண்மையில், ஓரளவு பணி எளிதாக்குகிறது. கூடுதலாக, இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில், இந்த பணி 1 மற்றும் 2 இல் இரண்டு "பயனுள்ள" எதிரி உத்திகள் மட்டுமே முடிவில் பங்கேற்கின்றன, இது Z 3 இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்பதால், அது விளையாட்டு விலை அடையவில்லை. உதாரணமாக, ஒரு 1, ஒரு 1, நீங்கள் அதிர்வெண்கள் Q 1 மற்றும் Q 2 கண்டுபிடிக்க முடியும் எந்த "பயனுள்ள" வீரரின் மூலோபாயம் ஒரு தேர்வு. இதை செய்ய, சமன்பாடு 8Q 1 + 2 (1 - Q 1) \u003d 32/7, Q 1 \u003d 3/7, Q 2 \u003d 4/7 எங்கே இருந்து எழுதுங்கள்; உகந்த எதிரி மூலோபாயம் இருக்கும்: . எதிரி 3 இன் அமைப்பைப் பயன்படுத்தக்கூடாது, மற்றும் 1 மற்றும் 2 இன் பாடல்களும் அதிர்வெண்களுடன் 3/7 மற்றும் 4/7 உடன் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

ஆரம்ப அணிக்கு திரும்பி, விளையாட்டின் உண்மையான விலையை வரையறுக்கிறோம் ν 0 \u003d 32/7: 10 \u003d 0.457. இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் பெரிய எண் கூட்டங்கள் கிளப்பின் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு கூட்டங்களில் 0.457 ஆகும்.

§ 6. விளையாட்டு தீர்ப்பதற்கான தோராயமான முறைகள்

பெரும்பாலும் நடைமுறை பணிகளில் விளையாட்டின் துல்லியமான முடிவை கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை; இது ஒரு தோராயமான தீர்வு கண்டுபிடிக்க போதும், ஒரு சராசரி வெற்றி கொடுத்து, விளையாட்டின் விலை நெருக்கமாக. விளையாட்டு விலை மதிப்பிடப்பட்ட அறிவு ν ஏற்கனவே மேட்ரிக்ஸ் ஒரு எளிய பகுப்பாய்வு கொடுக்க முடியும் மற்றும் குறைந்த (α) மற்றும் மேல் (β) மற்றும் விளையாட்டு விலை வரையறை. Α மற்றும் β நெருக்கமாக இருந்தால், நடைமுறையில் ஒரு துல்லியமான தீர்வு தேட தேவையில்லை, ஆனால் அது நிகர மினிமக்ஸ் உத்திகளைத் தேர்வு செய்ய போதுமானதாக இருக்கும். வழக்குகளில் α மற்றும் β நெருக்கமாக இல்லாத நிலையில், விளையாட்டுகளைத் தீர்க்கும் எண்ணியல் முறைகளின் உதவியுடன் நடைமுறையில் ஒரு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தீர்வைப் பெற முடியும், இதில் நாம் சுருக்கமாக மறு செய்கை முறையை இழக்கிறோம்.

மறுதொடக்கம் முறையின் யோசனை பின்வருமாறு குறைக்கப்படுகிறது. "மன பரிசோதனை" விளையாடியது, இதில் எதிரிகள் ஏ மற்றும் பி ஒருவருக்கொருவர் எதிராக தங்கள் உத்திகளை பயன்படுத்துகின்றனர். இந்த பரிசோதனையானது அடிப்படை விளையாட்டுகளின் ஒரு காட்சியைக் கொண்டுள்ளது, இவை ஒவ்வொன்றும் கொடுக்கப்பட்ட விளையாட்டின் ஒரு அணி உள்ளது. உதாரணமாகவும் நானும் அதன் மூலோபாயங்களில் ஒரு தன்னிச்சையாக ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்போம் என்ற உண்மையுடன் தொடங்குகிறது. எதிரி அதன் மூலோபாயம் பி ஜே, இது எங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், i.e. உத்திகள் மற்றும் நான் குறைந்தபட்சம் போது வெற்றி பெறுகிறது. இந்த நடவடிக்கையில், அதே மூலோபாயத்தை ஒரு K க்கு நாங்கள் பதிலளிக்கிறோம், இது எதிராளியின் மூலோபாயத்தின் B. ஐப் பயன்படுத்தும்போது அதிகபட்ச சராசரி ஆதாயத்தை வழங்குகிறது. அடுத்து - மீண்டும் எதிர்ப்பாளர் முறை. அவர் ஒரு ஜோடி ஒரு ஜோடி ஒரு ஜோடி ஒரு ஜோடி ஒரு ஜோடி அதன் மூலோபாயம் பி ஜே, இது எங்களுக்கு இந்த இரண்டு உத்திகள் (ஒரு நான், மற்றும் K) உடன் சிறிய சராசரி வெற்றிகள் கொடுக்கிறது, மற்றும் பல. இந்த செயல்முறையின் ஒவ்வொரு படியிலும், ஒவ்வொரு வீரரும் அதன் மூலோபாயத்துடன் மற்றொரு வீரரின் எந்தவொரு படிப்பினருக்கும் பதிலளிக்கிறார், அதன் முந்தைய நகர்வுகளைப் பற்றி உகந்ததாகும், இது ஒரு கலவையான மூலோபாயமாக கருதப்படும் ஒரு கலவையான மூலோபாயமாக கருதப்படுகிறது, இதில் தூய உத்திகள் தங்கள் விண்ணப்பத்தின் அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடைய விகிதங்கள் .

இந்த முறை வீரர்கள் உண்மையான நடைமுறை "கற்றல்" ஒரு மாதிரி போல, அவர்கள் ஒவ்வொரு எதிர்ப்பாளர் நடத்தை ஒரு வழி அனுபவிக்கும் போது தன்னை சாதகமான பதிலளிக்க முயற்சிக்கும் போது. கற்றல் செயல்முறை போன்ற ஒரு உருவகப்படுத்துதல் தொடர்ந்தால் தொடர்ந்து தொடர்ந்தால், நகர்வுகள் (அடிப்படை விளையாட்டு) சராசரியாக வெற்றி பெற்றது (ஆரம்ப விளையாட்டு) விளையாட்டு விலை முயற்சிக்கும், மற்றும் அதிர்வெண் ப 1 ... p m; கே 1 ... Q N, இந்த டிராவில் வீரர்கள் உத்திகள் காணப்படும் இதில், உகந்த உத்திகள் தீர்மானிக்கக்கூடிய அதிர்வெண்களை அணுகும். கணக்கிடுதல் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு மிக மெதுவாக உள்ளது, இருப்பினும், அதிவேக எண்ணை இயந்திரங்கள், இது ஒரு தடையாக இல்லை.

விளையாட்டின் உதாரணத்தின் முன்மாதிரியின் பயன்பாட்டின் பயன்பாட்டை நாங்கள் விளக்குகிறோம், முந்தைய பத்தியின் உதாரணமாக 2 உதாரணமாக தீர்ந்துவிட்டது. விளையாட்டு ஒரு மேட்ரிக்ஸ் மூலம் அமைக்கப்படுகிறது:

அட்டவணை 6.1 தற்காலிக செயல்பாட்டின் முதல் 18 படிகள் காட்டுகிறது. முதல் பத்தியில் தொடக்க விளையாட்டு எண் (நகர்வுகள் ஜோடிகள்) எண் வழங்கப்படுகிறது என்; இரண்டாவது - எண் நான். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வீரர் மூலோபாயம் A; அடுத்த மூன்று - "திரட்டப்பட்ட வெற்றிகள்" முதல் என் எதிரி உத்திகள் பி 1, 2, 3 இல் விளையாட்டுகள். இந்த மதிப்புகள் குறைந்தபட்சம் வலியுறுத்தப்படுகிறது. அடுத்த எண் வருகிறது ஜே. எதிரி மூலம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூலோபாயம், முறையே திரட்டப்பட்ட வென்றது என் உத்திகள் கீழ் விளையாட்டு ஒரு 1, மற்றும் 2, மற்றும் இந்த மதிப்புகள் 3 அதிகபட்ச இருந்து வலியுறுத்தப்படுகிறது. அடிக்கோடிட்ட மதிப்புகள் மற்றொரு வீரரின் பதில் மூலோபாயத்தின் விருப்பத்தை தீர்மானிக்கின்றன. பின்வரும் நெடுவரிசைகள் தொடர்ச்சியாக வழங்கப்படுகின்றன: குறைந்தபட்ச சராசரி வின்னிங்ஸ் ν விளையாட்டுகளின் எண்ணிக்கையால் பிரிக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச திரட்டப்பட்ட வெற்றிக்கு சமமாக இருக்கும் என்; அதிகபட்சமாக அதிகபட்ச திரட்டப்பட்ட வெற்றிக்கு சமமாக அதிகபட்ச வருவாய் அதிகரித்துள்ளது என், மற்றும் அவர்களின் கணித சராசரி ν * \u003d (ν +) / 2. அதிகரித்து வருகிறது என் அனைத்து மூன்று மதிப்புகள் ν, மற்றும் ν * விளையாட்டு விலை அணுகும் ν, ஆனால் ν மதிப்பின் மதிப்பு இயற்கையாகவே அதை ஒப்பீட்டளவில் வேகமாக அணுகும்.

அட்டவணை 6.1.

உதாரணமாக இருந்து பார்க்க முடியும் என, iterations ஒருங்கிணைப்பு மிகவும் மெதுவாக உள்ளது, ஆனால் இருப்பினும், கூட ஒரு சிறிய கணக்கீடு கூட விளையாட்டு விலை தோராயமான மதிப்பு கண்டுபிடிக்க மற்றும் "பயனுள்ள" உத்திகள் ஆதரிக்கிறது. எண்ணற்ற இயந்திரங்களைப் பயன்படுத்தும் போது, \u200b\u200bமுறையின் மதிப்பு கணிசமாக அதிகரிக்கிறது. விளையாட்டு தீர்ப்பதற்கான இயற்பியல் முறையின் நன்மை என்பது கணக்கீடுகளின் அளவு மற்றும் சிக்கலானது உத்திகள் அதிகரிக்கும் என பலவீனமாக அதிகரிக்கிறது எம். மற்றும் என்.

§ 7. சில முடிவற்ற விளையாட்டுகள் தீர்க்க முறைகள்

ஒரு முடிவற்ற விளையாட்டு ஒரு விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் குறைந்தது ஒரு கட்சிகளில் ஒன்று ஒரு முடிவிலா மூலோபாயங்கள் உள்ளன. அத்தகைய விளையாட்டுகள் தீர்க்கும் பொது முறைகள் இன்னும் ஒரு சிறிய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான தீர்வு அனுமதிக்கும் சில குறிப்பிட்ட வழக்குகள் நடைமுறையில் ஆர்வமாக இருக்கலாம். இரண்டு எதிரிகளின் ஒரு விளையாட்டை A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள், ஒவ்வொன்றும் ஒரு முடிவிலா (uncountable) மூலோபாயங்களின் தொகுப்பு ஆகும்; வீரர் இந்த உத்திகள் ஒரு ஒத்துள்ளது பல்வேறு மதிப்புகள் தொடர்ச்சியாக மாறும் அளவுரு எச்.மற்றும் உள்ளே - அளவுருக்கள் w.. இந்த வழக்கில், அதற்கு பதிலாக மேட்ரிக்ஸ் ‖A ij ™ விளையாட்டு இரண்டு தொடர்ந்து மாறும் வாதங்கள் சில செயல்பாடு தீர்மானிக்கிறது ஒரு (x, y)நாம் Winnings செயல்பாடு அழைக்க வேண்டும் இது (நாம் செயல்பாடு தன்னை கவனிக்கிறோம் ஒரு (x, y) அது தொடர்ச்சியாக இருக்கக்கூடாது). வெற்றி ஒரு (x, y) வடிவியல் சில மேற்பரப்புடன் வழங்கப்படலாம் ஒரு (x, y) வாதங்களின் மாற்றத்தின் பகுதிக்கு மேல் (x, y) (படம் 7.1)

Winnings செயல்பாடு பகுப்பாய்வு ஒரு (x, y) இது கட்டண மேட்ரிக்ஸின் பகுப்பாய்வுக்கு ஒத்ததாகும். முதல் விளையாட்டு α ஒரு குறைந்த விலை உள்ளது; இது அனைவருக்கும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது எச். குறைந்தபட்ச செயல்பாடு ஒரு (x, y) ஆகமொத்தம் w.: பின்னர் அது அனைத்து இந்த மதிப்புகள் அதிகபட்சமாக தேடப்படுகிறது எச். (அதிகபட்சம்):

விளையாட்டின் சிறந்த விலை (Minimax) அதே வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது:

Α \u003d β போது வழக்கு கவனியுங்கள். விளையாட்டின் விலை ν எப்போதும் α மற்றும் β இடையே முடிவடைகிறது என்பதால், பின்னர் அவர்களின் பொருள் ν ஆகும். சமத்துவம் α \u003d β பொருள் மேற்பரப்பு ஒரு (x, y) ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது, I.E., போன்ற ஒரு புள்ளி ஒருங்கிணைப்பு x 0, 0, இதில் ஒரு (x, y) அதே நேரத்தில் குறைவாக உள்ளது W. மற்றும் அதிகபட்சம் மூலம் எச். (படம் 7.2).

மதிப்பு ஒரு (x, y) இந்த கட்டத்தில், விளையாட்டின் விலை ν: ν \u003d ஒரு (x 0, y 0). ஒரு சேணம் புள்ளியின் முன்னிலையில் இந்த முடிவற்ற விளையாட்டு தூய உத்திகள் துறையில் ஒரு தீர்வு என்று அர்த்தம்; x 0, y 0. உகந்த தூய உத்திகள் A மற்றும் V. பொதுவாக, α ≠ β போது, \u200b\u200bவிளையாட்டு கலப்பு உத்திகள் துறையில் மட்டுமே ஒரு தீர்வு இருக்கலாம் (ஒருவேளை ஒரே ஒரு இல்லை) ஒரு தீர்வு இருக்கலாம். முடிவற்ற விளையாட்டுகள் கலப்பு மூலோபாயம் உத்திகள் சில நிகழ்தகவு விநியோகம் உள்ளது எச். மற்றும் w.சீரற்ற மாறிகள் என கருதப்படுகிறது. இந்த விநியோகம் தொடர்ச்சியான மற்றும் அடர்த்திகள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எஃப் 1 (எக்ஸ்) மற்றும் எஃப் 2 (y); இது தனித்துவமாக இருக்கலாம், பின்னர் உகந்த உத்திகள் சில பூஜ்ய நிகழ்தகவுகளுடன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தனி நிகர உத்திகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு முடிவற்ற விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை போது வழக்கில், நீங்கள் விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை ஒரு காட்சி வடிவியல் விளக்கம் கொடுக்க முடியும். ஒரு வெற்றிகரமான செயல்பாடு ஒரு முடிவற்ற விளையாட்டு கருதுகின்றனர். ஒரு (x, y)மற்றும் உத்திகள் எக்ஸ், யூ.அச்சுக்களின் தொடர்ச்சியான பிரிவுகளை நிரப்புக (x 1, x 2) மற்றும் (1 இல், U 2). விளையாட்டு α இன் குறைந்த விலையை தீர்மானிக்க, நீங்கள் மேற்பரப்பில் "பார்க்க" வேண்டும் ஒரு (x, y) அச்சின் பக்கத்தில் இருந்து w.. விமானத்தை மாற்றவும் hOA. (படம் 7.3). நாம் நேராக x \u003d x 1 மற்றும் x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d x \u003d b மற்றும் n. N க்கு வளைவின் ஆர்டர்

இதேபோல், விளையாட்டின் மேல் விலை கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் மேற்பரப்பில் "பார்க்க" வேண்டும் ஒரு (x, y) அச்சின் பக்கத்தில் இருந்து எச். (விமானம் மேற்பரப்பில் வடிவமைக்க wao.) மற்றும் திட்டத்தின் மேல் எல்லைக்கு குறைந்தபட்ச ஒழுங்கை (படம், 7.4).

முடிவற்ற விளையாட்டுகள் இரண்டு அடிப்படை உதாரணங்கள் கருதுகின்றனர்.

உதாரணம் 1. வீரர்கள் ஏ மற்றும் பி ஒவ்வொரு எண்ணற்ற பல மூலோபாயங்கள் உள்ளன. எச்.மற்றும் w.மேலும், 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. ஒரு பெறும் செயல்பாடு ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு (x, y) - (எக்ஸ் - y) 2 மூலம் வழங்கப்படுகிறது. விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வு காணலாம்.

தீர்வு, மேற்பரப்பு ஒரு (எக்ஸ், y) ஒரு பரவளைய சிலிண்டர் (படம் 7.5) ஆகும் மற்றும் ஒரு சணல் புள்ளி இல்லை. நாங்கள் விளையாட்டின் குறைந்த விலையை வரையறுக்கிறோம்; வெளிப்படையாக, அனைவருக்கும் எச்.; எனவே \u003d 0. விளையாட்டின் மேல் விலையைத் தீர்மானித்தல். இதை செய்ய, நாம் ஒரு நிலையான கண்டுபிடிக்க w.

இந்த வழக்கில், அதிகபட்ச இடைவெளியில் (x \u003d 0 அல்லது x \u003d 1 இல்), i.e. இது 2 என்று சமமாக உள்ளது; (1 - y) 2, இது இன்னும். நான் இந்த செயல்பாடுகளை வரைபடங்கள் சித்தரிக்கிறேன் (படம் 7.6), i.e. மேற்பரப்பின் திட்டம் ஒரு (x, y) விமானத்தில் wao.. படத்தில் கொழுப்பு வரி. 7.6 அம்சம் காட்டப்பட்டுள்ளது. வெளிப்படையாக, அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு y \u003d 1/2 இல் அடையப்பட்டு 1/4 க்கு சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, விளையாட்டின் மேல் விலை β \u003d 1/4. இந்த வழக்கில், விளையாட்டின் சிறந்த விலை விளையாட்டு விலை மூலம் இணைந்துள்ளது ν. உண்மையில், பிளேயர் ஒரு கலப்பு மூலோபாயம் S A \u003d விண்ணப்பிக்க முடியும் இதில் எக்ஸ்ட்ரீம் மதிப்புகள் x \u003d 0 மற்றும் x \u003d 1 அதே அதிர்வெண்களுடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன; பின்னர், எந்த மூலோபாயமும், சராசரியாக வீரர் ஒரு வீரர் வெற்றி பெறுவார்: ½u 2 + ½ (1 - y) 2. எந்த மதிப்புகளுக்கும் இந்த மதிப்பு உறுதி செய்ய எளிது w. 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில், அது குறைவாக இல்லை ¼: ½u 2 + ½ (1 - y) 2 ≥ ¼.

இதனால், வீரர் மற்றும் இந்த கலப்பு மூலோபாயத்தின் பயன்பாடு விளையாட்டின் சிறந்த விலைக்கு சமமாக ஒரு வெற்றியை உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்; விளையாட்டின் விலை மேலே விலை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது என்பதால், பின்னர் இந்த மூலோபாயம் ஒரு உகந்த: எஸ் A \u003d S A *.

விளையாட்டின் விலை ™ விளையாட்டின் விலை உயர்ந்த விலைக்கு சமமானதாக இருந்தால், வீரர் V இன் உகந்த மூலோபாயத்தை கண்டுபிடிப்பார். விளையாட்டு. இந்த வழக்கில், அத்தகைய ஒரு மூலோபாயம் 0 \u003d ½ ஆகும். உண்மையில், இந்த மூலோபாயத்துடன், வீரர் ஏ என்ன, வெற்றி பெற முடியாது ¼. இது வெளிப்படையான சமத்துவமின்மை (x - ½) 2 \u003d x (x -1) + ¼ ≤

உதாரணம் 2. பக்க ஒரு ("நாங்கள்") எதிர்ப்பாளரிடம் விமானத்தை வழிநடத்துகிறது. ஷெல்ஸில் இருந்து நீக்கப்பட்ட பொருட்டு, எதிரி சில சுமை கொண்டு சூழ்ச்சி செய்ய முடியும் w.அவர் தனது விருப்பப்படி எந்த முக்கியத்துவத்தை இணைக்க முடியும் w. \u003d 0 (நேராக இயக்கம்) க்கு w. = w. அதிகபட்சம் (அதிகபட்ச வளைவுகளின் சுற்றளவு சுற்றி பறக்கும்). நாங்கள் யூகிக்கிறோம் w. அதிகபட்சம் அளவீட்டு அலகு, I.e. வைத்து w. அதிகபட்சம் \u003d 1. எதிரிக்கு எதிரான போராட்டத்தில், சேவை விமானத்தின் போது இலக்கு இயக்கத்தை பற்றி ஒன்று அல்லது மற்றொரு கருதுகோளின் அடிப்படையில் பார்வையிடும் சாதனங்களைப் பயன்படுத்தலாம். ஓவர் சவர்ட் எச். இந்த வழக்கில், அனுமான சூழ்ச்சி 0 முதல் 1 வரை எந்த மதிப்பிற்கும் சமமாக நம்பப்படுகிறது. எங்கள் பணி எதிரி அடிக்க வேண்டும்; எதிரியின் பணி பாதிக்கப்படாமல் இருக்க வேண்டும். தரவு சேதத்தின் சாத்தியம் எச். மற்றும் w. சூத்திரத்தால் தோராயமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: A (x, y) \u003d , எங்கே w. - எதிரி மூலம் ஓவர்லோடு பயன்படுத்தப்படும்; எக்ஸ் - ஓவர்லோடு, பார்வையில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது. இரு கட்சிகளின் உகந்த உத்திகளையும் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

முடிவு. வெளிப்படையாக, விளையாட்டு தீர்வு நாம் p \u003d 1. வெற்றி செயல்பாடு என்றால் மாற்ற முடியாது ஒரு (x, y) படத்தில் காட்டப்பட்ட மேற்பரப்பில் சித்தரிக்கப்பட்டது. 7.7.

இது ஒரு உருளை மேற்பரப்பு உருவாகிறது, இது ஒருங்கிணைந்த மூலையில் இணையாக உள்ளது ஹோமற்றும் ஒரு விமானம் ஒரு குறுக்குவழி ஒரு குறுக்குவழி உருவாக்கம், சாதாரண விநியோக வளைவு வகை ஒரு வளைவு உள்ளது. விளையாட்டு குறைந்த மற்றும் மேல் விலை முன்மொழியப்பட்ட வடிவியல் விளக்கம் பயன்படுத்தி, நாம் β \u003d 1 (படம் 7.8) மற்றும் (படம் 7.9) காணலாம். விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை; கலப்பு உத்திகள் துறையில் நீங்கள் தேட வேண்டிய முடிவு. பணி முந்தைய உதாரணம் பணிக்கு ஒத்த ஒரு அளவிற்கு உள்ளது. உண்மையில் சிறிய மதிப்புகள் கே செயல்பாடு ஒரு செயல்பாடு கிட்டத்தட்ட செயல்படும் - (x - y) 2., முந்தைய உதாரணத்தை தீர்ப்பதில் விளையாட்டு தீர்வு வேலை செய்யும், வீரர்கள் A மற்றும் B இன் பாத்திரங்களை மாற்றவும்; அந்த. எமது உகந்த மூலோபாயம் ஒரு தூய மூலோபாயம் x \u003d 1/2 ஆக இருக்கும், மற்றும் எதிரி SB இன் உகந்த மூலோபாயம் Extreme மூலோபாயங்கள் y \u003d 0 மற்றும் y \u003d 1. பொருந்தும் என்பதாகும் overload x \u003d 1/2 க்கு, மற்றும் எதிரி அனைத்து சந்தர்ப்பங்களில் பாதிக்கும் மேலாக சூழ்ச்சி பயன்படுத்த கூடாது, மற்றும் அரை அதிகபட்ச சாத்தியமான சூழ்ச்சி.

படம். 7.8 படம். 7.9.

இந்த முடிவை மதிப்புகளுக்கான நியாயமானதாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்க எளிது. உண்மையில், எதிரி மூலோபாயம் எஸ் பி \u003d மற்றும் நமது மூலோபாயத்துடன் சராசரி வெற்றிகள் எச். இது செயல்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது , மதிப்புகள் k ≤ 2 இல் ஒரு அதிகபட்சம் x \u003d 1/2 இல் ஒரு அதிகபட்சமாக உள்ளது, விளையாட்டு α இன் குறைந்த விலைக்கு சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, மூலோபாயம் எஸ் பயன்பாடு பயன்பாடு இழப்பு எதிரி உத்தரவாதம், α விட, இது α என்று தெளிவாக உள்ளது, இது விளையாட்டு குறைந்த விலை என்று தெளிவாக உள்ளது - மற்றும் விளையாட்டு விலை உள்ளது.

K\u003e 2 இல், செயல்பாடு A (x) இரண்டு maxima (படம் 7.10) உள்ளது, x \u003d 1/2 புள்ளிகள் x \u003d 1/2 உடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் x 0 மற்றும் 1 - x 0, மற்றும் x 0 இன் மதிப்பு K ஐ சார்ந்துள்ளது.

வெளிப்படையாக, கே \u003d 2 x 0 \u003d 1 - x 0 \u003d ½; அதிகரித்து வருகிறது கே புள்ளிகள் x 0 மற்றும் 1 - x 0 நகர்த்தப்படுகின்றன, தீவிர புள்ளிகளுக்கு (0 மற்றும் 1) நெருக்கமாக நெருங்கி வருகின்றன. இதன் விளைவாக, விளையாட்டின் தீர்வு கே மீது சார்ந்து இருக்கும். K \u003d 3 க்கு உதாரணமாக K இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பை நாங்கள் அமைத்துள்ளோம், மற்றும் விளையாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு காணலாம்; இதை செய்ய, நாம் அதிகபட்ச வளைவு ஒரு (x) abscissa x 0 வரையறுக்க. பூஜ்ஜிய derivative செயல்பாடு ஒரு (x) சமமாக, x 0 தீர்மானிக்க சமன்பாட்டை எழுத:

இந்த சமன்பாட்டில் மூன்று வேர்கள் உள்ளன: x \u003d 1/2 (அது எங்கு குறைந்தபட்சம் அடையப்படுகிறது) மற்றும் x 0, 1 - x 0, எக்ஸ் 0, எக்ஸ் 0 ஆகும். சமன்பாட்டை தீர்க்கும் எண்ணை தீர்க்கவும், சுமார் x 0 × 0.07 ஐ காணலாம்; 1 - x 0 ≈ 0.93.

இந்த விஷயத்தில் விளையாட்டின் முடிவை அடுத்த ஜோடி உத்திகளாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்:

எங்கள் மூலோபாயம் மற்றும் எதிரி மூலோபாயம் மூலம் w. சராசரி வெற்றி சமமாக உள்ளது

ஒரு குறைந்தபட்ச ஒரு 1 (y) 0 இல் காணலாம்< у < 1. Функция a 1 (y) симметрична относительно y = 1/2 и может иметь только один или два максимума; ее минимум, во всяком случае, достигается либо в середине отрезка (0, 1), либо на его концах. Полагая у = 0 (или у = 1), найдем

Y \u003d 1/2 நம்புகிறோம், நாங்கள் பெறுகிறோம்

இது 1 (0) விட அதிகமாக உள்ளது; இதன் விளைவாக, விளையாட்டின் விலை 1 (0) க்கு குறைவாக இல்லை:

இப்போது எதிரி ஒரு மூலோபாயம் S பி * பொருந்தும் என்று நாம் சொல்லலாம், மற்றும் நாம் ஒரு மூலோபாயம் x. பின்னர் சராசரி வெற்றி

ஆனால் x \u003d x 0 அதிகபட்ச வெளிப்பாட்டை (7.2) அடைந்தது என்று எக்ஸ் 0 ஐத் தேர்ந்தெடுத்தோம். எனவே,

அந்த. மூலோபாயத்தின் பயன்பாடு மூலம் எதிர்ப்பாளர் இழப்பு அனுமதிக்க முடியாது, இழப்பு அனுமதிக்க முடியாது 0.530; எனவே, ν \u003d 0.530 விளையாட்டின் விலை, மற்றும் மூலோபாயம் எஸ் * மற்றும் எஸ் பி * ஒரு தீர்வு கொடுக்கிறது. இதன் பொருள் எக்ஸ் \u003d 0.07 மற்றும் X \u003d 0.93 உடன் அதே அதிர்வெண்ணுடன் பார்வையைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதே அதிர்வெண்ணுடன் எதிர்ப்பாளர் அதிகபட்ச சுமை கொண்ட சூழ்ச்சி மற்றும் சூழ்ச்சி இல்லை.

விளையாட்டின் குறைந்த விலையை விட வெற்றிகரமாக ν \u003d 0,530 குறிப்பிடத்தக்க பெரியது இது உங்கள் அதிகபட்ச மூலோபாயம் x 0 \u003d 1/2 ஐப் பயன்படுத்தி நம்மை பாதுகாக்க முடியும்.

ஒன்று நடைமுறை வழிகள் முடிவில்லாத விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பது அவர்களின் தோராயமான குறைப்பு ஆகும். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு வீரரின் சாத்தியமான மூலோபாயங்களும் ஒரு மூலோபாயமாக ஒரு மூலோபாயத்தில் இணைக்கப்படுகின்றன. இந்த வழியில், நிச்சயமாக, அது ஒரு தோராயமான விளையாட்டு முடிவை பெற முடியும், ஆனால் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு துல்லியமான தீர்வு தேவையில்லை.

இருப்பினும், இந்த வரவேற்பைப் பயன்படுத்தும் போது, \u200b\u200bதீர்வுகள் கலவையான உத்திகள் துறையில் தோன்றலாம், ஆரம்ப முடிவிலா விளையாட்டின் தீர்வு நிகர உத்திகள், i.e. ஒரு முடிவற்ற விளையாட்டு ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது போது. முடிவில்லாத விளையாட்டின் தகவலின் மூலம், ஒரு கலப்பு தீர்வு பெற்றால், இரண்டு அண்டை "பயனுள்ள" உத்திகளை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, இது அவர்களுக்கு இடையே அசல் முடிவற்ற விளையாட்டு இடைநிலை நிகர மூலோபாயத்தை விண்ணப்பிக்க முயற்சி செய்கிறது.

முடிவில், இறுதி முடிவுக்கு மாறாக முடிவற்ற விளையாட்டுகள் தீர்வுகள் இல்லை என்று நாம் கவனிக்கிறோம். தீர்வு இல்லாத ஒரு முடிவற்ற விளையாட்டுக்கு ஒரு உதாரணம் கொடுக்கலாம். இரண்டு வீரர்கள் ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் அழைக்கிறார்கள். பெயரிடப்பட்டது மேலும் மற்றொரு 1 ரூபிள் இருந்து பெறுகிறார். இருவரும் அதே எண்ணை அழைத்திருந்தால், விளையாட்டு ஒரு வரையுடன் முடிவடைகிறது. விளையாட்டு வெளிப்படையாக தீர்வுகளை முடியாது. இருப்பினும், தீர்வு வெளிப்படையாக இருக்கும் முடிவில்லாத விளையாட்டுகளின் வகுப்புகள் உள்ளன.